函数极值的定义

为极小值点， ∴ x = − e − 1为极小值点，极小值为
− e.
函数的极大值与极小值统称为极值 使函数取得 函数的极大值与极小值统称为极值,使函数取得 极值 极值的点称为极值点 极值点. 极值的点称为极值点
二、函数极值的求法
• 极值存在的必要条件
定理1(必要条件) 定理1(必要条件) 设 f (x) 在点x0 处具有导数,且 1(必要条件 处具有导数, 处取得极值, 在x0 处取得极值,那末必定 f ′( x0 ) = 0 . 定义 使导数为零的点 (即方程 f ′( x ) = 0 的实根 )叫
x
( −∞ ,−1) − 1
+
(−1,3) −
−
3 0
极 小 值
( 3,+∞ )
+
f ′( x ) f ( x)
0
极 大 值
↑
↓
↑
极 值 f (−1) = 10, −
极 值 f ( 3) = −22.
f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5图形如下
M
m
定理3(第二充分条件) 定理3(第二充分条件)设 f (x)在x0 处具有二阶导数, 3(第二充分条件 处具有二阶导数, 且 f ' ( x0 ) = 0, f '' ( x0 ) ≠ 0, 那末 f '' ( x0 ) < 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极大值; (1)当 处取得极大值; (1)当 '' (2)当 处取得极小值. (2)当 f ( x0 ) > 0时, 函数 f ( x)在x0 处取得极小值.
Q f ′′( x ) = 6 x + 6,
Q f ′′( −4) = − 18 < 0,
f ′′( 2) = 18 > 0,
故极大值 f (−4) = 60, − 故极小值 f ( 2) = −48.
f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x − 20 图形如下
M
m
注意: f ′′( x 0 ) = 0时 , f ( x )在点 x 0处不一定取极值 , 注意:
做函数 f ( x ) 的驻点.
注: 可导函数 f ( x ) 的极值点必定是它的驻 点,
但函数的驻点却不一定 是极值点.
y = x 3 , y ′ x = 0 = 0, 例如, 例如
但x = 0不是极值点. 不是极值点
•
极值存在的充分条件
定理2(第一充分条件) 定理2(第一充分条件) 2(第一充分条件
y y
+ − o
x0
−
x
+
x0
o
x
(是极值点情形 是极值点情形) 是极值点情形
y
+ +
y
− −
o
x0
x
o
x0
x (不是极值点情形 不是极值点情形) 不是极值点情形
求极值的步骤: 求极值的步骤:
(1) 求导数 f ′( x );
( 2) 求驻点 : 方程 f ′( x ) = 0 的根 和使 f ′( x )不存在的点;
f ′( x 0 + ∆ x ) − f ′( x 0 ) 证 (1) Q f ′′( x0 ) = lim < 0,
∆x → 0
∆x
异号， 故f ′( x0 + ∆x ) − f ′( x0 )与∆x异号，
当∆x < 0时， 有f ′( x0 + ∆x ) > f ′( x0 ) = 0, 当∆x > 0时， 有f ′( x0 + ∆x ) < f ′( x0 ) = 0,
⇒ x = e , y′ = 0; x = − e −1 , y′不存在。 不存在。
又f ′(e − δ ) > 0, f ′( e + δ ) < 0 ,
为极大值点， ∴ x = e 为极大值点，极大值为
又f ′( − e −1 − δ ) < 0,
e −1 .
f ′( − e − 1 + δ ) > 0 ,
y
o
x0
x
o
x0
x
定义
f ( , 设函数 ( x)在区间 a, b)内有定义 x0是
(a, b)内的一个点 如果存在正数 > 0, 对任意 , δ x ∈ ( x0 − δ, x0 + δ), 均有f ( x) > f ( x0 ) (或 f ( x) < f ( x0 )), 则称f ( x0 )是函数 ( x)的极小值 f (或极大值 x0称为函数的极小点或极大点 ), ( ).
(1)如果 (1)如果x ∈ ( x0 − δ , x0 ), 有 f ' ( x) > 0;而x ∈ ( x0 , x0 + δ ) , f ' ( x) < 0，则 f (x)在x0 处取得极大值. 处取得极大值. 有 (2)如果 (2)如果x ∈ ( x0 − δ , x0 ), 有 f ' ( x) < 0;而x ∈ ( x0 , x0 + δ ) f ' ( x) > 0，则 f (x)在x0 处取得极小值. 处取得极小值. 有 ' (3)如果当 (3)如果当x ∈ ( x0 − δ , x0 ) 及x ∈ ( x0 , x0 + δ ) 时, f ( x) 符号相同, 处无极值. 符号相同,则 f (x)在x0 处无极值.
仍用定理 2.
注意:函数的不可导点 也可能是函数的极值点 也可能是函数的极值点. 注意:函数的不可Leabharlann 点,也可能是函数的极值点 例3 解
求出函数 f ( x ) = 1 − ( x − 2) 的极值 .
− 2 f ′( x ) = − ( x − 2 ) 3 3 1
2 3
( x ≠ 2)
当x = 2时, f ′( x )不存在 . 但函数 f ( x )在该点连续 .
( 3) 检查 f ′( x ) 在驻点左右的正负号 , 判断极值点;
(4) 求极值 .
例1 求出函数 f ( x ) = x 3 − 3 x 2 − 9 x + 5 的极值 . 解
f ′( x ) = 3 x 2 − 6 x − 9 = 3( x + 1)( x − 3)
令 f ′( x ) = 0， 得驻点 x1 = −1, x2 = 3. 列表讨论
所以,函数 处取得极大值. 所以 函数 f ( x )在 x0 处取得极大值
例2 求出函数 f ( x ) = x 3 + 3 x 2 − 24 x − 20 的极值 . 解
f ′( x ) = 3 x 2 + 6 x − 24 = 3( x + 4)( x − 2)
x 2 = 2.
令 f ′( x ) = 0， 得驻点 x1 = −4,
当x < 2时， f ′( x ) > 0; 当x > 2时， f ′( x ) < 0.
M
∴ f ( 2) = 1为f ( x )的极大值 .
x = tet 例4 求函数 的极值。 y = te−t
1 − t − 2t 不存在。 e ⇒ t = 1, y′ = 0; t = −1, y′不存在。 解： y ′ = t = t 1+ t e + te e − t − te − t
第五节 函数的极值及其求法
一、函数极值的定义
y
y = f (x)
对连续函数， 对连续函数， 极大、极小交替出现。 极大、极小交替出现。
ax
y
1
o
x2
x3
x4
x5
x6
b
x
•极值是局部区域上的 极值是局部区域上的 最大或最小值； 最大或最小值； •在间断点或端点处不 在间断点或端点处不 考虑极值。 考虑极值。