函数的极值习题课
数学分析6.4函数的极值与最大(小)值(练习)
第六章微分中值定理及其应用4 函数的极值与最大(小)值(讲义)练习题1、求下列函数的极值.(1)f(x)=2x3-x4; (2)f(x)=; (3)f(x)=; (4)f(x)=arctanx ln(1+x2).解：(1)f在R上连续，当f’(x)=6x2-4x3=0时，x=0或x=.又当x<0时，f’(x)=6x2-4x3>0；当0<x<时，f’(x)=6x2-x3>0；当x>时，f’(x)=6x2-4x3<0. ∴f有极大值f()=2×-=.(2)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=0，又x<0时，f’(x)<0；当x>0时，f’(x)>0. ∴f有极小值f(0)=0.(3)f在R+上连续，当f’(x)==0时，x=1或x=e2.又当x<1时，f’(x)<0；当1<x<e2时，f’(x)>0; 当x>e2时，f’(x)<0.∴f有极小值f(1)=0; 极大值f(e2)=4e-2.(4)f在R上连续，当f’(x)===0时，x=1.又当x<1时，f’(x)>0; 当x>1时，f’(x)<0，∴f有极大值f(1)=.2、设f(x)=.(1)证明x=0是函数f的极小值点; (2)说明在f的极小值点x=0处是否满足极值的第一充分条件或第二充分条件.证：(1)∵对任意x≠0，有f(x)=≥0，∴x=0是f的极小值点. (2)f’(x)=,令x n=(2nπ+)-1, y n=(2nπ+)-1, (n=1,2,…)，则x n, y n>0且x n=y n=0，又f’(x n)=(2nπ+)-2·[2(2nπ+)-1-1]< 0，f’(y n)=(2nπ+)-2·[4(2nπ+)-1-0]=4(2nπ+)-3>0，即f’在任一U+⁰(0,δ)内变号，∴f不满足第一充分条件.又f”(0)=0，∴f不满足第二充分条件.3、证明：若函数f在x0处有f+’(x0)<0(或>0), f-’(x0)>0(或<0), 则x0为f 的极大(小)值点.证：∵f+’(x0)=<0，∴存在某U⁰+(x0,δ1)，使当x∈U⁰+(x0,δ1)时，有<0，∴f(x)<f(x0).又∵f-’(x0)=>0，∴存在某U⁰-(x0,δ2)，使当x∈U⁰-(x0,δ2)时，有>0，∴f(x)<f(x0).取δ=min(δ1,δ2)，则当x∈U⁰(x0,δ)时有f(x)<f(x0)，∴x0为f的极大值点.同理可证若f在x0处有f+’(x0)>0, f-’(x0)<0, 则x0为f的极小值点.4、求下列函数在给定区间上的最大最小值.(1)y=x5-5x4+5x3+1, [-1,2]; (2)y=2tanx-tan2x, 当[0,]; (3)y=lnx, (0,+∞). 解：(1)y在[-1,2]上连续, 当y’=5x4-20x3+15x2=0时, x=0,x=1或x=3(舍去)，y(-1)=-10, y(0)=1, y(1)=2, y(2)=-7,∴y在[-1,2]的最大值为y(1)=2，最小值为y(-1)=-10.(2)记u=tanx，则当x∈[0,]时，u∈[0,+∞], y=2u-u2在[0,+∞)连续.当=2-2u=0时，u=1, x=arctan1=, y(0)=0, y()=1,由二次函数的性质知y在[0,]无最小值，最大值为y()=1.(3)y在(0,+∞)连续，当y’=+=0时，x=e-2.y(e-2)=<0, lnx=0, lnx=+∞.∴y在(0,+∞)无最大值，最小值为y(e-2)=.5、设f(x)在区间I连续，并且在I有唯一的极值点x0.证明：若x0是f的极大(小)值点，则x0是f(x)在I上的最大(小)值点. 解：∵f在I连续，∴若x0是f在I唯一的极大值点，则对任意的x∈I有f(x)<f(x0), ∴x0是f在I上的最大值点. 同理可证：若x0是f在I唯一的极小值点，则x0是f在I上的最小值点.6、把长为1的线段截为两段，问怎样截法能使以这两段线为边所组成的矩形的面积为最大？解：设两段线长为x, 1-x，则所求矩形面积为S=x(1-x)=x-x2, x∈(0,1). 当S’=1-2x=0时，x=0.5，又S”=-2<0，∴x=0.5是S唯一的极大值点.∴当两段线长都为0.5时，矩形的面积最大为S(0.5)=0.25.7、一个无盖的圆柱形容器，当给定体积为V时，要使容器的表面积最小，问底的半径与容器的高的比例应该怎样？解：设底的半径为r, 高为h，则V=πr2h, ∴h=.容器的表面积S=πr2+2πrh=πr2+. 当S’=2πr=0时，r==h，∴当底的半径与容器的高的比例为1:1时，容器的表面积最小.8、设用某仪器进行测量时，读得n次实验数据为a1,a2,…,a n. 问：以怎样的数值x表示所要测量的真值，才能使它与这n个数之差的平方和为最小？解：记S=(x-a1)2+(x-a2)2+…+(x-a n)2，当S’=2(x-a1)+2(x-a2)+…2(x-a n)=0时，x=，又S”=2n>0，∴x=是S唯一的极小值点. 又S=+∞,∴以x=表示真值时，它与这n个数之差的平方和最小.9、求正数a，使它与其倒数之和为最小.解：记f(a)=a+, a∈(0,+∞)，当f’(a)=1=0时，a=1或a=-1(舍去).f(1)=2, f(a)=+∞, f(a)=+∞. ∴a=1为所求.10、求下列函数的极值.(1)f(x)=|x(x2-1)|; (2)f(x)=; (3)f(x)=(x-1)2(x+1)3.解：(1)f’(x)=(3x2-1)sgn(x3-x), f”(x)=6xsgn(x3-x), (x≠0,±1);当f’=0时，x=, ∵f”()=-6×=-2<0, f”()=6×()=-2<0, ∴f()=f()=是f的极大值.又f(x)≥0，∴f(0)=f(±1)=0是f的极小值.(2)当f’(x)===0时，x=±1. 当x<-1时，f’(x)<0；当1<x<1时，f’(x)>0；当x>1时，f’(x)<0.∴f(-1)=-1是f的极小值，f(1)=2是f的极大值.(3)当f’(x)=2(x-1)(x+1)3+3(x-1)2(x+1)2=(x2-1)(5x-1)(x+1)=0时，x=±1或x=0.2. 当x<-1时，f’(x)>0；当-1<x<0.2时，f’(x)>0；当0.2<x<1时，f’(x)<0；当x>1时，f’(x)>0.∴f(0.2)=1.10592是f的极大值；f(1)=0是f的极小值.11、设f(x)=alnx+bx2+x, 在x1=1,x2=2处都取得极值；试定出a与b的值；并问这时f在x1与x2是取得极大值还是极小值？解1：当f’(x)=+2bx+1==0时，x=,当=1, =2时，解得a=, b=;当=2, =1时，无解.又当0<x<1时，f’(x)>0；当1<x<2时，f’(x)<0；当x>2时，f’(x)>0.∴a=, b=，且f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.解2：f’(x)=+2bx+1，∵f在x1=1,x2=2处都取得极值，∴有, 解得：a=, b=; ∴f’(x)= 1.f”(x)=，∵f”(1)=>0，f”(2)=<0.∴f在x1=1取得极小值，在x2=2取得极大值.12、在抛物线y2=2px上哪一点的法线被抛物线所截之线段最短.解：2yy’=2p, y’=，设抛物线上一点(a,b)，则过这点的法线方程为：y-b=(x-a)，即y=. 代入x=得y=,即by2+2p2y-2pab=0，设另一交点为(a’,b’)，则b+b’=,解得b’=, a’==.法线被抛物线所截线段长度的平方为：D(b)=(a’-a)2+(b’-b)2=()2+(b)2=.当D’(b)===0时，b=±p，a==p，∴抛物线在(p,±p)的法线被抛物线所截之线段最短.13、要把货物从运河边上A城运往与运河相距为BC=a千米的B城(如图). AC=d千米. 轮船运费单价是m元/千米. 火车运费单价是n元/千米(n>m). 试求运河边上的一点M，修建铁路MB，使总运费最省.解：设CM=x，则AM=d-x，在Rt△BCM中，BM=. 总运费f(x)=m(d-x)+n当f’(x)=-m=0时，x=.又f(0)=md+na, f(d)= n,f()=md+a< md+na=f(0). 令m=nsinθ, 则md+aθ+nacosθ=n sin(θ+φ)≤n=f(d). (φ=arcsin). ∴f()是f(x)在[0,d]上的最小值，即离C点千米处修铁路运费最省。
第7练 函数的极值、最值课件
8.(202X·全国Ⅰ)如图，圆形纸片的圆心为O，半径为5 cm，该纸片上的 等边三角形ABC的中心为O.D，E，F为圆O上的点，△DBC，△ECA， △FAB分别是以BC，CA，AB为底边的等腰三角形.沿虚线剪开后，分别 以BC，CA，AB为折痕折起△DBC，△ECA，△FAB，使得D，E，F重合， 得到三棱锥.当△ABC的边长变化时，所得三棱锥体积(单位：cm3)的最 大值为__4___1_5__.
方法三 当a>0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，
如图3所示，视察可知b>a.
当a<0时，根据题意画出函数f(x)的大致图象，
如图4所示，视察可知a>b.
图3
图4 综上，可知必有ab>a2成立.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
5.(202X·天津)已知a∈R.设函数f(x)＝xx2－－a2lnaxx＋，2xa>，1.x≤1，若关于x的不等 式f(x)≥0在R上恒成立，则a的取值范围为
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
令f(a)≥0，解得0≤a≤2，故0≤a≤1； 当a>1时，可得f(x)的最小值为f(1)＝1≥0，满足条件，所以a≥0. 若 x>1，由 f(x)＝x－aln x 可得 f′(x)＝1－ax＝x－x a， 当a≤1时，f′(x)>0，则f(x)在(1，＋∞)上单调递增， 故只需1－aln 1≥0，显然成立； 当a>1时，由f′(x)＝0可得x＝a， 易得f(x)的最小值为f(a)＝a－aln a， 令f(a)≥0，解得a≤e，故1<a≤e，所以a≤e. 综上，a的取值范围是[0，e].
极大值与极小值学案练习题
极大值与极小值学案练习题
§1.3.2 极大值与极小值(1)
一、知识点
1.通过几何直观得到极大(小)值与导数的关系，了解极值和极值点是函数的局部性态，仅考虑该点与附近的点之间的比较，而不是在所给的整个区间或定义域范围。
2.一般地，求函数的极值的方法是：
⑴如果在附近的左侧，右侧，那么是极大值；
⑵如果在附近的左侧，右侧，那么是极小值；
⑶如果在附近的左侧及右侧不变号，那么一定不是极值。
二、典型例题
例1.求下列函数的极值：
⑴ ⑵
例2.求函数在区间内的极值。
三、巩固练习
1.求下列函数的极值
⑴ ；
2.如果函数有极小值，极大值，那么一定小于吗？试作图说明根据下列条件大致作出函数的图象：
⑴ ，，当时；当时，；
⑵ ，当时， .
四、课堂小结
五、课后反思
六、课后作业
1.已知函数的导数则当 = 时，函数取得极大值；
2.函数的极大值是，极小值是；
3.函数，当 = 时取得极大值为；当 = 时，取得
极小值为；函数在区间上是单调递减的，在区间上
是单调递增的，当 = 时，取极小值，则极小值为；
5.求下列函数的极值：
⑴ ⑵
⑶ ⑷求函数的极值。
7.已知函数的图象如图所示，试作出的草图.
订正栏：。
3.3.4 极值最值习题课
f ( x )在 [ 0， ] 上 有 极 大 值 f ( 3
（ x） 在 x 0时 取 最 小 值 - 4。 f
题型一、求最值
1、求函数 f ( x ) x - 1 )( x - 2） 在区间[0，3]上 （ 的最小值
2
令 解 ： 依 题 意 得 f '( x ) ( x 2 )( 3 x 4 ) 令 f '( x ) 0 得 x （ 0） 4， （ f f 4 3 （ 2） 0， （ 3） 3 f f ....... 4 3 ，或x 2 4 27 ，
a=2，b=3或a=-2，b=-29
练习：
1、 设 f ( x ) 是函数 f ( x ) 的导函数，
y f ( x ) 的图象 如图所示，
则 y f ( x ) 的图象最有可能的是（
C
）
若函数 f(x)=x +bx+c 的图象的顶点在第四象限， 则函数 f (x)的图象是
/
2
（
A
）
3、已知 f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1 有极大值和 极小值，则 a 的取值范围为( D )
( A ) －1<a<2 (C ) a<－1 或 a>2 ( B ) －3<a<6 ( D ) a<－3 或 a>6
函数 f ( x ) = ax3 + ( a – 1 )x2 + 48( b – 3 )x + b 的 图象关于原点中心对称，则 f ( x) ( )
D
A．在[–4 B． 在[–4 C． 在[4
3
，4
3
3
]上为增函数
3
，4
课时作业2：5.3.2 第一课时 函数的极值
5.3.2函数的极值与最大(小)值第一课时函数的极值基础达标一、选择题1.(多选题)定义在R上的可导函数y＝f(x)的导函数的图象如图所示，以下结论正确的是()A.－3是f(x)的一个极小值点B.－2和－1都是f(x)的极大值点C.f(x)的单调递增区间是(－3，＋∞)D.f(x)的单调递减区间是(－∞，－3)解析当x<－3时，f′(x)<0，x∈(－3，＋∞)时f′(x)≥0，∴－3是极小值点，无极大值点，增区间是(－3，＋∞)，减区间是(－∞，－3).故选ACD.答案ACD2.函数f(x)＝ln x－x在区间(0，e)上的极大值为()A.－eB.1－eC.－1D.0解析f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝1x－1.令f′(x)＝0，得x＝1.当x∈(0，1)时，f′(x)>0，当x∈(1，e)时，f′(x)<0，故f(x)在x＝1处取得极大值f(1)＝ln 1－1＝0－1＝－1.答案C3.若函数f(x)＝x3－3bx＋3在(－1，2)内有极值，则实数b的取值范围是()A.(0，4)B.[0，4)C.[1，4)D.(1，4)解析f′(x)＝3x2－3b＝0，即x2＝b.又∵f(x)在(－1，2)内有极值，∴f′(x)在(－1，2)内有变号零点，∴0≤b<4.当b＝0时，f(x)＝x3＋3在R上单调递增，没有极值，故选A.答案A4.(多选题)已知函数f(x)的定义域为R且导函数为f′(x)，如图是函数y＝xf′(x)的图象，则下列说法正确的是()A.函数f(x)的增区间是(－2，0)，(2，＋∞)B.函数f(x)的增区间是(－∞，－2)，(2，＋∞)C.x＝－2是函数的极小值点D.x＝2是函数的极小值点解析由题意，当0<x<2时，f′(x)<0；当x>2，f′(x)>0；当－2<x<0时，f′(x)<0；当x<－2时，f′(x)>0；即函数f(x)在(－∞，－2)和(2，＋∞)上单调递增，在(－2，2)上单调递减，因此函数f(x)在x＝2时取得极小值，在x＝－2时取得极大值；故A 错，B正确；C错，D正确.故选：BD.答案BD5.若函数f(x)＝e x－ax－b在R上有小于0的极值点，则实数a的取值范围是()A.(－1，0)B.(0，1)C.(－∞，－1)D.(1，＋∞)解析由题意知f′(x)＝e x－a.当a≤0时，f′(x)>0恒成立，则f(x)在R上单调递增，不符合题意.当a>0时，令f′(x)＝0，解得x＝ln a，∴当x∈(－∞，ln a)时，f′(x)<0；当x∈(ln a，＋∞)时，f′(x)>0.可知x＝ln a为f(x)的极值点，∴ln a<0，∴a∈(0，1).故选B.答案B二、填空题6.(多空题)函数f (x )＝ax 3＋bx 在x ＝1处有极值－2，则a ，b 的值分别为a ＝________，b ＝________.解析 ∵f ′(x )＝3ax 2＋b ，又当x ＝1时有极值－2， ∵f ′(1)＝3a ＋b ＝0，① a ＋b ＝－2，②联立①②，解得⎩⎨⎧a ＝1，b ＝－3，∴故答案为1，－3.答案 1 －37.函数f (x )＝x 3＋3ax 2＋3(a ＋2)x ＋3既有极大值又有极小值，则实数a 的取值范围是________.解析 f ′(x )＝3x 2＋6ax ＋3(a ＋2)，令f ′(x )＝0，即x 2＋2ax ＋a ＋2＝0，∵函数f (x )有极大值和极小值，∴方程x 2＋2ax ＋a ＋2＝0有两个不相等的实数根，即Δ＝4a 2－4a －8＞0，解得a ＞2或a ＜－1. 答案 (－∞，－1)∪(2，＋∞)8.函数f (x )＝ax －1－ln x (a ≤0)在定义域内的极值点的个数为________. 解析 因为x >0，f ′(x )＝a －1x ＝ax －1x ， 所以当a ≤0时，f ′(x )<0在(0，＋∞)上恒成立， 所以函数f (x )在(0，＋∞)上是减少的， 所以f (x )在(0，＋∞)上没有极值点. 答案 0 三、解答题9.求函数f (x )＝2xx 2＋1－2的极值. 解 函数的定义域为R .f ′(x )＝2（x 2＋1）－4x 2（x 2＋1）2＝－2（x －1）（x ＋1）（x 2＋1）2.令f ′(x )＝0，得x ＝－1，或x ＝1.当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：当x＝－1时，函数有极小值，且极小值为f(－1)＝－3；当x＝1时，函数有极大值，且极大值为f(1)＝－1.10.设x＝1与x＝2是函数f(x)＝a ln x＋bx2＋x的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值；(2)判断x＝1，x＝2是函数f(x)的极大值点还是极小值点，并说明理由.解(1)∵f(x)＝a ln x＋bx2＋x，∴f′(x)＝ax＋2bx＋1.由极值点的必要条件可知：f′(1)＝f′(2)＝0，∴a＋2b＋1＝0且a2＋4b＋1＝0，解得，a＝－23，b＝－16.(2)由(1)可知f(x)＝－23ln x－16x2＋x，且其定义域是(0，＋∞)，f′(x)＝－23x－1－13x＋1＝－（x－1）（x－2）3x.当x∈(0，1)∪(2，＋∞)时，f′(x)<0；当x∈(1，2)时，f′(x)>0；所以，x＝1是函数f(x)的极小值点，x＝2是函数f(x)的极大值点.能力提升11.函数f(x)＝e x(x－a e x)恰有两个极值点x1，x2(x1<x2)，则实数a的取值范围是________.解析∵函数f(x)＝e x(x－a e x)，∴f′(x)＝(x＋1－2a e x)e x.∵函数f (x )恰有两个极值点x 1，x 2，∴x 1，x 2是方程f ′(x )＝0的两个不相等的实数根.令x ＋1－2a e x ＝0，可知a ≠0， ∴x ＋12a ＝e x .设y 1＝x ＋12a (a ≠0)，y 2＝e x ，在同一坐标系内画出两个函数的图象，如图所示.要使这两个函数有两个不同的交点，应满足12a >1，解得0<a <12，所以实数a 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，1212.已知函数f (x )＝12x 2＋a ln x .(1)若a ＝－1，求函数f (x )的极值，并指出是极大值还是极小值；(2)若a ＝1，求证：在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )＝23x 3的图象的下方.(1)解 易知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)， 当a ＝－1时，f ′(x )＝x －1x ＝（x ＋1）（x －1）x .令f ′(x )＝0，得x ＝1或x ＝－1(舍去). 当x ∈(0，1)时，f ′(x )<0，因此函数f (x )在(0，1)上是减函数； 当x ∈(1，＋∞)时，f ′(x )>0， 因此函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数.故x ＝1是f (x )的极小值，所以f (x )在x ＝1处取得极小值12.(2)证明 设F (x )＝f (x )－g (x )＝12x 2＋ln x －23x 3， 则F ′(x )＝x ＋1x －2x 2＝－2x 3＋x 2＋1x ＝－（x －1）（2x 2＋x ＋1）x .显然由2x 2＋x ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋142＋78及x >0可知，当x >1时，F ′(x )<0，故F (x )在区间[1，＋∞)上是减函数，又F (1)＝－16<0，所以在区间[1，＋∞)上，F (x )≤F (1)<0，即F (x )<0恒成立，即f (x )<g (x )恒成立.因此，当a ＝1时，在区间[1，＋∞)上，函数f (x )的图象在函数g (x )的图象的下方.创新猜想13.(多选题)设f ′(x )为函数f (x )的导函数，已知x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x ，f (1)＝12，则下列结论正确的是( ) A.xf (x )在(1，＋∞)单调递增 B.xf (x )在(1，＋∞)单调递减 C.xf (x )在(0，＋∞)上有极大值12 D.xf (x )在(0，＋∞)上有极小值12解析 由x 2f ′(x )＋xf (x )＝ln x 得x >0，则xf ′(x )＋f (x )＝ln x x ，即[xf (x )]′＝ln xx ，设g (x )＝xf (x )，由g ′(x )＝ln xx >0得x >1，由g ′(x )<0得0<x <1，即xf (x )在(1，＋∞)单调递增，在(0，1)单调递减，即当x ＝1时，函数g (x )＝xf (x )取得极小值g (1)＝f (1)＝12，故选AD. 答案 AD14.(多选题)设x 3＋ax ＋b ＝0(a ，b ∈R )，下列条件中，使得该三次方程仅有一个实根的是( ) A.a ＝－3，b ＝2B.a ＝－3，b ＝－3C.a＝－3，b>2D.a＝1，b＝2解析记f(x)＝x3＋ax＋b，那么f′(x)＝3x2＋a.当a≥0时，f′(x)≥0，f(x)单调递增，必有一实根，D项满足题意；当a<0时，由于选项中只有a＝－3，故只考虑a＝－3即可.此时f′(x)＝3x2－3＝3(x＋1)(x－1)，故x∈(－∞，－1)，(1，＋∞)时，f(x)单调递增；x∈(－1，1)时，f(x)单调递减，故f(x)极大值＝f(－1)＝b＋2，f(x)极小值＝f(1)＝b－2，只有一个实根，则需满足f(x)极大值<0或f(x)极小值>0，则b<－2或b>2，B、C项满足.故选BCD.答案BCD。
20090209高二数学(函数的极值与导数习题课)
a＝0或4.
作业： 作业： P31～32习题1.3A组： 习题1.3A P31～32习题1.3A组 3，4，5.
1.3
导数在研究函数中的应用 函数的最大（ 函数的最大（小）值 与导数
1.3.3
问题提出
1.用导数确定函数单调性的基本原理 1.用导数确定函数单调性的基本原理 是什么？ 是什么？ f′(x)≥0 Û f(x)单调递增； f(x)单调递增； 单调递增 f′(x)≤0 Û f(x)单调递减， f(x)单调递减， 单调递减 其中f′(x)不恒等于0. 其中f (x)不恒等于0. 不恒等于
4
4
例3 已知函数 3 3 2 f (x) = ax - (a + 2)x + 6x - 3 2 求函数f(x)的极小值； f(x)的极小值 （1）当a＞2时，求函数f(x)的极小值； ＞ 试确定函数f(x) f(x)的零点 （2）当a＜0时，试确定函数f(x)的零点 ＜ 个数. 个数.
2 极小值为f(1). （1）极大值为 f ( ) ，极小值为f(1). a
2.用导数确定函数极值的基本原理是 2.用导数确定函数极值的基本原理是 什么？ 什么？ 附近左侧f (x)＞ （1）在x0附近左侧f′(x)＞0， 右侧f (x)＜ 是极大值； 右侧f′(x)＜0，则f(x0)是极大值； 附近左侧f (x)＜ （2）在x0附近左侧f′(x)＜0， 右侧f (x)＞ 是极小值. 右侧f′(x)＞0，则f(x0)是极小值.
探究（ 探究（二）：函数最值的求解原理
思考1 如果函数f(x)在区间[a，b]上是 思考1：如果函数f(x)在区间[a，b]上是 f(x)在区间[a 单调函数，那么f(x)是否存在最值？ f(x)是否存在最值 单调函数，那么f(x)是否存在最值？若 存在，其最大值和最小值如何确定？ 存在，其最大值和最小值如何确定？ 若f(x)在区间[a，b]上是增函数，则f(a) f(x)在区间[a b]上是增函数 在区间[a， 上是增函数， 为最小值，f(b)为最大值 为最大值； 为最小值，f(b)为最大值； 若f(x)在区间[a，b]上是减函数，则f(a) f(x)在区间[a b]上是减函数 在区间[a， 上是减函数， 为最大值，f(b)为最小值 为最小值. 为最大值，f(b)为最小值.
函数的极值与最值的习题课PPT课件
函数的极值与最值的习题课
高二（9，10）班
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1
已知函数 y f ( x) 在某个区间内可导, 函数在该区间 如果 f ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间上单调递增； 如果 f ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间上单调递减． 如果 f ( x) 0 ，那么函数 y f ( x) 在这个区间上是常数函数．
(2)答案
课堂小结:
1.在求函数的极值和最值时，要注意极值和最值的区别新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@ 新疆 源头学子小屋 /wxc/ 特级教师 王新敞 wxckt@
( A) 极小值-2，极大值 2
(B) 极小值-2，极大值 3
(C ) 极小值-1，极大值 1
(D) 极小值-1，极大值 3
3.函数 y 4x x4 ,在[1, 2]上的最大、最小值分别为(B )
(A) 3、 5 (B) 3、 8
(C) 5, 8 (D) 0, 5
-
4
能力练习:
1．已知函数 f ( x) x3 3ax2 3(a 2)x 1 有极
在开区间 ( a , b ) 内有（ A ）个极小值点。y y f ?(x)
(A)1 (B)2 (C)3 (D) 4
a
O
-
b x
3
基础练习:
1.函数 y ( x 1)3 当 x 1时( C )
(A)有极大值
(B)有极小值
(C)即无极大值，也无极小值 (D)无法判断
2.函数 y=1+3x -x3 有（ D ）
NO2利用导数研究函数的极值与最值习题课
N O 2利用导数研究函数的极值与最值习题课利用导数研究函数的极值与最值班级 姓名 学号 【精讲点拨】例1.（1）若函数)11(1)(+--+=x x a x x f 在1=x 处取得极值,则实数a 的值为 .（2）函数2()3ln f x x x x =-+在x = 处取得极大值．（3）已知a 函数f(x)＝x 3－12x 的极小值点，则a=（ ）(A)-4 (B) -2 (C)4 (D)2变式1：已知函数xx a x f ln )(+=，曲线)(x f 在点（e ，)(e f ）处的切线与直线02=+-e y x e 垂直（其中e 为自然对数的底数）.（Ⅰ）若)(x f 在（m ，1+m ）上存在极值，求实数m 的取值范畴；NO.2例2、已知函数()1x a f x x e =-+(a R ∈,e 为自然对数的底数). (1)若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线平行于x 轴,求a 的值;(2)求函数()f x 的极值;变式2：已知函数2()()4x f x e ax b x x =+--,曲线()y f x =在点(0,(0))f 处切线方程为44y x =+.(Ⅰ)求,a b 的值;(Ⅱ)讨论()f x 的单调性,并求()f x 的极大值.例3：已知函数()ln f x ax b x =+-（其中a b ∈R ，）表示的曲线在点(2(2))f ，处的切线方程为22ln 20x y --=．（Ⅰ）求a b ，的值；（Ⅱ）若()2f x kx -≥关于(0)x ∈+∞，恒成立，求实数k 的取值范畴；【巩固练习】1．已知函数()(ln )f x x x ax =-有两个极值点,则实数a 的取值范畴是（ ）A ．(,0)-∞B ．1(0,)2C ．(0,1)D ．(0,)+∞2.设函数)(x f 的定义域为R ,)0(00≠x x 是)(x f 的极大值点,以下结论一定正确的是（ ）A ．)()(,0x f x f R x ≤∈∀B ．0x -是)(x f -的极小值点C ．0x -是)(x f -的极小值点D ．0x -是)(x f --的极小值点3、函数x y xe =在其极值点处的切线方程为____________4、已知函数y=f(x)的图像是下列四个图像之一,且其导函数y=f’(x)的图像如右图所示,则该函数的图像是5、已知函数()()0ln 1>+-=a x axx x f .（1）若函数 ()x f 在[)+∞,1上为增函数，求正实数a 的取值范畴。
函数的单调性与极值习题课
性质
若函数$f(x)$在区间 $I$上单调递增，则对 于任意$x_1, x_2 in I$， 当$x_1 < x_2$时，有 $f(x_1) leq f(x_2)$。
若函数$f(x)$在区间 $I$上单调递增，则其 导数$f'(x) geq 0$。
单调递增函数的图像 是上升的。
单调减函数的定义与性质
二次函数的单调性与极值
二次函数$f(x) = ax^2 + bx + c$的 单调性由系数$a$和对称轴$x = frac{b}{2a}$决定：当$a > 0$且对称 轴在$x$轴左侧时，函数在$( -infty, -frac{b}{2a})$上单调递减，在$( frac{b}{2a}, +infty)$上单调递增； 当$a < 0$且对称轴在$x$轴右侧时， 函数在$( -frac{b}{2a}, +infty)$上单 调递减，在$( -infty, -frac{b}{2a})$ 上单调递增。
若函数$f(x)$在区间$I$ 上单调递减，则其导数 $f'(x) leq 0$。
单调递减函数的图像是 下降的。
复合函数的单调性
复合函数单调性的判断方法：同增异减。
举例：设函数$y = f(u)$和$u = g(x)$的单调性分别为$( - infty, a)$上递增和$( infty, b)$上递减，则复合函数$y = f(g(x))$在$( - infty, b)$上递减。
03
常见函数的单调性与极值
一次函数的单调性与极值
一次函数$f(x) = ax + b$的单调性由系数$a$决定：当$a > 0$时，函数在$mathbb{R}$上单调递增；当$a < 0$时，函 数在$mathbb{R}$上单调递减。
2.6.2函数的极值（讲义+典型例题+小练）（解析版）
2.6.2函数的极值（讲义+典型例题+小练）函数的极值与其导数的关系：1.①极值的定义：设函数()f x 在点0x 附近有定义，且若对0x 附近的所有的点都有0()()f x f x <（或0()()f x f x >，则称0()f x 为函数的一个极大（或小）值，0x 为极大（或极小）值点。
②可导数()f x 在极值点．．．0x 处的导数为0（即0'()0f x =），但函数()f x 在某点0x 处的导数为0，并不一定函数()f x 在该处取得极值（如3()f x x =在00x =处的导数为0，但()f x 没有极值）。
③求极值的步骤： 第一步：求导数'()f x ；第二步：求方程'()0f x =的所有实根；第三步：列表考察在每个根0x 附近，从左到右，导数'()f x 的符号如何变化， 若'()f x 的符号由正变负，则0()f x 是极大值； 若'()f x 的符号由负变正，则0()f x 是极小值；若'()f x 的符号不变，则0()f x 不是极值，0x 不是极值点。
例：1．函数()1f x x x=+的极大值点为（ ） A ．1 B ．1- C ．1± D ．不存在【答案】B 【解析】 【分析】求导，令导数等于0，然后判断导数符号可得，或者根据对勾函数图象可解. 【详解】 令221(1)(1)()10x x f x x x -+'=-==，得1x =±， 因为1x <-时，()0f x '>，10x -<<时，()0f x '<，所以1x =-时()f x 有极大值； 当01x <<时，()0f x '<，1x >时，()0f x '>，所以1x =时()f x 有极小值.故选：B2．函数()f x 的导函数()f x '的图像如图所示，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极小值点为1x ，4xB ．()f x 的极大值点为2xC ．()f x '有唯一的极小值D ．函数()f x 在(),a b 上的极值点的个数为2 【答案】D 【解析】 【分析】根据图象直接判断即可. 【详解】由图像可知，()f x 的极小值点为5x ，极大值点为3x ，故A ，B 选项错误；1x ，4x 为()f x '的极小值点，故C 错误；由极值点的概念知函数()f x 在(),a b 上的极值点是3x ，5x ，个数为2，D 正确； 故选：D.3．已知函数()21x x x f x e ++=，则()f x 的极小值为___________.【答案】1 【解析】 【分析】根据导数判断函数的单调性，进而求得极小值. 【详解】由()21x x x f x e ++=，得()()()()()222111x x x x x e x x e x x f x e e +-++--'==， 令()0f x '=，解得0x =或1x =，故函数()f x 在(),0∞-，()1,+∞上单调递减，在()0,1上单调递增， 故函数()f x 在0x =时取极小值()01f =， 故答案为：1.4．已知函数322()(23)f x x ax a x a =+-++，a R ∈. (1)若2a =-时，求：函数()f x 的极值；(2)若曲线()y f x =在1x =-处的切线与直线20x y -=平行，求：实数a 的值. 【答案】(1)极大值11227，极小值4 (2)12a =-【解析】 【分析】（1）首先求出函数的导函数，令()0f x '=，即可得到x 、()'f x 与()f x 的关系表，从而求出函数的极值；（2）求出函数的导函数，再根据()12f '-=得到方程，解得即可； (1)解：因为2a =-， 则32()24f x x x x =-++，所以()()2()341311f x x x x x '=-+=--，令()0f x '=，解得121,13x x ==.x1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ 131,13⎛⎫ ⎪⎝⎭ 1()1,+∞()'f x+-+()f x单调递增极大值 单调递减 极小值 单调递增当13x =时，()f x 取极大值，32111111224333327f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-⨯++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，即函数的极大值为11227，当1x =时，()f x 取极小值，()14f =，即函数的极小值为4； (2)解：因为()()32223f x x ax a x a =+-++，所以()()23223f x x ax a '=+-+，因为直线20x y -=的斜率2k =，即()()()22312123a a =⨯-+⨯--+， 解得12a =-.举一反三1．已知函数()ln xf x x=，则（ ） A ．函数()f x 的极大值为1e，无极小值B ．函数()f x 的极小值为1e，无极大值C ．函数()f x 的极大值为0，无极小值D ．函数()f x 的极小值为0，无极大值【答案】A 【解析】 【分析】利用导数来求得()f x 的极值. 【详解】()f x 的定义域为()0,∞+，()'21ln xf x x -=， ()f x 在()()()'0,e ,0,f x f x >递增；在()()()'e,,0,f x f x +∞<递减， 所以()f x 的极大值为()1e ef =，没有极小值.故选：A2．已知函数()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0,]m 有且仅有2个极值点，则 m 的取值范围是（ ） A ．47,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭B ．47,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．710,33ππ⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．710,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】A 【解析】 【分析】根据导数的性质，结合余弦型函数的性质、极值的定义进行求解即可. 【详解】由()()'sin cos 0()6662f x x f x x x k k Z πππππ⎛⎫⎛⎫=+⇒=+=⇒+=+∈ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，()3x k k Z ππ⇒=+∈，因为()sin 6f x x π⎛⎫=+ ⎪⎝⎭在区间[0,]m 有且仅有2个极值点，所以令0,1,2k =，解得47,,333πππ，因此有4733m ππ≤<， 故选：A3．已知函数()2e xx af x -=，1x =是函数()f x 的一个极值点，则=a ______． 【答案】无解 【解析】 【分析】根据极值点处的导函数值为零，然后再检验极值点是否存在即可求解. 【详解】因为()2e x x a f x -=，则()2e 2x x x x af +-+'=，由于1x =是函数()f x 的一个极值点，所以()221101e xaf a -+'==⇒=-+，当1a =-时，()221(1)0e 2e x x x x x f x ----=+'=≤，因此函数()f x 在R 上单调递减，函数()f x 无极值，故不存在满足条件的a 值. 故答案为：无解4．设函数()322f x x x x =+--.(1)求()f x 在2x =-处的切线方程； (2)求()f x 的极小值点和极大值点. 【答案】(1)7100x y -+=；(2)极大值点1x =-，极小值点13x =.【解析】 【分析】（1）求函数的导数，利用函数的导数求出切线的斜率，结合切点坐标，然后求解切线方程；（2）利用导数研究f (x )的单调性，判断函数的极值点即可． (1)函数32()2f x x x x =+--，函数的导数为2()321f x x x '=+-．(2)12417f '-=--=，(2)84224f -=-++-=-，()f x 在2x =-处的切线方程：47(2)y x +=+，即7100x y -+=．(2)令()0f x '=，23210x x +-=，解得113x =，21x =-．当113x -<<时，可得()0f x '<，即()f x 的单调递减区间1(1,)3-，1x <-或13x >，可得()0f x '>，∴函数单调递增区间(,1)-∞-，1(3，)∞+．()f x ∴的极大值点1x =-，极小值点13x =． 5．设a ∈R ，函数()()()322112132x a a x x x a f =-+++.(1)若函数()()()0f x g x x x'=≠为奇函数，求实数a 的值；(2)若函数()f x 在2x =处取得极小值，求实数a 的值. 【答案】(1)12-(2)1 【解析】 【分析】（1）求出()f x '，根据奇函数的概念得到210a --=，即可求出结果；（2）利用导数求出函数的单调区间，进而求出极小值点，可得12a +=，即可求出结果. (1)由已知，得()()2221f x x a x a a '=-+++，()()221f x a ag x x a x x '+==+--，0x ≠，∵()()()0f x g x x x'=≠为奇函数，∵0x ∀≠，()()0g x g x -+=，即210a --=，∵12a =-；(2)()()()()22211f x x a x a a x a x a '=-+++=--+⎡⎤⎣⎦，当x 变化时()f x '，()f x 的变化情况如下表： x(),a -∞a(),1a a +1a +()1,a ∞++()f x '+-+()f x极大值极小值∵12a +=，∵1a =.巩固提升一、单选题1．已知函数()sin f x x ax =+在3x π=处取得极值，则=a （ ）A ．32-B ．12-C ．12D ．32【答案】B 【解析】 【分析】根据极值点处导函数为零可求解. 【详解】因为()sin f x x ax =+，则()cos f x x a '=+，由题意可知1()cos 0332f a a ππ'=+=⇒=-.经检验满足题意故选：B2．已知函数()f x 的导函数()'f x 的图像如图所示，则下列判断正确的是（ ）A ．在区间(1,1)-上，函数()f x 是增函数B ．在区间(3,2)-上，函数()f x 是减函数C ．2-为函数()f x 的极小值点D ．2为函数()f x 的极大值点【答案】D【分析】根据导函数与原函数的关系可求解. 【详解】对于A ，在区间(1,0)-，()0f x '<，故A 不正确； 对于B ，在区间(3,2)--，()0f x '>，故B 不正确；对于C 、D ，由图可知()f x 在区间(0,2)上单调递增，在区间(2,3)上单调递减，且(2)0f '=，所以2-为函数()f x 的极大值点，故C 不正确，D 正确. 故选：D3．已知函数()3221f x x x x =-+-，则下列说法正确的是（ ）A ．()f x 的极小值为2-B ．()f x 的极大值为2327-C ．()f x 在区间1,13⎛⎫⎪⎝⎭上单调递增D ．()f x 在区间(),0-∞上单调递减【答案】B 【解析】 【分析】求导，利用导函数的符号变化得到函数的单调区间，进而求出函数的极值. 【详解】因为()3221f x x x x =-+-，所以()2341f x x x '=-+，令()0f x '>，得1x >或13x <；令()0f x '<，得113x <<；所以()f x 在区间()1,+∞，1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭上单调递增，在区间1,13⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，所以()f x 在13x =处有极大值，极大值为123327f ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；在1x =处有极小值，极小值为()11f =-. 故选：B.4．函数32()f x x ax bx =-+在1x =处有极值为4，则-a b 的值为（ ） A ．3 B ．3- C ．6 D ．6-【答案】B【分析】根据函数在1x =处有极值为4，由()01f '=，(1)4f =求解. 【详解】因为函数32()f x x ax bx =-+， 所以2()32f x x ax b '=-+，所以(1)320f a b '=-+=，(1)14f a b =-+=， 解得a =6,b =9，-a b =-3，故选：B5．已知三次函数()3221()(41)152723f x x m x m m x =--+--+在定义域R 上无极值点，则m的取值范围是（ ） A ．(,2)(4,)-∞+∞ B ．(,2][4,)-∞+∞ C ．[]2,4 D ．()2,4【答案】C 【解析】 【分析】求得()'f x ，结合0∆≤来求得m 的取值范围.【详解】22()2(41)1527f x x m x m m '=--+--，()f x 在定义域R 上无极值点，()'0f x ∴≥在R 上恒成立，即22(41)--+x m x 215270--≥m m 在R 上恒成立，()(()()()222Δ44141527)4684240m m m m m m m ∴=----=-+=--≤， 解得24m ≤≤. 故选：C6．已知函数()()πsin 0,2f x x ωϕωϕ⎛⎫=+>< ⎪⎝⎭的图象关于π4x =对称，π04f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上恰有3个极大值点，则ω的值等于（ ）A ．1B ．3C ．5D ．6【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件列不等式，从而求得ω的值. 【详解】 依题意π0,2ωϕ><， ()f x 的图象关于π4x =对称，π04f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，且()f x 在()0,π上恰有3个极大值点，所以12πππ42ππ42π3πk k T T ωϕωϕ⎧+=+⎪⎪⎪-+=⎨⎪<⎪⎪≥⎩，其中12,Z k k ∈，所以()12πππ22π2ππ32k k ωω⎧=-+⎪⎪⎨⎪≤<⎪⎩，()122146k k ωω⎧=-+⎨<≤⎩ ， 所以5ω=. 故选：C 二、多选题7．已知函数f （x ）=（x -a ）（x -3）2，当x =3时，f （x ）有极大值，则a 的取值可以是（ ） A ．6 B ．5 C ．4 D ．3【答案】ABC 【解析】 【分析】求得导数函数()(3)(332),f x x x a '=---只需3233a+>即可满足题意. 【详解】2()()(3),f x x a x =--∴22()(3)()(3)(3)(332),f x x x a x x x a '=---=--+-令 ()0f x '=，则3x =或323ax +=， 当3233a +>时，即3a >时，()f x 在(),3-∞单调递增，323,3a +⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减，32,3a +⎛⎫+∞⎪⎝⎭单调递增，此时，当x =3时，f （x ）有极大值， 则a 的取值可以是4,5,6. 故选：ABC.8．已知函数()e xxf x =，下列说法正确的有（ ） A ．312ef ⎛⎫⎪⎭= ⎝B ．()f x 只有一个零点C ．()f x 有两个零点D ．()f x 有一个极大值点【答案】BD 【解析】 【分析】根据解析式得出32f ⎛⎫⎪⎝⎭；由()0f x =判断BC ；由导数判断D.【详解】332233322e 2e f ⎛⎫== ⎪⎝⎭，故A 错误；()0,0e xx f x x ===，即函数()f x 只有一个零点，故B 正确，C 错误；1()e x xf x -'=，()01f x x '>⇒<，()01f x x '<⇒>，即函数()f x 在(,1)-∞上单调递增，在(1,)+∞上单调递减，即()f x 有一个极大值点，故D 正确；故选：BD 三、填空题9．已知函数2()exx x af x +-=在1x =处取得极值，则()f x 的极小值___________. 【答案】1 【解析】 【分析】求出导函数，由极值点确定参数a 的值，再根据导数与单调性的关系得极值． 【详解】21()e xx x a f x -+++'=， ()f x 在1x =处取得极值，则1(1)0ea f +'==，1a =-， 21()e xx x f x ++=，2(1)()e e x xx x x x f x -+--'==， 0x <或1x >时，()0f x '<，01x <<时，()0f x '>，()f x 在(,0)-∞和(1,)+∞上递减，在(0,1)上递增，因此0x =时，()f x 取得极小值0001(0)1e f ++==， 故答案为：110．若函数f (x )＝x 3＋mx 2＋x ＋1在R 上无极值点，则实数m 的取值范围是_____. 【答案】3,3⎡-⎣【解析】 【分析】求导，利用判别式小于等于0得出实数m 的取值范围. 【详解】f ′(x )＝3x 2＋2mx ＋1.由题意得Δ＝4m 2－12≤0，解得33m ≤，即实数m 的取值范围是3,3⎡-⎣.故答案为：3,3⎡-⎣四、解答题11．已知函数32()f x x ax bx c =+++在1x =与23x =-时，都取得极值．(1)求a ，b 的值；(2)若3(1)2f -=，求()f x 的单调增区间和极值． 【答案】(1)12a =-，2b =-(2)函数的单调递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数的极大值是249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，函数的极小值是12-.【解析】 【分析】（1）利用导数与极值点的关系，求得,a b 后，再检验；（2）首先求c ，再利用导数和函数单调性，极值的关系，即可求解. (1)()232f x x ax b '=++，由条件可知()10f '=和203f ⎛⎫'-= ⎪⎝⎭，即32044033a b a b ++=⎧⎪⎨-+=⎪⎩，解得：12a =-，2b =-，所以()32122f x x x x c =--+， 检验：()()()232132f x x x x x '=--=-+x2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 23-2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1()1,+∞f x+-+()f x单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增经检验1x =与23x =-时，都取得极值，满足条件，所以12a =-，2b =-；(2)()1311222f c -=--++=，解得：1c =，所以()321212f x x x x =--+()()()232132f x x x x x '=--=-+x2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭ 23-2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭ 1()1,+∞f x+0 -+()f x单调递增极大值4927单调递减极小值12-单调递增有表可知，函数的单调递增区间是2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭和()1,+∞，单调递减区间是2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭，函数的极大值是249327f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，函数的极小值是12-.12．已知函数32()f x x ax bx =++在23x =-与1x =处都取得极值.(1)求a ，b 的值； (2)求函数()f x 的单调区间. 【答案】(1)12a =-，2b =-(2)单调增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞；单调减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】 【分析】（1）根据极值点以及根与系数关系列方程组，解方程组求得,a b . （2）结合导数求得()f x 的单调区间. (1)()'232f x x ax b =++，依题意221133,222133a a b b ⎧-+=-⎪⎪⇒=-=-⎨⎪-⨯=⎪⎩.验证满足题意 (2)由（1）得()()()'232132f x x x x x =--=-+，所以()f x 在区间()()()'2,,1,,0,3f x f x ⎛⎫-∞-+∞> ⎪⎝⎭递增，在区间()()'2,1,0,3f x f x ⎛⎫-< ⎪⎝⎭递减.即()f x 的单调增区间为2,3⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭，()1,+∞；单调减区间为2,13⎛⎫- ⎪⎝⎭.。
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习题课：函数的极值徐丽娜2010-5-6
教学目的熟练的求解可导数函数的极值
教学重点由极值确定字母值或取值范围
一、课前复习
1.（已知函数y=f(x)是定义在R上的可导函数，y=f′(x)是y=f(x)的导函数，命题p:f′(x0)=0；命题q:y=f(x)在x=x0处取得极值，则p是q的( )
(A)充分不必要条件(B)必要不充分条件
(C)充要条件(D)既不充分又不必要条件
【解析】选B.∵y=f(x)在定义域R上有导数且y=f(x)在x=x0处取得极值.∴f′(x0)=0，但有f′(x0)=0，函数y=f(x)在x=x0不一定有极值.例如y=x3, y′|x=0=0.但函数y=x3在x=0处无极值.
2.已知f′(x)的图象（如图所示），
则f(x)在x=1处（）
（A）取得极大值
（B）取得极小值
（C）没有取得极值
（D）是否取得极值无法确定
【解析】选B.由图知，当x<1时，f′(x)<0;
当x>1时,f′(x)>0,故f(x)在x=1处取得极小值
二、例题讲解
例1.（2009·柳州模拟）已知函数f(x)=x3+2x2+x-4, g(x)=ax2+x-8.
（1）求函数f(x)的极值；
（2）若对任意的x∈［0,+∞)都有f(x)≥g(x)，求实数a的取值范围.
三、课堂练习
1.函数f(x)=x3-3bx+3b 在(0,1)内有极小值,则( )
(A)0＜b ＜1 (B)b ＜1 (C)b ＞0 (D)b ＜0
【解析】选A.f ′(x)=3x2-3b=3(x2-b),
若f(x)有极值则b ＞0,
由f ′(x)=0得x=± ,且f(x)在x= 处取极小值, 则0＜ ＜1得0＜b ＜1.
2.（思维拓展题）关于x 的方程x3-3x=k 在R 上只有一个实根，则常数k 的取值范围为______.
【解析】设f(x)=x3-3x-k,则f ′(x)=3x2-3,
令f ′(x)=0,得x=-1或x=1.
可得函数f(x)在(-∞,-1)和（1,+∞）上是增函数，在(-1,1)上是减函数.
f(x)极大值=f(-1)=2-k ，f(x)极小值=f(1)=-2-k.
要使原方程只有一个实数根，只需
2-k ＜0或-2-k ＞0，解得k ＞2或k ＜-2.
四、作业1.若函数f(x)=x3+3ax2+3(a+2)x+1没有极值点，则a 的取值范围为_______
【解析】f ′(x)=3x2+6ax+3(a+2).令f ′(x)=0,因为f(x)没有极值点,
所以Δ=36a2-36(a+2)≤0,解得-1≤a ≤
2. b b b。