函数的极值习题课
数学分析6.4函数的极值与最大(小)值(练习)
第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)练习题1、求下列函数的极值.(1)f(x)=2x3-x4; (2)f(x)=; (3)f(x)=; (4)f(x)=arctanx ln(1+x2).解：(1)f在R上连续，当f’(x)=6x2-4x3=0时，x=0或x=.又当x<0时，f’(x)=6x2-4x3>0；当0<x<时，f’(x)=6x2-x3>0；当x>时，f’(x)=6x2-4x3<0. ∴f有极大值f()=2×-=.(2)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=0，又x<0时，f’(x)<0；当x>0时，f’(x)>0. ∴f有极小值f(0)=0.(3)f在R+上连续，当f’(x)==0时，x=1或x=e2.又当x<1时，f’(x)<0；当1<x<e2时，f’(x)>0; 当x>e2时，f’(x)<0.∴f有极小值f(1)=0; 极大值f(e2)=4e-2.(4)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=1.又当x<1时，f’(x)>0; 当x>1时，f’(x)<0，∴f有极大值f(1)=.2、设f(x)=.(1)证明x=0是函数f的极小值点; (2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.证：(1)∵对任意x≠0，有f(x)=≥0，∴x=0是f的极小值点. (2)f’(x)=,令x n=(2nπ+)-1, y n=(2nπ+)-1, (n=1,2,…)，则x n, y n>0且x n=y n=0，又f’(x n)=(2nπ+)-2·[2(2nπ+)-1-1]< 0，f’(y n)=(2nπ+)-2·[4(2nπ+)-1-0]=4(2nπ+)-3>0，即f’在任一U+⁰(0,δ)内变号，∴f不满足第一充分条件.又f”(0)=0，∴f不满足第二充分条件.3、证明：若函数f在x0处有f+’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 则x0为f 的极大(小)值点.证：∵f+’(x0)=<0，∴存在某U⁰+(x0,δ1)，使当x∈U⁰+(x0,δ1)时，有<0，∴f(x)<f(x0).又∵f-’(x0)=>0，∴存在某U⁰-(x0,δ2)，使当x∈U⁰-(x0,δ2)时，有>0，∴f(x)<f(x0).取δ=min(δ1,δ2)，则当x∈U⁰(x0,δ)时有f(x)<f(x0)，∴x0为f的极大值点.同理可证若f在x0处有f+’(x0)>0, f-’(x0)<0, 则x0为f的极小值点.4、求下列函数在给定区间上的最大最小值.(1)y=x5-5x4+5x3+1, [-1,2]; (2)y=2tanx-tan2x, 当[0,]; (3)y=lnx, (0,+∞). 解：(1)y在[-1,2]上连续, 当y’=5x4-20x3+15x2=0时, x=0,x=1或x=3(舍去)，y(-1)=-10, y(0)=1, y(1)=2, y(2)=-7,∴y在[-1,2]的最大值为y(1)=2，最小值为y(-1)=-10.(2)记u=tanx，则当x∈[0,]时，u∈[0,+∞], y=2u-u2在[0,+∞)连续.当=2-2u=0时，u=1, x=arctan1=, y(0)=0, y()=1,由二次函数的性质知y在[0,]无最小值，最大值为y()=1.(3)y在(0,+∞)连续，当y’=+=0时，x=e-2.y(e-2)=<0, lnx=0, lnx=+∞.∴y在(0,+∞)无最大值，最小值为y(e-2)=.5、设f(x)在区间I连续，并且在I有唯一的极值点x0.证明：若x0是f的极大(小)值点，则x0是f(x)在I上的最大(小)值点. 解：∵f在I连续，∴若x0是f在I唯一的极大值点，则对任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值点. 同理可证：若x0是f在I唯一的极小值点，则x0是f在I上的最小值点.6、把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？解：设两段线长为x, 1-x，则所求矩形面积为S=x(1-x)=x-x2, x∈(0,1). 当S’=1-2x=0时，x=0.5，又S”=-2<0，∴x=0.5是S唯一的极大值点.∴当两段线长都为0.5时，矩形的面积最大为S(0.5)=0.25.7、一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：设底的半径为r, 高为h，则V=πr2h, ∴h=.容器的表面积S=πr2+2πrh=πr2+. 当S’=2πr=0时，r==h，∴当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的表面积最小.8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,…,a n. 问：以怎样的数值x表示所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？解：记S=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2，当S’=2(x-a1)+2(x-a2)+…2(x-a n)=0时，x=，又S”=2n>0，∴x=是S唯一的极小值点. 又S=+∞,∴以x=表示真值时，它与这n个数之差的平方和最小.9、求正数a，使它与其倒数之和为最小.解：记f(a)=a+, a∈(0,+∞)，当f’(a)=1=0时，a=1或a=-1(舍去).f(1)=2, f(a)=+∞, f(a)=+∞. ∴a=1为所求.10、求下列函数的极值.(1)f(x)=|x(x2-1)|; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1)2(x+1)3.解：(1)f’(x)=(3x2-1)sgn(x3-x), f”(x)=6xsgn(x3-x), (x≠0,±1);当f’=0时，x=, ∵f”()=-6×=-2<0, f”()=6×()=-2<0, ∴f()=f()=是f的极大值.又f(x)≥0，∴f(0)=f(±1)=0是f的极小值.(2)当f’(x)===0时，x=±1. 当x<-1时，f’(x)<0；当1<x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0.∴f(-1)=-1是f的极小值，f(1)=2是f的极大值.(3)当f’(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x-1)2(x+1)2=(x2-1)(5x-1)(x+1)=0时，x=±1或x=0.2. 当x<-1时，f’(x)>0；当-1<x<0.2时，f’(x)>0；当0.2<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0.∴f(0.2)=1.10592是f的极大值；f(1)=0是f的极小值.11、设f(x)=alnx+bx2+x, 在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？解1：当f’(x)=+2bx+1==0时，x=,当=1, =2时，解得a=, b=;当=2, =1时，无解.又当0<x<1时，f’(x)>0；当1<x<2时，f’(x)<0；当x>2时，f’(x)>0.∴a=, b=，且f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.解2：f’(x)=+2bx+1，∵f在x1=1,x2=2处都取得极值，∴有, 解得：a=, b=; ∴f’(x)= 1.f”(x)=，∵f”(1)=>0，f”(2)=<0.∴f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.12、在抛物线y2=2px上哪一点的法线被抛物线所截之线段最短.解：2yy’=2p, y’=，设抛物线上一点(a,b)，则过这点的法线方程为：y-b=(x-a)，即y=. 代入x=得y=,即by2+2p2y-2pab=0，设另一交点为(a’,b’)，则b+b’=,解得b’=, a’==.法线被抛物线所截线段长度的平方为：D(b)=(a’-a)2+(b’-b)2=()2+(b)2=.当D’(b)===0时，b=±p，a==p，∴抛物线在(p,±p)的法线被抛物线所截之线段最短.13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(如图). AC=d千米. 轮船运费单价是m元/千米. 火车运费单价是n元/千米(n>m). 试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省.解：设CM=x，则AM=d-x，在Rt△BCM中，BM=. 总运费f(x)=m(d-x)+n当f’(x)=-m=0时，x=.又f(0)=md+na, f(d)= n,f()=md+a< md+na=f(0). 令m=nsinθ, 则md+aθ+nacosθ=n sin(θ+φ)≤n=f(d). (φ=arcsin). ∴f()是f(x)在[0,d]上的最小值，即离C点千米处修铁路运费最省。
第7练 函数的极值、最值课件
8.(202X·全国Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的 等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA， △FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别 以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合， 得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最 大值为__4___1_5__.
方法三 当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，
如图3所示，视察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，
如图4所示，视察可知a>b.
图3
图4 综上，可知必有ab>a2成立.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.(202X·天津)已知a∈R.设函数f(x)＝xx2－－a2lnaxx＋，2xa>，1.x≤1，若关于x的不等 式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1； 当a>1时，可得f(x)的最小值为f(1)＝1≥0，满足条件，所以a≥0. 若 x>1，由 f(x)＝x－aln x 可得 f′(x)＝1－ax＝x－x a， 当a≤1时，f′(x)>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 故只需1－aln 1≥0，显然成立； 当a>1时，由f′(x)＝0可得x＝a， 易得f(x)的最小值为f(a)＝a－aln a， 令f(a)≥0，解得a≤e，故1<a≤e，所以a≤e. 综上，a的取值范围是[0，e].
极大值与极小值学案练习题
极大值与极小值学案练习题
§1.3.2 极大值与极小值(1)
一、知识点
1.通过几何直观得到极大(小)值与导数的关系，了解极值和极值点是函数的局部性态，仅考虑该点与附近的点之间的比较，而不是在所给的整个区间或定义域范围。
2.一般地，求函数的极值的方法是：
⑴如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
⑵如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
⑶如果在附近的左侧及右侧不变号，那么一定不是极值。
二、典型例题
例1.求下列函数的极值：
⑴ ⑵
例2.求函数在区间内的极值。
三、巩固练习
1.求下列函数的极值
⑴ ；
2.如果函数有极小值，极大值，那么一定小于吗？试作图说明根据下列条件大致作出函数的图象：
⑴ ，，当时；当时，；
⑵ ，当时， .
四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
1.已知函数的导数则当 = 时，函数取得极大值；
2.函数的极大值是，极小值是；
3.函数，当 = 时取得极大值为；当 = 时，取得
极小值为；函数在区间上是单调递减的，在区间上
是单调递增的，当 = 时，取极小值，则极小值为；
5.求下列函数的极值：
⑴ ⑵
⑶ ⑷求函数的极值。
7.已知函数的图象如图所示，试作出的草图.
订正栏：。
3.3.4 极值最值习题课
f ( x )在 [ 0， ] 上 有 极 大 值 f ( 3
（ x） 在 x 0时 取 最 小 值 - 4。 f
题型一、求最值
1、求函数 f ( x ) x - 1 )( x - 2） 在区间[0，3]上 （ 的最小值
2
令 解 ： 依 题 意 得 f '( x ) ( x 2 )( 3 x 4 ) 令 f '( x ) 0 得 x （ 0） 4， （ f f 4 3 （ 2） 0， （ 3） 3 f f ....... 4 3 ，或x 2 4 27 ，
a=2，b=3或a=-2，b=-29
练习：
1、 设 f ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数，
y f ( x ) 的图象 如图所示，
则 y f ( x ) 的图象最有可能的是（
C
）
若函数 f(x)=x +bx+c 的图象的顶点在第四象限， 则函数 f (x)的图象是
/
2
（
A
）
3、已知 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1 有极大值和 极小值，则 a 的取值范围为( D )
( A ) －1<a<2 (C ) a<－1 或 a>2 ( B ) －3<a<6 ( D ) a<－3 或 a>6
函数 f ( x ) = ax3 + ( a – 1 )x2 + 48( b – 3 )x + b 的 图象关于原点中心对称，则 f ( x) ( )
D
A．在[–4 B． 在[–4 C． 在[4
3
，4
3
3
]上为增函数
3
，4
课时作业2：5.3.2 第一课时 函数的极值
5.3.2函数的极值与最大(小)值第一课时函数的极值基础达标一、选择题1.(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是()A.－3是f(x)的一个极小值点B.－2和－1都是f(x)的极大值点C.f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)D.f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)解析当x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)时f′(x)≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD.答案ACD2.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为()A.－eB.1－eC.－1D.0解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.答案C3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是()A.(0，4)B.[0，4)C.[1，4)D.(1，4)解析f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)内有极值，∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A.答案A4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)B.函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C.x＝－2是函数的极小值点D.x＝2是函数的极小值点解析由题意，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2，f′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)<0；当x<－2时，f′(x)>0；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A 错，B正确；C错，D正确.故选：BD.答案BD5.若函数f(x)＝e x－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是()A.(－1，0)B.(0，1)C.(－∞，－1)D.(1，＋∞)解析由题意知f′(x)＝e x－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意.当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0，1).故选B.答案B二、填空题6.(多空题)函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为a ＝________，b ＝________.解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又当x ＝1时有极值－2， ∵f ′(1)＝3a ＋b ＝0，① a ＋b ＝－2，②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，∴故答案为1，－3.答案 1 －37.函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8.函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________. 解析 因为x >0，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ， 所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减少的， 所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点. 答案 0 三、解答题9.求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值. 解 函数的定义域为R .f ′(x )＝2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝－2（x －1）（x ＋1）（x 2＋1）2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.解(1)∵f(x)＝a ln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，解得，a＝－23，b＝－16.(2)由(1)可知f(x)＝－23ln x－16x2＋x，且其定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－23x－1－13x＋1＝－（x－1）（x－2）3x.当x∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(1，2)时，f′(x)>0；所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.能力提升11.函数f(x)＝e x(x－a e x)恰有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则实数a的取值范围是________.解析∵函数f(x)＝e x(x－a e x)，∴f′(x)＝(x＋1－2a e x)e x.∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根.令x ＋1－2a e x ＝0，可知a ≠0， ∴x ＋12a ＝e x .设y 1＝x ＋12a (a ≠0)，y 2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a >1，解得0<a <12，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1212.已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方.(1)解 易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0，1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 因此函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数.故x ＝1是f (x )的极小值，所以f (x )在x ＝1处取得极小值12.(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3， 则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x ＝－（x －1）（2x 2＋x ＋1）x .显然由2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78及x >0可知，当x >1时，F ′(x )<0，故F (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上，F (x )≤F (1)<0，即F (x )<0恒成立，即f (x )<g (x )恒成立.因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方.创新猜想13.(多选题)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是( ) A.xf (x )在(1，＋∞)单调递增 B.xf (x )在(1，＋∞)单调递减 C.xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12 D.xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12解析 由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x >0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，即[xf (x )]′＝ln xx ，设g (x )＝xf (x )，由g ′(x )＝ln xx >0得x >1，由g ′(x )<0得0<x <1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0，1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12，故选AD. 答案 AD14.(多选题)设x 3＋ax ＋b ＝0(a ，b ∈R )，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( ) A.a ＝－3，b ＝2B.a ＝－3，b ＝－3C.a＝－3，b>2D.a＝1，b＝2解析记f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一实根，D项满足题意；当a<0时，由于选项中只有a＝－3，故只考虑a＝－3即可.此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－1，1)时，f(x)单调递减，故f(x)极大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝b－2，只有一个实根，则需满足f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，则b<－2或b>2，B、C项满足.故选BCD.答案BCD。
20090209高二数学(函数的极值与导数习题课)
a＝0或4.
作业： 作业： P31～32习题1.3A组： 习题1.3A P31～32习题1.3A组 3，4，5.
1.3
导数在研究函数中的应用 函数的最大（ 函数的最大（小）值 与导数
1.3.3
问题提出
1.用导数确定函数单调性的基本原理 1.用导数确定函数单调性的基本原理 是什么？ 是什么？ f′(x)≥0 Û f(x)单调递增； f(x)单调递增； 单调递增 f′(x)≤0 Û f(x)单调递减， f(x)单调递减， 单调递减 其中f′(x)不恒等于0. 其中f (x)不恒等于0. 不恒等于
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例3 已知函数 3 3 2 f (x) = ax - (a + 2)x + 6x - 3 2 求函数f(x)的极小值； f(x)的极小值 （1）当a＞2时，求函数f(x)的极小值； ＞ 试确定函数f(x) f(x)的零点 （2）当a＜0时，试确定函数f(x)的零点 ＜ 个数. 个数.
2 极小值为f(1). （1）极大值为 f ( ) ，极小值为f(1). a
2.用导数确定函数极值的基本原理是 2.用导数确定函数极值的基本原理是 什么？ 什么？ 附近左侧f (x)＞ （1）在x0附近左侧f′(x)＞0， 右侧f (x)＜ 是极大值； 右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极大值； 附近左侧f (x)＜ （2）在x0附近左侧f′(x)＜0， 右侧f (x)＞ 是极小值. 右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极小值.
探究（ 探究（二）：函数最值的求解原理
思考1 如果函数f(x)在区间[a，b]上是 思考1：如果函数f(x)在区间[a，b]上是 f(x)在区间[a 单调函数，那么f(x)是否存在最值？ f(x)是否存在最值 单调函数，那么f(x)是否存在最值？若 存在，其最大值和最小值如何确定？ 存在，其最大值和最小值如何确定？ 若f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a) f(x)在区间[a b]上是增函数 在区间[a， 上是增函数， 为最小值，f(b)为最大值 为最大值； 为最小值，f(b)为最大值； 若f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a) f(x)在区间[a b]上是减函数 在区间[a， 上是减函数， 为最大值，f(b)为最小值 为最小值. 为最大值，f(b)为最小值.
函数的极值与最值的习题课PPT课件
函数的极值与最值的习题课
高二（9，10）班
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1
已知函数 y f ( x) 在某个区间内可导, 函数在该区间 如果 f ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间上单调递增； 如果 f ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间上单调递减． 如果 f ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间上是常数函数．
(2)答案
课堂小结:
1.在求函数的极值和最值时，要注意极值和最值的区别新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
( A) 极小值-2，极大值 2
(B) 极小值-2，极大值 3
(C ) 极小值-1，极大值 1
(D) 极小值-1，极大值 3
3.函数 y 4x x4 ,在[1, 2]上的最大、最小值分别为(B )
(A) 3、 5 (B) 3、 8
(C) 5, 8 (D) 0, 5
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4
能力练习:
1．已知函数 f ( x) x3 3ax2 3(a 2)x 1 有极
在开区间 ( a , b ) 内有（ A ）个极小值点。y y f ?(x)
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
a
O
-
b x
3
基础练习:
1.函数 y ( x 1)3 当 x 1时( C )
(A)有极大值
(B)有极小值
(C)即无极大值，也无极小值 (D)无法判断
2.函数 y=1+3x -x3 有（ D ）
NO2利用导数研究函数的极值与最值习题课
N O 2利用导数研究函数的极值与最值习题课利用导数研究函数的极值与最值班级 姓名 学号 【精讲点拨】例1.（1）若函数)11(1)(+--+=x x a x x f 在1=x 处取得极值,则实数a 的值为 .（2）函数2()3ln f x x x x =-+在x = 处取得极大值．（3）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a=（ ）(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2变式1：已知函数xx a x f ln )(+=，曲线)(x f 在点（e ，)(e f ）处的切线与直线02=+-e y x e 垂直（其中e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）若)(x f 在（m ，1+m ）上存在极值，求实数m 的取值范畴；NO.2例2、已知函数()1x a f x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值;(2)求函数()f x 的极值;变式2：已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.例3：已知函数()ln f x ax b x =+-（其中a b ∈R ，）表示的曲线在点(2(2))f ，处的切线方程为22ln 20x y --=．（Ⅰ）求a b ，的值；（Ⅱ）若()2f x kx -≥关于(0)x ∈+∞，恒成立，求实数k 的取值范畴；【巩固练习】1．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范畴是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞2.设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点3、函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________4、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是5、已知函数()()0ln 1>+-=a x axx x f .（1）若函数 ()x f 在[)+∞,1上为增函数，求正实数a 的取值范畴。
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习题课：函数的极值徐丽娜2010-5-6
教学目的熟练的求解可导数函数的极值
教学重点由极值确定字母值或取值范围
一、课前复习
1.（已知函数y=f(x)是定义在R上的可导函数，y=f′(x)是y=f(x)的导函数，命题p:f′(x0)=0；命题q:y=f(x)在x=x0处取得极值，则p是q的( )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件
【解析】选B.∵y=f(x)在定义域R上有导数且y=f(x)在x=x0处取得极值.∴f′(x0)=0，但有f′(x0)=0，函数y=f(x)在x=x0不一定有极值.例如y=x3, y′|x=0=0.但函数y=x3在x=0处无极值.
2.已知f′(x)的图象（如图所示），
则f(x)在x=1处（）
（A）取得极大值
（B）取得极小值
（C）没有取得极值
（D）是否取得极值无法确定
【解析】选B.由图知，当x<1时，f′(x)<0;
当x>1时,f′(x)>0,故f(x)在x=1处取得极小值
二、例题讲解
例1.（2009·柳州模拟）已知函数f(x)=x3+2x2+x-4, g(x)=ax2+x-8.
（1）求函数f(x)的极值；
（2）若对任意的x∈［0,+∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围.
三、课堂练习
1.函数f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则( )
(A)0＜b ＜1 (B)b ＜1 (C)b ＞0 (D)b ＜0
【解析】选A.f ′(x)=3x2-3b=3(x2-b),
若f(x)有极值则b ＞0,
由f ′(x)=0得x=± ,且f(x)在x= 处取极小值, 则0＜ ＜1得0＜b ＜1.
2.（思维拓展题）关于x 的方程x3-3x=k 在R 上只有一个实根，则常数k 的取值范围为______.
【解析】设f(x)=x3-3x-k,则f ′(x)=3x2-3,
令f ′(x)=0,得x=-1或x=1.
可得函数f(x)在(-∞,-1)和（1,+∞）上是增函数，在(-1,1)上是减函数.
f(x)极大值=f(-1)=2-k ，f(x)极小值=f(1)=-2-k.
要使原方程只有一个实数根，只需
2-k ＜0或-2-k ＞0，解得k ＞2或k ＜-2.
四、作业1.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值点，则a 的取值范围为_______
【解析】f ′(x)=3x2+6ax+3(a+2).令f ′(x)=0,因为f(x)没有极值点,
所以Δ=36a2-36(a+2)≤0,解得-1≤a ≤
2. b b b。