2.3_三角形的内切圆

1 结论：AE=AF=L-a 2 1 L-b BF=BD= 2 1 L-c CD=CE= 2
A O
E r D B C
F
补充： 如图，直角三角形的两直角边分别是a，b,斜边为c 则其
内切圆的半径ｒ为:（以含a、b、c的代数式表示r）
a+b-c r= 2
如：直角三角形的两直角边 分别是5cm，12cm 则其内切 2cm 。 圆的半径为______
3 (cm) 2 3 答:圆柱底面圆的半径为 cm. 2
B
C
例２ 如图，已知⊙O 是△ABC的内切圆， 切点分别点D、E、F，设△ABC周长为L. 求证：AE＋BC= L
1 2
A
F O
E
C B D
如图，设△ABC的边BC=a，CA=b， AB=c，L= a+b+c，内切圆I和各边分别 相切于D、E、F.
老师提示： 先画草图，由等腰三角形底边上的中垂 线与顶角平分线重合的性质知，等边三角形 的内切圆与外接圆是两个同心圆.
A
R
O r D C
变式： B 求边长为a的等边三角形的 内切圆半径r与外接圆半径R的比.
1 r OD = sin∠OBD = sin30°= = 2 R OB
以某三角形的内心为圆心，
图形
A
O
性质
1.OA=OB=OC 2.外心不一定 在三角形的内 C 部．
B 三角形三条 角平分线的 交点
B
A O 1.到三边的距离 相等； 2.OA、OB、OC分 别平分∠BAC、 ∠ABC、∠ACB C 3.内心在三角形内 部．
内心： 三角形 内切圆 的圆心
填一填
1.如图1，△ABC是⊙O的 内接 三角形。⊙O是△ABC 的 外接 圆，点O叫△ABC的 外心 ，它是三角 形 三边中垂线 A
BAC 4.如图,O是△ABC的内心,则OA平分∠______, OB平分 ABC ACB ∠______,OC 平分∠______,.
A
D .O E G
• O
B C 5、 如上图，四边形DEFG是⊙O的
形，⊙O是四边形DEFG的 内切
F
外切
圆.
四边
例1 如图，等边三角形ABC的边长为3cm，
求三角形ABC的内切圆的半径.
∴AF=4，BD=9，CE=5 答：AF=4，BD=9，CE=5。 还可用什么方法？
圆内接平行四边形是矩形
延 伸 与 拓 展
A A B · O C D C F
E
B
· O G
H D
菱形 圆外切平行四边形是_______
课本课内练习题1： 求边长为6 cm的等边三角形的 内切圆半径r与外接圆半径R.
A
D I
作一个圆使它与这个三角形
的某一条边（或所在的直线）
有两个交点，那么这个圆与
其他两边（或所在的直线） 有怎样的位置关系？
Ｅ
B F
O G
H
C
仔细观察图形，你还能发现什么 规律？再作几个三角形试一试， 是否有同样的规律？请说明理 由．
课内练习
完成作业题3、4、5、6
1： (1)在△ABC中，点I是内心，
M
C
课内练习3：用直尺和圆规作直角三角形的内切圆 作业题2：用直尺和圆规作钝角三角形的内切圆
3、性质: （1）内心到三角形三边的距离相等； （2）内心与顶点连线平分内角.
（3）内心在三角形内部
A
O
B
C
4、三角形内切圆和外接圆的比较:
名称
外心： 三角形 外接圆 的圆心
确定方法
三角形三边 中垂线的交 点
解： 如图，设圆O切AB于点D，连接OA、OB、OD. ∵圆O是△ABC的内切圆, △ABC是等边三角形, ∴AO、BO是∠BAC、∠ABC的角平分线 ∴ ∠OAB=∠OBA=30o ∴OA=OB ∵OD⊥AB，AB=3cm，
1 ∴AD=BD= AB=1.5(cm) 2
D
A
r
O
∴OD=ADtan30o=
A
b D r C
c Ｉ
O
练习： 边长为３，４，５的三角形 1 的内切圆半径是＿＿
E a
B
直角三角形外接圆、内切圆半径的求法 c R= — 2
a+b-c r = —— 2
已知△ABC的三边BC,AB,AC分别为a,b,c,I为内心，内 A 切圆半径为r,
求△ABC的面积S(用a,b,c,r表示）
b
证明：连结AI,BI,CI r
． O
的交点。 D
． I
B
图1
C
E
图2
F
外切 2.如图2，△DEF是⊙I的 的 内切 圆，点I是 △DEF的
三角形，⊙I是△DEF
内 心，它是三角
形
三个角平分线 的交点。
填一填
3、 三角形的内切圆能作____ 1 个,圆的外切三角形有 无数 内部 _____个,三角形的内心在三角形的_______.
1、确定一个圆的位置与大小的条件是什么？
①.圆心与半径 ②.不在同一直线上的三点
2、叙述角平分线的性质与判定
性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 判定：到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。
3、下图中△ABC与圆O的关系？ △ABC是圆O的内接三角形； 圆O是△ABC的外接圆
O
A
圆心O点叫△ABC的外心 △ABC的外心是三边中垂线的 B 交点，它到三个顶△ABC ＝Ｓ△ABI
+
Ｓ△BCI
+
c· r 2
+
Ｓ△ACI
B
a
b· r a· r + ＝ 2 2 r ＝ (a+b+c）· 2
2 1.5 ⑵边长为５，５，６的三角形的内切圆半径是＿＿
S=
1
rL
完成课内练习题２：
练一练
已知：在△ABC中，BC=14，AC=9，AB=13，它的内切圆 分别和BC、AC、AB切于点D、E、F，求AF、BD和CE的长。 A x x 解：设AF＝x，则BF=13-x F E 13-x 9-x 因此，AE=AF=x,BD=BF=13-x, C B 13-x 9-x DC=EC=9-x, D 又∵BD+CD=14 ∴(13-x)+(9-x)=14 解得x=4
C
李明在一家木料厂上班，工作之余想对厂 里的三角形废料进行加工：裁下一块圆形用料， 且使圆的面积最大. 下图是他的几种设计，请同学们帮他确定一下.
A
B
C
A
r
D
C
O
E
F B
1、定义：和三角形各边都相切的圆叫做 三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三 角形的内心，这个三角形叫做圆的外切 三角形.
A
O
B
∠AIC=120°，求∠B的度数。
若∠A=Xº ,则∠BIC=______.
(2) 一个三角形的面积为 12cm2 ，周长为 24cm ，则三 角形的内切圆的半径为______ cm。
(3)正三角形的内切圆半径和高的比为______
回 头 一 看 ， 我 想 说 …
１.定义 ２.内心的性质 ３.画三角形的内切圆 ４.初步应用
C
探 究 ： 三 角 形 内 切 圆 的 作 法
思考下列问题：
(1)．如图1，若⊙O与 ∠ABC的两边相切，那么圆 心O的位置有什么特点？ 圆心O在∠ABC的平分线上. 如图2，如果⊙O与△ABC 的内角∠ABC的两边相切， 且与内角∠ACB的两边也 相切，那么此⊙O的圆心 在什么位置？
B
A
M
O
B
图1
N
A
C
O
图2
C
圆心O在∠BAC、∠ABC与∠ACB的三个角 的角平分线的交点上.
(2)．如何确定一个与三角形三边都相切的圆 的半径的长？
作出三个内角的平分线，三条内角 平分线相交于一点，这点就是符合 条件的圆心，过圆心作一边的垂线， 垂线段的长是符合条件的半径.
(3)．你能作出几个与一个三角形 的三边都相切的圆么？内切圆圆 心能否在三角形外部？
A
C
F
E
I
D
B
只能作一个，圆心也只能在三角形内部,因 为三角形的三条内角平分线在三角形内部, 且相交只有一个交点.
2.一个三角形的内切圆作法
1. 作∠B、∠C的平分线 作法： BM和CN，交点为I. 2．过点I作ID⊥BC， 垂足为D. 3．以I为圆心，ID为 半径作⊙I. ⊙I就是所求的圆.
A
N I B D