(完整版)初中几何变换——平移
初中数学 平移的基本要素是什么
初中数学平移的基本要素是什么
平移是一种基本的几何变换，它有以下三个基本要素：
1. 平移向量：平移向量是平移的基本要素之一。
它描述了平移的方向和距离。
平移向量通常用箭头表示，箭头的长度表示平移的距离，箭头的方向表示平移的方向。
平移向量可以在平面或空间中的任意位置开始，然后将图形的每个点按照相同的距离和方向移动。
2. 起始点：平移的起始点是平移的另一个基本要素。
它是平移过程中的参考点，图形中的每个点都相对于起始点进行移动。
平移的起始点可以是图形中的任意点，它的选择会影响平移后图形的位置。
3. 平移后的图形：平移的最终结果是平移后的图形。
通过将图形的每个点按照平移向量的方向和距离进行移动，可以得到平移后的图形。
平移后的图形与原始图形具有相同的形状和大小，只是位置发生了改变。
平移后的图形可以在平面或空间中的任意位置。
这些基本要素共同定义了平移的特征和效果。
平移向量指导了平移的方向和距离，起始点确定了平移的参考点，而平移后的图形展示了平移的结果。
通过调整这些基本要素的值，可以实现不同的平移效果和位置变化。
需要注意的是，平移是一种保持形状、大小和内部结构不变的变换。
它只改变图形的位置，而不会改变其他性质，如角度、长度和形状的相对关系。
因此，平移是一种重要的几何工具，广泛应用于数学、物理、工程和计算机图形学等领域。
初中数学知识归纳平移旋转和对称变换
初中数学知识归纳平移旋转和对称变换初中数学知识归纳：平移、旋转和对称变换数学是一门具有广泛应用的学科，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要学科之一。
在初中数学中，平移、旋转和对称变换是数学中常见的几何变换操作，对于学生们的几何观念理解和图形思维的培养具有重要意义。
本文将对初中数学中的平移、旋转和对称变换进行归纳和总结。
一、平移（Translation）平移是指在平面内按照一定的方向和距离将图形移动到另一个位置的几何变换操作。
平移操作不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。
在平移中，每个点都按照相同的方向和距离进行移动。
平移的基本要素有：平移向量和被平移图形。
平移向量是指平移的方向和距离，可以用箭头表示。
被平移图形是指需要进行平移操作的图形。
二、旋转（Rotation）旋转是指按照某个中心点和旋转角度将图形绕这个中心点进行旋转的几何变换操作。
旋转不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的方向。
在旋转中，每个点都绕着中心点按照相同的角度进行旋转。
旋转的基本要素有：旋转中心、旋转角度和被旋转图形。
旋转中心是指旋转的中心点，旋转角度是指旋转的角度大小，可以用度数表示。
被旋转图形是指需要进行旋转操作的图形。
三、对称变换（Symmetry）对称变换是指通过某条线、某个点或某个面将图形镜像成另一个图形的几何变换操作。
对称变换不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置或方向。
在对称变换中，每个点通过指定的对称轴或对称中心得到对应的镜像点。
常见的对称变换有关于x轴、y轴和原点的对称等。
关于x轴的对称是指图形在x轴上下对称，即图形上的每个点与其镜像点关于x轴对称；关于y轴的对称是指图形在y轴左右对称，即图形上的每个点与其镜像点关于y轴对称；关于原点的对称是指图形在原点内外对称，即图形上的每个点与其镜像点关于原点对称。
综上所述，初中数学中的平移、旋转和对称变换是数学几何中常见的几何变换操作。
通过学习和理解这些几何变换，学生们可以更好地把握图形的性质和形态，同时培养几何思维和问题解决能力。
平移旋转翻转的变换
平移旋转翻转的变换变换是数学和几何学中的重要概念，它能够改变图形的位置、大小、形状和方向。
在二维平面几何中，平移、旋转和翻转是常见的变换方式。
本文将详细介绍平移、旋转和翻转的定义、性质和应用。
一、平移变换平移变换是指将物体按照一定方向和距离在平面上移动。
在平移变换中，图形的大小、形状和方向都不发生改变，只是位置发生了移动。
平移变换的关键是确定移动的方向和距离。
在平面坐标系中，设点A的坐标为(x₁, y₁)，进行平移变换后点A的坐标为(x₂, y₂)。
平移变换可以表示为：x₂ = x₁ + ay₂ = y₁ + b其中，(a, b)表示平移的向量。
平移变换的性质如下：1. 平移变换保持线段的长度不变。
2. 平移变换保持角度的大小不变。
3. 平移变换保持图形的对称性不变。
平移变换在实际生活中有许多应用，例如地图的移动、物体的平移等。
它是一种基本的几何变换，对于计算机图形学和计算机动画制作非常重要。
二、旋转变换旋转变换是指围绕某一点或某一轴进行旋转操作，使得图形绕着旋转中心按一定角度转动。
旋转变换是一种常见的几何变换，它可以改变图形的方向和角度，而不改变图形的大小。
在平面坐标系中，设点A的坐标为(x₁, y₁)，绕原点按逆时针方向旋转θ角度后，点A的坐标变为(x₂, y₂)。
旋转变换可以表示为：x₂ = x₁ * cosθ - y₁ * sinθy₂ = x₁ * sinθ + y₁ * cosθ旋转变换的性质如下：1. 旋转变换保持线段的长度不变。
2. 旋转变换保持角度的大小不变。
3. 旋转变换保持图形的对称性不变。
旋转变换在许多领域中都有广泛的应用，如计算机图形学、机器人运动控制、航天飞行等。
它能够使得物体在二维平面上旋转，达到理想的位置和方向。
三、翻转变换翻转变换是指将图形关于某一直线对称反转的操作。
在翻转变换中，图形的大小、形状和方向都发生了改变，但中心对称的性质得以保持。
在平面坐标系中，设点A的坐标为(x₁, y₁)，关于x轴进行翻转后，点A的坐标变为(x₂, -y₁)。
平移的方法和步骤
平移的方法和步骤什么是平移？在几何学中，平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定距离的操作。
平移不改变图形的大小、形状或方向，只是改变了图形的位置。
平移是一种基本的几何变换，它在日常生活中随处可见。
比如我们走路时身体的前进就是一种平移，将物体从一个地方搬到另一个地方也可以看作一种平移。
在数学中，我们可以通过坐标系来描述平移。
通过改变坐标系中每个点的坐标，实现整个图形的平移。
平移的方法在进行平移操作时，有多种方法可以选择。
下面我们将介绍几种常见的平移方法。
方法一：向量法向量法是最直观和常用的一种方法。
它利用向量的性质来描述平移操作。
对于二维空间中的点P(x, y)，如果要将点P沿着向量V(a, b)进行平移，那么新位置Q(x’, y’)可以通过以下公式计算得出：x' = x + ay' = y + b其中a表示向右（正方向）或者向左（负方向）平移的距离，b表示向上（正方向）或者向下（负方向）平移的距离。
方法二：矩阵法矩阵法是另一种常用的平移方法。
它利用矩阵的乘法来实现平移操作。
对于二维空间中的点P(x, y)，如果要将点P沿着向量V(a, b)进行平移，那么新位置Q(x’, y’)可以通过以下公式计算得出：| x' | | 1 0 a | | x || | = | | * | || y' | | 0 1 b | | y |其中矩阵[1, 0, a; 0, 1, b]表示平移矩阵。
方法三：复合变换法复合变换法是将多个基本变换结合起来进行平移操作。
假设我们要将图形沿着向量V(a, b)进行平移，可以先将图形绕原点旋转一个角度，再进行缩放或者错切等其他变换，最后再将图形沿着新坐标轴的方向进行平移。
这种方法可以通过连续应用多个变换来实现复杂的平移操作，并且可以灵活控制每个变换的顺序和参数。
平移的步骤无论采用哪种方法，进行平移操作都需要按照以下步骤进行：1.确定要进行平移的图形或对象。
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作初中数学知识归纳——平移、旋转和翻折的基本操作初中数学中，平移、旋转和翻折是几个重要的几何变换操作。
这些操作不仅在几何题中常常出现，而且在解决实际问题时也起着重要作用。
本文将对平移、旋转和翻折的基本概念，操作规则以及实际应用进行归纳总结。
一、平移的基本概念及操作规则平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一段距离，同时保持形状和大小不变。
在平移中，可以将物体的每个点都沿着相同的方向和距离进行移动。
具体操作规则如下：1. 平移的操作规则- 平移前后物体保持形状和大小不变。
- 平移前后物体上的所有点与平移向量保持平行。
2. 平移的表示方法平移可以使用向量表示。
假设平移向量为共点向量〈a，b〉，则平移的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旧位置的坐标 + 平移向量。
二、旋转的基本概念及操作规则旋转是指物体在平面上围绕一个点旋转一定的角度，同时保持形状和大小不变。
在旋转中，可以将物体的每个点都绕着旋转中心点按照一定的角度进行旋转。
具体操作规则如下：1. 旋转的操作规则- 旋转前后物体保持形状和大小不变。
- 旋转前后物体上的所有点与旋转中心的距离保持不变。
2. 旋转的表示方法旋转可以使用旋转角度来表示。
设旋转中心为点O，顺时针旋转θ角度，则旋转的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旋转中心点O的坐标 + 旋转后点O'的坐标。
三、翻折的基本概念及操作规则翻折是指物体在平面上沿着某一直线对称翻转，同时保持形状和大小不变。
在翻折中，可以将物体的每个点都绕着对称轴进行翻折。
具体操作规则如下：1. 翻折的操作规则- 翻折前后物体保持形状和大小不变。
- 翻折前后物体上的所有点关于对称轴对称。
2. 翻折的表示方法翻折可以通过对称轴进行表示。
设对称轴为线l，则翻折的规则可以表示为：新位置的坐标 = 原位置点关于对称轴的对称点。
四、平移、旋转和翻折的实际应用平移、旋转和翻折不仅是几何题中经常出现的概念，也在日常生活和实际问题中得到广泛应用。
平移旋转和翻转的几何变换
平移旋转和翻转的几何变换几何变换是数学中研究物体变化的重要分支，其中平移、旋转和翻转是最常见的几何变换操作。
它们在日常生活和工程应用中都有广泛的运用，能够改变物体的位置、形态和方向，具有重要的实际意义。
一、平移变换平移变换指的是在平面或三维空间中，将一个物体沿着某个方向进行移动，同时保持物体形状和大小不变。
平移变换可以用一个向量来描述，该向量表示了物体在各个方向上的平移量。
设物体上一点P的初始坐标为(x, y)，进行平移变换后，该点的新坐标为(x+t, y+t)，其中t表示平移的向量。
平移变换可以实现物体的移动和位置修正，在计算机图形学和机器人控制等领域有着广泛的应用。
二、旋转变换旋转变换是以某个中心点为基准，将物体绕该中心点按一定角度进行旋转的操作。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种形式，根据旋转角度的正负来确定。
顺时针旋转时，旋转角度为负值；逆时针旋转时，旋转角度为正值。
旋转变换是一种常见的空间变换方法，可用于动画设计、游戏开发、机器人运动控制等领域。
三、翻转变换翻转变换是将物体沿着某个轴线进行对称操作，使物体在该轴线的两侧呈镜像对称的效果。
常见的翻转方式有水平翻转和垂直翻转。
水平翻转是以物体中心的水平轴线为对称轴，将物体上的各点按照y轴进行对称；垂直翻转是以物体中心的垂直轴线为对称轴，将物体上的各点按照x轴进行对称。
翻转变换可用于图像处理、几何模型的创建等方面。
综上所述，平移、旋转和翻转是几何变换中常用且重要的操作。
它们可以改变物体的位置、形态和方向，为我们解决实际问题提供了有效的手段。
在日常生活中，我们常常会运用到这些变换操作，比如车辆的行驶、建筑物的布局等；在科学研究和工程应用中，它们也得到了广泛的应用，比如计算机图形学、机器人控制、三维建模等领域。
因此，熟练掌握和灵活运用平移、旋转和翻转等几何变换操作是数学和工程领域中的基本能力之一。
初中数学 几何变换之平移
平移的性质：1．经过平移，对应点的连线平行且相等，对应边平行或在一条边上且相等，对应角度相等．2．平移前后，所对应的图形全等．1．平行四边形与平移变换由于在平移变换下，与平移方向不平行的线段变为与原线段平行且相等的线段，因此，对于已知条件中有平行四边形的平面几何问题，我们就可以考虑用平移变换处理．平移沿平行四边形的某条边进行．2．平行六边形和平移变换因为在平移变换下，平面上任意一点与其像点的连线总是平行于平移方向的，所以对于条件中有平行线（或平行线段）的平面几何问题当然也可以考虑用平移变换处理，平移方向平行于平行线（或平行线段），平移距离则要视具体情况（特别是所要证明的结论）而定．这种平移方式经常用来对分散图形进行集中．如图所示，P 为平行四边形ABCD 内一点，求证：以AP 、BP 、CP 、DP 为边可以构成一个四边形，并且所构成的四边形的对角线的长度恰好分别等于AB 和BC ．A CD BPA CD BPQ如图所示，将PAB △平移至QDC △的位置，易证DQ AP =，CQ BP =，则四边形DPCQ 恰好是一个以AP 、BP 、CP 、DP 为边的四边形，并且它的对角线恰好等于平行四边形ABCD 的两条邻边．模块一 平行多边形和平移的构造如图2-1，四边形EFGH 中，若12∠=∠，则3∠必然等于4∠． 请运用结论证明下述问题：如图2-2，在平行四边形ABCD 中取一点P ，使得56∠=∠，求证：78∠=∠．F GHE1423 B A D C 5867P图2-1 图2-2【分析】 此题为信息题，难点在于如何理解已知条件，经观察我们发现，若1∠和2∠，位置为时，可得出3∠和4∠相等（本质为四点共圆），图（2）中，5∠与6∠关系并不像条件所示，因此，需要改变角位置，而这点可以通过构造平行四边形来解决．而构造平行四边形，恰可以达到改变角位置作用，为使5∠与6∠成形，我们可有如下四种方法．分别过点B 、P 作BK AP ∥，PK AB ∥，交于点K ，连接CK ．∵BK AP ∥，PK AB ∥，∴BK AP =，PK AB =，5BKP ∠=∠，7BPK ∠=∠ ∵AB CD =，AB CD ∥，∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKCD 为平行四边形，∴PD CK =，∵AD BC = ∴ADP BCK △≌△，∴8BCK ∠=∠在四边形BKCP 中，56BKP ∠=∠=∠，∴BPK BCK ∠=∠，∴78∠=∠8765B DCA KPK8765PDCBA （6∠不动移5∠） （5∠不动移6∠）KA BCDP 5678K8765P D C BA （5∠，6∠均移动） （5∠，6∠均移动）【教师备课提示】老师们可以让学生自由发挥，体味构造平行四边形带来的快乐．如图，以ABC △的边AB 、AC 、BC 为一边，分别向三角形的外侧作正方形ABDE 、正方形ACGF 、正方形BCMN ．以EF 、DN 、GM 为边能否构成三角形？为什么？DE FGNMBCADE FGNMBCPA过点E 作PE DN ∥，过点N 作PN DE ∥，PE 与PN 交于点P ，连结PM 、PF ．∵PE DN ∥，DE PN ∥，∴DE PN =，PE DN =∵AB DE ∥，PN DE ∥，∴AB PN ∥，∵BC MN ∥，∴ABC PNM ∠=∠，∵AB DE PN ==，BC NM =，∴ABC PNM △≌△ ∴AC PM FG ==，ACB PMN ∠=∠，∴AC FG PM ∥∥， ∴四边形FGMP 是平行四边形， ∴MG PF =∴PEF △就是以EF 、DN 、GM 的长为边的三角形．【教师备课提示】这道题还可以给学生拓展PEF △的面积为ABC △的3倍.如图所示，一个六边形的六个内角都是120︒，连续四边的长依次是1、3、3、2，则该六边形的周长是多少？2133D F EC B AC 1E 12133A 1DF EC B A（方法1）：如图所示，由于六边形的内角都是120︒， 易知CD AF ∥，AB ED ∥，BC FE ∥．把BC 、DE 、F A 分别平移至1AC 、1CE 、1EA ， 可得等边111AC E △，其边长11111C E CE CC DE BA =-=-=． 在此基础上可求得EF 、AF 的长， 进而求得六边形的周长：11111312EF AA AC C A BC ==-=-=-=， 11111134AF A E A E E E CD ==+=+=+=，故六边形的周长是13322415+++++=． （方法2）：如图所示，将六边形补全为等边PQR △． 易得PQR △的边长为1337++=， 则7322EF =--=，7124FA =--=， 故六边形的周长是13322415+++++=．在六边形ABCDEF 中，AB DE ∥，BC EF ∥，CD AF ∥，对边之差BC EF -= 0ED AB AF CD -=->．求证：六边形ABCDEF 的各内角均相等．FE DCBAPFE RQD CBA平移线段DE 到CR ，平移线段BC 到AQ ，平移线段F A 到EP ，如图所示，得到PQR △．易知PQ AQ AP BC EF =-=-， RQ RC QC ED AB =-=-，PR PE RE AF CD =-=-．由于BC EF ED AB AF CD -=-=-，∴PQ RQ PR ==，即PQR △是等边三角形， 60PQR QRP RPQ ∠=∠=∠=︒．故6060120DEF DER REF QRP RPQ ∠=∠+∠=∠+∠=︒+︒=︒． 180********CDE CRE QRP ∠=∠=︒-∠=︒-︒=︒．同理，120DCB CBA BAF AFE ∠=∠=∠=∠=︒， ∴六边形ABCDEF 的各内角均相等．如图所示，在六边形ABCDEF 中，AB ED ∥，AF CD ∥，BC FE ∥，AB ED =，AF CD =，BC FE =．又知对角线FD BD ⊥，24FD =厘米，18BD =厘米．请你回答：六边形ABCDEF 的面积是多少平方厘米？2133RQPD F EC B AACDBFEACDBFEG将DEF △平移到BAG △的位置；将BCD △平移到GAF △的位置，则长方形BDFG 的面积等于六边形ABCDEF 的面积． 易知长方形BDFG 的面积等于2418432⨯=（平方厘米）， ∴六边形ABCDEF 的面积是432平方厘米．设凸六边形ABCDEF 的三组对边分别平行．求证：ACE △的面积与BDF △的面积相等．如图，将B 、D 、F 分别沿CD 、EF 、AB 平移至B '、D '、F '，则F '在BB '上，B '在DD '上，D '在FF '上，且D F AB DE ''=-，F B CD FA ''=-，B D EF BC ''=-．记六边形ABCDEF 的面积为S ，B D F '''△的面积为T ．因四边形FABF '、BCDB '、DEFD '均为平行四边形，于是，11()()22BDF S S T T S T =-+=+△．AB CDEFB'D'F'AB C DEFA'C'E'同样，如果我们作另外三个平移变换将六边形用类似的方式剖分为三个平行四边形与一个三角形A C E '''，则有||A C AB DE ''=-，||C E CD FA ''=-，||E A EF BC ''=-．因而A C E '''△的面积也为T ，于是也有1()2ACE S S T =+△，故BDF ACE S S =△△．AB CDEF如果两条相等线段既不平行也不共线，则其中一条线段不可能是另一条线段在某个平移变换下的像．但我们可以通过平移变换移动其中的一条线段，使两条线段有一个公共端点，然后通过等腰三角形的性质再加上其他相关条件使问题得到解决．如图所示，两条长度为1的线段AB 和CD 相交于O 点，且60AOC ∠=︒，求证：1AC BD +≥．CAOBDCAO'B DB考虑将AC 、BD 和AB 集中到同一个三角形中，以便运用三角形的不等关系． 作CB AB '∥且CB AB '=，则四边形ABB C '是平行四边形，从而AC BB '=． 在BB D '△中可得BB BD B D ''+≥，（当AC BD ∥时，BB BD B D ''+=），即AC BD B D '+≥．由于1CD AB CB '===，60B CD AOC '∠=∠=︒，所以B CD '△是等边三角形，故1B D '=，所以1AC BD +≥．如图，ABC △中，AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点且AD CE =．求证：2DE BC ≥．EDCB AGHFEDC B AABC D EFHG H G HFEDC B A方法一：通过构造平行四边形把DE 和12BC 平移成共顶点的线段（如下图，作中位线利用斜边大于直角边）．模块二 共端点的平移构造方法二：通过构造平行四边形平移DE ，使得DE 和BC 共顶点． 下面写出方法二的解析：（如下图2）过点B 作BF DE ∥，且BF DE =，连接EF 、FC ． ∴DAE CEF =∠∠，AE BD EF ==又∵AD EC = ∴ADE ECF △≌△，∴DE CF = ∴BF CF BC +≥ 即2DE BC ≥，当且仅当DE 为ABC △的中位线时，取到等号．另外，此题还可以如图1，3，4那样平移，每次均产生一个平行四边形、一对全等三角形，和一个新的等腰三角形．图1图2图3图4ABCDE FABCDE F ABC DEFFE DC BA已知：ABC △．（1）如果AB AC =，D 、E 是AB 、AC 上的点，若AD AE =，请你写出此图中的另一组相等的线段；（2）如果AB AC >，D 、E 是AB 、AC 上的点，若BD CE =，请你确定DE 与BC 的数量关系，并证明你的结论．C AEBD NFEDC BA（1）DB EC =；（2）结论：BC DE >．过E 点作EF AB ∥，截取EF DB =，连结BF ，作CEF ∠的平分线EN 交BC 于N ，连结NF ．∵DB EF =，又∵DB EC =，∴EF EC =． ∵EN 平分CEF ∠，∴FEN CEN ∠=∠． 在ENF △和ENC △中，EF EC =，FEN CEN ∠=∠，EN 为公共边，∴ENF ENC △≌△． ∴NF NC =．∵DB EF ∥，DB EF =，∴四边形BDEF 是平行四边形．∴DE BF =． 在BFN △中，BN FN BF +>，即BN CN DE +>，所以BC DE >．已知：矩形ABCD内有定点M，试证：2222AM CM BM DM+=+．CABDM CABDMFE过点B、点M分别作AM、AB的平行线，交于点E，连接CE，ME，BC交ME于点F．∵AB EM∥，AM BE∥∴AM BE=，AB EM=∵AB CD=，AB CD∥∴EM CD∥，EM CD=∴ECDM为平行四边形，∴CE DM=∵EM BC⊥∴222BM BF FM=+，222CE EF CF=+，222CM CF FM=+，222BE BF EF=+∴2222AM CM BM DM+=+．如图所示，设ABCD是矩形，K为矩形所在平面上的一点，连接KA与KD均与BC相交．由点B向直线DK引垂线，由点C向直线AK引垂线，两垂线相交于M，求证MK AD⊥．AB CDEFMKKMFEDCBA AB CDEFMPK模块一平行多边形和平移的构造如图，过点K 作KP AB ∥，且KP AB =． 连接PB ，PC ，KM ． ∵PK BA ∥，PK BA =∴四边形PKAB 为平行四边形 ∴BP KA ∥又CF AK ⊥，∴CF PB ⊥又在矩形ABCD 中，AB CD ∥，AB CD = ∴PK CD ∥，PK CD =∴四边形PKDC 为平行四边形 ∴PC KD ∥又BE KD ⊥，∴BE PC ⊥ ∴M 为PBC △的重心 ∴PM BC ⊥又AB BC ⊥，AB PK ∥，∴PK AB ⊥ ∴P ，K ，M 三点共线 且KM BC ⊥又∵AD BC ∥，∴KM AD ⊥．如图A 、B 两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN 。
初中数学 什么是平移
初中数学平移是在平面上进行的还是在空间中进行的
平移可以在平面上进行，也可以在空间中进行。
它是一种几何变换，可以应用于二维平面和三维空间。
在平面上的平移：
在平面上进行的平移是指将平面上的图形沿着指定的方向和距离移动，而保持其形状和大小不变。
在平面上进行平移时，图形的每个点按照相同的方式和距离进行移动。
平移可以通过指定一个二维向量来描述，该向量表示平移的方向和距离。
在空间中的平移：
在空间中进行的平移是指将空间中的图形沿着指定的方向和距离移动，而保持其形状和大小不变。
在空间中进行平移时，图形的每个点按照相同的方式和距离进行移动。
平移可以通过指定一个三维向量来描述，该向量表示平移的方向和距离。
平移在二维平面和三维空间中的应用：
在二维平面中，平移可以用于布局、排列和组合图形。
它可以用于设计平面图案、平面几何的证明和计算机图形学中的图形变换。
在三维空间中，平移可以用于建筑设计、机械工程、计算机图形学和航空航天等领域。
它可以用于设计三维模型、布局物体在空间中的位置和运动路径的规划。
无论是在平面上还是在空间中，平移都是一种重要的几何变换，它在数学和实际应用中都发挥着重要作用。
通过平移，我们可以改变图形或物体的位置，实现布局、设计和规划等目标。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
3、如图①，在平面直角坐标系中，已知点
A （ 2， 0），点 B（ 0， 4），点 E（ 0， 1），如
图②，将△ AEO 沿 x 轴向左平移得到△ A ′E′ O′，连接 A′ B、 BE′。
（1）设 AA ′ =m（ m >0），试用含 m 的式子表示 A 、B2 BE 、2 ，并求出使 A 、B2 BE、2 取
初中数学几何变换之
平移
一、知识梳理
1、平移基本要素： 平移方向 平移距离 。 2、基本性质： （ 1）对应点所连的线 段平行且相等 （ 2）对应线段平行且相等 （ 3）对应角相等 3、应用： 平行四边形存在性等
二、常考题型
类型一：平移性质
1、 如图，矩形 OABC 的两条边在坐标轴上， OA=1 ，OC=2 ，现将此矩形向右平移，每次平
动，将△ DE进F行如下操作： （1 ）如图 1，△DEF 沿线段 AB 向右平移 （即 D 点在线段 AB 内移动） ，连接 DC 、CF、FB， 四边形 CDBF 的形状在不断的变化，它的面积是否变化？如果不变请求出其面积；如果变 化，说明理由． （2 ）如图 2 ，当 D 点移到 AB 的中点时，请你猜想四边形 CDBF 的形状，并说明理由． （3 ）如图 3 ，△DEF 的 D 点固定在 AB 的中点，然后绕 D 点按顺时针方向旋转△ DEF，使 DF 落在 AB 边上，此时 F 点恰好与 B 点重合，连接 AE，请你求出 sin ∠DEA 的值．
AH ，PH。 (1) 若点 P 在线段 CD 上，如图 1。 ①依题意补全图 1； ②判断 AH 与 PH 的数量关系与位置关系并加以证明；
(2) 若点 P 在线段 CD 的延长线上，且 AHQ 152 ，正方形 ABCD 的边长为 1，请写出求
DP 长的思路。（可以不写出计算结果）
A
B
A
B
DP
C
移 1 个单位， 若第 1 次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，
它们的纵坐标之
差的绝对值为 0.6，则第 n 次（ n＞ 1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点
的纵坐标之差的绝对值为
（用含 n 的代数式表示）
第 1题
第2题
2、如图所示 ,已知 A( ,y1),B(2,y2) 为反比例函数 y= 图象上的两点 ,动点 P(x,0) 在 x 轴正半 轴上运动 ,当线段 AP 与线段 BP 之差达到最大时 ,点 P 的坐标是 ( )
二、课后作业
1、如图，两个全等的△ ABC 和△ DFE 重叠在一起，固定△ ABC ，将△ DEF 进 行如下变换： （ 1）如图 1， △DEF 沿直线 CB 向右平移（即点 F 在线段 CB 上移动），连接 AF 、AD 、BD ．请直接写出 S△ABC 与 S 四边形 AFBD 的关系； （ 2）如图 2，当点 F 平移到线段 BC 的中点时，若四边形 AFBD 为正方形，那 么 △ABC 应满足什么条件？请给出证明； （ 3）在（2）的条件下，将 △DEF 沿 DF 折叠，点 E 落在 FA 的延长线上的点 G 处，连接 CG ，请你在图 3 的位置画出图形，并求出 sin∠ CGF 的值．
图1
D
C
叫做 （1）概念理解
“等邻边四边形 ”．
如图 1，在四边形 ABCD 中，添加一个条件使得四边形 ABCD 是“等邻边四边形 ”请．写出你
添加的一个条件 . （2）问题探究
① 小红猜想：对角线互相平分的 “等邻边四边形 ”是菱形 .她的猜想正确吗？请说明 理由。
② 如图 2，小红画了一个 Rt△ ABC，其中 ∠ABC=90 °，AB=2，BC=1，并将 Rt△ ABC 沿∠ ABC 的平分线 BB＇方向平移得到 △ A＇B＇ C＇，连结 AA＇， BC＇ .小红要是平移后的
四边形 ABC＇A＇是 “等邻边四边形 ”，应平移多少距离（即线段 BB＇的长）？
（3）应用拓展
如图 3， “等邻边四边形 ”ABCD 中， AB=AD，∠ BAD +∠ BCD ==90 °，AC， BD 为对 角线， AC=错误 ! 未找到引用源。 AB.试探究 BC， CD，BD 的数量关系 .
3 、两个全等的直角三角形 ABC 和 DEF 重叠在一起，其中∠
A=6A0C=°1，．固定△ AB不C
得最小值时点 E′的坐标；
（2）当 A′ B+BE ′取得最小值时，求点 E′的坐标。
类型二：综合应用
1、在正方形 ABCD 中， BD 是一条对角线，点 P 在射线 CD 上（与点 C、D 不重合），连
接 AP，平移 ADP ，使点 D 移动到点 C，得到 BCQ ，过点 Q 作 QH BD 于 H，连接