浅谈向量在中学几何中的应用

浅谈向量在中学几何中的应用摘要：向量是新教材中的新增内容，以向量为载体的解中学几何问题是新课程高考中出现的新趋势，本文就有关向量在中学几何中的应用谈谈自己的看法。

关键词：向量；向量的模；向量的加法和减法；向量与解析几何；向量与立体几何一.平面向量在解析几何中的应用1.向量坐标与点的坐标向量坐标与点的坐标是不同的，设()()1122,,,A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--，但当向量是以坐标原点为起点时，向量坐标就是点的坐标，即()1,1OA x y =.例1（01天津）设坐标原点为O ，抛物线22y x =与过焦点的直线交于A 、B 两点，则=⋅OB OA解：设()11,A x y 、()22,B x y ，则()11,OA x y =，()22,OB x y =22121212124y y OA OB x x y y y y ∴⋅=+=+，又抛物线22y x =的焦点为1,02F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，可设直线AB 方程为12x my =+代入22y x =得2210y my --=，121y y ∴=-，故13144OA OB ⋅=-=-。

2.利用向量的数量积求夹角由cos ,a b a b a b ⋅=可知,向量的数量积在解决与长度、角度有关的问题时非常有效. 例2．（04全国）给定抛物线C ：y 2=4x ，F 是C 的焦点，过点F 的直线l 与C 相交于AB 两点，设l 的斜率为1，求OA 与OB 的夹角的大小；解：抛物线的焦点为F （1，0），直线l 的斜率为1，所以l 的方程为1y x =- 将1y x =-，代入方程24y x =，并整理得 2610x x -+= 设()()1122,,,A x y B x y ，则有126x x +=，121x x =()()()112,212121212,213OA OB x y x y x x y y x x x x ⋅=⋅=+=-++=-222112||||OA OB x y x =+⋅+==∴()3cos ,41OA OB OA OB OA OB⋅==-⋅∴OA OB 与夹角的大小为arc cos41π-3.利用0a b a b ⋅=⇔⊥处理解析几何中有关垂直的问题例3．（04重庆）设0p >是一常数，过点()2,0Q 的直线与抛物线22y x = 交于相异两点A 、B ，以线段AB 为直经作圆H （H 为圆心）.试证抛物线顶点在圆H 的圆周上；并求圆H 的面积最小时直线AB 的方程.分析: 证抛物线顶点在圆H 的圆周上,即证OA OB ⊥,即证0OA OB ⋅= 解：由题意，直线AB 不能是水平线，故可设直线方程为：2ay x =-.设()(),,,A A B B A x y B x y ｝，则其坐标满足222ay x y x =-⎧⎨=⎩消去x 可得 2240y ay --=，则24A B A By y a y y +=⎧⎨=-⎩⎪⎩⎪⎨⎧==+=++=+44)(,24)(422B A B A B A B A y y x x a y y a x x因此0,A B A B OA OB x x y y ⋅=+=⊥即OA OB ，故O 必在圆H 的圆周上.又由题意圆心H (),H H x y 是AB 的中点，故⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+=+=+=.2,222a y y y a x x x B A H B A H由前已证，OH 应是圆H 的半径，且45||2422++=+=a a y x OH H H . 从而当a=0时，圆H 的半径最小，亦使圆H 的面积最小.例4．（04安徽 春季）如图（1）,A 、B 、C 是长轴为4的椭圆上的三点，点A 是长轴的一个端点，BC 过椭圆的中心，,||2||AC BC BC AC ⊥=，求椭圆的方程.解:建立如图（1）的直角坐标系,则()2,0A ,设椭圆方程为22214x y b+=,点C 的坐标为(),m n ,则点B 的坐标为(),m n --.AC BC ⊥,∴0AC BC ⋅=,即()()2,2,20m n m n -⋅=, 图 （1） ∴ 2220m m n -+= ①2BC AC =,∴CO AC =,=∴ 1m =将m=1代入①,得n=1,∴()1,1C 代入椭圆方程得21114b +=,∴ 243b =,x故所求的椭圆方程为223144x y += 4.利用平行向量的等量关系式得到点坐标之间的关系例5．（04全国）设双曲线C ：()22210:1x y a l x y a-=>+=与直线，相交于两个不同的点A 、B ，设直线l 与y 轴的交点为P ，且5,12PA PB =求a 的值.分析:设A 、B 两点的坐标，由512PA PB =就得到了A 、B 两点坐标的等量关系，再利用韦达定理，通过解方程组得a 的值。

解：由双曲线与直线相交于两个不同的点，故知方程组22211x y ax y ⎧-=⎪⎨⎪+=⎩有两个不同的实数解,消去y 并整理得： ()22221220a x a x a -+-= ①∴()2422104810a a a a ⎧-≠⎪⎨+->⎪⎩01a a <<≠解得 设()()()1,122,,,0,1A x y B x y p112255,(,1)(,1).1212PA PB x y x y =∴-=-125.12x x =由此得 由于12,x x 都是方程①的根，且210a -≠, 222222217252,.121121a a x x a a =-=---所以222228917,0,16013a x a a a -=>=-消去得,由所以 例6．（04江苏）已知椭圆的中心在原点，离心率为12，一个焦点是F （-m,0）(m 是大于0的常数).(Ⅰ)求椭圆的方程； (Ⅱ)设Q 是椭圆上的一点，且过点F 、Q 的直线l 与y 轴交于点M. 若2MQ QF =，求直线l 的斜率. 解：（I ）设所求椭圆方程是()222210x y a ba b +=>>由已知，得 1,,2c c m a == 所以2,a m b ==.故所求的椭圆方程是2222143x y m m+=（II ）设Q (),Q Q x y ，直线()():,0,l y k x m M km =+则点当2,MQ QF =时 ()(),0,0,F m M km -由于， 则(),Q Q MQ x y km =-，(),Q Q QF m x y =---，得()()22Q Q Q Q x m x y km y ⎧=--⎪⎨-=-⎪⎩，∴2,3Q m x =- 3Q km y =，222224299(,),13343m k m m kmQ m m -+=又点在椭圆上所以，k =±解得2MQ QF =-当时， 同理得Q y km =-，2,Qx m =-于是2222241,043m k m k m m +==解得， 故直线l 的斜率是0，±5．从直线的方向向量中得到直线的斜率在直线l 上任取两点()()1122,,,A x y B x y ，则()2121,AB x x y y =--为直线l 的方向向量，当21x x ≠时，()()()212121211,1,y y AB x x x x k x x ⎛⎫-=-⋅=-⋅ ⎪-⎝⎭，而k 即为直线l 的斜率.例7．（03 全国）已知常数a >0，向量c =（0，a ），i =（1，0），经过原点O 以c +λi 为方向向量的直线与经过定点A （0，a ）以i －2λc 为方向向量的直线相交于点P ，其中λ∈R.试问：是否存在两个定点E 、F ，使得|PE|+|PF|为定值.若存在，求出E 、F 的坐标；若不存在，说明理由.分析：本题的关键是从直线的方向向量中求得过点P 的两条直线方程，用交轨法求得点P 的轨迹方程,据此再判断是否存在两定点，使得点P 到两定点距离的和为定值.解：∵i =（1，0），c =（0，a ）， (,)c i a λλ+=，2(1,2)i c a λλ-=-, 因此，直线OP 和AP 的方程分别为y ax λ=和2y a ax λ-=-, 消去参数λ，得点(),p x y 的坐标满足方程()222y y a a x -=-,整理得 22221182a y x a ⎛⎫- ⎪⎝⎭+=⎛⎫⎪⎝⎭……① 因为0a >所以得： （i）当2a =时，方程①是圆的方程，故不存在合乎题意的定点E 和F ；（ii ）当0a <<时，方程①表示椭圆，焦点2a E ⎫⎪⎪⎭和2a F ⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭为合乎题意的两个定点； （iii ）当2a >时，方程①也表示椭圆，焦点10,2E a ⎛⎫⎛+ ⎪ ⎪⎝⎝⎭和10,2F a ⎛⎫⎛- ⎪ ⎪⎝⎝⎭为合乎题意的两个定点. 向量与解析几何的融合充分体现了数学中的数形结合思想,解决这类问D题的关键是利用向量的坐标表示,将问题中的形转化为数的关系,是解析几何新的解题思想.二.空间向量与立体几何用传统的综合推理法解立体几何问题往往需要较强的空间想象力，在解决角度、距离问题时技巧性较强，一旦思路受阻就只能放弃，新课程增加的空间向量利用代数的方法，为解决这些问题提供了通用方法。

其显著优点是减弱了推理论证的成份，用计算来代替论证，其缺点是计算量加大。

如果在解决问题的过程中推理论证与向量运算综合运用，则不失为一种好办法！方式的选择用向量解题有两种方式可供选择，一种是直接用向量代数式运算，一种是向量的坐标运算。

一般来说，用向量的坐标运算，思维及运算技巧更容易掌握，因而我们尽可能采用坐标运算方式。

坐标运算方式的弱点是要精确的写出各个点的坐标，准确无误地写出相关向量的坐标，坐标一错则全盘皆错，另外，有些情况下可能并不是很方便建立直角坐标系，此时不妨考虑用代数式运算，只是运算技巧相对要强一些。

1. 代数式运算方式用代数式运算方式的要点是在空间图形中选择一组合适的基底，一般选其起点的三个不共面的向量构成基底，这样图形中任何其他向量总可以用这一组基来表示，把相关向量表示出来以后，就可用向量内积运算来讨论向量所成的角，特别是通过内积为零来证明线线垂直，用向量共线来说明线线平行等等。

例8.证明：若四面体的两对对棱垂直，则第三对对棱也垂直。

已知：四面体A BCD -中,.AB CD BC AD ⊥⊥求证：AC BD ⊥证明:选取从A 点出发的三条棱的方向向量构成一组基底，令向量AB a =，,,AC b AD c ==,,BC b a CD c b BD c a =-=-=-则 ()0AB CD a c b ⋅=⋅-=依题意有()0AD BC c b a ⋅=⋅-=，两式相减得：0b c a b ⋅-⋅= 图（2）()0AC BD b c a b c a b ⋅=⋅-=⋅-⋅= 所以 AC BD ⊥即有AC BD ⊥命题得证。