2.4.1函数的单调性与函数的极值判别
一元函数微分学几何应用（一）--单调性与极值
⼀元函数微分学⼏何应⽤（⼀）--单调性与极值
单调性与极值的判别单调性的判别
若 y = f(x)在区间I上有f'(x)>0，则 y=f(x)在I上严格单调增加
若 y = f(x)在区间I上有f'(x)<0，则 y=f(x)在I上严格单调增加费马引理（极值点的必要条件）
⼀阶可导点是极值点的必要条件（极值导数必为0，导数为0不⼀定是极值，如y=x3）
设f(x)在x=x0处可导，且在点x0处取得极值，则必有f'(x0)=0判别极值的第⼀充分条件（左右邻域⼀阶导异号）极值点不⼀定是可导点
左邻域内，f'(x)<0，⽽右邻域，f'(x)>0，则f(x)在x=x0处取得极⼩值
左邻域内，f'(x)>0，⽽右邻域，f'(x)<0，则f(x)在x=x0处取得极⼤值
若f'(x)在左右邻域内不变号，则点x0不是极值点
判别极值的第⼆充分条件（⼀阶导数=0，⼆阶导数≠0）
设f(x)在x=x0处⼆阶可导，且f'(x0)=0，f''(x
0)≠0
若f''(x0)<0，则f(x)在x
0处取得极⼤值
若f''(x0)>0，则f(x)在x
0处取得极⼩值
可以⽤⼀阶导数定义和保号性证明判别极值的第三充分条件（⾼阶导）
f(x)在x
0处n阶可导，且 f(m)(x
0)=0(m=1,2,...,n-1)，f(n)(x)≠0(n≥2)
f'(x
0)=f''(x
0)=...=f(n-1)(x
0)=0
若n为偶数且f(n)(x
0)<0时，f(x)在x
0处取得极⼤值
若n为偶数且f(n)(x
0)>0时，f(x)在x
0处取得极⼩值拉格朗⽇中值定理推⼴（联系函数与导函数）
f(b) - f(a) = f'(ξ)(b - a)
f(x) - f(x
0) = f'(ξ)(x - x
0)
导数与函数的单调性、极值与最值-讲义(学生版)
1导数与函数的单调性、极值与最值
一、课堂目标
1．掌握利用导数求解函数单调区间的方法步骤 ．
2．掌握极值与极值点的概念，能够结合函数与导数图象找出极值点与极值 ．
3．掌握利用导数求解函数极值的方法步骤．
4．掌握利用导数求解给定区间上可导函数最值的方法步骤．
二、知识讲解
1. 导数与函数单调性
知识精讲
（1）导数与函数单调性
①如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切
线的斜率都大于，曲线呈上升状态，因此在上是增函数，如下图所示；，（）（），
（），
②如果在区间内，，则曲线在区间对应的那一段上每一点处切
线的斜率都小于，曲线呈下降状态，因此在上是减函数，如下图所示.，（）（），
（），
2（2）导数绝对值的大小与函数图象的关系
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时
函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平
缓.
知识点睛函数在区间可导.
（1）若，则函数在此区间内单调递增；
（2）若，则函数在此区间内单调递减；
（3）若，则函数在此区间内为常数函数.经典例题
A.①B.②C.③D.④1.已知函数的导函数的图象如图所示，那么函数的图象最有可能的是（ ）．
巩固练习
2.是函数的导函数，的图像如图所示，则的图像最有可能是下列选项中的（ ）．
3A.B.
C.D.经典例题
A.B.
C.D.3.函数的图象如图所示，则的图像可能是（ ）．
A.4.已知函数的图像如图所示，则等式的解集为（ ）．
4B.
C.D.
巩固练习A.B.C.D.5.如果函数的图像如右图，那么导函数的图像可能是（ ）．
2. 利用导数求函数的单调区间的步骤
知识精讲
（1）确定的定义域；
（2）求导数；
（3）由（或）解出相应的的取值范围.当时，在相应区间上是增函数；当时，在相应区间上是减函数.
知识点睛
需要注意的是：
51.在利用导数求函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，解决问题是必须在定义域内进行；
“函数的单调性”教案
函数的单调性教案
一、教学目标
1. 理解函数单调性的概念，掌握函数单调增和单调减的定义。
2. 学会运用单调性判断函数的单调性，并能应用于实际问题中。
3. 培养学生的逻辑思维能力和解决问题的能力。
二、教学内容
1. 函数单调性的概念及其定义。
2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。
3. 单调性在实际问题中的应用。
三、教学重点与难点
1. 函数单调性的概念及其定义。
2. 函数单调增和单调减的性质及判定方法。
四、教学方法
1. 采用讲解、案例分析、讨论相结合的教学方法。
2. 利用数形结合的思想，引导学生直观理解函数的单调性。
3. 鼓励学生参与课堂讨论，提高学生的思维能力。
五、教学过程
1. 引入新课：通过回顾初中阶段的反比例函数、二次函数等图像，引导学生关注函数的单调性。
2. 讲解函数单调性的概念：定义域内单调递增或递减的函数。
3. 讲解函数单调增和单调减的性质：自变量增大，函数值增大（减小）。
4. 判定方法：利用导数或图像判断函数的单调性。 5. 案例分析：分析具体函数的单调性，如f(x)=x^2、f(x)=-x^2等。
6. 练习：让学生独立判断给定函数的单调性，并解释原因。
7. 课堂小结：总结本节课的主要内容和知识点。
8. 作业布置：巩固函数单调性的理解和应用。
六、教学拓展
1. 探讨函数单调性与极值的关系：函数在极值点附近单调性发生变化。
2. 引入“局部单调性”概念：函数在某个区间内单调递增或递减。
3. 举例说明局部单调性在实际问题中的应用：优化问题、经济领域等。
七、课堂互动
1. 提问：请问同学们认为函数的单调性在实际生活中有哪些应用？
2. 学生分享：结合实际例子，如商品价格变动、经济增长等。
3. 教师点评：总结同学们的观点，并强调函数单调性的实际意义。
八、单调性在实际问题中的应用
1. 举例说明：商品打折问题、利润最大化问题等。
2. 引导学生运用单调性解决实际问题：分析问题、建立模型、求解。
函数的单调性与极值
1 1.1函数的单调性与导数
主备人：李斌 审核人：高二备课组 使用日期：2013-1-
高二（ ）班 第（ ）组 姓名------- -小组评价--------- -教师评价------------
学习目标
1.正确理解利用导数判断函数的单调性的原理；
2.掌握利用导数判断函数单调性的方法
学习重点、难点
重点：利用导数判断函数的单调性
难点：由图像抽象出利用导数判断函数单调性的方法
学法指导：预习教材P79~ P81，找出疑惑之处,利用15-20分钟做导学案，并与本组同学讨论做好答疑整理工作。
学习过程
一、自主学习
（预习教材P79~ P81，找出疑惑之处）
知识链接1：以前，我们用定义来判断函数的单调性.
对于任意的两个数x1，x2∈I，且当x1＜x2时，都有＝ ，那么函数f(x)就是区间I上的 函数.
知识链接2： 'C ；()'nx ；(sin)'x ；(cos)'x ；(ln)'x ；(log)'ax ；()'xe ；()'xa
；
二、合作交流
※ 学习探究
探究任务一：函数的导数与函数的单调性的关系：
问题探究：我们知道，曲线()yfx的切线的斜率就是函数()yfx的导数.从函数342xxy的图像来观察其关系：
在区间（2，）内，切线的斜率为 ，函数()yfx的值随着x的增大而 ，即0y时，函数()yfx在区间（2，）内为 函数；
在区间（，2）内，切线的斜率为 ，函数()yfx的值随着x的增大而 ，即/y0时，函数()yfx在区间（，2）内为 函数.
新知：一般地，设函数()yfx在某个区间内有导数，如果在这个区间内0y，那么函数()yfx在这个区间内的增函数；如果在这个区间内0y，那么函数()yfx在这个区间内的减函数.
04第四节函数的单调性、凹凸性与极值
04第四节函数的单调性、凹凸性与极值 1 / 6
第四节 函数单一性、凹凸性与极值
我们已经会用初等数学的方法研究一些函数的单一性和某些简单函数的性质，
法使用范围狭窄，而且有些需要借助某些特别的技巧，因此不拥有一般性 .
工具，介绍判断函数单一性和凹凸性的简易且拥有一般性的方法 .
但这些方本节将以导数为
散布图示
★ 单一性的鉴别法 ★ 例 1
★ 单一区间的求法 ★ 例 2 ★ 例 3 ★ 例4
★ 例5 ★ 例 6 ★ 例 7 ★ 例 8
★ 曲线凹凸的观点 ★ 例 9 ★ 例10
★ 曲线的拐点及其求法 ★ 例11 ★ 例12 ★ 例13
★ 函数极值的定义 ★函数极值的求法
★ 例14 ★ 例15 ★ 例16
★第二充足条件下 ★ 例17 ★ 例18 ★ 例19
★ 内容小结 ★ 讲堂练习
★ 习题 3-4 ★ 返回
内容重点
一、 函数的单一性 ：设函数 y f ( x) 在 [a, b]上连续 , 在 (a, b)内可导 .
(1) 若在 (a, b)内 f (x) 0 , 则函数 y f ( x) 在 [a, b] 上单一增添 ;
(2) 若在 (a, b)内 f (x) 0 , 则函数 y f ( x) 在 [a, b] 上单一减少 .
二、 曲线的凹凸性 ：设 f ( x) 在 [a, b] 上连续 , 在 (a, b)内拥有一阶和二阶导数 , 则
(1) 若在 (a, b)内， f ( x) 0, 则 f (x) 在 [a, b]上的图形是凹的 ;
(2) 若在 (a, b)内， f ( x) 0, 则 f (x) 在 [a, b]上的图形是凸的 .
三、 连续曲线上凹弧与凸弧的分界点称为曲线的 拐点
判断曲线的凹凸性与求曲线的拐点的一般步骤为：
高一数学 函数单调性与最值(含解析)
.
. 函数单调性
引入
对于二次函数 ，我们可以这样描述“在区间（0， ）上，随着 的增大，相应的 也随着增大”；在区间（0， ）上，任取两个 ， ，得到 ， ，当 时，有 .这时，我们就说函数 在区间（0， ）上是增函数.
一、 函数单调性的判断与证明
1、函数增减性的定义
一般地，设函数 的定义域为 ：
如果对于定义域 内某个区间D上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D上是增函数（increasing function）
如果对于定义域 内某个区间D上的任意两个自变量的值 ， ，当 时，都有 ，那么就说函数在区间D上是减函数（decreasing function）.
【例1】下列四个函数中，在(0，＋∞)上为增函数的是( )
A．f(x)＝3－x B．f(x)＝x2－3x C．f(x)＝－1x＋1 D．f(x)＝－|x|
【解析】选C 当x>0时，f(x)＝3－x为减函数；当x∈0，32时，f(x)＝x2－3x为减函数，当x∈32，＋∞时，f(x)＝x2－3x为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－1x＋1为增函数；当x∈(0，＋∞)时，f(x)＝－|x|为减函数．故选C.
【例2】判断函数g(x)＝－2xx－1在(1，＋∞)上的单调性．
【解】任取x1，x2∈(1，＋∞)，且x1
因为10，因此g(x1)－g(x2)<0，即g(x1)
故g(x)在(1，＋∞)上是增函数．
【例3】 求下列函数的单调区间．
(1)f(x)＝3|x|； (2)f(x)＝|x2＋2x－3|； (3)y＝－x2＋2|x|＋1.
【解】(1)∵f(x)＝3|x|＝ 3x， x≥0，－3x， x<0.图象如图所示．
函数的单调性讲义
第2节 单调性问题
考点 出现频率 2022年预测
导数的几何意义 16/32
2022年高考仍然重点利用导数的几何意义求函数的切线、利用导数研究函数的单调性、极值与最值问题，难度可以基础题，也可为中档题，也可为难题，题型为选择、填空或解答题． 导数与函数的单调性 7/32
导数与函数的极值 5/32
导数与函数的最值 5/32
基础知识诊断 回顾教材 务实基础
【知识梳理】
考点1 单调性基础问题
1．函数的单调性
函数单调性的判定方法：设函数()yfx在某个区间内可导，如果()0fx，则()yfx为增函数；如果()0fx，则()yfx为减函数．
2．已知函数的单调性问题
①若()fx在某个区间上单调递增，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0fx，才能得出()fx在某个区间上单调递增；
②若()fx在某个区间上单调递减，则在该区间上有()0fx恒成立（但不恒等于0）；反之，要满足()0fx，才能得出()fx在某个区间上单调递减．
考点2 讨论单调区间问题
类型一 不含参数单调性讨论
第一步：求导化简定义域(化简应先通分，尽可能因式分解；定义域需要注意是否是连续的区间)；
第二步：变号保留定号去(变号部分：导函数中未知正负，需要单独讨论的部分．定号部分：已知恒正或恒负，无需单独讨论的部分)；
第三步：求根做图得结论(如能直接求出导函数等于0的根，并能做出导函数与x轴位置关系图，则导函数正负区间段已知，可直接得出结论)；
第四步：未得结论断正负(若不能通过第三步直接得出结论，则先观察导函数整体的正负)；
第五步：正负未知看零点(若导函数正负难判断，则观察导函数零点)；
第六步：一阶复杂求二阶(找到零点后仍难确定正负区间段，或一阶导函数无法观察出零点，则求二阶导)；
函数的单调性教案(获奖)
函数的单调性教案(获奖)
第一章：引言
1.1 现实背景
(1) 学生通过观察生活中的实例，如商品价格与销售量的关系，了解函数的单调性在实际问题中的应用。
(2) 引导学生思考：如何判断一个函数在其定义域内的单调性？
1.2 知识准备
(1) 回顾函数的定义及其图像表示。
(2) 复习导数的概念及其性质。
第二章：函数单调性的定义与性质
2.1 函数单调性的定义
(1) 介绍函数单调递增和单调递减的定义。
(2) 引导学生通过实例理解单调性的概念。
2.2 函数单调性的性质
(1) 分析单调性在函数图像上的表现。
(2) 引导学生总结单调性的基本性质。
第三章：利用导数判断函数单调性
3.1 导数与单调性的关系
(1) 讲解导数在判断函数单调性方面的应用。
(2) 引导学生理解导数正负与函数单调性的关系。
3.2 利用导数判断函数单调性
(1) 举例说明如何利用导数判断函数的单调性。 (2) 学生分组讨论，尝试自行判断给定函数的单调性。
第四章：单调性在实际问题中的应用
4.1 实际问题建模
(1) 引导学生将实际问题转化为函数单调性问题。
(2) 分析实际问题中函数单调性的应用。
4.2 求解最值问题
(1) 讲解如何利用函数单调性求解最值问题。
(2) 学生练习求解具有单调性的最值问题。
第五章：总结与拓展
5.1 课堂小结
(1) 引导学生回顾本章所学内容，总结函数单调性的概念、性质及应用。
(2) 学生分享自己在实际问题中应用函数单调性的心得体会。
5.2 课后拓展
(1) 布置课后习题，巩固函数单调性的相关知识。
(2) 鼓励学生探索函数单调性在其他领域的应用。
第六章：函数单调性的进一步探讨
6.1 连续函数的单调性
(1) 引入连续函数的概念，讨论连续函数的单调性。
(2) 引导学生理解连续函数单调性的重要性。
6.2 单调函数的图像特征
(1) 分析单调函数图像的形状和位置。
(2) 学生通过绘制函数图像，加深对单调性的理解。 第七章：利用单调性解决实际问题
一笑倾城·绝代风华 初中作文【1200字】
一笑倾城·绝代风华 初中作文【1200字】
第三十章“主人，前面有一股很浓的血腥味。”银月把鼻子在空气中嗅了嗅。“恩。”前世身为杀手的她，对血腥味十分敏感，显然前面肯定有过一场恶斗。“咦，主人！你听！那里有人！”火炎激动的扑腾着翅膀，差点从千羽圣雪的肩膀上面掉下来。
火炎不想进灵兽空间，所以为了不让人认出火炎，引起不必要的麻烦，于是千羽圣雪就干脆让火炎拟态成了一只五彩的小鸟，站在她的肩膀上。而银月就趴在她的怀里。果然，前面夹杂在血腥味里穿来一些声音，显然有人。而且，似乎还因为什么东西在争吵。千羽圣雪宠溺的摸了摸火炎的脑袋，说道“我们过去看看。”“欧耶！”“主人万岁！”两只所谓的圣兽萌物欢呼着。千羽圣雪在面具下面的嘴角微微提了提，这两个活宝。反正也正好顺路，不碍事。“封云！你不要欺人太甚！这明明是我们辛苦得来的！凭什么就要给你！”说话的是一名女子，衣服上面明显染有血迹，但伤的并不是很重。精致的面孔上满是怒气，一双漂亮的大眼紧紧的盯着站在对面衣着整洁，高高抬着头的女子。封云？真是冤家路窄。草地上，大块大块被染红的土地。
分别对立站着两方。一方以封云为首，那个叫郑云的男子不知去哪里了。另外一方以另外一个女子为首，身边站着好几名满脸备戒的男子。后面大部分人都是伤员，在他们的中央躺着一只巨大的、奄奄一息的圣兽阶的巨灵猴。很明显，另外女子一方，好不容易打到了巨灵猴，但突然出现了封云一方，封云准备抢过去，但另外女子一方却不肯。“哼！凭什么？”封云环着手，满脸鄙视、不屑的看着那个刚刚开口说话的女子“谁不知道你们恒滨佣兵团年年垫底，我看你们反正是没希望了，干脆这东西就我们收下吧。
凌星我告诉你！这样，说不定明年的挑战赛我们还会让着你们一点，不让你们输的以至于太惨。”“你！”凌星瞪着封云看，准备攻击封云，却被旁边一个因受伤而让血水湿了大半身子的中年男子拉住“星儿，又不是一次两次了。我们也都习惯了。”说完又猛烈的咳嗽起来。凌星瞪了封云一眼，然后转头看了看那个中年男子，泪水不禁夺眶而出“李叔...”“星儿，我没事...”凌星转头朝后面喝道“止血丹呢！”后面的人立刻递上了几颗丹药，扶着李叔帮助他吞下。
高等数学：函数的单调性及其极值
函数的单调性及其极值
单调性是函数的重要性态之一，它既决定着函数递增和递减的状况，又能帮助我们研究函数的极值，还能证明某些不等式和分析函数的图形。本节将以导数为工具，给出函数单调性的判别法及极值的求法。
一、函数的单调性
1、函数单调性的判定
为利用导数研究函数的单调性，我们首先来看图133)(a、)(b。图133)(a中函数)(xfy的图像在),(ba内沿x轴的正向上升，除点))(,(f处的切线平行于x轴外，
)(a )(b
图133
曲线上其余点处的切线与x轴的夹角均为锐角，即曲线)(xfy在区间),(ba内除个别点外切线的斜率为正；而图133)(b中函数)(xfy的图像在),(ba内沿x轴的正向下降，除个别点外，曲线上其余点处的切线与x轴的夹角均为钝角，即曲线)(xfy在区间),(ba内除个别点外切线的斜率为负。由此可见函数的单调性与导数的符号有着密切的联系。反过来，能否用导数的符号来判定函数的单调性呢？
下面我们利用拉格朗日中值定理来讨论。
设函数)(xf在区间I内可导，在I内任取两点1x和2x（21xx），在区间],[21xx上应用拉格朗日中值定理，得
)()()()(1212xxfxfxf （21xx） （1）
由于在（1）式中012xx，因此，若在I内导数)(xf的符号保持为正，即0)(xf，那么也有0)(f，于是
0)()()()(1212xxfxfxf
即 )()(21xfxf 表明函数)(xf在区间I上单调增加。同理，若在I内导数)(xf的符号保持为负，即0)(xf，那么也有0)(f，于是