2020年高考数学三轮微专题突破34 数列中的奇偶性问题(教师版)江苏
2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题(微专题)(解析版)
数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．2024年高考数学专项复习数列中的奇偶项问题（微专题）（解析版）2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.4(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 3=5,S 9=81，数列{b n }满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n a n +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .5(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．2【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n}是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4=16．(1)求数列{a n}的通项公式；log，求数列{b n}的前n项和T n．(2)若b n=-1n⋅2a2n+12【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.n n+13(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.2(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n前n项和满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n的通项公式；和数列b n(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.数列中的奇偶项问题(微专题)题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和1(深圳市罗湖区期末试题)已知数列a n中，a1=2，na n+1-n+1a n=1n∈N*.(1)求数列a n的通项公式；(2)设b n=a n+1,n为奇数,2a n+1,n为偶数，求数列bn的前100项和.【解析】【小问1详解】∵na n+1-n+1a n=1,∴a n+1n+1-a nn=1n-1n+1,a n+1+1n+1=a n+1n，所以a n+1n是常数列，即a n+1n=a1+11=3,∴a n=3n-1；【小问2详解】由(1)知，a n是首项为2，公差为3等差数列，由题意得b2n-1=a2n-1=6n-4，b2n=2a2n+1=12n+4，设数列b2n-1，b2n的前50项和分别为T1，T2，所以T1=50b1+b992=25×298=7450，T2=50×b2+b1002=25×620=15500，所以b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950；综上，a n=3n-1，b n的前100项和为T1+T2=7450+15500=22950.1(2023·黑龙江大庆·统考三模)已知数列a n满足a1+3a2+⋯+2n-1a n=n．(1)证明：1a n是一个等差数列；(2)已知c n=119a n,n为奇数a n a n+2,n为偶数，求数列c n 的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见详解(2)S2n=2n-1n19+n34n+3【详解】(1)当n=1时，可得a1=1，当n≥2时，由a1+3a2+⋯+2n-1a n=n，则a1+3a2+⋯+2n-3a n-1=n-1n≥2，上述两式作差可得a n=12n-1n≥2，因为a1=1满足a n=12n-1，所以a n的通项公式为a n=12n-1，所以1a n=2n-1，因为1a n-1a n-1=2n-1-2n-3=2(常数)，所以1a n是一个等差数列．(2)c n=2n-119,n为奇数12n-12n+3,n为偶数 ，所以C1+C3+⋯C2n-1=1+5+9+⋯4n-319=2n-1n19，C2+C4+⋯C2n=1413-17+17-111+⋯+14n-1-14n+3=n34n+3所以数列c n的前2n项和S2n=2n-1n19+n34n+3．2(2023·吉林·统考三模)已知数列a n满足a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数an的前n项和为S n．(1)求a1，a2，并判断1024是数列中的第几项；(2)求S2n-1．【答案】(1)a1=12，a2=4；1024是数列a n的第342项(2)S2n-1=4n6+3n2-5n+116【详解】(1)由a n=2n-2,n为奇数3n-2,n为偶数可得a1=12，a2=4．令2n-2=1024=210，解得：n=12为偶数，不符合题意，舍去；令3n-2=1024，解得：n=342，符合题意．因此，1024是数列a n的第342项．(2)S2n-1=a1+a2+a3+a4+⋅⋅⋅+a2n-2+a2n-1=12+4+2+10+⋅⋅⋅+6n-8+22n-3=12+2+⋅⋅⋅+22n-3+4+10+⋅⋅⋅+6n-8=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116．另解：由题意得a2n-1=22n-3，又a2n+1a2n-1=4，所以数列a2n-1是以12为首项，4为公比的等比数列．a2n=6n-2，又a2n+2-a2n=6，所以数列a2n是以4为首项，6为公差的等差数列．S2n-1为数列a2n-1的前n项和与数列a2n的前n-1项和的总和．故S2n-1=121-4n1-4+n-14+6n-82=164n-1+n-13n-2=4n6+3n2-5n+116.3(2023·安徽蚌埠·统考三模)已知数列a n满足a1=1，a2n+1=a2n+1，a2n=2a2n-1.(1)求数列a n的通项公式；(2)设T n=1a1+1a2+⋯+1a n，求证：T2n<3.【答案】(1)a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)证明见解析.【详解】(1)由题意a2n+1=a2n+1=2a2n-1+1,所以a2n+1+1=2a2n-1+1,因为a1+1=2≠0,所以数列a2n-1+1是首项为2,公比为2的等比数列,所以a2n-1+1=2n,即a2n-1=2n-1,而a2n=2a2n-1=2n+1-2,所以a n=2n+12-1,n为奇数, 2n2+1-2,n为偶数.(2)方法一：由(1)得T2n=ni=11a2i-1+1a2i=32ni=112i-1=32ni=12i+1-12i-12i+1-1<32ni=12i+12i-12i+1-1=3ni=12i2i-12i+1-1=3ni=112i-1-12i+1-1=31-12n+1-1<3方法二：因为2n-1≥2n-1n∈N*,所以T2n=∑ni=11a2i-1+1a2i=32∑n i=112i-1≤32∑n i=112i-1=31-12n<34(2023·湖南邵阳·统考三模)记S n为等差数列{a n}的前n项和，已知a3=5,S9=81，数列{b n}满足a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3.(1)求数列{a n }与数列{b n }的通项公式；(2)数列{c n }满足c n =b n ,n 为奇数1a n an +2,n 为偶数，n 为偶数，求{c n }前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =2n -1,b n =3n (2)T 2n =3⋅9n 8-116n +12-724【详解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3=5S 9=81 ，即a 1+2d =59a 1+9×82d =81 ，∴a 1=1,d =2，∴a n =2n -1.∵a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3+⋯+a n b n =n -1 ⋅3n +1+3，①∴a 1b 1+a 2b 2+⋯+a n -1b n -1=n -2 ⋅3n +3n ≥2 ，②所以①-②得，a n b n =2n -1 ⋅3n ，∴b n =3n n ≥2 .当n =1时，a 1b 1=3,b 1=3，符合b n =3n .∴b n =3n .(2)T 2n =c 1+c 2+c 3+⋯+c 2n ，依题有：T 2n =b 1+b 3+⋯+b 2n -1 +1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2.记T 奇=b 1+b 3+⋯+b 2n -1，则T 奇=3(1-32n )1-32=32n +1-38.记T 偶=1a 2a 4+1a 4a 6+⋯+1a 2n a 2n +2，则T 偶=12d 1a 2-1a 4 +1a 4-1a 6 +⋯+1a 2n -1a 2n +2=12d 1a 2-1a 2n +2=1413-14n +3 .所以T 2n =32n +1-38+1413-14n +3 =3⋅9n 8-116n +12-7245(2023·湖南岳阳·统考三模)已知等比数列a n 的前n 项和为S n ，其公比q ≠-1，a 4+a 5a 7+a 8=127，且S 4=a 3+93．(1)求数列a n 的通项公式；(2)已知b n =log 13a n ,n 为奇数a n,n 为偶数，求数列b n 的前n 项和T n ．【答案】(1)a n =3n (2)T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数【详解】(1)因为a n 是等比数列，公比为q ≠-1，则a 4=a 1q 3,a 5=a 1q 4，a 7=a 1q 6,a 8=a 1q 7，所以a 4+a 5a 7+a 8=a 1q 3+a 1q 4a 1q 6+a 1q 7=1q 3=127，解得q =3，由S 4=a 3+93，可得a 11-34 1-3=9a 1+93，解得a 1=3，所以数列a n 的通项公式为a n =3n ．(2)由(1)得b n =-n ,n 为奇数3n ,n 为偶数，当n 为偶数时，T n =b 1+b 2+⋅⋅⋅+b n =b 1+b 3+⋅⋅⋅+b n -1 +b 2+b 4+⋅⋅⋅+b n =-1+3+⋅⋅⋅+n -1 +32+34+⋅⋅⋅+3n=-n2⋅1+n -12×+91-9n 21-9=983n -1 -n 24；当n 为奇数时T n =T n +1-b n +1=983n +1-1 -n +1 24-3n +1=18×3n +1-98-n +1 24；综上所述：T n =18×3n +1-98-n +1 24,n 为奇数983n -1-n 24,n 为偶数.题型二、含有(-1)n 类型2【2020年新课标1卷文科】数列{a n }满足a n +2+(-1)n a n =3n -1，前16项和为540，则a 1=【答案】7【解析】a n +2+(-1)n a n =3n -1，当n 为奇数时，a n +2=a n +3n -1；当n 为偶数时，a n +2+a n =3n -1.设数列a n 的前n 项和为S n ，S 16=a 1+a 2+a 3+a 4+⋯+a 16=a 1+a 3+a 5⋯+a 15+(a 2+a 4)+⋯(a 14+a 16)=a 1+(a 1+2)+(a 1+10)+(a 1+24)+(a 1+44)+(a 1+70)+(a 1+102)+(a 1+140)+(5+17+29+41)=8a 1+392+92=8a 1+484=540，∴a 1=7.故答案为：7.1(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列{a n }是正项等比数列，满足a 3是2a 1、3a 2的等差中项，a 4=16．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若b n =-1 n ⋅2a 2n +1log ，求数列{b n }的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列{a n }的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列{a n }是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-⋯-2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +⋯+-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+⋯+-1 n ⋅2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+⋯+-1 n +1⋅2n +1 所以2T n =3+2[-1 2+-1 3+⋯+-1 n ]--1 n +12n +1 ，=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n=n+1-1n-1，n∈N*2【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2题型三、a n+a n+1类型3(2023·广东深圳·统考一模)记S n，为数列a n的前n项和，已知S n=a n2+n2+1，n∈N*．(1)求a1+a2，并证明a n+a n+1是等差数列；(2)求S n．【解析】(1)已知S n=a n2+n2+1，n∈N*当n=1时，a1=a12+2，a1=4；当n=2时，a1+a2=a22+5，a2=2，所以a1+a2=6．因为S n=a n2+n2+1①，所以S n+1=a n+12+n+12+1②．②-①得，a n+1=a n+12-a n2+n+12-n2，整理得a n+a n+1=4n+2，n∈N*，所以a n+1+a n+2-a n+a n+1=4n+1+2-4n+2=4(常数)，n∈N*，所以a n+a n+1是首项为6，公差为4的等差数列．(2)由(1)知，a n-1+a n=4n-1+2=4n-2，n∈N*，n≥2．当n为偶数时，S n=a1+a2+a3+a4+⋯+a n-1+a n=n26+4n-22=n2+n；当n为奇数时，S n=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a n-1+a n=4+n-1210+4n-22=n2+n+2．综上所述，S n=n2+n,当n为偶数时n2+n+2,当n为奇数时1(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n满足a1=1，a n+a n+1=2n；数列b n前n项和为S n，且b1=1，2S n=b n+1-1.(1)求数列a n和数列b n的通项公式；(2)设c n=a n⋅b n，求c n前2n项和T2n.【答案】(1)a n=n,n=2k-1,k∈Zn-1,n=2k,k∈Z，bn=3n-1；(2)58n-59n8.【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n82(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，又b 2=3，∴n ≥2时，b n =3n -1，b 1=1=30，∴b n =3n -1；(2)由(1)得c n =n 3n -1,n =2k -1,k ∈Zn -1 3n -1,n =2k ,k ∈Z ，T 2n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -2 +1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n -1 =41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 设K n =1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n -1 ⋅32n -2 ①则9K n =1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n -1 ⋅32n ②①-②得-8K n =1+232+34+⋅⋅⋅+32n -2-2n -1 ⋅32n=5+8n -5 9n-4，K n =5+8n -5 9n 32，∴T 2n =58n -5 9n8。
专题7 函数的奇偶性和周期性-2020年江苏省高考数学考点探究(原卷版)
专题7 函数的奇偶性和周期性专题知识梳理1．奇、偶函数的定义对于函数f(x)定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)(或f(－x)＋f(x)＝0)，则称f(x)为奇函数；对于函数f(x)的定义域内的任意一个x，都有f(－x)＝f(x)(或f(－x)－f(x)＝0)，则称f(x)为偶函数．2．奇、偶函数的性质(1)具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(也就是说，函数为奇函数或偶函数的必要条件是其定义域关于原点对称)．(2)奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．(3)若奇函数的定义域包含0，则f(0)＝__0__．(4)若函数f(x)是偶函数，则有__f(|x|)＝f(x)__．(5)奇函数在对称区间上的单调性__相同__，偶函数在对称区间上的单调性__相反__．3．周期性(1)周期函数对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．注1：函数奇偶性常用结论(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．注2：函数周期性常用结论对f(x)定义域内任一自变量的值x，(1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0)．(2)若f(x＋a)＝1f（x），则T＝2a(a>0)．(3)若f(x＋a)＝－1f（x），则T＝2a(a>0)．考点探究考向1 判断函数的奇偶性【例】判断下列函数的奇偶性：(1)f (x )＝9－x 2＋x 2－9； (2)f (x )＝(x ＋1)1－x 1＋x ； (3)f (x )＝4－x 2|x ＋3|－3； (4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x （x ＜0）－x 2＋x （x ＞0）； (5)f (x )＝x 2－|x －a |＋2．题组训练1.下列函数中为偶函数的是________．①y ＝1x②y ＝lg|x | ③y ＝(x －1)2 ④y ＝2x2.下面的定义域为R 的四个函数y ＝x 3，y ＝2x ，y ＝x 2＋1，y ＝2sin x 中，奇函数的个数是________．3.（易错题）试判断函数()f x =的奇偶性．考向2 函数奇偶性与单调性的综合应用【例1】（1）若函数f(x)=xln(x+√a+x2)为偶函数,则a=______．（2）已知偶函数f(x)在[0,+∞)单调递减,f(2)=0,若f(x−1)>0,则x的取值范围是______．【例2】(1) 设函数f(x)＝a·2x＋a－22x＋1(x∈R)为奇函数，求实数a的值；(2) 设函数f(x)是定义在(－1，1)上的偶函数，在(0，1)上是增函数，若f(a－2)－f(4－a2)<0，求实数a的取值范围．题组训练1.设函数f(x)=(x+1)(2x+3a)为偶函数,则a=______ ．2.已知y=f(x)+x2是奇函数,且f(1)=1,若g(x)=f(x)+2,则g(−1)=______．3.已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(−∞,0)上单调递增,若实数a 满足f(2|a−1|)>f(−√2),则a 的取值范围是______．4.若函数f(x)={x(x −b),x ≥0ax(x +2),x <0(a,b ∈R)为奇函数,则a +b 的值为______．5.设f(x)=log 21−ax x−1−x 为奇函数,a 为常数．(1)求a 的值；(2)判断并证明函数f(x)在x ∈(1,+∞)时的单调性；(3)若对于区间[2,3]上的每一个x 值,不等式f(x)>2x +m 恒成立,求实数m 取值范围．考向3 函数的奇偶性与周期性的综合应用【例1】定义在R 上的奇函数f(x)有最小正周期4，且x∈(0，2)时，f(x)＝3x9x ＋1．求f(x)在[－2，2]上的解析式．【例2】（2019·江苏卷）设f(x)，g(x)是定义在R 上的两个周期函数，f(x)的周期为4，g(x)的周期为2，且f(x)是奇函数.当x ∈(0,2]时，f(x)=√1−(x −1)2，g(x)={k(x +2),0<x ≤1,−12,1<x ≤2,其中k >0.若在区间(0,9]上，关于x 的方程f(x)=g(x)有8个不同的实数根，则k 的取值范围是______．题组训练1.若f(x)是周期为2的奇函数,当x ∈(0,1)时,f(x)=x 2−8x +30,则f(√10)=______．2.奇函数f(x)的周期为4,且x ∈[0,2],f(x)=2x −x 2,则f(2018)+f(2019)+f(2020)的值为________．3.已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0，2]上是增函数．若方程f (x )＝m (m ＞0)在区间[－8，8]上有四个不同的根x 1，x 2，x 3，x 4，则x 1＋x 2＋x 3＋x 4＝________．4.（拔高题）设函数f （x ）的定义域关于原点对称，且满足：① f (x 1-x 2)=1221()()1()()f x f x f x f x +- (x 1≠x 2)；② 存在正常数a ，使得f (a )=1． 求证：（1） f （x ）是奇函数；（2） f （x ）是周期为4a 的周期函数．。
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破——专题08 数列(解析版)
2020年江苏省高考数学三轮冲刺专项突破专题08数列2020年江苏高考核心考点1.等差和等比数列是江苏高考的C 级考点，属于必考内容，主要对等差和等比数列的项、公差、公比、通项公式、前n 项和公式的求解。
2.数列解答题通常在等差和等比数列的基本量运算上更深入的研究，例如n a 与n s 的递推关系，属于压轴题型。
专项突破一、填空题（本大题共14小题，每小题5分，共计70分．）1.（2019—2020学年度苏、锡、常、镇四市高三教学情况调查（一））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，19a =，95495S S -=-，则n a ＝ ． 【答案】112+-=n a n 【解析】29(1)(1)10211n n n S n S n n a n n=+--⇒=-+⇒=-+． 2.（江苏省苏北七市2020届高三第二次调研考试）在等差数列{}n a (n N *∈)中，若124a a a =+，83a =-，则20a 的值是 ．【答案】-15【解析】∵数列{}n a 是等差数列，∴1524a a a a +=+，又124a a a =+，∴50a =， ∴8531853a a d --===--，故2051515a a d =+=-．3.（2019～2020学年度高三年级如皋中学第二学期期初调研测试）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，且434322+1,2232S S a a a ==++，则1a = ．【答案】1【解析】因为434322+1,2232S S a a a ==++所以13344+=-=s s s a ，代入232)1(2233++=+a a s 得0232=+-q q ，解得2=q 或1（舍去） 所以11=a .4.（江苏省如皋市2019—2020学年高三年级第二学期语数英学科模拟）已知等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若121223a a a a =+，且34S ，43S ，52S 成等差数列，则满足不等式40392020n n S a >的n 的最小值为 ． 【答案】12【解析】34S ，43S ，52S 成等差数列得qq a q q a q q a --+--=--1)1(21)1(41)1(6513141（1≠q ） 得2,0232==+-q q q 解得. 由121223a a a a =+得11=a ，202040392121>-=-n n n a s ，得202021>-n ，12≥n 时，不等式成立.5.（天一中学2020届高三第二学期阶段测试）等比数列{a n }中，a 1＝1，前n 项和为S n ，满足S 6﹣3S 5+2S 4＝0，则S 5＝ ．【答案】31【解析】S 6﹣3S 5+2S 4＝0得01)1(21)1(31)1(415161=--+-----qq a q q a q q a . 得0232=+-q q 得)(12舍去或==q q .所以311)1(515=--=q q a s .6.（江苏省南京市、盐城市2020届高三年级第二次模拟考试）已知数列{}n a 为等差数列，数列{}n b 为等比数列，满足{1a ，2a ，3a }＝{1b ，2b ，3b }＝{a ，b ，﹣2}，其中a ＞0，b ＞0，则a ＋b 的值为 ．【答案】5【解析】不妨令a ＞b ，则4ab =，22b a =-，则b ＝1，a ＝4，∴a ＋b ＝5．7.(江苏省丹阳市2020届高三年级下学期3月质量检测卷)公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若3a 是2a 与6a 的等比中项，3S ＝3，则9S 的值为 ．【答案】63【解析】∵3a 是2a 与6a 的等比中项，∴2326a a a =，∵3S ＝3，∴21a =，从而有2222()(4)a d a a d +=+，即2(1)114)d d +=+（， 化简得d 2＝2d ，∵d ≠0，∴d ＝2，∴5231327a a d =+=+⨯=，95963S a ==.8.（2020年沭阳高级中学高考数学百日冲刺数学试卷（3月份））已知等比数列{a n }满足a 2+2a 1＝4，a 32＝a 5，则该数列的前5项和为 ．【答案】31【解析】设等比数列{a n }的公比为q ，∵a 2+2a 1＝4，523a a =，∴a 1（q +2）＝4，a 12q 4＝a 1q 4， 联立解得a 1＝1，q ＝2，∴数列的前5项的和为21215--＝31. 9.（南通市通州区2020届高三年级第二学期联考数学试卷）已知各项均不相等的数列{}n a 为等差数列，且1041,,a a a 恰为等比数列{}n b 的前三项.若6b a k =，则=k .【答案】94。
第5章-5.4-函数的奇偶性高中数学必修第一册苏教版
令 = 0，则 −0 = − 0 ,即 0 = 0，故D为真命题.
知识点2 奇、偶函数的图象特征（几何意义）
例2-2 (2024·江西省南昌市期末)已知奇函数 的定义域为
[−5,5]，且在[0,5]上的图象如图5.4-1所示，则使 < 0的
∴ 是偶函数，ℎ 是奇函数.
+ℎ =
+ −
2
− −
+
2
= ，由此可得一般结论：如果一个函数的
定义域关于原点对称，那么这个函数就一定可以表示为一个奇函数与一个偶函数的和.
【学会了吗丨变式பைடு நூலகம்】
2.(2024·黑龙江省大庆铁人中学开学考试)已知函数 的定义域为，且
∵ − = − − 2 − − + 2 = + 2 − | − 2| = − − 2| − + 2| = − ，
∴ 函数 = − 2 − + 2 是奇函数.
（图象法）
−4, ≥ 2,
=∣ − 2 ∣−∣ + 2 ∣= ቐ−2, −2 < < 2,画出函数 的图
4, ≤ −2,
象如图5.4-4所示，图象关于原点对称，因此函数 是奇函数.
图5.4-4
（3） = 2 +
≠ 0, ∈ ；
【解析】当 = 0时， = 2 ，为偶函数.
（对于含参函数奇偶性的判定，注意对参数的讨论）
当 ≠ 0时， = 2 +
− = −
2
+ 2 − + 3 = −(− 2 + 2 − 3) = − ;
(江苏专用)2020版高考数学复习第二章函数2.3函数的奇偶性与周期性教案
§2.3函数的奇偶性与周期性考情考向分析以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，加强函数与方程思想、转化与化归思想的应用意识，题型以填空题为主，中等偏上难度．1．函数的奇偶性2.周期性(1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期．(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期．概念方法微思考1．如果已知函数f(x)，g(x)的奇偶性，那么函数f(x)±g(x)，f(x)·g(x)的奇偶性有什么结论？提示在函数f(x)，g(x)公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．2．已知函数f(x)满足下列条件，你能得到什么结论？(1)f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)．(2)f(x＋a)＝1f(x)(a≠0)．(3)f(x＋a)＝f(x＋b)(a≠b)．提示(1)T＝2|a| (2)T＝2|a| (3)T＝|a－b|题组一 思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数y ＝x 2，x ∈(0，＋∞)是偶函数．( × )(2)偶函数的图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点．( × )(3)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．( √ ) (4)若T 是函数的一个周期，则nT (n ∈Z ，n ≠0)也是函数的周期．( √ )题组二 教材改编2．[P45习题T11]已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝x (1＋x )，则f (－1)＝________. 答案 －2解析 f (1)＝1×2＝2，又f (x )为奇函数， ∴f (－1)＝－f (1)＝－2.3．[P43练习T4]函数y ＝f (x )为(－∞，＋∞)上的偶函数，且f (|a |)＝3，则f (－a )＝________. 答案 3解析 若a ≥0，则f (－a )＝f (a )＝f (|a |)＝3； 若a <0，则f (－a )＝f (|a |)＝3. 故对a ∈R ，总有f (－a )＝3.4．[P45习题T8]若函数f (x )＝(x ＋1)(x －a )为偶函数，则a ＝________. 答案 1解析 ∵f (x )＝(x ＋1)(x －a )＝x 2＋(1－a )x －a 为偶函数， ∴f (－x )＝f (x )对x ∈R 恒成立，∴(1－a )x ＝(a －1)x 恒成立，∴1－a ＝0，∴a ＝1.题组三 易错自纠5．已知f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，那么a ＋b 的值是________． 答案 13解析 ∵f (x )＝ax 2＋bx 是定义在[a －1,2a ]上的偶函数，∴a －1＋2a ＝0，∴a ＝13.又f (－x )＝f (x )，∴b ＝0，∴a ＋b ＝13.6．已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x ＋3)＝f (x )，且当x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，32时，f (x )＝－x 3，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝________. 答案 18解析 由f (x ＋3)＝f (x )知函数f (x )的周期为3，又函数f (x )为奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫112＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＝18.题型一 函数奇偶性的判断例1判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2＋x 2－36； (2)f (x )＝ln (1－x 2)|x －2|－2；(3)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2＋x ，x >0.解 (1)由⎩⎪⎨⎪⎧36－x 2≥0，x 2－36≥0，得x 2＝36，解得x ＝±6，即函数f (x )的定义域为{－6,6}，关于原点对称， ∴f (x )＝36－x 2＋x 2－36＝0. ∴f (－x )＝－f (x )且f (－x )＝f (x )， ∴函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|≠2，得定义域为(－1,0)∪(0,1)，关于原点对称．∴x －2<0，∴|x －2|－2＝－x ， ∴f (x )＝ln (1－x 2)－x.又∵f (－x )＝ln[1－(－x )2]x ＝ln (1－x 2)x＝－f (x )，∴函数f (x )为奇函数．(3)显然函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称．∵当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)；当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)；综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数．思维升华判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；(2)判断f(x)与f(－x)是否具有等量关系．在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价关系式f(x)＋f(－x)＝0(奇函数)或f(x)－f(－x)＝0(偶函数)是否成立．跟踪训练1 (1)下列函数中，既不是奇函数也不是偶函数的是________．(填序号)①f(x)＝x＋sin2x; ②f(x)＝x2－cos x；③f(x)＝3x－13x；④f(x)＝x2＋tan x.答案④解析对于①，函数的定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，所以f(x)＝x＋sin2x为奇函数；对于②，函数的定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，所以f(x)＝x2－cos x为偶函数；对于③，函数的定义域为R，f(－x)＝3－x－13－x＝－⎝⎛⎭⎪⎫3x－13x＝－f(x)，所以f(x)＝3x－13x为奇函数；对于④，f(x)＝x2＋tan x既不是奇函数也不是偶函数．(2)函数f(x)＝lg|sin x|是________．(填序号)①最小正周期为π的奇函数；②最小正周期为2π的奇函数；③最小正周期为π的偶函数；④最小正周期为2π的偶函数．答案③解析易知函数的定义域为{x|x≠kπ，k∈Z}，关于原点对称，又f(－x)＝lg|sin(－x)|＝lg|－sin x|＝lg|sin x|＝f(x)，所以f(x)是偶函数，又函数y＝|sin x|的最小正周期为π，所以函数f(x)＝lg|sin x|是最小正周期为π的偶函数．题型二函数的周期性及其应用1．若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数，且在[0,2]上的解析式为f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧x (1－x )，0≤x ≤1，sin πx ，1<x ≤2，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝________.答案516解析 由于函数f (x )是周期为4的奇函数， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫294＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫416＝f ⎝⎛⎭⎪⎫2×4－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×4－76 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－34＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－76＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫34－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫76＝－316＋sin π6＝516.2．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (2)＝2－3，且对任意的x 都有f (x ＋2)＝1－f (x )，则f (2020)＝________.答案 －2－ 3 解析 由f (x ＋2)＝1－f (x )，得f (x ＋4)＝1－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (2020)＝f (4)．因为f (2＋2)＝1－f (2)，所以f (4)＝－1f (2)＝－12－3＝－2－ 3.故f (2020)＝－2－ 3.3．已知f (x )是定义在R 上的偶函数，且f (x ＋4)＝f (x －2)．若当x ∈[－3,0]时，f (x )＝6－x，则f (919)＝________.答案 6解析 ∵f (x ＋4)＝f (x －2)，∴f ((x ＋2)＋4)＝f ((x ＋2)－2)，即f (x ＋6)＝f (x )， ∴f (x )是周期为6的周期函数， ∴f (919)＝f (153×6＋1)＝f (1)． 又f (x )是定义在R 上的偶函数， ∴f (1)＝f (－1)＝6，即f (919)＝6.4．设定义在R 上的函数f (x )同时满足以下条件：①f (x )＋f (－x )＝0；②f (x )＝f (x ＋2)；③当0≤x <1时，f (x )＝2x－1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52＝________. 答案2－1解析 依题意知：函数f (x )为奇函数且周期为2， 则f (1)＋f (－1)＝0，f (－1)＝f (1)，即f (1)＝0.∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (1)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＋f (2)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫52 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋0＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＋f (0) ＝122－1＋20－1＝2－1.思维升华利用函数的周期性，可将其他区间上的求值、求零点个数、求解析式等问题，转化到已知区间上，进而解决问题．题型三 函数性质的综合应用命题点1 求函数值或函数解析式例2(1)设f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，若在区间[－2,0)∪(0,2]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，－2≤x <0，ax －1，0<x ≤2，则f (2021)＝________.答案 －12解析 设0<x ≤2，则－2≤－x <0，f (－x )＝－ax ＋b .因为f (x )是定义在R 上周期为4的奇函数，所以f (－x )＝－f (x )＝－ax ＋1＝－ax ＋b ，所以b ＝1.而f (－2)＝f (－2＋4)＝f (2)，所以－2a ＋b ＝2a －1，解得a ＝12，所以f (2021)＝f (1)＝12×1－1＝－12.(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e－x －1－x ，则f (x )＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0解析 ∵当x >0时，－x <0， ∴f (x )＝f (－x )＝ex －1＋x ，∴f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e －x －1－x ，x ≤0，e x －1＋x ，x >0.命题点2 求参数问题例3(1)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝__________. 答案 1解析 ∵f (－x )＝f (x )，∴－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)， ∴ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0. ∴ln a ＝0，∴a ＝1.(2)设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1，1]上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋1，－1≤x <0，bx ＋2x ＋1，0≤x ≤1，其中a ，b ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32，则a ＋3b 的值为________．答案 －10解析 因为f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12且f (－1)＝f (1)， 故f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，从而12b ＋212＋1＝－12a ＋1， 即3a ＋2b ＝－2.①由f (－1)＝f (1)，得－a ＋1＝b ＋22，即b ＝－2a .②由①②得a ＝2，b ＝－4，从而a ＋3b ＝－10.(3)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x >0时，f (x )＝－x 2＋ax －1－a ，若函数f (x )为R 上的减函数，则a 的取值范围是____________． 答案 [－1,0]解析 因为函数f (x )是R 上的奇函数，所以f (0)＝0，若函数f (x )为R 上的减函数，则满足当x >0时，函数为减函数，且－1－a ≤0，此时⎩⎪⎨⎪⎧－a －2＝a 2≤0，－1－a ≤0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ≤0，a ≥－1，即－1≤a ≤0.命题点3 利用函数的性质解不等式例4(1)已知定义在R 上的偶函数f (x )在[0，＋∞)上单调递增，若f (ln x )<f (2)，则x 的取值范围是________． 答案 (e －2，e 2)解析 根据题意知，f (x )为偶函数且在[0，＋∞)上单调递增，则f (ln x )<f (2)⇔|ln x |<2，即－2<ln x <2，解得e －2<x <e 2，即x 的取值范围是(e －2，e 2)． (2)设函数f (x )＝ln(1＋|x |)－11＋x2，则使得f (x )>f (2x －1)成立的x 的取值范围为______________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1 解析 由已知得函数f (x )为偶函数，所以f (x )＝f (|x |)， 由f (x )>f (2x －1)，可得f (|x |)>f (|2x －1|)． 当x >0时，f (x )＝ln(1＋x )－11＋x2，因为y ＝ln(1＋x )与y ＝－11＋x 2在(0，＋∞)上都单调递增，所以函数f (x )在(0，＋∞)上单调递增． 由f (|x |)>f (|2x －1|)，可得|x |>|2x －1|， 两边平方可得x 2>(2x －1)2，整理得3x 2－4x ＋1<0， 解得13<x <1.所以符合题意的x 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫13，1. 思维升华 解决周期性、奇偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区间，再利用奇偶性和单调性求解．跟踪训练2(1)设f (x )是周期为2的奇函数，当0≤x ≤1时，f (x )＝2x (1－x )，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝________. 答案 －12解析 由题意可知，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－2×12×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＝－12.(2)已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则f (－25)，f (11)，f (80)的大小关系为________． 答案 f (－25)<f (80)<f (11)解析 因为f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，所以f (x －8)＝f (x )，所以函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)．由f (x )是定义在R 上的奇函数且满足f (x －4)＝－f (x )， 得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)．因为f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， 所以f (x )在区间[－2,2]上是增函数， 所以f (－1)<f (0)<f (1)． 所以f (－25)<f (80)<f (11)．(3)已知函数g (x )是R 上的奇函数，且当x <0时，g (x )＝－ln(1－x )，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 3，x ≤0，g (x )，x >0，若f (6－x 2)>f (x )，则实数x 的取值范围是________．答案 (－3,2)解析 ∵g (x )是奇函数，∴当x >0时，－x <0，g (x )＝－g (－x )＝ln(1＋x )， 易知f (x )在R 上是增函数， 由f (6－x 2)>f (x )，可得6－x 2>x ， 即x 2＋x －6<0，∴－3<x <2.函数的性质函数的奇偶性、周期性及单调性是函数的三大性质，在高考中常常将它们综合在一起命题，解题时，往往需要借助函数的奇偶性和周期性来确定另一区间上的单调性，即实现区间的转换，再利用单调性解决相关问题． 一、函数性质的判断例1(1)已知函数f (x )＝ax 2＋1x，其中a ∈R .讨论函数f (x )的奇偶性，并证明你的结论．解 方法一 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)． 若f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )恒成立， 即ax 2－1x ＝－ax 2－1x，得2ax 2＝0恒成立，所以a ＝0；若f (x )为偶函数，则f (－x )＝f (x )恒成立， 即ax 2－1x ＝ax 2＋1x ，得2x＝0，这是不可能的．综上所述，当a ＝0时，f (x )为奇函数； 当a ≠0时，f (x )为非奇非偶函数．方法二 f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．当a ＝0时，f (x )＝1x ，f (－x )＝－1x＝－f (x )，此时f (x )为奇函数；当a ≠0时，f (－1)＝a －1，f (1)＝a ＋1， 则f (－1)≠－f (1)且f (－1)≠f (1)， 所以f (x )是非奇非偶函数． (2)下列函数： ①y ＝sin 3x ＋3sin x; ②y ＝1e x ＋1－12；③y ＝lg 1－x1＋x；④y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ≤0，－x －1，x >0.其中是奇函数且在(0,1)上是减函数的是________．(填序号) 答案 ②③解析 易知①中函数在(0,1)上为增函数；④中函数不是奇函数；满足条件的函数为②③. (3)已知函数y ＝f (x )是R 上的偶函数，对于任意x ∈R ，都有f (x ＋6)＝f (x )＋f (3)成立，当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0.给出下列命题：①f (3)＝0；②直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴； ③函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为增函数； ④函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点． 其中所有正确命题的序号为________． 答案 ①②④解析 ∵f (－3＋6)＝f (－3)＋f (3)．又f (x )是R 上的偶函数，所以f (3)＝0，故①正确； 由①知f (x ＋6)＝f (x )，所以f (x )的周期为6. 又因为f (x )是R 上的偶函数，所以f (x ＋6)＝f (－x )， 而f (x )的周期为6，所以f (x ＋6)＝f (－6＋x )，f (－x )＝f (－x －6)，所以f (－6－x )＝f (－6＋x )，所以直线x ＝－6是函数y ＝f (x )的图象的一条对称轴．故②正确；当x 1，x 2∈[0,3]，且x 1≠x 2时，都有f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，所以函数y ＝f (x )在[0,3]上为增函数．因为f (x )是R 上的偶函数，所以函数y ＝f (x )在[－3,0]上为减函数，而f (x )的周期为6，所以函数y ＝f (x )在[－9，－6]上为减函数．故③错误；f (3)＝0，f (x )的周期为6，所以f (－9)＝f (－3)＝f (3)＝f (9)＝0，所以函数y ＝f (x )在[－9,9]上有四个零点．故④正确．二、函数性质的综合应用例2(1)(2018·全国Ⅱ改编)已知f (x )是定义域为(－∞，＋∞)的奇函数，满足f (1－x )＝f (1＋x )．若f (1)＝2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (50)＝________. 答案 2解析 ∵f (x )是奇函数，∴f (－x )＝－f (x )， ∴f (1－x )＝－f (x －1)．∵f (1－x )＝f (1＋x )， ∴－f (x －1)＝f (x ＋1)，∴f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝－[－f (x )]＝f (x )， ∴函数f (x )是周期为4的周期函数． 由f (x )为奇函数且定义域为R 得f (0)＝0， 又∵f (1－x )＝f (1＋x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝0，∴f (－2)＝0. 又f (1)＝2，∴f (－1)＝－2，∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (2)＋f (－1)＋f (0)＝2＋0－2＋0＝0， ∴f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (49)＋f (50) ＝0×12＋f (49)＋f (50)＝f (1)＋f (2)＝2＋0＝2.(2)(2018·南京、盐城模拟)若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，且在区间[0，＋∞)上是单调增函数．如果实数t 满足f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，那么t 的取值范围是________．答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤1e ，e解析 f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ＝f (ln t )＋f (－ln t )＝2f (ln t )＝2f (|ln t |)，于是f (ln t )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫ln 1t ≤2f (1)，所以f (|ln t |)≤f (1)，所以|ln t |≤1，所以－1≤ln t ≤1，所以1e≤t ≤e.(3)(2018·扬州期末)已知函数f (x )＝sin x －x ＋1－4x2x ，则关于x 的不等式f (1－x 2)＋f (5x－7)<0的解集为________．答案 (2,3)解析 因为f (－x )＝sin(－x )＋x ＋1－4－x2－x＝－sin x ＋x ＋4x－12x ＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．又因为f (x )＝sin x －x ＋12x －2x，所以易判断f (x )在R 上单调递减， 所以f (1－x 2)＋f (5x －7)<0， 即f (1－x 2)<f (7－5x )，所以1－x 2>7－5x ，即x 2－5x ＋6<0，解得2<x <3.1．已知y ＝f (x )是定义在R 上的奇函数，则下列函数中为奇函数的是________．(填序号) ①y ＝f (|x |)；②y ＝f (－x )；③y ＝xf (x )；④y ＝f (x )＋x . 答案 ②④解析 由奇函数的定义f (－x )＝－f (x )验证， ①f (|－x |)＝f (|x |)，为偶函数；②f (－(－x ))＝f (x )＝－f (－x )，为奇函数； ③－xf (－x )＝－x ·[－f (x )]＝xf (x )，为偶函数； ④f (－x )＋(－x )＝－[f (x )＋x ]，为奇函数． 可知②④正确．2．已知f (x )为定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝2x＋m ，则f (－2)＝________. 答案 －3解析 由f (x )为R 上的奇函数，知f (0)＝0，即f (0)＝20＋m ＝0，解得m ＝－1， 则f (－2)＝－f (2)＝－(22－1)＝－3.3．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ＋3，x >0，0，x ＝0，－x 2－2x －3，x <0为________函数．(填“奇”或“偶”)答案 奇解析 f (x )的定义域为R (关于原点对称)．(1)当x ＝0时，－x ＝0，f (－x )＝f (0)＝0，f (x )＝f (0)＝0，∴f (－x )＝－f (x )； (2)当x >0时，－x <0，∴f (－x )＝－(－x )2－2(－x )－3 ＝－(x 2－2x ＋3)＝－f (x )； (3)当x <0时，－x >0， ∴f (－x )＝(－x )2－2(－x )＋3 ＝－(－x 2－2x －3)＝－f (x )．由(1)(2)(3)可知，当x ∈R 时，都有f (－x )＝－f (x )， ∴f (x )为奇函数．4．已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时，f (x )＝log 2(－3x ＋1)，则f (2021)＝________.答案 －2解析 ∵函数f (x )是定义在R 上的奇函数，其最小正周期为4，∴f (2021)＝f (4×505＋1)＝f (1)＝－f (－1)．∵－1∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0，且当x ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－32，0时， f (x )＝log 2(－3x ＋1)，∴f (－1)＝log 2[－3×(－1)＋1]＝2， ∴f (2021)＝－f (－1)＝－2.5．已知定义域为R 的偶函数f (x )在(－∞，0]上是减函数，且f (1)＝2，则不等式f (log 2x )>2的解集为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12∪(2，＋∞)解析 f (x )是R 上的偶函数，且在(－∞，0]上是减函数，所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数，所以f (log 2x )>2＝f (1)⇔f (|log 2x |)>f (1)⇔|log 2x |>1⇔log 2x >1或log 2x <－1⇔x >2或0<x <12.6．已知偶函数f (x )对于任意x ∈R 都有f (x ＋1)＝－f (x )，且f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，则f (－6.5)，f (－1)，f (0)的大小关系是________．(用“<”连接) 答案 f (0)<f (－6.5)<f (－1)解析 由f (x ＋1)＝－f (x )，得f (x ＋2)＝－f (x ＋1)＝f (x )，∴函数f (x )的周期是2. ∵函数f (x )为偶函数，∴f (－6.5)＝f (－0.5)＝f (0.5)，f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,1]上是单调递增的，∴f (0)<f (0.5)<f (1)，即f (0)<f (－6.5)<f (－1)． 7．若f (x )＝ln(e 3x＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________. 答案 －32解析 函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e3x＋1)＋ax ，化简得ln 1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝2ax ＝lne 2ax ，即1＋e 3xe 3x ＋e 6x ＝e 2ax ，整理得e 3x ＋1＝e2ax ＋3x (e 3x＋1)，所以2ax ＋3x ＝0恒成立， 所以a ＝－32.8．已知函数f (x )是奇函数，当x >0时，f (x )＝ln x ，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2的值为________． 答案 －ln2解析 由已知可得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝ln 1e 2＝－2， 所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)．又因为f (x )是奇函数，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1e 2＝f (－2)＝－f (2)＝－ln2. 9．奇函数f (x )在区间[3,6]上是增函数，且在区间[3,6]上的最大值为8，最小值为－1，则f (6)＋f (－3)的值为________．答案 9解析 由于f (x )在[3,6]上为增函数，所以f (x )的最大值为f (6)＝8，f (x )的最小值为f (3)＝－1，因为f (x )为奇函数，所以f (－3)＝－f (3)＝1，所以f (6)＋f (－3)＝8＋1＝9. 10．设f (x )是定义在R 上且周期为2的函数，在区间[－1,1)上，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋a ，－1≤x <0，⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－x ，0≤x <1，其中a ∈R .若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则f (5a )的值是________． 答案 －25解析 由已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＋2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－12＋a ， f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92＝f ⎝⎛⎭⎪⎫92－4＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪25－12＝110.又∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－52＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫92，则－12＋a ＝110，a ＝35，∴f (5a )＝f (3)＝f (3－4)＝f (－1)＝－1＋35＝－25.11．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ，x >0，0，x ＝0，x 2＋mx ，x <0是奇函数．(1)求实数m 的值；(2)若函数f (x )在区间[－1，a －2]上单调递增，求实数a 的取值范围． 解 (1)设x <0，则－x >0，所以f (－x )＝－(－x )2＋2(－x )＝－x 2－2x . 又f (x )为奇函数，所以f (－x )＝－f (x )， 于是x <0时，f (x )＝x 2＋2x ＝x 2＋mx ，所以m ＝2. 经检验，m ＝2符合题意．(2)要使f (x )在[－1，a －2]上单调递增，结合f (x )的图象(如图所示)知⎩⎪⎨⎪⎧a －2>－1，a －2≤1，所以1<a ≤3，故实数a 的取值范围是(1,3]．12．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f (x ＋2)＝－f (x )．当x ∈[0,2]时，f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f (x )是周期函数；(2)当x ∈[2,4]时，求f (x )的解析式． (1)证明 ∵f (x ＋2)＝－f (x )， ∴f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )． ∴f (x )是周期为4的周期函数．(2)解 ∵x ∈[2,4]，∴－x ∈[－4，－2]， ∴4－x ∈[0,2]，∴f (4－x )＝2(4－x )－(4－x )2＝－x 2＋6x －8. ∵f (4－x )＝f (－x )＝－f (x )， ∴－f (x )＝－x 2＋6x －8， 即f (x )＝x 2－6x ＋8，x ∈[2,4]．13．若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )对任意x ∈R 恒成立，则f (2023)＝________.答案 1解析 因为f (x )>0，f (x ＋2)＝1f (x )， 所以f (x ＋4)＝f [(x ＋2)＋2] ＝1f (x ＋2)＝11f (x )＝f (x )，即函数f (x )的周期是4，所以f (2023)＝f (506×4－1)＝f (－1)． 因为函数f (x )为偶函数， 所以f (2023)＝f (－1)＝f (1)． 当x ＝－1时，f (－1＋2)＝1f (－1)，得f (1)＝1f (1). 由f (x )>0，得f (1)＝1，所以f (2023)＝f (1)＝1. 14．(2018·如东、丰县联考)已知函数f (x )＝－3x＋a3x ＋1＋b .(1)当a ＝b ＝1时，求满足f (x )＝3x的x 的取值集合；(2)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，存在t ∈R ，使得不等式f (t 2－2t )<f (2t 2－k )有解，求k 的取值范围．解 (1)由题意得－3x＋13x ＋1＋1＝3x，化简得3·(3x )2＋2·3x－1＝0，解得3x ＝－1(舍去)或3x＝13，从而x ＝－1.即满足f (x )＝3x的x 的取值集合是{－1}． (2)因为f (x )是奇函数，所以f (－x )＋f (x )＝0， 所以－3－x＋a 3－x ＋1＋b ＋－3x＋a 3x ＋1＋b＝0，化简并变形得(3a －b )(3x＋3－x)＋2ab －6＝0. 要使上式对任意的x 恒成立， 则3a －b ＝0且2ab －6＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3，因为f (x )的定义域是R ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3不合题意，所以a ＝1，b ＝3.所以f (x )＝－3x＋13x ＋1＋3＝13⎝⎛⎭⎪⎫－1＋23x ＋1，对任意x 1，x 2∈R ，x 1<x 2，有f (x 1)－f (x 2)＝1212233131x x 骣÷ç-÷ç÷ç桫++ 2112233.3(31)(31)x x x x =?－＋＋ 因为x 1<x 2，所以21330x x>－， 所以f (x 1)>f (x 2)， 因此f (x )在R 上单调递减．因为f (t 2－2t )<f (2t 2－k )，所以t 2－2t >2t 2－k ， 即t 2＋2t －k <0在R 上有解， 所以Δ＝4＋4k >0，解得k >－1. 所以k 的取值范围为(－1，＋∞)．15．已知函数f (x )＝sin x ＋x ，对任意的m ∈[－2,2]，f (mx －2)＋f (x )<0恒成立，则x 的取值范围为__________． 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，23解析 易知f (x )在R 上为单调递增函数，且f (x )为奇函数，故f (mx －2)＋f (x )<0等价于f (mx －2)<－f (x )＝f (－x )，则mx －2<－x ，即mx ＋x －2<0对所有m ∈[－2,2]恒成立，令h (m )＝mx ＋x －2，m ∈[－2,2]，此时，只需⎩⎪⎨⎪⎧h (－2)<0，h (2)<0即可，解得－2<x <23.16．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，f (x ＋1)是偶函数，当x ∈(2,4)时，f (x )＝|x －3|，求f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)的值．解 因为f (x )为奇函数，f (x ＋1)为偶函数，所以f (x ＋1)＝f (－x ＋1)＝－f (x －1)，所以f (x ＋2)＝－f (x )，所以f (x ＋4)＝－f (x ＋2)＝f (x )，所以函数f (x )的周期为4，所以f (4)＝f (0)＝0，f (3)＝f (－1)＝－f (1)．在f (x ＋1)＝f (－x ＋1)中，令x ＝1，可得f (2)＝f (0)＝0，所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝0.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＋…＋f (2020)＝0.。
2020年高考数学三轮微专题突破22 数列中的探究性问题(学生版)江苏
专题22 数列中的探究性问题数列中的探究性问题实际上就是不定方程解的问题,对于此类问题的求解,通常有以下三种常用的方法：①利用等式两边的整数是奇数还是偶数的方法来加以判断是否存在；②利用寻找整数的因数的方法来进行求解,本题的解题思路就是来源于此；③通过求出变量的取值范围,从而对范围内的整数值进行试根的方法来加以求解．对于研究不定方程的解的问题,也可以运用反证法,反证法证明命题的基本步骤：①反设：设要证明的结论的反面成立．作反设时要注意把结论的所有反面都要写出来,不要有遗漏．②归谬：从反设出发,通过正确的推理得出与已知条件或公理、定理矛盾的结论．③存真：否定反设,从而得出原命题结论成立．一、题型选讲题型一 、数列中项存在的问题例1、(2018无锡期末）已知数列{a n }满足⎝⎛⎭⎫1－1a 1⎝⎛⎭⎫1－1a 2·…·⎝⎛⎭⎫1－1a n ＝1a n,n ∈N *,S n 是数列{a n }的前n 项和．(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a p ,30,S q 成等差数列,a p ,18,S q 成等比数列,求正整数p ,q 的值；(3) 是否存在k ∈N *,使得a k a k ＋1＋16为数列{a n }中的项？若存在,求出所有满足条件的k 的值；若不存在,请说明理由．例2、(2019苏州期初调查）已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列,数列{a n }前n 项和为S n ,且满足S 3＝a 4,a 5＝a 2＋a 3.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2,求正整数m 的值；(3) 是否存在正整数m,使得S 2m S 2m －1恰好为数列{a n }中的一项？若存在,求出所有满足条件的m 值,若不存在,说明理由．题型二、数列中的等差数列或者等比数列的存在问题例3、(2018扬州期末）已知各项都是正数的数列{a n}的前n项和为S n,且2S n＝a2n＋a n,数列{b n}满足b1＝12,2b n＋1＝b n＋b n a n.(1) 求数列{a n},{b n}的通项公式；(2) 设数列{c n}满足c n＝b n＋2S n,求和c1＋c2＋…＋c n；(3) 是否存在正整数p,q,r(p<q<r),使得b p,b q,b r成等差数列？若存在,求出所有满足要求的p,q,r；若不存在,请说明理由．例4、(2019常州期末）已知数列{a n}中,a1＝1,且a n＋1＋3a n＋4＝0,n∈N*.(1) 求证：{a n＋1}是等比数列,并求数列{a n}的通项公式；(2) 数列{a n}中是否存在不同的三项按照一定顺序重新排列后,构成等差数列？若存在,求满足条件的项；若不存在,说明理由．题型三、数列中的有序实数对的问题例5、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列{}n a 满足15(1)()2n n n n a a n *+++-=∈N ,数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求13a a +的值；（2）若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列； ② 求满足224()pm S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，．题型四、数列中的参数的问题例6、(2019苏州期末）定义：对于任意n ∈N *,x n ＋x n ＋2－x n ＋1仍为数列{x n }中的项,则称数列{x n }为“回归数列”．(1) 已知a n ＝2n (n ∈N *),判断数列{a n }是否为“回归数列”,并说明理由；(2) 若数列{b n }为“回归数列”,b 3＝3,b 9＝9,且对于任意n ∈N *,均有b n <b n ＋1成立． ①求数列{b n }的通项公式；②求所有的正整数s ,t ,使得等式b 2s ＋3s ＋1－1b 2s ＋3s －1＝b t 成立．二、达标训练1、已知数列{}n a 的通项公式为27n a n =-,若12m m m a a a ++为数列{}n a 中的项,则m =____ 2、(2019扬州期末）记无穷数列{a n }的前n 项中最大值为M n ,最小值为m n ,令b n ＝M n ＋m n 2,数列{a n }的前n 项和为A n ,数列{b n }的前n 项和为B n .(1) 若数列{a n }是首项为2,公比为2的等比数列,求B n .(2) 若数列{b n }是等差数列,试问数列{a n }是否也一定是等差数列？若是,请证明；若不是,请举例说明．3、(2019苏北三市期末）已知数列{a n }满足对任意的n ∈N *,都有a n (q n a n －1)＋2q n a n a n ＋1＝a n ＋1·(1－q n a n ＋1),且a n ＋1＋a n ≠0,其中a 1＝2,q ≠0.记T n ＝a 1＋qa 2＋q 2a 3＋…＋q n －1a n .(1) 若q ＝1,求T 2019的值．(2) 设数列{b n }满足b n ＝(1＋q )T n －q n a n .①求数列{b n }的通项公式；②若数列{c n }满足c 1＝1,且当n ≥2时,c n ＝2b n －1－1,是否存在正整数k ,t ,使c 1,c k －c 1,c t －c k 成等比数列？若存在,求出所有k ,t 的值；若不存在,说明理由．4、已知数列{}n a 的前n 项和为n S ,且满足12a =-,1320n n a S +++=（*n ∈N ）.（1）求2a ,3a 的值；（2）求数列{}n a 的通项公式；（3）是否存在整数对(,)m n ,使得等式248n n a m a m -⋅=+成立？若存在,请求出所有满足条件的(,)m n；若不存在,请说明理由.5、(2019南京、盐城一模）已知数列{a n},其中n∈N*.(1) 若{a n}满足a n＋1－a n＝q n－1(q>0,n∈N*)．①当q＝2,且a1＝1时,求a4的值；②若存在互不相等的正整数r,s,t,满足2s＝r＋t,且a r,a s,a t成等差数列,求q的值；(2)设数列{a n}的前n项和为b n,数列{b n}的前n项和为c n,c n＝b n＋2－3,n∈N*,若a1＝1,a2＝2,且|a2n＋1－a n a n＋2|≤k恒成立,求k的最小值．6、(2017南京学情调研）已知数列{a n}是公差为正数的等差数列,其前n项和为S n,且a2·a3＝15,S4＝16.(1) 求数列{a n}的通项公式．(2) 设数列{b n}满足b1＝a1,b n＋1－b n＝1a n·a n＋1.①求数列{b n}的通项公式；②是否存在正整数m,n(m≠n),使得b2,b m,b n成等差数列？若存在,求出m,n的值；若不存在,请说明理由．。
专题34 数列中的奇偶性问题(原卷版)
专题34数列中的奇偶性问题、题型选讲题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题含参问题最常用的方法就是把参数独立出来，要独立出来就要除以一个因式，此因式的正负与n的奇偶性有关，因此要对n进行奇偶性的讨论.例1、（2015扬州期末）设数列｛a”｝的前n项和为S“,且a“=4+（—扌）-1,若对任意“□”*,都有1伞（S“一4〃）三3,则实数p的取值范围是.例2、（2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列｛a n｝的各项均不为零.设数列｛a n｝的前n项和为S n,数列｛聲｝的前n项和为T n，且3S2—4S n+T n=0,nD N*.（1）求a1?a2的值；（2）证明：数列｛a n｝是等比数列；⑶若（X—na n）（X—na n十］）＜0对任意的n D N*恒成立，求实数久的所有值.题型二、数列中奇偶项问题数列通项中出现奇、偶不同的表达式,需要分奇、偶分别赋值得到关系式,再对关系式相加或相减,得到奇数项或偶数项的关系式,体现减元的思想,考生要能够多观察,多思考,养成良好的逻辑推理的习惯.仃.、「亠“”云a+n,n为奇数,例3、例3、(2015苏州期末)已知数列｛a n｝中a=1,a n+i=*"l a—3n,n为偶数.n(1)是否存在实数入使得数列｛a2n—A｝是等比数列？若存在，求出久的值；若不存在,请说明理由.(2)若S n是数列｛a^｝的前n项和,求满足S n>0的所有正整数n.例4、(2018苏中三市、苏北四市三调)已知数列匕｝满足n a+(一1)n an+1—出5(n G N*)，数列｛a｝的前恢n和为S n(1)求a1+a的值；(2)^^a+a—2a口求证：数列｛d｝为等差数列；2n口求满足S—4S2(p m G N*)的所有数对(p,m)•2p2m例5、(2017苏北四市期末)已知正项数列｛a^｝的前n项和为S”,且a1a,(a“+1)(a n+]+1)=6(S“+n),n D N*.(1)求数列｛a n｝的通项公式;(2)若□“□”*，都有S<n(3n+1｝成立,求实数a的取值范围；(3)当a=2时,将数列｛a n｝中的部分项按原来的顺序构成数列｛b”｝,且b=a2，证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列｛b n｝.题型三、数列中连续两项和或积的问题“相邻两项的和是一次式”的特征，联想到数列｛a n｝中相邻两项的和成等差数列，故考虑采用相邻项作差法，得到数列｛a n｝中奇数项成等差，偶数项也成等差,而且公差相同的结论，进而求出数列通项公式.例6、(2018苏州暑假测试)已知数列｛a n｝满足a”1+a n=4n-3(nD N*).(1)若数列｛a n｝是等差数列，求a1的值；(2)当a1=2时,求数列｛a n｝的前n项和S”；a2＋a2(3)若对任意n D N*,都有a n+a n|1>5成立，求a1的取值范围.nn＋1例7、(2019苏州期初调查)已知数列｛a n｝的奇数项是首项为1的等差数列，偶数项是首项为2的等比数列,数列｛a n｝前n项和为S n,且满足S3=a4，a5=a2+a3・(1)求数列｛a n｝的通项公式；(2)若a m a m+]=a m+2,求正整数m的值；S(3)是否存在正整数m,使得s~e恰好为数列｛a n｝中的一项？若存在，求出所有满足条件的m值，若不存在,S2m－1n说明理由．二、达标训练1、(2018南京、盐城一模)设S n为等差数列｛a n｝的前n项和，若｛a n｝的前2017项中的奇数项和为2018，则S2017的值为．2、(2019常州期末)数列｛a n｝,｛b n｝满足b n=a n+]+(—1)n a n(nD N*),且数列｛b”｝的前n项和为n2,已知数列｛a“—n｝的前2018项和为1,那么数列｛a n｝的首项a=•3、(2015南京、盐城一模)已知数列｛a n｝满足a1=—1,a2>a1?|a n+1—a”|=2”(n D N*),若数列｛a2n—1｝单调递减，数列｛a2n｝单调递增,则数列｛a n｝的通项公式为a n=.4、(2017镇江期末)已知n D N*，数列｛a n｝的各项均为正数，前n项和为S n,且a1=1,a2=2，设b n=a2n—1+a2n.(1)若数列｛b n｝是公比为3的等比数列，求S2n；a2+n(2)若对任意“□N*,S n=~^恒成立,求数列｛a n｝的通项公式；⑶若S2n=3(2n—1),数列｛aa n+1｝也为等比数列，求数列｛a n｝的通项公式.5、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模)已知数列｛a n｝的前n项和为S n，且对任意正整数n都有a”=(—1)n S n+p n(p 为常数,p^0).(1)求P的值；(2)求数列｛a n｝的通项公式；(3)设集合A n=｛a2n—],a2n｝，且b n,c n DA n,记数列｛nb n｝,｛nc“｝的前n项和分别为P n,Q n•若久舛,求证：对任意n D N*，P n^Q n-6、(2015扬州期末)已知数列｛a n｝中,a]=1,a2=a,且a^]=k(a n+a“十2)对任意正整数都成立，数列｛a n｝的前n项和为S n.(1)若k=g且S2015=2015a,求a的值.(2)是否存在实数k,使数列｛a n｝是公比不为1的等比数列，且对任意相邻三项a m,a m十代十2按某顺序排列后成等差数列？若存在，求出所有k的值；若不存在,请说明理由.⑶若k=-g,求S n.。
高中数学数列中的奇偶项问题(解析版)精选全文完整版
数列中的奇偶项问题一、真题剖析【2020年新课标1卷文科】数列{a n}满足a n+2+(-1)n a n=3n-1，前16项和为540，则a1=_____ ________【试题情景】本题属于课程学习情景，本题以数列中的两项之间的关系为载体，考查数列中的项。
【必备知识】本题考查数列中的递推公式以及通项公式，并项求和等问题·【能力素养】本题考查空间想象能力、逻辑思维能力和运算能力，考查的学科素养是理想思维和数学探索，对n为奇偶数分类讨论，分别得出奇数项、偶数项的递推关系，由奇数项递推公式将奇数项用a1表示，由偶数项递推公式得出偶数项的和，建立a1方程，求解即可得出结论.【答案】7【解析】a n+2+(-1)n a n=3n-1，当n为奇数时，a n+2=a n+3n-1；当n为偶数时，a n+2+a n=3n-1.设数列a n的前n项和为S n，S16=a1+a2+a3+a4+⋯+a16=a1+a3+a5⋯+a15+(a2+a4)+⋯(a14+a16)=a1+(a1+2)+(a1+10)+(a1+24)+(a1+44)+(a1+70)+(a1+102)+(a1+140)+(5+17+29+41)=8a1+392+92=8a1+484=540，∴a1=7.故答案为：7.二、题型选讲题型一、分段函数的奇偶项求和例1.(2022·南京9月学情【零模】)(本小题满分10分)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n，S3= 7a1，且a1，a2+2，a3成等差数列．(1)求{a n}的通项公式；(2)若b n=a n，n为奇数，n，n为偶数，求数列{bn}的前2n项和T2n．【解析】(1)因为数列{a n}为正项等比数列，记其公比为q，则q>0．因为S3=7a1，所以a1+a2+a3=7a1，即a3+a2-6a1=0，因此q2+q-6=0，解得q=2或-3，从而q=2．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2分又a1，a2+2，a3成等差数列，所以2(a2+2)=a1+a3，即2(2a1+2)=a1+4a1，解得a1=4．因此a n=4×2n-1=2n+1．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5分(2)因为b n=a n，n为奇数，n，n为偶数，所以T2n=(b1+b3+⋯+b2n-1)+(b2+b4+⋯+b2n)=(a1+a3+⋯+a2n-1)+(2+4+⋯+2n)=(22+24+⋯+22n)+(2+4+⋯+2n))⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8分=4×1-4n1-4+(2+2n)n2=n2+n+4n+1-43．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10分变式1.(2022·江苏南京市金陵中学高三10月月考)已知等差数列{a n}前n项和为S n(n∈N+)，数列{b n}是等比数列，a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3.(1)求数列{a n}和{b n}的通项公式；(2)若c n=2S n,n为奇数b n,n为偶数，设数列{c n}的前n项和为T n，求T2n.【答案】(1)a n=2n+1，b n=2n-1；(2)1+22n+13-12n+1.【解析】【分析】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q≠0)，根据等差等比数列通项公式基本量的计算可得结果；(2)求出S n=n(3+2n+1)2=n(n+2)，代入可得c n=2n(n+2)=1n-1n+2，n为奇数2n-1，n为偶数，再分组求和，利用裂项求和和等比数列的求和公式可求得结果.【详解】(1)设等差数列{a n}的公差为d，等比数列{b n}的公比为q(q≠0)，∵a1=3，b1=1，b2+S2=10，a5-2b2=a3，∴q+3+3+d=103+4d-2q=3+2d ，∴d=2，q=2，∴a n=2n+1，b n=2n-1；公众号：高中数学最新试题(2)由(1)知，S n=n(3+2n+1)2=n(n+2)，∴c n=2n(n+2)=1n-1n+2，n为奇数2n-1，n为偶数，∴T2n=1-13+13-15+⋅⋅⋅+12n-1-1 2n+1+(21+23+25+⋅⋅⋅+22n-1)=1-12n+1+2(1-4n) 1-4=1+22n+13-12n+1.变式2.(2022·山东·潍坊一中模拟预测)已知数列a n满足a12+a222+⋅⋅⋅+a n2n=n2n．(1)求数列a n的通项公式；(2)对任意的n∈N∗，令b n=2-n,n为奇数22-n,为偶数，求数列bn的前n项和S n．【解析】(1)当n=1时，得a12=12，解得a1=1；当n≥2时，可得a12+a222+⋅⋅⋅+a n2n=n2n①a1 2+a222+⋅⋅⋅+a n-12n-1=n-12n-1②，由①-②，得a n2n=n2n-n-12n-1=2-n2n，a n=2-n，当n=1时，a1=2-1=1也符合，所以数列a n的通项公式为a n=2-n．(2)由(1)知b n=2-n,n为奇数22-n,为偶数.当n为偶数时，S n=1+-1+-3+⋅⋅⋅+2-n-1+20+2-2+⋅⋅⋅+22-n=1+3-nn22+1-14 n21-14=4-nn4+431-12n=-3n2+12n+1612-13×2n-2；当n为奇数时，S n=S n+1-b n+1=-3n+12+12n+1+1612-13×2n-1-21-n=-3n2+6n+2512-43×2n-1．综上所述，S n =-3n 2+6n +2512-43×2n -1,n 为奇数-3n 2+12n +1612-13×2n -2,n 为偶数 ．变式3.(2022·湖南省雅礼中学开学考试)(10分)已知数列{a n }满足n 2a n +12+12，为正奇数，2a n 2+n 2，n 为正偶数．(1)问数列{a n }是否为等差数列或等比数列?说明理由．(2)求证：数列a 2n2n是等差数列，并求数列{a 2n}的通项公式．【解析】(1)由题意可知，a 1=12a 1+12+12=12a 1+12，所以a 1=1，a 2=2a 22+22=2a 1+1=3，a 3=32a 3+12+12=32a 2+12=5，a 4=2a 42+42=2a 2+2=8，因为a 3-a 2=2，a 4-a 3=3，a 3-a 2≠a 4-a 3，所以数列{a n }不是等差数列．又因为a 2a 1=3，a 3a 2=53，a2a 1≠a 3a 2所以数列{a n }也不是等比数列．(2)法一：因为对任意正整数n ，a 2n +1=2a 2n+2n ，a 2n +12n +1-a 2n2n =12，a 22=32，所以数列a 2n2n是首项为32，公差为72的等差数列．从而对 n ∈N *，a 2n2n =32+n -12，a 2n=(n +2)2n -1，所以数列{a 2n}的通项公式是a 2n=(n +2)2n -1(n ∈N *)．法二：因为对任意正整数n ，a 2n +1=2a 2n+2n ，得a 2n +1-(n +3)2n =2[a 2n-(n +2)2n -1]，且a 21-(1+2)21-1=a 2-3=0所以数列{a 2n-(n +2)2n -1}是每项均为0的常数列，从而对∀n ∈N *，a 2n=(n +2)2n -1，所以数列{a 2n}的通项公式是a 2n=(n +2)2n -1(n ∈N *)．∀n ∈N *，a 2n2n =n +22，a 2n +12n +1-a 2n2n =n +32-n +22，a 22=32，所以数列a 2n2n是首项为32，公差为12的等差数列题型二、含有(-1)n 类型公众号：高中数学最新试题例2.【2022·广东省深圳市福田中学10月月考】已知等差数列{a n}前n项和为S n，a5=9，S5=25.(1)求数列{a n}的通项公式及前n项和S n；(2)设b n=(-1)n S n，求{b n}前n项和T n.【答案】(1)a n=2n-1，S n=n2；(2)T n=(-1)n n(n+1)2.【解析】【分析】(1)利用等差数列的基本量，列方程即可求得首项和公差，再利用公式求通项公式和前n项和即可；(2)根据(1)中所求即可求得b n，对n分类讨论，结合等差数列的前n项和公式，即可容易求得结果.【详解】(1)由S5=5(a1+a5)2=5×2a32=5a3=25得a3=5.又因为a5=9，所以d=a5-a32=2，则a3=a1+2d=a1+4=5，解得a1=1；故a n=2n-1，S n=n(1+2n-1)2=n2.(2)b n=(-1)n n2.当n为偶数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-1+b n=-12+22+-32+42+⋯+-(n-1)2+n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[n-(n-1)]×[n+(n-1)] =1+2+3+⋯+(n-1)+n=n(n+1)2.当n为奇数时：T n=b1+b2+b3+b4+⋯+b n-2+b n-1+b n=-12+22+-32+42+-(n-2)2+(n-1)2-n2=(2-1)×(2+1)+(4-3)×(4+3)+⋯+[(n-1)-(n-2)]×[(n-1)+(n-2)]-n2 =1+2+3+⋯+(n-2)+(n-1)-n2=(n-1)(1+n-1)2-n2=-n(n+1)2.综上得T n=(-1)n n(n+1)2.变式1.【2022·广东省深圳市育才中学10月月考】已知数列a n的前n项和为S n，且对任意正整数n，a n =34S n+2成立．(1)b n=log2a n，求数列b n的通项公式；(2)设c n=-1n+1n+1b n b n+1，求数列c n的前n项和T n．【答案】(1)a n=22n+1；(2)T n=1413+-1n+112n+3．【解析】【分析】(1)利用数列a n与S n的关系，即可求得数列a n的通项公式，代入b n=log2a n，即可求得数列b n的通项公式；(2)由(1)可知c n=14-1n+112n+1+12n+3，分n为奇数和偶数，分别求和.【详解】(1)在a n=34S n+2中令n=1得a1=8．因为对任意正整数n，a n=34S n+2成立，所以a n+1=34S n+1+2，两式相减得a n+1-a n=34a n+1，所以a n+1=4a n，又a1≠1，所以a n为等比数列，所以a n=8⋅4n-1=22n+1，所以b n=log222n+1=2n+1．(2)c n=-1n+1n+12n+12n+3=14-1n+14n+42n+12n+3=14-1n+112n+1+12n+3当n为偶数时，T n=1413+15-15+17+17+19-⋯-12n+1+12n+3=1413-12n+3，当n为奇数时，T n=1413+15-15+17+17+19-⋯+12n+1+12n+3=1413+12n+3．所以T n=1413+-1n+112n+3．变式2.(2021·山东济宁市·高三二模)已知数列a n是正项等比数列，满足a3是2a1、3a2的等差中项，a4 =16．公众号：高中数学最新试题(1)求数列a n 的通项公式；(2)若b n =-1 n 2a 2n +1log ，求数列b n 的前n 项和T n ．【解析】(1)设等比数列a n 的公比为q ，因为a 3是2a 1、3a 2的等差中项，所以2a 3=2a 1+3a 2，即2a 1q 2=2a 1+3a 1q ，因为a 1≠0，所以2q 2-3q -2=0，解得q =2或q =-12，因为数列a n 是正项等比数列，所以q =2．因为a 4=16，即a 4=a 1q 3=8a 1=16，解得a 1=2，所以a n =2×2n -1=2n ；(2)解法一：(分奇偶、并项求和)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，①若n 为偶数，T n =-3+5-7+9-L -2n -1 +2n +1 =-3+5 +-7+9 +L +-2n -1 +2n +1 =2×n2=n ；②若n 为奇数，当n ≥3时，T n =T n -1+b n =n -1-2n +1 =-n -2，当n =1时，T 1=-3适合上式，综上得T n =n ,n 为偶数-n -2,n 为奇数(或T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *)；解法二：(错位相减法)由(1)可知，a 2n +1=22n +1，所以，b n =-1 n ⋅2a 2n +1log =-1 n ⋅222n +1log =-1 n ⋅2n +1 ，T n =-1 1×3+-1 2×5+-1 3×7+L +-1 n 2n +1 ，所以-T n =-1 2×3+-1 3×5+-1 4×7+L +-1 n +12n +1 所以2T n =-3+2-1 2+-1 3+L +-1 n --1 n +12n +1=-3+2×1--1 n -12+-1 n 2n +1 =-3+1--1 n -1+-1 n 2n +1=-2+2n +2 -1 n ，所以T n =n +1 -1 n -1，n ∈N *变式3.(2022·湖北·黄冈中学二模)已知数列a n 中，a 1=2,n a n +1-a n =a n +1.(1)求证：数列a n +1n是常数数列；(2)令b n =(-1)n a n ,S n 为数列b n 的前n 项和，求使得S n ≤-99的n 的最小值.【解析】(1)由n a n +1-a n =a n +1得：na n +1=n +1 a n +1，即a n +1n +1=a n n +1n n +1∴a n +1n +1=a n n +1n -1n +1，即有a n +1+1n +1=a n +1n,∴数列a n +1n 是常数数列；(2)由(1)知：a n +1n =a 1+1=3,∴a n =3n -1,∴b n =(-1)n 3n -1即b n =3n -1,n 为偶数-3n -1 ,n 为奇数，∴当n 为偶数时，S n =-2+5 +-8+11 +⋯+-3n -4 +3n -1 =3n2，显然S n ≤-99无解；当n 为奇数时，S n =S n +1-a n +1=3n +1 2-3n +1 -1 =-3n +12，令S n ≤-99，解得：n ≥66，结合n 为奇数得：n 的最小值为67.所以n 的最小值为67.题型三、a n +a n +1类型例3.(2022·湖北省鄂州高中高三期末)已知数列a n 满足a 1=1，a n +a n +1=2n ；数列b n 前n 项和为S n ，且b 1=1，2S n =b n +1-1.(1)求数列a n 和数列b n 的通项公式；(2)设c n =a n ⋅b n ，求c n 前2n 项和T 2n .【答案】(1)a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z ，b n =3n -1；(2)58n -5 9n8.【解析】【分析】(1)根据递推公式，结合等差数列的定义、等比数列的定义进行求解即可；(2)利用错位相减法进行求解即可.(1)n ≥2，a n -1+a n =2n -1 ，∴a n +1-a n -1=2，又a 1=1，a 2=1，n =2k -1(k 为正整数)时，a 2k -1 是首项为1，公差为2的等差数列,∴a 2k -1=2k -1，a n =n ，n =2k (k 为正整数)时，a 2k 是首项为1，公差为2的等差数列.∴a 2k =2k -1，∴a n =n -1，∴a n =n ,n =2k -1,k ∈Zn -1,n =2k ,k ∈Z，∵2S n =b n +1-1，∴n ≥2时，2S n -1=b n -1，∴2b n =b n +1-b n ，公众号：高中数学最新试题又b2=3，∴n≥2时，b n=3n-1，b1=1=30，∴b n=3n-1；(2)由(1)得c n=n3n-1,n=2k-1,k∈Zn-13n-1,n=2k,k∈Z，T2n=1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n-2+1×31+3×33+5×35+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n-1= 41×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n-1⋅32n-2设K n=1×30+3×32+5×34+⋅⋅⋅2n-1⋅32n-2①则9K n=1×32+3×34+5×36+⋅⋅⋅+2n-1⋅32n②①-②得-8K n=1+232+34+⋅⋅⋅+32n-2-2n-1⋅32n=5+8n-59n-4，K n=5+8n-59n32，∴T2n=58n-59n8变式1.(2022·江苏苏州·高三期末)若数列a n满足a n+m=a n+d(m∈N*，d是不等于0的常数)对任意n∈N*恒成立，则称a n是周期为m，周期公差为d的“类周期等差数列”．已知在数列a n中，a1=1，a n+a n+1=4n+1(n∈N*)．(1)求证：a n是周期为2的“类周期等差数列”，并求a2,a2022的值；(2)若数列b n满足b n=a n+1-a n(n∈N*)，求b n的前n项和T n．【答案】(1)证明见解析；a2=4；a2022=4044(2)T n=2n+1,n为奇数, 2n,n为偶数.【解析】【分析】(1)由a n+a n+1=4n+1，a n+1+a n+2=4(n+1)+1，相减得a n+2-a n=4(n∈N*)，即可得到答案；(2)对当n分为偶数和奇数进行讨论，进行并求和，即可得到答案；(1)由a n+a n+1=4n+1，a n+1+a n+2=4(n+1)+1，相减得a n+2-a n=4(n∈N*)，所以a n周期为2，周期公差为4的“类周期等差数列”，由a1+a2=5，a1=1，得a2=4，所以a2022=a2+(2022-2)×2=4+4040=4044．(2)由b n=a n+1-a n，b n+1=a n+2-a n+1，得b n+1+b n=a n+2-a n=4，当n为偶数时，T n=(b1+b2)+(b3+b4)+⋯+(b n-1+b n)=4⋅n2=2n；当n为奇数时，T n=b1+(b2+b3)+(b4+b5)+⋯+(b n-1+b n)=3+4⋅n-12=2n+1．综上所述，T n=2n+1,n为奇数, 2n,n为偶数.变式2.(2022·江苏新高考基地学校第一次大联考期中)(10分)已知等差数列{a n}满足an+an+1= 4n，n∈N*．(1)求{a n}的通项公式；(2)设b1=1，bn+1=a n，n为奇数，-b n+2n，n为偶数，求数列{bn}的前2n项和S2n．【答案】(1)a n=2n-1；(2)4n-13+4n-3.【解析】【分析】(1)设等差数列a n的公差为d，由已知可得a n+1+a n+2=4n+1与已知条件两式相减可得a n+2-a n=4=2d求得d的值，再由a1+a2=4求得a1的值，利用等差数列的通项公式可得a n的通项公式；(2)当n为奇数时，b n+1=2n-1，当n为偶数时，b n+1+b n=2n，再利用分组并项求和以及等比数列的求和公式即可求解.【小问1详解】因为a n+a n+1=4n，所以a n+1+a n+2=4n+1，所以a n+2-a n=4，设等差数列a n的公差为d，则a n+2-a n=4=2d，可得d=2，当n=1时，a1+a2=a1+a1+2=4，可得a1=1，所以a n=1+2n-1=2n-1.【小问2详解】当n为奇数时，b n+1=a n=2n-1，当n为偶数时，b n+1+b n=2n，所以S2n=b1+b2+b3+b4+b5+b6+b7+⋯+b2n-2+b2n-1+b2n=1+22+24+26+⋯+22n-2+22n-1-1=20+22+24+26+⋯+22n-2+22n-1-1=201-4n1-4+4n-3=4n-13+4n-3.三、追踪训练1.(2022·江苏苏州市八校联盟第一次适应性检测)若数列{a n}中不超过f(m)的项数恰为b m(m∈N*)，则称数列{b m}是数列{a n}的生成数列，称相应的函数f(m)是数列{a n}生成{b m}的控制函数．已知a n=2n，且f(m)=m，数列{b m}的前m项和S m，若S m=30，则m的值为()公众号：高中数学最新试题A.9B.11C.12D.14【答案】B【解析】由题意可知，当m为偶数时，可得2n≤m，则b m=m2；当m为奇数时，可得2n≤m-1，则bm=m-12，所以b m=m-12(m为奇数)m2(m为偶数)，则当m为偶数时，S m=b1+b2+⋯+b m=12(1+2+⋯+m)-12×m2=m24，则m24=30，因为m∈N*，所以无解；当m为奇数时，S m=b1+b2+⋯+b m=S m+1-b m+1=(m+1)24-m+12=m2-14，所以m2-14=30，因为m∈N*，所以m=11，故答案选B．2.【2022·广东省深圳市第七高级中学10月月考】(多选题)已知数列a n满足a n+1+a n=n⋅-1 n n+12，其前n项和为S n，且m+S2019=-1009，则下列说法正确的是()A.m为定值B.m+a1为定值C.S2019-a1为定值D.ma1有最大值【答案】BCD【解析】【分析】分析得出a2k+a2k+1=2k⋅-1k2k+1，由已知条件推导出S2019-a1=-1010，m+a1=1，可判断出ABC选项正误，利用基本不等式可判断D选项的正误.【详解】当n=2k k∈N∗，由已知条件可得a2k+a2k+1=2k⋅-1k2k+1，所以，S2019=a1+a2+a3+⋯+a2019=a1+a2+a3+a4+a5+⋯+a2018+a2019=a1-2+4-6+8-⋯-2018=a1+2×504-2018=a1-1010，则S2019-a1=-1010，所以，m+S2019=m+a1-1010=-1009，∴m+a1=1，由基本不等式可得ma1≤m+a122=14，当且仅当m=a1=12时，等号成立，此时ma1取得最大值14.故选：BCD.3.(2022·江苏南通市区期中)(多选题)已知数列{a n}满足a1=-2，a2=2，a n+2-2a n=1-(-1)n，则A.{a2n-1}是等比数列B.5i=1a2i−1+2=-10C.{a2n}是等比数列D.10i=1a i=52【答案】ACD【解析】由题意可知，数列{a n}满足a1=-2，a2=2，a n+2-2a n=1-(-1)n，所以a n+2=1-(-1)n+2a n=2+2a n，n为奇数2a n，n为偶数，所以a3=2+2×(-2)=-2，a4=2×2=4，a5=2+2×(-2)=-2，a6=2×4=8，a7=2+2×(-2)=-2，a8=2×8=16，a9=2+2×(-2)=-2，a10=2×16=32，⋯，所以{a2n-1}={-2}，是等比数列，故选项A正确；5i=1a2i−1+2=(a1+a3+a5+a7+a9)+2×5=-2×5+2×5=0，故选项B错误；对于选项C，{a2n}={2n}是等比数列，故选项C正确；对于选项D，10i=1a i=-2+2-2+4-2+8-2+16-2+32=52，故选项D正确，综上，答案选ACD．4.(2022·江苏海门中学、泗阳中学期中联考)已知数列{a n}满足a n+1+(-1)n a n=2n+1，则a1+a3+a5+⋯+a99=．【答案】50【解析】【分析】根据所给递推关系，可得a2n+1+a2n=4n+1,a2n-a2n-1=4n-1，两式相减可得a2n+1+a2n-1=2.即相邻奇数项的和为2，即可求解.【详解】∵a n+1+(-1)n a n=2n+1,∴a2n+1+a2n=4n+1,a2n-a2n-1=4n-1.两式相减得a2n+1+a2n-1 =2.则a3+a1=2,a7+a5=2,⋯,a99+a97=2,∴a1+a3+a5+⋯+a99=25×2=50，故答案为：505.(2021·天津红桥区·高三一模)已知数列a n的前n项和S n满足：S n=2a n+(-1)n，n≥1.(1)求数列a n的前3项a1，a2，a3；(2)求证：数列a n+23⋅-1n是等比数列：(3)求数列(6n-3)⋅a n的前n项和T n.【详解】(1)当n=1时，有：S1=a1=2a1+-1⇒a1=1；当n=2时，有：S2=a1+a2=2a2+-12⇒a2=0；当n=3时，有：S3=a1+a2+a3=2a3+-13⇒a3=2；综上可知a1=1，a2=0，a3=2；(2)由已知得：n≥2时，a n=S n-S n-1=2a n+(-1)n-2a n-1-(-1)n-1化简得：a n=2a n-1+2(-1)n-1公众号：高中数学最新试题上式可化为：a n+23(-1)n=2a n-1+23(-1)n-1故数列a n+23(-1)n是以a1+23(-1)1为首项，公比为2的等比数列.(3)由(2)知a n+23(-1)n=132n-1∴a n=13⋅2n-1-23(-1)n6n-3⋅a n=2n-12n-1-2-1n=2n-1⋅2n-1-2⋅(-1)n⋅(2n-1)当n为偶数时，T n=1⋅20+3⋅21+⋅⋅⋅+(2n-1)⋅2n-1-2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)]令A n=1⋅20+3⋅21+⋅⋅⋅+(2n-1)⋅2n-1，B n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)] A n=1⋅20+3⋅21+5⋅22⋅⋅⋅+(2n-3)⋅2n-2+(2n-1)⋅2n-1①2A n=1⋅21+3⋅22+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+(2n-3)⋅2n-1+(2n-1)⋅2n②则①-②得-A n=20+2⋅21+2⋅22⋅⋅⋅+2⋅2n-1-(2n-1)⋅2n=1+221+22⋅⋅⋅+2n-1-(2n-1)⋅2n=1+2⋅21-2n-11-2-(2n-1)⋅2n=-3+(3-2n)⋅2n∴A n=3+(2n-3)⋅2n10B n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-3)+(2n-1)]=2⋅2⋅n2=2n所以T n=A n-B n=3+(2n-3)⋅2n-2n.当n为奇数时，A n=3+(2n-3)⋅2nB n=2[-1+3-5+⋅⋅⋅-(2n-5)+(2n-3)-(2n-1)] =22⋅n-12-2n+1=-2n所以T n=A n-B n=3+(2n-3)⋅2n+2n综上，T n=3+(2n-3)⋅2n-2n,n为偶数, 3+(2n-3)⋅2n+2n,n为奇数.6.(2022·山东烟台·高三期末)已知数列a n满足a1=4，a n+1=12a n+n,n=2k-1a n-2n,n=2k(k∈N*)．(1)记b n=a2n-2，证明：数列b n为等比数列，并求b n的通项公式；(2)求数列a n的前2n项和S2n．【答案】(1)证明见解析；b n =12n -1，n ∈N *；(2)S 2n =-2n 2+6n +6-32n -1.【解析】【分析】(1)根据给定的递推公式依次计算并探求可得b n +1=12b n，求出b 1即可得证，并求出通项公式.(2)由(1)求出a 2n ，再按奇偶分组求和即可计算作答.(1)依题意，b n +1=a 2n +2-2=12a 2n +1+2n +1 -2=12a 2n -2×2n +2n +1 -2=12a 2n -1=12(a 2n -2)=12b n，而b 1=a 2-2=12a 1+1-2=1>0，所以数列b n 是以1为首项，12为公比的等比数列，b n =12n -1，n ∈N *.(2)由(1)知，a 2n =b n +2=12 n -1+2，则有a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n =1-12 n1-12+2n =2-12n -1+2n ，又a 2n =12a 2n -1+2n -1，则a 2n -1=2a 2n -2(2n -1)，于是有a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1=2(a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n )-2×1+(2n -1)2×n =22-12n -1+2n -2n 2=-2n 2+4n +4-22n -1，因此，S 2n =(a 1+a 3+⋅⋅⋅+a 2n -1)+(a 2+a 4+⋅⋅⋅+a 2n )=-2n 2+4n +4-22n -1+2-12n -1+2n =-2n 2+6n +6-32n -1，所以S 2n =-2n 2+6n +6-32n -1.公众号：高中数学最新试题。
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专题34 数列中的奇偶性问题一、题型选讲题型一、与奇偶性有关讨论求含参问题含参问题最常用的方法就是把参数独立出来,要独立出来就要除以一个因式,此因式的正负与n 的奇偶性有关,因此要对n 进行奇偶性的讨论。
例1、(2015扬州期末）设数列{a n }的前n 项和为S n ,且a n ＝4＋⎝⎛⎭⎫－12n －1,若对任意n ∈N *,都有1≤p (S n －4n )≤3,则实数p 的取值范围是________．答案：[2,3]思路分析 求参数的常用方法是分离参数,所以首先将参数p 进行分离,从而将问题转化为求函数f (n )＝S n－4n 的最大值与最小值,再注意到题中含有⎝⎛⎭⎫－12n －1,涉及负数的乘方,所以需对n 进行分类讨论． 令f (n )＝S n －4n ＝4n ＋1－⎝⎛⎭⎫－12n 1－⎝⎛⎭⎫－12－4n ＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫－12n . 当n 为奇数时,f (n )＝23⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫12n 单调递减,则当n ＝1时,f (n )max ＝1； 当n 为偶数时,f (n )＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n 单调递增,由当n ＝2时,f (n )min ＝12. 又1S n －4n ≤p ≤3S n －4n,所以2≤p ≤3. 解后反思 本题的本质是研究数列的最值问题,因此,研究数列的单调性就是一个必要的过程,需要注意的是,由于本题是离散型的函数问题,所以,要注意解题的规范性,“当n 为奇数时,f (n )＝23⎣⎡⎦⎤1＋⎝⎛⎭⎫12n ,单调递减,此时f (n )∈⎝⎛⎦⎤23，1；当n 为偶数时,f (n )＝23⎣⎡⎦⎤1－⎝⎛⎭⎫12n ,单调递增,此时f (n )∈⎣⎡⎭⎫12，1”的写法是不正确的,因为f (n )并不能取到⎣⎡⎭⎫12，1∪⎝⎛⎦⎤23，1＝⎣⎡⎦⎤12，1内的所有值．例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）已知数列{a n }的各项均不为零．设数列{a n }的前n 项和为S n ,数列{a 2n }的前n 项和为T n ,且3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n ∈N *.(1) 求a 1,a 2的值；(2) 证明：数列{a n }是等比数列；(3) 若(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0对任意的n ∈N *恒成立,求实数λ的所有值．思路分析 (1) 对3S 2n －4S n ＋T n ＝0,令n ＝1,2得到方程,解得a 1,a 2的值．(2) 3S 2n －4S n ＋T n ＝0中,对n 赋值作差,消去T n ,再对n 赋值作差,消去S n ,从而得到a n ＋1＝－12a n ,证得数列{a n }是等比数列．(3)先求出a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1,由(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立,确定λ＝0适合,再运用反证法证明λ>0和λ<0不成立．规范解答 (1)因为3S 2n －4S n ＋T n ＝0,n ∈N *. 令n ＝1,得3a 21－4a 1＋a 21＝0,因为a 1≠0,所以a 1＝1.令n ＝2,得3(1＋a 2)2－4(1＋a 2)＋(1＋a 22)＝0,即2a 22＋a 2＝0,因为a 2≠0,所以a 2＝－12.(3分) (2)解法1 因为3S 2n －4S n ＋T n＝0, ① 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0, ② ②－①得,3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0,因为a n ＋1≠0,所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0, ③(5分) 所以3(S n ＋S n －1)－4＋a n ＝0(n ≥2), ④当n ≥2时,③－④得,3(a n ＋1＋a n )＋a n ＋1－a n ＝0,即a n ＋1＝－12a n ,因为a n ≠0,所以a n ＋1a n ＝－12.又因(1)知,a 1＝1,a 2＝－12,所以a 2a 1＝－12,所以数列{a n }是以1为首项,－12为公比的等比数列．(8分)解法2 因为3S 2n －4S n ＋T n＝0,① 所以3S 2n ＋1－4S n ＋1＋T n ＋1＝0,②②－①得,3(S n ＋1＋S n )a n ＋1－4a n ＋1＋a 2n ＋1＝0, 因为a n ＋1≠0,所以3(S n ＋1＋S n )－4＋a n ＋1＝0, 所以3(S n ＋1＋S n )－4＋(S n ＋1－S n )＝0,(5分) 整理为S n ＋1－23＝－12⎝⎛⎭⎫S n －23,又S 1－23＝a 1－23＝13, 所以S n －23＝13·⎝⎛⎭⎫－12n －1,得S n ＝13·⎝⎛⎭⎫－12n －1＋23,当n ≥2时,a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－12n －1,而a 1＝1也适合此式,所以a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1,所以a n ＋1a n ＝－12所以数列{a n }是以－12为公比的等比数列．(8分)(3)解法1 由(2)知,a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1.因为对任意的n ∈N *,(λ－na n )(λ－na n ＋1)<0恒成立, 所以λ的值介于n ⎝⎛⎭⎫－12n －1和n ⎝⎛⎭⎫－12n之间． 因为n ⎝⎛⎭⎫－12n －1·n ⎝⎛⎭⎫－12n<0对任意的n ∈N *恒成立,所以λ＝0适合．(10分) 若λ>0,当n 为奇数时,n ⎝⎛⎭⎫－12n<λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立,从而有λ<n2n －1恒成立．记p (n )＝n 22n (n ≥4),因为p (n ＋1)－p (n )＝（n ＋1）22n ＋1－n 22n ＝－n 2＋2n ＋12n ＋1<0, 所以p (n )≤p (4)＝1,即n 22n ≤1,所以n 2n ≤1n(*),从而当n ≥5且n ≥2λ时,有λ≥2n ≥n2n －1,所以λ>0不符．(13分)若λ<0,当n 为奇数时,n ⎝⎛⎭⎫－12n<λ<n ⎝⎛⎭⎫－12n －1恒成立,从而有－λ<n2n 恒成立．由(*)式知,当n ≥5且n ≥－1λ时,有－λ≥1n ≥n2n ,所以λ<0不符．综上,实数λ的所有值为0.题型二、数列中奇偶项问题数列通项中出现奇、偶不同的表达式,需要分奇、偶分别赋值得到关系式,再对关系式相加或相减,得到奇数项或偶数项的关系式,体现减元的思想,考生要能够多观察,多思考,养成良好的逻辑推理的习惯.例3、例3、(2015苏州期末）已知数列{a n }中a 1＝1,a n ＋1＝⎩⎪⎨⎪⎧13a n ＋n ，n 为奇数，a n －3n ， n 为偶数.(1) 是否存在实数λ,使得数列{a 2n －λ}是等比数列？若存在,求出λ的值；若不存在,请说明理由． (2) 若S n 是数列{a n }的前n 项和,求满足S n >0的所有正整数n .规范解答 (1) 由已知,得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋1＋(2n ＋1)＝13[a 2n －3(2n )]＋2n ＋1＝13a 2n ＋1.(2分)令a 2(n ＋1)－λ＝13(a 2n －λ),得a 2(n ＋1)＝13a 2n ＋23λ,所以λ＝32.(4分)此时,a 2－λ＝13＋1－32＝－16.(5分)所以存在λ＝32,使得数列{a 2n －λ}是等比数列．(6分)(2) 由(1)知,数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a 2n －32是首项为－16,公比为13的等比数列,所以a 2n －32＝－16·⎝⎛⎭⎫13n －1＝－12·13n ,即a 2n ＝12⎝⎛⎭⎫3－13n .(8分) 由a 2n ＝13a 2n －1＋(2n －1),得a 2n －1＝3a 2n －3(2n －1)＝32⎝⎛⎭⎫3－13n －6n ＋3,(10分) 所以a 2n －1＋a 2n ＝32⎝⎛⎭⎫3－13n －6n ＋3＋12⎝⎛⎭⎫3－13n ＝－2⎝⎛⎭⎫13n －6n ＋9. 所以S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝－213＋⎝⎛⎭⎫132＋…＋⎝⎛⎭⎫13n －6(1＋2＋…＋n )＋9n ＝13n －3n 2＋6n －1,(12分)从而S 2n －1＝S 2n －a 2n ＝32·13n －3n 2＋6n －52.因为13n 和－3n 2＋6n ＝－3(n －1)2＋3在n ∈N *时均单调递减,所以S 2n 和S 2n －1均各自单调递减．(14分)计算得S 1＝1,S 2＝73,S 3＝－73,S 4＝－89,所以满足S n >0的所有正整数n 的值为1和2.(16分)解后反思 对于通项公式分奇偶不同的数列{a n }求S n 时,一般先把a 2k －1＋a 2k 看做一项,求出S 2k ,再求S 2k －1＝S 2k －a 2k .例4、(2018苏中三市、苏北四市三调）已知数列{}n a 满足15(1)()2n n n n aa n *+++-=∈N ,数列{}n a 的前n 项和为n S ．（1）求13a a +的值； （2）若1532a a a +=．① 求证：数列{}2n a 为等差数列；② 求满足224()p m S S p m *=∈N ，的所有数对()p m ，．【思路分析】（1）直接令1,2n =得到关系式,两式相减,求出13a a +的值（2）分别赋值21,2n n -,得到关系式,两式相减,得到212112n n a a -++=,结合1532a a a +=,计算出114a =, 从而求2114n a -=,代入关系式,得出294n a n =+,利用定义法证明{}2n a 为等差数列（3）求和得到2n S ,代入关系式整理得()2234322p m p m +=+,需要转化两个因数相乘的形式,变形处理,利用平方差公式得到(29)(23)27m p m p ++-+=,因为2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数,则两个因数只能为27和1,从而求出p m ，的值.规范解答 （1）由条件,得2132372a a a a -=⎧⎪⎨+=⎪⎩①②,②-①得 1312a a +=．……………………… 3分（2）①证明：因为15(1)2n n n n a a +++-=,所以221212242252n n n n n a an a a -++⎧-=⎪⎨+⎪+=⎩③④, ④-③得 212112n n a a -++=, ……………………………………………… 6分于是13353111()()422a a a a a =+=+++=,所以314a =,从而114a =． ……………………………………………… 8分所以121231111()(1)()0444n n n a a a ----=--==--=L , 所以2114n a -=,将其代入③式,得294n a n =+, 所以2(1)21n n a a +-=（常数）,所以数列{}2n a 为等差数列．……………………………………………… 10分 ②注意到121n a a +=,所以2122n n S a a a =+++L2345221()()()n n a a a a a a +=++++++L2125322nk k n n =+==+∑,…………………………………………… 12分由224pm S S =知()2234322p m p m +=+．所以22(26)(3)27m p +=++,即(29)(23)27m p m p ++-+=,又*p m ∈N ，,所以2912m p ++≥且2923m p m p ++-+，均为正整数,所以2927231m p m p ++=⎧⎨-+=⎩,解得104p m ==，,所以所求数对为(104)，．………………………………………………… 16分例5、(2017苏北四市期末）已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ,且a 1＝a ,(a n ＋1)(a n ＋1＋1)＝6(S n ＋n ),n ∈N *.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若∀n ∈N * ,都有S n ≤n (3n ＋1)成立,求实数a 的取值范围；(3) 当a ＝2时,将数列{a n }中的部分项按原来的顺序构成数列{b n },且b 1＝a 2,证明：存在无数个满足条件的无穷等比数列{b n }．规范解答 (1) 当n ＝1时,(a 1＋1)(a 2＋1)＝6(S 1＋1),故a 2＝5；当n ≥2时,(a n －1＋1)(a n ＋1)＝6(S n －1＋n －1),所以(a n ＋1)(a n ＋1＋1)－(a n －1＋1)(a n ＋1)＝6(S n ＋n)－6(S n －1＋n －1),即(a n ＋1)(a n ＋1－a n －1)＝6(a n ＋1), 又a n ＞0,所以a n ＋1－a n －1＝6,(3分)所以a 2k －1＝a ＋6(k －1)＝6k ＋a －6,a 2k ＝5＋6(k －1)＝6k －1,k ∈N *, 故a n＝⎩⎪⎨⎪⎧3n ＋a －3，n 为奇数，3n －1，n 为偶数.)(5分)(2) 当n 为奇数时,n ＋1为偶数,所以a n ＝3n ＋a －3,a n ＋1＝3n ＋2,所以(3n ＋a －3＋1)(3n ＋2＋1)＝6(S n ＋n ),整理得S n ＝12(3n ＋a －2)(n ＋1)－n ,由S n ≤n (3n ＋1)得,a ≤3n 2＋3n ＋2n ＋1对n ∈N *恒成立．令f (n )＝3n 2＋3n ＋2n ＋1(n ∈N *),则f (n ＋1)－f (n )＝3n 2＋9n ＋4(n ＋2)(n ＋1)＞0,所以f (n )＝3n 2＋3n ＋2n ＋1(n ∈N *)单调递增,f (n )min ＝f (1)＝3＋3＋22＝4,所以a ≤4.(8分) 当n 为偶数时,n ＋1为奇数,a n ＝3n －1,a n ＋1＝3n ＋a ,所以(3n －1＋1)(3n ＋a ＋1)＝6(S n ＋n ),整理得S n ＝3n 2＋(a －1)n2,由S n ≤n (3n ＋1)得,a ≤3(n ＋1)对n ∈N *恒成立,所以a ≤9.又a 1＝a ＞0,所以实数a 的取值范围是(0,4]．(10分)(3) 当a ＝2时,若n 为奇数,则a n ＝3n －1,所以a n ＝3n －1(n ∈N *)．解法1 因为数列{a n }的项是b 1＝5的整数倍的最小项是a 7＝20,故可令等比数列{b n }的公比q ＝4m (m ∈N *),因为b 1＝a 2＝5,所以b n ＝5·4m (n －1),设k ＝m (n －1),因为1＋4＋42＋…＋4k －1＝4k －13, 所以4k ＝3(1＋4＋42＋…＋4k －1)＋1, 所以5·4k ＝5[3(1＋4＋42＋…＋4k －1)＋1] ＝3[5(1＋4＋42＋…＋4k －1)＋2]－1,(14分) 因为5(1＋4＋42＋…＋4k －1)＋2为正整数, 所以数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列,因为公比q ＝4m (m ∈N *)有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故无穷等比数列{b n }有无数个．(16分)解法2 设b 2＝ak 2＝3k 2－1(k 2≥3),因为b 1＝a 2＝5,所以公比q ＝3k 2－15.因为等比数列{b n }的各项为整数,所以q 为整数, 取k 2＝5m ＋2(m ∈N *),则q ＝3m ＋1,故b n ＝5·(3m ＋1)n －1. 由3k n －1＝5·(3m ＋1)n－1得k n ＝13[5(3m ＋1)n －1＋1](m ,n ∈N *),而当n ≥2时,k n －k n －1＝53[(3m ＋1)n －1－(3m ＋1)n －2]＝5m (3m ＋1)n －2,即k n ＝k n －1＋5m (3m ＋1)n －2.(14分)又因为k 1＝2,5m (3m ＋1)n－2都是正整数,所以k n 也都是正整数,所以数列{b n }是数列{a n }中包含的无穷等比数列,因为公比q ＝3m ＋1(m ∈N *)有无数个不同的取值,对应着不同的等比数列,故无穷等比数列{b n }有无数个．(16分)解后反思 作为数列压轴题,本题三个小题梯度明显,有较好的区分度,其中第(1)(2)小题联系紧密,难度中等,考生应该努力完成这两小题,而不是轻易放弃；而第(3)小题要求高,试题开放,解法1构造特殊数列,而解法2从一般性推理与证明两个角度完成证明,难度都非常大,建议考生果断放弃．题型三、数列中连续两项和或积的问题“相邻两项的和是一次式”的特征,联想到数列{a n }中相邻两项的和成等差数列,故考虑采用相邻项作差法,得到数列{a n }中奇数项成等差,偶数项也成等差,而且公差相同的结论,进而求出数列通项公式．例6、(2018苏州暑假测试）已知数列{a n }满足a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *)． (1) 若数列{a n }是等差数列,求a 1的值； (2) 当a 1＝2时,求数列{a n }的前n 项和S n ； (3) 若对任意n ∈N *,都有a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥5成立,求a 1的取值范围．规范解答 (1) 若数列{a n }是等差数列,则a n ＝a 1＋(n －1)d,a n ＋1＝a 1＋nd. 由a n ＋1＋a n ＝4n －3,得(a 1＋nd)＋[a 1＋(n －1)d]＝4n －3,(2分) 即2d ＝4,2a 1－d ＝－3,解得d ＝2,a 1＝－12.(3分)(2) 由a n ＋1＋a n ＝4n －3(n ∈N *),得a n ＋2＋a n ＋1＝4n ＋1(n ∈N *)． 两式相减,得a n ＋2－a n ＝4.(5分)所以数列{a 2n －1}是首项为a 1,公差为4的等差数列． 数列{a 2n }是首项为a 2,公差为4的等差数列, 由a 2＋a 1＝1,a 1＝2,得a 2＝－1,所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n ，n 为奇数，2n －5，n 为偶数.(6分)①当n 为奇数时,a n ＝2n ,a n ＋1＝2n －3. S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －2＋a n －1)＋a n ＝1＋9＋…＋(4n －11)＋2n ＝n －12×（1＋4n －11）2＋2n＝2n 2－3n ＋52；(8分)②当n 为偶数时, S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝1＋9＋…＋(4n －7) ＝2n 2－3n 2.(10分)(3) 由(2)知,a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2n －2＋a 1，n 为奇数，2n －3－a 1，n 为偶数.(11分)①当n 为奇数时,a n ＝2n －2＋a 1,a n ＋1＝2n －1－a 1.由a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥5得a 21－a 1≥－4n 2＋16n －10. 令f (n )＝－4n 2＋16n －10＝－4(n －2)2＋6, 当n ＝1或3时,f (n )max ＝2,所以a 21－a 1≥2. 解得a 1≥2或a 1≤－1.(13分)②当n 为偶数时,a n ＝2n －a 1－3,a n ＋1＝2n ＋a 1.由a 2n ＋a 2n ＋1a n ＋a n ＋1≥5得a 21＋3a 1≥－4n 2＋16n －12. 令g (n )＝－4n 2＋16n －12＝－4(n －2)2＋4, 当n ＝2时,g (n )max ＝4,所以a 21＋3a 1≥4, 解得a 1≥1或a 1≤－4.(15分)综上,a 1的取值范围是(－∞,－4]∪[2,＋∞)．(16分)例7、(2019苏州期初调查）已知数列{a n }的奇数项是首项为1的等差数列,偶数项是首项为2的等比数列,数列{a n }前n 项和为S n ,且满足S 3＝a 4,a 5＝a 2＋a 3.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 若a m a m ＋1＝a m ＋2,求正整数m 的值；(3) 是否存在正整数m,使得S 2mS 2m －1恰好为数列{a n }中的一项？若存在,求出所有满足条件的m 值,若不存在,说明理由．思路分析 (1)建立方程组,求出公比和公差,用分段的形式写出{a n }的通项公式． (2)对m 分奇、偶数,根据通项公式和a m a m ＋1＝a m ＋2建立方程,求出m 的值．(3)运用求和公式求出S 2m 和S 2m －1,计算S 2mS 2m －1,通过分析其值只能为a 1,a 2,a 3,分情况讨论,解方程,求m的值．规范解答 (1)设奇数项的等差数列公差为d,偶数项的等比数列公比为q. 所以数列{a n }的前5项依次为1,2,1＋d,2q,1＋2d.因为{S 3＝a 4，a 5＝a 2＋a 3，所以{4＋d ＝2q ，1＋2d ＝3＋d ，解得{d ＝2，q ＝3.(2分) 所以a n ＝⎩⎨⎧n ，n 为奇数，2·332－1，n 为偶数.(4分)(2)因为a m a m ＋1＝a m ＋2. 1° 若m ＝2k(k ∈N *),则a 2k a 2k ＋1＝a 2k ＋2,所以2·3k －1·(2k ＋1)＝2·3k ,即2k ＋1＝3,所以k ＝1,即m ＝2.(6分) 2° 若m ＝2k －1(k ∈N *),则a 2k －1a 2k ＝a 2k ＋1,所以(2k －1)×2·3k －1＝2k ＋1,所以2·3k －1＝2k ＋12k －1＝1＋22k －1.因为2·3k－1为整数,所以22k －1必为整数,所以2k －1＝1,所以k ＝1,此时2·30≠3.不合题意．(8分)综上可知m ＝2.(9分)(3) 因为S 2m ＝(a 1＋a 3＋…＋a 2m －1)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2m ) ＝m （1＋2m －1）2＋2（1－3m ）1－3＝3m ＋m 2－1.(10分)S 2m －1＝S 2m －a 2m ＝3m ＋m 2－1－2·3m －1＝3m －1＋m 2－1.(11分)所以S 2mS 2m －1＝3m ＋m 2－13m －1＋m 2－1＝3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1≤3.(12分)若S 2mS 2m －1为数列{a n }中的项,则只能为a 1,a 2,a 3. 1° S 2m S 2m －1＝1,则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝1,所以3m －1＝0,m 无解．(13分) 2° S 2m S 2m －1＝2,则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝2,所以3m －1＋1－m 2＝0. 当m ＝1时,等式不成立； 当m ＝2时,等式成立；当m ≥3时,令f (x )＝3x －1＋1－x 2＝13·3x ＋1－x 2.所以f ′(x )＝ln33·3x －2x ,f ″(x )＝ln 233·3x－2.因为f ″(x )在(14分)3° S 2mS 2m －1＝3,则3－2（m 2－1）3m －1＋m 2－1＝3,所以m 2－1＝0,即m ＝1.(15分) 综上可知m ＝1或m ＝2.(16分)解后反思 第(3)问中,解方程3m －1＋1－m 2＝0,其中m 为正整数,体现函数的思想,可以先取m ＝1,m ＝2,…,找出规律,即执果索因,然后用导数的方法研究函数f(x)＝3x －1＋1－x 2的单调性,也可以用作差法来研究数列c m ＝3m －1＋1－m 2的单调性来处理．二、达标训练1、(2018南京、盐城一模）设S n 为等差数列{a n }的前n 项和,若{a n }的前2017项中的奇数项和为2018,则S 2017的值为________．答案： 4034解析：因为a 1＋a 3＋a 5＋…＋a 2017＝1009a 1009＝2018,所以a 1009＝2,故S 2017＝a 1＋a 2＋…＋a 2017＝2017a 1009＝4034.2、(2019常州期末） 数列{a n },{b n }满足b n ＝a n ＋1＋(－1)n a n (n ∈N *),且数列{b n }的前n 项和为n 2,已知数列{a n －n }的前2018项和为1,那么数列{a n }的首项a 1＝________．答案： 32解析：思路分析通项公式中出现(－1)n ,注意分奇、偶项,求和时自然采用分组求和法．数列{b n }的前n 项和为n 2,所以b n ＝n 2－(n －1)2＝2n －1(n ≥2),b 1＝1也符合,故b n ＝2n －1,故a n ＋1＋(－1)n a n＝2n －1,设{a n }的前n 项和为S n ,a 2－a 1＝1.若n 为奇数,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋1－a n ＝2n －1，a n ＋2＋a n ＋1＝2n ＋1，解得a n ＋a n ＋2＝2.若n 为偶数,则⎩⎪⎨⎪⎧a n ＋a n ＋1＝2n －1，a n ＋2－a n ＋1＝2n ＋1，解得a n ＋a n ＋2＝4n.S 2018＝a 1＋(a 3＋a 5)＋(a 7＋a 9)＋…＋(a 2015＋a 2017)＋a 2＋(a 4＋a 6)＋(a 8＋a 10)＋…＋(a 2016＋a 2018)＝2a 1＋1＋1008＋4×(4＋8＋…＋2016)＝2a 1＋1009＋4×504×（4＋2016）2＝2a 1＋1＋1008×2021.又S 2018－2018×20192＝1,所以2a 1＋1＋1008×2021＝1＋1009×2019,得a 1＝32.3、(2015南京、盐城一模）已知数列{a n }满足a 1＝－1,a 2>a 1,|a n ＋1－a n |＝2n (n ∈N *),若数列{a 2n －1}单调递减,数列{a 2n }单调递增,则数列{a n }的通项公式为a n ＝________.【答案】(－2)n －13因为|a n ＋1－a n |＝2n ,所以当n ＝1时,|a 2－a 1|＝2.由a 2>a 1,a 1＝－1得a 2＝1.当n ＝2时,|a 3－a 2|＝4,得a 3＝－3或a 3＝5.因为{a 2n －1}单调递减,所以a 3＝－3.当n ＝3时,|a 4－a 3|＝8,得a 4＝5或a 4＝－11.因为{a 2n }单调递增,所以a 4＝5.同理得a 5＝－11,a 6＝21.因为{a 2n －1}单调递减,a 1＝－1<0,所以a 2n －1<0.同理a 2n >0.所以当n 为奇数时(n ≥3),有a n －a n －1＝－2n －1,a n－1－a n －2＝2n －2.两式相加得a n －a n －2＝－2n －2. 那么a 3－a 1＝－2；a 5－a 3＝－23；…；a n －a n －2＝－2n －2. 以上各式相加得a n －a 1＝－(2＋23＋25＋…＋2n －2)． 所以a n ＝a 1－2[1－(22)n －32＋1]1－22＝－2n ＋13.同理,当n 为偶数时,a n ＝2n －13.所以a n＝⎩⎨⎧－2n ＋13，n 为奇数，2n－13， n 为偶数.也可以写成a n ＝(－2)n －13.4、(2017镇江期末）已知n ∈N *,数列{a n }的各项均为正数,前n 项和为S n ,且a 1＝1,a 2＝2,设b n ＝a 2n －1＋a 2n .(1) 若数列{b n }是公比为3的等比数列,求S 2n ； (2) 若对任意n ∈N *,Sn ＝a 2n ＋n2恒成立,求数列{a n }的通项公式； (3) 若S 2n ＝3(2n －1),数列{a n a n ＋1}也为等比数列,求数列{a n }的通项公式．思路分析 第2问,用相邻项作差法可把条件“对任意n ∈N *,S n ＝a 2n ＋n 2”转化为“a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1”,因为a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立,故有a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立；第3问,由“数列{a n a n ＋1}为等比数列”知a n ＋2a n为同一个常数,即数列{a n }中奇数项和偶数项都是等比数列,且公比相同,不妨设为q ,在S 2n ＝3(2n －1)中,令n ＝2即可求出q .规范解答 (1) b 1＝a 1＋a 2＝1＋2＝3,(1分)S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n －1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－3n )1－3＝3(3n －1)2.(3分)(2) 当n ≥2时,由2S n ＝a 2n ＋n ,得2S n －1＝a 2n －1＋n －1,则2a n ＝2S n －2S n －1＝a 2n ＋n －(a 2n －1＋n －1)＝a 2n －a 2n －1＋1,(a n －1)2－a 2n －1＝0,(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1－1)＝0,故a n －a n －1＝1或a n ＋a n －1＝1.(*)(6分)下面证明a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立． 事实上,a 1＋a 2＝3,则a n ＋a n －1＝1不恒成立；若存在n ∈N *,使a n ＋a n －1＝1,设n 0是满足上式最小的正整数,即an 0＋an 0－1＝1,显然n 0＞2,且an 0－1∈(0,1),则an 0－1＋an 0－2≠1,则由(*)式知,an 0－1－an 0－2＝1,则an 0－2＜0,矛盾．故a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立．所以a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立．(8分)因此{a n }是以1为首项,1为公差的等差数列,所以a n ＝1＋(n －1)＝n .(10分)(3) 因为数列{a n a n ＋1}为等比数列,设公比为q ,则当n ≥2 时,a n a n ＋1a n －1a n ＝a n ＋1a n －1＝q .即{a 2n －1},{a 2n }分别是以1,2为首项,公比为q 的等比数列,(12分) 故a 3＝q ,a 4＝2q .令n ＝2,有S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝1＋2＋q ＋2q ＝9,则q ＝2.(14分)当q ＝2时,a 2n －1＝2n －1,a 2n ＝2×2n －1＝2n ,b n ＝a 2n －1＋a 2n ＝3×2n －1,此时S 2n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a 2n－1＋a 2n )＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝3(1－2n )1－2＝3(2n －1)． 综上所述,a n＝⎩⎨⎧2n －12，n 为奇数，2n2，n 为偶数.(16分)易错警示 在第2问中,必须证明a n ＋a n －1＝1对任意的n ∈N *恒不成立,不是“对任意的n ∈N *不恒成立”,因为若存在某个n 0∈N *使得a n ＋a n －1＝1成立,由于逻辑连结词“或”的缘故,则此时式子“an 0－an 0－1＝1”可以不成立！也就是说,“a n －a n －1＝1对任意的n ∈N *恒成立”不一定正确．解后反思 由于“S 2n ＝3(2n －1)”符合特征“S n ＝A －Aq n ”,故数列{a 2n －1＋a 2n }是等比数列,且公比为2,再由“数列{a n a n ＋1}为等比数列”知a n ＋2a n为同一个常数,即数列{a n }中奇数项和偶数项都是等比数列,且公比相同,不妨设为q ,则有a 2n ＋1a 2n －1＝a 2n ＋2a 2n ＝q ,即a 2n ＋1＋a 2n ＋2a 2n －1＋a 2n ＝q ,故q ＝2.5、(2016南京、盐城、连云港、徐州二模）已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且对任意正整数n 都有a n ＝(－1)n S n ＋p n (p 为常数,p ≠0)．(1) 求p 的值；(2) 求数列{a n }的通项公式；(3) 设集合A n ＝{a 2n －1,a 2n },且b n ,c n ∈A n ,记数列{nb n },{nc n }的前n 项和分别为P n ,Q n .若b 1≠c 1,求证：对任意n ∈N *,P n ≠Q n .规范解答 (1) 由a 1＝－S 1＋p ,得a 1＝p2.(2分)由a 2＝S 2＋p 2,得a 1＝－p 2,所以p2＝－p 2.又p ≠0,所以p ＝－12.(3分)(2)由a n ＝(－1)n S n ＋⎝⎛⎭⎫－12n ,得⎩⎨⎧a n＝(－1)n S n＋⎝⎛⎭⎫－12n， ①a n ＋1＝－(－1)nS n ＋1＋⎝⎛⎭⎫－12n ＋1， ②①＋②得a n ＋a n ＋1＝(－1)n (－a n ＋1)＋12×⎝⎛⎭⎫－12n .(5分) 当n 为奇数时,a n ＋a n ＋1＝a n ＋1－12×⎝⎛⎭⎫12n,所以a n ＝－⎝⎛⎭⎫12n ＋1.(7分)当n 为偶数时,a n ＋a n ＋1＝－a n ＋1＋12×⎝⎛⎭⎫12n ,所以a n ＝－2a n ＋1＋12×⎝⎛⎭⎫12n ＝2×⎝⎛⎭⎫12n ＋2＋12×⎝⎛⎭⎫12n ＝⎝⎛⎭⎫12n , 所以a n＝⎩⎨⎧－12n ＋1，n 为奇数， n ∈N *，12n， n 为偶数，n ∈N *.(9分)(3)A n ＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫－14n ，14n ,由于b 1≠c 1,则b 1 与c 1一正一负,不妨设b 1＞0,则b 1＝14,c 1＝－14.则P n ＝b 1＋2b 2＋3b 3＋…＋nb n ≥14－⎝⎛⎭⎫242＋343＋…＋n 4n .(12分) 设S ＝242＋343＋…＋n 4n ,则14S ＝243＋…＋n －14n ＋n4n ＋1,两式相减得34S ＝242＋143＋…＋14n －n 4n ＋1＝116＋116×1－⎝⎛⎭⎫14n －11－14－n 4n ＋1＝748－112×14n －1－n 4n ＋1＜748. 所以S ＜748×43＝736,所以P n ≥14－⎝⎛⎭⎫242＋343＋…＋n 4n ＞14－736＝118＞0.(14分) 因为Q n ＝ c 1＋2 c 2＋3 c 3＋…＋n c n ≤－14＋S ＜－14＋736＝－118＜0,所以P n ≠Q n .(16分)解题反思 作为压轴题,第(1)小题的分数是较容易得到的；第(2)小题中的主要难点在于对正整数n 的奇偶性进行讨论,特别在求n 为偶数时数列{a n }的通项公式,注意利用n ＋1为奇数时数列a n ＋1的通项公式求解；第(3)小题在思维层面上的难度大,理解题意后还需用错位相减法求和,这也是在数列求和中较容易出错的题型,所以请考生在二轮复习备考中不仅要注重思维提升,而且不能忽视基本数学思想方法以及基本数学运算．6、(2015扬州期末）已知数列{a n }中,a 1＝1,a 2＝a ,且a n ＋1＝k (a n ＋a n ＋2)对任意正整数都成立,数列{a n }的前n 项和为S n .(1) 若k ＝12,且S 2 015＝2 015a ,求a 的值．(2) 是否存在实数k ,使数列{a n }是公比不为1的等比数列,且对任意相邻三项a m ,a m ＋1,a m ＋2按某顺序排列后成等差数列？若存在,求出所有k 的值；若不存在,请说明理由．(3) 若k ＝－12,求S n .思路分析 (1) 当k ＝12时,由等差中项法可得数列为等差数列,根据等差数列的前n 项和公式,得到一个关于a 的方程,可求出a 的值．(2) 假设存在这样的k ,这样根据{a n }是等比数列,就可得a m ,a m ＋1,a m ＋2,然后进行排序,从而分类讨论来解决问题．(3) 当k ＝－12时,由a n ＋1＝－12(a n ＋a n ＋2)可得a n ＋2＋a n ＋1＝－(a n ＋1＋a n )＝a n ＋a n－1,从而构造数列{b n },其中b n ＝a n ＋a n ＋1(n 为偶数时)(或b n ＝a n ＋1＋a n ＋2(n 为奇数时),则该数列就是一个常数列,从而求出S n .规范解答 (1) 当k ＝12时,a n ＋1＝12(a n ＋a n ＋2),a n ＋2－a n ＋1＝a n ＋1－a n ,所以数列{a n }是等差数列,(2分)此时首项a 1＝1,公差d ＝a 2－a 1＝a －1,数列{a n }的前2 015项和是S 2 015＝2 015＋12×2 015(2 015－1)(a －1)＝2 015a ,解得a ＝1.(4分)(2) 设数列{a n }是等比数列,则它的公比q ＝a 2a 1＝a ,所以a m ＝a m －1,a m ＋1＝a m ,a m ＋2＝a m ＋1.(6分)①若a m ＋1为等差中项,则2a m ＋1＝a m ＋a m ＋2,即2a m ＝a m －1＋a m ＋1,解得a ＝1,不合题意；②若a m 为等差中项,则2a m ＝a m ＋1＋a m ＋2,即2a m －1＝a m ＋a m ＋1,化简得a 2＋a －2＝0,解得a ＝－2(舍去a ＝1),所以k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a 2＝－25； ③若a m ＋2为等差中项,则2a m ＋2＝a m ＋1＋a m ,即2a m ＋1＝a m ＋a m －1,化简得2a 2－a －1＝0,解得a ＝－12(舍去a＝1),所以k ＝a m ＋1a m ＋a m ＋2＝a m a m －1＋a m ＋1＝a 1＋a2＝－25.(9分) 综上,满足要求的实数k 有且仅有一个,k ＝－25.(10分)(3) k ＝－12,则a n ＋1＝－12(a n ＋a n ＋2),a n ＋2＋a n ＋1＝－(a n ＋1＋a n ),a n ＋3＋a n ＋2＝－(a n ＋2＋a n ＋1)＝a n ＋1＋a n .(12分) 当n 是偶数时,S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1＋a n ＝(a 1＋a 2)＋(a 3＋a 4)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝n2(a 1＋a 2) ＝n2(a ＋1)； 当n 是奇数时,S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋…＋a n －1＋a n ＝a 1＋(a 2＋a 3)＋(a 4＋a 5)＋…＋(a n －1＋a n ) ＝a 1＋n －12(a 2＋a 3)＝a 1＋n －12[－(a 1＋a 2)]＝1－n －12(a ＋1)．当n ＝1也适合上式．(15分)综上所述,S n＝⎩⎨⎧1－n －12(a ＋1)，n 是奇数，n2(a ＋1)， n 是偶数.(16分)解后反思 考查等差数列与等比数列的相关知识、或将数列转化为等差(等比)数列来加以研究,是江苏高考对数列知识考查的最为典型的形式．本题就具有这样的特征,体现了高考命题的特点．。