复数 总结
(完整版)复数知识点总结
复数一、复数的概念1. 虚数单位i（1） 它的平方等于1-，即 2i 1=-；（2） 实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．（3） i 的乘方： 4414243*i 1,i i,i 1,i i,N n n n n n +++===-=-∈，它们不超出i b 的形式．2. 复数的定义形如i(,)R a b a b +∈的数叫做复数， ,a b 分别叫做复数的实部与虚部3. 复数相等 i i a b c d +=+，即,a c b d ==，那么这两个复数相等4. 共轭复数 i z a b =+时，i z a b =-． 性质：z z =；2121z z z z ±=±；1121z z z z ⋅=⋅； );0()(22121≠=z z z z z 二、复平面及复数的坐标表示1. 复平面在直角坐标系里，点z 的横坐标是a ，纵坐标是b ，复数i z a b =+可用点(,)Z a b 来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x 轴为实轴，y 轴出去原点的部分称为虚轴．2. 复数的坐标表示 点(,)Z a b3. 复数的向量表示 向量OZ ．4. 复数的模在复平面内，复数i z a b =+对应点(,)Z a b ，点Z 到原点的距离OZ 叫做复数z 的模，记作z ．由定义知，z =．三、复数的运算1. 加法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +++=+++．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z +对应的向量为12(,)OZ OZ a c b d +=++．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2. 减法 (i)(i)()()i a b c d a c b d +-+=-+-．几何意义： 设1i z a b =+对应向量1(,)OZ a b =，2i z c d =+对应向量2(,)OZ c d =，则12z z -对应的向量为1221(,)OZ OZ Z Z a c b d -==--．12()()i z z a c b d -=-+-=1Z 、2Z 两点之间的距离，也等于向量12Z Z 的模．3. 乘法 ()()()()a bi c di a c b d i +±+=±+±.4. 乘方 m n m n z z z +⋅= ()m n mn z z = 1212()n n n z z z z ⋅=⋅5. 除法 ()()()()()()()()22a bi c di ac bd bc ad i a bi a bi c di c di c di c di c d+-++-++÷+===++-+. 6. 复数运算的常用结论 （1） 222(i)2i a b a b ab +=-+， 22(i)(i)a b a b a b +-=+（2） 2(1i)2i +=， 2(1i)2i -=-（3） 1i i 1i +=-， 1i i 1i-=-+ （4） 1212z z z z ±=±， 1212z z z z ⋅=⋅， 1122z z z z ⎛⎫=⎪⎝⎭，z z =．（5） 2z z z ⋅=， z z =（6） 121212z z z z z z -≤+≤+ （7） 1212z z z z ⋅=⋅，1212z z z z ⋅=⋅，nn z z = 四、复数的平方根与立方根1. 平方根 若2(i)i a b c d +=+，则i a b +是i c d +的一个平方根，(i)a b -+也是i c d +的平方根． （1的平方根是i ±．） 2. 立方根 如果复数1z 、2z 满足312z z =，则称1z 是2z 的立方根．（1） 1的立方根： 21,,ωω．12ω=-+，212ωω==--，31ω=． 210ωω++=． （2） 1-的立方根：111,22z z -=+=-． 五、复数方程1. 常见图形的复数方程（1） 圆：0z z r -=（0r >，0z 为常数），表示以0z 对应的点0Z 为圆心，r 为半径的圆（2） 线段12Z Z 的中垂线：12z z z z -=-（其中12,z z 分别对应点12,Z Z ）（3） 椭圆： 122z z z z a -+-=（其中0a >且122z z a -<），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，长轴长为2a 的椭圆（4） 双曲线： 122z z z z a ---=（其中0a >且122z z a ->），表示以12,z z 对应的点F1、F2为焦点，实轴长为2a 的双曲线2. 实系数方程在复数范围内求根（1）求根公式：1,21,21,20 20 20 2b x a b x a b x a ⎧-∆>=⎪⎪⎪-∆==⎨⎪⎪-±∆<=⎪⎩一对实根一对相等的实根一对共轭虚根 （2） 韦达定理：1212b x x a cx x a ⎧+=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩。
(完整版)高考复数知识点精华总结
复 数1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集整 数有 理 数实数(0)分 数复 数(,)无理数(无限不循环小数)纯 虚 数(0)虚 数(0)非 纯 虚 数(0)b a bi a b R a b a ⎧⎧⎧⎪⎪⎨=⎨⎪⎩⎪⎪+∈⎨⎩⎪⎧≠⎪≠⎨⎪=⎩⎩3．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
4．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ②(1±i)2 =±2i ；③ 若ω=-21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.5．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模且2||z z z ⋅==a 2+b 2.6.根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
小学复数知识点总结
小学复数知识点总结一、名词的复数形式1.名词的复数形式通常是在词尾加“s”。
例如：book-books，girl-girls，car-cars等。
2.以s,sh,ch,x结尾的名词，加-es。
例如：bus-buses, brush-brushes, watch-watches, box-boxes等。
3.以辅音字母+y结尾的名词，变y为i再加-es。
例如：city-cities, baby-babies, family-families等。
4.以o结尾的名词，加-es。
例如：potato-potatoes, tomato-tomatoes, hero-heroes等。
5.以辅音字母+o结尾的名词，直接加-s。
例如：photo-photos, piano-pianos等。
6.以f或fe结尾的名词，变f或fe为v再加-es。
例如：leaf-leaves, knife-knives, loaf-loaves等。
7.不规则变化：man-men, woman-women, child-children, tooth-teeth, foot-feet等。
以上就是名词的复数形式的一些常见规则，学生在学习复数形式时可以通过记忆这些规则来加强复数形式的掌握。
二、名词的复数形式的用法1.表示多个事物名词的复数形式主要用来表示多个事物。
例如：There are three cats in the garden.（花园里有三只猫。
）2.表示一般真理名词的复数形式有时也用来表示一般真理。
例如：Birds build nests.（鸟儿筑巢。
）3.表示数量当名词的数量是不确定的时候，复数形式可以用来表示数量。
例如：I have many friends.（我有很多朋友。
）三、名词的复数形式的扩展运用1.句子中的主谓一致在句子中，主语与谓语应该保持一致。
当主语是复数形式的名词时，谓语动词需要用复数形式。
例如：The girls are playing in the park.（女孩们在公园里玩。
复数知识点总结数学
复数知识点总结数学一、复数的定义1. 复数的引入复数是在解决二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$ 时引入的，因而对于该方程抽象出来的解 -b/2a 即不存在，于是引入了虚数单位 i（i^2 = -1）。
因此，考虑了实数范围外的概念：负数的平方根。
2. 复数的定义复数由实部和虚部组成，一般表示为 a+bi，其中a为实部，bi为虚部。
当a=0时，复数为纯虚数；当b=0时，复数为实数。
3. 复数的性质复数具有共轭、实部、虚部等性质。
共轭：复数 a+bi 的共轭为 a-bi；实部：复数 a+bi 的实部为 a；虚部：复数 a+bi 的虚部为 b。
4. 复数的绝对值和幅角复数 a+bi 的绝对值定义为|a+bi| = √(a²+b²)；复数 a+bi 的幅角定义为 arg(a+bi) =arctan(b/a)。
二、复数的运算1. 复数的加法和减法复数的加法和减法都是按照实部和虚部进行赋值运算。
2. 复数的乘法复数的乘法是按照展开式进行计算的，需要注意 i² = -1。
3. 复数的除法复数的除法需要将分母有理化，然后乘以共轭复数得到结果。
4. 复数的乘方和开方复数的乘方需要注意按照展开式进行计算；复数的开方需要注意共轭复数和幂次根的计算。
三、复数的代数方程1. 一元二次方程一元二次方程的解一般为复数，根据判别式可以判断方程有几个实根、虚根或不等实根。
2. 一元高次方程一元高次方程的根可能为复数，可以根据综合定理推导出复数根的情况。
3. 复数系数方程对于复数系数方程，可以使用复数的性质进行求解，得到复数解。
四、复数平面1. 复数的几何表示在复数平面中，实部和虚部分别对应坐标轴上的 x 轴和 y 轴，复数 a+bi 对应于点 (a,b)。
2. 复数的运算复数的几何表示可以利用向量的方法进行解释，加法和乘法对应于向量的平移和旋转。
3. 复数的几何性质复数的绝对值对应于复数到原点的距离，复数的幅角对应于复数到 x 轴的角度。
复数的特殊知识点总结
复数的特殊知识点总结一、复数的一般形式1.在名词后面加-s或-es大部分的英语名词，在单数形式的基础上，加上-s或-es就可以构成复数。
如：book —books, cat — cats, bus — buses, box — boxes等。
在词尾是s, x, es, ch, sh结尾的词后加-es，如：glass — glasses, bus — buses, box — boxes 等。
特殊情况1：在辅音字母+y结尾的单词，变复数时，把y变为i, 再加-es. 如：baby —babies, lady — ladies。
但是，在元音字母+y结尾的单词，变复数时直接加-s。
如：boy —boys, day — days。
特殊情况2：有些名词的复数形式并不是在词尾加s或es，而是改变词根的拼写。
如：man — men, woman — women。
2.某些名词有单复数同形。
如：deer, sheep, fish等。
3.某些名词的复数形式是不规则的。
如：child — children, foot — feet, tooth — teeth, mouse — mice, person — people等。
二、复数的形式变化受限定词和修饰语的影响1.表示一些或若干的限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是不定式。
如：a few books, some books。
2.表示一个的限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是定式。
如：an apple, a dozen apples。
3.表示具体的某个限定词与复数名词连用时，复数名词的形式应该是定式。
如：this book, these books。
如果名词前面有修饰语，也应该注意修饰语的变化。
如：a red book, two red books。
三、复数名词的用法1.在句子中作主语时，复数名词要和动词保持一致。
如果复数名词作为主语，谓语动词通常用复数形式。
复数计算知识点总结
复数计算知识点总结一、复数的定义复数是数学中的一个重要概念，它是由实数和虚数组成的数。
复数通常以“a+bi”的形式表示，其中a为实部，bi为虚部，i为虚数单位，满足i²=-1。
例如：3+4i就是一个复数，其中实部为3，虚部为4。
二、复数的加法和减法1. 复数的加法复数的加法和实数的加法类似，只不过需要将实部和虚部分别相加即可。
例如：(3+4i) + (5+2i) = 8+6i2. 复数的减法复数的减法也和实数的减法类似，同样需要将实部和虚部分别相减。
例如：(3+4i) - (5+2i) = -2+2i三、复数的乘法和除法1. 复数的乘法复数的乘法要利用到实数的乘法和虚数单位的性质，即i²=-1。
例如：(3+4i) * (5+2i) = 15+6i+20i+8i² = 15+26i-8 = 7+26i2. 复数的除法复数的除法可以转化为乘法的倒数来进行运算，需要借助到共轭复数。
例如：(3+4i) / (5+2i) = (3+4i) * (5-2i) / (5²+2²) = (15-6i+20i+8) / (25+4) = (23+14i) / 29 = 23/29 + 14i/29四、复数的模和幅角1. 复数的模复数的模即为复数到原点的距离，即复数a+bi的模为√(a²+b²)。
例如：复数3+4i的模为√(3²+4²) = √(9+16) = √25 = 52. 复数的幅角复数的幅角即为复数与实轴正半轴的夹角，通常用θ表示，可以通过反正切函数来计算。
例如：对于复数3+4i，可以计算出其幅角为arctan(4/3) ≈ 53.13°。
五、复数的共轭和乘幂1. 复数的共轭复数的共轭是指将复数中的虚部取相反数，即a+bi的共轭为a-bi。
例如：复数3+4i的共轭为3-4i2. 复数的乘幂复数的乘幂可以通过极坐标形式来计算，利用欧拉公式e^(iθ) = cosθ + i·sinθ可以得到。
复数知识点总结
复数知识点总结复数是数学中的一个基本概念，它扩展了实数的概念，包括了实数和虚数。
复数的引入极大地丰富了数学理论，并在物理学、工程学等领域有着广泛的应用。
以下是复数的知识点总结：1. 复数的定义：复数是形如a+bi的数，其中a和b是实数，i是虚数单位，满足i^2=-1。
复数由实部a和虚部b组成。
2. 复数的表示：复数可以用直角坐标系中的点表示，实部a对应x轴，虚部b对应y轴，因此复数也可以表示为有序对(a, b)。
3. 复数的四则运算：复数的加法、减法、乘法和除法都有特定的运算规则。
加法和减法通过分别对实部和虚部进行运算实现；乘法和除法则需要使用分配律和共轭复数的概念。
4. 共轭复数：一个复数的共轭复数是其实部相同，虚部相反的复数。
例如，对于复数z=a+bi，其共轭复数为z*=a-bi。
5. 复数的模：复数的模是其实部和虚部平方和的平方根，表示为|z|=√(a^2+b^2)。
模可以用来度量复数在复平面上的大小。
6. 复数的指数形式：欧拉公式表明，复数可以表示为指数形式，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。
7. 复数的极坐标形式：复数也可以表示为极坐标形式，即z=r(cosθ+isinθ)，其中r是复数的模，θ是复数的辐角。
8. 复数的辐角：复数的辐角是其在复平面上与正实轴的夹角，通常用θ表示。
辐角的取值范围是[0, 2π)。
9. 复数的代数形式：复数可以表示为代数形式，即z=a+bi，其中a是实部，b是虚部。
10. 复数的几何意义：在复平面上，复数对应一个向量，其长度是复数的模，方向是复数的辐角。
11. 复数的解析函数：在复分析中，复数的解析函数是复数域上的函数，满足柯西-黎曼方程，即函数的实部和虚部都是调和函数。
12. 复数的积分：复数的积分在复分析中有着重要的地位，包括柯西积分定理和留数定理等。
13. 复数的应用：复数在信号处理、控制系统、量子力学等领域有着广泛的应用，例如在信号处理中，复数可以用来表示振荡信号的幅度和相位。
复数的性质-总结
12.复数的运算律
（1）复数的乘方：
（2）对任何 ， 及 有
13.复数的几何意义
，加减法的几何意义：平行四边形法则
注：复数几何意义给数形结合提供了条件.
⑴复平面内的两点间距离公式： .其中 是复平面内的两点 所对应的复数 间的距离.
⑵曲线方程的复数形式：
① 为圆心，r为半径的圆的方程.
② 表示线段 的垂直平分线的方程.
②z是纯虚数 z＋ ＝0（z≠0）; ③z是纯虚数 z2<0
4.复数相等
如果两个复数实部相等且虚部相等就说这两个复数相等
5.复数的模
= =
6.较大小
两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
（1）若 为复数，则
①若 ，则 .（×）[ 为复数，而不是实数]
②若 ，则 .（√）
（2）若 ，则 是 的必要不充分条件.
（当 ， 时，上式成立）
8.共轭复数
复数z=a+bi与复数z=a-bi互为共轭复数(当虚部不为零时，也可说成互为共轭虚数)．
9.复平面
建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴叫做实轴，y轴除去原点的部分叫虚轴．
10.复数四则运算法则
设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则：
复数
1.复数定义
形如 的数叫做复数,a,b分别叫它的实部和虚部．（复数集C—全体复数的集合）
2.复数单位
复数的单位为i，它的平方等于－1，即 .
3.复数分类
（1）复数—形如z=a+bi（其中 ）；
（2）实数— 当b = 0时的复数z=a+bi，即a；
（3）虚数—当 时的复数z=a+bi；
（4）纯虚数—①当a= 0且 时的复数z=a+bi，即bi.
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复 数一．本章知识结构 二．学习内容和要求 （一）学习目标1．了解引进复数的必要性，数集的扩展过程及复数的分类表； 2．理解复数的有关概念； 3．掌握复数的代数形式；4．掌握复数的代数形式的运算法则； 5．能进行复数的加、减、乘、除运算； 6．掌握某些特殊复数的运算特征7．能在复数集中因式分解、解一元二次方程等。
（二）本章知识精要 1．复数的概念： （1）虚数单位i ；（2）复数的代数形式z=a+bi ，(a, b ∈R)； （3）复数的实部、虚部、虚数与纯虚数。
2．复数集 3．复数的四则运算若两个复数z1=a1+b1i ，z2=a2+b2i ， （1）加法：z1+z2=(a1+a2)+(b1+b2)i ； （2）减法：z1－z2=(a1－a2)+(b1－b2)i ； （3）乘法：z1·z2=(a1a2－b1b2)+(a1b2+a2b1)i ；（4）除法：11212211222222()()z a a b b a b a b i z a b ++-=+；（5）四则运算的交换率、结合率；分配率都适合于复数的情况。
（6）特殊复数的运算：① ni (n 为整数)的周期性运算； ② (1±i)2=±2i ；③ 若ω=－21+23i ，则ω3=1，1+ω+ω2=0.4．共轭复数与复数的模（1）若z=a+bi ，则z a bi =-，z z +为实数，z z -为纯虚数(b ≠0).（2）复数z=a+bi 的模，且2||z z z ⋅==a2+b2.三．学习方法与指导 （一）学习方法点拨：1．数的概念是从实践中产生和发展起来的。
随着生产和科学的发展，数的概念也不断的被扩大和充实，从自然数集、整数集、有理数集到实数集的每一次扩充，推动了生产的进一步发展，也使数的理论逐步深化和发展，复数最初是由于解方程得需要产生的，后来由于在科学技术中得到应用而进一步发展。
要求熟悉我们已经学过的各种数集之间的内在联系。
理解复数在其中所起到的重要作用，和各种数集之间的包含关系。
2．复数a+bi(a, b ∈R)由两部分组成，实数a 与b 分别称为复数a+bi 的实部与虚部，1与i 分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi 就是实数，当b ≠0时，a+bi 是虚数，其中a=0且b ≠0时称为纯虚数。
应特别注意，a=0仅是复数a+bi 为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。
3．根据两个复数相等的定义，设a, b, c, d ∈R ，两个复数a+bi 和c+di 相等规定为a+bi=c+di a c b d =⎧⇔⎨=⎩. 由这个定义得到a+bi=0⇔00a b =⎧⎨=⎩. 两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。
两个复数相当的定义实际上给出了将复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。
4．复数a+bi 的共轭复数是a －bi ，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。
若b=0，则实数a 与实数a 共轭，表示点落在实轴上。
5．复数的加法、减法、乘法运算与实数的运算基本上没有区别，最主要的是在运算中将i2=－1结合到实际运算过程中去。
如(a+bi)(a －bi)=a2－(bi)2=a2－b2i2=a2+b2.6．复数的除法是复数乘法的逆运算将满足(c+di)(x+yi)=a+bi (c+bi ≠0)的复数x+yi 叫做复数a+bi 除以复数c+di 的商。
由于两个共轭复数的积是实数，因此复数的除法可以通过将分母实化得到，即22()()()()()a bi a bi c di ac bd bc ad ic di c di c di cd ++-++-==++-+.7．复数a+bi 的模的几何意义是指表示复数a+bi 的点到原点的距离。
（二）典型例题讲解 1．复数的概念例1．实数m 取什么数值时，复数z=m+1+(m －1)i 是（1）实数？（2）虚数？（3）纯虚数？（4）对应的点Z 在第三象限？解：复数z=m+1+(m －1)i 中，因为m ∈R ，所以m+1，m －1都是实数，它们分别是z 的实部和虚部，∴ （1）m=1时，z 是实数； （2）m ≠1时，z 是虚数；（3）当1010m m +=⎧⎨-≠⎩时，即m=－1时，z 是纯虚数；（4）当1010m m +<⎧⎨-<⎩时，即m<－1时，z 对应的点Z 在第三象限。
例2．已知(2x －1)+i=y －(3－y)i ，其中x, y ∈R ，求x, y.解：根据复数相等的意义，得方程组211(3)x y y -=⎧⎨=--⎩，得x=25, y=4.例3．已知x 与y 实部相等，虚部互为相反数，且(x+y)2－3xyi=4－6i ，求x, y. 解：由题意设x=a+bi ，y=a －bi (a, b ∈R)，则代入原式得(2a)2－3(a2+b2)i=4－bi ⇔222443()6a a b ⎧=⎨-+=-⎩，⇒11a b =⎧⎨=⎩或11a b =⎧⎨=-⎩或11a b =-⎧⎨=⎩或11a b =-⎧⎨=-⎩，∴ 11x i y i =+⎧⎨=-⎩或11x i y i =-⎧⎨=+⎩或11x i y i =-+⎧⎨=--⎩或11x iy i =--⎧⎨=-+⎩. 例4．当m 为何实数时，复数z ＝2223225m m m ---+(m2+3m －10)i ；（1）是实数；（2）是虚数；（3）是纯虚数．解：此题主要考查复数的有关概念及方程（组）的解法．（1）z 为实数，则虚部m2+3m －10=0，即223100250m m m ⎧+-=⎨-≠⎩， 解得m=2，∴ m=2时，z 为实数。
（2）z 为虚数，则虚部m2+3m －10≠0，即223100250m m m ⎧+-≠⎨-≠⎩， 解得m ≠2且m ≠±5. 当m ≠2且m ≠±5时，z 为虚数．22223203100250m m m m m ⎧--=⎪+-≠⎨⎪-≠⎩，解得m=－21, ∴当m=－21时，z 为纯虚数．诠释：本题应抓住复数分别为实数、虚数、纯虚数时相应必须具备的条件，还应特别注意分母不为零这一要求．例5．计算：i ＋i2＋i3+……+i2005. 解：此题主要考查in 的周期性．i ＋i2＋i3+……+i2005=(i+i2+i3+i4)+……+(i2001+i2002+ i2003＋i2004)＋i2005 =(i －1－i+1)+ (i －1－i+1)+……+(i －1－i+1)+i ＝0＋0＋……＋0+i ＝i.或者可利用等比数列的求和公式来求解（略） 诠释：本题应抓住in 的周期及合理分组． 例8．使不等式m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10成立的实数m ＝ . 解：此题主要考查复数能比较大小的条件及方程组和不等式的解法． ∵ m2－(m2－3m)i ＜(m2－4m ＋3)i ＋10, 且虚数不能比较大小，∴2221030430m m m m m ⎧<⎪-=⎨⎪-+=⎩，解得||100或33或1m m m m m <⎧⎪==⎨⎪==⎩，∴ m=3.当m ＝3时，原不等式成立．诠释：本题应抓住复数能比较大小时必须都为实数这一条件。
例9．已知z=x ＋yi(x ，y ∈R)，且222log 8(1log )x y i x y i++-=-，求z ．解：本题主要考查复数相等的充要条件及指数方程，对数方程的解法．∵ 222log 8(1log )x y i x y i ++-=-，∴22280log 1log x y x y +⎧-=⎨=-⎩，∴32x y xy +=⎧⎨=⎩， 解得21x y =⎧⎨=⎩或12x y =⎧⎨=⎩, ∴ z ＝2＋i 或z ＝1＋2i ． 诠释：本题应抓住复数相等的充要条件这一关键，正确、熟练地解方程（指数，对数方程） 例10．已知x 为纯虚数，y 是实数，且2x －1＋i ＝y －(3－y)i ，求x 、y 的值．解：本题主要考查复数的有关概念，实数与i 的运算，复数相等的充要条件，方程组的解法． 设x ＝ti (t ∈R ，且t ≠0），则2x －1＋i ＝y －(3－y)i 可化为 2ti －1＋i ＝y －(3－y)i ，即(2t ＋1)i －1=y －(3－y)i ，∴21(3)1t y y +=--⎧⎨-=⎩, ∴y=－1, t=－25, ∴ x=－25i.2．复数的四则运算 例1．计算：（1）22(1)(1)(1)nn i i -+-，n ∈N+；（2）若ω=－21+23i ，ω3=1，计算66+；（3（4）S=1+2i+3i2+4i3+ (100i99)解：（1）22(1)(1)(1)n n i i -+-=2212(1)2[](1)()(2)(1)2(1)2n n n i i i i i i i ++⋅-=⋅-=-⋅--=221,22,i n k k N i n k k N ++⎧=-∈⎨-=∈⎩.（2）66)()22i i +=66662611()()[()]22i i i ωω---⋅+-⋅=⋅+=－2.（3i=, i=,∴=222|)||)|i i ⋅⋅===8. （4）S=1+2i+3i2+4i3+……+100i99=(1+2i+3i2+4i3)+(5i4+6i5+7i6+8i7)+……+(97i96+98i97+99i98+100i99) =(1+2i －3－4i)+(5+6i －7－8i)+……+(97+98i －99－100i) =25(－2－2i)=－50－50i.例2．已知复数z 满足|z －2|=2，z+4z ∈R ，求z.解：设z=x+yi, x, y ∈R ，则z+4z =z+22222244()44()z x yi x y x yi x y i zzx y x y x y -=++=++-+++， ∵ z+4z ∈R ，∴ 224y y x y -+=0， 又|z －2|=2, ∴ (x －2)2+y2=4,联立解得，当y=0时, x=4或x=0 (舍去x=0, 因此时z=0)，当y ≠0时, 1x y =⎧⎪⎨=⎪⎩±3,∴ 综上所得 z1=4，z2=1+3i ，z3=1－3i.例3．设z 为虚数，求证：z+1z 为实数的充要条件是|z|=1.证明：设z=a+bi (a, b ∈R ，b ≠0)，于是z+1z =(a+bi)+2222221()()a bi a ba bi ab i a bia b a b a b -=++=++-++++, 所以b ≠0, (z+1z )∈R ⇔b －22b a b +=0⇔a2+b2=1⇔|z|=1.例4．复数z 满足(z+1)(z +1)=|z |2，且11z z -+为纯虚数，求z.解：设z=x+yi (x, y ∈R)，则(z+1)(z +1)=|z |2+z+z +1=|z |2，∴ z+z +1=0，z+z =－1，x=－21.11z z -+=22(1)(1)||1(1)(1)|1|z z z z z z z z -++--=+++=2221|1|x y x yi x yi z +++-+-+为纯虚数，∴ x2+y2－1=0, y=±23, ∴ z=－21+23i 或z=－21－23i.例5．复数z 满足(1+2i)z+(3－10i)z =4－34i ，求z.解：设z=x+yi (x, y ∈R)，则(1+2i)(x+yi)+(3－10i)(x －yi) =4－34i ， 整理得(4x －12y)－(8x+2y)i=4－34i.∴ 41248234x y x y -=⎧⎨+=⎩, 解得41x y =⎧⎨=⎩, ∴ z=4+i. 例6．设z 是虚数，ω=z+1z 是实数，且－1<ω<2，（1）求|z|的值及z 的实部的取值范围；（2）设u=11zz -+，求证u 为 纯虚数；（3）求ω－u2的最小值。