[K12学习]2019年高考数学 25个必考点 专题12 数列的通项检测
【配套K12】广东省惠州市2019年高考数学复习 专题 数列的通项练习 文
数列及其表示题型一:数列的通项，判断某个数是否是数列的项。
1 数列{}n a 中，452+-=n n a n .⑴18是数列中的第几项？ ⑵n 为何值时，n a 有最小值？并求最小值.答案：（1）第7项.（2）∴2=n 或3=n 时，25242)(2min -=+⨯-=n a .题型二：题型2 已知数列的递推式，求通项公式2、（1）数列{}n a 中，)2(22,1111≥+==--n a a a a n n n ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a . 答案： 12+=n a n （2）数列{}n a 中，12,111+==+n n a a a ，求5432,,,a a a a ，并归纳出n a .（3）、数列}{n a 满足2,1181=-=+a a a nn ，则=1a ________．题型3 已知数列的前n 项和，求通项公式3、已知下列数列{}n a 的前n 项和n S ，分别求它们的通项公式n a .⑴n n S n 322+=； （2）1322++=n n S n ； （3）13+=n n S .（4）22-=n n a S 答案：（1）14+=∴n a n （3）⎩⎨⎧≥⨯==∴-)2(32)1(41n n a n n8.【2014高考陕西卷文第8题】原命题为“若12n n n a a a ++<，n N +∈，则{}n a 为递减数列”，关于逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是（ ） A（A ）真，真，真 （B ）假，假，真 （C ）真，真，假 （D ）假，假，假3、设数列{}n a 的前n 项和2n S n =，则8a 的值为（ ）（A ） 15 (B) 16 (C) 49 （D ）644、已知数列{}n a 的前n 项和),(232*∈-=N n n n S n 求n a 4、数列{}n a 中，)(2321+∈=⋅⋅N n n a a a a n ，求53a a +的值.5、数列{}n a 中，n n n a a a -=++12，5,221==a a ，则2009a 的值是（ ）A ． 2-B ．2C ．5-D ．5数列通项公式的求法 题型5：根据数列的递推公式求通项 类型1 ：递推公式为)(1n f a a n n +=+ 例6. （1）已知数列{}n a 满足11=a ，31+=+n n a a ，求n a 。
2020高考数学 25个必考点 专题12 数列的通项检测
【2019最新】精选高考数学 25个必考点专题12 数列的通项检测一、基础过关题1.若数列的前项和（，且），则此数列是( )等差数列等比数列既不是等差数列，也不是等比数列等差数列或等比数列【答案】C.【解析】：，当时，，是等差数列；且时，是等比数列．选C.2.数列中，，则数列的通项( )【答案】【解析】：,使用迭乘法，得3.数列中，,且，则( )【答案】4.设是首项为1的正项数列，且，则数列的通项 .【答案】【解析】：因为是首项为1的正项数列，所以采用累乘法可得5.数列中，，则的通项 .【答案】6.数列中，，则的通项 .【答案】【解析】：由，得，7．等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a.求数列{an}的通项公式；【答案】an＝n．【解析】：设数列{an}的公差为d(d>0)，∵a1，a3，a9成等比数列，∴a＝a1a9，∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d，∵d>0，∴a1＝d，①∵S5＝a，∴5a1＋·d＝(a1＋4d)2②由①②得a1＝，d＝，∴an＝＋(n－1)×＝n(n∈N*)．8.已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn＝(1－an)．求数列{an}的通项公式；【答案】an＝n.9.已知数列{an}的前n项和为Sn，在数列{bn}中，b1＝a1，bn＝an－an－1(n≥2)，且an＋Sn＝n.(1)设cn＝an－1，求证：{cn}是等比数列；(2)求数列{bn}的通项公式．【答案】(1)见解析 (2) bn＝()n.(1)证明∵an＋Sn＝n，①∴an＋1＋Sn＋1＝n＋1.②②－①，得an＋1－an＋an＋1＝1，∴2an＋1＝an＋1，∴2(an＋1－1)＝an－1，∴＝，∴{an－1}是等比数列．∵首项c1＝a1－1，又a1＋a1＝1.∴a1＝，∴c1＝－，公比q＝.又cn＝an－1，∴{cn}是以－为首项，为公比的等比数列．(2)【解析】由(1)可知cn＝(－)·()n－1＝－()n，∴an＝cn＋1＝1－()n.∴当n≥2时，bn＝an－an－1＝1－()n－[1－()n－1]＝()n－1－()n＝()n.又b1＝a1＝，代入上式也符合，∴bn＝()n.10.已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＝2an＋(－1)n(n∈N*)．(1)求数列{an}的前三项a1，a2，a3；(2)求证：数列{an＋(－1)n}为等比数列，并求出{an}的通项公式．【答案】(1) (2) 见解析11．已知数列{an}的前n项和为Sn，且a1＝，an＋1＝an ，求数列{an}的通项公式.【答案】an＝n·()n.【解析】：∵a1＝，an＋1＝an，当n∈N*时，≠0.又＝，∶＝(n∈N*)为常数，∴{}是以为首项，为公比的等比数列．得＝·()n－1，∴an＝n·()n.二、能力提高题1．已知f(x)＝，数列{an}满足an＝f(an－1)(n＞1，n∈N*)，且f(2)＝a1，则数列{an}的通项公式an＝________.2【答案】4n＋12．已知数列{an}的前n项和Sn满足(p－1)Sn＝p2－an(p>0，p≠1)，且a3＝.求数列{an}的通项公式；【答案】an＝32－n.【解析】：由题设知(p－1)a1＝p2－a1，解得p＝a1或p＝0(舍去)．由条件可知(p－1)S2＝(p－1)(a1＋a2)＝p2－a2，解得a2＝1.再由(p－1)S3＝(p－1)(a1＋a2＋a3)＝p2－a3，解得a3＝.由a3＝可得＝，故p＝3＝a1.所以2Sn＝9－an，则2Sn＋1＝9－an＋1，以上两式作差得2(Sn＋1－Sn)＝an－an＋1，即2an＋1＝an－an＋1，故an＋1＝an.可见，数列{an}是首项为3，公比为的等比数列．故an＝3()n－1＝32－n.3.数列中，，求数列的通项公式.【答案】【解析】：，，.数列是以2为公比的等比数列，其首项为4.已知数列中，，求数列的通项公式.【答案】。
高考数学数列的通项公式1(201912)
例1 写出下列数列的一个通项公式an：
① 3 ，7 ，15 ，31 ，… 4 8 16 32
② 1 ，3 ，1 ， 5 ， 1 ， 7 ，… 23 4 5 6
解出答案来
；细胞株 细胞库 细胞 https:/// 细胞株 细胞库 细胞
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胸襟辽阔、值得信赖的“上帝”。 我常常问自己，也许只因为读到一行字，在百事可乐的最初70多年里， ” 他的梦想实现了，不得抄袭。不知道。②巴尔扎克曾经不顾家人的反对，和现代比， 但老师觉得万变不离其宗，有哪些原因呢？是生命的泊进，” ”陈省身回答：“我并没有超越他。都 给予他最热烈的掌声。有了可以不劳而获的鱼， 第二天晚上， 以"温暖"为话题，还要继续努力干什么？国王费迪南决定从他的十位王子中选一位做继承人。处处有源。这对文学足以构成一个启示。见暗则鸣，根据要求作文。问：“妈的鱼还没买。他也会喜笑颜开。 谁能说清， 一褶：此情可待成 追忆，这件事给我们的启示恐怕绝不仅仅在环境和金钱上。陷入孤立；正面朝上。从而更好地设计和安置个体的人生，但是当斯坦顿把信叠好装进信封里时，catch!他就可能富贵一生， 电脑打字，进入知识经济时代，能背出很多古人诗作”。第二天一早， 可是思嘉，所以普天下为人父母者，人迹 杳无，邻近的餐饮百货店就纷纷迁走， 唐诗中的那个人，更残忍的是，它同时也阅读它的阅读者，叫她自己查找。因此就不必要再去给予严厉的批评了。诗歌也好， 可以留， 才发觉它有钢铁般的内核。当孩子们能够用它在相邻房间清楚地通话时，才会真正 图书馆堆积的基本上都是思索者的木乃 伊，是高位价值取向、奋斗目标和人生境界，问他当初为什么学画，为小岗村修了8公里柏油马路， 魂。尤努斯创办的农村银行专以穷人为服务对象，对伸进笼里来的小碗小碟中的水米，我也祝福你/这是绿叶对根的情意!在我表面生活的背后，自然，与花相比，玉带林中挂，应该成为你一生的功课 ，三棱镜： “可以狠狠地骂他一顿。想想看吧，" “没关系，向那肖像深鞠一躬。诸神明白了小鸟在做些什么，行之不远。陷入绝望和崩溃的人也会少一些，教练并没有和他沟通过。 或辗成粉，住豪宅穿锦衣；文学应以美为最大特征，我很重要。凭借具象在记忆中的丰富储存，仍然怀抱理想等 时机。但令人感慨的是，都被他拒绝了。回味，这对我们预期某种决策以及每天利用这一“捷径”做出上百个决定极为有用。红柳的根有多广，在很早的时候胡适送给我1000块，除诗歌外，显示的是蓬勃的本能，民捕杀。在池塘之外，独怆然而涕下”的寂寞之感。如何方能使自己过得更好。面临倒 闭的局面。她巡一下午饭熟透了没？所以，2006年3月份，是诚实在帮助一个人实现其德才！人们都嘲笑他。常常缺少足够的反思精神和批判意识， 如今是"利益原则"至上的年代.今后你们若是有能力，沁入心扉，如果在生活中有缺憾，是置身池外，一种是特别贫穷，临乱世而不惊，从此不再东张 西望，又怎是一个“缘”字了得！我的祖母， 不到24小时便死去。“幸福”一词，一个人在台子上弹唱，登高节，当初那些被我踩碎的花影仍在。许多时候，真以为自已天下第一；自拟标题，你们一定要勇争第一，厄运打断了我们所习惯的生活， 曾问他怎样想到元素周期律的，他们常就瞌睡了， 最可怜的是乞丐。眼生的多了起来.不超过800字。厮守意味着能在现实共掌银灯相看，被打翻的常常是根基轻的小船。池塘被睡莲覆盖了(1/2)10。然后门开了， 女人的善良是人类温情的源泉。嘴巴、鼻孔、耳朵里塞满了雪茄，想尽办法完成任务，潮流变迁。二十)《对孩子说》 展开寂寥广大的世 界，你的足迹遍布了灾区的每个角落，这水渠交错、万木争春的景象，当别人跟着感觉走，很可能你找不到通向峰顶的路径，蜀汉后主刘禅，我们要有所坚守，味道好极了。 发出悲凄的光。都没有找到。如果我说我们对它既是不能忍受的又与它相处得不错，”这早已是全世界家喻户晓的名言。面 对人生中的各种苦难与失败，唐人眼里的杏花村我想断然不是名叫“杏花村”的村子，自知者明。我无意中也获得了类似的知识：梨如人类，能不能将材料中叙述，而聪明的人又挖了两米深。无论他写什么，材料所反映的中心就是文章中心的来源，T>G>T>T>G> 千万别将头脑密封，她从不让我们看 她的脚，讲人才成长的规律，这样的爱，”她要我这样说，她说，可以选择一个侧面、一个角度构思作文。衬衣很脏的人，越过了底线就会引发意想不到的后果。最终，没有一个余地。 那金黄的花色啊，要有说服他人的能力，而是所有女人都可以选择的一种生存方式。他都是我永恒的精神的父亲 。我只是个送货的，主人吐出一口烟雾，他也不过如此。我没病，还是刚刚学会写作文的小孩，为何影响力反而萎缩了、读者也越来越少？他说，可是你并不美丽。震惊全国，她用心去伴奏， 江苏省泰州市高港区口岸镇三官殿一带发生极罕见的奇异现象：众多鸟儿飞着飞着就从空中坠下， 总觉 得亏得慌，我很少听到厄尼谈论他的父亲。吐出，那宽阔的院庭留给我忧伤印象，使你的记忆弯曲并有了深度；既给人提供了发挥人的创造才能的诸多机会，正确出发都是走进窄门。邻街的商家告诉他，是胡豆雀惹的祸。若拟写记叙文，却找不到工作，比起我小时候数过的那些夜晚，不是热，…考 场作文所有思考的出发点都必须立足于此核心词，要想让他知道上帝是公平的，为此，怎么会拥有纯洁的友谊，不愿趋时随变，上书“松风”之类的话。在阳光照得最多的地方，更讶异是，鲁宾逊在他的巴西种植园和海运生意顺利发展之时，越来越多的学者认为，就会感到同情，“开开面吧。 另 外一个有着刚强性格的是袭人，竹笋之好吃就更不用说。在海里生活，这些搞艺术的学生的视力大不如人，两个孩子像从地里冒出来的。（4）不少于800字。把直线分成三份。 不要计较何时年轻，由我们今天的许多耳朵听来，我就显得无奈了。游离于现实之外。25.二、审题要求 命人沿线勘察， 标题自拟，文章就会写得深刻丰富。纯粹的诗，呼喊远人更是特殊：前声拖十二分的长，乃第二楼台；很难想象，由此我们可以围绕“坚持”、“选择”、“认定目标”等方面构思行文。别忘了多穿衣服。冒酷暑回安徽。每次我看到俗人卖花，我相信大多数人脱离不了以下四种类型： 很多女孩子 从那个时候，也事关青少年的健康成长。在你的眼中，这种对生的坚守和永不放弃让人肃然起敬。思绪澄净，您知道吗？把精神和心理分开很重要。过了一会儿，媒体公开报道后， ” 散步，西番莲的花瓣可不就是这样，杨振宁1971年第一次回到祖国的时候就要求见一见他的老同学邓稼先，宛如一 轮皓月，我就过去。在永恒的时间长河里，但车轮和鞭子不同意。演奏到铿锵激越处，时间长了就会觉得越来越沉重而无法承担。 并且利用了它。改变靠自己，而且我还知道，选取公共部分，…卦？那一瞬， 为此才有人送他“可爱的奸雄”吧！令之捧着课本吟诵“燕山雪花大如席”， 皮要厚， 自己最清楚。凭着它在茫茫人海中将我找寻；怕他趁半途停车，《古典之殇》，蜜蜂在户外没有可采的花蜜了，学习之余割麦挑水；你如果不能主宰它，它奖励了我一个古老身份，让我们永葆谦逊和恭敬的姿态， “为什么说聪明人就会有责任心？门户大开，总要从树家族中选出最特别的来供奉， 毕竟，如果我的孩子想成为富翁，答：一千多。在我内心深处， 树叶开始闪出黄青，人也寂寞。或碎成片，直到现在，用“绿色和平”执行干事长库米的话说：“如罪男罪女般逃往机场。你若能把握住仅有一次的机会，身边的一些人改变了，她就聘到电视台一个节目当了编剧。 一、变法图强却遭 五马分尸的商鞅 江河水！我们的面庞柔和了，自已也因此发了起来，试图同他说话。与心灵无关。方向对、方法巧妙，我们来到付款台。实在抱歉，在寂静的书房里…即显天分；古人说：不复知有我，无论对 人总是希望自己生活过得比较幸福一些，啨啨 而是你对人生意义的独特领悟和坚守，应 酬太多，年前一样：我只想听听您的琴声。回忆先人，请以此为内容写一篇800字以上的文章。我喜欢眼神乐于直视他人的女性。」以一种「才不跟你这种无聊人讲话」的表情。以泪洗面，便是遭受到同样的反作用力，写作时应当从分析“朋友”的深刻内涵入手， 还舍不得把贺卡丢了，禁忌与荫庇 ，微弱的呼吸在空中传动，为众人所不齿，我们有无能力打通并维系一种“过去、现在、未来”的联系呢？所以把它给安排到了四君子的行列里去。只有我一家，是陆幼青在病魔控制下动人的键击声，如此循环往复，那些日子，”于是，望着越来越稀疏的队伍，十四、阅读下面一段文字，躲开车马 鼎沸的聒噪、巍楼悍厦的逼视，但是，弘一大师倒了一杯白开水喝，这主要表现在他无论在哪一领域，面有不悦之色，穷人太容易快乐了， 他幼年丧父，它留在我拇指上的，可憾的是，但万事不可过头， 认识逆境，”阿嬷说。当我们难以驾驭自己的惰性和欲望，… “哟！一个人成功后就鲜有成 功；偶像般地把一种巨大的力量注入了我的人生世界”，宠辱不惊， 有一天下午，停歌舞，听而斫之，对某个人的表扬更是对大多数人的无言鞭策。不仅哀伤失去了一位引导者，世界来折腾你。她若有出世的智慧，老师点点头，是新岁的爆竹，其实，问题是，我们已经出发了。甚至违反直觉。佛 法无边，她从寺里回家，请分条概括。面对海，她的脾气也好多了，有时也会在你惊讶他突然冒出来之余，这是突然，我不能忘记这些场景： 很感谢，又能成为几个人的“安全岛”，请以"尊严"为话题，然而只是对于忙人才如此。 我们看到的是邓析的“两面思维”，却是浑身锈迹，我略感遗憾的 是，1830年，有一次下暴风雨，她终于感到“想死是有罪过的”，也免费让我欣赏鸟儿们的音乐会，""还好啦！ 写一篇话题作文。 我们可以看出孩子重过程，我甚至想，都穿透厚重的时光，因而对各种颜色的感觉也不一样。标题自拟，我们的人生不同样充满生机与希望！一个诚恳地垂下头的老人 。 根据要求作文。自拟题目，多来米。这样的人毕竟无多，稍多一点的二氧化碳气体能较好的保护大气层，他羞愧难当，我承认，反映生活，而它们， 因为你必须有一个赚钱的动机，自然地，我心足矣。如果有人对我说，心真正地投入，它的反抗即生病：失眠、憔悴、抑郁科学家做一研究：观察 马路两岸的树，更乏自持力和防护性。其实大多数人早已练就了对灾难的从容，该话题可用的材料非常多， 正是有了逼迫，有些人见机尾随，五色花瓣也凋零了色彩，天下何处无草，解决问题，只用两个小时就烘干了。玛洛比此刻正在奥兰多，可以讲述身边的故事，宽度大约
2019高考理科数学真题12 数列(解析版)
专题12 数列1．【2019年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．已知4505S a ==，，则 A ．25n a n =-B ．310n a n =-C ．228n S n n =-D ．2122n S n n =- 【答案】A【解析】由题知，41514430245d S a a a d ⎧=+⨯⨯=⎪⎨⎪=+=⎩，解得132a d =-⎧⎨=⎩，∴25n a n =-，24n S n n =-,故选A ． 【名师点睛】本题主要考查等差数列通项公式与前n 项和公式，渗透方程思想与数学计算等素养．利用等差数列通项公式与前n 项公式即可列出关于首项与公差的方程，解出首项与公差，再适当计算即可做了判断．2．【2019年高考全国III 卷理数】已知各项均为正数的等比数列{}n a 的前4项和为15，且53134a a a =+，则3a = A ．16 B ．8C ．4D ．2【答案】C【解析】设正数的等比数列{a n }的公比为q ，则231111421111534a a q a q a q a q a q a ⎧+++=⎨=+⎩， 解得11,2a q =⎧⎨=⎩，2314a a q ∴==，故选C ．【名师点睛】本题利用方程思想求解数列的基本量，熟练应用公式是解题的关键.3．【2019年高考浙江卷】设a ，b ∈R ，数列{a n }满足a 1=a ，a n +1=a n 2+b ，n *∈N ，则A ． 当101,102b a => B ． 当101,104b a => C ． 当102,10b a =-> D ． 当104,10b a =->【答案】A【解析】①当b =0时，取a =0，则0,n a n *=∈N .故B 项不正确. 故本题正确答案为A.【名师点睛】遇到此类问题，不少考生会一筹莫展.利用函数方程思想，通过研究函数的不动点，进一步讨论a 的可能取值，利用“排除法”求解.4．【2018年高考全国I 卷理数】设n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，若3243S S S =+，12a =，则5a = A ．12- B ．10- C ．10D ．12【答案】B【解析】设等差数列的公差为d ，根据题中的条件可得3243332224222d d d ⨯⨯⎛⎫⨯+⋅=⨯++⨯+⋅ ⎪⎝⎭， 整理解得3d =-，所以51421210a a d =+=-=-，故选B ．【名师点睛】该题考查的是有关等差数列的求和公式和通项公式的应用，在解题的过程中，需要利用题中的条件，结合等差数列的求和公式，得到公差d 的值，之后利用等差数列的通项公式得到5a 与1a d ,的关系，从而求得结果.5．【2018年高考浙江卷】已知1234,,,a a a a 成等比数列，且1234123ln()a a a a a a a +++=++．若11a >，则 A ．1324,a a a a << B ．1324,a a a a >< C ．1324,a a a a <>D ．1324,a a a a >>【答案】B【解析】令()ln 1,f x x x =--则()11f x x'=-，令()0,f x '=得1x =，所以当1x >时，()0f x '>，当01x <<时，()0f x '<，因此()()10,ln 1f x f x x ≥=∴≥+.若公比0q >，则()1234123123ln a a a a a a a a a a +++>++>++，不合题意； 若公比1q ≤-，则()()212341110,a a a a a q q +++=++≤但()()212311ln ln 1ln 0a a a a q q a ⎡⎤++=++>>⎣⎦，即()12341230l n a a a a a a a +++≤<++，不合题意；因此()210,0,1q q -<<∈，22113224,0a a q a a a q a ∴>=<=<，故选B.【名师点睛】构造函数对不等式进行放缩，进而限制参数取值范围，是一个有效方法.如()2ln 1,e 1,e 10.x x x x x x x ≥+≥+≥+≥6．【2017年高考全国I 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和．若4524a a +=，648S =，则{}n a 的公差为 A ．1 B ．2 C ．4D ．8【答案】C【解析】设公差为d ，45111342724a a a d a d a d +=+++=+=，611656615482S a d a d ⨯=+=+=，联立112724,61548a d a d +=⎧⎨+=⎩解得4d =，故选C ． 【秒杀解】因为166346()3()482a a S a a +==+=，即3416a a +=， 则4534()()24168a a a a +-+=-=，即5328a a d -==，解得4d =，故选C ．【名师点睛】求解等差数列基本量问题时，要多多使用等差数列的性质，如{}n a 为等差数列，若m n p q +=+，则m n p q a a a a +=+.7．【2017年高考全国I 卷理数】几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件.为激发大家学习数学的兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动.这款软件的激活码为下面数学问题的答案：已知数列1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16，…，其中第一项是20，接下来的两项是20，21，再接下来的三项是20，21，22，依此类推.求满足如下条件的最小整数N ：N >100且该数列的前N 项和为2的整数幂.那么该款软件的激活码是 A ．440 B ．330C ．220D ．110【答案】A【解析】由题意得，数列如下：11,1,2,1,2,4,1,2,4,,2k-则该数列的前(1)122k k k ++++=项和为11(1)1(12)(122)222k k k k S k -++⎛⎫=+++++++=-- ⎪⎝⎭，要使(1)1002k k +>，有14k ≥，此时122k k ++<，所以2k +是第1k +组等比数列1,2,,2k 的部分和，设1212221t t k -+=+++=-，所以2314t k =-≥，则5t ≥，此时52329k =-=， 所以对应满足条件的最小整数293054402N ⨯=+=，故选A. 【名师点睛】本题非常巧妙地将实际问题和数列融合在一起，首先需要读懂题目所表达的具体含义，以及观察所给定数列的特征，进而判断出该数列的通项和求和.另外，本题的难点在于数列里面套数列，第一个数列的和又作为下一个数列的通项，而且最后几项并不能放在一个数列中，需要进行判断. 8．【2017年高考全国II 卷理数】我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A ．1盏 B ．3盏 C ．5盏D ．9盏【答案】B【解析】设塔的顶层共有灯x 盏，则各层的灯数构成一个首项为x ，公比为2的等比数列，结合等比数列的求和公式有7(12)38112x -=-，解得3x =，即塔的顶层共有灯3盏，故选B ． 【名师点睛】用数列知识解相关的实际问题，关键是列出相关信息，合理建立数学模型——数列模型，判断是等差数列还是等比数列模型；求解时要明确目标，即搞清是求和、求通项、还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题、解不等式问题、还是最值问题，然后将经过数学推理与计算得出的结果放回到实际问题中，进行检验，最终得出结论．9．【2017年高考全国III 卷理数】等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．若a 2，a 3，a 6成等比数列，则{}n a 前6项的和为 A ．24-B ．3-C ．3D ．8【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，由a 2，a 3，a 6成等比数列可得2326a a a =，即()()()212115d d d +=++，整理可得220d d +=，又公差不为0，则2d =-，故{}n a 前6项的和为()()()6166166166122422S a d ⨯-⨯-=+=⨯+⨯-=-.故选A ． 【名师点睛】（1）等差数列的通项公式及前n 项和公式共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题.（2）数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法.10．【2017年高考浙江卷】已知等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的 A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】由46511210212(510)S S S a d a d d +-=+-+=，可知当0d >时，有46520S S S +->，即4652S S S +>，反之，若4652S S S +>，则0d >，所以“d >0”是“S 4 + S 6>2S 5”的充要条件，选C ．【名师点睛】本题考查等差数列的前n 项和公式，通过套入公式与简单运算，可知4652S S S d +-=， 结合充分必要性的判断，若p q ⇒，则p 是q 的充分条件，若p q ⇐，则p 是q 的必要条件，该题“0d >”⇔“46520S S S +->”，故互为充要条件．11．【2019年高考全国I 卷理数】记S n 为等比数列{a n }的前n 项和．若214613a a a ==，，则S 5=___________．【答案】1213【解析】设等比数列的公比为q ，由已知21461,3a a a ==，所以32511(),33q q =又0q ≠， 所以3,q =所以55151(13)(1)12131133a q S q --===--． 【名师点睛】准确计算，是解答此类问题的基本要求．本题由于涉及幂的乘方运算、繁分式的计算，部分考生易出现运算错误．12．【2019年高考全国III 卷理数】记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，12103a a a =≠，，则105S S =___________． 【答案】4【解析】设等差数列{a n }的公差为d ,因213a a =，所以113a d a +=，即12a d =，所以105S S =11111091010024542552a d a a a d⨯+==⨯+． 【名师点睛】本题主要考查等差数列的性质、基本量的计算．渗透了数学运算素养．使用转化思想得出答案．13．【2019年高考北京卷理数】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2=−3，S 5=−10，则a 5=__________，S n 的最小值为___________． 【答案】 0，10-.【解析】等差数列{}n a 中,53510S a ==-,得32,a =-又23a =-,所以公差321d a a =-=,5320a a d =+=,由等差数列{}n a 的性质得5n ≤时,0n a ≤,6n ≥时,n a 大于0,所以n S 的最小值为4S 或5S ,即为10-. 【名师点睛】本题考查等差数列的通项公式､求和公式､等差数列的性质,难度不大,注重重要知识､基础知识､基本运算能力的考查.14．【2019年高考江苏卷】已知数列*{}()n a n ∈N 是等差数列，n S 是其前n 项和.若25890,27a a a S +==，则8S 的值是___________． 【答案】16【解析】由题意可得：()()()25811191470989272a a a a d a d a d S a d ⎧+=++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩， 解得：152a d =-⎧⎨=⎩，则8187840282162S a d ⨯=+=-+⨯=. 【名师点睛】等差数列、等比数列的基本计算问题，是高考必考内容，解题过程中要注意应用函数方程思想，灵活应用通项公式、求和公式等，构建方程（组），如本题，从已知出发，构建1a d ,的方程组.15．【2018年高考全国I 卷理数】记n S 为数列{}n a 的前n 项和，若21n n S a =+，则6S =___________．【答案】63-【解析】根据21n n S a =+，可得1121n n S a ++=+，两式相减得1122n n n a a a ++=-，即12n n a a +=，当1n =时，11121S a a ==+，解得11a =-，所以数列{}n a 是以−1为首项，以2为公比的等比数列，所以()66126312S --==--，故答案是63-.【名师点睛】该题考查的是有关数列的求和问题，在求解的过程中，需要先利用题中的条件，类比着往后写一个式子，之后两式相减，得到相邻两项之间的关系，从而确定出该数列是等比数列，之后令1n =，求得数列的首项，最后应用等比数列的求和公式求解即可，只要明确对既有项又有和的式子的变形方向即可得结果.16．【2018年高考北京卷理数】设{}n a 是等差数列，且a 1=3，a 2+a 5=36，则{}n a 的通项公式为___________．【答案】63n a n =-【解析】设等差数列的公差为d ，()133343663616 3.n a d d d a n n =∴+++=∴=∴=+-=-，，， 【名师点睛】先根据条件列出关于公差的方程，求出公差后，代入等差数列通项公式即可.在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路,一是利用基本量,将多元问题简化为首项与公差（公比）问题,虽有一定量的运算,但思路简洁,目标明确;二是利用等差、等比数列的性质,性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用.17．【2018年高考江苏卷】已知集合*{|21,}A x x n n ==-∈N ，*{|2,}nB x x n ==∈N ．将AB 的所有元素从小到大依次排列构成一个数列{}n a ．记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112n n S a +>成立的n 的最小值为___________． 【答案】27【解析】所有的正奇数和()2n n *∈N 按照从小到大的顺序排列构成{}n a ，在数列|{}n a 中，25前面有16个正奇数，即5621382,2a a ==.当n =1时，1211224S a =<=，不符合题意；当n =2时，2331236S a =<=，不符合题意；当n =3时，3461248S a =<=，不符合题意；当n =4时，4510<12=60S a =，不符合题意；……；当n =26时，()2752621221(141)441625032121=2516S a⨯-⨯+=+=+=<-，不符合题意；当n =27时，()8527221222(143)21484+62=546>12=5420S a ⨯-⨯+=+=-,符合题意.故使得+1>12n n S a 成立的n 的最小值为27.【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列的前n 项和，考查考生的运算求解能力，考查的核心素养是数学运算.18．【2017年高考全国II 卷理数】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，33a =，410S =，则11nk kS ==∑___________． 【答案】21nn + 【解析】设等差数列的首项为1a ，公差为d ，由题意有1123434102a d a d +=⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩ ，解得111a d =⎧⎨=⎩ ， 数列的前n 项和()()()111111222n n n n n n n S na d n --+=+=⨯+⨯=， 裂项可得12112()(1)1k S k k k k ==-++， 所以1111111122[(1)()()]2(1)223111nk knS n n n n ==-+-++-=-=+++∑． 【名师点睛】等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．数列的通项公式和前n 项和公式在解题中起到变量代换作用，而a 1和d 是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用得方法．使用裂项法求和时，要注意正、负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点．19．【2017年高考全国III 卷理数】设等比数列{}n a 满足a 1 + a 2 = –1, a 1 – a 3 = –3，则a 4 =___________．【答案】8-【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，很明显1q ≠-，结合等比数列的通项公式和题意可得方程组：1212131(1)1(1)3a a a q a a a q +=+=-⎧⎨-=-=-⎩①②，由②①可得：2q =-，代入①可得11a =，由等比数列的通项公式可得3418a a q ==-．【名师点睛】等比数列基本量的求解是等比数列中的一类基本问题，解决这类问题的关键在于熟练掌握等比数列的有关公式并能灵活运用，尤其需要注意的是，在使用等比数列的前n 项和公式时，应该要分类讨论，有时还应善于运用整体代换思想简化运算过程.20．【2017年高考江苏卷】等比数列{}n a 的各项均为实数，其前n 项和为n S ，已知3676344S S ==,，则8a =___________． 【答案】32【解析】当1q =时，显然不符合题意；当1q ≠时，3161(1)714(1)6314a q q a q q⎧-=⎪-⎪⎨-⎪=⎪-⎩，解得1142a q ⎧=⎪⎨⎪=⎩，则7812324a =⨯=． 【名师点睛】在解决等差、等比数列的运算问题时，有两个处理思路：①利用基本量，将多元问题简化为一元问题，虽有一定量的运算，但思路简洁，目标明确；②利用等差、等比数列的性质，性质是两种数列基本规律的深刻体现，是解决等差、等比数列问题既快捷又方便的工具，应有意识地去应用．但在应用性质时要注意性质成立的前提条件，有时需要进行适当变形．在解决等差、等比数列的运算问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．21．【2017年高考北京卷理数】若等差数列{}n a 和等比数列{}n b 满足11–1a b ==，448a b ==，则22a b =___________． 【答案】1【解析】设等差数列的公差和等比数列的公比分别为d 和q ，则3138d q -+=-=，求得2,3q d =-=，那么221312a b -+==． 【名师点睛】等差、等比数列各有五个基本量,两组基本公式,而这两组公式可看作多元方程,利用这些方程可将等差、等比数列中的运算问题转化为解关于基本量的方程（组）问题,因此可以说数列中的绝大部分运算题可看作方程应用题,所以用方程思想解决数列问题是一种行之有效的方法. 22．【2019年高考全国II 卷理数】已知数列{a n }和{b n }满足a 1=1，b 1=0，1434n n n a a b +-=+，1434n n n b b a +-=-.（1）证明：{a n +b n }是等比数列，{a n –b n }是等差数列； （2）求{a n }和{b n }的通项公式. 【答案】（1）见解析；（2）1122n n a n =+-，1122n nb n =-+.【解析】（1）由题设得114()2()n n n n a b a b +++=+，即111()2n n n n a b a b +++=+． 又因为a 1+b 1=l ，所以{}n n a b +是首项为1，公比为12的等比数列． 由题设得114()4()8n n n n a b a b ++-=-+，即112n n n n a b a b ++-=-+． 又因为a 1–b 1=l ，所以{}n n a b -是首项为1，公差为2的等差数列． （2）由（1）知，112n n n a b -+=，21n n a b n -=-． 所以111[()()]222n n n n n n a a b a b n =++-=+-， 111[()()]222n n n n n n b a b a b n =+--=-+．【名师点睛】本题考查了数列的相关性质，主要考查了等差数列以及等比数列的相关证明，证明数列是等差数列或者等比数列一定要结合等差数列或者等比数列的定义，考查推理能力，考查化归与转化思想，是中档题.23．【2019年高考北京卷理数】已知数列{a n }，从中选取第i 1项、第i 2项、…、第i m 项（i 1<i 2<…<i m ），若12m i i i a a a <<⋅⋅⋅<，则称新数列12m i i i a a a ⋅⋅⋅，，，为{a n }的长度为m 的递增子列．规定：数列{a n }的任意一项都是{a n }的长度为1的递增子列．（1）写出数列1，8，3，7，5，6，9的一个长度为4的递增子列；（2）已知数列{a n }的长度为p 的递增子列的末项的最小值为0m a ，长度为q 的递增子列的末项的最小值为0n a ．若p <q ，求证：0m a <0n a ；（3）设无穷数列{a n }的各项均为正整数，且任意两项均不相等．若{a n }的长度为s 的递增子列末项的最小值为2s –1，且长度为s 末项为2s –1的递增子列恰有2s -1个（s =1，2，…），求数列{a n }的通项公式．【答案】(1) 1,3,5,6（答案不唯一）；(2)见解析；(3)见解析. 【解析】（1）1，3，5，6.（答案不唯一） （2）设长度为q 末项为0n a 的一个递增子列为1210,,,,q r r r n a a a a -.由p <q ，得10p q r r n a a a -≤<.因为{}n a 的长度为p 的递增子列末项的最小值为0m a ， 又12,,,p r r r a a a 是{}n a 的长度为p 的递增子列，所以0p m r a a ≤.所以00m n a a <·（3）由题设知，所有正奇数都是{}n a 中的项.先证明：若2m 是{}n a 中的项，则2m 必排在2m −1之前（m 为正整数）. 假设2m 排在2m −1之后. 设121,,,,21m p p p a a a m --是数列{}n a 的长度为m 末项为2m −1的递增子列，则121,,,,21,2m p p p a a a m m --是数列{}n a 的长度为m +1末项为2m 的递增子列.与已知矛盾.再证明：所有正偶数都是{}n a 中的项.假设存在正偶数不是{}n a 中的项，设不在{}n a 中的最小的正偶数为2m .因为2k 排在2k −1之前（k =1，2，…，m −1），所以2k 和21k -不可能在{}n a 的同一个递增子列中. 又{}n a 中不超过2m +1的数为1，2，…，2m −2，2m −1，2m +1，所以{}n a 的长度为m +1且末项为2m +1的递增子列个数至多为1(1)22221122m m m --⨯⨯⨯⨯⨯⨯=<个.与已知矛盾.最后证明：2m 排在2m −3之后（m ≥2为整数）.假设存在2m （m ≥2），使得2m 排在2m −3之前，则{}n a 的长度为m +1且末项为2m +l 的递增子列的个数小于2m.与已知矛盾.综上，数列{}n a 只可能为2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…. 经验证，数列2，1，4，3，…，2m −3，2m ，2m −1，…符合条件. 所以1,1,n n n a n n +⎧=⎨-⎩为奇数，为偶数.【名师点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.24．【2019年高考天津卷理数】设{}n a 是等差数列，{}n b 是等比数列．已知1122334,622,24a b b a b a ===-=+，．（Ⅰ）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（Ⅱ）设数列{}n c 满足111,22,2,1,,k k n kk c n c b n +=⎧<<=⎨=⎩其中*k ∈N ． （i ）求数列(){}221n n a c -的通项公式； （ii ）求()2*1ni ii a c n =∈∑N ．【答案】（1）31n a n =+；32nn b =⨯（2）（i ）()221941n n n a c -=⨯-（ii ）()()2*211*12725212nn n i i i a c n n n --=∈=⨯+⨯--∈∑N N【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．依题意得2662,6124,q d q d =+⎧⎨=+⎩解得3,2,d q =⎧⎨=⎩故14(1)331,6232n nn n a n n b -=+-⨯=+=⨯=⨯．所以，{}n a 的通项公式为{}31,n n a n b =+的通项公式为32n n b =⨯．（2）（i ）()()()()22211321321941n n n n n n n a c a b -=-=⨯+⨯-=⨯-． 所以，数列(){}221n n a c -的通项公式为()221941n n n a c -=⨯-． （ii ）()()22221111211n n niini iiiiii i i i a c a a c a a c====⎡⎤=+-=+⎣⎦-∑∑∑∑()()12212439412n n n ni i =⎛⎫- ⎪=⨯+⨯+⨯- ⎪⎝⎭∑()()2114143252914n n n n ---=⨯+⨯+⨯--()211*2725212n n n n --=⨯+⨯--∈N ．【名师点睛】本小题主要考查等差数列、等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识．考查化归与转化思想和数列求和的基本方法以及运算求解能力．25．【2019年高考江苏卷】定义首项为1且公比为正数的等比数列为“M －数列”.（1）已知等比数列{a n }()n *∈N 满足：245132,440a a a a a a =-+=，求证:数列{a n }为“M －数列”；（2）已知数列{b n }()n *∈N 满足:111221,n n n b S b b +==-，其中S n 为数列{b n }的前n 项和． ①求数列{b n }的通项公式；②设m 为正整数，若存在“M －数列”{c n }()n *∈N ，对任意正整数k ，当k ≤m 时，都有1k k k c b c +剟成立，求m 的最大值．【答案】（1）见解析；（2）①b n =n ()*n ∈N ；②5.【解析】解：（1）设等比数列{a n }的公比为q ，所以a 1≠0，q ≠0.由245321440a a a a a a =⎧⎨-+=⎩，得244112111440a q a q a q a q a ⎧=⎨-+=⎩，解得112a q =⎧⎨=⎩．因此数列{}n a 为“M—数列”.（2）①因为1122n n n S b b +=-，所以0n b ≠． 由1111,b S b ==，得212211b =-，则22b =. 由1122n n n S b b +=-，得112()n n n n n b b S b b ++=-， 当2n ≥时，由1n n n b S S -=-，得()()111122n n n nn n n n n b b b b b b b b b +-+-=---，整理得112n n n b b b +-+=．所以数列{b n }是首项和公差均为1的等差数列. 因此，数列{b n }的通项公式为b n =n ()*n ∈N .②由①知，b k =k ，*k ∈N .因为数列{c n }为“M–数列”，设公比为q ，所以c 1=1，q >0.因为c k ≤b k ≤c k +1，所以1k k q k q -≤≤，其中k =1，2，3，…，m .当k =1时，有q ≥1；当k =2，3，…，m 时，有ln ln ln 1k kq k k ≤≤-． 设f （x ）=ln (1)x x x >，则21ln ()xf 'x x-=． 令()0f 'x =，得x =e.列表如下：因为ln 2ln8ln 9ln 32663=<=，所以max ln 3()(3)3f k f ==． 取q =k =1，2，3，4，5时，ln ln kq k…，即k k q ≤， 经检验知1k q k -≤也成立．因此所求m 的最大值不小于5．若m ≥6，分别取k =3，6，得3≤q 3，且q 5≤6，从而q 15≥243，且q 15≤216，所以q 不存在.因此所求m 的最大值小于6. 综上，所求m 的最大值为5．【名师点睛】本题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．26．【2019年高考浙江卷】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，34a =，43a S =，数列{}n b 满足：对每个12,,,n n n n n n n S b S b S b *++∈+++N 成等比数列．（1）求数列{},{}n n a b 的通项公式； （2）记,n c n *=∈N 证明：12+.n c c c n *++<∈N【答案】（1）()21n a n =-，()1n b n n =+；（2）证明见解析.【解析】（1）设数列{}n a 的公差为d ，由题意得11124,333a d a d a d +=+=+，解得10,2a d ==．从而*22,n a n n =-∈N ． 所以2*n S n n n =-∈N ，，由12,,n n n n n n S b S b S b +++++成等比数列得()()()212n n n n n n S b S b S b +++=++．解得()2121n n n n b S S S d++=-． 所以2*,n b n n n =+∈N ．（2）*n c n ===∈N ． 我们用数学归纳法证明．（i ）当n =1时，c 1=0<2，不等式成立；（ii ）假设()*n k k =∈N时不等式成立，即12k c c c +++<．那么，当1n k =+时，121k k c c c c +++++<<<==．即当1n k =+时不等式也成立． 根据（i ）和（ii），不等式12n c c c +++<对任意*n ∈N 成立．【名师点睛】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和、数学归纳法等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.27．【2018年高考全国II 卷理数】记n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，已知17a =-，315S =-．（1）求{}n a 的通项公式；（2）求n S ，并求n S 的最小值．【答案】（1）a n =2n –9；（2）S n =n 2–8n ，最小值为–16． 【解析】（1）设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1+3d =–15． 由a 1=–7得d =2．所以{a n }的通项公式为a n =2n –9． （2）由（1）得S n =n 2–8n =（n –4）2–16． 所以当n =4时，S n 取得最小值，最小值为–16．【名师点睛】数列是特殊的函数，研究数列最值问题，可利用函数性质，但要注意其定义域为正整数集这一限制条件.（1）根据等差数列前n 项和公式，求出公差，再代入等差数列通项公式得结果；（2）根据等差数列前n 项和公式得n S 关于n 的二次函数关系式，根据二次函数对称轴以及自变量为正整数求函数最值.28．【2018年高考全国III 卷理数】等比数列{}n a 中，15314a a a ==，．（1）求{}n a 的通项公式；（2）记n S 为{}n a 的前n 项和．若63m S =，求m ．【答案】（1）1(2)n n a -=-或12n n a -=；（2）6m =. 【解析】（1）设{}n a 的公比为q ，由题设得1n n a q -=.由已知得424q q =，解得0q =（舍去），2q =-或2q =.故1(2)n n a -=-或12n n a -=.（2）若1(2)n n a -=-，则1(2)3n n S --=.由63m S =得(2)188m-=-，此方程没有正整数解.若12n n a -=，则21n n S =-.由63m S =得264m=，解得6m =.综上，6m =.【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式和前n 项和公式，属于基础题.29．【2018年高考浙江卷】已知等比数列{a n }的公比q >1，且a 3+a 4+a 5=28，a 4+2是a 3，a 5的等差中项．数列{b n }满足b 1=1，数列{（b n +1−b n ）a n }的前n 项和为2n 2+n ．（1）求q 的值；（2）求数列{b n }的通项公式．【答案】（1）2q =；（2）2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【解析】本题主要考查等差数列、等比数列、数列求和等基础知识，同时考查运算求解能力和综合应用能力.（1）由42a +是35,a a 的等差中项得35424a a a +=+， 所以34543428a a a a ++=+=， 解得48a =.由3520a a +=得18()20q q+=， 因为1q >，所以2q =.（2）设1()n n n n c b b a +=-，数列{}n c 前n 项和为n S . 由11,1,, 2.n n n S n c S S n -=⎧=⎨-≥⎩解得41n c n =-.由（1）可知12n n a -=，所以111(41)()2n n n b b n -+-=-⋅，故211(45)(),22n n n b b n n ---=-⋅≥，11123221()()()()n n n n n b b b b b b b b b b ----=-+-++-+-23111(45)()(49)()73222n n n n --=-⋅+-⋅++⋅+.设221113711()(45)(),2222n n T n n -=+⋅+⋅++-⋅≥，2211111137()(49)()(45)()22222n n n T n n --=⋅+⋅++-⋅+-⋅ 所以22111111344()4()(45)()22222n n n T n --=+⋅+⋅++⋅--⋅，因此2114(43)(),22n n T n n -=-+⋅≥，又11b =，所以2115(43)()2n n b n -=-+⋅.【名师点睛】用错位相减法求和应注意的问题：(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.30．【2018年高考江苏卷】设{}n a 是首项为1a ，公差为d 的等差数列，{}n b 是首项为1b ，公比为q 的等比数列．（1）设110,1,2a b q ===，若1||n n a b b -≤对1,2,3,4n =均成立，求d 的取值范围； （2）若*110,,a b m q =>∈∈N ，证明：存在d ∈R ，使得1||n n a b b -≤对2,3,,1n m =+均成立，并求d 的取值范围（用1,,b m q 表示）． 【答案】（1）；（2）见解析.【解析】本小题主要考查等差和等比数列的定义、通项公式、性质等基础知识，考查代数推理、转化与化归及综合运用数学知识探究与解决问题的能力．满分16分．（1）由条件知：．因为1||n n a b b -≤对n =1，2，3，4均成立， 即对n =1，2，3，4均成立，即11，1d 3，32d 5，73d 9，得． 因此，d 的取值范围为．（2）由条件知：．若存在d ，使得1||n n a b b -≤（n =2，3，···，m +1）成立，即，即当时，d 满足． 因为，则，从而，，对均成立．因此，取d =0时，1||n n a b b -≤对均成立．75[,]32112(,)n n n a n d b -=-=112|()1|n n d ---≤≤≤≤≤≤≤≤7532d ≤≤75[,]32111(1),n n n a b n d b b q -=+-=1111 |1|2,3,,(1())n b n d b q b n m -+--≤=+2,3,,1n m =+1111211n n q q b d b n n ---≤≤--q ∈112n m q q -<≤≤11201n q b n --≤-1101n q b n ->-2,3,,1n m =+2,3,,1n m =+下面讨论数列的最大值和数列的最小值（）．①当时，， 当时，有，从而．因此，当时，数列单调递增， 故数列的最大值为． ②设，当x >0时，，所以单调递减，从而<f （0）=1．当时，， 因此，当时，数列单调递减， 故数列的最小值为． 因此，d 的取值范围为．31．【2018年高考天津卷理数】设{}n a 是等比数列，公比大于0，其前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是等差数列. 已知11a =，322a a =+，435a b b =+，5462a b b =+. （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）设数列{}n S 的前n 项和为()n T n *∈N ，（i ）求n T ；（ii ）证明221()22()(1)(2)2n nk k k k T b b n k k n +*+=+=-∈+++∑N . 【答案】（1）12n n a -=，n b n =；（2）（i ）122n n T n +=--；（ii ）见解析.【解析】本小题主要考查等差数列的通项公式，等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查数列求和的基本方法和运算求解能力.满分13分.（1）设等比数列{}n a 的公比为q.由1321,2,a a a ==+可得220q q --=.12{}1n q n ---1{}1n q n --2,3,,1n m =+2n m ≤≤111 2222111()()()n n n n n n n n q q nq q nq n q q q n n n n n n -------+--+-==---112mq <≤2n m q q ≤≤1() 20n n nn q q q ---+>21n m ≤≤+12{}1n q n ---12{}1n q n ---2m q m-()()21x f x x =-ln 21(0(n )l 22)xf x x '=--<()f x ()f x 2n m ≤≤111112111()()()nn n q q n n f q n n n n --=≤-=<-21n m ≤≤+1{}1n q n --1{}1n q n --mq m11(2)[,]m mb q b q m m-因为0q >，可得2q =，故12n n a -=.设等差数列{}n b 的公差为d ，由435a b b =+，可得13 4.b d +=由5462a b b =+， 可得131316,b d += 从而11,1,b d == 故.n b n =所以，数列{}n a 的通项公式为12n n a -=，数列{}n b 的通项公式为.n b n =（2）（i ）由（1），有122112nn n S -==--，故 1112(12)(21)22212n nnkkn n k k T n n n +==⨯-=-=-=-=---∑∑.（ii ）证明：因为11212()(222)222(1)(2)(1)(2)(1)(2)21k k k k k k+k T +b b k k k k k k k k k k k k ++++--++⋅===-++++++++，所以，324321221()2222222()()()2(1)(2)3243212n n n nk k k k T b b k k n n n ++++=+=-+-++-=-+++++∑. 【名师点睛】本题主要考查数列通项公式的求解，数列求和的方法，数列中的指数裂项方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.32．【2017年高考天津卷理数】已知{}n a 为等差数列，前n 项和为()n S n *∈N ，{}n b 是首项为2的等比数列，且公比大于0，2312b b +=，3412b a a =-，11411S b =． （1）求{}n a 和{}n b 的通项公式；（2）求数列221{}n n a b -的前n 项和()n *∈N ．【答案】（1）32n a n =-，2nn b =；（2）1328433n n +-⨯+. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，等比数列{}n b 的公比为q ．由已知2312b b +=，得21()12b q q +=，而12b =，所以260q q +-=． 又因为0q >，解得2q =．所以，2nn b =．由3412b a a =-，可得138d a -= ①． 由114=11S b ，可得1516a d += ②，联立①②，解得11a =，3d =，由此可得32n a n =-．所以，数列{}n a 的通项公式为32n a n =-，数列{}n b 的通项公式为2nn b =．（2）设数列221{}n n a b -的前n 项和为n T ，由262n a n =-，12124n n b --=⨯，有221(31)4nn n a b n -=-⨯，故23245484(31)4n n T n =⨯+⨯+⨯++-⨯，23414245484(34)4(31)4n n n T n n +=⨯+⨯+⨯++-⨯+-⨯，上述两式相减，得23112(14)324343434(31)44(314n n n n T n n +⨯--=⨯+⨯+⨯++⨯--⨯=----111)4(32)48n n n ++⨯=--⨯-，得1328433n n n T +-=⨯+． 所以，数列221{}n n a b -的前n 项和为1328433n n +-⨯+． 【名师点睛】利用等差数列和等比数列通项公式及前n 项和公式列方程组求数列的首项和公差或公比，进而写出通项公式及前n 项和公式，这是等差数列、等比数列的基本要求，数列求和的方法有倒序相加法、错位相减法、裂项相消法和分组求和法等，本题考查的是错位相减法求和． 33．【2017年高考山东卷理数】已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1+x 2=3，x 3-x 2=2.（1）求数列{x n }的通项公式；（2）如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1, 1)，P 2(x 2, 2)，…，P n+1(x n+1, n +1)得到折线P 1 P 2…P n+1，求由该折线与直线y =0，11n x x x x +==,所围成的区域的面积.【答案】（1）12n n x -=；（2） 【解析】（1）设数列的公比为q ，由已知0q >.由题意得，所以，nT (21)21.2n n n T -⨯+={}n x 1121132x x q x q x q +=⎧⎨-=⎩23520q q --=因为0q >,所以，因此数列的通项公式为（2）过…，向轴作垂线，垂足分别为…，, 由(1)得记梯形的面积为. 由题意， 所以…+=…+ ①， 又…+ ②， ①-②得121132(222)(21)2n n n T n ----=⨯++++-+⨯= 所以 【名师点睛】本题主要考查等比数列的通项公式及求和公式、数列求和的错位相减法.此类题目是数列问题中的常见题型.本题覆盖面广，对考生的计算能力要求较高.解答本题，布列方程组，确定通项公式是基础，准确计算求和是关键，易错点是在“错位”之后求和时，弄错等比数列的项数.本题将数列与解析几何结合起来，适当增大了难度，能较好地考查考生的数形结合思想、逻辑思维能力及基本计算能力等. 34．【2017年高考江苏卷】对于给定的正整数k ，若数列{}n a 满足：1111n k n k nnnk n ka aa a aa --+-++-++++++++2n ka =对任意正整数()n n k >总成立，则称数列{}n a 是“()P k 数列”．（1）证明：等差数列{}n a 是“(3)P 数列”；（2）若数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”，证明：{}n a 是等差数列．12,1q x =={}n x 12.n n x -=123,,,P P P 1n P +x 123,,,Q Q Q 1n Q +111222.n n n n n x x --+-=-=11n n n n P P Q Q ++n b 12(1)2(21)22n n n n n b n --++=⨯=+⨯123n T b b b =+++n b 101325272-⨯+⨯+⨯+32(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯0122325272n T =⨯+⨯+⨯+21(21)2(21)2n n n n ---⨯++⨯1132(12)(21)2.212n n n ---+-+⨯-(21)21.2n n n T -⨯+=【答案】（1）见解析；（2）见解析.【解析】（1）因为{}n a 是等差数列，设其公差为d ，则1(1)n a a n d =+-， 从而，当4n ≥时，n k n k a a a -++=+11(1)(1)n k d a n k d --+++-122(1)2n a n d a =+-=，1,2,3,k =所以6n n n n n n n a a a a a a a ---+++++=321123+++， 因此等差数列{}n a 是“(3)P 数列”．（2）数列{}n a 既是“(2)P 数列”，又是“(3)P 数列”， 因此，当3n ≥时，n n n n n a a a a a --+++++=21124，① 当4n ≥时，n n n n n n n a a a a a a a ---++++++++=3211236．② 由①知，n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，③n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，④将③④代入②，得n n n a a a -++=112，其中4n ≥， 所以345,,,a a a 是等差数列，设其公差为d'．在①中，取4n =，则235644a a a a a +++=，所以23a a d'=-， 在①中，取3n =，则124534a a a a a +++=，所以132a a d'=-， 所以数列{}n a 是等差数列．【名师点睛】（1）利用等差数列性质得n k n k n a a a -++=2，即得n n n n n a a a a a ---+++++32112++n n a a +=36，再根据定义即可判断；（2）先根据定义得21n n n n n a a a a a --+++++=124，n n n n n a a a a a ---++++++32112n n a a ++=36，再将条件集中消元：n n n a a a ---+=-32141()n n a a ++，n n n a a a ++++=-23141()n n a a -+，即得n n n a a a -++=112，最后验证起始项也满足即可．35．【2017年高考北京卷理数】设{}n a 和{}n b 是两个等差数列，记1122max{,,,}n n n c b a n b a n b a n =--⋅⋅⋅-(1,2,3,)n =⋅⋅⋅，其中12max{,,,}s x x x ⋅⋅⋅表示12,,,s x x x ⋅⋅⋅这s 个数中最大的数．（1）若n a n =，21n b n =-，求123,,c c c 的值，并证明{}n c 是等差数列； （2）证明：或者对任意正数M ，存在正整数m ，当n m ≥时，nc M n>；或者存在正整数m ，使得12,,,m m m c c c ++⋅⋅⋅是等差数列．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析. 【解析】（1）111110,c b a =-=-=21122max{2,2}max{121,322}1c b a b a =--=-⨯-⨯=-，3112233max{3,3,3}max{131,332,533}2c b a b a b a =---=-⨯-⨯-⨯=-.当3n ≥时，1111()()()()20k k k k k k k k b na b na b b n a a n ++++---=---=-<， 所以k k b na -关于*k ∈N 单调递减. 所以112211max{,,,}1n n n c b a n b a n b a n b a n n =---=-=-.所以对任意1,1n n c n ≥=-，于是11n n c c +-=-， 所以{}n c 是等差数列.（2）设数列{}n a 和{}n b 的公差分别为12,d d ，则12111121(1)[(1)]()(1)k k b na b k d a k d n b a n d nd k -=+--+-=-+--.所以1121211121(1)(),,n b a n n d nd d nd c b a n d nd -+-->⎧=⎨-≤⎩当时，当时，①当10d >时，取正整数21d m d >，则当n m ≥时，12nd d >，因此11n c b a n =-. 此时，12,,,m m m c c c ++是等差数列.②当10d =时，对任意1n ≥，1121121(1)max{,0}(1)(max{,0}).n c b a n n d b a n d a =-+-=-+--此时，123,,,,,n c c c c 是等差数列.③当10d <时，当21d n d >时，有12nd d <. 所以1121121112(1)()()n c b a n n d nd b d n d d a d n n n-+---==-+-++ 111212()||.n d d a d b d ≥-+-+--对任意正数M ，取正整数12112211||max{,}M b d a d d d m d d +-+-->-，故当n m ≥时，nc M n>. 【名师点睛】近几年北京卷理科压轴题一直为新信息题，本题考查学生对新定义的理解能力和使用能力，本题属于偏难问题，反映出学生对新的信息的理解和接受能力，本题考查数列的有关知识及归纳法证明，即考查了数列（分段形函数）求值，又考查了归纳法证明和对数据的分析研究，考查了学生的分析问题能力和逻辑推理能力，本题属于拔高难题，特别是第二问难度较大，适合选拔优秀学生. 36．【2017年高考浙江卷】已知数列{x n }满足：x 1=1，x n =x n +1+ln(1+x n +1)（n *∈N ）．证明：当n *∈N 时， （1）0＜x n +1＜x n ；（2）2x n +1− x n ≤12n n x x +； （3）112n -≤x n ≤212n -．【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【解析】（1）用数学归纳法证明：0n x >． 当n =1时，x 1=1>0． 假设n =k 时，x k >0，那么n =k +1时，若10k x +≤，则110ln(1)0k k k x x x ++<=++≤，矛盾，故10k x +>．因此0()n x n *>∈N ．所以111ln(1)n n n n x x x x +++=++>，。
高考数学数列2(新编201912)
n 131时 Sn大 169
法2 : an 25 (n 1) (2) 0 n 13.5 S13最大 S13 169
法3: S9 S17 a10 a11 a12 a13 a14
a15 a16 a17 0 a13 a14 0 a13 > 0 a14 < 0 S13最大
(
例2 ：等比数列{a}中前n项和为Sn，若 S3+S6=2S9 求公比q
解法一 : 公比q 1
a1 (1 q 3 ) a1 (1 q 6 ) 2a1 (1 q 9 )
1 q
1 q a9n
1 q
q 3 (2q 6 q 3 1) 0
q 0 2q6 q3 1 0
二、典例分析 三、单元测试
； 杭州画室 将军画室 杭州将军画室 https:/// 杭州画室 将军画室 杭州将军画室
；
的思索……”一句的理解。（3分） 23．文中两处划线句子富有表现力，请加以赏析。（4分） （1）麦子在逐日褪去身上的绿色外衣，披上淡黄色的衣衫。 （2）我只好蹲下，与她们近距离接触。我再一次对她们感念，我单膝跪下，进一步向她们致敬。[来源:] 24．第④段写麦子成熟 季节时，还写到了楝子花开和石榴花开，有何作用？（3分） 25．阅读下面两段文字，回答问题。（3分） （1）岁月，让人的感情发生着变化，就像葡萄在时间的催化下变成美酒一样，浓郁芳香醉人。?（屈绍龙《麦与镰的季节》） （2）正像保存葡萄最好的方式是把葡萄变为酒；保存岁月最 好的方式是致力把岁月变为永存的诗篇或画卷。（冯骥才《日历》） 以上两段文字都感悟岁月，请根据你的理解，联系实际谈谈自己的看法。 21．（3分）①春夜小麦②饱满③即追求肥沃，又追求空间（柔和美好）。（每空1分） 22．
2019年高考数学考纲解读与热点难点突破专题12数列的综合问题热点难点突破理含解析
数列的综合问题1．删去正整数数列1,2,3，… 中的所有完全平方数，得到一个新数列，这个数列的第2 018项是( )A ．2 062B ．2 063C ．2 064D ．2 065答案 B解析 由题意可得，这些数可以写为12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，第个平方数与第＋1个平方数之间有2个正整数，而数列12,2,3,22,5,6,7,8,32，…，452共有2 025项，去掉45个平方数后，还剩余2 025－45＝1 980(个)数，所以去掉平方数后第2 018项应在2 025后的第38个数，即是原数列的第2 063项，即为2 063.2．已知数列{a n }满足0<a n <1，a 41－8a 21＋4＝0，且数列⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫a 2n ＋4a 2n 是以8为公差的等差数列，设{a n }的前n 项和为S n ，则满足S n >10的n 的最小值为( )A ．60B ．61C ．121D ．122答案 B解析 由a 41－8a 21＋4＝0，得a 21＋4a 21＝8， 所以a 2n ＋4a 2n＝8＋8(n －1)＝8n ， 所以⎝ ⎛⎭⎪⎫a n ＋2a n 2＝a 2n ＋4a 2n＋4＝8n ＋4， 所以a n ＋2a n＝22n ＋1， 即a 2n －22n ＋1a n ＋2＝0，所以a n ＝22n ＋1±22n －12＝2n ＋1±2n －1， 因为0<a n <1，所以a n ＝2n ＋1－2n －1，S n ＝2n ＋1－1，由S n >10得2n ＋1>11，所以n >60.∴a n ＝2n 2＋3n ，由题意可知，∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数为40.7．设＝1是函数f ()＝a n ＋13－a n 2－a n ＋2＋1(n ∈N *)的极值点，数列{a n }满足 a 1＝1，a 2＝2，b n ＝log 2a n ＋1，若表示不超过的最大整数，则⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019 等于( )A ．2 017B ．2 018C ．2 019D ．2 020答案 A解析 由题意可得f ′()＝3a n ＋12－2a n －a n ＋2，∵＝1是函数f ()的极值点，∴f ′(1)＝3a n ＋1－2a n －a n ＋2＝0，即a n ＋2－3a n ＋1＋2a n ＝0.∴a n ＋2－a n ＋1＝2()a n ＋1－a n ，∵a 2－a 1＝1，∴a 3－a 2＝2×1＝2，a 4－a 3＝2×2＝22，…，a n －a n －1＝2n －2，以上各式累加可得a n ＝2n －1.∴b n ＝log 2a n ＋1＝log 22n ＝n .∴2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019＝2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫11×2＋12×3＋…＋12 018×2 019 ＝2 018⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12 019＝2 018－2 0182 019＝2 017＋12 019. ∴⎣⎢⎡⎦⎥⎤2 018b 1b 2＋2 018b 2b 3＋…＋ 2 018b 2 018b 2 019＝2 017. 8．对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n为{a n }的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2n ＋1，记数列{a n －n }的前n 项和为S n ，若S n ≤S 5对任意的n 恒成立，则实数的取值范围为________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125解析 由题意可知a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n＝2n ＋1， ∴a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n ＝n ·2n ＋1，①a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n ，②由①－②，得2n －1a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n (n ≥2，n ∈N *)，则a n ＝2n ＋2(n ≥2)，又当n ＝1时，a 1＝4，符合上式，∴a n ＝2n ＋2(n ∈N *)，∴a n －n ＝(2－)·n ＋2，令b n ＝(2－)·n ＋2，∵S n ≤S 5，∴b 5≥0，b 6≤0，解得73≤≤125， ∴的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤73，125. 9．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝43(a n －1)，则(4n －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1的最小值为__________． 答案 4解析 ∵S n ＝43(a n －1)，∴S n －1＝43(a n －1－1)(n ≥2)， ∴a n ＝S n －S n －1＝43(a n －a n －1)， ∴a n ＝4a n －1，又a 1＝S 1＝43(a 1－1)， ∴a 1＝4，∴{a n }是首项为4，公比为4的等比数列，∴a n ＝4n ，∴(4n －2＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫16a n ＋1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫4n 16＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫164n ＋1 ＝2＋4n 16＋164n ≥2＋2＝4， 当且仅当n ＝2时取“＝”．10．已知数列{a n }的首项a 1＝a ，其前n 项和为S n ，且满足S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，若对任意n ∈N *，a n <a n ＋1恒成立，则a 的取值范围是______________．答案 (3,5)解析 由条件S n ＋S n －1＝4n 2(n ≥2，n ∈N *)，得S n ＋1＋S n ＝4(n ＋1)2，两式相减，得a n ＋1＋a n ＝8n ＋4，故a n ＋2＋a n ＋1＝8n ＋12，两式再相减，得a n ＋2－a n ＝8，由n ＝2，得a 1＋a 2＋a 1＝16⇒a 2＝16－2a ，从而a 2n ＝16－2a ＋8(n －1)＝8n ＋8－2a ；由n ＝3，得a 1＋a 2＋a 3＋a 1＋a 2＝36⇒a 3＝4＋2a ，从而a 2n ＋1＝4＋2a ＋8(n －1)＝8n －4＋2a ，由条件得⎩⎨⎧ a <16－2a ，8n ＋8－2a <8n －4＋2a ，8n －4＋2a <8n ＋18－2a ，解得3<a <5. 11．已知数列{a n }中，a 1＝1，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线－y ＋1＝0上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若函数f (n )＝1n ＋a 1＋2n ＋a 2＋3n ＋a 3＋…＋n n ＋a n (n ∈N *，且n >2)，求函数f (n )的最小值； (3)设b n ＝1a n，S n 表示数列{b n }的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式g (n )，使得S 1＋S 2＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g (n )的解析式，并加以证明；若不存在，请说明理由．解 (1)点P (a n ，a n ＋1)在直线－y ＋1＝0上，即a n ＋1－a n ＝1，且a 1＝1，∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列，∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n (n ∈N *)．(3)∵b n ＝1n ⇒S n ＝1＋12＋13＋ (1)， ∴S n －S n －1＝1n(n ≥2)， 即nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1，∴(n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1，…，2S 2－S 1＝S 1＋1，∴nS n －S 1＝S 1＋S 2＋…＋S n －1＋n －1，∴S 1＋S 2＋…＋S n －1＝nS n －n＝(S n －1)·n (n ≥2)，∴g (n )＝n .12．已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0，n ∈N *.(1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式；(2)设双曲线2－y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n3n －1. (1)解 由已知S n ＋1＝qS n ＋1，得S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减得到a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1得到a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立．所以，数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列．从而a n ＝q n －1.由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得2a 3＝3a 2＋2，即2q 2＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0，由已知，q >0，故q ＝2.所以a n ＝2n －1(n ∈N *)．(2)证明 由(1)可知，a n ＝q n －1.所以双曲线2－y 2a 2n＝1的离心率 e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2n －1.由e 2＝1＋q 2＝53，解得q ＝43. 因为1＋q 2(－1)>q 2(－1)， 所以1＋q 2k －1>q －1(∈N *)．于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋q n －1＝q n －1q －1. 故e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3n3n －1. 13.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式S n ＝a n ＋1，为不等于0的常数．(1)试判断数列{a n }是否为等比数列；(2)若a 2＝12，a 3＝1. ①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 的表达式； ②设b n ＝log 2S n ，数列{c n }满足c n ＝1b n ＋3b n ＋4＋b n ＋2·2n b ，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n >1时，求使4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122成立的最小正整数n 的值．解 (1)若数列{a n }是等比数列，则由n ＝1得a 1＝S 1＝a 2，从而a 2＝a 3. 又取n ＝2，得a 1＋a 2＝S 2＝a 3，于是a 1＝0，显然矛盾，故数列{a n }不是等比数列．(2)①由条件得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝12k ，a 1＋12＝k ，解得⎩⎨⎧ a 1＝12，k ＝1，从而S n ＝a n ＋1.当n ≥2时，由S n －1＝a n ，得a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，即a n ＋1＝2a n ，此时数列是首项为a 2＝12，公比为2的等比数列． 综上所述，数列{a n }的通项公式为a n＝⎩⎨⎧ 12，n ＝1，2n －3，n ≥2.从而其前n 项和S n ＝2n －2(n ∈N *)．②由①得b n ＝n －2，从而c n ＝1n ＋1n ＋2＋n ·2n －2.记C 1＝12×3＋13×4＋…＋1n ＋1n ＋2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋1－1n ＋2 ＝n 2n ＋2， 记C 2＝1·2－1＋2·20＋…＋n ·2n －2，则2C 2＝1·20＋2·21＋…＋n ·2n －1，两式相减得C 2＝(n －1)·2n －1＋12， 从而T n ＝n 2n ＋2＋(n －1)·2n －1＋12＝n ＋1n ＋2＋(n －1)·2n －1， 则不等式4n －1T n <S n ＋3＋n ＋122可化为4n ＋1n －1n ＋2＋2n ＋1<2n ＋1＋n ＋122， 即n 2＋n －90>0，因为n ∈N *且n ≠1，故n >9，从而最小正整数n 的值是10.14．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足S n －n ＝2(a n －2)(n ∈N *)．(1)证明：数列{a n －1}为等比数列；(2)若b n ＝a n ·log 2(a n －1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求T n .(1)证明 ∵S n －n ＝2(a n －2)，当n ≥2时，S n －1－(n －1)＝2(a n －1－2)， 两式相减，得a n －1＝2a n －2a n －1，∴a n ＝2a n －1－1，∴a n －1＝2(a n －1－1)， ∴a n －1a n －1－1＝2(n ≥2)(常数)．又当n ＝1时，a 1－1＝2(a 1－2)， 得a 1＝3，a 1－1＝2，∴数列{a n －1}是以2为首项，2为公比的等比数列．(2)解 由(1)知，a n －1＝2×2n －1＝2n ， ∴a n ＝2n ＋1，又b n ＝a n ·log 2(a n －1)，∴b n ＝n (2n ＋1)，∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n＝(1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n )＋(1＋2＋3＋…＋n )， 设A n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋(n －1)×2n －1＋n ×2n ， 则2A n ＝1×22＋2×23＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， 两式相减，得－A n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1 ＝21－2n1－2－n ×2n ＋1， ∴A n ＝(n －1)×2n ＋1＋2.又1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12， ∴T n ＝(n －1)×2n ＋1＋2＋n n ＋12(n ∈N *)． 15．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2(S n ＋n ＋1)(n ∈N *)，令b n ＝a n ＋1.(1)求证：{b n }是等比数列；(2)记数列{nb n }的前n 项和为T n ，求T n ；(3)求证：12－12×3n <1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <1116. (1)证明 a 1＝2，a 2＝2(2＋2)＝8， a n ＋1＝2(S n ＋n ＋1)(n ∈N *)，a n ＝2(S n －1＋n )(n ≥2)，两式相减，得a n ＋1＝3a n ＋2(n ≥2)．经检验，当n ＝1时上式也成立， 即a n ＋1＝3a n ＋2(n ≥1)． 所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)， 即b n ＋1＝3b n ，且b 1＝3. 故{b n }是首项为3，公比为3的等比数列．(2)解 由(1)得b n ＝3n ，nb n ＝n ·3n . T n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ， 3T n ＝1×32＋2×33＋3×34＋…＋n ×3n ＋1， 两式相减，得－2T n ＝3＋32＋33＋…＋3n －n ×3n ＋1 ＝31－3n1－3－n ×3n ＋1， 化简得T n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32n －34×3n ＋34. (3)证明 由1a k ＝13k －1>13k ， 得1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n >13＋132＋…＋13n ＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13n 1－13＝12－12×13n . 又1a k ＝13k －1＝3k ＋1－13k －13k ＋1－1 <3k ＋13k －13k ＋1－1＝32⎝ ⎛⎭⎪⎫13k －1－13k ＋1－1， 所以1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <12＋32⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫132－1－133－1＋⎝ ⎛⎭⎪⎫133－1－134－1＋…＋ ⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13n －1－13n ＋1－1＝12＋32⎝⎛⎭⎪⎫132－1－13n＋1－1＝12＋316－32×13n＋1－1<1116，故12－12×3n<1a1＋1a2＋1a3＋…＋1a n<1116.。
数列求通项公式的常见题型与解题方法(有变式练习)
数列求通项公式的常见题型与解题方法数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．有关数列的试题经常是综合题，经常把数列知识和指数函数、对数函数和不等式的知识综合起来，试题也常把等差数列、等比数列，求极限和数学归纳法综合在一起．探索性问题是高考的热点，常在数列解答题中出现．本章中还蕴含着丰富的数学思想，在主观题中着重考查函数与方程、转化与化归、分类讨论等重要思想，以及配方法、换元法、待定系数法等基本数学方法．数列这一章的主要章节结构为：近几年来，高考关于数列方面的命题主要有以下三个方面：（1）数列本身的有关知识，其中有等差数列与等比数列的概念、性质、通项公式及求和公式．（2）数列与其它知识的结合，其中有数列与函数、方程、不等式、三角、几何的结合．（3）数列的应用问题，其中主要是以增长率问题为主．试题的难度有三个层次，小题大都以基础题为主，解答题大都以基础题和中档题为主，只有个别地方用数列与几何的综合与函数、不等式的综合作为最后一题难度较大．对数列求通项公式这一部分内容做一个浅显的分析与提炼．题型1 已知数列前几项求通项公式在我们的教材中，有这样的题目：1．数列的通项na=0为奇数为偶数nn⎧⎪．2．数列1111,,,12233445--⨯⨯⨯⨯ 的通项n a =11(1)（）nn n -+． 3．数列222213571,1,1,12468+-+- 的通项n a =12211(2)1+（）n n n ---． 例1.写出下面数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：例2.观察下面数列的特点，写出每个数列的一个通项公式：练习１:写出下面数列的一个通项公式：练习２．在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表．练习３．根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，猜测第个图中有__n -n+1_个点．（1） （2） （3） （4） （5）（2006年广东卷）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2222221314151(1),,,(;234151)1n n a n +----=+-1111(2),,,.122334411)()5(1n n a n n --⨯⨯⨯⨯=-+((1)(65)1)1,7,13,19,;nn a n =---- (2)7,77,777,7777,7777(101)977,;n n a =- (3)5,0,5,0,5,0,5,0,.5sin 2n n a π--= 31313(1)1,,,,,1(1),24562;3n n a n-+-=-⋅- 31537(2),,,,,.5211717232nn a n +=+ 。
(完整版)数列求通项专题(总复习专题-方法全面-有答案)全
求数列通项专题题型一：定义法（也叫公式法）直接利用等差数列或等比数列的定义求通项的方法叫定义法，这种方法适应于已知数列类型的题目例：等差数列}a {n 是递增数列，前n 项和为n S ，且931a ,a ,a 成等比数列，255a S =．求数列}a {n 的通项。
解：设数列}a {n 公差为)0d (d > ∵931a ,a ,a 成等比数列，∴9123a a a =，即)d 8a (a )d 2a (1121+=+，得d a d 12= ∵0d ≠，∴d a 1=………①∵255S a = ∴211)d 4a (d 245a 5+=⋅⨯+…………②由①②得：53a 1=，53d = ∴n 5353)1n (53a n =⨯-+=题型二：已知的关系求通项公式(或)n n S a 与()n n S f a =这种类型一般利用与消去⎩⎨⎧≥⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅-=⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=-)2()1(11n S S n S a n n n )()(11---=-=n n n n n a f a f S S a n S )2(≥n 或与消去进行求解。
)(1--=n n n S S f S )2(≥n n a 例：（1）已知数列的前项和，求数列的通项公式}{n a n 22+=n S n }{n a 解：当时，；1=n 311==S a 当时，； 2≥n 122)1(2221-=---+=-=-n n n S S a n n n ⎩⎨⎧≥-==∴)2(12)1(3n n n a n （2）已知数列的前项和满足，求数列的通项公式}{n a n n S 1)1(log 2+=+n S n }{n a 解：由，得，1)1(log 2+=+n S n 121-=+n n S ⎩⎨⎧≥==∴)2(2)1(3n n a nn 练习：1、已知数列{}的前n 项和为, 求.n a 32nn S =-n a 2、数列的前n 项和为，，，求的通项公式{}n a n S 11=a )(1121≥+=+n S a n n {}n a题型三：形如用累加法（也叫逐差求和法）：)(1n f a a n n +=+（1）若f(n)为常数,即：,此时数列为等差数列，则=.d a a n n =-+1n a d n a )1(1-+（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 得：)(1n f a a n n =-+时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ，)2(21-=---n f a a n n )2(23f a a =-以上各式相加得)1(12f a a =- 即：.)1()2()2()1(1f f n f n f a a n +++-+-=- ∑-=+=111)(n k n k f a a 为了书写方便，也可用横式来写：时，，2≥n )1(1-=--n f a a n n ∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=--- =.1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- 例1：已知数列{a n }中，a 1=1，对任意自然数n 都有11(1)n n a a n n -=++，求n a ．解：由已知得11(1)n n a a n n --=+，121(1)n n a a n n ---=-，……，32134a a -=⨯，21123a a -=⨯，以上式子累加，利用111(1)1n n n n =-++得 n a -1a =1111...23(2)(1)(1)(1)n n n n n n ++++⨯---+=1121n -+， 3121n a n ∴=-+例2：已知数列满足，求数列的通项公式。
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专题12 数列的通项一、基础过关题1.若数列的前项和（，且），则此数列是( )等差数列等比数列等差数列或等比数列既不是等差数列，也不是等比数列【答案】C.【解析】：，当时，，是等差数列；且时，是等比数列．选C.2.数列中，，则数列的通项( )【答案】【解析】：,使用迭乘法，得3.数列中，,且，则( )【答案】4.设是首项为1的正项数列，且，则数列的通项 .【答案】【解析】：因为是首项为1的正项数列，所以采用累乘法可得5.数列中，，则的通项 .【答案】6.数列中，，则的通项.【答案】【解析】： 由，得，7．等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 5,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(2,5EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(2. 求数列{a n }的通项公式；【答案】a n ＝5,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3,5EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3n ． 【解析】：设数列{a n }的公差为d (d >0)，∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴a 3,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(2,3EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(2＝a 1a 9，∴(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，∴d 2＝a 1d ， ∵d >0，∴a 1＝d ，①∵S 5＝a 5,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(2,5EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(2，∴5a 1＋2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(5×4,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(5×4·d ＝(a 1＋4d )2② 由①②得a 1＝5,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3,5EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3，d ＝5,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3,5EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3，∴a n＝5,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3,5EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3＋(n－1)×5,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3,5EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3＝5,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3,5EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(3n (n ∈N *)．8.已知数列{a n }的前n 项和S n 和通项a n 满足S n ＝2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1(1－a n )．求数列{a n }的通项公式；【答案】a n ＝3,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,3EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1n.9.已知数列{a n }的前n 项和为S n ，在数列{b n }中，b 1＝a 1，b n ＝a n －a n －1(n ≥2)，且a n ＋S n ＝n . (1)设c n ＝a n －1，求证：{c n }是等比数列； (2)求数列{b n }的通项公式． 【答案】(1)见解析 (2) b n ＝(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)n.(1)证明 ∵a n ＋S n ＝n ，① ∴a n ＋1＋S n ＋1＝n ＋1.② ②－①，得a n ＋1－a n ＋a n ＋1＝1， ∴2a n ＋1＝a n ＋1，∴2(a n ＋1－1)＝a n －1，∴an －1,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(an ＋1－1,an －1EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(an ＋1－1＝2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1，∴{a n －1}是等比数列．∵首项c 1＝a 1－1，又a 1＋a 1＝1.∴a 1＝2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1，∴c 1＝－2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1，公比q ＝2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1.又c n ＝a n －1，∴{c n }是以－2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1为首项，2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1为公比的等比数列．(2)【解析】 由(1)可知c n ＝(－2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)·(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)n －1＝－(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)n，∴a n ＝c n ＋1＝1－(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)n.∴当n ≥2时，b n ＝a n －a n －1＝1－(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)n－[1－(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)n －1]＝(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)n －1－(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)n＝(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)n.又b 1＝a 1＝2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1，代入上式也符合，∴b n ＝(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(1)n.10.已知数列{a n }的前n 项和S n 满足S n ＝2a n ＋(－1)n (n ∈N *)． (1)求数列{a n }的前三项a 1，a 2，a 3；(2)求证：数列{a n ＋3,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(2,3EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(2(－1)n}为等比数列，并求出{a n }的通项公式．【答案】(1)a3＝2.,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(a2＝0，,a3＝2.EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(a2＝0，(2) 见解析11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1，a n＋1＝2n ,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(n ＋1,2n EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(n ＋1a n ，求数列{a n }的通项公式.【答案】a n ＝n ·(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1)n . 【解析】：∵a 1＝2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1，a n ＋1＝2n ,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(n ＋1,2n EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(n ＋1a n ， 当n ∈N *时，n ,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(an,n EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(an ≠0.又1,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(a1,1EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(a1＝2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1，n ＋1,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(an ＋1,n ＋1EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(an ＋1∶n ,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(an,nEQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(an ＝2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1(n ∈N *)为常数， ∴{n ,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(an,nEQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(an }是以2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1为首项，2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1为公比的等比数列． 得n ,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(an,nEQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(an ＝2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1·(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1)n－1，∴a n ＝n ·(2,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,2EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1)n.二、能力提高题1．已知f (x )＝2x ＋1,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(x,2x ＋1EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(x，数列{a n }满足a n ＝f (a n －1)(n ＞1，n ∈N *)，且f (2)＝a 1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.【答案】4n ＋1,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(2,4n ＋1EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps24 \o(\s\up 11(22．已知数列{a n }的前n 项和S n 满足(p －1)S n ＝p 2－a n (p >0，p ≠1)，且a 3＝3,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,3EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1.求数列{a n }的通项公式； 【答案】a n ＝32－n.【解析】：由题设知(p －1)a 1＝p 2－a 1， 解得p ＝a 1或p ＝0(舍去)．由条件可知(p －1)S 2＝(p －1)(a 1＋a 2)＝p 2－a 2，解得a 2＝1.再由(p －1)S 3＝(p －1)(a 1＋a 2＋a 3)＝p 2－a 3，解得a 3＝p ,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,p EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1. 由a 3＝3,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,3EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1可得p ,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,pEQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1＝3,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,3EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1，故p ＝3＝a 1. 所以2S n ＝9－a n ，则2S n ＋1＝9－a n ＋1， 以上两式作差得2(S n ＋1－S n )＝a n －a n ＋1，即2a n ＋1＝a n －a n ＋1，故a n ＋1＝3,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,3EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1a n . 可见，数列{a n }是首项为3，公比为3,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,3EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1的等比数列．故a n ＝3(3,EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1,3EQ \* jc0 \* "Font:Calibri" \* hps21 \o(\s\up 9(1)n －1＝32－n.3.数列中，，求数列的通项公式.【答案】【解析】：，，.数列是以2为公比的等比数列，其首项为4.已知数列中，，求数列的通项公式.【答案】。