最新人教版高中数学必修1第三章《函数的应用(Ⅰ)》

2.3 函数的应用(Ⅰ)
1．直线型的函数模型
我们学过的正比例函数、一次函数等都是直线型的，它们在每个区间的变化率都一样． 解题时常设为：常数函数型：y ＝C (C ∈R ，C 为常数)，正比例型：y ＝kx (k ≠0)，一次函数型：y ＝kx ＋b (k ≠0)．
当k ＞0时后两者都是增长型函数，k 的值越大增速越快．
如果一个问题中有两个变量，且这两个变量之间存在一次函数关系，则可以用一次函数模型来解决．
【例1】据调查，某自行车存车处在某星期日的存车量为2 000辆次，其中变速车存车费是每辆一次0.8元，普通车存车费是每辆一次0.5元．若普通车存车量为x 辆次，存车费总收入为y 元，则y 关于x 的函数关系式是( )
A ．y ＝0.3x ＋800(0≤x ≤2 000)
B ．y ＝0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)
C ．y ＝－0.3x ＋800(0≤x ≤2 000)
D ．y ＝－0.3x ＋1 600(0≤x ≤2 000)
解析：由题意可知总收入y (元)关于x (辆次)的函数关系式为y ＝0.5x ＋(2 000－x )×0.8＝－0.3x ＋1 600,0≤x ≤2 000.
答案：D
2．二次函数模型的建立
投物、射击、喷泉、灌溉等相应物体运动的轨迹有某种规律，或者变量的变化具有二次函数关系时，可以通过直角坐标系由实际问题建立抛物线的数学模型，利用图象的性质解答．
【例2】某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为8 m ，两侧距地面3 m 高处各有一个壁灯，两壁灯之间的水平距离为6 m ，如图所示，则厂门的高为(水泥建筑物厚度忽略不计，精确到0.1 m)( )
A ．6.9 m
B ．7.0 m
C ．7.1 m
D ．6.8 m
解析：可建立坐标系，设出抛物线的解析式为y ＝a (x 2－16)(a ＜0)．又点(3,3)在抛物线上，∴3＝a (9－16)．∴3=7a -.∴23=(16)7y x --．令x ＝0，得48= 6.97
y ≈. 答案：A
3．分段函数模型的建立
有些实际问题，在事物的某个阶段对应的变化规律不尽相同，此时我们可以选择利用分段函数模型来刻画它，由于分段函数在不同的区间中具有不同的解析式，因此分段函数在研究条件变化的实际问题中，或者在某一特定条件下的实际问题中具有广泛的应用．
【例3】已知A ，B 两地相距150 km.某人开汽车以每小时60 km 的速度从A 地到达B 地，在B 地停留1 h 后再以每小时50 km 的速度返回A 地．把汽车离开A 地的距离x 表示为时间t 的函数表达式是( )
A ．x ＝60t
B ．x ＝60t ＋50t
C ．60,0 2.5,=15050,2.5 3.5
t t x t t ≤≤⎧⎨-<≤⎩ D ．60,=150,15050( 3.5),t x t ⎧⎪⎨⎪--⎩
0 2.5,2.5 3.5,3.5 6.5t t t ≤≤<≤<≤
解析：如图，汽车离开A 地的距离x (km)与时间t (h)之间的关系式是
60,=150,15050( 3.5),t x t ⎧⎪⎨⎪--⎩
0 2.5,2.5 3.5,3.5 6.5.t t t ≤≤<≤<≤
答案：D
析规律 对分段函数模型的理解
在现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，分段函数每一段自变量变化所遵循的规律不同．在应用时，可先将其当做几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起．还要注意各段变量的范围，特别是端点值．
4．一次函数模型的应用
在实际生活中，普遍存在着最优化问题——最佳投资，最小成本等，这些常常可归结为函数的最值问题．对于与一次函数有关的最值问题通常借助于一次函数的单调性来处理．
例如：某电脑公司在甲、乙两地各有一个分公司，甲分公司现有电脑6台，乙分公司有同一型号的电脑12台．现A 地某单位向该公司购买该型号的电脑10台，B 地某单位向该公司购买该型号的电脑8台．已知甲地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是40元和30元，乙地运往A ，B 两地每台电脑的运费分别是80元和50元．
(1)设甲地调运x 台至B 地，该公司运往A 和B 两地的总运费为y 元，求y 关于x 的函数关系式；
(2)若总运费不超过1 000元，问能有几种调运方案？
解：(1)设甲地调运x 台到B 地，则剩下(6－x )台电脑调运到A 地；乙地应调运(8－x )台电脑至B 地，运往A 地10－(6－x )＝(x ＋4)台电脑(0≤x ≤6，x ∈N )，
则总运费y ＝30x ＋40(6－x )＋50(8－x )＋80(x ＋4)＝20x ＋960，
∴y ＝20x ＋960(x ∈N ，且0≤x ≤6)．
(2)若使y ≤1 000，即20x ＋960≤1 000，得x ≤2.又0≤x ≤6，x ∈N ，
∴0≤x ≤2，x ∈N .
∴x ＝0,1,2，即能有3种调运方案．
【例4－1】某市原来民用电价为0.52元/kW·h.换装分时电表后，峰时段(早上八点到晚上九点)的电价为0.55元/kW·h ，谷时段(晚上九点到次日早上八点)的电价为0.35元/kW·h.对于一个平均每月用电量为200 kW·h 的家庭，要使节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为多少kW·h?
分析：先求出原来用电的费用，再设出峰时段的用电量建立不等式求解．
解：原来电费y 1＝0.52×200＝104(元)．
设峰时段用电量为x kW·h ，电费为y ，谷时段用电量为(200－x ) kW·h.则y ＝x ×0.55＋
(200－x )×0.35≤(1－10%)y 1，
即0.55x ＋70－0.35x ≤93.6，则0.2x ≤23.6.所以x ≤118，
即这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为118 kW·h.
【例4－2】一家报刊推销员从报社买进报纸的价格是每份0.20元，卖出的价格是每份0.30元，卖不完的还可以以每份0.08元的价格退回报社．在一个月(以30天计算)内有20天每天可卖出400份，其余10天每天只能卖出250份，但每天从报社买进报纸的份数都相同，问应该从报社买多少份才能使每月所获得的利润最大？并计算每月最多能赚多少钱？
分析：本题所给条件较多，数量关系比较复杂，可以列表分析．设每天从报社买进x 份(250≤x ≤400
解：则y ＝[(6x ＋750)＋(0.8x －200)]－6x
＝0.8x ＋550(250≤x ≤400，x ∈N ＋)．
∵y 在x ∈[250,400]上是一次函数，
∴当x ＝400时，y 取得最大值870，
即每天从报社买进400份时，每月获得的利润最大，最大利润为870元．
5．二次函数模型的应用
在实际生活中，有很多最优化问题可以通过建立二次函数模型，并借助于二次函数的图象和性质加以解决，其解题的关键是列出二次函数解析式，转化为求二次函数的最值问题．例如：
某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元．销根据题表，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶．设在进价基础上增加x 元后，日均销售利润为y 元，而在此情况下的日均销售量就为：480－40(x －1)＝520－40x (桶)．由
于x ＞0，且520－40x ＞0，即0＜x ＜13，于是可得y ＝(520－40x )·x －200＝－40x 2＋520x －
200＝－40(x －6.5)2＋1 490(0＜x ＜13)．易知，当x ＝6.5时，y 有最大值．所以，只需将销售
单价定为11.5元，就可获得最大的利润，最大利润为1 490元．
【例5】某军工企业生产一种精密电子仪器的固定成本为20 000元，每生产一台仪器需增加投入100元，已知总收益满足函数：
()21400,0400,=280000,400,
x x x R x x ⎧-≤≤⎪⎨⎪>⎩ 其中x 是仪器的月产量．
(1)将利润表示为月产量的函数．
(2)当月产量为何值时，公司所获利润最大？最大利润是多少元？(总收益＝总成本＋利润)
分析：(1)由于总收益＝总成本＋利润，则利润＝总收益－总成本，总收益是R (x )，总成本＝固定成本＋可变成本＝20 000＋100x ，因此利润＝R (x )－(20 000＋100x )；(2)由于R (x )是分段函数，则利润关于月产量也是分段函数，求出各“段”上的最大值，在最大值中取最大的一个值就是最大利润．
解：(1)设月产量为x 台，则总成本为20 000＋100x ，从而利润
2130020000,0400,()=260000100,400.
x x x f x x x ⎧-+-≤≤⎪⎨⎪->⎩
(2)当0≤x ≤400时，f (x )＝－12
(x －300)2＋25 000，所以当x ＝300时，有最大值25 000；当x ＞400时，f (x )＝60 000－100x 是减函数，
所以f (x )＜60 000－100×400＝20 000＜25 000.所以当x ＝300时，有最大值25 000，即当月产量为300台时，公司所获利润最大，最大利润是25 000元．
点技巧 准确建立函数模型的方法
分析明确题目条件及解题目标，并围绕解题目标寻找数量关系是解应用题建立函数模型的重要方法．。