向量的平行四边形法则运用
平面向量的平行四边形定理和平行四边形法则
平面向量的平行四边形定理和平行四边形法则平面向量是解决空间中几何问题的重要工具之一。
在平面向量的运算中，平行四边形定理和平行四边形法则是非常基础且重要的内容。
本文将为你详细介绍平行四边形定理和平行四边形法则的概念、性质及应用。
一、平行四边形定理的概念和性质平行四边形定理是关于平行四边形的平面向量性质的定理。
根据平行四边形定理，如果平面上四个向量AB、BC、CD和DA构成一个平行四边形，那么这四个向量之和为零。
也就是说，AB + BC + CD + DA = 0。
平行四边形定理的性质可以推导出以下几个重要的结论：1. 如果ABCD是一个平行四边形，那么向量AB = DC，向量AD = BC。
2. 如果平行四边形ABCD的一组对角线向量相等，即向量AC = BD，那么它是一个平行四边形。
二、平行四边形法则的概念和性质平行四边形法则是平行四边形定理的逆定理，即如果一个平面上四个向量AB、BC、CD和DA满足向量AB + BC + CD + DA = 0，那么这四个向量构成一个平行四边形。
根据平行四边形法则的性质，可以推导出以下几个重要结论：1. 如果向量AB = DC，向量AD = BC，那么四边形ABCD是一个平行四边形。
2. 如果向量AC = BD，那么四边形ABCD是一个平行四边形。
三、平行四边形定理和平行四边形法则的应用平行四边形定理和平行四边形法则在解决平面向量问题时，常用于以下几个方面的应用：1. 平行四边形的判定：通过使用平行四边形定理和平行四边形法则，可以判断给定的四个向量是否能够构成一个平行四边形。
2. 向量之间的关系：根据平行四边形定理和平行四边形法则的性质，可以得到向量之间的关系。
例如，如果向量AB = DC，那么可以推导出向量AB和向量DC平行。
3. 向量的线性运算：平行四边形定理和平行四边形法则可以应用于向量的线性运算中。
例如，如果已知向量AB = DC，向量AD = BC，则可以通过平行四边形定理推导出向量AC = BD。
向量的平行四边形法则运用
向量基本定理与平行四边形法则运用1. 已知点P 是△ABC 所在平面上一点，且 13AP AB t AC =+ ，t 为实数，若点P 在△ABC 内部（不包括边界），则t 的取值范围为20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭2. 在四边形ABCD中，()1,1AB DC ==，113BA BC BD BABCBD+=，则四边形ABCD 3. 已知平面向量a ，b 满足||1a =，||2b =，且()a b a +⊥，则a 与b 的夹角是A ．56π B ．23π C ．3π D ． π64. 在ABC ∆中，M 是BC 的中点，3AM =，点P 在AM 上，且满足2AP PM =，则()PA PB PC ⋅+的值为A. 4-B.2-C.2D. 45. 半圆的直径AB=6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A ，B 的任意一点，若P 为半径OC 上动点，则()PC PB PA ⋅+的最小值为92-.6. 若等边ABC ∆的边长为平面内一点M 满足1263CM CB CA =+，则MA MB ⋅=-27. 若非零向量a 、b 满足 2a b a b a -=-=，a 与a b +的夹角为 0608. 已知()0,3-A ，()3,0B ，O 为坐标原点，点C 在AOB ∠内，且60AOC ∠=，设OB OA OC +=λ，则实数λ等于319. 梯形ABCD 中，DA=AB=BC=1，CD=2，点P 在△BCD 内部（包括边界）中运动，则AP BD ⋅的取值范围是33,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦坐标处理比较方便.10. 平面上三点O 、A 、B 不共线，求证：平面上任一点C 与A 、B 共线的充要条件是存在实数λ和μ，使OC =λOA + μOB ，且λ+ μ = 1。
证：必要性：设A ,B ,C 三点共线，则可设AC = t AB (t ∈R) 则OC =OA +AC =OA + t AB =OA + t (OB -OA ) = (1-t )OA + t OB 令1-t =λ，t = μ，则有：OC =λOA + μOB ，且λ+ μ = 1 充分性：AC =OC -OA =λOA + μOB -OA = (λ-1)OA + μOB = -μOA + μOB = μ(OB -OA ) = μAB ∴三点A 、B 、C 共线练习：11. （2007江西）如图，在△ABC 中，点O 是BC 的中点，过点O 的直线分别交直线AB ，AC 于点M ，N ，若AB m AM =，AC n AN =，则m n +=12. 已知O 是ABC ∆的外心，2,3AB AC ==，若AO x AB y AC =+，且21x y +=，则3cos 4A =解： 22ACAO x AB y AC x AB y =+=+，2AO x AB y AM =+，所以 O ，B ，M 共线，3cos 4AM A AB == 一般情况：如AB=8，AC=7，….13. 已知O 是ABC ∆内一点， OA +2OB +3OC =0，则问ABC ∆的面积与AOC ∆的面积的比是多少？解：（一）平行四边形法：设E D ,分别是BC AC ,的中点，则OD OC OA 2=+，()OE OC OB 42=+，故可得： OC OB OA 32++()022=+=OE OD ，即OE OD 2-=， 故2:3:=∆∆AOC AEC S S ，则1:3:=∆∆AOC ABC S S（二）化归法：延长OB 使OB OB 2'=，延长OC 使OC OC 2'=，则O 是''C AB ∆的重心， '''9131C AB AOC AOC S S S ∆∆∆==，14. 设点O 是ABC ∆内一点，满足022=++OC OB OA ，则ABC ∆的面积与OBC ∆的面积之比为 5：1 .15. 在ABC ∆中，AD AB ⊥ ，3BC BD = ，1AD = ，求ACAD 的值. 法一：建立直角坐标系处理、法二：选基向量,AB AD 、法三：先数量积运算，设角解三角形.16. G 为ABC ∆的重心，AG AB AC λμ=+，,R λμ∈，0120A ∠=，2AB AC ⋅=-，则AG 的最小值为2317. ABC ∆中，F E D ,,为三边AB CA BC ,,的中点，G 为三条中线的交点，（1）试用向量方法证明：GD AG 2=；（2）若过点G 的直线交AC AB ,于N M ,，AB AM λ=，AC AN μ=，求μλ11+。
向量加法的平行四边形法则
向量加法的平行四边形法则向量是描述物体位移或力的量，它具有大小和方向。
在物理学和工程学中，向量加法是一个非常重要的概念，它描述了两个向量相加的规则。
平行四边形法则是一种直观的方法，用来求解两个向量相加的结果。
本文将详细介绍向量加法的平行四边形法则，并且解释这一概念在实际问题中的应用。
首先，让我们来回顾一下向量的基本概念。
向量通常用箭头来表示，箭头的长度代表向量的大小，箭头的方向代表向量的方向。
两个向量相加的结果可以通过平行四边形法则来求解。
平行四边形法则的基本思想是，将两个向量的起点放在一起，然后用它们的箭头构成一个平行四边形，连接平行四边形的对角线，对角线的长度和方向就是两个向量相加的结果。
具体来说，假设有两个向量a和b，它们的起点相同。
根据平行四边形法则，我们可以将向量a和b的箭头放在一起，然后用它们的箭头构成一个平行四边形。
连接平行四边形的对角线，对角线的长度和方向就是向量a和b相加的结果。
这个过程可以用数学公式来表示：a +b = c。
其中a和b是两个向量，c是它们相加的结果。
根据平行四边形法则，c的大小和方向可以通过a和b的大小和方向来确定。
具体来说，c的大小等于a和b的大小的平方和的平方根，c的方向等于a和b的方向的平均值。
这个公式可以用来求解任意两个向量相加的结果。
向量加法的平行四边形法则在物理学和工程学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，如果有两个力作用在同一个物体上，我们可以用平行四边形法则来求解它们的合力。
在电磁学中，如果有两个电场或磁场叠加在一起，我们也可以用平行四边形法则来求解它们的合场。
在航空航天工程中，如果有多个推力作用在飞行器上，我们可以用平行四边形法则来求解它们的合推力。
总之，向量加法的平行四边形法则可以帮助我们求解各种复杂的物理和工程问题。
除了平行四边形法则，还有其他方法可以用来求解向量的加法。
例如，我们可以将向量分解为水平和垂直方向的分量，然后分别对分量进行相加。
向量的平行四边形法则
向量的平行四边形法则向量是线性代数中的重要概念，它可以用来描述物体的位移、速度和加速度等物理量。
在向量运算中，平行四边形法则是一个重要的原理，它可以帮助我们理解向量的加法和减法运算。
本文将介绍向量的平行四边形法则，并探讨它在物理和工程领域的应用。
首先，让我们来了解一下向量的基本概念。
在二维空间中，一个向量可以用一个有向线段来表示，它有大小和方向两个属性。
通常情况下，我们用箭头来表示一个向量，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
在数学上，一个二维向量可以用一个有序对(x, y)来表示，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的分量。
在三维空间中，一个向量可以用一个有序三元组(x, y, z)来表示，其中x、y和z分别表示向量在x轴、y轴和z轴上的分量。
接下来，让我们来讨论向量的加法和减法运算。
向量的加法运算可以用平行四边形法则来表示。
假设有两个向量a和b，它们的起点都位于原点O，那么它们的和向量a+b的终点就是以a和b为邻边的平行四边形的对角线的终点。
换句话说，向量a+b的终点就是以a和b为邻边的平行四边形的对角线的终点。
这就是向量的平行四边形法则。
同样地，向量的减法运算也可以用平行四边形法则来表示。
假设有两个向量a和b，它们的起点都位于原点O，那么它们的差向量a-b的终点就是以a和-b为邻边的平行四边形的对角线的终点。
换句话说，向量a-b的终点就是以a和-b为邻边的平行四边形的对角线的终点。
这同样是向量的平行四边形法则。
平行四边形法则的一个重要性质是，它满足向量的交换律和结合律。
换句话说，对于任意两个向量a和b，有a+b=b+a和(a+b)+c=a+(b+c)。
这意味着向量的加法运算是可交换的和可结合的。
这些性质使得平行四边形法则成为了描述向量运算的重要工具。
在物理学和工程学中，平行四边形法则有着广泛的应用。
例如，在力学中，平行四边形法则可以用来计算物体受到的合力。
如果一个物体同时受到多个力的作用，那么这些力的合力就可以用平行四边形法则来计算。
平面向量的三角形法则和平行四边形法则
平面向量的三角形法则和平行四边形法则在平面向量的运算中，三角形法则和平行四边形法则是两个基本的法则。
它们可以帮助我们理解和计算平面向量的加法、减法和乘法运算。
本文将详细介绍这两个法则的原理和应用。
一、平面向量的三角形法则平面向量的三角形法则表明，如果我们用两个向量的首尾相连构成一个三角形，那么第三个向量的起点与第一个向量的起点重合，终点与第二个向量的终点重合。
直观上来看，这个法则告诉我们如何用两个向量的和来表示它们的几何关系。
假设有两个向量a和b，我们可以利用三角形法则将它们相加。
具体操作为：将向量a的起点与向量b的终点相连，这条线段即为a+b的向量。
同理，如果我们将向量b的起点与向量a的终点相连，也会得到相同的结果。
这一法则可以用以下公式表示：a +b = b + a这个公式揭示了向量的加法满足交换律。
此外，三角形法则还可以用于计算向量的减法。
如果要计算向量a 减去向量b的结果，我们可以将向量b取反（即取其方向相反的向量），然后按照加法的规则进行计算。
具体操作为：将向量a的起点与取反后的向量b的终点相连，得到a-b的向量。
同样地，我们也可以将向量b的起点与向量a的终点相连，也会得到相同的结果。
减法运算的公式为：a -b = a + (-b)这一法则表明向量减法可以转化为向量加法。
二、平面向量的平行四边形法则平面向量的平行四边形法则是三角形法则的一个推论。
它表明，如果我们用两个向量的首尾相连构成一个平行四边形，那么对角线的向量等于另外两个向量的和。
假设有两个向量a和b，我们可以利用平行四边形法则将它们相加。
具体操作为：将向量a的起点与向量b的起点相连，得到向量c。
向量c即为a+b的结果。
同理，我们也可以将向量b的起点与向量a的起点相连，同样得到向量c。
平行四边形法则可以用以下公式表示：a +b = c这个公式表明，两个向量的和等于构成平行四边形的对角线向量。
三、应用举例三角形法则和平行四边形法则广泛应用于平面向量的计算和几何问题中。
平行四边形向量法则
平行四边形向量法则平行四边形定则解决向量加法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果为公共起点的对角线。
平行四边形定则解决向量减法的方法：将两个向量平移至公共起点，以向量的两条边作平行四边形，结果由减向量的终点指向被减向量的终点。
向量在数学中，向量（也称为欧几里得向量、几何向量、矢量），指具有大小（magnitude）和方向的量。
它可以形象化地表示为带箭头的线段。
箭头所指：代表向量的方向；线段长度：代表向量的大小。
与向量对应的量叫做数量（物理学中称标量），数量（或标量）只有大小，没有方向。
向量的记法：印刷体记作黑体（粗体）的字母（如a、b、u、v），书写时在字母顶上加一小箭头“→”。
如果给定向量的起点（A）和终点（B），可将向量记作AB（并于顶上加→）。
在空间直角坐标系中，也能把向量以数对形式表示，例如xOy平面中(2,3)是一向量。
在物理学和工程学中，几何向量更常被称为矢量。
许多物理量都是矢量，比如一个物体的位移，球撞向墙而对其施加的力等等。
与之相对的是标量，即只有大小而没有方向的量。
一些与向量有关的定义亦与物理概念有密切的联系，例如向量势对应于物理中的势能。
几何向量的概念在线性代数中经由抽象化，得到更一般的向量概念。
此处向量定义为向量空间的元素，要注意这些抽象意义上的向量不一定以数对表示，大小和方向的概念亦不一定适用。
因此，平日阅读时需按照语境来区分文中所说的"向量"是哪一种概念。
不过，依然可以找出一个向量空间的基来设置坐标系，也可以透过选取恰当的定义，在向量空间上介定范数和内积，这允许我们把抽象意义上的向量类比为具体的几何向量。
向量的几何表示向量可以用有向线段来表示。
有向线段的长度表示向量的大小，向量的大小，也就是向量的长度。
长度为0的向量叫做零向量，记作长度等于1个单位的向量，叫做单位向量。
箭头所指的方向表示向量的方向。
平面向量平行四边形法则
平面向量平行四边形法则首先，我们定义平面向量为具有大小和方向的箭头。
一个平面向量可以用坐标表示为(x,y)，其中x表示向量在x轴上的分量，y表示向量在y 轴上的分量。
两个向量可以用平行四边形法则进行运算，包括加法、减法和数乘。
平面向量的加法可以使用平行四边形法则来描述。
假设有两个向量a 和b，它们的起点相同，分别指向A和B。
首先，在A点处画一条与向量b平行且长度等于向量b的线段，连接B点和该线段的终点C。
接下来，连接A和C，得到一个平行四边形。
这条连接线段AC表示向量a加上向量b的结果，即a+b。
用公式表示为：AC=a+b向量的减法也可以通过平行四边形法则来计算。
假设有两个向量a和b，它们的起点相同，分别指向A和B。
我们可以将向量b取负并标记为-b，然后使用向量加法来计算两个向量的差。
即：AC=a+(-b)这样我们就得到了向量a减去向量b的结果，可以表示为a-b。
这个结果就是连接A和C的线段AC。
除了加法和减法，平面向量还可以进行数乘运算，即一个向量乘以一个标量。
数乘也可以通过平行四边形法则来进行计算。
假设有一个向量a 和一个标量k，我们可以通过将向量a的长度按比例缩放k倍来计算数乘的结果。
即：AC=k*a这样我们就得到了原向量a的长度增加或缩小k倍的新向量AC。
为了证明平面向量的平行四边形法则，我们可以使用数学中的向量运算定律。
我们首先考虑两个向量相加的情况。
根据表示向量的坐标形式，我们可以将两个向量a=(x1,y1)和b=(x2,y2)相加，并对它们的x和y分量分别进行求和。
即：a+b=(x1+x2,y1+y2)这个结果的坐标表示为AC=(x1+x2,y1+y2)，根据平行四边形法则，我们可以得到向量a和向量b的和。
然后，我们考虑向量的减法情况。
根据向量的坐标表示和向量加法的性质，我们可以将向量的减法转化为向量的加法，并使用一个取相反数的向量进行计算。
即：a-b=a+(-b)=(x1,y1)+(-x2,-y2)=(x1-x2,y1-y2)同样，根据平行四边形法则，我们可以得到向量a减去向量b的结果。
矢量平行四边形法则
矢量平行四边形法则矢量平行四边形法则是向量的一个重要性质，它在数学和物理学中有着广泛的应用。
矢量平行四边形法则可以帮助我们理解向量的加法和减法，以及向量的线性组合。
在本文中，我们将深入探讨矢量平行四边形法则的原理和应用。
矢量是一个有大小和方向的量，它可以用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
向量的平行四边形法则是指两个向量的和向量的大小和方向可以用一个平行四边形来表示。
具体来说，如果有两个向量a和b，它们的和向量可以表示为a+b，它的大小等于两个向量的大小之和，它的方向与两个向量的方向相同。
矢量平行四边形法则可以用图形来表示。
假设有两个向量a和b，它们的起点都放在原点O上，然后将向量a的终点与向量b的起点相连，将向量b的终点与向量a的起点相连，这样就构成了一个平行四边形。
平行四边形的对角线就是向量a和向量b的和向量a+b，它的大小和方向可以由平行四边形的对角线来确定。
矢量平行四边形法则的原理非常简单，但是它在实际应用中有着重要的意义。
首先，矢量平行四边形法则可以帮助我们理解向量的加法。
在平行四边形中，向量a和向量b的和向量a+b的大小等于平行四边形的对角线的长度，它的方向等于平行四边形的对角线的方向。
这样我们就可以通过平行四边形来直观地理解向量的加法。
其次，矢量平行四边形法则也可以帮助我们理解向量的减法。
向量的减法可以看作是向量的加法的逆运算，即a-b等于a+(-b)，其中-b是向量b的反向量。
通过平行四边形法则，我们可以直观地理解向量的减法，即将向量b取反向量-b，然后进行向量的加法操作。
此外，矢量平行四边形法则还可以帮助我们理解向量的线性组合。
线性组合是指将若干个向量按照一定的比例相加的操作，例如ca+db，其中c和d是标量。
通过平行四边形法则，我们可以直观地理解线性组合的意义，即将向量a和向量b分别按照比例c和d进行放缩，然后相加得到线性组合的结果。
矢量平行四边形法则在物理学中有着广泛的应用。
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2
2 a b cos ，所以：
cos 0 ，但是，有可能 cos 1 ，即向量 a 、 b 、 a b 同向
8.
uuu uuur r 在 ABC 中， M 为边 AB 的中点， OP ∥ OM ， 点 若 且 uur u uur uur u y 则 1 ． OP xOA yOB( x 0) ， x
B. 2
C. 2
D. 4
已 知 A 3 , 0 ， B 0 , 3 ， O 为 坐 标 原 点 ， 点 C 在 AOB 内 ， 且
AOC 60 ，设 OC OA OB ，则实数 等于
1 3
6. 7.
3 非零向量 a 、 b 的夹角为 60 0 ， a 1 ， a b 的最小值为 且 则 2
1 向量 a ， b ， c 为单位向量， a b ， c x a y b ， x y 且 求 2
9.
B C
B y C
A
A x
2
向量的平行四边形法则运用
1.
1 已知点 P 是△ABC 所在平面上一点，且 AP AB t AC ， t 为 3
2 实数， 若点 P 在△ABC 内部 （不包括边界）则 t 的取值范围为 0 , ， 3
2.
已知平面向量 a ， b 满足 | a | 1 ， | b | 2 ，且 (a b) a ，则 a 与 b 的
若非零向量 a 、 b 满足 a b b ，则下列各式正确的是 ① 向量 a 、 b 的夹角恒为锐角 ，
② 2 | b |2 ＞ a b
③
③ b ｜＞｜ a 一 2 b ｜； ｜2
④ a ｜＜｜2 a 一角是
5 2 B． C． D． 3 6 3 在 ABC 中， M 是 BC 的中点， AM 3 ，点 P 在 AM 上，且满足 AP 2PM ，则 PA (PB PC) 的值为
A．
3.
A. 4 4. 5.