判定一类函数极值点的简单方法
求函数的极值点
求函数的极值点
函数的极值点是指函数在某一区间内达到最大值或最小值的点。
寻找函数的极值点对于分析函数的性质和行为非常重要。
寻找函数的极值点可以通过以下步骤进行：
1. 求导：首先，求函数的导数，也就是函数的斜率。
导数告诉
我们函数在不同点的变化趋势。
2. 解方程：找出函数的导数等于零的解，这些解对应函数的极
值点。
使用代数方法或图像方法来解方程。
3. 分析：通过对函数的导数进行分析，可以判断极值点是函数
的最大值点还是最小值点。
根据函数的凹凸性质以及导数的正负情况，确定极值点的性质。
需要注意的是，寻找函数的极值点可能有以下情况：
- 唯一极值点：函数在某一区间内只有一个极值点。
- 多个极值点：函数在某一区间内有多个极值点，需要对每个
极值点进行分析比较。
- 无极值点：函数在某一区间内可能没有极值点，这种情况下
需要进行更深入的分析。
在求解函数的极值点时，需要注意使用合适的数学工具和技巧，例如使用导函数的性质、图像法、求解方程等。
同时，也需要对函
数的性质进行深入理解和分析，以获得准确的结果。
总结起来，寻找函数的极值点是一项重要的数学技巧，可以帮
助我们理解函数的性质和行为。
通过求导、解方程和分析，我们可
以找出函数的极值点，并对其进行进一步研究和应用。
参考资料：
- 数学分析教程。
求函数的极值方法
求函数的极值方法要求的回答超过1200字长度，以下是关于求函数极值的详细讲解。
极值是函数在某个特定范围内取得的最大值或最小值。
在数学中，求函数的极值是一个非常重要的问题。
它不仅可以帮助我们研究函数的性质，还可以用于解决实际问题。
求函数的极值有两种基本方法：一种是使用导数的方法，另一种是使用二阶导数的方法。
下面我将依次详细介绍这两种方法。
一、使用导数的方法求函数的极值。
1. 寻找导数的零点。
首先，我们要求函数的导数。
导数表示函数在某一点的斜率或变化率。
当导数为零时，函数可能取得极值。
因此，我们需要找到函数的导数为零的点。
具体步骤如下：a. 求出函数的导数。
对于普通函数，可以使用求导法则求得导数；对于复杂函数，需要使用更多的求导技巧。
b. 解方程导数等于零，求出导数为零的点，这些点可能是函数的极值点。
c. 验证这些点是否为函数的极值点。
可以使用二阶导数的方法判断。
2. 验证是否为极值点。
当我们找到了导数为零的点时，需要验证这些点是否为函数的极值点。
这一验证过程可以使用二阶导数的方法进行。
具体步骤如下：a. 求出函数的二阶导数。
二阶导数表示函数的变化率的变化率，也即是函数的曲率。
b. 将导数为零的点带入二阶导数的表达式中，求出二阶导数的值。
c. 如果二阶导数的值大于零，则该点为函数的极小值点；如果二阶导数的值小于零，则该点为函数的极大值点；如果二阶导数的值等于零，则需继续使用其他方法判断。
二、使用二阶导数的方法求函数的极值。
在求函数的极值时，我们可以直接使用二阶导数的方法。
二阶导数可以帮助我们判断函数的凹凸性，从而确定函数的极值。
具体步骤如下：1. 求出函数的二阶导数。
2. 判断函数的凹凸性。
对于函数来说，如果二阶导数大于零，则函数在该点上凸起；如果二阶导数小于零，则函数在该点上凹陷；如果二阶导数等于零，则需继续使用其他方法判断。
3. 在凸起的区间内，函数可能存在极小值点；在凹陷的区间内，函数可能存在极大值点。
高考数学中的函数极值问题详解
高考数学中的函数极值问题详解函数极值是高考数学考试中必考的一个知识点，也是数学经典中的基础概念之一。
对于几乎所有的数学应用问题，都可以抽象出一个函数模型，因此函数极值的研究具有很高的实用性和理论意义。
本文将详细解析高考数学中的函数极值问题，包括一元函数和多元函数两种情况。
一、一元函数1. 什么是函数极值在一元函数的定义域内，若存在一点x0，使得它的函数值f(x0)不小于（或不大于）其它点的函数值，那么称f(x0)为函数的一个极大值（或极小值），x0称为极值点。
如下图所示，函数f(x)在x=a处达到极大值，x=b处达到极小值。
（图片来源于B站UP主@水良之家）2. 极值的判定方法（1）导数法对于一元函数f(x)，其导数f'(x)能够反映函数的增减性和变化趋势，因此使用导数来判断函数的极值是一种比较常见的方法。
具体来说，求出函数的导数，并令导数为0，求解其值即可得到原函数的极值点。
若导数为0的点是可导的，则它一定是极值点。
若导数为0的点不可导，则需要用单侧极限来进行讨论。
下面是一个例题：已知函数f(x)=x³-3x在区间[-2,2]上的驻点和极值点，试求f(x)的极值。
解：首先求导，得到f'(x)=3x²-3，令其为0，则得到x=±1又由于f(x)在-2,1,2处是可导的，因此极值点分别为x=-1,x=1。
在x=-2处不是极值点，它是函数f(x)的最小值点。
（2）二阶导数法在一元函数的定义域内，若f'(x0)=0且f''(x0)>0，说明在x0处函数的单调性发生了变化，由单调减变为单调增，因此x0就是函数的一个极小值点。
反之若f'(x0)=0且f''(x0)<0，则x0为函数的一个极大值点。
在使用这种方法时需要注意，函数的二阶导数f''(x)在某些情况下可能不存在，此时不能使用该方法来判定函数的极值。
函数极值点的计算步骤与示例
函数极值点的计算步骤与示例函数的极值点计算主要依赖于分析函数的一阶导数（以及在某些情况下二阶导数）。
以下是计算函数极值点的详细步骤：1. 求一阶导数首先，对给定的函数f(x)求一阶导数f′(x)。
这通常通过导数的定义、导数的运算法则（如乘法法则、链式法则等）或利用导数表来完成。
2. 寻找驻点驻点是使得一阶导数等于零的点，或者导数不存在的点（尽管后者在大多数情况下不是极值点，但也需要检查）。
因此，解方程f′(x)=0来找到所有的x 值，这些值就是可能的极值点（也称为驻点）。
3. 使用二阶导数（可选，但有用）为了确定驻点是否是极值点，并判断是极大值点还是极小值点，可以进一步求二阶导数f′′(x)。
然后，在驻点处计算二阶导数的值：●如果f′′(x)>0，则该驻点是局部极小值点（函数在该点附近是凹向上的）。
●如果f′′(x)<0，则该驻点是局部极大值点（函数在该点附近是凸向下的）。
●如果f′′(x)=0，则二阶导数无法给出明确的判断。
此时，需要采用其他方法（如更高阶导数测试、函数单调性分析、泰勒级数展开、或比较函数值等）来确定极值点的存在和类型。
4. 检查边界点（如果适用）对于定义在闭区间上的函数，除了驻点外，还需要检查区间的端点，因为这些点也可能是极值点（尽管它们不是驻点）。
5. 综合判断综合以上信息，确定函数的极值点及其类型（极大值点或极小值点）。
示例考虑函数f(x)=x3−3x。
1.求一阶导数：f′(x)=3x2−3。
2.寻找驻点：解方程3x2−3=0，得到x=±1。
3.使用二阶导数（可选，但有助于确认）：f′′(x)=6x。
在x=−1处，f′′(−1)=−6<0，所以x=−1是局部极大值点；在x=1处，f′′(1)=6>0，所以x=1是局部极小值点。
4.检查边界点：由于此函数定义在整个实数域上，没有边界点需要检查。
5.结论：函数f(x)=x3−3x在x=−1处取得局部极大值，在x=1处取得局部极小值。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
成一个无盖的方盒，问截去多少方能使盒子容积最大？
解：设截的小正方形边长为 x，则做成方盒容积为 y=(x-2a) x（0≤x≤a/2）
于是问题就归结为求函数在区间内极值问题。运用引理可知在 x=a/6 是盒子容积
最大。
五、利用平面几何图形求最值
例 11 求函数
的最小值。
分析：本题要求无理函数最值。用代数方法比较困难，若将函数表达变形为； 则函数表达式显现为坐标平面上
条件求出自变量的范围，最终将问题为一元二次函数区间内最值问题。但这样解
决此题，计算量较大。我们仔细分析约束条件，将约束条件可以整理为
，它表示以 x、y 为坐标的动点必须在椭圆
内或边界。而函数 f(x、y)=x－3y 可以约束区域内有点在
直线上的情况下，直线系中哪条直线在 y 轴截距最大或最小。显然在与椭圆相切
y x 3
y x3
x o
根据图像我们可以判断：当 x=0,
；当 x=3,
,对此类型问题的
思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图
像来求解极值，那么过程就非常复杂。那么是否有更简单的方法呢？经过对问题
的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图
就转化为在图像上找一点使得该点的横纵坐标之和最大或最小。此后就可采用椭
圆的参数方程解决。 例 5 若 2x+4y=1 求 x2+y2 的最小值 分析 函数 f(x、y)= x2+y2 我们理解为点（x、y）到原点的距离的平方，而
动点（x、y）在直线 2x+4y=1 上移动，那么我们就将问题转化为在直线上找一点，
于：能深刻理解函数解析式的内涵，且计算简单。
请叙述确定函数的单调区间和极值点的方法
请叙述确定函数的单调区间和极值点的方
法
如何确定函数的单调区间和极值点
确定函数的单调区间和极值点是数学中一个重要的概念，它可以帮助我们更好地理解函数的行为。
因此，学习如何确定函数的单调区间和极值点是很有必要的。
有了函数的表达式，我们可以通过分析其导数的行为来确定函数的单调区间和极值点。
我们可以通过求函数一阶导数的零点来求出极值点，而在一阶导数不为零的区间内函数是单调的，因此我们可以确定函数的单调区间。
此外，也可以通过设置不等式来确定函数的单调区间和极值点。
例如，如果我们要确定函数f(x)的极值点，我们可以设置不等式f'(x)=0，来求出极值点的位置；而若要确定函数f(x)的单调区间，我们可以设置不等式f'(x)>0或f'(x)<0，来求出单调区间。
当然，我们也可以通过函数图像来确定函数的单调区间和极值点。
从函数图像上，我们可以直观地看出函数的单调区间和极值点，而无需分析函数的表达式或设置不等式。
总之，我们可以通过分析函数一阶导数的行为、设置不等式以及函数图像等方式来确定函数的单调区间和极值点。
只要掌握了这些方
法，就可以更好地理解函数的行为，从而更好地应用它们。
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法
高中数学解题方法系列：函数求极值问题的6种方法对于一个给定的函解析式，我们如果能大致作出其对应的函数图像，那么函数的许多性质都可以通过图像客观地反应出来。
因此，只要我们做出了函数图像，那么我们就可以根据图像找到极值点，从而求出函数的极值。
下面，我就从几个方面讨论一下，函数图象在求极值问题中的应用。
一、函数解析式中含有绝对值的极值问题。
我们给出问题的一般形式，设a≤x≤b,求函数的极值。
很容易判断该函数为分段函数，其对应的图像是折线，因此只要做出函数的图像那么就可以准确的找出函数的极值点。
例1设－2≤x≤3，求函数的最值。
解：若将函数示为分段函数形式。
作出函数图像根据图像我们可以判断：当x=0,；当x=3,,对此类型问题的思考：当函数解析式含有较多绝对值符号的时候，如果我们仍然通过做出函数图像来求解极值，那么过程就非常复杂。
那么是否有更简单的方法呢？经过对问题的分析，我们发现函数的极值点要么出现在函数定义域的端点，要么出在函数图像的拐点(使函数中某一个绝对值部分为零的点）因此我们只需将这些点求出来并代入函数解析式求出其所对应的值。
经过比较就得出了极值例如上题：f(－2)=7、f(－1)=4、f(0)=3、f(2)=5、f(3)=8、、=8，据此我们下面给出解决这一类问题更一般的方法。
=max ｛f(bi)、i=1、2、3……n ｝,=min ｛f(－bi),i=1、2、3……n ｝.二、将极值问题转化为几何问题。
运用此方法解决极值问题关键在于深刻理解，挖掘解析式所蕴含的几何意义。
1.转化为求直线斜率的最值。
例2求函数的最值分析函数解析式非我们常见的函数模型。
通过分析我们发现该函数可以看做过点A （3、2）与B （sin 、－cos ）两点直线的斜率。
而动点B的轨迹是y xo 3+=x y 3+-=x y 13+-=x y 13-=x y圆x2+y2=1。
因此我们就将问题转化为了求定点（3、2）与圆x2+y2=10上一点连线的斜率的最大值与最小值。
求极值的方法
求极值的方法
求极值的方法有很多种，以下给出几种常见的方法：
1. 寻找零点：对于一元函数，可以通过求导并令导数为零，然后解方程找到函数的零点，即可找到函数的极值点。
通过判断零点的二阶导数的符号，可以确定该点是极大值点还是极小值点。
2. 利用函数性质：对于一些简单的函数，根据函数的性质可以直接得到其极值点。
例如，对于二次函数$f(x) = ax^2 + bx +
c$，当$a>0$时，函数的极小值点在顶点处，当$a<0$时，函数的极大值点在顶点处。
3. 利用辅助函数：对于一些复杂的函数，可以构造辅助函数来求极值。
例如，对于分式函数$f(x) = \frac{g(x)}{h(x)}$，可以
构造辅助函数$F(x) = g(x) - \lambda h(x)$，其中$\lambda$为待
定常数。
然后，求辅助函数的导数，并令导数为零，解方程得到$x$的值，再将$x$带入原函数求得极值。
4. 使用拉格朗日乘子法：对于带有约束条件的极值问题，可以使用拉格朗日乘子法。
首先，将约束条件写成一个方程组，将目标函数与方程组进行组合，构造拉格朗日函数。
然后，对拉格朗日函数求偏导，并令偏导数为零，解方程组得到$x$的值，再将$x$带入原函数求得极值。
不同的函数和问题类型，适用的求极值方法也可能有所不同，需要根据具体情况选择合适的方法。
同时，在求解过程中需要
注意辅助函数和方程的合理性，以及解的存在性和唯一性等问题。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第38卷 第4期 高 师 理 科 学 刊 Vol. 38 No.4 2018年 4月 Journal of Science of Teachers′College and University Apr. 2018文章编号：1007-9831（2018）04-0010-03判定一类函数极值点的简单方法黄伟（太原城市职业技术学院 信息工程系，山西 太原 030027）摘要：对于一阶导数可分解为()1i iq mp i i k x a =-Õ类型的函数，给出了判断函数极值点的简单方法．给出判定此类型函数极大值点和极小值点的一种简单方法，并给出相关例题加以说明． 关键词：函数；极值点；极大值点；极小值点中图分类号：O171 文献标识码：A doi：10.3969/j.issn.1007-9831.2018.04.004The simple method for determining the extreme point of a type of functionHUANG Wei（Department of Information Technology，Taiyuan City Vocational College，Taiyuan 030027，China）Abstract：For a type of function which first derivative can be decomposed into ()1i iq mp i i k x a =-Õ，ａsimple method ofdetermining the extreme point of a type of function is given．A simple method to determine the relative maximum point and relative minimum point of the type of function is given，and gives some related examples to illustrate. Key words：function；extreme point；relative maximum point；relative minimum一般地，要求函数的极值点，首先要求出函数的一阶导数，得出可能的极值点，再利用极值点的充分条件，逐一对这些可能的极值点进行判断，当这些可能的极值点较多时，判断起来较为繁琐．此外，在判定极大值点或极小值点时，无论利用极值第一充分条件还是第二充分条件，判定起来都不够方便．本文对一阶导数可分解为()1i iq mp i i k x a =-Õ类型的函数的极值点判断提供了一种简单便捷的方法，同时在确定极值点的条件下，给出了判定此类型函数极大值点和极小值点的一种简单的规律性方法，并举例加以说明．定理1 设()f x 在其定义域D 内可导，且其导数可分解为()1()iiq mp i i f x k x a =¢=-Õ的形式，即()()()()121212()i m i mq q q q p p p p i m f x k x a x a x a x a ¢=----L L （1）其中：12, , , m a a a L 为互不相等的实数；k 为常数；11, , m mq q p p L 均为最简分数，那么 （1）i p 为偶数时，i x a =不是()f x 的极值点；（2）i p 为奇数，i q 为偶数时，i x a =不是()f x 的极值点；（3）i p 为奇数，i q 为奇数时，i x a =一定是()f x 的极值点． 证明 不妨假设12m a a a <<<L ．收稿日期：2018-01-10作者简介：黄伟（1976-），男，山西太原人，讲师，硕士，从事概率统计研究．E-mail：3023669@第4期 黄伟：判定一类函数极值点的简单方法 11（1）i p 为偶数时，按照定义域要求，i x a ³，即x 在点i a 的左邻域均无定义，所以i x a =不是极值点． （2）i p 为奇数，i q 为偶数时，()f x ¢的所有因式在点i a 的左邻域[], i i a a d -和点i a 的右邻域[], i i a a d +符号均相同，即()f x ¢在点i a 的左右邻域内符号完全相同，因此()f x 在点i a 的左右邻域内有相同的单调性，所以i x a =不是()f x 极值点．（3）i p 为奇数，i q 为奇数时，()f x ¢在点i a 的左邻域[], i i a a d -和i a 右邻域[], i i a a d +除第i 项因式符号相反，其余所有项的符号均相同，即()f x ¢在点i a 的左右邻域内符号相反，因此()f x 在点i a 的左右邻域内单调性不同，所以i x a =是()f x 极值点． 证毕． 定理2 设()f x 在其定义域D 内可导，且其导数可分解为()()()()()112112121()t t m tt mq q q q q p p p p p t t m f x k x a x a x a x a x a +++¢=-----L L （2）其中：12, , , m a a a L 为互不相等的实数；, (1)r r p q r t ££均为奇数；, ()l l p q l t >至少有一个为偶数；k 为常数；11, , m m q qp p L 均为最简分数．设12t a a a <<<L ，1, 3, i =L ，2, 4, j =L ，且, i j t £，则有（1）t 为奇数时，若0k >，函数()f x 在i x a =处取得极小值，在j x a =处取得极大值；若0k <，函数()f x 在i x a =处取得极大值，在j x a =处取得极小值．（2）t 为偶数时，若0k >，函数()f x 在i x a =处取得极大值，在j x a =处取得极小值；若0k <，函数()f x 在i x a =处取得极小值，在j x a =处取得极大值．证明 由于()()()()()112112121()t t m tt mq q q q q p p p p p t t m f x k x a x a x a x a x a +++¢=-----L L ，, (1)r r p q r t ££均为奇数，, ()l l p q l t >至少有１个为偶数，故由定理1可知，12, , , t a a a L 是()f x 的极值点，1, , t m a a +L 为非极值点．证明()f x ¢分解后的第1t +至m 个因式均为非负，即()0llq p l x a -³(1, 2)l t t m =++L ．由于, ()l l p q l t >至少有１个为偶数，可以分2种情况进行讨论：当l p 为偶数时，按照定义域要求，l x a ³，则()0llq p l x a -³；当l p 为奇数，l q 为偶数时，显然()0llq p l x a -³．综上所述，()f x ¢分解后的第1t +至第m 个因式均非负． （1）当t 为奇数，0k >时，在点i a 的左邻域内，1i i a x a -<<，()f x ¢前1i -个因式均为正，第i 至第t 个因式为负，即()f x ¢有1t i -+个因式为负项，其余为正项．由于t 和i 均为奇数，所以1t i -+为奇数，因此()f x ¢在点i a 的左邻域内符号为负．在点i a 的右邻域内，1i i a x a +<<，()f x ¢前i 个因式均为正，第1i +至第t 个因式为负，()f x ¢有t i -个因式为负项，其余为正项．由于t 和i 为奇数，所以t i -为偶数，因此()f x ¢在点i a 的右邻域内符号为正． 综上可知，在点i a 的邻域内，i x a <时，()0f x ¢<；i x a >时，()0f x ¢>，由极值第一充分条件可知，函数()f x 在i x a =处取得极小值．同理可证，函数()f x 在j x a =处取得极大值．若0k <，()f x ¢的正负符号与0k >时完全相反，即在点i a 的邻域内，i x a <时，()0f x ¢>；i x a >时，()0f x ¢<，函数()f x 在i x a =处取得极大值．同理可证，函数()f x 在j x a =处取得极小值．（2）t 为偶数时的证明类似于t 为奇数时的证明． 证毕． 由定理2，可以总结出规律：判定导数可分解为()1i iq mp i i k x a =-Õ类型的函数的极值，可根据定理1确定出所有极值点，并将求出的极值点按从小到大顺序排列，根据极值点的数量和k 的正负可确定极值点的类型．0k >时，若极值点的个数为奇数个，排序为奇数位次的极值点一定为极小值点，排序为偶数位次的极值点为极大值点；若极值点的个数为偶数个，排序为偶数位次的极值点一定为极小值点，排序为奇数位次的极值点为极大值点．0k <时，则恰好相反．推论 设()f x 在其定义域D 内可导，且其导数可分解为式（2），, (1)r r p q r t ££均为奇数，, ()l l p q l t >12 高 师 理 科 学 刊 第38卷至少有一个为偶数，12t a a a <<<L ，k 为常数，11, , m mq q p p L 均为最简分数，那么 （1）0k >时，2, , t t a a -L 为极小值点，13, , t t a a --L 为极大值点；（2）0k <时，2, , t t a a -L 为极大值点，13, , t t a a --L 为极小值点．证明 （1）0k >时，若t 为奇数，则2, 4, t t --L 都是奇数，由定理2（1）可知，24, , , t t t a a a --L 为极小值点，13, , t t a a --L 为极大值点；若t 为偶数，则2, 4, t t --L 都为偶数，由定理2（2）可知，24, , , t t t a a a --L 为极小值点，13, , t t a a --L 为极大值点．同理可证明0k <时相应的结论成立． 证毕． 推论为判定导数可分解为()1i iq mp i i k x a =-Õ类型的函数的极值提供了更便捷的方法：0k >时，最大的极值点一定是极小值点，第二大的是极大值点，以此类推．0k <时，则恰好相反．综上所述，对于导数可分解为()1iiq mp i i k x a =-Õ类型的函数，判定极值点的步骤为：（1）求出()f x ¢，并分解为()1iiq mp i i k x a =-Õ的形式，即能够看出全部的驻点；（2）根据定理1，找出极值点，按从小到大排列；（3）由定理2或推论，根据极值点的个数和k 的正负即可判断极值点的类型． 例1 求函数()0)f x a =>的极值． 解11334()()()3f x x a x x a --¢=+-，由定理1可知，x a =±和0x =一定是函数的极值点，再由推论可知，函数()f x 在0x =处取得极大值43a ，在x a =±处取得极小值0． 例2 求函数()3()11f x x =-+的极值． 解()2222()616(1)(1)f x x x x x x ¢=-=+-，由定理1可知，1x =±一定不是极值点，0x =一定是极值点．再由推论可知，0x =是()f x 的极小值点，极小值为0． 参考文献：[1] 同济大学数学教研室．高等数学（上）[M]．北京：高等教育出版社，1995：186-190 [2] 华东师范大学数学系．高等数学（上册）[M]．北京：高等教育出版社，2004：140-151 [3] 蔡高厅，叶宗泽．高等数学（上册）[M]．天津：天津大学出版社，1994：191-198 [4] 候风波．工科高等数学[M]．沈阳：辽宁大学出版社，2007：84-86[5] 明万元，黄香蕉．一种判断多项式极值点和拐点个数的简单方法[J]．大学数学，2011，27（6）：161-163 [6] 林荣斐，林炳江．函数极值点和拐点的一种判别法[J]．内蒙古师范大学学报，2009，38（4）：400-402 [7] 黄英．利用导数的因子判断极值点和拐点[J]．楚雄师范学院学报，2012，17（6）：24-25[8] 倪谷炎，李颖．多项式函数的极值点与拐点判别及个数公式[J]．高等数学研究，2006，19（5）：7-9 [9] 毛一波．曲线的拐点和极值[J]．重庆文理学院学报，2006，5（5）：13-15[10]苗佳晶，刘海明．一元函数的极值及其奇异性[J]．高等数学研究，2011，14（1）：26-28。