(完整版)初中几何变换——平移
初中数学知识归纳平移旋转和对称变换
初中数学知识归纳平移旋转和对称变换初中数学知识归纳：平移、旋转和对称变换数学是一门具有广泛应用的学科，也是培养学生逻辑思维和解决问题能力的重要学科之一。
在初中数学中，平移、旋转和对称变换是数学中常见的几何变换操作，对于学生们的几何观念理解和图形思维的培养具有重要意义。
本文将对初中数学中的平移、旋转和对称变换进行归纳和总结。
一、平移（Translation）平移是指在平面内按照一定的方向和距离将图形移动到另一个位置的几何变换操作。
平移操作不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置。
在平移中，每个点都按照相同的方向和距离进行移动。
平移的基本要素有：平移向量和被平移图形。
平移向量是指平移的方向和距离，可以用箭头表示。
被平移图形是指需要进行平移操作的图形。
二、旋转（Rotation）旋转是指按照某个中心点和旋转角度将图形绕这个中心点进行旋转的几何变换操作。
旋转不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的方向。
在旋转中，每个点都绕着中心点按照相同的角度进行旋转。
旋转的基本要素有：旋转中心、旋转角度和被旋转图形。
旋转中心是指旋转的中心点，旋转角度是指旋转的角度大小，可以用度数表示。
被旋转图形是指需要进行旋转操作的图形。
三、对称变换（Symmetry）对称变换是指通过某条线、某个点或某个面将图形镜像成另一个图形的几何变换操作。
对称变换不改变图形的大小和形状，只是改变了图形的位置或方向。
在对称变换中，每个点通过指定的对称轴或对称中心得到对应的镜像点。
常见的对称变换有关于x轴、y轴和原点的对称等。
关于x轴的对称是指图形在x轴上下对称，即图形上的每个点与其镜像点关于x轴对称；关于y轴的对称是指图形在y轴左右对称，即图形上的每个点与其镜像点关于y轴对称；关于原点的对称是指图形在原点内外对称，即图形上的每个点与其镜像点关于原点对称。
综上所述，初中数学中的平移、旋转和对称变换是数学几何中常见的几何变换操作。
通过学习和理解这些几何变换，学生们可以更好地把握图形的性质和形态，同时培养几何思维和问题解决能力。
平移的认识与平移变换
平移的认识与平移变换在几何学中，平移是一种基本的几何变换，它是指将一个图形沿着直线方向保持大小和形状不变地移动。
平移变换在日常生活和数学研究中起着重要的作用。
本文将介绍平移的概念、性质以及平移变换的应用。
一、平移的概念与性质平移是指将物体沿着某一方向按照一定距离移动，而不改变其形状、大小和方向。
平移可以用一个向量来表示，这个向量称为平移向量。
在平面几何中，平移变换有以下几个性质：1. 平移变换前后图形的大小和形状保持不变；2. 平移变换前后图形的方向保持不变；3. 平移变换前后，图形上各点之间的距离保持不变；4. 平移变换是可逆的，即可以通过逆向平移变换将图形还原。
平移变换有着广泛的应用，包括数学、物理学、计算机图形学和工程等领域。
在数学中，平移变换是最基本的几何变换之一，它被广泛地运用在数学证明和问题求解中。
在计算机图形学中，平移变换是实现图像移动和动画效果的重要手段。
在工程领域中，平移变换被用于设计和模拟机械装置、移动机器人等。
二、平移变换的应用1. 图像处理平移变换在图像处理中被广泛应用。
通过对图像进行平移变换，可以实现图像的移动和定位。
例如，在数字摄影中，通过对图像进行平移变换，可以调整图像的位置和角度，使图像更加美观和合适。
此外，平移变换还可以用于图像的拼接、融合和修复等操作，提高图像处理的效果和质量。
2. 数学建模在数学建模中，平移变换是一种常用的手段。
通过平移变换，可以将数学问题转化为更简单和易解的形式。
例如，在平面几何中，通过对图形进行平移变换，可以简化图形的形状，便于研究和推导几何性质。
在数学模型中，通过平移变换可以改变坐标系的原点，使模型更加简洁和易于理解。
3. 机械设计与控制在机械设计和控制领域，平移变换被用于描述物体的运动和变换。
通过平移变换，可以确定机械装置的位置、速度和加速度等关键参数，便于设计和控制机器人和自动化装置的运动方式。
此外，平移变换还可以用于机器人视觉导航和路径规划，实现智能化和自主化的机器人系统。
初一平移的定义及三要素知识点
初一平移的定义及三要素知识点一、初一平移的定义平移是指在平面上保持形状不变的情况下，通过将每一个点沿着同一方向移动相同的距离，来改变图形的位置。
在初中数学中，我们学习了平移的概念和相关的知识点。
二、初一平移的三要素平移作为一种几何变换，有三个要素：平移向量、平移前的图形和平移后的图形。
1. 平移向量平移向量是指平移的方向和距离。
在平面上，平移向量通常用箭头来表示，箭头的长度表示平移的距离，箭头的方向表示平移的方向。
例如，如果一个平移向量是向右平移2个单位，那么我们可以用一个向右的箭头表示，箭头的长度为2个单位。
2. 平移前的图形平移前的图形是指进行平移操作前的原始图形。
它可以是任意形状的图形，比如矩形、三角形、多边形等。
在进行平移操作时，我们需要明确平移前的图形是什么样的。
3. 平移后的图形平移后的图形是指经过平移操作后得到的新图形。
它与平移前的图形形状相同，只是位置发生了改变。
平移后的图形与平移前的图形之间的关系是位置上的改变，而形状、大小等方面保持不变。
三、平移的示例和应用平移在日常生活和数学中都有广泛的应用。
以下是一些平移的示例和应用：1. 平面地图平面地图是平移的典型应用之一。
当我们需要将地图上的一个城市或地区平移到另一个位置时，可以使用平移操作来完成。
这样可以保持地图上其他地点的相对位置不变，只改变平移的目标地点的位置。
2. 图像处理在图像处理领域，平移也是一种常见的操作。
通过对图像进行平移，可以实现图像的移动效果。
比如在电影中，我们经常看到图像在屏幕上平移的效果，这就是通过对图像进行平移操作来实现的。
3. 几何证明在几何证明中，平移也是一种常用的工具。
通过将图形进行平移，可以改变图形的位置，从而使得证明过程更加简化和清晰。
平移还可以用来证明一些几何定理和性质，例如平行线的性质、三角形的性质等。
总结：初一平移是指在平面上保持形状不变的情况下，通过将每一个点沿着同一方向移动相同的距离，来改变图形的位置。
中考数学知识点 平移定义知识点
中考数学知识点平移定义知识点平移是数学中的一个基本概念，也是中考数学考试中常见的一个知识点。
平移是指在平面上将一个图形按照规定的方向和距离移动，但保持其大小、形状和方向不变。
在中考数学中，我们需要掌握平移的定义、性质以及相关的数学运算。
在平面几何中，平移可以通过向量来描述。
假设有一个向量v(a, b)，其中a代表横坐标的位移量，b代表纵坐标的位移量。
对于一个图形上的任意点P(x, y)，它在平移后的位置P'(x', y')与原位置的坐标关系可以通过向量的运算得出：P'(x', y') = P(x, y) + v(a, b)即新的坐标等于原来的坐标加上位移向量。
根据平移的定义，我们可以得出平移的几个性质：1. 平移不改变图形的大小、形状和方向。
只是将图形移动到新的位置，但保持其原有的特征不变。
2. 平移是可逆的，即可以通过相反的位移向量将图形移回到原来的位置。
3. 平移可以与其他几何变换进行组合，如平移和旋转、平移和缩放等。
在中考数学中，平移是一个基础的几何变换，它与图形的对称、相似等概念密切相关。
掌握平移的定义和性质，能够帮助我们解决与平移相关的几何问题。
平移在解题中的应用相当广泛。
例如，在计算图形的面积或周长时，我们可以利用平移来简化计算。
通过将图形平移，使其边界与坐标轴对齐，可以更方便地计算图形的尺寸。
此外，平移还可以用于解决线段、角度、三角形等几何性质的证明问题。
通过将线段沿着坐标轴平移，可以更直观地观察到线段的平行性或垂直性。
通过平移角度，可以更方便地比较角度的大小关系。
在中考数学中，我们还需要掌握如何进行具体的数学运算。
例如，给定两个平面上的图形A和B，如果B是A的平移，我们可以通过观察图形的坐标关系来确定平移的向量。
也可以通过已知的平移向量来求解图形的坐标。
除了计算平移向量，我们还需要注意平移的一些特殊情况。
当平移向量的横纵坐标均为0时，即位移向量为零向量，表示图形没有发生移动，仍保持原位。
初一数学掌握几何中的平移旋转和对称
初一数学掌握几何中的平移旋转和对称几何学作为数学的重要分支之一，在初中数学教学中占据着重要地位。
其中，平移、旋转和对称是初一学生所学的基本几何变换方法。
本文将详细介绍初一数学中的平移、旋转和对称的概念、性质和应用。
一、平移平移是指将一个图形按照某个方向和距离移动，移动之后的图形与原图形形状完全相同。
平移有以下几个基本要素：1. 向量：平移的方向和距离可以用向量来表示。
我们可以将向量看作是有大小和方向的箭头，用向量来表示平移的方向和距离，如A B⃗表示从点A平移至点B的向量。
2. 平移的性质：平移具有以下几个重要性质：- 平移不改变图形的形状和大小；- 平移不改变图形的内部角度大小，即图形内部的角度大小保持不变；- 平移不改变图形的对称性。
3. 平移的表示方法：平移可以通过向量的方法来表示。
二、旋转旋转是指将一个图形按照某个中心点旋转一定的角度，使得图形在旋转过程中保持形状不变。
旋转有以下几个基本要素：1. 旋转中心：旋转的中心点是固定不动的点，图形围绕旋转中心旋转。
2. 旋转角度：旋转的角度是图形旋转的大小，单位为度。
顺时针旋转角度取负值，逆时针旋转角度取正值。
3. 旋转的性质：旋转具有以下几个重要性质：- 旋转不改变图形的形状和大小；- 旋转改变了图形的方向；- 旋转不改变图形的内部角度大小；- 若一个图形可以通过旋转变换得到另一个图形，则称两个图形是旋转关系。
4. 旋转的表示方法：旋转可以通过中心点和旋转角度来表示。
三、对称对称是指图形相对于某条直线、点或平移中心呈镜像关系。
对称有以下几个基本要素：1. 对称轴：对称轴是指图形的每一点关于该轴上的点在图形中心对称。
2. 对称中心：对称中心是指图形的每一点关于该中心点对称。
3. 对称的性质：对称具有以下几个重要性质：- 对称不改变图形的形状和大小；- 对称不改变图形中点的位置；- 图形对称轴上的每个点关于轴对称的点在图形中心对称；- 图形对称中心上的每个点关于中心点对称。
平移的方法和步骤
平移的方法和步骤什么是平移？在几何学中，平移是指将一个图形沿着某个方向移动一定距离的操作。
平移不改变图形的大小、形状或方向，只是改变了图形的位置。
平移是一种基本的几何变换，它在日常生活中随处可见。
比如我们走路时身体的前进就是一种平移，将物体从一个地方搬到另一个地方也可以看作一种平移。
在数学中，我们可以通过坐标系来描述平移。
通过改变坐标系中每个点的坐标，实现整个图形的平移。
平移的方法在进行平移操作时，有多种方法可以选择。
下面我们将介绍几种常见的平移方法。
方法一：向量法向量法是最直观和常用的一种方法。
它利用向量的性质来描述平移操作。
对于二维空间中的点P(x, y)，如果要将点P沿着向量V(a, b)进行平移，那么新位置Q(x’, y’)可以通过以下公式计算得出：x' = x + ay' = y + b其中a表示向右（正方向）或者向左（负方向）平移的距离，b表示向上（正方向）或者向下（负方向）平移的距离。
方法二：矩阵法矩阵法是另一种常用的平移方法。
它利用矩阵的乘法来实现平移操作。
对于二维空间中的点P(x, y)，如果要将点P沿着向量V(a, b)进行平移，那么新位置Q(x’, y’)可以通过以下公式计算得出：| x' | | 1 0 a | | x || | = | | * | || y' | | 0 1 b | | y |其中矩阵[1, 0, a; 0, 1, b]表示平移矩阵。
方法三：复合变换法复合变换法是将多个基本变换结合起来进行平移操作。
假设我们要将图形沿着向量V(a, b)进行平移，可以先将图形绕原点旋转一个角度，再进行缩放或者错切等其他变换，最后再将图形沿着新坐标轴的方向进行平移。
这种方法可以通过连续应用多个变换来实现复杂的平移操作，并且可以灵活控制每个变换的顺序和参数。
平移的步骤无论采用哪种方法，进行平移操作都需要按照以下步骤进行：1.确定要进行平移的图形或对象。
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作
初中数学知识归纳平移旋转和翻折的基本操作初中数学知识归纳——平移、旋转和翻折的基本操作初中数学中，平移、旋转和翻折是几个重要的几何变换操作。
这些操作不仅在几何题中常常出现，而且在解决实际问题时也起着重要作用。
本文将对平移、旋转和翻折的基本概念，操作规则以及实际应用进行归纳总结。
一、平移的基本概念及操作规则平移是指物体在平面上沿着某个方向移动一段距离，同时保持形状和大小不变。
在平移中，可以将物体的每个点都沿着相同的方向和距离进行移动。
具体操作规则如下：1. 平移的操作规则- 平移前后物体保持形状和大小不变。
- 平移前后物体上的所有点与平移向量保持平行。
2. 平移的表示方法平移可以使用向量表示。
假设平移向量为共点向量〈a，b〉，则平移的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旧位置的坐标 + 平移向量。
二、旋转的基本概念及操作规则旋转是指物体在平面上围绕一个点旋转一定的角度，同时保持形状和大小不变。
在旋转中，可以将物体的每个点都绕着旋转中心点按照一定的角度进行旋转。
具体操作规则如下：1. 旋转的操作规则- 旋转前后物体保持形状和大小不变。
- 旋转前后物体上的所有点与旋转中心的距离保持不变。
2. 旋转的表示方法旋转可以使用旋转角度来表示。
设旋转中心为点O，顺时针旋转θ角度，则旋转的规则可以表示为：新位置的坐标 = 旋转中心点O的坐标 + 旋转后点O'的坐标。
三、翻折的基本概念及操作规则翻折是指物体在平面上沿着某一直线对称翻转，同时保持形状和大小不变。
在翻折中，可以将物体的每个点都绕着对称轴进行翻折。
具体操作规则如下：1. 翻折的操作规则- 翻折前后物体保持形状和大小不变。
- 翻折前后物体上的所有点关于对称轴对称。
2. 翻折的表示方法翻折可以通过对称轴进行表示。
设对称轴为线l，则翻折的规则可以表示为：新位置的坐标 = 原位置点关于对称轴的对称点。
四、平移、旋转和翻折的实际应用平移、旋转和翻折不仅是几何题中经常出现的概念，也在日常生活和实际问题中得到广泛应用。
平移旋转和翻转的几何变换
平移旋转和翻转的几何变换几何变换是数学中研究物体变化的重要分支，其中平移、旋转和翻转是最常见的几何变换操作。
它们在日常生活和工程应用中都有广泛的运用，能够改变物体的位置、形态和方向，具有重要的实际意义。
一、平移变换平移变换指的是在平面或三维空间中，将一个物体沿着某个方向进行移动，同时保持物体形状和大小不变。
平移变换可以用一个向量来描述，该向量表示了物体在各个方向上的平移量。
设物体上一点P的初始坐标为(x, y)，进行平移变换后，该点的新坐标为(x+t, y+t)，其中t表示平移的向量。
平移变换可以实现物体的移动和位置修正，在计算机图形学和机器人控制等领域有着广泛的应用。
二、旋转变换旋转变换是以某个中心点为基准，将物体绕该中心点按一定角度进行旋转的操作。
旋转变换可以分为顺时针旋转和逆时针旋转两种形式，根据旋转角度的正负来确定。
顺时针旋转时，旋转角度为负值；逆时针旋转时，旋转角度为正值。
旋转变换是一种常见的空间变换方法，可用于动画设计、游戏开发、机器人运动控制等领域。
三、翻转变换翻转变换是将物体沿着某个轴线进行对称操作，使物体在该轴线的两侧呈镜像对称的效果。
常见的翻转方式有水平翻转和垂直翻转。
水平翻转是以物体中心的水平轴线为对称轴，将物体上的各点按照y轴进行对称；垂直翻转是以物体中心的垂直轴线为对称轴，将物体上的各点按照x轴进行对称。
翻转变换可用于图像处理、几何模型的创建等方面。
综上所述，平移、旋转和翻转是几何变换中常用且重要的操作。
它们可以改变物体的位置、形态和方向，为我们解决实际问题提供了有效的手段。
在日常生活中，我们常常会运用到这些变换操作，比如车辆的行驶、建筑物的布局等；在科学研究和工程应用中，它们也得到了广泛的应用，比如计算机图形学、机器人控制、三维建模等领域。
因此，熟练掌握和灵活运用平移、旋转和翻转等几何变换操作是数学和工程领域中的基本能力之一。
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初中数学几何变换之
平移
一、知识梳理
1、平移基本要素：平移方向 平移距离 。
2、基本性质：
（1）对应点所连的线 段平行且相等 （2）对应线段平行且相等 （3）对应角相等 3、应用：
平行四边形存在性等
二、常考题型 类型一：平移性质
1、如图，矩形OABC 的两条边在坐标轴上，OA=1，OC=2，现将此矩形向右平移，每次平移1个单位，若第1次平移得到的矩形的边与反比例函数图象有两个交点，它们的纵坐标之差的绝对值为0.6，则第n 次（n ＞1）平移得到的矩形的边与该反比例函数图象的两个交点的纵坐标之差的绝对值为 （用含n 的代数式表示）
第1题
第2题
2、如图所示,已知A(,y1),B(2,y2)为反比例函数y=图象上的两点,动点P(x,0)在x 轴正半
轴上运动,当线段AP 与线段BP 之差达到最大时,点P 的坐标是( )
3、如图①，在平面直角坐标系中，已知点A （2，0），点B （0，4），点E （0，1），如图②，将△AEO 沿x 轴向左平移得到△A ′E ′O ′，连接A ′B 、BE ′。
（1）设AA ′=m （m >0），试用含m 的式子表示2
2
BE B A 、、+，并求出使2
2
BE B A 、、+取得最小值时点E ′的坐标；
（2）当A ′B+BE ′取得最小值时，求点E ′的坐标。
类型二：综合应用
1、在正方形ABCD 中，BD 是一条对角线，点P 在射线CD 上（与点C 、D 不重合），连接AP ，平移ADP ∆，使点D 移动到点C ，得到BCQ ∆，过点Q 作QH BD ⊥于H ，连接AH ，PH 。
(1)若点P 在线段CD 上，如图1。
①依题意补全图1；
②判断AH 与PH 的数量关系与位置关系并加以证明；
(2)若点P 在线段CD 的延长线上，且152AHQ ∠=︒，正方形ABCD 的边长为1，请写出求DP 长的思路。
（可以不写出计算结果）
A
B
C
A
B
C D
图1 备用图
2、类比等腰三角形的定义，我们定义：有一组邻边相等的凸四边形叫做“等邻边四边形”.（1）概念理解
如图1，在四边形ABCD中，添加一个条件使得四边形ABCD是“等邻边四边形”.请写出你添加的一个条件.
（2）问题探究
①小红猜想：对角线互相平分的“等邻边四边形”是菱形.她的猜想正确吗？请说明理由。
②如图2，小红画了一个Rt△ABC，其中∠ABC=90°，AB=2，BC=1，并将Rt△ABC 沿∠ABC的平分线BB＇方向平移得到△A＇B＇C＇，连结AA＇，BC＇.小红要是平移后的四边形ABC＇A＇是“等邻边四边形”，应平移多少距离（即线段BB＇的长）？
（3）应用拓展
如图3，“等邻边四边形”ABCD中，AB=AD，∠BAD+∠BCD==90°，AC，BD为对角线，AC=错误!未找到引用源。
AB.试探究BC，CD，BD的数量关系.
3、两个全等的直角三角形ABC和DEF重叠在一起，其中∠A=60°，AC=1．固定△ABC不
动，将△DEF进行如下操作：
（1）如图1，△DEF沿线段AB向右平移（即D点在线段AB内移动），连接DC、CF、FB，四边形CDBF的形状在不断的变化，它的面积是否变化？如果不变请求出其面积；如果变化，说明理由．
（2）如图2，当D点移到AB的中点时，请你猜想四边形CDBF的形状，并说明理由．（3）如图3，△DEF的D点固定在AB的中点，然后绕D点按顺时针方向旋转△DEF，使DF落在AB边上，此时F点恰好与B点重合，连接AE，请你求出sin∠DEA的值．
二、课后作业
1、如图，两个全等的△ABC和△DFE重叠在一起，固定△ABC，将△DEF进行如下变换：
（1）如图1，△DEF沿直线CB向右平移（即点F在线段CB上移动），连接AF、AD、BD．请直接写出S△ABC与S四边形AFBD的关系；
（2）如图2，当点F平移到线段BC的中点时，若四边形AFBD为正方形，那么△ABC应满足什么条件？请给出证明；
（3）在（2）的条件下，将△DEF沿DF折叠，点E落在FA的延长线上的点G 处，连接CG，请你在图3的位置画出图形，并求出sin∠CGF的值．。