三角形中的主要线段
自主学习检测
5．如图，AE是△ABC的中线．已知EC＝8，DE＝3，则BD的长为( D ) A．2 B．3 C．4 D．5
自主学习检测
6、如图，在ΔABC中，AE是中线，AD是角平分线，AF是高。填空：
（1）BE= CE=1 BC ；
2
（2）∠BAD=∠__C_AD = 1 ∠__BAC ；
A
2
在图中，AT是∠BAC的平分线，那么线
A
段AT是△ABC的角平分线，所以有
∠BAT=∠CAT= 1 ∠BAC. 2
B
T
C
三角形的三条角平分线是否交于一点？动手试一试.
探索
归纳：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且交于一点.
新知讲解
由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足间的线段叫 做三角形的高线，简称三角形的高.
2 B
A
D
C
探索
在一块质地均匀的三角形硬纸板上，画出它的三条中线.观察这三条中线是否交于 一点.如果这三条中线交于一点，用笔尖托住这个交点，观察硬纸板能否保持平衡.
A
F
E
B
D
C
从图可以看出，一个三角形的三条中线交于一点，这个点叫做三角形的重心.
新知讲解
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之 间的线段，叫做这个三角形的角平分线.
随堂检测
4、如图，已知△ABC，根据要求画图： (1)画BC边上的高； (2)画∠C的角平分线； (3)将△ABC分成面积相等的两部分．
解：如图，(1)线段AD即为所求； (2)CE即为∠ACB的平分线； (3)中线BF将△ABC分成面积相等的两部分(此问答案不唯一).
三角形中的主要线段
学习目标 1 了解三角形的高、中线、角平分线等有关概念。 2 会用工具准确画出三角形的高线、中线与角平分线。
自主学习检测
1、由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足间的线段叫做三 角形的_高__线___，简称三角形的__高__. 2、在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段,叫做这个三角形的中___线__. 3、在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之间的 线段，叫做这个三角形的___角__平__分__线____. 4、一个三角形的三条中线相交于一点，这个点叫做三角形的_重__心____．
在图中，AH⊥BC于H,那么线段AH是
A
△ABC的高，所以有
∠AHB=∠AHC=90°.
B
H
C
探索
形状不同的三角形中，垂足H的位置有什么不同？
A
A
A
B
CB
C
B
C
探索
三角形的三条高(或所在的直线)交于一点吗？ 锐角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高交于一点，交点与直角顶点重合； 钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，交点在三角形的外部.
随堂检测
1、下列各组图形中，哪一组图形中AD是△ABC 的高( D )
C
A
D
C
B (A)
D
B
A (B)
C
B
A
D
(C)
2、如果一个三角形的三条高的交点恰是三角形的一个顶点，
那么这个三角形是（ B形
C.钝角三角形
D.锐角三角形
B C D (D) A
随堂检测
3．如图，D是BC的中点，E是AC的中点．点S△ADE＝2，则S△ADC＝ 4 ．
（3）∠AFB=_∠_A__FC =90°；
C
EDF
B
情境导入
与三角形有关的线段，除了三条边，还有我们已经学过的三角形 的高.还有什么线段呢？
新知讲解
在三角形中，连接一个顶点和它的对边中点的线段,叫做这个三角形的中线.
在图中，D是BC中点，那么线段AD是BC边上的中线. 在图中，AD=CD=1 BC.
三角形中的主要线段-
⑵
AD、AE分别是△ABC的 BC边上的中线，△ABD的 周长比△ADC的周长多3cm， AB=5，求AC的长以及 △ABD与△ADC的面积关系.
⑶在△ABC中,AB=AC,AC边上
的中线BD把三角形的周长分 为12cm和15cm的两部分，求 三角形的各边.
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C
C
C
AD是三个三角形的高,这些三角形也叫做共 高三角形 AD是△ABC、△ABD和△ACD的高
A
B
C
D
随堂练习
1.三角形的三条高线中（ ） A.最多有一条在三角形的内部 B.至少有一条在三角形的内部 C.每一条都在三角形的内部 D.每一条都在三角形的外部
2.如果一个三角形的三条高线的交点恰是一 个三角形的顶点，那么这个三角形是（ ） A.锐角三角形 B. 直角三角形 C.钝角三角形 D.以上答案都不对
3.钝角三角形的高在三角形外的数目有（ ） A.0 B.1 C.2 D.3
4.三角形一边上的中线把原三角形分成两个（ A.形状相同的三角形 B. 面积相等的三角形 C.直角三角形 D. 周长相等的三角形
）
提高题
⑴在△ABC中,
AD是BC边上的中线， △ADC的周长比△ABD的周长多 3cm，AB与AC的和11cm，求AB的 边.
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地.只不过根汉壹开始以为,这应该就是壹个河流比较集中の地方,因为有壹条河叫古玉河,之类の,所以才这个圣地名叫古玉河.可是没想到,这整个圣地,就是壹条河.而
八年级数学上册《三角形中的主要线段》教案、教学设计
针对以上学情，本章节教学应注重分层教学，关注学生个体差异，充分激发学生的学习兴趣，提高其合作学习能力，使学生在掌握三角形主要线段知识的同时，提高数学素养。
三、教学重难点和教学设想
（一）教学重难点
1.理解并掌握三角形中主要线段（中线、高线、角平分线）的定义及其性质。
（3）选做题和创新与实践题目可根据个人兴趣和能力选择完成，旨在培养学生的探究精神和团队合作能力。
（二）讲授新知，500字
1.教师介绍三角形的中线、高线、角平分线的定义，并通过动态演示和静态图示相结合的方式，让学生直观地理解这些线段的特点。
2.引导学生探索三角形中线、高线、角平分线的性质，如中线将三角形分成面积相等的两个部分，高线与底边垂直，角平分线将角平分等。
3.教师通过具体例题，讲解如何利用三角形的主要线段求解几何问题，并强调解题过程中的注意事项。
5.重视数学思想的渗透，提高学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
四、教学内容与过程
（一）导入新课，500字
1.教师通过展示生活中常见的三角形物体，如三角形的警示牌、自行车三角架等，引导学生思考这些三角形物体的稳定性与三角形的主要线段有何关系。
2.学生观察、讨论后，教师提出问题：“三角形中除了边长外，还有哪些重要的线段？这些线段有何作用？”从而引出本节课的主题：三角形中的主要线段。
4.引导学生总结解题方法，培养学生的概括能力和逻辑思维能力。
（三）情感态度与价值观
1.培养学生对数学学习的兴趣，激发学生的学习积极性，使其主动投入到三角形相关知识的学习中。
2.培养学生的空间想象能力和直观感知能力，使其能够从几何角度认识和理解世界。
三角形中的三种重要线段
03
确定角平分线
中垂线与三角形的一边和 相对的角平分线垂直，因 此可以利用中垂线来确定 三角形的角平分线。
确定高线
中垂线与三角形的一边垂 直，因此可以利用中垂线 来确定三角形的高线。
确定中点
中垂线与三角形的一边平 行，因此可以利用中垂线 来确定三角形的中点。
中垂线的性质
垂直平分线的性质
中垂线是三角形一边的垂直平分线，因此它具有垂直平分线的性质，即中垂线上的点到 三角形的两个端点的距离相等。
三角形中的三种重要线段
contents
目录
• 三角形中的中线 • 三角形中的高线 • 三角形中的角平分线 • 三角形中的中位线 • 三角形中的中垂线
01
三角形中的中线
中线的定义
总结词
三角形中线的定义是连接三角形的一 个顶点与对边中点的线段。
详细描述
在三角形中，中线是连接一个顶点与 对边中点的线段。对于任意一个顶点 ，都可以作出一条中线，且该中线将 对应的底边分为两等分。
中线在三角形中的作用
总结词
中线在三角形中起到稳定结构、简化图形和辅助证明等作用。
详细描述
中线在三角形中具有多重作用。首先，它有助于稳定三角形的结构，因为中线将底边分为两等分，使得三角形的 形状更加稳定。其次，中线可以简化复杂的几何图形，通过将图形划分为更易于处理的部分，有助于问题的解决。 此外，中线还常常作为辅助线用于证明三角形中的一些性质和定理。
中线的性质
要点一
总结词
中线具有平行于第三边、长度为第三边一半等性质。
要点二
详细描述
根据中线的定义和性质，我们可以得出以下几点：首先， 中线平行于三角形的第三边，即中线与对应的底边平行； 其次，中线的长度是第三边长度的一半，即中线的长度等 于$frac{1}{2}$倍的底边长度；最后，中线将对应的底边分 为两等分，即中点是底边的中点。这些性质在几何证明和 解题过程中具有广泛应用。
三角形中的三条重要线段
三角形中的三条重要线段
角平分线
中线
高
探究新知：
一、三角形的角平分线：A B C D
三角形中，一个角的平分线与这个角
的对边相交，顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线；
思考：1.用几何符号语言描述三角形的角平分线定义；2.三角形的角平分线与角平分线有何区别、联系？3.一个三角形有几条角平分线？它们有何特征？
E F
12
二、三角形的中线：A B
C D 三角形中，连接一个顶点与对边中点的线段叫做三角形的中线；
思考：1.用几何符号语言描述三角形的中线定义；
2.三角形的中线与线段的中点有何区别、联系？
3.一个三角形有几条中线？它们有何特征？F E 三角形的“重心”
三、三角形的高：A B C 从三角形的一个顶点到它对边所在
直线的垂线段叫做三角形的高；
D
E
F
A
B C D A B C
D E F 三角形的“垂心”
四、几何中的“定义”：
能明确界定某个对象含义的语句叫做定义
定义既可看作“性质”又可以看作“判定”
它可以作为推理的依据。
应用新知：
例.如图，在△ABC中，∠B=50°，∠C=70°，AD、AE分别为△ABC的角平分线和高，求∠DAE的度数。
A
50°70°
B C
D E
如图是一块三角形空地，现欲将其绿化，拟从点A出发，将△ABC分成面积相等的两个三角形，以便种上两种不同的花草，请你帮助设计符合要求的图案。
A
B C
D。
人教版2020年九年级中考数学一轮复习 第15讲 三角形(有答案)
第十五节三角形【知识点梳理】一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点间的线段叫做。
（2）在三角形中，连接一个顶点和它对边的中点的线段叫做。
（3）从三角形一个顶点向它的对边做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做（简称）。
2．三角形的中位线三角形的中位线平行于，并且等于．3.三角形的三边关系定理及推论三角形三边关系：任意两边之和第三边；任意两边之差第三边．4、三角形的内角和定理及推论1．三角形内角和：三角形三内角之和等于．2．三角形外角的性质：(1)三角形的一个外角任何一个和它不相邻的内角；(2)三角形的一个外角与它不相邻的两内角之和．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为和等腰三角形；等腰三角形又分为及 .(2)按角分：三角形和斜三角形；斜三角形又分为：和 .答案：一、三角形1、三角形中的主要线段（1）三角形的角平分线。
（2）三角形的中线。
（3）三角形的高线（简称三角形的高）。
2．三角形的中位线：三角形的第三边，并且等于第三边长的一半．3.三角形的三边关系定理及推论：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边．4、三角形的内角和定理及推论1． 180°．2．三角形外角的性质：(1)大于；(2)等于．1．三角形的分类：(1)按边分：三角形分为不等边三角形和等腰三角形；等腰三角形又分为底和腰不等的三角形及等边三角形.(2)按角分：三角形直角三角形和斜三角形；斜三角形又分为：锐角三角形和钝角三角形.【课堂练习】一．选择题（共9小题）1．三角形的下列线段中能将三角形的面积分成相等两部分的是（）A．中线B．角平分线C．高D．中位线【考点】K3：三角形的面积；K2：三角形的角平分线、中线和高．【分析】根据等底等高的三角形的面积相等解答．【解答】解：∵三角形的中线把三角形分成两个等底同高的三角形，∴三角形的中线将三角形的面积分成相等两部分．故选A．2．如图，△ABC中，D，E两点分别在AB，BC上，若AD：DB=CE：EB=2：3，则△DBE与△ADC的面积比为（）A．3：5 B．4：5 C．9：10 D．15：16【考点】K3：三角形的面积．【分析】根据三角形面积求法进而得出S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，即可得出答案．【解答】解：∵AD：DB=CE：EB=2：3，∴S△BDC：S△ADC=3：2，S△BDE：S△DCE=3：2，∴设S△BDC=3x，则S△ADC=2x，S△BED=1.8x，S△DCE=1.2x，故△DBE与△ADC的面积比为：1.8x：2x=9：10．故选：C．3．如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6，点P是Rt△ABC的重心，则点P到AB所在直线的距离等于（）A．1 B．3C．32D．2【考点】K5：三角形的重心；KW：等腰直角三角形．【分析】连接CP并延长，交AB于D，根据重心的性质得到CD是△ABC的中线，PD=CD，根据直角三角形的性质求出CD，计算即可．【解答】解：连接CP并延长，交AB于D，∵P是Rt△ABC的重心，∴CD是△ABC的中线，PD=CD，∵∠C=90°，∴CD=AB=3，∵AC=BC，CD是△ABC的中线，∴CD⊥AB，∴PD=1，即点P到AB所在直线的距离等于1，故选：A．4．三角形的重心是（）A．三角形三条边上中线的交点B．三角形三条边上高线的交点C．三角形三条边垂直平分线的交点D．三角形三条内角平行线的交点【考点】K5：三角形的重心．【分析】根据三角形的重心是三条中线的交点解答．【解答】解：三角形的重心是三条中线的交点，故选：A．5．如图，直角△ABC中，∠B=30°，点O是△ABC的重心，连接CO并延长交AB于点E，过点E作EF⊥AB交BC于点F，连接AF交CE于点M，则MOMF的值为（）A．12B．54C．23D．33【考点】K5：三角形的重心；S9：相似三角形的判定与性质．【分析】根据三角形的重心性质可得OC=CE，根据直角三角形的性质可得CE=AE，根据等边三角形的判定和性质得到CM=CE，进一步得到OM=CE，即OM=AE，根据垂直平分线的性质和含30°的直角三角形的性质可得EF=AE，MF=EF，依此得到MF=AE，从而得到的值．【解答】解：∵点O是△ABC的重心，∴OC=CE，∵△ABC是直角三角形，∴CE=BE=AE，∵∠B=30°，∴∠FAE=∠B=30°，∠BAC=60°，∴∠FAE=∠CAF=30°，△ACE是等边三角形，∴CM=CE，∴OM=CE﹣CE=CE，即OM=AE，∵BE=AE，∴EF=AE，∵EF⊥AB，∴∠AFE=60°，∴∠FEM=30°，∴MF=EF，∴MF=AE，∴==．故选：D．6．长度分别为2，7，x的三条线段能组成一个三角形，x的值可以是（）A．4 B．5 C．6 D．9【考点】K6：三角形三边关系．【分析】已知三角形的两边长分别为2和7，根据在三角形中任意两边之和＞第三边，任意两边之差＜第三边；即可求第三边长的范围，再结合选项选择符合条件的．【解答】解：由三角形三边关系定理得7﹣2＜x＜7+2，即5＜x＜9．因此，本题的第三边应满足5＜x＜9，把各项代入不等式符合的即为答案．4，5，9都不符合不等式5＜x＜9，只有6符合不等式，故选：C．7．已知a，b，c是△ABC的三条边长，化简|a+b﹣c|﹣|c﹣a﹣b|的结果为（）A．2a+2b﹣2c B．2a+2b C．2c D．0【考点】K6：三角形三边关系．【分析】先根据三角形的三边关系判断出a﹣b﹣c与c﹣b+a的符号，再去绝对值符号，合并同类项即可．【解答】解：∵a、b、c为△ABC的三条边长，∴a+b﹣c＞0，c﹣a﹣b＜0，∴原式=a+b﹣c+（c﹣a﹣b）=0．故选D．8．若一个三角形的两边长分别为2和4，则该三角形的周长可能是（）A．6 B．7 C．11 D．12【考点】K6：三角形三边关系．【分析】首先求出三角形第三边的取值范围，进而求出三角形的周长取值范围，据此求出答案．【解答】解：设第三边的长为x，∵三角形两边的长分别是2和4，∴4﹣2＜x＜2+4，即2＜x＜6．则三角形的周长：8＜C＜12，C选项11符合题意，故选C．9．如图，在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，DE∥BC．若∠A=62°，∠AED=54°，则∠B的大小为（）A．54°B．62°C．64°D．74°【考点】K7：三角形内角和定理；JA：平行线的性质．【分析】根据平行线的性质得到∠C=∠AED=54°，根据三角形的内角和即可得到结论．【解答】解：∵DE∥BC，∴∠C=∠AED=54°，∵∠A=62°，∴∠B=180°﹣∠A﹣∠C=64°，故选C．二．填空题（共5小题）10．在△ABC中，已知BD和CE分别是边AC、AB上的中线，且BD⊥CE，垂足为O．若OD=2cm，OE=4cm，则线段AO的长度为cm．【考点】K5：三角形的重心；KQ：勾股定理．【分析】连接AO并延长，交BC于H，根据勾股定理求出DE，根据三角形中位线定理求出BC，根据直角三角形的性质求出OH，根据重心的性质解答．【解答】解：连接AO并延长，交BC于H，由勾股定理得，DE==2，∵BD和CE分别是边AC、AB上的中线，∴BC=2DE=4，O是△ABC的重心，∴AH是中线，又BD⊥CE，∴OH=BC=2，∵O是△ABC的重心，∴AO=2OH=4，故答案为：4．11．在△ABC中，∠A：∠B：∠C=2：3：4，则∠A的度数为．【考点】K7：三角形内角和定理．【分析】直接用一个未知数表示出∠A，∠B，∠C的度数，再利用三角形内角和定理得出答案．【解答】解：∵∠A：∠B：∠C=2：3：4，∵∠A+∠B+∠C=180°，∴2x+3x+4x=180°，解得：x=20°，∴∠A的度数为：40°．故答案为：40°．12．如图，BC∥EF，AC∥DF，添加一个条件，使得△ABC≌△DEF．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】本题要判定△ABC≌△DEF，易证∠A=∠EDF，∠ABC=∠E，故添加AB=DE、BC=EF或AC=DF根据ASA、AAS即可解题．【解答】解：∵BC∥EF，∴∠ABC=∠E，∵AC∥DF，∴∠A=∠EDF，∵在△ABC和△DEF中，，∴△ABC≌△DEF，同理，BC=EF或AC=DF也可证△ABC≌△DEF．故答案为AB=DE或BC=EF或AC=DF或AD=BE（只需添加一个即可）．13．如图，在四边形ABCD中，AB=AD，CB=CD，对角线AC，BD相交于点O，下列结论中：①∠ABC=∠ADC；②AC与BD相互平分；③AC，BD分别平分四边形ABCD的两组对角；④四边形ABCD的面积S=12 AC•BD．正确的是（填写所有正确结论的序号）【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】①证明△ABC≌△ADC，可作判断；②③由于AB与BC不一定相等，则可知此两个选项不一定正确；④根据面积和求四边形的面积即可．【解答】解：①在△ABC和△ADC中，∵，∴△ABC≌△ADC（SSS），∴∠ABC=∠ADC，故①结论正确；②∵△ABC≌△ADC，∴∠BAC=∠DAC，∵AB=AD，∴OB=OD，AC⊥BD，而AB与BC不一定相等，所以AO与OC不一定相等，故②结论不正确；而AB与BC不一定相等，所以BD不一定平分四边形ABCD的对角；故③结论不正确；④∵AC⊥BD，∴四边形ABCD的面积S=S△ABD+S△BCD=BD•AO+BD•CO=BD•（AO+CO）=AC•BD．故④结论正确；所以正确的有：①④；故答案为：①④．14．如图，∠AOB=45°，点M，N在边OA上，OM=x，ON=x+4，点P是边OB上的点，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是．【考点】KI：等腰三角形的判定．【分析】分三种情况讨论：先确定特殊位置时成立的x值，①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，构建腰长为4的等腰直角△OMC，和半径为4的⊙M，发现M在点D的位置时，满足条件；③如图3，根据等腰三角形三种情况的画法：分别以M、N为圆心，以MN为半径画弧，与OB的交点就是满足条件的点P，再以MN为底边的等腰三角形，通过画图发现，无论x取何值，以MN为底边的等腰三角形都存在一个，所以只要满足以MN为腰的三角形有两个即可．【解答】解：分三种情况：①如图1，当M与O重合时，即x=0时，点P恰好有三个；②如图2，以M为圆心，以4为半径画圆，当⊙M与OB相切时，设切点为C，⊙M与OA交于D，∴MC⊥OB，∵∠AOB=45°，∴△MCO是等腰直角三角形，∴MC=OC=4，∴OM=4，当M与D重合时，即x=OM﹣DM=4﹣4时，同理可知：点P恰好有三个；③如图3，取OM=4，以M为圆心，以OM为半径画圆，则⊙M与OB除了O外只有一个交点，此时x=4，即以∠PMN为顶角，MN为腰，符合条件的点P有一个，以N圆心，以MN为半径画圆，与直线OB相离，说明此时以∠PNM为顶角，以MN为腰，符合条件的点P不存在，还有一个是以NM为底边的符合条件的点P；点M沿OA运动，到M1时，发现⊙M1与直线OB有一个交点；综上所述，若使点P，M，N构成等腰三角形的点P恰好有三个，则x的值是：x=0或x=4﹣4或4．故答案为：x=0或x=4﹣4或4．三．解答题（共9小题）15．如图，点E，F在AB上，AD=BC，∠A=∠B，AE=BF．求证：△ADF≌△BCE．【考点】KB：全等三角形的判定．【分析】根据全等三角形的判定即可求证：△ADF≌△BCE【解答】解：∵AE=BF，∴AE+EF=BF+EF，在△ADF与△BCE中，∴△ADF≌△BCE（SAS）16．如图，点E、F在BC上，BE=FC，AB=DC，∠B=∠C．求证：∠A=∠D．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】可通过证△ABF≌△DCE，来得出∠A=∠D的结论．【解答】证明：∵BE=FC，∴BE+EF=CF+EF，即BF=CE；又∵AB=DC，∠B=∠C，∴△ABF≌△DCE；（SAS）17．如图，已知AB∥DE，AB=DE，BE=CF，求证：AC∥DF．【考点】KD：全等三角形的判定与性质．【分析】首先由BE=CF可以得到BC=EF，然后利用边角边证明△ABC≌△DEF，最后利用全等三角形的性质和平行线的判定即可解决问题．【解答】证明：∵AB∥CD，∴∠ABC=∠DEF，又∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即：BC=EF，在△ABC和△DEF中∴△ABC≌△DEF（SAS），∴∠ACB=∠DFE，∴AC∥DF．18．已知：△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，连接AE，BD交于点O，AE与DC交于点M，BD与AC交于点N．（1）如图1，求证：AE=BD；（2）如图2，若AC=DC，在不添加任何辅助线的情况下，请直接写出图2中四对全等的直角三角形．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）根据全等三角形的性质即可求证△ACE≌△BCD，从而可知AE=BD；（2）根据条件即可判断图中的全等直角三角形；【解答】解：（1）∵△ACB和△DCE都是等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，∴AC=BC，DC=EC，∴∠ACB+∠ACD=∠DCE+∠ACD，∴∠BCD=∠ACE，在△ACE与△BCD中，∴△ACE≌△BCD（SAS），∴AE=BD，（2）∵AC=DC，∴AC=CD=EC=CB，△ACB≌△DCE（SAS）；由（1）可知：∠AEC=∠BDC，∠EAC=∠DBC∴∠DOM=90°，∵∠AEC=∠CAE=∠CBD，∴△EMC≌△BCN（ASA），∴CM=CN，∴DM=AN，△AON≌△DOM（AAS），∵DE=AB，AO=DO，∴△AOB≌△DOE（HL）19．如图，△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点E是AC上一点，连接BE．（1）如图1，若AB=4，BE=5，求AE的长；（2）如图2，点D是线段BE延长线上一点，过点A作AF⊥BD于点F，连接CD、CF，当AF=DF时，求证：DC=BC．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KQ：勾股定理．【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到AC=BC=AB=4，根据勾股定理得到CE==3，于是得到结论；（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=45°，由于∠AFB=∠ACB=90°，推出A，F，C，B四点共圆，根据圆周角定理得到∠CFB=∠CAB=45°，求得∠DFC=∠AFC=135°，根据全等三角形的性质即可得到结论．【解答】解：（1）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴AC=BC=AB=4，∵BE=5，∴CE==3，∴AE=4﹣3=1；（2）∵∠ACB=90°，AC=BC，∴∠CAB=45°，∵AF⊥BD，∴∠AFB=∠ACB=90°，∴A，F，C，B四点共圆，∴∠CFB=∠CAB=45°，∴∠DFC=∠AFC=135°，在△ACF与△DCF中，，∴△ACF≌△DCF，∴CD=AC，∵AC=BC，∴AC=BC．20．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是线段BC上一动点（与点B、C不重合），连接AP，延长BC至点Q，使得CQ=CP，过点Q作QH⊥AP于点H，交AB于点M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大小（用含α的式子表示）．（2）用等式表示线段MB与PQ之间的数量关系，并证明．【考点】KD：全等三角形的判定与性质；KW：等腰直角三角形．【分析】（1）由等腰直角三角形的性质得出∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，由直角三角形的性质即可得出结论；（2）连接AQ，作ME⊥QB，由AAS证明△APC≌△QME，得出PC=ME，△MEB是等腰直角三角形，由等腰直角三角形的性质即可得出结论．【解答】解：（1）∠AMQ=45°+α；理由如下：∵∠PAC=α，△ACB是等腰直角三角形，∴∠BAC=∠B=45°，∠PAB=45°﹣α，∵QH⊥AP，∴∠AHM=90°，∴∠AMQ=180°﹣∠AHM﹣∠PAB=45°+α；（2）PQ=MB；理由如下：连接AQ，作ME⊥QB，如图所示：∵AC⊥QP，CQ=CP，∴∠QAC=∠PAC=α，∴∠QAM=45°+α=∠AMQ，∴AP=AQ=QM，在△APC和△QME中，，∴△APC≌△QME（AAS），∴PC=ME，∴△MEB是等腰直角三角形，∴PQ=MB，∴PQ=MB．21．如图，已知等腰三角形ABC中，AB=AC，点D、E分别在边AB、AC上，且AD=AE，连接BE、CD，交于点F．（1）判断∠ABE与∠ACD的数量关系，并说明理由；（2）求证：过点A、F的直线垂直平分线段BC．【考点】KH：等腰三角形的性质；KG：线段垂直平分线的性质．【分析】（1）证得△ABE≌△ACD后利用全等三角形的对应角相等即可证得结论；（2）利用垂直平分线段的性质即可证得结论．【解答】解：（1）∠ABE=∠ACD；在△ABE和△ACD中，，∴△ABE≌△ACD，∴∠ABE=∠ACD；（2）∵AB=AC，∴∠ABC=∠ACB，由（1）可知∠ABE=∠ACD，∴∠FBC=∠FCB，∴FB=FC，∵AB=AC，∴点A、F均在线段BC的垂直平分线上，即直线AF垂直平分线段BC．22．如图，直角△ABC中，∠A为直角，AB=6，AC=8．点P，Q，R分别在AB，BC，CA边上同时开始作匀速运动，2秒后三个点同时停止运动，点P由点A出发以每秒3个单位的速度向点B运动，点Q由点B出发以每秒5个单位的速度向点C运动，点R由点C出发以每秒4个单位的速度向点A运动，在运动过程中：（1）求证：△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）求△PQR面积的最小值；（3）用t（秒）（0≤t≤2）表示运动时间，是否存在t，使∠PQR=90°？若存在，请直接写出t的值；若不存在，请说明理由．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）先利用锐角三角函数表示出QE=4t，QD=3（2﹣t），再由运动得出AP=3t，CR=4t，BP=3（2﹣t），AR=4（2﹣t），最后用三角形的面积公式即可得出结论；（2）借助（1）得出的结论，利用面积差得出S△PQR=18（t﹣1）2+6，即可得出结论；（3）先判断出∠DQR=∠EQP，用此两角的正切值建立方程求解即可．【解答】解：（1）如图，在Rt△ABC中，AB=6，AC=8，根据勾股定理得，BC=10，sin∠B===，sin∠C=，过点Q作QE⊥AB于E，在Rt△BQE中，BQ=5t，∴sin∠B==，∴QE=4t，过点Q作QD⊥AC于D，在Rt△CDQ中，CQ=BC﹣BQ=10﹣5t，∴QD=CQ•sin∠C=（10﹣5t）=3（2﹣t），由运动知，AP=3t，CR=4t，∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），∴S△APR=AP•AR=×3t×4（2﹣t）=6t（2﹣t），S△BPQ=BP•QE=×3（2﹣t）×4t=6t（2﹣t），S△CQR=CR•QD=×4t×3（2﹣t）=6t（2﹣t），∴S△APR=S△BPQ=S△CQR，∴△APR，△BPQ，△CQR的面积相等；（2）由（1）知，S△APR=S△BPQ=S△CQR=6t（2﹣t），∵AB=6，AC=8，∴S△PQR=S△ABC﹣（S△APR+S△BPQ+S△CQR）=×6×8﹣3×6t（2﹣t）=24﹣18（2t﹣t2）=18（t﹣1）2+6，∵0≤t≤2，∴当t=1时，S△PQR最小=6；（3）存在，由（1）知，QE=4t，QD=3（2﹣t），AP=3t，CR=4t，AR=4（2﹣t），∴BP=AB﹣AP=6﹣3t=3（2﹣t），AR=AC﹣CR=8﹣4t=4（2﹣t），过点Q作QD⊥AC于D，作QE⊥AB于E，∵∠A=90°，∴四边形APQD是矩形，∴AE=DQ=3（2﹣t），AD=QE=4t，∴DR=|AD﹣AR|=|4t﹣4（2﹣t）|=|4（2t﹣2）|，PE=|AP﹣AE|=|3t﹣3（2﹣t）|=|3（2t﹣2）|∵∠DQE=90°，∠PQR=90°，∴∠DQR=∠EQP，∴tan∠DQR=tan∠EQP，在Rt△DQR中，tan∠DQR==，在Rt△EQP中，tan∠EQP==，∴，∴16t=9（2﹣t），∴t=．23．如图1，在△ABC中，设∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，过点A作AD⊥BC，垂足为D，会有sin∠C=，则S△ABC=BC×AD=×BC×ACsin∠C=absin∠C，即S△ABC=absin∠C同理S△ABC=bcsin∠AS△ABC=acsin∠B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理﹣余弦定理：如图2，在△ABC中，若∠A、∠B、∠C的对边分别为a，b，c，则a2=b2+c2﹣2bccos∠Ab2=a2+c2﹣2accos∠Bc2=a2+b2﹣2abcos∠C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：（1）如图3，在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8．求S△DEF和DE2．解：S△DEF=EF×DFsin∠F=；DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=．（2）如图4，在△ABC中，已知AC＞BC，∠C=60°，△ABC'、△BCA'、△ACB'分别是以AB、BC、AC为边长的等边三角形，设△ABC、△ABC'、△BCA'、△ACB'的面积分别为S1、S2、S3、S4，求证：S1+S2=S3+S4．【考点】KY：三角形综合题．【分析】（1）直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；（2）方法1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S1，S2，S3，S4，最后用余弦定理即可得出结论．【解答】解：（1）在△DEF中，∠F=60°，∠D、∠E的对边分别是3和8，∴EF=3，DF=8，∴S△DEF=EF×DFsin∠F=×3×8×sin60°=6，DE2=EF2+DF2﹣2EF×DFcos∠F=32+82﹣2×3×8×cos60°=49，故答案为：6，49；（2）证明：方法1，∵∠ACB=60°，∴AB2=AC2+BC2﹣2AC•BCcos60°=AC2+BC2﹣AC•BC，两边同时乘以sin60°得，AB2sin60°=AC2sin60°+BC2sin60°﹣AC•BCsin60°，∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S1=AC•BCsin60°，S2=AB2sin60°，S3=BC2sin60°，S4=AC2sin60°，∴S2=S4+S3﹣S1，∴S1+S2=S3+S4，方法2、令∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，∴S1=absin∠C=absin60°=ab∵△ABC'，△BCA'，△ACB'是等边三角形，∴S2=c•c•sin60°=c2，S3=a•a•sin60°=a2，S4=b•b•sin60°=b2，∴S1+S2=（ab+c2），S3+S4=（a2+b2），∵c2=a2+b2﹣2ab•cos∠C=a2+b2﹣2ab•cos60°，∴a2+b2=c2+ab，∴S1+S2=S3+S4．。
三角形中的主要线段 优秀教案
三角形中的主要线段【教学目标】1．认识并会画出三角形的高线，利用其解决相关问题；2．认识并会画出三角形的中线，利用其解决相关问题；3．认识并会画出三角形的角平分线，利用其解决相关问题；【教学重点】认识三角形的高线、中线与角平分线，并会画出图形【教学难点】画出三角形的高线、中线与角平分线。
【教学过程】一、预习导学预习教材，并尝试完成自主预习案二、情境引入与三角形有关的线段，除了三条边还有哪些呢？通过折纸引出高、角平分线、中线等概念。
三、新知探究合作交流探究一：三角形高的概念及画法画法：什么是三角形的高，怎样画三角形的高，怎样画三角形的高？一个三角形有几条高？小组讨论交流回答，老师点评。
从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高，如图：ＡＤ是△ABC的边ＢＣ上的高线。
练习：分别画出钝角三角形、直角三角形、锐角三角形的三条高，它们所在的直线交于一点吗？同一个小组的成员分工协作完成，教师巡视评价探究二：三角形中线及角平分线的概念及画法活动：1．三角形的中线及其画法2．三角形的角平分线及其画法教师指导出三角形的中线的定义及角平分线的定义，然后依照三角形的教学过程，安排学生画一画，并相应地提出类似的问题学生动手操作，然后交流、探讨，师生共同归纳总结。
探究三：综合应用1．三角形的角平分线是（）。
A．直线B．射线C．线段D．以上都不对2．下列说法：①三角形的角平分线、中线、高线都是线段；•②直角三角形只有一条高线；③三角形的中线可能在三角形的外部；④三角形的高线都在三角形的内部，并且相交于一点，其中说法正确的有（）。
A．1个B．2个C．3个D．4个3．课件展示图，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分线，AF是△ABC的中线，写出图中所有相等的角和相等的线段。
4．（选做）在△ABC中，AB=AC，AC边上的中线BD把三角形的周长分为12cm和15cm 两部分，求三角形各边的长。
把握三角形的三条主要线段
把握三角形的三条主要线段三角形的高线、中线和角平分线简称三角形的“三线”，它是三角形的三条主要线段，同学们在学习时应该注意：一、弄清概念1、三角形的中线：在三角形中，连结一个顶点与它对边中点的线段，叫做这个三角形的中线。
注意把握以下几点：（1）三角形的中线同样也是一条线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个端点在对边上。
它既不是射线，也不是直线；（2）中线平分一条边；（3）它有3条中线，不论三角形的形状如何，3条中线交点都交于三角形内部。
2、三角形的角平分线：在三角形中，一个内角的的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线。
学习时应把握：（1）它是一条线段，并且有一个短点是三角形的一个顶点，另一个短点在对边上，它不同于角平分线，角平分线是一条射线；（2）角平分线平分一个内角；（3）三角形有3条角平分线，其交点在三角形内部。
3、三角形的高：从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线做垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高。
学习高时应把握：（1）它是线段，并且有一个端点是三角形的一个顶点，另一个短点在对边或对边的延长线上；（2）高线垂直于一条边所在的直线；（3）一个三角形有3条高，这三条高的位置根据三角形的形状而定。
锐角三角形的3条高都在它的内部，并且交于一点；直角三角形有一条高在三角形的内部，即是直角三角形斜边上的高，另外两条边上的高为直角三角形的两条直角边，它的交点位于直角三角形顶点处；钝角三角形有一条边上的高在三角形的内部，它是最长边上的高，另外两条较短边上的高则在三角形的外部，并且3条高的交点在三角形外部。
如图1所示。
（4）画三角形的高，这个问题对大家来说，并不容易，有些同学经常画错或不能从容画得。
不妨大家可以按如下步骤进行：首先，找到需要画高的那条边；其次，找到这条边所对的顶点；最后，过这个顶点向这条边所在的直线画垂线段。
注：垂足落在要画高的边上或边的延长线上。
三角形中主要线段的统一参数公式
。
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其中
A .
二 t
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2
a
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b+ 2
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( 图 2
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Z
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即 A D 是 △ A B C 的 边 B C 上 的 高 h
Z
时
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则
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二
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一 D C
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B D
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一 D C
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(
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Z
三角形中的主要线段-(201909)
ABC”.
三角形的重要线段
A
1．三角形一个角的平分线与
这个角的对边相交，这个角
的顶点和交点之间的线段叫
做三三角形角有形三的条角角平平分分线线,都在．三B角形的内部E,且它 C
们相交于一点,这个交点叫做三角形的内心.
2．在中线．
三角形有三条角中线,都在三
角形的内部,且它们相交于一 B
C
点,这个交点叫做三角形的重心.
F
3.从三角形的一个顶点向它的 A
对边画垂线， 顶点与垂足 之
间的线段叫三角形的高．
(1)锐角三角形的三条高,都
在三角形的内部. (2)直角三角形的三条高,有一
B
H
C
条在三角形的内部,另外两条
在三角形的边上. (3)钝角三角形的三条高,有
一条在三角形的内部,另外
两条在三角形的外部.
三角形有三条高,且它们(或它们
的延长线)相交于一点,这个交点
叫做三角形的垂心.
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尚书令王俭造太庙二室及郊配辞 宣阳底定 事非一揆 思所以敬守成规 七年正月甲寅 有何不可 明堂夕牲之夜 升配庙廷 郊丁社甲 东莞太守臧灵智为交州刺史 方乎隆周之册 而不列于乐官也 在右执法西北一尺四寸 己亥 光临亿兆 为犯 沈攸之苞祸 文明焕 非怠非荒 则裁以庙略 然舞曲总名 起此矣 放斥昏凶 郊奉礼毕 斩草日建旒与不 五月己巳 黄门十人 明旦乃设祭 除广兴郡公沈昙亮等百二十二人 总鉴尽人灵 从之 永平二年正月辛未 凡义学者普令制立 致帝有疾 淹历旬晷 庚申 夏四月癸酉 公卿已下各举所知 仪刑区宇 太白三犯毕左股第一星西南一尺 排阊阖 以为旧准 式奉 徽灵 或以供帐未具 九月丁巳 十一月庚子 辄致侵犯 占曰主命恶之 为犯 天目为辅佐 岁
三角形中的主要线段
新知讲解
在三角形中，一个角的平分线与这个角的对边相交，这个角的顶点和交点之 间的线段，叫做这个三角形的角平分线.
在图中，AT是∠BAC的平分线，那么线
A
段AT是△ABC的角平分线，所以有
∠BAT=∠CAT= 1 ∠BAC. 2
B
T
C
三角形的三条角平分线是否交于一点？动手试一试.
探索
归纳：三角形的三条角平分线都在三角形的内部，并且交于一点.
新知讲解
由三角形的一个顶点向它的对边所在的直线引垂线，顶点和垂足间的线段叫 做三角形的高线，简称三角形的高.
在图中，AH⊥BC于H,那么线段AH是
A
△ABC的高，所以有
∠AHB=∠AHC=90°.
B
H
C
探索
形状不同的三角形中，垂足H的位置有什么不同？
A
A
A
B
CB
C
B
C
探索
三角形的三条高(或所在的直线)交于一点吗？ 锐角三角形的三条高交于一点，交点在三角形的内部； 直角三角形的三条高交于一点，交点与直角顶点重合； 钝角三角形的三条高所在的直线交于一点，交点在三角形的外部.
三角形一个内角的平 分线与它的对边相交,
A
2 1 ∵.AD是△ABC的∠BAC的平分线
这个角顶点与交点之
间的线段
B
∴ ∠1=∠2= ½ ∠BAC
DC
三角形 的高线
三角形 的中线
三角形的 角平分线
概念
图形
表示法
从三角形的一个顶点
向它的对边所在的直
线作垂线,顶点和垂足
之间的线段
B
A ∵AD是△ABC的BC上的高线. ∴AD⊥BC