2014-1-14-计算方法A(研究生)

（勤奋、求是、创新、奉献）

2013～2014学年第一学期考试试卷

主考教师 ____江开忠 _

学院 _____________ 班级 __________ 姓名 __________ 学号 ___________

《 计 算 方 法 》(研究生)课程试卷A

（本卷考试时间 120 分钟）

一、 选择题(本题5个小题,每题2分,共10分)

1．某观测方法测得r 的近似值为0000.1=r ，具有5个有效数字，则2

r S =具有( )位有效数字.

A. 2

B. 3

C. 4

D.5 2．函数x x =)(ϕ与2/)13()(2

-=x x φ在区间]1,1[-上( ). A. 线性相关 B. 线性无关但不正交 C. 正交但非标准正交 D. 标准正交

3．1

1141

()d (1)(0)(1)333

f x x f f f -≈

-++⎰的代数精确度为( ). A. 1 B. 2 C 3 D. 4

4．设⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛=5232A ，则A 的用-∞范数定义的条件数()Cond A ∞=( ).

A. 56

B. 42

C.14

D.4

5．用Euler 折线法解初值问题⎩

⎨⎧=+='1)0(y y

x y ，取步长1.0=h ，算得=)2.0(y ( ).

A. 1

B. 1.1

C. 21.1

D. 22.1

二、 填空题(本题5个小题,每小题3分，共15分)

1．()1,n f x x =+ 则 n 阶差商01[,,...,]n f x x x = . 2．用梯形公式计算积分, 取4位有效数字，

≈⎰

1

25

.0dx x .

3．01x =-，10x =，21x =， ⎩

⎨⎧≠==101

1)(1i i x l i ，则插值基函数)(1x l = .

4．A =⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛3211, 则A 经过LU 分解后，矩阵L 中的21l = . 5．函数3232

01

()(1)(1)(1)12

x x x S x x b x x x ⎧-≤≤=⎨-+-+-≤≤⎩，若()S x 是区间[0，2]上以0，1，2为节点的三次样条函数，则b = . 三、 计算题(本题12分) 给定求解常微分方程初值问题

{

00

(,)

()y f x y y x y '==的线性多步公式111[]n n n n n y y h f f f αβγ++-=+++，其中：

111(,)n n n f f x y +++=，(,)n n n f f x y =，111(,)n n n f f x y ---=试确定系数,,αβγ，使它具有尽可能高的精度，

并推导其局部截断误差主项。

已知1

11()[5()8(0)5)]9g x dx g g -≈++⎰为Gauss 求积公式，且其截断误差为(6)()()R g cg ξ= ((1,1))ξ∈-。(1) 设(6)()[,]f x C a b ∈，给出在区间[a , b ]上积分()()d b a

I f f x x =⎰的3点Gauss 求积公式。(2)

将[a , b ]分为n 等分，记b a

h n -=

，i x a ih =+，0i n ≤≤，112

1()2i i i x x x ++=+，01i n ≤≤-，试对()I f 构造

复化的3点Gauss 公式，记为(3)

()n G f .

五、 计算证明题(本题12分)

给定三维空间的一组点(,,)k k k x y z 如下表，利用最小二乘法求出空间一张过原点的平面来逼近这些点。

矩阵A 的ST 算法定义为：1）将A 作ST 分解11=A S T ，2）令211

=A T S ，并对2A 进行ST 分解222=A S T ，

3）重复2）的过程得到11,1,2,

n n n n --==A T S . 设1112⎛⎫

= ⎪⎝⎭

A ，ST 分解取为矩阵的LU 分解。(1)求出

234,,A A A ；(2) 证明A 与n A 相似；(3) 观察n A 变化趋势，求lim n n →+∞

A .

(注：本题需要精确计算)

已知方程2

ln 40x x --=分别在(0,1)和(2,3)各有一个根，分别记为*x 和**x ，对*x 可构造迭代格式2

41n x n x e -+= (0,1,2,)n =求其近似值. （1）证明：对任意初值0(0,1)x ∈,上述迭代格式收敛。

并利用该迭代以00.5x =为初值求出(0,1)中的根(7110n n x x -+-≤终止迭代)。（2）为求**x ，请构造迭代

公式并证明其收敛。

迭代公式(1)

()k k +=+x

Bx d ，0,1,2,k =的n 阶迭代矩阵B 的谱半径()0ρ=B 。 (1) 证明对任

意初始向量0x ，至多迭代n 次就可得到方程组=+x Bx d 的精确解；(2)

取01/21/201/20⎛ = ⎪

⎪-⎝⎭

B ，1/211/2-⎛⎫

⎪= ⎪-⎝⎭d ，验证()0ρ=B ，并以0=x 0为初始向量验证(1)的结论。