2011年中考数学创新思维训练(三)

2011年中考数学创新思维训练（三）
一、填空题（每小题3分，共15分） 1、EFGH 是矩形
ABCD 的内接矩形，且1:3:=FG EF ，1:2:=BC AB ，则=HE AH :
2、某市初三年级举行以班为单位的基层数学团体赛，在各校预赛的基础上，每校选派一个班级中25名同学参加决赛，实验初中三（2）班、三（6）班为该校的候选班级，他们预赛的成绩如下：
得分 50 60 70 80 90 100 人数
三（2） 4 5 10 8 14 9 三（6）
4
4
16
2
12
12
已经算得两个班的平均分都是80分
①利用你学的统计知识，比较 班的实力更均衡些． ②你认为应派 班的25名同学参加决赛． 3、数轴上表示1、
2的对应点分别为A 、B ，点B 关于点A 的对称点C 所示的数是
4、在平面直角坐标系中，直线k x y +-=与双曲线x
y 1=只有一个交点，则k 的值为
5、如图，圆木的横截面圆半径均为r ，则将这七根圆木用绳子扎住，每周所需绳子的长度为 二、（共7分）
如图，AM 是⊙O 的直径，AM BC ⊥，垂足为N ，CD 是弦，交AM 和AB
于点E 、F ．
①如果NM EN
=，求证：AB CD ⊥．
②如果弦CD 交AB 于点F ，且AB CD
=，求证：ED EF CE ⋅=2．
三、（共8分）
已知关于x 的方程0127)1(222
=+--+-+b a a x a x
有两个相等的实数根，且满足02=-b a ．
①利用根与系数的关系判断这两根的正负情况． ②若将127)1(222+--+-+=b a a x a x y 图象沿对称轴向下移动3个单位，
写出顶点坐标和对称轴方程．
A
B
C
D E F
M
N O
四、（11分） 如图所示，52=AB ，2tan =∠ABC ，5
3
cos =
∠ACB ①求过
A 、
B 、
C 三点的二次函数解析式．
②若D 是AB 的中点，试判断点D 在这条二次函数的图象上吗？并说明理由． ③若y 随x 的增大而减小，求x 的取值范围．
五、（9分）
正方形ABCD 中，有一直径为BC 的半圆，cm BC 2=，现有两点E 、F ，分别从点B 、点A 同时出发，点E 沿线段BA 以s cm /1的速度向点A 运动，点F 沿折线C D A --以s cm /2的速度向点C 运动，设点E 离开B 的
时间为t 秒
①当t 为何值时，线段EF 与BC 平行？
②设21<<t ，当t 为何值时，EF 与半圆相切？
③当21<≤t 时，设EF 与AC 相交于点P ，问点E 、F 运动时，点P 的位置是否发生变化？若变化，请说明理
由；若不发生变化，请给予证明，并求PC AP ⋅的值．
A B
C
D
E
F
P
A B
C
D
E
F
A B
C
D E
F
A
B
C
O
3，参考答案
一、1、1:5；2、①二班②六班；3、22-；4、2±=k ；5、r r π212+
二、证明：①连结BM ，
∵AM 是⊙O 的直径，∴︒=∠90ABM
∵AM BC ⊥，∴CN BN =，BNM ENC ∠=∠ 又NM EN =，∴Rt △CEN ≌Rt △BMN ∴ECB MBC ∠=∠
又∵AM BC ⊥，∴MC BM =，∴MBC A ∠=∠ ∴EBC A ∠=∠ 又AEF NEC ∠=∠ 在△AEF 和△CNE 中 ︒=∠=∠90AFE ENC 即AB CD ⊥
②连结BD 、BE 、AC
∵点E 是BC 垂直平分线AM 上一点，∴EC BE = ∵AB CD =
∴AB CD =，∴BC AD =，∴BDC ACD ∠=∠
又
AE AE AC AB ==,
∴△ABC ≌△ACE
∴BDC ACD ABE ∠=∠=∠
BED ∠是公共角
∴△BED ∽△FEB ，
∴ED EF BE ⋅=2
∴ED EF CE
⋅=2
三、①解：由0)127(4)3(422=+----=∆
b a a a
得03=
-+b a ，又02=-b a 得
2,1==b a
设这个方程的解为1x 、2x 则
04)3(221>=--=+a x x
∴ 1x 、2x 均为正根
② ∵ 2,1==b a
∴ 127)1(222+--+-+=b a a x a x y 可化为：
442+-=x x y ，将此图象向下移动2个单位，得
3)2(2--=x y
顶点)3,2(-，对称轴为2=x
四、解：①
)4,0(A ，)0,2(-B ，)0,3(C ∴
43
2
322++-=x x y
②∵D 是AB
的中点，∴)2,1(-D
∵4)1(3
2
)1(322
2+-⨯+-⨯-≠
∴点D 一在这条二次函数的图象上
③∵
625)21(322+--=x y ，032<-=a 开口向下
∴当2
1
>x 时，y 随x 的增大而减小
五、解：①点E 离开点B t 秒，t BE =，t CF 24-=
要使EF 与BC 平行，则应CF BE =
∴t t 24-=，得3
4
=t
②EF 与半圆相切，作AB FG ⊥于G
在Rt △EFG 中，∵2.22
EF FG EG =+
∴222)24(2)43(t t t
-+=+-
∴2
22+=
t （秒）
③当21<≤t 时，点P 的位置不会发生变化
证明：E 、F 出发t 秒时，t BE = t AE -=2，t CF 24-= ∴
2
1
2442=--=t CF AE 又∵CD AB //,∴△AEP ∽△CFP ∴
2
1
==CF AF PC AP 因此，当21<≤t 时，点P 的位置与t 的取值无关，点P 的位置不会发生变化。