第02章 解析函数-习题课
反三角、反双曲函数的定义
反正弦 Arcsin z iLn(iz 1 z 2 ) 反余弦 Arccos z iLn(z z 2 1) i 1 iz 反正切 Arc tan z Ln 2 1 iz
可导
可微
连续 极限存在 连续 极限存在
在区域上：
解析
可微
反之不成立！
二元函数偏导数存在且连续
二元函数可微
判别命题
设复变函数 w f ( z ) u( x , y ) iv( x , y )
u( x, y), v( x, y) 极限存在 连续 u( x , y ), v( x , y ) 连续 可微(可导) u( x , y ), v( x , y ) 可微
设函数 f ( z )在区域D内解析,且f '( z ) 0， 又反函数z f ( w ) ( w )存在且为连续，
1
1 1 则： '( z ) f '( z ) z ( w ) f '( ( w ))
极限、连续、可导、可微和解析关系
在一点处：
解析
可导
f (z) g( z )
'=
f '( z ) g ( z ) f ( z ) g '( z )
g ( z )
2
复合函数及反函数求导法则
设函数 f ( z )在区域D内解析，函数 w g( )在区域G内解析，又f ( D ) G ,
则复合函数w g( f ( z )) h( z )在内解析， 并且有: h '( z ) [ g( f ( z ))]' g '( f ( z )) f '( z )
• 定义及性质
• 根式函数单值化计算
指数函数的定义和性质
定义 : e e (cos y i sin y ).
z x
、定义域z C , 值域w C \ {0, }
、指数函数w e z 是周期为2 i的周期函数:
、指数函数在定义域内解析，且有: (e z )' e z 、 | e z | e x , Arge z y 2k ，k 0, 1, 2,
如果存在一个复数0 (0 )，使得 0， 0
对满足0 | z z0 | (0 )的一切z，都有 | f ( z ) 0 | ，
则称0为函数f ( z )当z趋于z0时的极限。
记作 lim f ( z ) 0或f ( z ) 0 (当z z0 ).
第二章 解析函数
1、重点和难点 2、内容总结 3、习题处理
1、重点与难点
重点： 1. 函数解析性的定义和判别； 2. 初等解析函数； 难点： 1. 解析函数的概念；
2. 多值函数单值化。
2、内容提要
它 们 之 间 的 关 系
极限 连续性
指数函数 三角函数 双曲函数
复变函数
解析函数
导数 微分
它们的关系 解析判别命题
[ f ( z ) g( z )]' =f '( z ) g( z ) f ( z ) g '( z )
f (z) g( z )
'=
f '( z ) g ( z ) f ( z ) g '( z )
g ( z )
2
复变函数解析的四则运算
如果f ( z )和g( z )在区域D上解析，则
同理可以定义其他双曲函数：
sinh z cosh z tanh z , coth z , cosh z sinh z 它们解析且
1 1 (tanh z )' , (coth z )' . 2 2 cosh z sinh z
对数函数等的定义和性质
定义 : w Lnz {ln | z | i arg z i 2k : k 0, 1...}
初等解析函数
对数函数
幂函数
单 值 函 数 的 定 义 和 性 质 多值函数的定义和单值化
第一部分 复变函数极限、连续、 可导、可微和解析
• 定义
• 性质及运算 • 它们之间的关系 • 判别命题 • 常见复变函数此类性质总结
复变函数极限定义
设函数w f ( z )在0 | z z0 | 内有定义。
u y
v x
u v 且f '( z )＝ i x x
解析的一个应用—求偏导数
f ( z ) u( x , y ) iv ( x , y ) 解析
u( x, y), v( x, y) 可微
且C-R方程成立
u v CR方程： , x y
解析f
'( z )＝ux iv x u( x, y ), v( x, y )可微
1 2 1 2
特别 : ln z=w0 ln | z | i arg z是主值分支
、lnz定义域z C \ {0, }, 值域w {- Im(ln z) } 、对数函数主值w lnz是单值函数, 非周期函数
1 、对数函数主值w lnz是解析函数, 且(ln z )' z
复变函数极限的四则运算
设 lim f ( z ) A, lim g( z ) B , 那末
z z0 z z0
(1) lim[ f ( z ) g( z )] A B;
z z0 z z0
(2) lim[ f ( z ) g( z )] AB; f (z) A (3) lim ( B 0). z z0 g ( z ) B
复变函数连续的四则运算
(1) 在 z0 连续的两个函数 f ( z ) 和 g( z ) 的和、差、 积、商 (分母在 z0 不为零) 在 z0处仍连续.
复合函数的连续性
(2) 如果函数 h g( z )在 z0 连续, 函数 w f ( h)在 h0 g( z0 ) 连续, 那末复合函数 w f [ g( z )] 在 z0 处 连续.
上页
下页
返回
复变函数解析的定义
如果f ( z )在z0 及z0的邻域内处处可导， 则称f ( z )在z0处解析；
我们也说f ( z )是D内的解析函数；
如果f ( z )在区域G内处处解析，而闭区域 D上每一点 都属于G , 那么称f ( z )在闭区域 D内解析.
如果f ( z )在区域D内处处解析，则称f ( z )在D内解析，
记 : wk ln | z | i arg z i 2k 是一个单值分支
、Lnz定义域z C \ {0, }, 值域w C 、对数函数w Lnz是无穷多值函数, 非周期函数 、对数函数w Lnz没有解析性 、对数函数的代数性质： Ln(z z ) Lnz ＋Lnz Ln(z1 / z2 ) Lnz1 Lnz2
sin(iz ) i sh z, cos(iz ) ch z.
cosh( x yi ) cosh x cos y i sinh x sin y, 、 sinh( x yi ) sinh x cos y i cosh x sin y. 、 cosh2 z sinh2 z 1
上页
下页
返回
复变函数极限的洛必达法则
如果f ( z )和g( z )在z0解析,且f ( z0 )=g( z0 ) 0, g '( z0 ) 0,
f ( z ) f ( z0 ) z z0 f (z) lim lim z z0 g ( z ) z z0 g ( z ) g ( z ) 0 z z0 f '( z0 ) = g '( z0 )
f (z) f ( z ) g( z )、f ( z ) g( z )、 ( g( z ) 0) g( z )
在区域D上解析，并且有
( f ( z ) g( z ))' =f '( z ) g '( z )
[ f ( z ) g( z )]' =f '( z ) g( z ) f ( z ) g '( z )
z z0
复变函数的微分定义
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) 由 f '( z0 ) lim ， z 0 z
知 w f '( z0 )z o(| z |) (z 0)
称df ( z0 ) f '( z0 )z或f '( z0 )dz为函数f ( z ) 在z0处的微分；也称函数在z0处可微。
设单值函数w f (z )在点z0的某邻域内有定义， z0 z是邻域内任意一点 f ( z 0 z ) f ( z 0 ) w 如果极限 lim lim 存在 z 0 z z 0 z （假设为A，有限的复数）
则称函数f ( z )在z0处可导，A称为函数f ( z ) dw 的导数，记为f '( z0 )，或 dz .
12
复变函数可导、可微的四则运算
如果f ( z )和g( z )在区域D上可导(可微)，则
f (z) f ( z ) g( z )、f ( z ) g( z )、 ( g( z ) 0) g( z )
在区域D上可导(可微)，并且有
( f ( z ) g( z ))' =f '( z ) g '( z )
z、 Re( z )、 Im( z )、 z 、P ( z )、P ( z ) / Q( z ) 在定义域内连续
z、 Re( z )、 Im( z )、 z 在定义域内不可导 P ( z )、P ( z ) / Q( z )在定义域内可导
2.2(2)解析函数
ln(−2 + 3i ) = ln | −2 + 3i | +i arg(−2 + 3i )
= ln 13 + i arg(π − arctan )
1 2 3 2
三角函数的概念: 三角函数
e = cos x + i sin x, e
ix −ix
由于Euler公式，对任何实数x，我们有：
= cos x − i sin x
−iz
例如z=2i时，有
| cos z |≤ 1, | sin z |≤ 1
−2 2 −2 2
e +e e −e cos 2i = ≥ 1, sin 2i = , 2 2i
三角函数的基本性质: 三角函数 6、cosz和sinz在整个复平面解析，并且有：
(cos z )' = − sin z , (sin z )' = cos z.
e +e e −e 证明： z1 sin z2 = cos 2 2i 1 i ( z1 + z2 ) i ( z1 − z2 ) i ( − z1 + z2 ) −i ( z1 + z2 ) = (e −e +e −e ) 4i iz2 −iz 2 iz1 −iz1 e +e e −e cos z2 sin z1 = 2 2i 1 i ( z1 + z2 ) i ( z2 − z1 ) i ( z1 − z2 ) −i ( z1 + z2 ) = (e −e +e −e ) 4i 所以， sin z1 cos z2 ± cos z1 sin z2 1 i ( z ± z ) −i ( z ± z ) = (e −e ) = sin( z1 ± z2 ) 2i
《复变函数与积分变换》课程简介及教学大纲
《复变函数与积分变换》课程简介及教学大纲课程代码：112000531课程名称：复变函数与积分变换/Function of a Complex Variable and interal transformation课程类别：公共基础课总学时/学分：48/3开课学期：第三或四学期适用对象：非数学专业本科生先修课程：高等数学内容简介：本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯等内容。
一、课程性质、目的和任务本课程是理工科学生继高等数学后的又一门数学基础课。
本课程主要讲授复变函数与积分变换的基本理论和方法。
通过本课程的学习，学生不仅能够学到复变函数与积分变换的基本理论和数学物理及工程技术中常用的数学方法，同时还可以巩固和复习高等数学的基础知识，提高数学素养，为学习有关的后续课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。
在培养学生的抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力和科学计算能力等方面起着特殊重要的作用。
二、课程教学内容及要求本课程包括复数与复变函数、解析函数、复变函数的积分、级数、留数、傅里叶变换、拉普拉斯共七章。
第1章复数与复变函数主要内容：1复数的概念、运算及几何表示。
2 复平面上区域、曲线的概念及它们的复数表示。
3 复变函数的概念及其复变函数的极限与连续性。
基本要求：1熟悉复数概念及各种几何表示。
2掌握复数的四则运算、乘幂方根共轭等运算并能简单应用。
3了解复平面上区域、曲线的概念，掌握用复数表示它们的方法。
4 了解复变函数与实二元函数的关系及复变函数的极限与连续性，熟悉复变函数极限与连续性的运算法则及性质，熟悉复变函数与实变函数的极限与连续性之间的联系与区别。
重点：复数的运算及各种几何表示法，复变函数的概念。
难点：用复数方法表示平面区域、曲线。
第2章解析函数主要内容：1 复变函数的导数及解析函数的概念。
2 复变函数可导与解析的充要条件，柯西-黎曼方程及解析函数的性质。
第2章、解析函数
第二章 解析函数本章介绍复变函数中一个重要的概念：解析函数，并给出一个重要的判定方法：柯西黎曼条件。
最后分别介绍一些重要的单值初等解析函数及多值初等函数的分支解析。
第一节 解析函数的概念与柯西-黎曼条件1、复变函数的导数：设()w f z =是在区域D 内确定的单值函数，并且，0z D ∈。
如果极限()000()lim z z f z f z z z →-- 存在，为复数a ，则称)(z f 在0z 处可导或可微，极限a 称为)(z f 在0z 处的导数，记作0()f z '，或0z z dw dz =。
2、解析函数：定义：如果)(z f 在0z 及0z 的某个邻域内处处可导，则称)(z f 在0z 处解析；如果)(z f 在区域D 内处处解析，则我们称)(z f 在D 内解析，也称)(z f 是D 的解析函数。
解析函数的导（函）数一般记为)('z f 或z z f d )(d 。
注1、 此定义也用εδ-语言给出。
注2、 可导必连续注3、解析必可导性，在一个点的可导不一定解析，可导性是一个局部概念，而解析性是一个整体概念；解析函数的四则运算：()f z 和()g x 在区域D 内解析，那么)()(z g z f ±，)()(z g z f ，)(/)(z g z f （分母不为零）也在区域D 内解析，并且有下面的导数的四则运算法则：(()())()()f z g x f z g z '''±=±[()()])()()()()f zg x f z g z f z g z ''=+2()()()()()()(()0)()()f z f z g z f z g z g z g z g z ''-'=≠复合求导法则：设)(z f =ζ在z 平面上的区域D 内解析，)(ζF w =在ζ平面上的区域1D 内解析，而且当D z ∈时，1)(D z f ∈=ζ，那么复合函数)]([z f F w =在D 内解析，并且有z z f F z z f F d )(d d )(d d )]([d ζζ=求导的例子：（1）如果()f x a =（常数），那么；()0df z dz= （2）z 的任何多项式 n n z a z a a z P +++=...)(10在整个复平面解析，并且有 121...2)('-+++=n n z na z a a z P（4）、在复平面上，任何有理函数，除去使分母为零的点外是解析的，它的导数的求法与z 是实变量时相同。
复变函数第三版习题
复变函数第三版习题第二章解析函数习题课1. 试问函数11?z2在圆盘|z|?1内是否连续？是否一致连续？ 2. 证明函数f(z)?|z|2除去在z?0外，处处不可微。
3. 设函数f(z)在区域D内解析。
证明：如果对每一点z?D，有f’(z)?0，那么f(z)在D内为常数。
4. 设函数f(z)在区域D内解析。
证明：如果f(z)满足下列条件之一，那么它在D内为常数：Ref(z)或Imf(z)在D内为常数；|f(z)|在D内为常数。
5. 证明：若函数f(z)在上半平面解析，则函数f(z)在下半平面解析。
6. 试用柯西-黎曼条件，证明下列函数在复平面解析：z,e,sinz,cosz 2z而下列函数不解析：z,e,sinz,cosz。
7. 证明在极坐标下的柯西-黎曼条件是：?u1?v?u?v。
?,??r?rr?????r2z8. 已知任何区域D内的解析函数f(z)一定有任意阶导数。
证明：f(z)的实部和虚部在D内也有任意阶导数，并且满足拉普拉斯方程：22?U?x2??U?y2?0 在D内，(?i22?x??22 )|f(z)|?4|f’(z)|222?y29. 试求出的e2?i、Ln(1?i)、i、1、(?2)值。
10. z?sinw及z?cosw所定义w的函数分别称为的反正弦函数和反余弦函数，利用对数函数求出它们的解析表达式。
11. sinhz?e?e2z?z及coshz?e?e2z?z 所定义w的函数分别称为的双曲正弦函数和双曲余弦函数，证明：sinhz??isiniz,coshz?cosiz, 此从关于三角函数的有关公式导出：cosh2z?sinh2z?1，sinh(z1?z2)?sinhz1coshz2?coshz1sinhz2，cosh(z1?z2)?coshz1coshz2?sinhz1sinhz2，sin(x?iy)?sinxcoshy?icosxsinhy，cos(x?iy)?cosxcoshy?isinxsinhy，dsinhzdzdcoszdz。
第02章_解析函数
z = 0时 z ≠ 0时
0 当∆y = 0, ∆x → 0时 ∆x Q lim 不存在！ = ∴ 不存在！ ∆ z → 0 ∆ x + i∆ y 1 当∆x = 0, ∆y → 0时
֠
复变函数在一点处可导， (1) 复变函数在一点处可导，要比实函数 在一点处可导要求高得多， 在一点处可导要求高得多，也复杂得 多，这是因为Δz→0是在平面区域上 这是因为Δ →0是在平面区域上 以任意方式趋于零的原故。 以任意方式趋于零的原故。 (2) 在高等数学中要举出一个处处连续， 在高等数学中要举出一个处处连续， 但处处不可导的例题是很困难的, 但处处不可导的例题是很困难的, 但在复变函数中， 但在复变函数中，却轻而易举。
∂v ∂u =− ∂x ∂y
称为Cauchy-Riemann方程 简称 方程(简称 方 设 f (z) = u (x, y) + iv(x, y)在 D 内有定义， 在 内有定义， 则 f (z)在点 z=x+iy ∈D处可导的充要条件是 在点 处可导的充要条件是 u(x, y) 和 v(x, y) 在点 (x, y ) 可微，且满足 可微， Cauchy-Riemann方程 方程
f (z)在点 0处可导。称此极限值为 (z)在z0的导数， 在点z 在点 处可导。称此极限值为f 在 的导数，
dw 记作 f ' ( z 0 ) = dz
z = z0
f ( z0 + ∆z ) − f ( z0 ) = lim ∆z → 0 ∆z
如果w=f(z)在区域 内处处可导，则称 在区域D内处处可导 如果 在区域 内处处可导， f (z)在区域 内可导。 在区域D内可导 在区域 内可导。
的可导性， 本节从函数 u (x , y) 及 v (x , y) 的可导性，探求 函数w=f (z) 的可导性，从而给出判别函数解析的 的可导性， 函数 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。 一个充分必要条件，并给出解析函数的求导方法。
复变函数第2章解析函数
2019/8/11
20
证 : (1) 若 f (z) 0，即
f (z) u i v 1 u v 0 x x i y y
于是 u v u v 0 x x y y
所以 u、v 为常数, 即 f (z) u iv 为常数。
（7）f (z) 1 , 其中, w f (z) 与 z (w) 是两个 ( w )
互为反函数的单值函数且 (w) 0。
2019/8/11
7
4、解析函数概念
定义. 若函数 w f (z) 在点 z0 及 z0 的某领域内 处处可导, 称 f (z) 在 z0 解析。
点 z0 z D, 若极限
lim f (z0 z) f (z0 )
z0
z
存在, 则称函数 f (z) 在 z0 点可导或可微。此极限值 称为 f (z) 在 z0 点的导数, 记作 :
f (z0 )
或
dw dz zz0
2019/8/11
2
即
f (z0 )
lim
z0
于是,由定理知 f (z) 在复平面上处处解析。
(2) f (z) x2 iy2
u( x, y) x2 , v( x, y) y2
u 2x, u 0, v 0, v 2 y
x
y x y
在复平面连续且 u v y x
但仅当 y x 时才有 u v x y
有理分式函数 P(z) 在 Q(z) 0的区域内为解析函数。 Q(z)
2019/8/11
12
二、函数解析的充分必要条件
定理 ( 函数解析的充要条件 )
函数 f (z) u( x, y) iv( x, y) 在其定义域 D内解析的充要 条件是 :
极限部分例题
第一章极限部分例题例2 问函数 ()zf z z=在0z =处有无极限． 解：函数()f z 在全平面除0z =外处处有定义，当0z ≠时， 取z 沿从原点出发的射线i z e θρ=趋于原点, 由于2i i i z e w e z eθθθρρ--===, 所以22000lim limlim i i i i i z z z z e z e z ezw e e z θθθθθρρρ--→→→====== 显然极限值与θ有关, 故0lim limz z zw z→→=不存在． 另解 )(z f 的定义域是全平面除去0z =的区域．当0z ≠时， 设(cos sin )z r i θθ=+则()cos(2)sin(2)f z i θθ=-+-考虑从0z =出发的方向角为0θ的射线0l θ，则有000lim ()cos(2)sin(2)z z l f z i θθθ→∈=-+-，显然对于不同的0θ，上述极限不相同， 故 函数在0z =的极限不存在．证法三：因为 2222222()z x y xyif z z x y x y -==-++，又因为222222220000lim 1,lim 1x y y x x y x y x y x y →→==--==-++， 所以 0lim Re ()z f z →不存在，故 0lim ()z f z →不存在.练习：证明函数 Re Im (),()z zf z f z z z==在0z =处无极限． 证：0000Re 1lim ()limlim lim 1z z x x y kxz x x f z z x iy x i kx ik →→→→=====+++ 极限随k 的变化而变化，所以 0lim ()z f z →不存在. 0000Im lim ()limlim lim 1z z x x y kxz y kx kf z z x iy x i kx ik →→→→=====+++ 所以 0Im limz zz→不存在.例3 讨论函数)(21)(zzz z i z f -=)0(≠z 在原点处的极限． 解 任取从原点出发的一条射线θi re z =)sin (cos θθi r +=,由于 211()()()()22z z z z z z f z i z i z z+-=-=⋅ 2sin cos sin 2θθθ==． 故)(z f 当z 沿此射线趋于零时θ2sin )(lim 0=→z f z .显然极限与射线的方向有关． 所以)(lim 0z f z →不存在.（如图1.20）法二：令,,θθi i re z re z -==则⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z z z z i z f 21)(θθθθθ2sin 21=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=--i i i i re re re re i 0lim ()0Z z f Z →==0arg 4lim () 1.Z z f z π→==所以f(z)在z=0无极限.法三：⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=z z z z i z f 21)(22212Re()2Im()22z z z i z i zz i z -⋅== 2222)Im()Re(2yx xyzz z +==，令z 沿直线y kx =趋于零有 222222000000222lim (,)lim lim (1)1x x x y kx y kx y kx xy kx k u x y x y x k k →→→=→=→=→===+++00lim (,)x y kx u x y →=→随 k 的变化而变化，所以 )(lim 0z f z → 不存在.第二章解析函数习题课【定义2.1】设)(z f w =在某0()U z 内有定义,如果z wz ∆∆→∆0lim0)()(lim 0z z z f z f z z --=→(A =≠∞的常数）存在 (即对0ε∀>, 0δ∃>,..s t 当D z ∈且0z z δ-<时, 总有ε<---A z z z f z f 00)()(), 则称)(z f 在0z 可导或可微（其中D 为)(z f 的定义域）.A 称为)(z f 在0z 的导数, 记为)(0z f A '=或0|z z dwA dz ==,即 A ＝z w z f z ∆∆='→∆00lim)(00)()(lim 0z z z f z f z z --=→． 如果zwz ∆∆→∆0lim不存在, 则称)(z f 在0z 不可导或不可微．如果)(z f 在区域D 内每一点都可微, 则称)(z f 在D 内可微．注： 若函数)(z f 在0z 可导, 则)(z f 在0z 连续(即连续是可导的必要条件) ．例1 证明 函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0． 证明 由于 0000()()()(0)l i ml i m 0z zz f z f z f z f z z z →→--=-- 200lim lim 0z z zz z →→===，故函数2()f z z =在 0z =点可导，且导数等于0．例2 设()Re f z z =，证明 ()f z 在全平面处处不可导．证明 因为对平面上任意一点0z ，000000()()Re Re Re()f z f z z z z z z z z z z z ---==---，考虑当z 沿直线0Im Im z z =趋于0z 时000000Im Im Im Im ()()Re()limlim 1z z z z z z z z z zf z f z z z z z z z →→∈=∈=--==--考虑当z 沿直线0Re Re z z =趋于0z 时000000Re Re Re Re ()()Re()limlim 0z z z z z z z z z zf z f z z z z z z z →→∈=∈=--==-- ；所以当0z z →时,极限000Re()lim z z z z z z →--不存在，即()f z 在0z 没有导数．由0z 的任意性知函数()f z 在全平面处处不可导．结论：函数nz z f =)(在z 平面上处处可导, 且1)(-='n n nzz (n 为正整数) ．练习：试说明函数 224(),0()0,0xy x iy z f z x y z ⎧+≠⎪=+⎨⎪=⎩在原点不可导.提示 2224242442000()(0)lim lim lim 01y y y x kyx kyf z f xy ky kz x y k y y k →→→==-===-+++ 则()f z 在原点的导数随k 而变化，故结论成立.)(z f 在点0z 解析--------- )(z f 在点0z 的某邻域内处处可导； )(z f 在区域D 解析-------)(z f 在区域D 内内每一点可导称； )(z f 在闭区域D 上解析------ )(z f 在区域G 内解析, G D ⊂． 0z 为)(z f 的奇点-------- )(z f 在0z 处不解析.解析函数我们有如下法则：1) 四则运算：如果)(z f , )(z g 都在区域D 内解析, 则他们的和、 差、乘积以及商(商的情形要求分母函数不为零)在区域D 内仍解析, 并且 [()()]()()f z g z f z g z '''±=± ；[()()]()()()f z g z f z g z f z g z '''⋅=+⋅； 2()()()()()[](()0)()()f z f zg z f z g z g z g z g z ''⋅-⋅'=≠．另：（1）常数的导数为零．（2）()1n n znz-'=（n 为正整数）；（3）[()]()kf z kf z ''=（k 为常数）． （4）多项式函数n n na za za z P +++=- 110)(在z 平面上解析, 且12110)1()(---++-+='n n n a za n zna z p（5）而有理函数mmn n b zb a z a z R ++++= 00)(在z 平面上使分母不为零点处处都是解析的．2) 复合函数求导法则：设()f z ξ=在z 平面上的区域D 内解析,()w g ξ=在ξ平面上的区域G 内解析, 并且()f D G ⊂, 则复合函数[()]w g f z =在区域D 内也解析, 并且{[()]}()()[()]()g f z g f z g f z f z ξ'''''=⋅=⋅．3) 反函数求导法则：设函数()w f z =在区域D 内为解析函数且()0f z '≠，又反函数1()()z f w w ϕ-==存在且连续，则()11()|()(())z w w f z f w ϕϕϕ='==''． 提问：1.设41()(1)4f z z i z =-+，则方程 ()0f z '=的全部解为 . 答案:32244(1)0sin )33k k z i z i ππππ++-+=⇒==+(其中 0,1,2)k =2.若0z 是函数 ()f z 的奇点，则()f z 在点0z 不可导.（ × ）3.若0z 是函数 ()f z 的解析点，则()f z 在点0z 可导. （ √ ）4.0()f z '存在，则()f z 在点0z 解析. （ × ） 定理:设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微（可导）⇔),(),,(y x v v x u 在点(,)x y 可微;且满足xvy u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,（ 柯西—黎曼条件也称为C R -方程 ）．如果),(),()(y x iv y x u z f +=在点iy x z +=可微， 则有导数公式yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(．（由C R -方程还可以写出其它形式）特别注意：C R -方程是函数可导的必要而非充分条件.例如：函数 2222220(,)(,)00xy x y x y u x y v x y x y ⎧+≠⎪+==⎨⎪+=⎩令 ()(,)(,)f z u x y iv x y =+，则()f z 在点0z =处满足C R -方程即0,0u v u v x y y x ∂∂∂∂===-=∂∂∂∂，但是由于()f z 在点0z =处不连续，所以函数在0z =处不可导.【推论】※设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在点D iy x z ∈+=可微的充分条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=处具有一阶连续的偏导数； (2) ),(),,(y x v v x u 在点iy x z +=满足C —R 条件．【定理2.2】 设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上，则)(z f 在D 内解析的充要条件是(1) ),(),,(y x v v x u 在D 内处处可微； (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C R -方程x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,． 【推论】设),(),()(y x iv y x u z f +=定义在区域D 上， 则)(z f 在D 内解析的充分条件是 (1) ),(),,(y x v v x u 在D 内具有一阶连续的偏导数； (2) ),(),,(y x v v x u 在D 内满足C —R 方程．提问：5.函数 22()f z x iy =+在点1z i =+处是（B ）（A ）不可导的. (B) 可导的. (C) 解析的. (D)既不可导也不解析. 解 由C-R 方程可推出在 x y =上()f z 可导，在复平面上处处不 解析.6．若)(z f 在曲线C 上每点不解析，则)(z f 在C 上不可导．（ ⨯ ） 7．若)(z f 在曲线C 上每点可导，则)(z f 在C 上每一点解析．（ ⨯ ） 练习：（1）讨论函数iy xz f -=2)(的可微性与解析性．解 记2),(x y x u =, y y x v -=),(,因 0,2=∂∂=∂∂y u x x u , 1,0-=∂∂=∂∂yvx v ,显然它们都是连续.由C —R 方程得,12-=x 即21-=x ,所以 iy x z f -=2)(仅在直线21-=x 上可导, 但在z 平面上处处不解析．(2) 讨论函数 3232()3(3)f z x xy i y x y =+++的可导性与解析性． 解 记 32(,)3u x y x xy =+, 32(,)3v x y y x y =+, 因2233,6u u x y xy x y ∂∂=+=∂∂, 226,33,v vxy y x x y ∂∂==+∂∂,显然它们都是连续的． 要使C —R 条件满足, 只需0xy = 即()f z 仅在x 轴或y 轴上的点可导， 但在z 平面上处处不解析．例3 求函数 ()f z ＝Im Re z z z ⋅-在可导点处的导数． 解 ()f z ＝2Im Re z z z xy x iy ⋅-=-+，则(,)u x y xy x =-,2(,)v x y y =，1,,0,2,u u v v y x y x y x y∂∂∂∂=-===∂∂∂∂四个一阶偏导数连续， 由C —R 方程得01x y =⎧⎨=-⎩故函数 ()f z 仅在一点z i =-可导，且导数为()(1)|2z i f i y =-'-=-=-．提问：“若函数()f z u iv =+在区域D 内解析, 则函数()i f z 也在区域D 内解析”的说法正确吗？答：正确. 因为()()i f z if z =-, 而()f z 在区域D 内解析, 所以()i f z 也在区域D 内也解析．例4 判断函数 ()f z ＝232x y i +在何处可导，何处解析，并求(3),(32)f i f i ''++．解 2(,)u x y x =, 3(,)2v x y y =，22,0,0,6,u u v v x y x y x y∂∂∂∂====∂∂∂∂四个一阶偏导数连续，由C —R 方程得23x y =故 函数 ()f z 仅在曲线23x y =上可导，又点3z i =+在此曲线上，所以(3)f i '+存在且(3)f i '+＝6，而32z i =+不在曲线上， 所以 (32)f i '+ 不存在．故函数 ()f z 仅在z i =-可导,且()(1)|2z i f i y =-'-=-=-． 例5判断函数 ()f z ＝322331(3)x xy i x y y -++-在复平面上 的解析性；若解析，试求()f z '．解 32(,)31u x y x xy =-+, 23(,)3v x y x y y =-，2233,6u u x y xy x y ∂∂=-=-∂∂，6v xy x∂=∂，2233v x y y ∂=-∂，四 个一阶偏导数连续， C —R 方程恒xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,成立， 故函数 ()f z 在复平面上处处解析且3()1f z z =+，()f z '＝23z ．例6 求实数,a b ，使()f z =2()x y i ax by -++在复平面上解析. 解()()2f x x y i ax by =-++在复平面上处处解析设(),2u x y x y =-，(),v x y ax by =+，则2u x ∂=∂ 1u y ∂=-∂ v a x∂=∂ v b y ∂=∂满足C R -条件 u v x y∂∂⇒=∂∂ ⇒2b = u v y x ∂∂⇒=-∂∂⇒1a =. 练习:设3232(,)()f x y my nyx i x xly =+++为解析函数，试确定n m l ,,的值.解：令32(,)u x y my nyx =+, 32(,)v x y x lxy =+,iv u y x f +=),(，则2x u nxy =, 323y u my nx =+, 223x v x ly =+, 2y v lxy =,这四个一阶偏导数存在且连续，因为解析函数()f z 满足C-R 方程，即：x y u v =，y x u v =-，亦即：lxy nxy 22=且323my nx +=22(3)x ly -+解得：m =1, 3-==l m .例7 函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明: )(z f 在区域D 内必为常数．(1) ()0f z '=．（2）Re ()f z =常数．（3）)(z f 在区域D 内解析. (4) )(z f 在区域D 内为常数．（5）c bv au =+，其中a,b,c 为不 全为零的实常数.证明(1) 由()0u v v u f z i i x x y y∂∂∂∂'=+=-=∂∂∂∂ 知 0u v v u x x y y ∂∂∂∂====∂∂∂∂，故 u ，v 都是常数，从而 )(z f 在D 内必为常数．（2）因为 u ＝常数，故0u u x y ∂∂==∂∂，由C R -方程 v v x y∂∂=∂∂＝0，从而 )(z f 在D 内必为常数． (3) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则),(),()(y x iv y x u z f -=.由题设)(z f 和)(z f 都在区域D 内解析,由C —R 条件得x v y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂,, x v y u y v xu ∂∂=∂∂∂∂-=∂∂,, 解得 0,0=∂∂=∂∂y u x u , 0,0=∂∂=∂∂yv x v 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在区域D 内为常数．(4) 设),(),()(y x iv y x u z f +=, 则222)(v u z f +=. 由题设)(z f 在区域D 内解析, 且)(z f 为常数, 记为A , 从而xv y u y v x u ∂∂-=∂∂∂∂=∂∂, (1) 222A v u =+ (2)由(2)式得 022=∂∂+∂∂xv v x u u (3) 022=∂∂+∂∂yv v y u u (4) 若0A =, 则0)(=z f , 结论显然成立；若0A ≠,联立(1)(3)(4)得 0,0=∂∂=∂∂y u x u ，0,0=∂∂=∂∂yv x v ； 再由实函数的知识, ),(y x u 与),(y x v 均为实常数, 所以)(z f 在 区域D 内为常数．（5）532.4(4)P 将au bv c +=两边分别求对,x y 的偏导数得222200()000()0C R x x x x x y y x x x au bv au bv a b u au bv bu av a b v -''+='''⎧+=+=⎧⎧⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨''+=''-='+=⎪⎪⎩⎩⎩代入方程 当220a b +=时，00a b c ==⇒=，此与,,a b c 不同时为零矛盾，舍. 当220a b +≠时，0()0x x x x u v f z u i v '''''==⇒=+=()f z ⇒=常数.（另解）若a ≠0则有abv c u -=， 于是y y x x v ab u v a b u -=-=,. 由C-R 方程 ,x y y x u v u v ==- 得0122=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⇒⎪⎭⎫ ⎝⎛-==-==y y y x x y v a b v a b a b u a b v a b u v ∴ 0y y bu v a=-= 从 而 ()0y y f z v iu '''=-=，故()f z 为常数.若 0a =，则由au bv c bv c v +=⇒=⇒是常量，利用C R -方程可推出u 也为常量，故()f z 为常数.说明：在讨论满足一定条件的解析函数的性质时, 柯西黎曼条件常 常起着关键的作用．例8 ※ 如果)(z f 在上半平面内解析, 则)(z f 在下半平面内解析．证明 在下半平面内任取定一点z 0以及任一点z , 则 0z ,z 都属 于上半平面, 并且 ))()(()()(0000z z z f z f z z z f z f --=-- 因为)(z f 在上半平面内解析, 所以)()()(lim 0000z f z z z f z f z z '=--→, 从而)())()((lim )()(lim 0000000z f z z z f z f z z z f z f z z z z '=--=--→→, 即)(z f 在点z 0可导. 再由z 0的任意性, )(z f 在下半平面内解析． 说明：在讨论函数的解析性时, 有时可直接利用导数的定义． 练习：1.函数在一点可导就是函数在一点解析这种说法对吗？答：不对，函数在一点解析是指函数在此点的某邻域内解析，因此只能说函数在一点解析函数在此点一定可导．2.函数在一条曲线上可导，则函数在此曲线上解析这种说法对吗？（不对，理由同上．）3.讨论下列函数的可导性 (1) z w =; (2)z w Re =或z Im .解 (1)设z x iy =+, w u iv =+,则 u =0v =. 由高数学知识知 u =, 0v =在平面上微, 所以, z w =在原点不可导.又当(,)(0,0)x y ≠时,u x ∂=∂,u y ∂=∂, 0v x ∂=∂, 0v y ∂=∂ 要使C R -条件满足, 只须0=,0=, 即0x =且0y =这与(,)(0,0)x y ≠矛盾, 故当(,)(0,0)x y ≠时u 和v 不满足C R -条件, 所以z w = 当(,)(0,0)x y ≠时, 也不可导．综上所述, z w =在平面上处处不可导．(2) 设z x iy =+, w u iv =+,则 u x =,0v =. 由高数知识 u x =与0v =在平面上可微,但 10u v x y ∂∂=≠=∂∂, 0u v y x∂∂==-∂∂, 即C R -.条件不满足, 所以, z w Re =在平面上处处不可导.同理可得, Im w z =在平面上处处不可导．5.利用z w =的不解析性据理说明函数)0(1≠=z z w 在z 平面上不解析.解 (反证法) 显然)0(1≠=z z w 在0z =不解析(因它在0z =无意义) ; 假设)0(1≠=z z w 在某一点0z '≠解析, 由解析函数的四则运算性得, z w =在某一点0z '≠也解析, 这与z w =在平面上处处不解析矛盾.故 )0(1≠=z z w 在z 平面上处处不解析．6.讨论下列函数的可微性和解析性:(1)y ix xy z f 22)(+=； (2) 22)(iy x z f +=；(3) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=.解 (1) 设()f z u iv =+, 则2u xy =, 2v x y =. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数 又2u y x ∂=∂, 2u xy y ∂=∂, 2v xy x∂=∂, 2v x y ∂=∂. 要使C R -条件满足, 只须22y x =,22xy xy =-, 即0x =且0y =所以, y ix xy z f 22)(+=仅在原点可导, 在平面上处处不解析．(2) 设()f z u iv =+, 则2u x =, 2v y =． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2u x x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 2v y y ∂=∂． 要使C R -条件满足, 只须22x y =, 即x y =．所以, 22)(iy x z f +=仅在直线0x y -=上解析, 在平面上处处不解析．(3) 设()f z u iv =+, 则323u x xy =-, 233v x y y =-. 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又2233u v x y x y ∂∂=-=∂∂, 6u v xy y x∂∂=-=-∂∂, 即u ,v 满足C R -条件． 所以, )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=在平面上处处可导, 也处处解析．7.证明下列函数在平面上解析,并利用yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')(分别求出其导数: (1))sin cos ()sin cos ()(y x y y ie y y y x e z f x x ++-=;(2) )3(3)(3223y y x i xy x z f -+-=．证明 (1) 设()f z u iv =+,则(cos sin )x u e x y y y =-, (cos sin )x v e y y x y =+． 显然它们都在平面上具有一阶连续的偏导数又(cos cos sin )x u v e y x y y y x y∂∂=+-=∂∂, (sin sin cos )x u v e x y y y y y x∂∂=-++=-∂∂, 即u ,v 满足C.R 条件. 所以, ()f z 在平面上解析, 且()u v f z i x x∂∂'=+∂∂ (cos cos sin )(sin sin cos )x x e y x y y y ie y x y y y =+-+++[cos sin cos sin (sin cos )]x e y i y x y y y i x y y y =++-++ (cos sin )(cos sin )(cos sin )x x x e y i y e x y i y iye y i y =+++++(cos sin )(1)(1)x z e y i y x iy e z =+++=+(2) 同习题3(3)可证()f z 在平面上解析, 于是2222()3363()3u v f z i x y i xy x iy z x x∂∂'=+=-+=+=∂∂． 9.若函数)(z f 在区域D 内解析, 且满足下列条件之一, 证明)(z f 在区域D 内必为常数.(1)在D 内0)(='z f ; (2))(Re z f 或)(Im z f 在区域D 内为常数． 证明 (1) 设()f z u iv =+. 因)(z f 在区域D 内解析,且由解析函数的导数与实部、虚部实函数的关系:yu i y v x v i x u z f ∂∂-∂∂=∂∂+∂∂=')( 得 0u x ∂=∂, 0u y ∂=∂, 0v x∂=∂, 0v y ∂=∂． 所以 u 和v 都是实常数. 故 )(z f 在区域D 内必为常数.(2) 设()f z u iv =+, 由题设 u 为实常数, 而)(z f 在区域D 内解析,由C.R.条件知0v u x y ∂∂=-=∂∂, 0v u y x∂∂==∂∂v 也是实常数.所以 )(z f 在区域D 内必为常数.易犯错误：函数在一点的解析性与在一个区域上的解析性概念混淆.判断函数解析性时方法不妥或错误运用概念.不能正确灵活地求函数的导数. 讲评作业522.3(2)P 确定函数 ()(,az b f z c d cz d+=+至少有一个不为零）. 解 当0c ≠时，由0d cz d z c +=⇒=-为函数的奇点.解析区域为除点d z c=-的复平面.且2()()()az b ad bc f z cz d cz d +-''==++. 当0c =时，函数在整个复平面处处解析，无奇点.且()()az b a f z d d+''==. 【定理2.3 】 若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析, 则()f z 的实部(,)u x y 和虚部(,)v x y 都是D 内的调和函数.【义2.4】 若(,)u x y ,(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,且在D 内满足柯西—黎曼方程, 即 u v x y ∂∂=∂∂,u v y x∂∂=-∂∂, 则称(,)v x y 为(,)u x y 的共轭调和函数.【定理2.4】若函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析的充要条件是在D 内()f z 的虚部函数(,)v x y 是实部函数(,)u x y 的共轭调和函数.两个二元实函数(,)u x y 和(,)v x y 都是区域D 内的调和函数,不一定能保证复函数()(,)(,)f z u x y iv x y =+在区域D 内解析.反例：易证(,)u x y x =,(,)v x y y =-都是平面上的调和函数, 但 ()f z x iy z =-=在平面上处处不解析.提问：1.函数),(),()(y x iv y x u z f +=解析，则下列命题中错误的是（ C ）A 、v u ,均为调和函数B 、v 是u 的共轭调和函数C 、v u 是的共轭调和函数D 、v u 是-的共轭调和函数2.解析函数的实部是其虚部的共轭调和函数. （ × ）3.解析函数的虚部是其实部的共轭调和函数. （ √ ） 例2 设),(,()(y x iv y x u z f +=为iy x z +=的解析函数，且已知y x y x v y x u +=-),(),(,求函数()f z .解：方程y x y x v y x u +=-),(),(两边分别对y x ,求偏导数得：110111C R x y x x x y y y x y u u u v u u v u u u -+=-==⎧⎧⎧⎪⎪⎪⇒⇒⎨⎨⎨-==-+=⎪⎪⎪⎩⎩⎩方程，由0x u =得： )(),(y g y x u = 代入1y u =得：1)(='y g ， C y y g +=)(（C 为任意常数）从而C y y x u +=),(，(,)(,)()v x y u x y x y x C =-+=-+，所求函数为：C i iz C x i C y iv u z f )1()()(++-=+-++=+= 练习：（1）已知调和函数y x u )1(2-=,i f -=)2(,求解析函数iv u z f +=)(.解：用不定积分法求解如下：2x u y =，22y u x =-，()2(22)2(x y f z u iu y i x i z '=-=--=--221()2(1)2(1)(1)2f z i z dz i z C i z C =--=-⨯-+=--+⎰ 由i f -=)2(得 2(21)i C i --+=-，0=C ，所以：2()(1)f z i z =--（2） 已知 22()yi f z u x y=++是解析函数，且(2)0f =，求()f z . 解：22222()x y x y u v x y -''==+，2222()y x xy u v x y ''=-=+ 对此，用偏积分求u 比较方便：2222()()()y xdy u u dy g x g x x y =+=++⎰⎰22()x g x x y=-++将积分结果求对x 的偏导数得 22(,)()x u x y g x x y=-++ 2222212(),()x x u g x x y x y -'=++++()0,()g x g x c '== 所以 2222()x yi f z c x y x y =-++++ 1(2)02f c =-+= 得12c =，11()2f z z=- . 例3 证明(,)arctan y v x y x = (0x >)在右半平面内是调和函数, 并求以此为虚部的解析函数.证明 因为22v y x x y ∂-=∂+,22v x y x y∂=∂+, 则 222222()v xy x x y ∂=∂+, 222222()v xy y x y ∂-=∂+, 从而 22220v v x y ∂∂+=∂∂, 故(,)arctan y v x y x= 是右半平面内的调和函数. 下面用方法2(偏积分法)来求解析函数的实部(,)u x y .由C R -条件得 22u v x x y x y∂∂==∂∂+ -------------- (Ⅰ)2222u v y y y x x y x y∂∂-=-=-=∂∂++ -------------- (Ⅱ) 由(Ⅰ)得 221(,)ln()()2u x y x y y ϕ=++ 代入(Ⅱ)得 2222()y y y x y x yϕ'+=++, 即()0y ϕ'=, 从而 ()y C ϕ=(常数), 221(,)ln()2u x y x y C =++. 故 所求解析函数为221()ln()arctan 2y f z x y C i x =+++ (0x >)ln arg ln z C i z z C =++=+ (Re 0z >). 例5 已知调和函数 22u x y xy =-+，求一个解析函数()f z u iv =+使()1f i i =-+. 解(不定积分法) 2u x y x∂=+∂，2u y x y ∂=-+∂ ..()2(2)2C R u v u u f z i i x y i y x z iz x x x y∂∂∂∂'⇒=+=-=++-=-∂∂∂∂， 积分得 21()(2)2f z i z C =-+，由()1f i i =-+得2i C =， 故 2()122i i f z z ⎛⎫=-+ ⎪⎝⎭. 练习： 已知 22()(4)2()u v x y x xy y x y +=-++-+，试确定解析函数 ()f z u iv =+.解 ：2222(4)()(24)2(4)()(42)2,x x y y x x y xu v x xy y x y x y u v x xy y x y x y u v u v ⎧+=+++-+-⎪+=+++-+-⎨⎪==-⎩226332x yv xy v x y =⎧⎪⇒⎨=--⎪⎩ 222()332632v v f z i x y i xy z y x∂∂'⇒=+=--+=-∂∂， 积分得 3()2f z z z C ⇒=-+.例6 若()f z u iv =+为解析函数，且满足892003u v +=， 试证：()f z 必为常数.解 对892003u v +=分别求对,x y 的导数得128900890()0x x x y y y x y u v u u u C u v f z C v v v C C R ⎧+===⎧=⎧⎪⎪+=⇒⇒⇒=⎨⎨⎨===⎪⎩⎪⎩-⎩方程（常数）. 例7 求调和函数(,)x y xy φ= 的共轭调和函数.提示 设解析函数()(,)(,),(,),(,)x y y x f z x y iv x y v x y x v x y y φφφ=+=-===2(,)()2x y v x y dy ydy g x φ===+⎰⎰，2(,)()()2x y x v x y g x x g x c φ'==-=-⇒=-+ 故 (,)x y xy φ= 的共轭调和函数221(,)()2v x y y x c =-+. 例8 证明：函数2222,yx x v y x u +=-=都是调和函数，但 iv u z f +=)(不是解析函数.证明：y u x u y x 2,2-== ,,2,2-==yy xx u u()()222222222,y x xy v y x y x v y x +-=+-=()()222322232,2y x y v y x y v yy xx +-=+=0=+∴yy xx u u 0=+yy xx v v即u 是复平面上的调和函数，v 除原点外在复平面上调和。
第2章解析函数new
例2 判断f (z) x 2 yi是否可导？
解 设：z x iy，z x iy，
z z x x i y y
lim f lim f (z z) f (z)
z0 z z0
z
lim ( x x) 2( y y)i x 2 yi
z0
z
lim x 2yi z0 x yi
该极限不存在，函数ω=z*在该点z不可导；由于z取值
的任意性，可以证明ω=z*在z平面上处处不可导
解法二：
考虑极限：
z
lim z 0
z
z
z
lim z 0
z z
设z 0时保持幅角不变：z z ei，z z ei
lim lim lim z0
z z z
z =
z
z z0
z0
z ei z ei
e2i
则z沿不同路径趋于零时，不同，lim z z z 不同
z0
z
则该极限不存在，函数ω=z*在该点z不可导；由于z取 值的任意性，可以证明ω=z*在z平面上处处不可导
复变函数与积分变换
2020/3/27
07:57
Huafeng Zhang
School of Physics and Optoelectronic Engineering, Yangtze University
Δz沿x轴趋于零时：
lim z0
f
z
z
z
f
z
u x
i
v x
Δz沿y轴趋于零时：
lim z0
f
z z
z
f
z
v y
i
u y
若f(z)在z点可导，沿任意方向，极限 lim z0
第二章解析函数
1第二章 解析函数§2.1解析函数的概念1.复变函数的导数1）定义 2.1.1：设函数)(z f w =在点0z 的某个邻域)(0z N 内有定义，)(00z N z z z ∈∆+=，若极限zz f z z f z z z f z f z z z z ∆-∆+=--→→)()(lim)()(lim000000存在，且极限值为有限复数，则称函数)(z f w =在点0z 可导或可微，极限值称为)(z f 在点0z 的导数或微商，记为)(0z f '或0z z dz df =，或0z z dz dw=，即zz f z z f z z z f z f z f z z z z ∆-∆+=--='→→)()(lim)()(lim)(0000000。
若)(z f 在区域D 内每点z 均可导，则称)(z f 在区域D 内可导。
这时对于区域D 中的任一z ，都对应着)(z f 的一个确定的导数值，这样就构成了一个新的函数)(z f '，称之为原来函数)(z f 的导函数，有时也称为导数。
若导数)(z f '又可导，定义)()(z f dz d z f '=''，称为二阶导数，一般地，称)()()1()(z f dzd z f n n -=为)(z f 的n 阶导数。
复变函数的微分概念在形式上与一元实变函数的微分概念类似。
2）可导和连续的关系：我们知道，若复变函数在某点连续，则该函数在该点极限一定存在，反之不一定成立。
那么可导与连续有何关系？设函数)(z f w =在点0z 处可导，则由定义，对于任给的0>ε，对应存在0>δ，使得当δ<∆<z 0时，有ε<'-∆-∆+)()()(000z f zz f z z f成立。
令)()()(000z f zz f z z f '-∆-∆+=α那么0lim 0=→∆αz由此得到z z z f z f z z f ∆+∆'=-∆+α)()()(000即0])([lim )]()([lim 00000=∆+∆'=-∆+→∆→∆z z z f z f z z f z z α故有)()(lim 000z f z z f z =∆+→∆2【注】：与极限情况类似，尽管复函数导数的定义形式与一元实函数导数定义完全相同，但实际上复函数在一点可导的定义比实函数的要荷刻得多。
复变函数第二章 解析函数
f (z)在点z0处可导, 称此极限值为f (z)在z0的导数，
dw 记作 f ' ( z0 ) dz
z z0
f ( z 0 z ) f ( z 0 ) lim z 0 z
记作 z f 1 ( w ) 当反函数单值时z f 1 [ f ( z )] z E 一般z f 1[ f ( z )]) (
当 函数(映 射)w f ( z )和 其反 函数 逆 映射) ( z ( w )都 是单 值的 ， 则 称函 数 射)w f ( z ) (映 是 一一 对应 的。
2. 映射的概念
——复变函数的几何意义
在几何上， w=f(z)可以看作：
z E ( z平面) w f w G ( w平面）的映射变换). (z) (
定义域 y
值域
称w为z的象，而 称为w的原象。 z
(z)
w=f(z) v
(w)
G
z
o
E
w=f(z)
w
x
o
u
•复变函数的几何意义是一个映射（变换）
z z0 z z0
f ( z ) lim f ( z ) A z z0 lim ( lim g ( z ) 0) z z0 g ( z ) lim g ( z ) z z0 B
z z0
以上定理用极限定义证!
例1 证明w x 2 y i ( x y 2 )在平面上处处有极限 .
( z z )2 z 2 lim z 0 z
lim ( 2 z z ) 2z .