函数的极值与最值问题
极值与最值问题
极值与最值问题极值与最值问题是数学中一个重要的概念，涉及到函数的最大值和最小值的求解。
在实际应用中，我们常常需要找到某个函数在给定区间上的最大或最小值，以便做出最优的决策。
本文将介绍极值与最值问题的定义、求解方法以及一些实际应用。
一、极值与最值问题的定义在数学中，给定一个函数f(x)，我们称x=a为f(x)的极大值点，如果存在一个ε>0，对任意的x∈(a-ε，a+ε)，有f(x)≤f(a)。
类似地，我们称x=a为f(x)的极小值点，如果存在一个ε>0，对任意的x∈(a-ε，a+ε)，有f(x)≥f(a)。
最大值和最小值是函数在给定区间上的极大值和极小值。
设[a,b]是一个闭区间，函数f(x)在[a,b]上有定义。
如果对于任意的x∈[a,b]，都有f(x)≤f(a)，则称f(a)为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最大值。
同样地，如果对于任意的x∈[a,b]，都有f(x)≥f(a)，则称f(a)为函数f(x)在闭区间[a,b]上的最小值。
二、求解极值与最值的方法1. 极值点的求解方法要找到函数f(x)的极值点，可以通过求解f'(x)=0来实现。
具体步骤如下：1) 求函数f(x)的导函数f'(x)；2) 解方程f'(x)=0，得到x=k；3) 判断k是否为极值点，即判断二阶导数f''(x)的符号。
a. 如果f''(k)>0，说明f(x)在k处取极小值；b. 如果f''(k)<0，说明f(x)在k处取极大值；c. 如果f''(k)=0，说明x=k处可能为极值点，需进行进一步的分析。
2. 最值的求解方法为了找到函数f(x)在闭区间[a,b]上的最值，可以通过以下步骤进行：1) 计算函数f(x)在区间端点a和b处的函数值：f(a)和f(b)；2) 计算函数f(x)在(a,b)内的临界点，即f'(x)=0的解x=c；3) 计算函数f(x)在(a,b)内的驻点，即f'(x)不存在的解x=d。
函数的极值与最值问题
函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是数学分析中的重要内容。
在实际问题中，我们常常需要求解函数的极值或最值，来确定某一变量的最佳取值或最大最小值。
本文将介绍函数的极值与最值问题的定义、求解方法以及实际应用。
一、函数的极值与最值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，若存在一个区间I，使得对于该区间内的任意x值，f(x)的值都比f(x)在I的其它点处的值小（大），则称f(x)在I内存在极大（小）值，同时称该点为函数的极值点。
而函数在区间I内最大（小）的极值点则称为函数的最大（小）值。
二、求解函数的极值与最值的方法1. 寻找驻点首先，我们需要寻找函数的驻点。
驻点即为函数在该点的导数为零的点，也就是函数的极值点可能位于驻点处。
2. 列出极值点及临界点的值将驻点的值以及函数的定义域内的临界点的值列出，并计算出相应的函数值。
3. 比较并确定极值点及最值比较驻点和临界点的函数值，找出函数的极大值和极小值，即为函数的极值点。
同样地，比较所有极值点的函数值，找出函数的最大值和最小值。
4. 确定函数的定义域在比较极值点和临界点的函数值时，需要注意函数定义域的边界条件。
确保所比较的点处于函数的定义域内。
三、函数极值与最值问题的应用函数的极值与最值问题在实践中具有广泛的应用。
以经济学为例，函数的极值与最值问题常用于优化问题的求解。
例如，确定成本最低的生产方案或利润最大化的销售策略等。
在工程学中，函数的极值与最值问题可应用于优化设计。
比如求解最节能的物流路径、最优化的结构参数以及最大功率输出的电子电路布局等。
此外，函数的极值与最值问题还可用于求解几何问题中的最优解。
在数学建模、各类优化理论以及应用数学的研究中都有广泛的应用。
结论函数的极值与最值问题是数学分析中一个重要且常见的问题。
通过寻找函数的极值点和最值点，可以确定变量的最佳取值或者确定函数在某个区间内的最大最小值。
本文介绍了函数极值与最值问题的定义、求解方法以及应用，并指出了其在实际问题中的重要性。
函数的极值与最大值最小值
lim
x x0
f (x) f (x0 ) (x x0 )n
2
(n为正整数)
试讨论 f (x)在 x x0 点的极值问题.
解：由于 lim f (x) f (x0 ) 2 0， xx0 (x x0 )n
则
0，当x U (x0, ) 时，有
f
(x) f (x0 ) (x x0 )n
a 1 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 当a 1时，则1 e1a 0，a 1 0，于是，f (a) 0； 因此，当a 1时，f (a) 0，由第二充分条件可知： f (a) 为极小值.
-11-
例 4 设 f (x)在 x0 的某个邻域内连续，且
切线与直线 y 0 及 x 8所围成的三角形面积最大．
解 如图，设所求切点为 P(x0, y0 ), y
T
则切线PT为：y y0 2x0 (x x0 ),
B
P
y0 x02 ,
oA
Cx
A(
1 2
x0
,
0),
C(8, 0),
B(8, 16x0 x02 )
SABC
1(8 2
1 2 x0 )(16 x0
由极值定义可知：f (x)在 x0 不取得极值.
-13-
二、最大值最小值问题
假定：f (x)在[a,b]上连续，在(a,b)内除有限个点外可导， 且至多有有限个驻点.
讨论：f (x) 在[a,b]上的最大值与最小值的问题.
★ 最值的存在性：
若 f (x)在[a,b] 上连续，则 f (x) 在[a,b]上的最值必定存在.
如：y x3，y x0 0， 但 x 0 不是极值点.
【注 2】函数的极值点只可能是驻点或导数不存在的点.
函数的极值与最大值最小值
x1 x2 x3 x4 x5
定理1(必要条件) 设函数f(x)在点x0处可导, 且在x0处取得极值, 那么f ′(x0)=0. •驻点 使导数f ′(x)为零的点(方程f ′(x)=0的实根)称为函数 f(x)的驻点. 观察与思考： (1) 观察曲线的升降与极值
x1 x2
x3 x4 x5
定理2(第一充分条件)
设函数f(x)在x0处连续, 且在(a, x0)∪(x0, b)内可导. (1)如果在(a, x0)内f ′(x)>0, 在(x0, b)内f ′(x)<0, 那么函数f(x) 在x0处取得极大值; (2)如果在(a, x0)内f ′(x)<0, 在(x0, b)内f ′(x)>0, 那么函数f(x) 在x0处取得极小值; (3)如果在(a, x0)及(x0, b)内 f ′(x)的符号相同, 那么函数f(x) 在x0处没有极值.
1 2 所以当b= d 时, 抗弯截面模量 W 最大, 这时 h = d . 3 3
讨论：
函数f(x)=x4, g(x)=x3在点x=0是否有极值？ >>>
例2 求函数f(x)=(x2−1)3+1的极值. 解 f ′(x)=6x(x2−1)2. 令f ′(x)=0, 求得驻点x1=−1, x2=0, x3=1. f ′′(x)=6(x2−1)(5x2−1). 因为f ′′(0)=6>0, 所以f (x)在x=0处取得极小值, 极小值为f(0)=0. 因为f ′′(−1)=f ′′(1)=0, 所以用定理3无法判别. 因为在−1的左右邻域内f ′(x)<0, 所以f(x)在−1处没有极值. 同理, f(x)在1处也没有极值.
函数的极值与最值问题
函数的极值与最值问题函数的极值与最值问题是微积分中的重要概念，涉及到求解函数在某一区间内的最大值或最小值的问题。
本文将介绍极值与最值的定义、求解方法以及相关应用。
一、极值的定义在数学中，给定一个函数f(x)，如果存在一个实数a，使得对于a点的某一邻域内的任意x值，都有f(x) ≤ f(a)，则称f(x)在点a处取得极大值。
同理，如果存在一个实数a，使得对于a点的某一邻域内的任意x 值，都有f(x) ≥ f(a)，则称f(x)在点a处取得极小值。
二、求解极值的方法1. 寻找函数的极值需要先求出函数的导数。
对于给定的函数f(x)，可以通过求导的方法得到其导函数f'(x)。
2. 将导函数f'(x)等于零，解方程求出所有满足条件的x值，即为函数的临界点。
3. 确定临界点是否为极值点，可以通过二阶导数来判断。
如果二阶导数f''(x)在该点处大于零，则该点为极小值点；如果二阶导数小于零，则该点为极大值点。
4. 对于临界点以及区间的边界点，将其代入原函数f(x)，求出对应的y值，即为函数在各个极值点处的极值。
三、最值的定义函数的最大值是指函数f(x)在给定区间内取得的最大的y值，而函数的最小值则是在给定区间内取得的最小的y值。
四、求解最值的方法1. 给定一个函数f(x)，可以通过求解极值的方法来求得函数在给定区间内的最大值或最小值。
2. 首先，根据前述方法求得函数的极值点。
3. 然后，将求得的极值点对应的x值代入原函数f(x)，求出对应的y值。
4. 比较各个极值点及区间的边界点处的y值，即可得到函数在给定区间内的最大值和最小值。
五、应用举例函数的极值与最值问题在实际应用中有着广泛的应用，以下举例介绍其中两个常见的应用场景。
1. 最大利润问题假设有一家公司的成本函数为C(x)，收入函数为R(x)，利润函数为P(x) = R(x) - C(x)。
公司的目标是在一定生产规模内，求得利润最大值。
研究函数的极值与最值问题
研究函数的极值与最值问题在数学中，研究函数的极值和最值问题是非常重要的。
通过研究函数的极值和最值，我们可以了解函数的性质，并解决许多实际问题。
一、极值问题函数的极值是指在一定范围内的最大值或最小值。
为了求得函数的极值，我们需要先求出函数的导数，然后令导数为零并解方程，得到极值对应的自变量值。
接下来，可以通过代入自变量值进入原函数来求得极值。
举个例子，考虑函数 f(x) = 2x^3 - 3x^2 - 12x + 4 在区间 [-2, 3] 上的极值问题。
首先，我们求得导数 f'(x) = 6x^2 - 6x - 12。
令 f'(x) = 0，解方程可以得到x = -1 和 x = 2。
接着，我们将这两个值代入原函数 f(x) 中，可以得到 f(-1) = -7 和 f(2) = 6。
所以，在区间 [-2, 3] 上，函数 f(x) 的最小值为 -7，对应的自变量 x = -1，函数 f(x) 的最大值为 6，对应的自变量 x = 2。
二、最值问题函数的最值是指函数在整个定义域内的最大值或最小值。
为了求得函数的最值，我们需要先求得函数的导数，并研究其在定义域内的增减性以及边界情况。
根据导数和边界的关系，可以找到函数在定义域内的最值。
以函数 g(x) = x^2 + 4x - 3 为例，我们可以求得导数 g'(x) = 2x + 4。
通过观察导数的符号，我们可以发现在 x < -2 时，导数为负数，表示函数 g(x) 单调递减；在 x > -2 时，导数为正数，表示函数 g(x) 单调递增。
由于函数 g(x) 是一个二次函数，我们可以知道当 x 趋近无穷大或无穷小时，函数的值无限增大，因此函数g(x) 在无穷大时没有最大值。
另外，函数 g(x) 在定义域内都是连续的，所以可以确定函数 g(x) 存在最小值。
为了找到函数 g(x) 的最小值，我们可以考虑其导数为零的情况。
函数的极值与最值知识点
函数的极值与最值知识点函数是数学中非常重要的概念，它描述了变量之间的关系。
在函数中，经常会遇到极值与最值的问题。
本文将介绍与函数的极值与最值相关的知识点。
一、函数的极值函数的极值指的是在函数曲线上存在的最高点或最低点。
根据函数的定义域和值域，可以分为两种极值：最大值和最小值。
1. 定义域与值域在讨论函数的极值之前，首先需要明确函数的定义域和值域。
定义域是指函数的自变量的取值范围，而值域则是函数的因变量的取值范围。
2. 局部极值对于实数域上的函数，如果在某个区间内存在一个点，使得这个点左右两侧的函数值都比它小（或都比它大），那么这个点就是函数在该区间内的局部最小值（或最大值）。
3. 单调性与极值单调性是指函数在定义域内的变化趋势。
如果函数在某个区间内单调递增，那么在这个区间内，函数的最小值一定在区间的起点上；如果函数在某个区间内单调递减，那么在这个区间内，函数的最大值一定在区间的终点上。
二、函数的最值函数的最值指的是函数在定义域内可能取得的最大值或最小值。
1. 最大值与最小值对于连续函数，在有限闭区间上一定存在最大值和最小值。
根据最值的性质，最大值是函数图像上的“最高点”，最小值是函数图像上的“最低点”。
2. 最值的求解方法为了找到函数的最值，可以使用以下方法：（1）导数法：通过求函数的导数，找到导数为零的点，并且通过二阶导数的符号判断这些点是极值点还是驻点。
（2）边界法：当函数定义域为闭区间时，极值可能出现在端点上。
三、综合例题为了更好的理解函数的极值与最值，下面给出一个综合例题：例题：已知函数f(x) = 2x^3 - 3x^2 + 4x - 1，求其在定义域[-2,2]上的最大值和最小值。
解答：首先，将函数f(x)对x求导，得到f'(x) = 6x^2 - 6x + 4。
令f'(x) = 0，解得x = 1/3。
然后，计算f''(1/3) = 4，由于f''(1/3)大于0，所以x = 1/3是函数f(x)的一个局部最小值点。
函数极值与最值问题的解决方法
函数极值与最值问题的解决方法在数学中，函数极值与最值问题一直是学习者们面临的难题。
解决这类问题需要运用一些特定的方法和技巧。
本文将探讨一些常见的解决方法，帮助读者更好地理解和应用。
一、导数法导数法是解决函数极值与最值问题的一种常用方法。
对于给定的函数，我们可以通过求导数来找到其极值点。
具体步骤如下：1. 求出函数的导函数。
2. 解方程f'(x) = 0，找出导函数的零点，即可能的极值点。
3. 利用二阶导数的符号判断这些零点的性质。
若f''(x) > 0，则该点为极小值点；若f''(x) < 0，则该点为极大值点。
4. 将极值点带入原函数，求出函数的极值。
举个例子，考虑函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1。
首先，求导得到f'(x) = 3x^2 -6x + 2。
然后，解方程f'(x) = 0，得到x = 1和x = 2/3。
接着，计算二阶导数f''(x) =6x - 6，发现f''(1) = 0，f''(2/3) = -2。
因此，x = 1是极小值点，x = 2/3是极大值点。
最后，将这两个点带入原函数，求得f(1) = 2和f(2/3) = 4/27，即函数f(x)在x = 1处取得极小值2，在x = 2/3处取得极大值4/27。
二、区间法区间法是一种直观且易于理解的解决函数极值与最值问题的方法。
它通过观察函数在不同区间的变化趋势来确定极值点的位置。
具体步骤如下：1. 找出函数的定义域。
2. 将定义域分成若干个区间。
3. 在每个区间内，计算函数的值，并找出最大值和最小值。
4. 比较各个区间的最大值和最小值，确定函数的最大值和最小值。
例如，考虑函数f(x) = x^2 - 4x + 3。
首先，求出函数的定义域为(-∞, +∞)。
然后，将定义域分成三个区间：(-∞, 1)，(1, 3)，(3, +∞)。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
第讲函数的极值与最值问题
【最新考纲】
1.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件；
2.会用导数求函数的极大值、极小值；
3.会求闭区间上函数的最大值、最小值。
知识梳理
1.函数的极值
一般地，当函数f(x)在点x0处连续时，
(1)如果在x0附近的左侧_______，右侧______，那么f(x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧_______，右侧，那么f(x0)是极小值.
2.函数的最值
(1)在闭区间[a，b]上连续的函数f(x)在[a，b]上必有最大值与最小值.
(2)若函数f(x)在[a，b]上单调递增，则为函数的最小值，为函数的最大值；若函数f(x)在[a，b]上单调递减，则为函数的最大值，为函数的最小值.
题型一用导数解决函数极值问题
命题点1 根据函数图像判断极值
命题点2 求函数的极值
命题点3 已知极值求参数
题型二用导数求函数的最值
题型三函数极值和最值的综合问题
答题模板系列利用导数求函数的最值问题。