【高中数学过关练习】过关练12 求函数的解析式

过关练12 求函数的解析式一、单选题1．（2022·全国·高一课时练习）已知2211f x x x x ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭，则函数()2f 的值为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．6【解析】2221112f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+=-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()22f x x ∴=+()22226f ∴=+=. 故选：D.2．（2022·全国·高一课时练习）已知()22143f x x +=+，则()f x =（ ）．A ．224x x -+B ．22x x +C ．221x x --D ．223x x ++【解析】因为()()()222143212214f x x x x +=+=+-++，所以()224f x x x =-+．故选：A3．（2022·陕西·宝鸡市渭滨区教研室高一期末）已知函数2(1)21f x x x +=++，那么(1)f x -=（ ） A ．2x B ．21x + C ．221x x -+D ．221x x --【解析】令11t x x t =+⇒=-，则22()(1)2(1)1f t t t t =-+-+=，22(1)(1)21f x x x x -=-=-+. 故选：C.4．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 为一次函数，且()()3751f f ==-，，则()1f =（ ） A ．15B ．15-C ．9D ．9-【解析】设()f x kx b =+，则3751k b k b +=⎧⎨+=-⎩，解得419k b =-⎧⎨=⎩，()419f x x ∴=-+，()141915f ∴=-+=．故选：A5．（2022·全国·高一专题练习）某学校对教室采用药熏消毒，已知药物燃烧时，室内每立方米空气中的含药量y （毫克）与时间x （分钟）成正比例，药物燃烧完后，y 与x 成反比例（如图），现测得药物10分钟燃毕，此时室内空气中每立方米含药量为8毫克．研究表明，当空气中每立方米的含药量不低于4毫克才有效，那么此次消毒的有效时间是（ ）A ．11分钟B ．12分钟C ．15分钟D ．20分钟【解析】当010x ≤≤时，设y kx =， 将点(10,8)代入y kx =得：108k =，解得45k =， 则此时45y x =， 当10x >时，设a y x=， 将点(10,8)代入ay x=得：10880a =⨯=， 则此时80y x=， 综上，()4010580(10)x x y x x⎧≤≤⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，当010x ≤≤时，445x =，解得5x =，当10x >时，804x=，解得20x ，则当4y ≥时，520x ≤≤，所以此次消毒的有效时间是20515-=（分钟）， 故选：C ．6．（2022·全国·高一课时练习）若函数2112f x x x x ⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭，且()4f m =，则实数m 的值为（ ）A 6B 6或6-C ．6-D ．3【解析】令1x t x +=（2t ≥或2t ≤-），22221122x x t x x ⎛⎫+=+-=- ⎪⎝⎭，()22f t t ∴=-，()224f m m =-=，6m ∴=故选；B7．（2022·全国·高一专题练习）已知)2fx x =，则有（ ）A ．()()2(2)0f x x x =-≥B ．2()(2)(2)f x x x =-≥C ．()()2(2)0f x x x =+≥D ．()()2(2)2f x x x =+≥ 2x t =，2t ≥，则()22x t =-，()2(2)f t t ∴=-，2t ≥，所以函数()f x 的解析式为()2(2)f x x =-，()2x ≥．故选：B.8．（2022·全国·高一课时练习）已知函数)222f x x x =+，则()f x 的最小值是（ ）A ．1-B ．2C ．1D ．02x t =，则2t ≥，且()22x t =-， 所以()()()22222222f t t t t t =-+-+=-+，()2t ≥所以()()2222(1)12f x x x x x =-+=-+≥，当2x =时，()()22min f x f ==. 故选：B9．（2022·全国·高一课时练习）已知定义域为R 的函数()f x 满足()()13f x f x +=，且当(]0,1x ∈时，()()41f x x x =-，则当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是（ ）A ．181-B ．127-C ．19-D ．13-【解析】由题意得，()10f =，又()()0130f f +=， ∴()00f =，()()()()()1111221111003399f f f f f -=-+=-=-+==. ∵()2,1x ∈--，∴()20,1x +∈，∴()()()()()21144311221399929f x f x f x x x x ⎛⎫=+=+=++=+- ⎪⎝⎭，故当32x =-时，()f x 取得最小值19-.综上，当[)2,1x ∈--时，()f x 的最小值是19-.故选:C.二、多选题10．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 是一次函数，满足()41f f x x =-⎡⎤⎣⎦，则()f x 的解析式可能是（ ） A ．()123f x x =-B ．()21f x x =--C ．()223f x x =+D ．()21f x x =-+【解析】设()f x kx b =+(0k ≠)，则2[()]()()f f x k f x b k kx b b k x kb b =⋅+=⋅++=++，∴241k kb b ⎧=⎨+=-⎩，解得213k b =⎧⎪⎨=-⎪⎩或21k b =-⎧⎨=⎩， ∴()123f x x =-或()21f x x =-+.故选：AD.11．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一阶段练习）已知()221f x x +=，则下列结论正确的是（ ） A ．()34f -=B ．()2214x x f x -+=C ．()2f x x =D ．()39f = 【解析】由()221f x x +=，令21x t +=，可得12t x -=， 可得：()222(1)2124t t t f t --+==，即：()2214x x f x -+=，故C 不正确，B 正确；可得：()2(31)344f ---==，故A 正确；()2(31)314f -==故D 不正确； 故选：AB.三、填空题12．（2022·黑龙江·大庆外国语学校高一期末）若()1fx x x =，则()3f =_____．11x t =≥1x t =-所以()()2211f t t t t t =-+-=-，即()2f x x x =-，()1x ≥，()23336f =-=.故答案为：613．（2022·全国·高一专题练习）若()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，则()f x =______．【解析】由()1324f x f x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭①，将x 用1x 代替得()1432ff x x x ⎛⎫+= ⎪⎝⎭②，由①②得()12855x f x x-=. 故答案为：12855x x-. 14．（2022·全国·高一单元测试）已知()123f f x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，()0x ≠，则()f x 的解析式为________．【解析】由题知，()132f x f x x ⎛⎫-+=- ⎪⎝⎭，①；又()123f f x x x ⎛⎫+-= ⎪⎝⎭，②； 由①2-⨯②得，1()2f x x x-=+， 则()12f x x x=--， 故答案为：12x x--15．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()f x 满足()2()23f x f x x +-=+，则()f x =___________.【解析】因为()2()23f x f x x +-=+①， 所以()2()2()3f x f x x -+=⋅-+②， ②2⨯-①得，()21f x x =-+． 故答案为：21x -+．16．（2022·全国·高一课时练习）已知函数()f x 满足对任意非零实数x ，均有()()()21122f f x f x x =+-，则()f x 在()0,∞+上的最小值为______. 【解析】对任意非零实数x ，均有()()()21122f f x f x x =+-，∴()()()211122f f f =+-，解得：()21f =， ∴()()()2122142f f f =+-，解得：()518f =，∴()511511518228222f x x x x x =+-≥⨯=，当且仅当5182x x =时，即25x =成立. 512.四、解答题(共0分)17．（2022·全国·高一专题练习）已知函数()y f x =是一次函数，且()()23159f x f x x ++=-+，求()f x 的表达式．【解析】由题意，设一次函数的解析式为()f x kx b =+，因为()()23159f x f x x ++=-+，可得2(31)59kx b k x b x ++++=-+，整理得5259kx k b x ++=-+，即5529k k b =-⎧⎨+=⎩，解得1,5k b =-=，所以函数的表达式为()5f x x =-+. 18．（2022·全国·高一课时练习）已知函数)221=+gx x x .求函数()g x 的解析式；【解析】设2t x =，则2t ≥2x t =-， 所以22()(2)2(2)121g t t t t t =-+-+=-+， 所以2()21g x x x =-+，2x ≥．19．（2022·全国·高一课时练习）在①2(23)46f x x x -=-，②2()2()33f x f x x x +-=-，③对任意实数x ，y ，均有()2()f x y f y +=22233x xy y x y ++-+-这三个条件中任选一个，补充在下面问题中并解答.已知函数()f x 满足_________，求()f x 的解析式.注：如果选择多个条件解答，按第一个解答计分. 【解析】选①，令23t x =-，则32t x +=. 因为2(23)46f x x x -=-，所以233()4622t t f t ++⎛⎫=⨯-⨯⎪⎝⎭26939t t t =++--23t t =+ 即2(3)f x x x =+.选②，因为2()2()33f x f x x x +-=-，（1） 所以22()2()3()3()33f x f x x x x x -+=---=+.（2） （2）2⨯-（1）得23()39f x x x =+， 即2(3)f x x x =+.选③，令0x y ==，则(0)2(0)f f =，即(0)0f =.令0y =，则22()2(0)33f x f x x x x =++=+，所以，2(3)f x x x =+20．（2022·湖南·长沙市雨花区教育科学研究所高一期末）已知函数()f x 满足()1f x x a ++，且()11f =． (1)求a 的值和函数()f x 的解析式；(2)判断()f x 在其定义域的单调性并加以证明．【解析】(1)由()1f x x a ++，得()1f x x a -+则()1111f a a -+=，得1a =， 所以()f x x =(2)函数()f x 的定义域为[)0,∞+，函数()f x 为定义域上的增函数，证明如下： 任取1x 、[)20,x ∈+∞且12x x <，所以210x x ->， 所以()()(21212121212121x x x x f x f x x x x x x x -=++因为210x x ->210x x >，所以()()210f x f x ->， 所以()f x 在其定义域为单调增函数21．（2022·全国·高一课时练习）在①()()121f x f x x +=+-，②()()11f x f x +=-，且()03f =，③()2f x ≥恒成立，且()03f =这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并作答.问题：已知二次函数()f x 的图像经过点（1，2），______. (1)求()f x 的解析式； (2)求()f x 在[)1,-+∞上的值域. 【解析】（1）选条件①.设()()20f x ax bx c a =++≠，则()()()()221112f x a x b x c ax a b x a b c +=++++=+++++.因为()()121f x f x x +=+-，所以()22221ax a b x a b c ax bx c x +++++=+++-，所以221a a b =⎧⎨+=-⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩.因为函数()f x 的图像经过点（1，2），所以()1122f a b c c =++=-+=，得3c =.故()223x x x f =-+.选条件②.设()()20f x ax bx c a =++≠，则函数()f x 图像的对称轴为直线2b x a=-. 由题意可得()()120312b a fc f a b c ⎧-=⎪⎪==⎨⎪=++=⎪⎩，解得123a b c =⎧⎪=-⎨⎪=⎩.故()223x x x f =-+.选条件③设()()20f x ax bx c a =++≠.因为()03f =，所以3c =.因为()()21f x f ≥=恒成立，所以()13212f a b b a⎧=++=⎪⎨-=⎪⎩，解得12a b =⎧⎨=-⎩，故()223x x x f =-+.（2）由（1）可知()()222312f x x x x =-+=-+.因为1x ≥-，所以()210x -≥， 所以()2122x -+≥.所以()f x 在[)1,-+∞上的值域为[)2,+∞.22．（2022·全国·高一课时练习）（1）已知()24fx x x =+()f x 的解析式；（2）已知()f x 是二次函数，且满足()01f =，()()12f x f x x +=+，求函数()f x 的解析式；（3）已知()()22f x f x x x +-=-，求函数()f x 的解析式；（4）已知()f x 的定义在R 上的函数，()01f =，且对任意的实数x ，y 都有()()()21f x y f x y x y -=--+，求函数()f x 的解析式．【解析】（1）方法一 设2t x =，则2t ≥2x t =-，即()22x t =-，所以()()()222424f t t t t =-+-=-，所以()24f x x =-（2x ≥）.方法二 因为)()2224fx x =-，所以()()242f x x x =-≥．（2）因为()f x 是二次函数，所以设()()20f x ax bx c a =++≠．由()01f =，得1c =．由()()12f x f x x +=+，得()()2211112++++=+++a x b x ax bx x ，整理得()()220a x a b -++=，所以2200a a b -=⎧⎨+=⎩，所以1,1,a b =⎧⎨=-⎩所以()21f x x x =-+．（3）因为()()22f x f x x x +-=-，① 所以()()22f x f x x x -+=+，② 2⨯-②①，得()233f x x x =+，所以()23x f x x =+．（4）方法一 令y x =，则()()()()0211f x y f f x x x x -==--+=，所以()21f x x x =++．方法二 令0x =，则()()()001f y f y y -=--+，即()21f y y y -=-+，令x y =-，则()21f x x x =++．23．（2022·全国·高一）甲同学家到乙同学家的途中有一公园，甲从家到公园的距离与乙从家到公园的距离都是2 km ，甲10时出发前往乙家．如图所示，表示甲从家出发到达乙家为止经过的路程y （km ）与时间x （分）的关系．试写出y ＝f （x ）的函数解析式．【解析】当x ∈[0，30]，设y ＝k 1x ＋b 1，由已知得1110,302,b k b =⎧⎨+=⎩ ∴k 1＝115，b 1＝0，y ＝115x ； 当x ∈（30，40）时，y ＝2； 当x ∈[40，60]时，设y ＝k 2x ＋b 2，由已知得2222402,604,k b k b +=⎧⎨+=⎩ ∴k 2＝110，b 2＝－2，y ＝110x －2. ∴f （x ）＝1,[0,30],152,(30,40),12,[40,60]10x x x x x ⎧∈⎪⎪∈⎨⎪⎪-∈⎩24．（2022·广东汕尾·高一期末）某城市2021年12月8日的空气质量指数（Air Quality Inex ，简称AQI ）y 与时间x （单位：小时）的关系()y f x =满足下图连续曲线，并测得当天AQI 的最大值为103．当[]0,14x ∈时，曲线是二次函数图象的一部分；当(]14,24x ∈时，曲线是函数()()log 13102a g x x =-+（0a >且1a ≠）图象的一部分，根据规定，空气质量指数AQI 的值大于或等于100时，空气就属于污染状态．(1)求函数()y f x =的解析式；(2)该城市2021年12月8日这一天哪个时间段的空气属于污染状态？并说明理由． 【解析】（1）当(]14,24x ∈时，()()log 13102a f x x =-+，将()15,101代入得12a =， ∵14x =时，()log 13102102a x -+=，∴由()y f x =的图象是一条连续曲线可知，点()14,102在()y f x =的图象上，当[]0,14x ∈时，设()()212103f x x λ=-+，将()14,102代入得14λ=-，∴()()()212112103,0144log 13102,1424x x f x x x ⎧--+≤≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩．（2）由题意可知，空气属于污染状态时()100f x ≥， ∴()20141121031004x x ≤≤⎧⎪⎨--+≥⎪⎩或()121424log 13102100x x <≤⎧⎪⎨-+≥⎪⎩， ∴122314x -≤或1417x <≤，∴122317x -≤，∴当天在122317x -≤这个时间段，该城市的空气处于污染状态．25．（2022·广东·化州市第三中学高一阶段练习）已知二次函数()f x 的图象过点()0,4，对任意x 满足()()3f x f x -=，且有最小值是74.（1）求()f x 的解析式；（2）在区间[1,3]-上，()y f x =的图象恒在函数2y x m =+的图象上方，试确定实数m 的取值范围.【解析】（1）由题知二次函数图象的对称轴为32x =，又最小值是74则可设()()237024f x a x a ⎛⎫=-+≠ ⎪⎝⎭ 又图象过点(0)4，， 则2370424a ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭，解得1a =， ∴()22373424f x x x x ⎛⎫=-+=-+ ⎪⎝⎭. （2）由已知，()2f x x m >+对[1,3]x ∈-恒成立， ∴254m x x <-+在[1,3]x ∈-恒成立，∴()()2min 5[]341,x m x x -∈-<+. ∵()254g x x x =-+在[1,3]x ∈-上的最小值为94-. ∴94m <-.。