复数知识点精心总结

复数知识点
考试内容：
复数的概念．
复数的加法和减法．
复数的乘法和除法．
数系的扩充．
考试要求：
（1）了解复数的有关概念及复数的代数表示和几何意义．
（2）掌握复数代数形式的运算法则，能进行复数代数形式的加法、减法、乘法、除法运算．
（3）了解从自然数系到复数系的关系及扩充的基本思想．
1. ⑴复数的单位为i ，它的平方等于－1，即1i 2-=.
⑵复数及其相关概念：
① 复数—形如a + b i 的数（其中R b a ∈，）；
② 实数—当b = 0时的复数a + b i ，即a ；
③ 虚数—当0≠b 时的复数a + b i ；
④ 纯虚数—当a = 0且0≠b 时的复数a + b i ，即b i.
⑤ 复数a + b i 的实部与虚部—a 叫做复数的实部，b 叫做虚部（注意a ，b 都是实数） ⑥ 复数集C —全体复数的集合，一般用字母C 表示.
⑶两个复数相等的定义：
00==⇔=+∈==⇔+=+b a bi a R d c b a d b c a di c bi a ）特别地，，，，（其中，且.
⑷两个复数，如果不全是实数，就不能比较大小.
注：①若21,z z 为复数，则ο1若021φz z +，则21z z -φ.（×）[21,z z 为复数，而不是实数] ο2若21z z π，则021πz z -.（√）
②若C c b a ∈,,，则0)()()(222=-+-+-a c c b b a 是c b a ==的必要不充分条件.（当22)(i b a =-，
0)(,1)(22=-=-a c c b 时，上式成立）
2. ⑴复平面内的两点间距离公式：21z z d -=.
其中21z z ，是复平面内的两点21z z 和所对应的复数，21z z d 和表示间的距离.
由上可得：复平面内以0z 为圆心，r 为半径的圆的复数方程：）（00φr r z z =-.
⑵曲线方程的复数形式： ①00z r z z 表示以=-为圆心，r 为半径的圆的方程.
②21z z z z -=-表示线段21z z 的垂直平分线的方程. ③212121202Z Z z z a a a z z z z ，）表示以且（φφ=-+-为焦点，长半轴长为a 的椭圆的方程（若212z z a =，此方程表示线段21Z Z ，）.
④），（2121202z z a a z z z z ππ=---表示以21Z Z ，为焦点，实半轴长为a 的双曲线方程（若212z z a =，此方程表示两条射线）.
⑶绝对值不等式：
设21z z ，是不等于零的复数，则
①212121z z z z z z +≤+≤-.
左边取等号的条件是），且（012πλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是
）
，（012φλλλR z z ∈=. ②212121z z z z z z +≤-≤-.
左边取等号的条件是），（012φλλλR z z ∈=，右边取等号的条件是），（012πλλλR z z ∈=. 注：n n n A A A A A A A A A A 11433221=++++-Λ.
3. 共轭复数的性质：
z z = 2121z z z z +=+
a z z 2=+，i 2
b z z =-（=z a + b i ） 22||||z z z z ==⋅
2121z z z z -=- 2121z z z z ⋅=⋅
2121z z z z =⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛（02≠z ） n n z z )(= 注：两个共轭复数之差是纯虚数. （×）[之差可能为零，此时两个复数是相等的] 4 ⑴①复数的乘方：)(...+∈⋅⋅=N n z z z z z n
n 43421
②对任何z ，21,z z C ∈及+∈N n m ,有
③n n n n m n m n m n m z z z z z z z z z 2121)(,)(,⋅=⋅==⋅⋅+
注：①以上结论不能拓展到分数指数幂的形式，否则会得到荒谬的结果，如1,142=-=i i 若由11)(2121
42===i i 就会得到11=-的错误结论.
②在实数集成立的2||x x =. 当x 为虚数时，2||x x ≠，所以复数集内解方程不能采用两边平
方法.
⑵常用的结论：
1,,1,,143424142=-=-==-=+++n n n n i i i i i i i
)(,0321Z n i i i i n n n n ∈=++++++
i i i i i i i i -=+-=-+±=±11,11,
2)1(2 若ω是1
的立方虚数根，即i 2321±-=ω，则 . 5. ⑴复数z 是实数及纯虚数的充要条件：
①z z R z =⇔∈.
②若0≠z ，z 是纯虚数0=+⇔z z .
⑵模相等且方向相同的向量，不管它的起点在哪里，都认为是相等的，而相等的向量表示同一复数. 特例：零向量的方向是任意的，其模为零.
注：||||z z =.
6. ⑴复数的三角形式：)sin (cos θθi r z +=.
辐角主值：θ适合于0≤θ＜π2的值，记作z arg .
注：①z 为零时，z arg 可取)2,0[π内任意值.
②辐角是多值的，都相差2π的整数倍.
③设,+∈R a 则πππ2
3)arg(,2arg ,)arg(,0arg =-=
=-=ai ai a a . ⑵复数的代数形式与三角形式的互化：
)sin (cos θθi r bi a +=+，22b a r +=，r b r a ==θθsin ,cos . ⑶几类三角式的标准形式：
)]sin()[cos()sin (cos θθθϑ-+-=-i r i r
)]sin()[cos()sin (cos θπθπθθ+++=+-i r i r
)]sin()[cos()sin cos (θπθπθθ-+-=+-i r i r
)]2sin()2[cos()cos (sin θπ
θπ
θθ-+-=+i r i r
7. 复数集中解一元二次方程：
在复数集内解关于x 的一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 时，应注意下述问题： ①当R c b a ∈,,时，若∆＞0，则有二不等实数根a b x 22,1∆±-=
；若∆=0，则有二相等实数根a
b x 22,1-=；若∆＜0，则有二相等复数根a i b x 2||2,1∆±-=（2,1x 为共轭复数）. )(0,01,1,,121223Z n n n n ∈=++=++===++ωωωωωω
ωωωω
②当c b a ,,不全为实数时，不能用∆方程根的情况.
③不论c b a ,,为何复数，都可用求根公式求根，并且韦达定理也成立.
8. 复数的三角形式运算：
)]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 212121222211θθθθθθθθ+++=+⋅+i r r i r i r )]sin()[cos()sin (cos )sin (cos 21212
1222211θθθθθθθθ-+-=++i r r i r i r 棣莫弗定理：)sin (cos )]sin (cos [θθθθn i n r i r n n +=+。