函数的极值和最值知识梳理

函数的极值和最值 【考纲要求】 1.掌握函数极值的定义。 2.了解函数的极值点的必要条件和充分条件. 3.会用导数求不超过三次的多项式函数的极大值和极小值 4.会求给定闭区间上函数的最值。

【知识网络】

【考点梳理】 要点一、函数的极值 函数的极值的定义 一般地，设函数)(xf在点0xx及其附近有定义， （1）若对于0x附近的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极大值，记作 )(0xfy极大值；

（2）若对0x附近的所有点，都有)()(0xfxf，则)(0xf是函数)(xf的一个极小值，记作)(0xfy极小值.

极大值与极小值统称极值. 在定义中，取得极值的点称为极值点，极值点是自变量的值，极值指的是函数值. 要点诠释： 求函数极值的的基本步骤：

①确定函数的定义域； ②求导数)(xf； ③求方程0)(xf的根； ④检查'()fx在方程根左右的值的符号，如果左正右负，则f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，则f(x)在这个根处取得极小值.(最好通过列表法) 要点二、函数的最值 1.函数的最大值与最小值定理 若函数()yfx在闭区间],[ba上连续，则)(xf在],[ba上必有最大值和最小值；在开区间),(ba内连

函数的极值和最值 函数在闭区间上的最大值和最小值

函数的极值 函数极值的定义 函数极值点条件 求函数极值 续的函数)(xf不一定有最大值与最小值.如1()(0)fxxx. 要点诠释： ①函数的最值点必在函数的极值点或者区间的端点处取得。

②函数的极值可以有多个，但最值只有一个。 2.通过导数求函数最值的的基本步骤： 若函数()yfx在闭区间],[ba有定义，在开区间(,)ab内有导数，则求函数()yfx在],[ba上的最大值和最小值的步骤如下： （1）求函数)(xf在),(ba内的导数)(xf； （2）求方程0)(xf在),(ba内的根； （3）求在),(ba内使0)(xf的所有点的函数值和)(xf在闭区间端点处的函数值)(af，)(bf； （4）比较上面所求的值，其中最大者为函数()yfx在闭区间],[ba上的最大值，最小者为函数()yfx在闭区间],[ba上的最小值.

【典型例题】 类型一：利用导数解决函数的极值等问题

【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题一】 例1.已知函数.,33)(23Rmxxmxxf若函数1)(xxf在处取得极值，试求m的值，并求)(xf在点))1(,1(fM处的切线方程；

【解析】2'()363,.fxmxxmR 因为1)(xxf在处取得极值 所以'(1)3630fm 所以3m。 又(1)3,'(1)12ff

所以)(xf在点))1(,1(fM处的切线方程312(1)yx 即1290xy. 举一反三： 【变式1】设a为实数，函数22,xfxexaxR． (1)求fx的单调区间与极值； (2)求证：当ln21a且0x时，221xexax． 【解析】（1）由()22,xfxexaxR知()2,xfxexR． 令()0fx，得ln2x．于是当x变化时，(),()fxfx的变化情况如下表： x (,ln2) ln2 (ln2,)

()fx － 0 +

()fx 单调递减 2(1ln2)a 单调递增

故()fx的单调递减区间是(,ln2)，单调递增区间是(ln2,)， ()ln2fxx在处取得极小值，极小值为ln2(ln2)2ln222(1ln2).feaa

(2)证明：设2()21xgxexax，xR 于是()22xgxexa，xR 由(1)知当ln21a时，()gx最小值为(ln2)2(1ln2)0.ga 于是对任意xR，都有()0gx，所以()gx在R内单调递增． 于是当ln21a时，对任意(0,)x，都有()(0)gxg． 而(0)0g，从而对任意(0,),()0xgx． 即2210xexax，故221xexax． 【变式2】函数()fx的定义域为区间（a，b），导函数'()fx在（a，b）内的图如图所示，则函数()fx在（a，b）内的极小值有（ ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】由极小值的定义，只有点B是函数()fx的极小值点，故选A。

类型二：利用导数解决函数的最值问题 【高清课堂：函数的极值和最值394579 典型例题三】 例2.已知函数2()(),xfxxmxme其中mR。 （1）若函数()fx存在零点，求实数m的取值范围； （2）当0m时，求函数()fx的单调区间；并确定此时()fx是否存在最小值，如果存在，求出最小值，如果存在，请说明理由。 【解析】（1）因为函数()fx存在零点，则20xmxm有实根，

240mm，即04mm或

（2）当0m时，函数定义域为R 22()(2)()(2)(2)xxxx

fxxmexmxmexxmxexxme

由()0fx，则02xxm或 由()0fx，则02xxm或 由()0fx，则20mx 列表如下： x (,2)m 2m (2,0)m 0 (0,)

'()fx + 0 - 0 +

()fx 增 极大值 减 极小值 增

所以()fx在(,2)m，(0,)上单调增，在(2,0)m上单调减。 又知当2xm且时，()0fx；0x且时，()0fx； 而(0)0fm，所以()fx存在最小值(0)fm. 举一反三： 【变式】已知函数2()1fxax(0a),3()gxxbx. (1)若曲线()yfx与曲线()ygx在它们的交点(1,c)处具有公共切线,求,ab的值; (2)当24ab时,求函数()()fxgx的单调区间,并求其在区间(,1]上的最大值. 【解析】(1)由1c，为公共切点可得:2()1(0)fxaxa, 则()2fxax,12ka, 3()gxxbx,则2()=3gxxb,23kb,

23ab①

又(1)1fa,(1)1gb, 11ab,即ab,

代入①式可得:33ab.

(2)24ab, 设3221()()()14hxfxgxxaxax

则221()324hxxaxa,令()0hx, 解得:12ax,26ax; 0a,26aa, 原函数在2a，单调递增,在26aa，单调递减,在6a，上单调递增

①若12a≤,即02a≤时,最大值为2(1)4aha; ②若126aa,即26a时,最大值为12ah ③若16a≥时,即6a≥时,最大值为12ah.

综上所述:当02a，时,最大值为2(1)4aha;当2,a时,最大值为12ah. 例3（2016 东城区模拟）已知函数2()lnfxxax，aR． (Ⅰ)若()fx在1x处取得极值，求a的值； (Ⅱ)求()fx在区间[1,)上的最小值；

(Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下，若2()()hxxfx，求证：当21ex时，恒有4()4()hxxhx成立． 【解析】（Ⅰ）由2()lnfxxax，定义域为(0,)，得'()2afxxx． 因为函数2()lnfxxax在1x处取得极值，所以'(1)20afxx，即20a，解得2a． 经检验，满足题意，所以． （Ⅱ）由（Ⅰ）得2'2()2axafxxxx，定义域为(0,)． 当0a时，有'()0fx，()fx在区间[1,)上单调递增，最小值为(1)1f； 当02a，由'()0fx得2ax，且012a． 当(0,)2ax时，'()0fx，()fx单调递减，当(,)2ax时，'()0fx，()fx单调递增， 所以在区间上单调递增，最小值为； 当2a时，12a， 当(1,)2ax时，'()0fx，单调递减，当(,)2ax时，'()0fx，()fx单调递增， 所以函数()fx在2ax取得最小值()ln2222aaaaf． 综上当2a时，()fx在区间上的最小值为； 当2a时，()fx在区间上的最小值为ln222aaa． （Ⅲ）由2()()hxxfx得()2lnhxx． 当21xe时，0ln2x，0()4hx，

欲证4()4()hxxhx，只需证[4()]4()xhxhx， 即证44()1xhxx，即22ln1xxx． 设22(x)ln1xxx，

则2'2212(1)(22)(1)(x)(1)(1)xxxxxxx． 当21xe时，'(x)0，所以(x)在区间2(1,e)上单调递增． 所以当21xe时，(x)(1)0，即22ln01xxx，

故4()4()hxxhx．