利用向量解决平面几何问题的方法与技巧
利用向量叉乘解决几何平面问题
利用向量叉乘解决几何平面问题几何平面问题是数学中经常遇到的一类问题，而利用向量叉乘可以很方便地解决这类问题。
本文将详细介绍向量叉乘的概念、性质及其在解决几何平面问题中的应用。
一、向量叉乘的概念与性质在矢量代数中，向量叉乘又被称为向量积或叉积。
对于给定的两个三维向量a和b，它们的叉乘结果记为a×b，其结果是一个新的向量。
向量叉乘的计算公式为：a ×b = (a2b3 - a3b2, a3b1 - a1b3, a1b2 - a2b1)其中a1、a2、a3和b1、b2、b3分别代表向量a和b的三个分量。
向量叉乘具有以下性质：1. 反交换性：a × b = -b × a2. 分配律：(a + b) × c = a × c + b × c3. 结合律：(k·a) × b = k · (a × b)，其中k为常数4. 向量共线性：若a × b = 0，则向量a与b共线或其中之一为零向量二、向量叉乘在几何平面问题中的应用1. 判断向量共线性：根据向量叉乘的性质，若两个向量的叉乘结果为零向量，则这两个向量共线。
利用这一性质，我们可以方便地判断三点是否共线、线段是否相交等几何问题。
2. 计算平面法向量：对于给定的三维空间中的平面，可以利用该平面上的两条不共线直线所对应的向量进行叉乘运算，从而得到该平面的法向量。
法向量在几何学中具有重要的意义，可以用于求解平面的方程、判断两个平面的关系等问题。
3. 计算面积与体积：通过向量叉乘，我们可以计算出由两个向量所确定的平行四边形的面积，并且这个面积的大小等于两个向量叉乘结果的模长。
同样地，在三维空间中，通过向量叉乘我们可以计算出由三个向量所确定的平行六面体的体积。
4. 求解直线与平面的交点：在解决直线与平面相交问题时，可以利用直线的方向向量与平面的法向量进行叉乘运算，从而得到交点的坐标。
如何利用向量解决平面几何问题的投影
如何利用向量解决平面几何问题的投影平面几何是数学中重要的内容之一，而解决平面几何问题的投影，向量方法是一种常用且有效的解决方案。
本文将介绍如何利用向量解决平面几何问题的投影，并提供一些具体的案例分析。
一、向量投影的基本概念在介绍向量解决平面几何问题的投影之前，首先需要了解向量投影的基本概念。
向量投影是指一个向量在另一个向量或者某个平面上的投影，可以理解为一个向量在某个方向上的分量。
二、向量投影的计算方法向量投影的计算方法可以通过向量的内积来实现。
设有两个向量A 和B，向量A在向量B上的投影记为proj_BA，可以通过以下计算公式得到：proj_BA = (A·B) / |B|其中，A·B表示向量A和向量B的内积，|B|表示向量B的模长。
三、向量投影的应用举例下面通过一些具体的例子来说明如何利用向量解决平面几何问题的投影。
例1：已知向量A(2,3)在向量B(4,5)上的投影proj_BA，求解该投影的值。
首先计算A·B = 2*4 + 3*5 = 8 + 15 = 23然后计算向量B的模长|B| = √(4^2 + 5^2) = √(16 + 25) = √41最后代入公式进行计算：proj_BA = 23 / √41 ≈ 3.58例2：已知向量A(4,1)在平面P上的投影proj_PA，求解该投影的值。
假设平面P通过一点P0(2,3)，且平面法向量为N(1,-1)。
首先计算A·N = 4*1 + 1*(-1) = 4 - 1 = 3然后计算向量N的模长|N| = √(1^2 + (-1)^2) = √2最后代入公式进行计算：proj_PA = 3 / √2 ≈ 2.12通过以上两个例子，我们可以看到向量投影的计算方法可以很好地应用于解决平面几何问题中的投影问题。
只需要通过向量的内积和模长计算，我们就可以得到所需的投影结果。
四、向量投影的几何意义除了计算投影的值，向量投影还有一个重要的几何意义。
5.5平面向量应用
= .
A
B
解： = ∙ = ( + ) ∙ ( + ) = ∙ + ∙ + ∙ + ∙ =
同理：
=
− ∙ + （）
（1）+（2）得：
+
= （
涉及长度问题常常考虑向量的数量积，对 与 进行计算.
（1） ， 分别对质点所做的功；
（2） ， 的合力F对质点所做的功。
17.在风速为（ − ）/的西风中，飞机以150km/h的航速向西北方向飞行，求没有风时飞机的航速和航向。
作
业
答
案
(3)基底向量的夹角最好是明确的(直角最合适);
(4)尽量使基底向量和所涉及的向量共线或构成三角形或构成平行四边形.
3.用向量的坐标处理问题时，建立平面直角坐标系的基本原则：
选择坐标轴和原点不当会增加解题的运算量，也会带来不必要的麻烦.具有公共原点的两
条互相垂直的数轴构成了平面直角坐标系，因此在已知图形中，只要选择互相垂直的两条直
A
Q
B
P
C
课后作业：
4.在△ABC中，AB=AC，D为BC的中点，用向量方法证明 ⊥ .
5.如下图，在正方形ABCD中，E,F分别为AB,BC的中点。求证： ⊥ （利用向量证明）.
D
C
F
A
E
B
6.如下图，在▱ABCD中，AB=3，AD=1，∠ = ，求对角线AC和BD的长.
又因为 = − = − ； 与共线，所以我们设： = = ( − )
用向量方法解决平面几何问题的“三部曲”
将平面几何问题转(3,1)=的直线方程。
分析：在所求的直线上任取一点(,)P x y ，则A P −−→(2,1)x y =+-由A P−−→∥a −−→。
利用向量的平行条件可写出方程。
解：设(,)P x y 是所求直线上任意一点，A P−−→(2,1)x y =+- ∵A P−−→∥a −−→∴(2)3(1)0x y +--=，即所求的直线方程为350x y -+=。
评注：此题是利用向量平行的充要条件写出直线方程。
例2、已知点(3,0)P -，点A 在Y 轴上,点Q 在轴的正半轴上，点M 在直线AQ 上，满足.0P A A M −−→−−→=,32A M MQ −−→=-−−→当点A 在轴Y 上移动时,求动点M 的轨迹方程。
分析：设出M 的坐标，利用32A M M Q −−→=-−−→，可以将点A 的坐标用M 点的坐标表示出来，从而用.0P A A M−−→−−→=，确定所求轨迹。
例3在平面坐标系xoy 中，平面上任意点P 关于斜坐标系的斜坐标是这样定义的;若12O P x y e e −−→=+（其中12,e e 分别是与x 轴y 轴同方向的单位向量），则P 点斜坐标为(,)x y（1） 若点P 在斜坐标系的斜坐标为（2，-2）求点P 到点O 的距离。
（2） 求以原点O 为圆心，1为半径的圆在斜坐标系xoy 中的方程。
分析：将平面直角坐标系改为平面斜坐标系，圆的形状是否改变？圆的方程是否改变？如何求两点的距离？情景发生了变化，事物总是跟着发生一系列的变化，这是一个有趣的数学问题！解：（1）∵P点斜坐标为（2，-2）∴1222O P e e −−→=-，228812(22)O Pe e ==-−−→-*0.5=4 ∴2O P−−→=,即点P 到原点的距离是2。
设圆上动点M 的斜坐标为(,)x y ，则12O Mx y e e −−→=+∴2112()x y e e =+ ∴221x y y x ++=，故所求方程是221x y y x ++=。
平面向量的应用重难点解析版
突破6.4 平面向量的应用一、学情分析高考对本部分的考查主要涉及平面向量的数量积和向量的线性运算，以运算求解和数形结合为主，重点掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算，能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系，掌握向量加法、减法、数乘的运算及其几何意义等，注重转化与化归思想的应用.1．平面向量的数量积一直是高考的一个热点，尤其是平面向量的数量积，主要考查平面向量的数量积的 运算、向量的几何意义、模与夹角、两向量的垂直等问题．题型一般以选择题、填空题为主.2．平面向量的基本定理及坐标表示是高考中的一个热点内容，尤其是用坐标表示的向量共线的条件是高 考考查的重点内容，一般是通过向量的坐标表示，将几何问题转化为代数问题来解决，多以选择题或填空题的形式呈现，有时也作为解答题中的条件，应用向量的平行或垂直关系进行转换．二、学法指导与考点梳理考点一 向量在平面几何中的应用 (1)用向量解决常见平面几何问题的技巧： 问题类型 所用知识 公式表示线平行、点共线等问题共线向量定理a ∥b ⇔a ＝λb ⇔x 1y 2－x 2y 1＝0， 其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，b ≠0 垂直问题数量积的运算性质a ⊥b ⇔a ·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0，其中a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，且a ，b 为非零向量夹角问题数量积的定义cos θ＝a ·b|a ||b |(θ为向量a ，b 的夹角)，其中a ，b 为非零向量长度问题数量积的定义|a |＝a 2＝x 2＋y 2，其中a ＝(x ，y )，a 为非零向量平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题。
考点二 正弦定理和余弦定理1.在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则 定理 正弦定理余弦定理公式a sin A ＝b sin B ＝c sin C＝2R a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ；b 2＝c 2＋a 2－2ca cos B ；c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C常见 变形(1)a ＝2R sin A ，b ＝2R sin B ，c ＝2R sin C ；(2)sin A ＝a 2R ，sin B ＝b 2R ，sin C ＝c2R ；(3)a ∶b ∶c ＝sin A ∶sin B ∶sin C ；(4)a sin B ＝b sin A ，b sin C ＝c sin B ，a sin C ＝c sin Acos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ；cos B ＝c 2＋a 2－b 22ac ；cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：A 为锐角A 为钝角或直角图形关系式 a ＝b sin A b sin A <a <b a ≥b a >b a ≤b 解的个数一解两解一解一解无解重难点题型突破1 平面向量在平面几何中的应用（奔驰定理）例1、（1）．（2022·四川西昌·高二期末（理））在平面上有ABC 及内一点O 满足关系式：0OBC OAC OAB S OA S OB S OC ⋅+⋅+⋅=△△△即称为经典的“奔驰定理”，若ABC 的三边为a ，b ，c ，现有0a OA b OB c OC ⋅+⋅+⋅=则O 为ABC 的（ ）A ．外心B ．内心C ．重心D ．垂心【答案】B 【解析】 【分析】利用三角形面积公式，推出点O 到三边距离相等。
暑假提高班讲义……第六讲 平面向量(二)(解析版)
第六讲 平面向量（二）1知识梳理————————————1．向量的夹角已知两个非零向量a 和b ，作OA →＝a ，OB →＝b ，则∠AOB 就是向量a 与b 的夹角，向量夹角的范围是：[0，π]． 2．3.设a ，b 都是非零向量，e 是单位向量，θ为a 与b (或e )的夹角．则 (1)e ·a ＝a ·e ＝|a |cos θ. (2)a ⊥b ⇔a ·b ＝0.(3)当a 与b 同向时，a ·b ＝|a ||b |；当a 与b 反向时，a ·b ＝－|a ||b |. 特别地，a ·a ＝|a |2或|a |＝a ·a .(4)cos θ＝a ·b|a ||b |.(5)|a ·b |≤|a ||b |.4．平面向量数量积满足的运算律 (1)a·b ＝b·a ； (2)(λa )·b ＝λ(a·b )＝a ·(λb )(λ为实数)； (3)(a ＋b )·c ＝a·c ＋b·c .5．平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则(1)若a ＝(x ，y )，则|a |2＝x 2＋y 2或|a |(2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则A ，B 两点间的距离AB ＝|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (3)设两个非零向量a ，b ，a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.(4)若a ，b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，则cos θ＝a ·b|a ||b |＝x 1x 21y 2x 21＋y 21 x 22＋y 22. 6．向量在平面几何中的应用(1)(2)平面几何问题――→设向量向量问题――→运算解决向量问题――→还原解决几何问题． 7．平面向量在物理中的应用(1)由于物理学中的力、速度、位移都是矢量，它们的分解与合成与向量的加法和减法相似，可以用向量的知识来解决．(2)物理学中的功是一个标量，是力F 与位移s 的数量积，即W ＝F·s ＝|F||s |cos θ(θ为F 与s 的夹角)．8．向量与相关知识的交汇平面向量作为一种工具，常与函数(三角函数)，解析几何结合，常通过向量的线性运算与数量积，向量的共线与垂直求解相关问题． 【知识拓展】1．两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b >0且a ，b 不共线； 两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b <0且a ，b 不共线． 2．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a·b ＋b 2.3．若G 是△ABC 的重心，则GA →＋GB →＋GC →＝0.4．若直线l 的方程为：Ax ＋By ＋C ＝0，则向量(A ，B )与直线l 垂直，向量(－B ，A )与直线l 平行． 【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”(1)若AB →∥AC →，则A ，B ，C 三点共线．( √ ) (2)向量b 在向量a 方向上的投影是向量．( × ) (3)若a ·b ＞0，则a 和b 的夹角为锐角；若a ·b ＜0，则a 和b 的夹角为钝角．( × )(4)在△ABC 中，若AB →·BC →<0，则△ABC 为钝角三角形．( × )(5)已知平面直角坐标系内有三个定点A (－2，－1)，B (0，10)，C (8,0)，若动点P 满足：OP →＝OA →＋t (AB →＋AC →)，t ∈R ，则点P 的轨迹方程是x －y ＋1＝0.( √ )(1)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( √ )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量．( √ ) (3)由a ·b ＝0可得a ＝0或b ＝0.( × ) (4)(a ·b )c ＝a (b ·c )．( × )(5)两个向量的夹角的范围是[0，π2]．( × )2考点自测————————————1．(教材改编)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a·(2a －b )＝0，则k 等于( ) A ．－12 B ．6 C ．－6 D ．12 答案 D解析 ∵2a －b ＝(4,2)－(－1，k )＝(5,2－k )， 由a ·(2a －b )＝0，得(2,1)·(5,2－k )＝0，∴10＋2－k ＝0，解得k ＝12. 2．(2017·南宁质检)已知向量a 与b 的夹角为30°，且|a |＝1，|2a －b |＝1，则|b |等于( ) A. 6 B. 5 C. 3 D. 2 答案 C解析 由题意可得a·b ＝|b |cos 30°＝32|b |,4a 2－4a·b ＋b 2＝1，即4－23|b |＋b 2＝1，由此求得|b |＝3，故选C.3．(2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知四边形ABCD 是平行四边形，AB →＝(1，－2)，AD →＝(2,1)，则AD →·AC →等于( )A ．5B ．4C ．3D ．2 答案 A解析 ∵四边形ABCD 为平行四边形，∴AC →＝AB →＋AD →＝(1，－2)＋(2,1)＝(3，－1)． ∴AD →·AC →＝2×3＋(－1)×1＝5. 4．(2016·北京)已知向量a ＝(1，3)，b ＝(3，1)，则a 与b 夹角的大小为________．答案 π6解析 设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a ||b |＝1×3＋1×312＋(3)2·12＋(3)2＝234＝32， 又因为θ∈[0，π]，所以θ＝π6.5．(2016·厦门模拟)设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝________. 答案 10解析 ∵a ⊥b ，∴a·b ＝0，即x －2＝0，∴x ＝2，∴a ＝(2,1)，∴a 2＝5，b 2＝5， ∴|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋2a·b ＋b 2＝5＋5＝10.6．(教材改编)已知△ABC 的三个顶点的坐标分别为A (3,4)，B (5,2)，C (－1，－4)，则该三角形为( ) A ．锐角三角形 B ．直角三角形 C ．钝角三角形 D ．等腰直角三角形 答案 B解析 AB →＝(2，－2)，AC →＝(－4，－8)，BC →＝(－6，－6)， ∴|AB →|＝22＋(－2)2＝22，|AC →|＝16＋64＝45，|BC →|＝36＋36＝62， ∴|AB →|2＋|BC →|2＝|AC →|2，∴△ABC 为直角三角形．7．已知在△ABC 中，|BC →|＝10，AB →·AC →＝－16，D 为边BC 的中点，则|AD →|等于( ) A ．6 B ．5 C ．4 D ．3 答案 D解析 在△ABC 中，由余弦定理可得，AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝BC 2，又AB →·AC →＝|AB →|·|AC →|·cos A ＝－16，所以AB 2＋AC 2＋32＝100，AB 2＋AC 2＝68.又D 为边BC 的中点，所以AB →＋AC →＝2AD →，两边平方得4|AD →|2＝68－32＝36，解得|AD →|＝3，故选D.8．(2017·武汉质检)平面直角坐标系xOy 中，若定点A (1,2)与动点P (x ，y )满足OP →·OA →＝4，则点P 的轨迹方程是____________． 答案 x ＋2y －4＝0解析 由OP →·OA →＝4，得(x ，y )·(1,2)＝4，即x ＋2y ＝4. 9．(2016·银川模拟)已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，b ＝(3，－1)，则|2a －b |的最大值为________． 答案 4解析 设a 与b 夹角为α， ∵|2a －b |2＝4a 2－4a·b ＋b 2＝8－4|a||b |cos α＝8－8cos α，∵α∈[0，π]，∴cos α∈[－1,1]，∴8－8cos α∈[0,16]，即|2a －b |2∈[0,16]，∴|2a －b |∈[0,4]． ∴|2a －b |的最大值为4.5．已知一个物体在大小为6 N 的力F 的作用下产生的位移s 的大小为100 m ，且F 与s 的夹角为60°，则力F 所做的功W ＝________ J. 答案 300解析 W ＝F ·s ＝|F ||s |cos 〈F ，s 〉＝6×100×cos 60°＝300(J).3典型例题————————————例1 (1)(2016·天津)已知△ABC 是边长为1的等边三角形，点D ，E 分别是边AB ，BC 的中点，连接DE并延长到点F ，使得DE ＝2EF ，则AF →·BC →的值为( )A ．－58 B.18 C.14 D.118(2)已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE →·CB →的值为_______；DE →·DC →的最大值为_____．答案 (1)B (2)1 1解析 (1)如图，由条件可知BC →＝AC →－AB →， AF →＝AD →＋DF →＝12AB →＋32DE →＝12AB →＋34AC →，所以BC →·AF →＝(AC →－AB →)·(12AB →＋34AC →)＝34AC →2－14AB →·AC →－12AB →2.因为△ABC 是边长为1的等边三角形，所以|AC →|＝|AB →|＝1，∠BAC ＝60°，所以BC →·AF →＝34－18－12＝18.(2)方法一 以射线AB ，AD 为x 轴，y 轴的正方向建立平面直角坐标系，则A (0，0)，B (1,0)，C (1,1)，D (0,1)，设E (t,0)，t ∈[0,1]，则DE →＝(t ，－1)，CB →＝(0，－1)，所以DE →·CB →＝(t ，－1)·(0，－1)＝1.因为DC →＝(1,0)，所以DE →·DC →＝(t ，－1)·(1,0)＝t ≤1，故DE →·DC →的最大值为1. 方法二 由图知，无论E 点在哪个位置，DE →在CB →方向上的投影都是CB ＝1，∴DE →·CB →＝|CB →|·1＝1，当E 运动到B 点时，DE →在DC →方向上的投影最大，即为DC ＝1，∴(DE →·DC →)max ＝|DC →|·1＝1. 思维升华 平面向量数量积的三种运算方法(1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解，即a·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉．(2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a·b ＝x 1x 2＋y 1y 2. (3)利用数量积的几何意义求解．(1)(2016·全国丙卷)已知向量BA →＝⎝⎛⎭⎫12，32，BC →＝⎝⎛⎭⎫32，12，则∠ABC 等于( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．120° (2)(2015·天津)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°.点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝23BC →，DF →＝16DC →，则AE →·AF →的值为________．答案 (1)A (2)2918解析 (1)∵|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32，又∵0°≤∠ABC ≤180°，∴∠ABC ＝30°.(2)在等腰梯形ABCD 中，AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，∴CD ＝1， AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋23BC →，AF →＝AD →＋DF →＝AD →＋16DC →，∴AE →·AF →＝⎝⎛⎭⎫AB →＋23BC →·⎝⎛⎭⎫AD →＋16DC →＝AB →·AD →＋AB →·16DC →＋23BC →·AD →＋23BC →·16DC →＝2×1×cos 60°＋2×16＋23×12×cos 60°＋23×16×12×cos 120°＝2918.例2 (1)(2016·西安模拟)已知平面向量a ，b 的夹角为π6，且|a|＝3，|b |＝2，在△ABC 中，AB →＝2a ＋2b ，AC→＝2a －6b ，D 为BC 的中点，则|AD →|＝________.(2)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1,0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 答案 (1)2 (2)7＋1解析 (1)因为AD →＝12(AB →＋AC →)＝12(2a ＋2b ＋2a －6b )＝2a －2b ，所以|AD →|2＝4(a －b )2＝4(a 2－2b·a ＋b 2)＝4×(3－2×2×3×cos π6＋4)＝4，所以|AD →|＝2.(2)设D (x ，y )，由CD →＝(x －3，y )及|CD →|＝1，知(x －3)2＋y 2＝1，即动点D 的轨迹为以点C 为圆心的单位圆．又O A →＋OB →＋OD →＝(－1,0)＋(0，3)＋(x ，y )＝(x －1，y ＋3)， ∴|OA →＋OB →＋OD →|＝(x －1)2＋(y ＋3)2.问题转化为圆(x －3)2＋y 2＝1上的点与点P (1，－3)间距离的最大值．∵圆心C (3,0)与点P (1，－3)之间的距离为(3－1)2＋(0＋3)2＝7，故(x －1)2＋(y ＋3)2的最大值为7＋1.即|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是7＋1.例3 (1)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝_______.(2)若向量a ＝(k,3)，b ＝(1,4)，c ＝(2,1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________________．答案 (1)223 (2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 解析 (1)因为a 2＝(3e 1－2e 2)2＝9－2×3×2×12×cos α＋4＝9，所以|a |＝3， 因为b 2＝(3e 1－e 2)2＝9－2×3×1×12×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8， 所以cos β＝a ·b |a ||b |＝83×22＝223.(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角，∴(2a －3b )·c ＜0，即(2k －3，－6)·(2,1)＜0， ∴4k －6－6＜0，∴k ＜3.又若(2a －3b )∥c ，则2k －3＝－12，即k ＝－92.当k ＝－92时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，即2a －3b 与c 反向．综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3. 思维升华 平面向量数量积求解问题的策略(1)求两向量的夹角：cos θ＝a·b|a||b |，要注意θ∈[0，π]．(2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是：a ⊥b ⇔a·b ＝0⇔|a －b |＝|a ＋b |. (3)求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有： ①a 2＝a·a ＝|a |2或|a |＝a·a . ②|a ±b |＝(a ±b )2＝a 2±2a·b ＋b 2. ③若a ＝(x ，y )，则|a |＝x 2＋y 2.(1)(2015·湖北)已知向量OA →⊥AB →，|OA →|＝3，则OA →·OB →＝________.(2)在△ABC 中，若A ＝120°，AB →·AC →＝－1，则|BC →|的最小值是( ) A. 2 B ．2 C. 6 D ．6 答案 (1)9 (2)C解析 (1)因为OA →⊥AB →，所以OA →·AB →＝0.所以OA →·OB →＝OA →·(OA →＋AB →)＝OA →2＋OA →·AB →＝|OA →|2＋0＝32＝9.(2)∵AB →·AC →＝－1，∴|AB →|·|AC →|·cos 120°＝－1，即|AB →|·|AC →|＝2， ∴|BC →|2＝|AC →－AB →|2＝AC →2－2AB →·AC →＋AB →2≥2|AB →|·|AC →|－2AB →·AC →＝6，∴|BC →|min ＝ 6.例4 (2015·广东)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，x ∈⎝⎛⎫0，π2. (1)若m ⊥n ，求tan x 的值；(2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值．解 (1)因为m ＝⎝⎛⎭⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1.(2)因为|m |＝|n |＝1，所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝⎛⎭⎫x －π4＝12， 因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.思维升华 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解．(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等．(1)已知O 为坐标原点，向量OA →＝(3sin α，cos α)，OB →＝(2sin α，5sin α－4cos α)，α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，且OA →⊥OB →，则tan α的值为( )A ．－43B ．－45 C.45 D.34(2)已知向量a ＝(－12，32)，OA →＝a －b ，OB →＝a ＋b ，若△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，则△OAB 的面积为________． 答案 (1)A (2)1解析 (1)由题意知6sin 2α＋cos α·(5sin α－4cos α)＝0，即6sin 2α＋5sin αcos α－4cos 2α＝0， 上述等式两边同时除以cos 2α，得6tan 2α＋5tan α－4＝0，由于α∈⎝⎛⎭⎫3π2，2π，则tan α＜0，解得tan α＝－43，故选A. (2)由题意得，|a |＝1，又△OAB 是以O 为直角顶点的等腰直角三角形，所以OA →⊥OB →，|OA →|＝|OB →|. 由OA →⊥OB →得(a －b )·(a ＋b )＝|a |2－|b |2＝0，所以|a |＝|b |， 由|OA →|＝|OB →|得|a －b |＝|a ＋b |，所以a·b ＝0.所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＝2，所以|OB →|＝|OA →|＝2，故S △OAB ＝12×2×2＝1.例5 (1)在平行四边形ABCD 中，AD ＝1，∠BAD ＝60°，E 为CD 的中点．若AC →·BE →＝1，则AB ＝________.(2)已知O 是平面上的一定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个动点，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ(AB →＋AC →)，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A ．内心 B ．外心 C ．重心 D ．垂心答案 (1)12(2)C解析 (1)在平行四边形ABCD 中，取AB 的中点F ，则BE →＝FD →，∴BE →＝FD →＝AD →－12AB →，又∵AC →＝AD →＋AB →，∴AC →·BE →＝(AD →＋AB →)·(AD →－12AB →)＝AD →2－12AD →·AB →＋AD →·AB →－12AB →2＝|AD →|2＋12|AD →||AB →|cos 60°－12|AB →|2＝1＋12×12|AB →|－12|AB →|2＝1. ∴⎝⎛⎭⎫12－|AB →||AB →|＝0，又|AB →|≠0，∴|AB →|＝12. (2)由原等式，得OP →－OA →＝λ(AB →＋AC →)，即AP →＝λ(AB →＋AC →)，根据平行四边形法则，知AB →＋AC →是△ABC 的中线AD (D 为BC 的中点)所对应向量AD →的2倍，所以点P 的轨迹必过△ABC 的重心． 引申探究本例(2)中，若动点P 满足OP →＝OA →＋λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，λ∈(0，＋∞)，则点P 的轨迹一定通过△ABC 的________． 答案 内心解析 由条件，得OP →－OA →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，即AP →＝λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB →|AB →|＋AC →|AC →|，而AB →|AB →|和AC →|AC →|分别表示平行于AB →，AC →的单位向量，故AB →|AB →|＋AC →|AC →|平分∠BAC ，即AP →平分∠BAC ，所以点P 的轨迹必过△ABC 的内心．思维升华 向量与平面几何综合问题的解法 (1)坐标法把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决． (2)基向量法适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程进行求解．(1)在△ABC 中，已知向量AB →与AC →满足(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，且AB →|AB →|·AC →|AC →|＝12，则△ABC 为( )A ．等边三角形B ．直角三角形C ．等腰非等边三角形D ．三边均不相等的三角形(2)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|P A →＋3PB →|的最小值为________． 答案 (1)A (2)5解析 (1)AB →|AB →|，AC →|AC →|分别为平行于AB →，AC →的单位向量，由平行四边形法则知AB →|AB →|＋AC →|AC →|为∠BAC 的平分线．因为(AB →|AB →|＋AC →|AC →|)·BC →＝0，所以∠BAC 的平分线垂直于BC ，所以AB ＝AC .又AB →|AB →|·AC →|AC →|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪AB →|AB →|·⎪⎪⎪⎪⎪⎪AC →|AC →|·cos ∠BAC ＝12，所以cos ∠BAC ＝12，又0<∠BAC <π，故∠BAC ＝π3， 所以△ABC 为等边三角形．(2)以D 为原点，分别以DA ，DC 所在直线为x 轴、y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设DC ＝a ，DP ＝y .则D (0,0)，A (2,0)，C (0，a )，B (1，a )，P (0，y )，P A →＝(2，－y )，PB →＝(1，a －y )， 则P A →＋3PB →＝(5,3a －4y )，即|P A →＋3PB →|2＝25＋(3a －4y )2， 由点P 是腰DC 上的动点，知0≤y ≤a .因此当y ＝34a 时，|P A →＋3PB →|2的最小值为25.故|P A →＋3PB →|的最小值为5.例6 (1)已知向量OA →＝(k,12)，OB →＝(4,5)，OC →＝(10，k )，且A 、B 、C 三点共线，当k <0时，若k 为直线的斜率，则过点(2，－1)的直线方程为________________．(2)设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM →＝0，则y x＝___________.答案 (1)2x ＋y －3＝0 (2)±3解析 (1)∵AB →＝OB →－OA →＝(4－k ，－7)，BC →＝OC →－OB →＝(6，k －5)，且AB →∥BC →， ∴(4－k )(k －5)＋6×7＝0，解得k ＝－2或k ＝11.由k <0可知k ＝－2，则过点(2，－1)且斜率为－2的直线方程为y ＋1＝－2(x －2)，即2x ＋y －3＝0.(2)∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线，设OM 的方程为y ＝kx ，由|2k |1＋k 2＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3.思维升华 向量在解析几何中的“两个”作用(1)载体作用：向量在解析几何问题中出现，多用于“包装”，解决此类问题的关键是利用向量的意义、运算脱去“向量外衣”，导出曲线上点的坐标之间的关系，从而解决有关距离、斜率、夹角、轨迹、最值等问题．(2)工具作用：利用a ⊥b ⇔a·b ＝0(a ，b 为非零向量)，a ∥b ⇔a ＝λb (b ≠0)，可解决垂直、平行问题，特别地，向量垂直、平行的坐标表示对于解决解析几何中的垂直、平行问题是一种比较简捷的方法．(2016·合肥模拟)如图所示，半圆的直径AB ＝6，O 为圆心，C 为半圆上不同于A 、B 的任意一点，若P 为半径OC 上的动点，则(P A →＋PB →)·PC →的最小值为________．答案 －92解析 ∵圆心O 是直径AB 的中点，∴P A →＋PB →＝2PO →，∴(P A →＋PB →)·PC →＝2PO →·PC →， ∵PO →与PC →共线且方向相反，∴当大小相等时，乘积最小．由条件知，当PO ＝PC ＝32时，最小值为－2×32×32＝－92.例7 已知x ，y 满足⎩⎪⎨⎪⎧y ≥x ，x ＋y ≤2，x ≥a ，若OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，且OA →·OB →的最大值是最小值的8倍，则实数a 的值是________．答案 18解析 因为OA →＝(x,1)，OB →＝(2，y )，所以OA →·OB →＝2x ＋y ，令z ＝2x ＋y ，依题意，不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示(含边界)，观察图象可知，当目标函数z ＝2x ＋y 过点C (1,1)时，z max ＝2×1＋1＝3，目标函数z ＝2x ＋y 过点F (a ，a )时，z min ＝2a ＋a ＝3a ，所以3＝8×3a ，解得a ＝18.例8 (2016·合肥模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，若20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，则△ABC 最小角的正弦值等于( ) A.45 B.34 C.35 D.74 答案 C解析 ∵20aBC →＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴20a (AC →－AB →)＋15bCA →＋12cAB →＝0，∴(20a －15b )AC →＋(12c －20a )AB →＝0，∵AC →与AB →不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧20a －15b ＝0，12c －20a ＝0⇒⎩⎨⎧b ＝43a ，c ＝53a ，∴△ABC 最小角为角A ，∴cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝169a 2＋259a 2－a 22×43a ×53a ＝45，∴sin A ＝35，故选C.例8 如图，一质点受到平面上的三个力F 1，F 2，F 3(单位：牛顿)的作用而处于平衡状态．已知F 1，F 2成60°角，且F 1，F 2的大小分别为2和4，则F 3的大小为( )A ．27B ．2 5C ．2D ．6 答案 A解析 如题图所示，由已知得F 1＋F 2＋F 3＝0，则F 3＝－(F 1＋F 2)，即F 23＝F 21＋F 22＋2F 1·F 2＝F 21＋F 22＋2|F 1|·|F 2|·cos 60°＝28.故|F 3|＝27.思维升华 利用向量的载体作用，可以将向量与三角函数、不等式结合起来，解题时通过定义或坐标运算进行转化，使问题的条件结论明晰化．(1)函数y ＝sin(ωx ＋φ)在一个周期内的图象如图所示，M 、N 分别是最高点、最低点，O 为坐标原点，且OM →·ON →＝0，则函数f (x )的最小正周期是______．(2)已知在平面直角坐标系中，O (0,0)，M (1,1)，N (0,1)，Q (2，3)，动点P (x ，y )满足不等式0≤OP →·OM →≤1,0≤OP →·ON →≤1，则z ＝OQ →·OP →的最大值为________． 答案 (1)3 (2)3解析 (1)由图象可知，M ⎝⎛⎭⎫12，1，N ()x N ，－1，所以OM →·ON →＝⎝⎛⎭⎫12，1·(x N ，－1)＝12x N－1＝0， 解得x N ＝2，所以函数f (x )的最小正周期是2×⎝⎛⎭⎫2－12＝3. (2)∵OP →＝(x ，y )，OM →＝(1,1)，ON →＝(0,1)，OQ →＝(2,3)，∴OP →·OM →＝x ＋y ，OP →·ON →＝y ，OQ →·OP →＝2x ＋3y ，即在⎩⎪⎨⎪⎧0≤x ＋y ≤1，0≤y ≤1条件下，求z ＝2x ＋3y 的最大值，由线性规划知识得，当x ＝0，y ＝1时，z max ＝3.第五讲 平面向量（二）1．(2016·北师大附中模拟)已知向量a ＝(x －1,2)，b ＝(2,1)，则a ⊥b 的充要条件是( )A ．x ＝－12B ．x ＝－1C ．x ＝5D ．x ＝0答案 D2．若向量a ，b 满足|a |＝|b |＝2，a 与b 的夹角为60°，则|a ＋b |等于( )A ．22＋ 3B ．2 3C ．4D ．12 答案 B解析 |a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2|a ||b |cos 60°＝4＋4＋2×2×2×12＝12，|a ＋b |＝2 3.3．(2016·山西四校二联)已知平面向量a ，b 满足a ·(a ＋b )＝3，且|a |＝2，|b |＝1，则向量a 与b 夹角的正弦值为( )A ．－12B ．－32 C.12 D.32答案 D解析 ∵a ·(a ＋b )＝a 2＋a ·b ＝22＋2×1×cos 〈a ，b 〉＝4＋2cos 〈a ，b 〉＝3，∴cos 〈a ，b 〉＝－12，又〈a ，b 〉∈[0，π]，∴sin 〈a ，b 〉＝1－cos 2〈a ，b 〉＝32.4．在△ABC 中，(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，则△ABC 的形状一定是( ) A ．等边三角形 B ．等腰三角形C ．直角三角形D ．等腰直角三角形 答案 C解析 由(BC →＋BA →)·AC →＝|AC →|2，得AC →·(BC →＋BA →－AC →)＝0，即AC →·(BC →＋BA →＋CA →)＝0， 2AC →·BA →＝0，∴AC →⊥BA →，∴A ＝90°.又根据已知条件不能得到|AB →|＝|AC →|，故△ABC 一定是直角三角形．5．(2016·山东)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A ．4B ．－4 C.94 D ．－94答案 B解析 ∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.6．(2016·南宁模拟)已知向量a ＝(cos α，－2)，b ＝(sin α，1)且a ∥b ，则sin 2α等于( )A ．3B ．－3 C.45 D ．－45答案 D解析 由a ∥b 得cos α＋2sin α＝0，∴cos α＝－2sin α，又sin 2α＋cos 2α＝1，∴5sin 2α＝1，sin 2α＝15，cos 2α＝45，sin 2α＝2sin αcos α＝－cos 2α＝－45.7．(2016·武汉模拟)设△ABC 的三个内角为A ，B ，C ，向量m ＝(3sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，3cos A )，若m·n ＝1＋cos(A ＋B )，则C 等于( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案 C解析 依题意得3sin A cos B ＋3cos A sin B ＝1＋cos(A ＋B )，3sin(A ＋B )＝1＋cos(A ＋B )，3sin C ＋cos C ＝1,2sin(C ＋π6)＝1，sin(C ＋π6)＝12.又π6<C ＋π6<7π6，因此C ＋π6＝5π6，C ＝2π3.8．如图，在△ABC 中，若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，AB ＝2，AC ＝1，E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →等于( ) A.89 B.109 C.259 D.269 答案 B解析 若|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即有AB →·AC →＝0.E ，F 为BC 边的三等分点，则AE →·AF →＝(AC →＋CE →)·(AB →＋BF →)＝⎝⎛⎭⎫AC →＋13CB →·⎝⎛⎭⎫AB →＋13BC →＝⎝⎛⎭⎫23AC →＋13AB →·⎝⎛⎭⎫13AC →＋23AB →＝29AC →2＋29AB →2＋59AB →·AC →＝29×(1＋4)＋0＝109.故选B. 9．(2017·驻马店质检)若O 为△ABC 所在平面内任一点，且满足(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，则△ABC 的形状为( ) A ．正三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形 D ．等腰直角三角形 答案 C解析 因为(OB →－OC →)·(OB →＋OC →－2OA →)＝0，即CB →·(AB →＋AC →)＝0，因为AB →－AC →＝CB →，所以(AB →－AC →)·(AB →＋AC →)＝0，即|AB →|＝|AC →|，所以△ABC 是等腰三角形，故选C.10．若△ABC 外接圆的圆心为O ，半径为4，OA →＋2AB →＋2AC →＝0，则CA →在CB →方向上的投影为( )A ．4 B.15 C.7 D ．1 答案 C解析 如图所示，取BC 的中点D ，连接AD ，OD ，则由平面向量的加法的几何意义得AB →＋AC →＝2AD →.又由条件得，AB →＋AC →＝－12OA →＝12AO →，所以2AD →＝12AO →，即4AD →＝AO →，所以A ，O ，D 共线．所以OA ⊥BC ，所以CD 为CA →在CB →方向上的投影．因为|AO →|＝|CO →|＝4，所以|OD →|＝3，所以|CD →|＝ |OC →|2－|OD →|2＝7.11．在△ABC 中，M 是BC 的中点，AM ＝3，点P 在AM 上，且满足AP →＝2PM →，则P A →·(PB →＋PC →)的值为________． 答案 －4解析 由题意得，AP ＝2，PM ＝1，所以P A →·(PB →＋PC →)＝P A →·2PM →＝2×2×1×cos 180°＝－4.12．在△ABC 中，AB →·BC →＝3，△ABC 的面积S ∈[32，32]，则AB →与BC →夹角的取值范围是________．答案 [π6，π4]解析 由三角形面积公式及已知条件知32≤S △ABC ＝12AB ·BC sin B ≤32，所以3≤AB ·BC sin B ≤3，①由AB →·BC →＝3，知AB ·BC cos(π－B )＝3，所以AB ·BC ＝－3cos B，代入①得，3≤－3sin B cos B ≤3，所以－1≤tan B ≤－33，所以3π4≤B ≤5π6，而AB →与BC →的夹角为π－B ，其取值范围为[π6，π4]．13．在菱形ABCD 中，若AC ＝4，则CA →·AB →＝________. 答案 －8解析 设∠CAB ＝θ，AB ＝BC ＝a ，由余弦定理得：a 2＝16＋a 2－8a cos θ，∴a cos θ＝2， ∴CA →·AB →＝4×a ×cos(π－θ)＝－4a cos θ＝－8.14．已知平面向量a ，b 满足|a |＝1，|b |＝2，a 与b 的夹角为π3.以a ，b 为邻边作平行四边形，则此平行四边形的两条对角线中较短的一条的长度为______． 答案 3解析 ∵|a ＋b |2－|a －b |2＝4a·b ＝4|a ||b |cos π3＝4>0，∴|a ＋b |>|a －b |，又|a －b |2＝a 2＋b 2－2a·b ＝3，∴|a －b |＝ 3. 15．(2016·江西白鹭洲中学调研)已知在直角三角形ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝BC ＝2，点P 是斜边AB上的中点，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝________. 答案 4解析 由题意可建立如图所示的坐标系，可得A (2,0)，B (0,2)，P (1,1)，C (0，0)，则CP →·CB →＋CP →·CA →＝CP →·(CB →＋CA →)＝2CP →2＝4.16．(2015·福建改编)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t ，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC→|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于________． 答案 13解析 建立如图所示坐标系，则B ⎝⎛⎭⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝⎛⎭⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝⎛⎭⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1,4)， ∴P (1,4)，PB →·PC →＝⎝⎛⎭⎫1t －1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝⎛⎭⎫1t ＋4t ≤17－21t·4t ＝13. 17．已知|a |＝4，|b |＝3，(2a －3b )·(2a ＋b )＝61.(1)求a 与b 的夹角θ；(2)求|a ＋b |；(3)若AB →＝a ，BC →＝b ，求△ABC 的面积． 解 (1)因为(2a －3b )·(2a ＋b )＝61，所以4|a |2－4a·b －3|b |2＝61. 又|a |＝4，|b |＝3，所以64－4a·b －27＝61，所以a·b ＝－6，所以cos θ＝a·b|a||b |＝－64×3＝－12.又0≤θ≤π，所以θ＝23π.(2)|a ＋b |2＝(a ＋b )2＝|a |2＋2a·b ＋|b |2＝42＋2×(－6)＋32＝13， 所以|a ＋b |＝13.(3)因为AB →与BC →的夹角θ＝23π，所以∠ABC ＝π－2π3＝π3.又|AB →|＝|a |＝4，|BC →|＝|b |＝3，所以S △ABC ＝12|AB →||BC →|·sin ∠ABC ＝12×4×3×32＝3 3.18．在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sinB )，且m ·n ＝－35.(1)求sin A 的值；(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →方向上的投影．解 (1)由m ·n ＝－35，得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－35，所以cos A ＝－35.因为0＜A ＜π，所以sin A ＝1－cos 2A ＝ 1－⎝⎛⎭⎫－352＝45. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ，则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝22，因为a ＞b ，所以A ＞B ，则B ＝π4.由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35，解得c ＝1， 故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22.19．已知点P (0，－3)，点A 在x 轴上，点Q 在y 轴的正半轴上，点M 满足P A →·AM →＝0，AM →＝－32MQ →，当点A 在x 轴上移动时，求动点M 的轨迹方程．解 设M (x ，y )为所求轨迹上任一点，设A (a,0)，Q (0，b )(b ＞0)， 则P A →＝(a,3)，AM →＝(x －a ，y )，MQ →＝(－x ，b －y )， 由P A →·AM →＝0，得a (x －a )＋3y ＝0.①由AM →＝－32MQ →，得(x －a ，y )＝－32(－x ，b －y )＝⎝⎛⎭⎫32x ，32(y －b )， ∴⎩⎨⎧x －a ＝32x ，y ＝32y －32b ，∴⎩⎨⎧a ＝－x 2，b ＝y3.∴b ＞0，y ＞0，把a ＝－x 2代入①，得－x 2⎝⎛⎭⎫x ＋x 2＋3y ＝0，整理得y ＝14x 2(x ≠0)．∴动点M 的轨迹方程为y ＝14x 2(x ≠0)．20．已知角A ，B ，C 是△ABC 的内角，a ，b ，c 分别是其所对边长，向量m ＝(23sin A 2，cos 2A2)，n ＝(cosA2，－2)，m ⊥n . (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，cos B ＝33，求b 的长．解 (1)已知m ⊥n ，所以m·n ＝(23sin A 2，cos 2A 2)·(cos A2，－2)＝3sin A －(cos A ＋1)＝0，即3sin A －cos A ＝1，即sin(A －π6)＝12，因为0<A <π，所以－π6<A －π6<5π6.所以A －π6＝π6，所以A ＝π3.(2)在△ABC 中，A ＝π3，a ＝2，cos B ＝33，sin B ＝1－cos 2B ＝ 1－13＝63.由正弦定理知a sin A ＝b sin B ，所以b ＝a ·sin Bsin A ＝2×6332＝423.*21．(2016·青岛模拟)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1,2)，又点A (8,0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π2)．(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →.解 (1)由题设知AB →＝(n －8，t )，∵AB →⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0.又∵5|OA →|＝|AB →|，∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8.当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8，∴OB →＝(24,8)或OB →＝(－8，－8)．(2)由题设知AC →＝(k sin θ－8，t )，∵AC →与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16，t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ＝－2k (sin θ－4k )2＋32k.∵k >4，∴0<4k <1，∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32k.由32k ＝4，得k ＝8，此时θ＝π6，OC →＝(4,8)，∴OA →·OC →＝(8,0)·(4,8)＝32. *22.已知平面上一定点C (2,0)和直线l ：x ＝8，P 为该平面上一动点，作PQ ⊥l ，垂足为Q ，且(PC →＋12PQ →)·(PC→－12PQ →)＝0. (1)求动点P 的轨迹方程；(2)若EF 为圆N ：x 2＋(y －1)2＝1的任意一条直径，求PE →·PF →的最值． 解 (1)设P (x ，y )，则Q (8，y )．由(PC →＋12PQ →)·(PC →－12PQ →)＝0，得|PC →|2－14|PQ →|2＝0，即(2－x )2＋(－y )2－14(8－x )2＝0，化简得x 216＋y 212＝1.∴动点P 在椭圆上，其轨迹方程为x 216＋y212＝1.(2)∵PE →＝PN →＋NE →，PF →＝PN →＋NF →，且NE →＋NF →＝0.∴PE →·PF →＝PN →2－NE →2＝(－x )2＋(1－y )2－1＝16(1－y 212)＋(y －1)2－1＝－13y 2－2y ＋16＝－13(y ＋3)2＋19.∵－23≤y ≤2 3.∴当y ＝－3时，PE →·PF →的最大值为19，当y ＝23时，PE →·PF →的最小值为12－4 3.综上，PE →·PF →的最大值为19，最小值为12－4 3.。
利用向量解平面几何问题
利用向量解平面几何问题沈 凯(天津市南开中学,300100) 用向量解决平面几何问题,首先是在图形中选出一对不平行的有向线段,设为a 、b ,则平面内的其他有向线段均可用a 、b 惟一表示,即AB =p a +q b.有序实数对(p ,q )可看成AB 的“坐标”,这里近似于复数,但它的优点在于直观性,a 、b 可以是不互相垂直,同时起始点可以任意选定,从而对于解决几何问题有着较大的自由度.本文仅就两个方面说明它的价值. 一、证明三点共线定理1 A 、B 、C 为平面上不重合的三点,则A 、B 、C 三点共线ΖAB ∥AC Ζ存在实数λ,使AB =λAC .定理2 a ∥\b λa +μb =0]λ+μ=0.图1例1 如图1,凸四边形ABCD 中,AB 、DC 的延长线交于E ,AD 、BC 的延长线交于 F.P 、Q 、R 依次为AC 、BD 、EF 的中点.求证:P 、Q 、R 三点共线.这是著名的牛顿定理.证明:设AB =a ,AD =b ,B E =λa ,DF =μb ,EC =m ED ,FC =n FB.有AC =AE +EC =AE +m (AD -AE )=(1+λ)(1-m )a +m b.又 AC =AF +FC =AF +n (AB -AF )=(1+μ)(1-n )b +n a ,则有(1+λ)(1-m )=n ,(1+μ)(1-n )=m.解得m =(1+μ)λλ+μ+λμ,n =(1+λ)μλ+μ+λμ.又∵AR =12(AE +AF )=12[(1+λ)a +(1+μ)b ],AQ =12(AB +AD )=12(a +b ),AP =12AC=12(1+λ)μλ+μ+λμ・a +(1+μ)λλ+μ+λμ・b ,∴QR =AR -AQ =12(λa +μb ),PR =AR -AP=12・(1+λ)(1+μ)λ+μ+λμ・(λa +μb ).故PR =(1+λ)(1+μ)λ+μ+λμ・QR.有PR ∥QR.即P 、Q 、R 三点共线.例2 △ABC 的外心为O ,重心为G ,垂心为H.求证:O 、G 、H 三点共线,并且OG =13OH.这是著名的欧拉定理.证明:∵OG =OA +AG =OB +BG =OC +CG ,∴3OG =(OA +OB +OC )+(AG +BG +CG ).∵G 是△ABC 的重心,∴AG +BG +CG =0,即 OG =13(OA +OB +OC ).设OH ′=OA +OB +OC ,则AH ′・BC =(OH ′-OA )(BO +OC )=(OB +OC )(OC -OB )=|OC |2-|OB |2=0.又O 为△ABC 的外心,且|OA |=|OB |=|OC |,则AH ′⊥BC.同理,B H ′⊥AC ,CH ′⊥AB.可得H ′为△ABC 的垂心(H ′与H 重合).故OH =OA +OB +OC ]OG =13OH.有OG ∥OH ,即O 、G 、H 三点共线.另证:OH =OA +OB +OC.512003年第1期图2如图2,O 为外心,H 为垂心,延长BD 交圆于D ,则四边形AHCD 为平行四边形.则有OH =OA +AH=OA +DC=OA +DO +OC =CA +OB +OC.说明:欲证A 、B 、C 三点共线,应掌握以下几个环节.①在图中找出基础向量,即a 、b ;②试用a 、b 惟一表示AB 、AC 、BC 中的任意两个;③对直接计算比较困难的,可以采用待定系数法,即设AB =x a +y b ,利用图形中其他关系量求得x 、y ;④若AB =m a +n b ,BC =p a +q b ,则只需证明m p =nq即可. 二、证明垂直定理3 AB ・AC =|AB |・|AC |・cos ∠BAC.定理4 AB ・AC =0ΖAB ⊥AC .图3例3 如图3,在△ABC 中,O 为外心,三条高线交于H ,D 、E 、F 为垂足,直线ED 、AB 交于M ,直线FD 、AC 交于N.求证:(1)OB ⊥DF ,OC ⊥DE;(2)OH ⊥MN.(2001,全国高中数学联赛)证明:(1)设△ABC 外接圆半径为R ,则有OB ・D F =OB ・(DB +B F )=OB ・DB +OB ・B F =BO ・BD -BO ・B F =|BO |・|BD |・cos ∠DBO -|BO |・|B F |・cos ∠F BO =R ・|BD |sin ∠BAC -R ・|B F |sin ∠AC B =12|BD |・|BC |-12|B F |・|BA |.∵四边形A FDC 为圆内接四边形,∴|B F |・|BA |=|BD |・|BC |.∴OB ・D F =0.故OB ⊥D F ,即OB ⊥DF.同理,OC ⊥DE.(2)OH ・MN =OH ・(AN -AM )=OH ・AN -OH ・AM.而OH ・AN =(OA +OB +OC )・AN =(OA +OC )・AN +OB ・AN =OB ・AN [∵(OA +OC )⊥AN ]=OB ・(FN -FA )=OB ・FN -OB ・FA =-OB ・FA (∵OB ⊥FN )=BO ・FA =|BO |・|FA |・cos ∠OBA =R ・|AC |・cos ∠BAC ・sin ∠ACB =12|AC |・|AB |・cos ∠BAC =12AC ・AB .同理,OH ・AM =12AC ・AB.则OH ・MN =0.有OH ⊥MN .即OH ⊥MN.图4例4 如图4,在 ABCD 两边BC 、CD 向外分别作正方形BCNM 、CDPQ.求证:AC ⊥QN.证明:AC ・QN=(AB +BC )・(QC +CN )=AB ・QC +AB ・CN +BC ・QC +BC ・CN =AB ・CN +BC ・QC (∵AB ⊥QC ,BC ⊥CN )=CB ・CQ -CD ・CN =|CB |・|CQ |・cos ∠BCQ -|CD |・|CN |・cos ∠DCN.∵|CB |=|CN |,|CQ |=|CD |,∠BCQ =∠DCN ,∴AC ・QN =0]AC ⊥QN ,即AC ⊥QN.利用向量法解决几何问题的例子很多.只要善于总结,勤于归纳,就能掌握这一解决平面几何问题的方法.61中等数学。
利用向量解决平面几何问题
利用向量解决平面几何问题平面几何是数学中的一个重要分支，利用向量解决平面几何问题是一种常用的方法。
向量的引入可以使平面几何问题更加直观、简洁，并且能够帮助我们更好地理解和解决这些问题。
本文将介绍向量在平面几何中的应用，以及如何利用向量解决平面几何问题。
一、向量的基本概念1.1 向量的定义向量是有方向和大小的量，通常用一个箭头表示。
在平面几何中，向量可以表示为有序数对(x, y)，其中x和y分别表示向量在x轴和y轴上的投影。
1.2 向量的运算在平面几何中，向量可以进行加减、数乘和内积运算。
- 向量的加减：向量的加法是对应分量相加，向量的减法是对应分量相减。
- 向量的数乘：向量的数乘是将向量的每个分量分别乘以一个标量。
- 向量的内积：向量的内积是将向量的对应分量相乘后相加。
1.3 向量的性质在平面几何中，向量具有以下重要的性质：- 向量的模：向量的模表示向量的大小，用 ||v|| 或 |v| 表示，计算公式为：||v|| = √(x^2 + y^2)。
- 零向量：零向量的模为0，记作0，它的方向任意。
- 单位向量：单位向量的模为1，可以通过将向量除以其模得到单位向量。
二、向量在平面几何中的应用2.1 向量的平移在平面几何中，我们可以利用向量实现图形的平移。
设有向量v表示平移的距离和方向，点A(x, y)经过平移后得到点B(x', y')，则有：B(x', y') = A(x, y) + v2.2 向量的共线与垂直在平面几何中，我们可以利用向量判断线段的共线与垂直关系。
设有向量u和v表示两条线段的方向，则有以下判断方法：- 共线判断：若存在实数k，使得 u = kv，则两条线段共线。
- 垂直判断：若 u·v = 0，则两条线段垂直。
2.3 向量的夹角在平面几何中，我们可以利用向量的夹角计算两条线段的夹角。
设有向量u和v，它们的夹角记作θ，则有以下计算方法：cosθ = (u·v) / (||u||·||v||)2.4 平面向量的投影在平面几何中，我们可以利用向量的投影解决线段之间的关系。
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利用向量解决平面几何问题的方法与技巧平面几何是数学中的一个重要分支，它研究平面上的点、直线、圆等几何图形及其性质。
解决平面几何问题时，常常可以运用向量的概念和运算来简化计算和分析过程。
本文将介绍一些利用向量解决平面几何问题的方法与技巧。
一、向量的基本概念与运算
在讨论向量解决平面几何问题之前，首先需要了解向量的基本概念和运算。
向量是具有大小和方向的量，可以表示为箭头形式或坐标形式。
向量的加法满足交换律和结合律，即（a+b）+c=a+（b+c），
a+b=b+a。
向量的数乘是将向量的长度进行拉伸或压缩的操作，结果仍是一个向量。
二、利用向量进行辅助构造
1. 向量平移
在解决平面几何问题时，有时可以通过向量平移来简化问题。
设有一个平面几何问题，已知点A，B，C等多个点，需要求得某个点D。
可以选择一个已知向量，用它将所有的点平移，然后通过平移后的点的位置关系来确定点D的位置。
2. 向量加法构造向量
当需要得到几何图形中的一个向量时，可以利用已知向量进行向量
加法构造。
例如，已知直线上的两个点A和B，需要求得直线上的另
一个点C，可以利用已知向量AB和一条与直线垂直的向量得出向量AC，从而确定点C在直线上的位置。
三、利用向量进行问题的求解
1. 直线和向量的关系
在平面几何中，直线可以由点和向量唯一确定。
已知直线上的两点
A和B，通过向量AB可以得到直线上的一个特征向量。
2. 平行和共线的判定
利用向量的平行性质，可以方便地判定两条直线是否平行或共线。
若两个向量的方向相同或相反，则两条直线平行；若两个向量共线，
则两条直线共线。
3. 角度和向量的夹角
利用向量的内积，可以求得两个向量之间的夹角。
已知两个向量a
和b，它们的夹角θ满足公式cosθ=(a·b)/(|a||b|)。
4. 平面和向量的关系
在解决平面几何问题时，有时可以通过平面的法线向量来简化问题。
已知平面上的三个点A、B、C，可以通过向量AB和向量AC求得平
面的法线向量，从而得到平面的方程。
四、向量法证明几何定理
利用向量的性质和运算，可以进行一些几何定理的证明。
例如，证明“一个角的平分线上的点到角两边的距离相等”。
设角BAC的平分线为AD，选择顺意向量AD和AB，由向量差的性质可知，AD=1/2(A+B)-A=1/2B，同理AD=1/2C，所以AD=1/2B=1/2C，即得证。
五、总结
利用向量解决平面几何问题可以简化计算和分析过程，提高解题效率。
在实际应用中，对向量的概念和运算要有清晰的了解，善于利用
向量进行辅助构造和求解。
同时，掌握向量法证明几何定理的技巧也
是解决平面几何问题的重要方法之一。
通过学习和应用向量解决平面
几何问题的方法与技巧，可以在数学学习和解题中取得更好的成绩。