2021年上海市普陀区中考数学二模试卷(含解析)
精品解析：上海市2021年中考数学真题(解析版)
上海市2021年中考数学试题一、选择题1.下列实数中，有理数是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】先化简二次根式，再根据有理数的定义选择即可【详解】解：A 2是无理数B 3是无理数C 12为有理数D 55是无理数故选：C【点睛】本题考查二次根式的化简、无理数的定义、有理数的定义、熟练掌握有理数的定义是关键2.下列单项式中，23a b 的同类项是（）A.32a b B.232a b C.2a b D.3ab 【答案】B【解析】【分析】比较对应字母的指数,分别相等就是同类项【详解】∵a 的指数是3，b 的指数是2，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴32a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3一致，∴232a b 是23a b 的同类项，符合题意；∵a 的指数是2，b 的指数是1，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴2a b 不是23a b 的同类项，不符合题意；∵a 的指数是1，b 的指数是3，与23a b 中a 的指数是2，b 的指数是3不一致，∴3ab 不是23a b 的同类项，不符合题意；故选B【点睛】本题考查了同类项，正确理解同类项的定义是解题的关键．3.将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，以下说法错误的是（）A.开口方向不变B.对称轴不变C.y 随x 的变化情况不变D.与y 轴的交点不变【答案】D【解析】【分析】根据二次函数的平移特点即可求解．【详解】将抛物线2(0)y ax bx c a =++≠向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y 随x 的变化情况不变；与y 轴的交点改变故选D ．【点睛】此题主要考查二次函数的函数与图象，解题的关键是熟知二次函数图象平移的特点．4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A.2kg /包B.3kg /包C.4kg /包D.5kg /包【答案】A【解析】【分析】选择人数最多的包装是最合适的．【详解】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．故选：A ．【点睛】本题较简单，从图中找到选择人数最多的包装的范围，再逐项分析即可．5.如图，已知平行四边形ABCD 中，,AB a AD b == ，E 为AB 中点，求12a b += （）A.ECB.CEC.EDD.DE【答案】A【解析】【分析】根据向量的特点及加减法则即可求解．【详解】∵四边形ABCD 是平行四边形，E 为AB 中点，∴1122a b AB BC EB BC EC +=+=+= 故选A ．【点睛】此题主要考查向量的表示，解题的关键是熟知平行四边形的特点及向量的加减法则．6.如图，已知长方形ABCD 中，4,3AB AD ==，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点,C D 与圆A 的位置关系是（）A.点C 在圆A 外，点D 在圆A 内B.点C 在圆A 外，点D 在圆A 外C.点C 在圆A 上，点D 在圆A 内D.点C 在圆A 内，点D 在圆A 外【答案】C【解析】【分析】根据内切得出圆A 的半径，再判断点D 、点E 到圆心的距离即可【详解】∵圆A 与圆B 内切，4AB =，圆B 的半径为1∴圆A 的半径为5∵3AD =<5∴点D 在圆A 内在Rt △ABC 中，5AC ===∴点C 在圆A 上故选：C【点睛】本题考查点与圆的位置关系、圆与圆的位置关系、勾股定理，熟练掌握点与圆的位置关系是关键二、填空题7.计算：72=x x ÷_____________．【答案】5x 【解析】【分析】根据同底数幂的除法法则计算即可【详解】∵72=x x ÷5x ,故答案为:5x ．【点睛】本题考查了同底数幂的除法，熟练掌握运算的法则是解题的关键．8.已知6()f x x=，那么f =__________．【答案】【解析】【分析】直接利用已知的公式将x的值代入求出答案．【详解】解：∵6 ()f xx=，∴f=，故答案为：【点睛】本题主要考查了函数值，正确把已知代入是解题关键．9.3=，则x=___________．【答案】5【解析】【分析】方程两边同平方，化为一元一次方程，进而即可求解．3=，两边同平方，得49x+=，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，∴x=5，故答案是：5．【点睛】本题主要考查解根式方程，把根式方程化为整式方程，是解题的关键．10.不等式2120x-<的解集是_______．【答案】6x<【解析】【分析】根据不等式的性质即可求解．【详解】2120x-<212x<6x<故答案为：6x<．【点睛】此题主要考查不等式的求解，解题的关键是熟知不等式的性质．11.70︒的余角是__________．【答案】20︒【解析】【分析】根据余角的定义即可求解．【详解】70︒的余角是90°-70︒=20︒故答案为：20︒．【点睛】此题主要考查余角的求解，解题的关键是熟知余角的定义与性质．12.若一元二次方程2230x x c -+=无解，则c 的取值范围为_________．【答案】98c >【解析】【分析】根据一元二次方程根的判别式的意义得到()2342c =--⨯ ＜0，然后求出c 的取值范围．【详解】解：关于x 的一元二次方程2230x x c -+=无解，∵2a =，3b =-，c c =，∴()2243420b ac c =-=--⨯< ，解得98c >，∴c 的取值范围是98c >．故答案为：98c >．【点睛】本题考查了一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根的判别式△=b 2-4ac ：当△＞0，方程有两个不相等的实数根；当△=0，方程有两个相等的实数根；当△＜0，方程没有实数根．13.有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为__________．【答案】38【解析】【分析】根据概率公式计算即可【详解】根据概率公式，得偶数的概率为38，故答案为：38．【点睛】本题考查了概率计算，熟练掌握概率计算公式是解题的关键．14.已知函数y kx =经过二、四象限，且函数不经过(1,1)-，请写出一个符合条件的函数解析式_________．【答案】2y x =-（0k <且1k ≠-即可）【解析】【分析】正比例函数经过二、四象限，得到k<0，又不经过(-1,1)，得到k≠-1，由此即可求解．【详解】解：∵正比例函数y kx =经过二、四象限，∴k <0，当y kx =经过(1,1)-时，k =-1，由题意函数不经过(1,1)-，说明k ≠-1，故可以写的函数解析式为：2y x =-(本题答案不唯一，只要0k <且1k ≠-即可)．【点睛】本题考查了正比例函数的图像和性质，属于基础题，y kx =(k ≠0)当0k <时经过第二、四象限；当0k >时经过第一、三象限．15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚___________元．【答案】335k 【解析】【分析】利用待定系数法求出函数关系式，求出当售价为8元/千克时的卖出的苹果数量．再利用利润=（售价-进价）×销售量，求出利润．【详解】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为()510y mx n x =+≤≤，将（5，4k ），（10，k ）代入关系式：5410m n k m n k +=⎧⎨+=⎩，解得357m k n k⎧=-⎪⎨⎪=⎩∴()375105y kx k x =-+≤≤令8x =，则115y k =∴利润=()11338555k k -⨯=【点睛】本题考查待定系数法求函数解析式和利润求解问题．利润=（售价-进价）×销售量．16.如图，已知12ABD BCD S S = ，则BOC BCDS S =_________．【答案】23【解析】【分析】先根据等高的两个三角形的面积比等于边长比，得出12AD BC =，再根据△AOD ∽△COB 得出12OD AD OB BC ==，再根据等高的两个三角形的面积比等于边长比计算即可【详解】解：作AE ⊥BC ，CF ⊥BD ∵12ABD BCD S S = ∴△ABD 和△BCD 等高，高均为AE ∴112122ABD BCD AD AE S AD S BC BC AE === ∵AD ∥BC∴△AOD ∽△COB ∴12OD AD OB BC ==∵△BOC 和△DOC 等高，高均为CF ∴1·2211·2BOC DOCOB CF S OB S OD OD CF === ∴BOC BCD S S = 23故答案为：23【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质、等高的两个三角形的面积比等于边长比，熟练掌握三角形的面积的特点是解题的关键17.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积_________．【答案】2．【解析】【分析】由六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，可以得到中间正六边形的边长为1，做辅助线以后，得到△ABC 、△CDE 、△AEF 为以1为边长的等腰三角形，△ACE 为等边三角形，再根据等腰三角形与等边三角形的性质求出边长，求出面积之和即可．【详解】解：如图所示，连接AC 、AE 、CE ，作BG ⊥AC 、DI ⊥CE 、FH ⊥AE ，AI ⊥CE ，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE=∠EFA=120︒，AB=BC=CD=DE=EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE=∠FEA=30︒，∴BG=DI=FH=1 2，∴由勾股定理得：AG=CG=CI=EI=EH=AH=3 2，∴AC=AE=CE3，∴由勾股定理得：AI=3 2，∴S=111333 33322222⨯+=，故答案为：33 2．【点睛】本题主要考查了含30度角的直角三角形的性质、正多边形形与圆以及等边三角形的性质，关键在于知识点：在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半的应用．18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点,2P OP=，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为__________．【答案】221d ≤≤【解析】【分析】先确定正方形的中心O 与各边的所有点的连线中的最大值与最小值，然后结合旋转的条件即可求解．【详解】解：如图1，设AD 的中点为E ，连接OA ，OE ，则AE =OE =1，∠AEO =90°，2OA =．∴点O 与正方形ABCD 边上的所有点的连线中，OE 最小，等于1，OA 2．∵2OP =，∴点P 与正方形ABCD 边上的所有点的连线中，如图2所示，当点E 落在OP 上时，最大值PE =PO -EO =2-1=1；如图3所示，当点A 落在OP 上时，最小值22PA PO AO =-=-．∴当正方形ABCD 绕中心O 旋转时，点P 到正方形的距离d 的取值范围是221d ≤≤．故答案为：221d ≤≤【点睛】本题考查了新定义、正方形的性质、勾股定理等知识点，准确理解新定义的含义和熟知正方形的性质是解题的关键．三、解答题19.计算：1129|12-+-【答案】2【解析】【分析】根据分指数运算法则，绝对值化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式以及同类项即可．【详解】解：1129|1|2-+--，(112--⨯=31，=2．【点睛】本题考查实数混合运算，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项，掌握实数混合运算法则与运算顺序，分指数运算法则，绝对值符号化简，负整指数运算法则，化最简二次根式，合并同类二次根式与同类项是解题关键．20.解方程组：22340x y x y +=⎧⎨-=⎩【答案】21x y =⎧⎨=⎩和63x y =⎧⎨=-⎩【解析】【分析】由第一个方程得到3x y =-，再代入第二个方程中，解一元二次方程方程即可求出y ，再回代第一个方程中即可求出x ．【详解】解：由题意：223(1)40(2)x y x y +=⎧⎨-=⎩，由方程(1)得到：3x y =-，再代入方程(2)中：得到：22(3)40y y --=，进一步整理为：32y y -=或32y y -=-，解得11y =，23y =-，再回代方程(1)中，解得对应的12x =，26x =，故方程组的解为：21x y =⎧⎨=⎩和63x y =⎧⎨=-⎩．【点睛】本题考查了代入消元法解方程及一元二次方程的解法，熟练掌握代入消元法，运算过程中细心即可．21.已知在ABD △中，,8,4AC BD BC CD ⊥==，4cos 5ABC ∠=，BF 为AD 边上的中线．（1）求AC 的长；（2）求tan FBD ∠的值．【答案】（1）6AC =；（2）310【解析】【分析】（1）在Rt △ABC 中，利用三角函数即可求出AB ，故可得到AC 的长；（2）过点F 作FG ⊥BD ，利用中位线的性质得到FG ，CG ，再根据正切的定义即可求解．【详解】（1）∵AC BD ⊥，4cos 5ABC ∠=∴cos 45ABC BC AB ∠==∴AB =10∴AC 6=；（2）过点F 作FG ⊥BD ，∵BF 为AD 边上的中线．∴F 是AD 中点∵FG ⊥BD ，AC BD⊥∴//FG AC∴FG 是△ACD 的中位线∴FG =1=2AC 3CG=1=22CD ∴在Rt △BFG 中，tan FBD ∠=338210FG BG ==+．【点睛】此题主要考查解直角三角形，解题的关键是熟知三角函数的定义．22.现在5G 手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G 手机，三个月生产情况如下图．（1）求三月份共生产了多少部手机?（2）5G 手机速度很快，比4G 下载速度每秒多95MB ，下载一部1000MB 的电影，5G 比4G 要快190秒，求5G 手机的下载速度．【答案】（1）36万部；（2）100MB /秒【解析】【分析】（1）根据扇形统计图求出3月份的百分比，再利用80万×3月份的百分比求出三月份共生产的手机数；（2）设5G 手机的下载速度为x MB /秒，则4G 下载速度为()95x -MB /秒，根据下载一部1000MB 的电影，5G 比4G 要快190秒列方程求解．【详解】（1）3月份的百分比=130%25%45%--=三月份共生产的手机数=8045%=36⨯（万部）答：三月份共生产了36万部手机．（2）设5G 手机的下载速度为x MB /秒，则4G 下载速度为()95x -MB /秒，由题意可知：1000100019095x x-=-解得：100x =检验：当100x =时，()950x x ⋅-≠∴100x =是原分式方程的解．答：5G 手机的下载速度为100MB /秒．【点睛】本题考查实际问题与分式方程．求解分式方程时，需要检验最简公分母是否为0．23.已知：在圆O 内，弦AD 与弦BC 交于点,,,G AD CB M N =分别是CB 和AD 的中点，联结,MN OG ．（1）求证：OG MN ⊥；（2）联结,,AC AM CN ，当//CN OG 时，求证：四边形ACNM 为矩形．【答案】（1）见解析；（2）见解析【解析】【分析】（1）连结,OM ON ，由M 、N 分别是CB 和AD 的中点，可得OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，由AB CD =，可得OM ON =，可证()Rt EOP Rt FOP HL ∆∆≌，MG NG MGO NGO =∠=∠，，根据等腰三角形三线合一性质OG MN ⊥;（2）设OG 交MN 于E ，由Rt EOP Rt FOP ∆∆≌，可得MG NG =，可得CMN ANM ∠=∠，1122CM CB AD AN ===，可证CMN ANM ≌可得AM CN =，由CN ∥OG ，可得90AMN CNM ∠=∠=︒，由+=180AMN CNM ∠∠︒可得AM ∥CN ，可证ACNM 是平行四边形，再由90AM N ∠=︒可证四边形ACNM 是矩形．【详解】证明：（1）连结,OM ON ，∵M 、N 分别是CB 和AD 的中点，∴OM ，ON 为弦心距，∴OM ⊥BC ，ON ⊥AD ，90GMO GNO ∴∠=∠=︒，在O 中，AB CD =，OM ON ∴=，在Rt △OMG 和Rt △ONG 中，OM ON OG OG =⎧⎨=⎩，()Rt GOM Rt GON HL ∴∆∆≌，∴MG NG MGO NGO =∠=∠，，OG MN ∴⊥;（2）设OG 交MN 于E ，()Rt GOM Rt GON HL ∆∆ ≌，∴MG NG =，∴GMN GNM ∠=∠，即CMN ANM ∠=∠，1122CM CB AD AN === ，在△CMN 和△ANM 中CM AN CMN ANM MN NM =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，CMN ANM ∴ ≌，,AM CN AMN CNM ∴=∠=∠，∵CN ∥OG ，90CNM GEM ∴∠=∠=︒，90AMN CNM ∴∠=∠=︒，+90+90=180AMN CNM ∴∠∠=︒︒︒，∴AM ∥CN ，ACNM ∴是平行四边形，90AMN ∠=︒ ，∴四边形ACNM 是矩形．【点睛】本题考查垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定，掌握垂径定理，三角形全等判定与性质，等腰三角形判定与性质，平行线判定与性质，矩形的判定是解题关键．24.已知抛物线2(0)y ax c a =+≠过点(3,0),(1,4)P Q ．（1）求抛物线的解析式；（2）点A 在直线PQ 上且在第一象限内，过A 作AB x ⊥轴于B ，以AB 为斜边在其左侧作等腰直角ABC ．①若A 与Q 重合，求C 到抛物线对称轴的距离；②若C 落在抛物线上，求C 的坐标．【答案】（1）21922y x =-+；（2）①1；②点C 的坐标是52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭【解析】【分析】(1)将(3,0)(1,4)P Q 、两点分别代入2y ax c =+，得90,4,a c a c +=⎧⎨+=⎩,解方程组即可;（2）①根据AB =4,斜边上的高为2,Q 的横坐标为1,计算点C 的横坐标为-1,即到y 轴的距离为1；②根据直线PQ 的解析式，设点A （m ，-2m +6）,三角形ABC 是等腰直角三角形，用含有m 的代数式表示点C 的坐标，代入抛物线解析式求解即可.【详解】（1）将(3,0)(1,4)P Q 、两点分别代入2y ax c =+，得90,4,a c a c +=⎧⎨+=⎩解得19,22a c =-=．所以抛物线的解析式是21922y x =-+．（2）①如图2，抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点(1,4)Q 重合时，4AB =，作CH AB ⊥于H ．∵ABC 是等腰直角三角形，∴CBH 和CAH 也是等腰直角三角形，∴2CH AH BH ===，∴点C 到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ 的解析式为y =kx +b ，由(3,0)(1,4)P Q 、，得30,4,k b k b +=⎧⎨+=⎩解得2,6,k b =-⎧⎨=⎩∴直线PQ 的解析式为26y x =-+，设(,26)A m m -+，∴26AB m =-+，所以3CH BH AH m ===-+．所以3,(3)23C C y m x m m m =-+=--+-=-．将点(23,3)C m m --+代入21922y x =-+，得2193(23)22m m -+=--+．整理，得22730m m -+=．因式分解，得(21)(3)0m m --=．解得12m =，或3m =（与点B 重合，舍去）．当12m =时，1523132,3322m m -=-=--+=-+=．所以点C 的坐标是52,2⎛⎫- ⎪⎝⎭．【点评】本题考查了抛物线解析式的确定，一次函数解析式的确定，等腰直角三角形的性质，一元二次方程的解法，熟练掌握待定系数法，灵活用解析式表示点的坐标，熟练解一元二次方程是解题的关键．25.如图，在梯形ABCD 中，//,90,,AD BC ABC AD CD O ∠=︒=是对角线AC 的中点，联结BO 并延长交边CD 或边AD 于E ．（1）当点E 在边CD 上时，①求证：DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，求AD BC的值；（2）若2,3DE OE ==，求CD 的长．【答案】（1）①见解析；②23；（2）1或3+【解析】【分析】（1）①根据已知条件、平行线性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可推导，DAC DCA OBC OCB ∠=∠=∠=∠，由此可得DAC OBC ∽；②若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒，作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．根据30°所对直角边是斜边的一半可知CH m =，由此可得AD BC 的值．（2）①当点E 在AD 上时，可得四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，在Rt ACE 和Rt DCE V 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-求解即可．②当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m =；由EOC ECB ∽得EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+，解出x 的值即可．【详解】（1）①由AD CD =，得12∠=∠．由//AD BC ，得13∠=∠．因为BO 是Rt ABC △斜边上的中线，所以OB OC =．所以34∠=∠．所以1234∠=∠=∠=∠．所以DAC OBC ∽．②若BE CD ⊥，那么在Rt BCE 中，由234∠=∠=∠．可得23430∠=∠=∠=︒．作DH BC ⊥于H ．设2AD CD m ==，那么2BH AD m ==．在Rt DCH △中，60,2DCH DC m ∠=︒=，所以CH m =．所以3BC BH CH m =+=．所以2233AD m BC m ==．（2）①如图5，当点E 在AD 上时，由//,AD BC O 是AC 的中点，可得OB OE =，所以四边形ABCE 是平行四边形．又因为90ABC ∠=︒，所以四边形ABCE 是矩形，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2AE x =-．已知3OE =，所以6AC =．在Rt ACE 和Rt DCE V 中，根据22CE CE =，列方程22226(2)2x x --=-．解得1x =+，或1x =（舍去负值）．②如图6，当点E 在CD 上时，设AD CD x ==，已知2DE =，所以2CE x =-．设OB OC m ==，已知3OE =，那么3EB m =+．一方面，由DAC OBC ∽，得DC AC OC BC =，所以2x OC m BC =，所以2OC x BC m=，另一方面，由24BEC ∠=∠∠，是公共角，得EOC ECB ∽．所以EO EC OC EC EB CB ==，所以3223x OC x m CB-==-+．等量代换，得32232x x x m m -==-+．由322x x m =-，得226x x m -=．将226x x m -=代入3223x x m -=-+，整理，得26100x x --=．解得3x =+，或3x =．【点睛】本题主要考查相似三角形的判定与性质，斜边上的中线，勾股定理等，能够运用相似三角形边的关系列方程是解题的关键．。
上海市普陀区2021届高三二模数学试题(含答案解析)
普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研2021.4 考生注意：1.本场考试时间12。
分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上作答一律不得分.4,用23铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或网珠笔作答非选择题.一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1〜6题每题4分，第7〜12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.设全集。
={-1,0,1,2},若集合4 ={-1,0,2},则C/ =.2.若复数2 = 2（i表示虚数单位），则Imz =.I3.函数y = 的零点为.X4.曲线/=4x的顶点到其准线的距窗为.jr5.若cos（e + —） = l,则cos0 = ______ .36.设棱长为2的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为.7.设（2x-l）' =40 +。
］工+。
2工2 +・・・+。
8工8 ,贝+ ,•'+二.8.设无穷等比数列仇}的前〃项和为若4=1,且lim（E+Sj=3,则公比q=.x- y < 09.设％、y均为非负实数且满足《二代z则x — 3y的最小值为______________ .x+2j-2<010.某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为（结果用最简分数表示）.11.设是直线x + y = 3上的动点，若1WXW2 ,则jZTJ-/1的最大值为.12.如图，在△力5c 中，C = -, AC = 43 r BC=\.若O为△H3Cf I JI f r Ti■ I \内部的点且满足= + = + =-0,贝力Q5|:|O8|:|OC|=. \I。
川1^1 QC|C B(第12题) 二、选择题《本大题共有4圈,满分20分，每题5分)每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.设。
2021年上海市静安区中考数学二模试题(word版 含答案)
2021年上海市静安区中考数学二模试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．下列计算正确的是（ ）A ．1﹣1＝﹣1B ．10＝0C ．（﹣1）﹣1＝1D ．（﹣1）0＝1 2．如果关于x 的方程260x x m -+=有实数根，那么m 的取值范围是（ ） A ．9m > B ．9m ≥ C ．9m ≤ D ．9m < 3．一次函数32y x =-的图像不经过的象限是（ ）A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限 4．对于等边三角形，下列说法正确的为（ ）A ．既是中心对称图形，又是轴对称图形B ．是轴对称图形，但不是中心对称图形C ．是中心对称图形，但不是轴对称图形D ．既不是中心对称图形，又不是轴对称图形5．某厂对一个班组生产的零件进行调查，该组在8天中每天所出的次品数如下（单位：个）：3，3，0，2，2，3，0，3，那么该班组在8天中出的次品数的中位数与方差分别是（ ）A ．2.5与1.5B ．2与1.5C ．2.5D ．26．对于命题：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这个圆内含；②如果一个圆上所有的点都在另一个圆的外部，那么这个圆外离．下列判断正确的是（ ） A ．①是真命题，②是假命题B ．①是假命题，②是真命题C ．①、②都是真命题D ．①、②都是假命题二、填空题7．化简：|2|=__________．8．计算：()2x x x ÷-=________．9．函数()132f xx x -=-的定义域为________． 10．如果正比例函数的图像经过第二、四象限，那么函数值y 随x 的增大而________．11．方程组2231x y x y ⎧-=⎨-=⎩的解为________．12．从1，2，3这三个数中任选两个组成两位数，在组成的所有数中任意抽取一个数，这个数恰好能被3整除的概率是________．13．为了了解学生用于阅读课外书籍的时间的情况，某校在300名九年级学生中随机对40名学生每周阅读课外书籍所用的时间进行统计．根据调查结果画出频率分布直方图，如图所示（每个小组可包括最小值，不包括最大值），由此可以估计该校九年级学生阅读课外书籍用的时间在6小时及以上的人数约为________．14．如图，在ABC 中，点D 在边AB 上，ACD B ∠=∠， 2AD =，AC =，设BA a =， BC b =，那么CD =________ ．（用向量a ，b 的式子表示）．15．如果⊙O 1与⊙O 2相交，⊙O 1的半径是5，O 1O 2＝3，那么⊙O 2的半径r 的取值范围是_____．16．如图，已知在梯形ABCD 中，AD //BC ，AB ＝CD ，矩形DEFG 的顶点E 、F 、G 分别在边AB 、BC 、CD 上，如果DE ＝5，tan C ＝52，那么AE 的长为_____．17．已知矩形纸片ABCD 的边10AB =，12BC =（如图），将它折叠后，点D 落在边AB 的中点处，那么折痕的长为________．18．在一个三角形中，如果一个内角是另一内角的n 倍（n 为整数），那么我们称这个三角形为n 倍三角形．如果一个三角形既是2倍角三角形，又是3倍角三角形，那么这个三角形最小的内角度数为________．三、解答题19．先化简，再求值：2222141x x x x x x x +----+-．其中1x =． 20．已知点()2,3A m +在双曲线m y x =上． （1）求此双曲线的表达式与点A 的坐标；（2）如果点(),5B a a -在此双曲线上，图像经过点A 、B 的一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，求此一次函数的解析式．21．已知：如图，在△ABC 中，AB ＝AC ，AE ⊥BC ，垂足为E ．DC ⊥BC ，DC ＝BC ＝2，∠ADB ＝90°，BD 与AE 、AC 分别相交于点F 、G ．求：（1）AF 的长；（2）AG 的长．22．小丽的叔叔先用900元从甲批发部购进一种商品，后发现同样的商品乙批发部比甲批发部每件便宜3元，又用1200元钱从乙批发部购进了同样的商品，且比从甲批发部购进数量多了40件．问：乙批发部的这种商品每件几元？23．已知：如图，在梯形ABCD 中，//AD BC ，90B ∠=︒，E 是AC 的中点，DE 的延长线交边BC 于点F ．（1）求证：四边形AFCD 是平行四边形；（2）如果22AE AD BC =⋅，求证四边形AFCD 是菱形．24．在平面直角坐标系xOy 中，点A 的坐标为（5，0）（如图），经过点A 的抛物线y ＝x 2+bx +5与y 轴相交于点B ，顶点为点C ．（1）求此抛物线表达式与顶点C 的坐标；（2）求∠ABC 的正弦值；（3）将此抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D ，且△DCA 与△ABC 相似，求平移后的新抛物线的表达式．25．如图，已知半圆O 的直径AB ＝4，点P 在线段OA 上，半圆P 与半圆O 相切于点A ，点C 在半圆P 上，CO ⊥AB ，AC 的延长线与半圆O 相交于点D ，OD 与BC 相交于点E ．（1）求证：AD •AP ＝OD •AC ；（2）设半圆P 的半径为x ，线段CD 的长为y ，求y 与x 之间的函数解析式，并写出定义域；（3）当点E 在半圆P 上时，求半圆P 的半径．参考答案1．D【分析】直接利用零指数幂的性质以及负整数指数幂的性质分别化简得出答案．【详解】解：A 、1﹣1＝1，故此选项错误；B 、10＝1，故此选项错误；C 、（﹣1）﹣1＝﹣1，故此选项错误；D 、（﹣1）0＝1，故此选项正确．故选：D ．【点睛】本题考查零指数幂的性质、负整数指数幂的性质，正确理解性质是关键2．C【分析】由关于x 的方程x 2-6x +m =0有实数根知△=b 2-4ac ≥0，求出m 的取值范围即可．【详解】解：∵关于x 的方程260x x m -+=有实数根，∴△=（-6）2-4m ≥0，解得：m ≤9，故选：C ．【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax 2+bx +c =0（a ≠0）的根与△=b 2-4ac 有如下关系：①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根；②当△=0时，方程有两个相等的两个实数根；③当△＜0时，方程无实数根．3．B【分析】根据一次函数的图象与系数的关系解答即可．【详解】解：∵一次函数32y x =-中，30k =>，20b =-<，∴此函数的图象经过一、三、四象限，不经过第二象限．故选：B ．【点睛】本题考查的是一次函数的图象，熟知一次函数的图象与系数的关系是解答此题的关键． 4．B【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念分析即可．【详解】等边三角形是轴对称图形，不是中心对称图形．故选：B ．【点睛】本题考查判断轴对称图形与中心对称图形．掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解答本题的关键．5．A【分析】直接利用中位数的定义和方差的计算公式计算即可．【详解】 中位数23 2.52+==． 33223328x +++++==． ()()()()()()()()2222222223232022222320232 1.58S -+-+-+-+-+-+-+-==．综上可知，中位数为2.5、方差为1.5．故选：A ．【点睛】 本题考查求中位数和方差．掌握求一组数据中中位数和方差的公式是解答本题的关键． 6．A【分析】根据圆与圆的位置关系判断即可．【详解】解：①如果一个圆上所有的点都在另一个圆的内部，那么这两个圆内含，是真命题；②如果第一个圆上的点都在另一个圆的外部，那么这两个圆外离或内含，故原命题是假命题； 故选：A ．【点睛】本题考查了命题的判断，掌握命题的定义及分类并能运用所学知识判断命题的真假是解题的关键．7．2【分析】先判断两个实数的大小关系，再根据绝对值的代数意义化简，进而得出答案．【详解】解：2<，∴原式2)=-2=-故答案为：2．【点睛】此题主要考查了绝对值的代数意义，正确判断实数的大小是解题关键．8．11x - 【分析】先把除法算式改写成分式的形式，再根据分式的基本性质进行化简，即可得出结果．【详解】解：()221(1)1x x x x x x x x x x ÷-===---． 故答案为：11x -． 【点睛】 此题考查了分式的约分，掌握分式的基本性质是解题的关键．9．32x ≠ 【分析】函数()132f xx x -=-的定义域，为自变量的取值范围，即320x -≠分母不为0． 【详解】 函数()132f x x x -=-的定义域为320x -≠，即32x ≠． 故答案：32x ≠． 【点睛】本题考查了自变量的取值范围、分式有意义的条件，准确把握分式有意义的条件是解答此题的关键．10．减小【分析】根据正比例函数的性质即可填空．【详解】根据函数图象经过第二、四象限可知其比例系数0k <．∴函数值y 随x 的增大而减小．故答案为：减小．【点睛】本题考查正比例函数的性质．掌握正比例函数(0)y kx k =≠，当0k <时，其图象经过第二、四象限，且函数值y 随x 的增大而减小是解答本题的关键．11．21x y =⎧⎨=⎩ 【分析】先求出+3x y =，再利用加减消元法进行求解x ,y 即可．【详解】解：2231x y x y ⎧-=⎨-=⎩①②由①得：()()+3x y x y -=③将②代入③得：+3x y =④②+④得：24=x ，则2x =将2x =代入④得，1y =所以21x y =⎧⎨=⎩故答案为21x y =⎧⎨=⎩． 【点睛】此题考查了解二元一次方程组，利用了消元的思想，消元的方法有：代入消元法与加减消元法．12．13【分析】利用树状图法求解即可．【详解】根据题意，列树状图如下：∴组成的两位共有：12，13，21，23，31，32，6个数，其中能够被3整除的有：12，21，2个数，∴恰好能被3整除的概率为2163P ==， 故答案为：13． 【点睛】本题考查列树状图或表格的方法求概率，准确根据题意列出树状图或表格是解题关键． 13．120【分析】根据直方图分析出课外阅读时间在6小时及以上的人数的频率，然后利用频率乘总人数即可求解．【详解】由图中可知，课外阅读时间在6小时及以上的人数的频率为0.25+0.15=0.4，∴所有学生中，课外阅读时间在6小时及以上的人数300×0.4=120人，故答案为：120．【点睛】本题考查频率分布直方图，理解频率分布直方图的意义是解题关键．14．13a b -【分析】根据∠A ＝∠A ，∠ACD ＝∠B ，可证ACD ABC ~，则有2AC AD AB =•，可得AB ＝3，BD ＝1，可求得13BD a =，然后根据CD CB BD =+ 求解即可．【详解】解：∵∠A ＝∠A ，∠ACD ＝∠B ，∴ACD ABC ~，∴2AC AD AB =•，∴22AB =∴AB ＝3，∴BD ＝1， ∴13BD AB = ， ∴13BD a =，∵CD CB BD BD BC =+=-， ∴13CD a b =-． 故答案为：13a b -． 【点睛】本题考查相似三角形的判定和性质，平面向量等知识，熟练掌握相关知识点是解题的关键．15．2＜r ＜8【分析】根据数量关系与两圆位置关系的对应情况求得，两圆相交，则R ﹣r ＜d ＜R +r ．【详解】解：∵两圆相交，∴圆心距的取值范围是|5﹣r|＜3＜5+r，即2＜r＜8．故答案为：2＜r＜8．【点睛】本题考查了由数量关系来判断两圆位置关系的方法．外离，则P＞R +r；外切，则P＝R +r；相交，则R﹣r＜P＜R +r；内切，则P＝R﹣r；内含，则P＜R﹣r．（P表示圆心距，R，r 分别表示两圆的半径）．16．2【分析】证明AE＝CG，解直角三角形求出CG，可得结论．【详解】解：∵四边形DEFG是矩形，∴EF//CD，EF＝DG，∠FGD＝∠FGC＝90°，DE＝FG＝5，∴∠EFB＝∠C，∵AD//BC，AB＝CD，∴四边形ABCD是等腰梯形，∴∠B＝∠C，∴∠B＝∠EFB，∴BE＝EF＝DG，∴AE＝CG，在Rt FGC中，tan C＝FGCG＝52，∴CG＝2，∴AE＝CG＝2，故答案为：2．【点睛】本题考查等腰梯形的性质，矩形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．17．65 6【分析】通过作出折叠后的图形，作EM BC ⊥， 先证ADP MEF △∽△，得到AD DP EM EF= ，再求出12AD BC ==，162AP AB ==，13DP =，代入求解即可． 【详解】 解：作出折叠后的图形，作EM BC ⊥，垂足为点M ，连接PD ．∵矩形纸片ABCD ，将它折叠后，点D 落在边AB 的中点处，与点P 重合∴EPD EDP ∠=∠,+90DEF EDP ∠∠=︒∵四边形ABCD 是矩形，EM BC ⊥∴EM AD ⊥∴+90DEF FEM ∠∠=︒∴=EDP FEM ∠∠∵=90A EMF ∠∠=︒∴ADP MEF △∽△ ∴AD DP EM EF= ∵四边形ABCD 是矩形，10AB =，12BC =，点D 落在边AB 的中点P 处，∴10EM AB ==，12AD BC ==，162AP AB ==，在Rt ADP 中，13DP ===， ∴121310EF =则656EF =．故答案：656． 【点睛】 本题考查了勾股定理、矩形的性质、相似三角形的判定和性质以及折叠的性质，能找到相似三角形得到边与边的关系是解答此题的关键．18．30或20︒或18︒或360()11 【分析】根据n 倍三角形的定义结合三角形内角和定理，进行分类讨论计算即可．【详解】设最小的内角为x ︒．分类讨论：①当2倍角为2x ︒，3倍角为3x ︒时，可得：23180x x x ︒+︒+︒=︒，解得30x =．②当2倍角为2x ︒，3倍角为6x ︒时，可得：26180x x x ︒+︒+︒=︒，解得20x ．③当3倍角为3x ︒，2倍角为6x ︒时，可得：36180x x x ︒+︒+︒=︒，解得18x =．④当3x ︒即是2倍角又是三倍角时，即另一个内角为32x ︒，可得：331802x x x ︒+︒+︒=︒， 解得36011x =． 综上可知，最小的内角为30或20︒或18︒或360()11． 【点睛】 本题考查三角形内角和定理．理解题干中n 倍三角形的定义以及利用分类讨论的思想是解答本题的关键．19．21x x -，22- 【分析】分式的减法运算，先通分进行化简计算，然后代入求值．【详解】 解：2222141x x x x x x x +----+-=()()()()1121411x x x x x x x x -++--+-- =()()()()()2112114x x x x x x x ++-+---=()()223221411x x x x x x x x ++-+---+ =()()111x x x x ++- =21x x-当1x =时， 原式=()()2111-=22- 【点睛】本题考查分式的化简及二次根式的混合运算，掌握运算顺序和计算法则准确计算是解题关键．20．（1）6y x=-，()2,3A -；（2）1y x 42=-． 【分析】 （1）把点A （2，m +3）代入m y x=求得m ，即可求出结果； （2）把点B （a ，5-a ）代入m y x =求得a 得到B 点的坐标，根据A 点坐标和函数的增减性排除掉不符合题意的点，再由待定系数法求出一次函数解析式．【详解】解：（1）∵点A （2，m +3）在双曲线m y x =上， ∴.32m m +=， 解得：m =-6，∴m +3=-3，∴此双曲线的表达式为6y x -=， 点A 的坐标为（2，-3）；（2）∵点B （a ，5-a ）在此双曲线6y x -=上， ∴6.5a a--=， 解得：a =-1或a =6，经检验：1,6a a =-=都是原方程的根，且符合题意，∴点B 的坐标为（-1，6）或（6，-1），∵一次函数的函数值y 随x 的增大而增大，由（1）知A （2，-3），∴点B 的坐标只能为（6，-1），设一次函数的解析式为y =kx +b ，∴3216k b k b -=+⎧⎨-=+⎩， 解得：124k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，∴一次函数的解析式为1y x 42=-． 【点睛】本题主要考查了待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式以及一次函数的性质，熟练掌握待定系数法求解析式是解题的关键．21．（1）2；（2）2【分析】（1）根据等腰三角形的性质可得点E 是BC 的中点，证明AE ∥DC ，可得EF 是△BCD 的中位线，再根据条件证明△ADF 是等腰直角三角形，进而根据勾股定理可得结果；（2）由（1）可得AF ＝CD ＝2，EF ＝1，BE ＝1，所以AE ＝3，根据勾股定理可得AB ，所以AC ＝AB ，再证明△AFG ≌△CDG ，可得AG ＝CG ，进而可得结论．【详解】解：（1）∵AB ＝AC ，AE ⊥BC ，∴点E 是BC 的中点，∴BE ＝12BC ＝12×2＝1， ∵DC ⊥BC ，∴AE ∥DC ，∵DC ⊥BC ，DC ＝BC ＝2，∴BD ，∠CBD ＝45°，∵点E 是BC 的中点，∴EF 是△BCD 的中位线，∴EF ＝12DC ＝1，DF ＝12BD ， ∵∠CBD ＝45°，∴∠AFD ＝∠EFB ＝45°，∵∠ADB ＝90°，∴△ADF 是等腰直角三角形，∴AD ＝DF ，∴AF 2；（2）由（1）可知：AF ＝CD ＝2，EF ＝1，BE ＝1，∴AE ＝AF +EF ＝2+1＝3，∴AB ，∴AC ＝AB ，∵AE ∥CD ，∴∠F AG ＝∠DCG ，在△AFG 和△CDG 中，，FAG DCG AGF CGD AF CD ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩∴△AFG ≌△CDG （AAS ），∴AG ＝CG ，∴AG ＝12AC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的中位线定理，解决本题的关键是综合运用以上知识．22．12元【分析】设乙批发部的这种商品每件x 元，则甲批发部这种商品每件(x +3)元，根据“比从甲批发部购进数量多了40件”建立分式方程求解并检验即可．【详解】设乙批发部的这种商品每件x 元，则甲批发部这种商品每件(x +3)元， 根据题意得：9001200403x x=-+ 左右同乘()3x x +得：()()90012003403x x x x =+-+整理得：2291800x x --=则：()()215120x x +-=2150x +=或120-=x ，∴112x =，2152x =-（不符合题意，舍去） 检验：当12x =时，()30x x +≠，∴12x =是原分式方程的解，∴乙批发部的这种商品每件12元．【点睛】本题考查分式方程的实际应用，审清题意，找准等量关系建立方程，并注意最后要检验是解题关键．23．（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）由平行四边形的性质可知DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．再由E 是AC 中点，即AE =CE ．即可以利用“AAS ”证明AED CEF ≌，得出AD CF =，即证明四边形AFCD 是平行四边形．（2）由22AE AD BC =⋅和E 是AC 中点，即可推出AE AD CB AC=．又因为DAE FCE =∠∠，即证明ADE CAB ∽△△，即可推出DF AC ⊥．即四边形AFCD 是菱形．【详解】（1）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠，ADE CFE ∠=∠．又∵E 是AC 中点，∴AE =CE ，∴在AED 和CEF △中ADE CFE DAE FCE AE CE ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴()AED CEF AAS ≌，∴AD CF =，∴四边形AFCD 是平行四边形．（2）∵//AD BC ，∴DAE FCE =∠∠．∵22AE AD BC =⋅，∴AE AC AD BC ⋅=⋅， ∴AE AD CB AC=， ∴ADE CAB ∽△△，∴90AED ABC ∠=∠=︒，即DF AC ⊥．∴四边形AFCD 是菱形．【点睛】本题考查梯形的性质，平行四边形的判定，菱形的判定，全等三角形的判定和性质以及相似三角形的判定和性质．掌握特殊四边形的判定方法是解答本题的关键．24．（1）y ＝x 2﹣6x +5，顶点C 的坐标为（3，﹣4）；（2；（3）y ＝x 2﹣6x +253或y ＝x 2﹣6x +11．【分析】 （1）将(5,0)A 代入25y x bx =++可得表达式，配方即得顶点坐标；（2）设BC 与x 轴交于F ，过F 作FE ⊥AB 于E ，求出EF 、BF 即可得出答案； （3）设D 坐标，用三边对应成比例列方程，求出D 的坐标即可得出答案．【详解】解：（1）将(5,0)A 代入25y x bx =++得： 02555b =++，解得6b =-，∴抛物线表达式为：265y x x =-+，∵2265(3)4y x x x =-+=--，∴顶点C 的坐标为(3,4)-；（2）设BC 与x 轴交于F ，过F 作FE ⊥AB 于E ，如图所示：抛物线265y x x =-+与y 轴交于(0,5)B ，设BC 解析式为y mx n =+，将(0,5)B ，(3,4)C -代入得：543n m n =⎧⎨-=+⎩，解得35m n =-⎧⎨=⎩， ∴BC 解析式为35y x =-+，令0y =，得53x =， ∴F 5(,0)3， ∴103AF OA OF =-=， ∵(0,5)B ，(5,0)A ，∴5OA OB ==，AB =∠BAO ＝45°，∴cos 45AE AF EF =⋅︒==，∴3BE AB AE =-=，∴3BF ==，∴sin EF ABC BF ∠=== （3）抛物线向上平移，所得新抛物线的顶点为D ，设(3,)D m ， 则平移后的新抛物线的表达式为2(3)y x m =-+，且(44CD m m --=)=+，AD =AC ==AB =BC =若△DCA 与△ABC 相似，只需三边对应成比例，但AC 对应边不能是AC ， 故分三种情况：①若△ABC ∽△DCA ，如图所示：AB BC ACDC CA AD==，即+4m==解得：23m=-，∴(3,)D m，∴平移后的新抛物线的表达式为：22225(3)633y x x x=--=-+，②若△ABC∽△DAC，则AB AC BCAD CD AC==4m==+③若△ABC∽△ACD，如图所示：AB AC BCAC AD CD ==4m ==+， 解得2m =，∴(3,2)D ，∴平移后的新抛物线的表达式22(3)2611y x x x =-+=-+；综上所述，△DCA 与△ABC 相似，平移后的新抛物线的表达式为22563y x x =-+或2611y x x =-+．【点睛】本题考查二次函数、三角函数及相似三角形的综合知识，解题的关键是求出平移后抛物线的顶点坐标．25．（1）见解析；（2）y ＝2x，x 范围是0＜x ≤2；；（3 【分析】（1）连接CP ，证明△ACP ∽△ADO 相似即可得到答案；（2）用x 的代数式表示AC ，再利用平行线分线段成比例即可得到答案；（3）半圆P 与AB 交于G ，连接EG ，过E 作EH ⊥AB 于H ，利用x 的代数式表示EG 和BG 再列方程可得答案．【详解】解：（1）连接CP ，如图：∵AP ＝CP ，AO ＝DO ，∴∠A ＝∠ACP ＝∠ADO ，∴△ACP ∽△ADO ， ∴=CP AC OD AD， ∴AD •CP ＝OD •AC ，∴AD •AP ＝OD •AC ；（2）∵半圆O 的直径AB ＝4，∴AO ＝2，∵半圆P 的半径为x ，∴OP ＝2﹣x ，∵CO ⊥AB ，∴∠COP ＝90°，∴CO 2＝CP 2﹣OP 2＝x 2﹣（2﹣x ）2＝4x ﹣4，Rt △AOC 中，AC ＝∵∠A ＝∠ACP ＝∠ADO ，∴CP ∥DO ， ∴=AC AP CD OP， 又线段CD 的长为y ，∴2x y x=-，变形得：y =x 范围是0＜x ≤2； （3）设半圆P 与AB 交于G ，连接EG ，过E 作EH ⊥AB 于H ，如图：设半圆P 的半径为x ，由（2）知AC ＝∵CO ⊥AB ，∴BC ＝AC ＝，∵CP ∥DO ， ∴=BEOBBC PB ，而OB ＝2，PB ＝4﹣x ，24x =-，∴BE＝4x -，∵点E 在半圆P 上，∴∠EGB ＝∠ACB ，且∠B ＝∠B ，∴△CAB ∽△GEB ， ∴==EGBEBGAC AB BC ，∴44x -=，∴EG ＝24xx -，∵AC ＝BC ，∴EG ＝BG ，而BG ＝AB ﹣AG ＝4﹣2x ， ∴24xx -＝4﹣2x ，解得x =x =（大于2，舍去），∴半圆P 的半径为72x -=． 【点睛】本题考查圆、相似三角形及勾股定理等综合知识，难度较大，解题的关键是利用相似三角形性质表达相关线段的长度再列方程．。
2021年上海市中考数学真题(原卷版+解析版)
A. 2kg /包
B. 3kg /包
C. 4kg /包
D. 5kg /包
5.
如图，已知平行四边形
ABCD
中，
AB
a,
AD
b
，E
为
AB
中点，求
1
a
b
（
）
2
2
2021 年上海市中考数学试题（原卷+解析）
A. EC
B. CE
C. ED
D. DE
6. 如图，已知长方形 ABCD 中， AB 4, AD 3 ，圆 B的半径为 1，圆 A 与圆 B 内切，则点 C, D 与圆 A
的位置关系是（ ）
A. 点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 内
B. 点 C 在圆 A 外，点 D 在圆 A 外
C. 点 C 在圆 A 上，点 D 在圆 A 内
二、填空题 7. 计算： x7 x2 = _____________． 8. 已知 f (x) 6 ，那么 f ( 3) __________．
B. 2a2b3
C. a2b
D. ab3
3. 将抛物线 y ax2 bx c(a 0) 向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）
A. 开口方向不变
B. 对称轴不变
C. y 随 x 的变化情况不变 D. 与 y 轴的交点不变
4. 商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）
边长为 2，中心为 O，在正方形外有一点 P, OP 2 ，当正方形绕着点 O 旋转时，则点 P 到正方形的最短距
离 d 的取值范围为__________．
4
2021 年上海市中考数学试题（原卷+解析）
2021年上海市中考数学真题试卷(含答案解析)
2021年上海中考数学试卷一、选择题（本大题共6题.每题4分，满分24分）
1.下列实数中，有理数是（）
A.12B.13C.14D.15
2.下列单项式中，23ab的同类项是（）
32A.ab23B.3ab2C.ab3D.ab
3.将函数2yabxc(a0)x=++¹
的图像向下平移两个单位，以下说法错误的是（）
A.开口方向不变B.对称轴不变B.y随x的变化情况不变D.与y轴的交点不变4.商店准备确定一种包装袋来包装大米，经市场调查后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（）A.2kg/包B.3kg/包C.4kg/包D.5kg/包
5.如图，已知ABa=，ADb=，E为AB中点，则1ab2+=（）A.ECB.CEC.EDD.DE
6.如图长方形ABCD中，AB=4,AD=3，圆B半径为1，圆A与圆B内切，则点C、D与圆A的位置关系是（）A.点C在圆A外，点D在圆A内B.点C在圆A外，点D在圆A外C.点C在圆A上，点D在圆A内D.点C在圆A内，点D在圆A外二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分）【请将结果直接填入答纸的相应位置上】
7.计算：72xx¸=.
8.已知6f(x)
x=,那么f(3)=.
9.已知x43+=,则x=.10.不等式2x-12＜0的解集是.11.70°的余角是°.
12.若一元二次方程2
2-3x+c=0
x无解,则c的取值范围为.
13.已知数据1、1、2、3、5、8、13、21、34，从这些数据中选取一个数据，得到偶数的概率为.14.已知函数ykx=的图像经过二、四象限，且不经过(-1,1)，请写出一个符合条件的函数解析式.15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已经卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成
本为5元/千克，现以8元/千克卖出，挣得元.
16如图所示,已知在梯形ABCD中，AD∥BC，ABDBCD1=2SS△△,则BOCBCD=SS△△.17.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为1,则中间正六边形的面积为.18.定义:平面上一点到图形的最短距离为d,如图,OP=2,
上海市中考数学试卷(含答案解析)
2021年上海市中考数学试卷一、选择题：本大题共6小题，每题4分，共24分1．〔4分〕如果a与3互为倒数，那么a是〔〕A．﹣3 B．3 C．﹣ D．2．〔4分〕以下单项式中，与a2b是同类项的是〔〕A．2a2b B．a2b2 C．ab2D．3ab3．〔4分〕如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是〔〕A．y=〔x﹣1〕2+2 B．y=〔x+1〕2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+34．〔4分〕某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是〔〕次数2345人数22106A．3次C．4次5．〔4分〕在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为〔〕A．+B．﹣C．﹣+ D．﹣﹣6．〔4分〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是〔〕A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8二、填空题：本大题共12小题，每题4分，共48分7．〔4分〕计算：a3÷a=．8．〔4分〕函数y=的定义域是．9．〔4分〕方程=2的解是．10．〔4分〕如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为．11．〔4分〕不等式组的解集是．12．〔4分〕如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．13．〔4分〕反比例函数y=〔k≠0〕，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是．14．〔4分〕有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、 (6)点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．15．〔4分〕在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．16．〔4分〕今年5月份有关部门对方案去上海迪士尼乐园的局部市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是．17．〔4分〕如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为米．〔精确到1米，参考数据：≈1.73〕18．〔4分〕如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．〔10分〕计算：|﹣1|﹣﹣+．20．〔10分〕解方程：﹣=1．21．〔10分〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：〔1〕线段BE的长；〔2〕∠ECB的余切值．22．〔10分〕某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A〔千克〕与时间x〔时〕的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量y B〔千克〕与时间x 〔时〕的函数图象．根据图象提供的信息，解答以下问题：〔1〕求y B关于x的函数解析式；〔2〕如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？23．〔12分〕：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．〔1〕求证：AD=CE；〔2〕如果点G在线段DC上〔不与点D重合〕，且AG=AD，求证：四边形AGCE 是平行四边形．24．〔12分〕如图，抛物线y=ax2+bx﹣5〔a≠0〕经过点A〔4，﹣5〕，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；〔3〕如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．25．〔14分〕如下列图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．〔1〕求线段CD的长；〔2〕如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；〔3〕如果点F在边CD上〔不与点C、D重合〕，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．2021年上海市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共6小题，每题4分，共24分1．〔4分〕如果a与3互为倒数，那么a是〔〕A．﹣3 B．3 C．﹣ D．【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数，可得答案．【解答】解：由a与3互为倒数，得a是，应选：D．【点评】此题考查了倒数，分子分母交换位置是求一个数的倒数的关键．2．〔4分〕以下单项式中，与a2b是同类项的是〔〕A．2a2b B．a2b2 C．ab2D．3ab【分析】根据同类项的概念：所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，结合选项解答即可．【解答】解：A、2a2b与a2b所含字母相同，且相同字母的指数也相同，是同类项，故本选项正确；B、a2b2与a2b所含字母相同，但相同字母b的指数不相同，不是同类项，故本选项错误；C、ab2与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误；D、3ab与a2b所含字母相同，但相同字母a的指数不相同，不是同类项，本选项错误．应选A．【点评】此题考查了同类项的知识，解答此题的关键是掌握同类项中相同字母的指数相同的概念．3．〔4分〕如果将抛物线y=x2+2向下平移1个单位，那么所得新抛物线的表达式是〔〕A．y=〔x﹣1〕2+2 B．y=〔x+1〕2+2 C．y=x2+1 D．y=x2+3【分析】根据向下平移，纵坐标相减，即可得到答案．【解答】解：∵抛物线y=x2+2向下平移1个单位，∴抛物线的解析式为y=x2+2﹣1，即y=x2+1．应选C．【点评】此题考查了二次函数的图象与几何变换，向下平移|a|个单位长度纵坐标要减|a|．4．〔4分〕某校调查了20名男生某一周参加篮球运动的次数，调查结果如表所示，那么这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是〔〕次数2345人数22106A．3次C．4次【分析】加权平均数：假设n个数x1，x2，x3，…，x n的权分别是w1，w2，w3，…，w n，那么〔x1w1+x2w2+…+x n w n〕÷〔w1+w2+…+w n〕叫做这n个数的加权平均数，依此列式计算即可求解．【解答】解：〔2×2+3×2+4×10+5×6〕÷20=〔4+6+40+30〕÷20=80÷20=4〔次〕．答：这20名男生该周参加篮球运动次数的平均数是4次．【点评】此题考查的是加权平均数的求法．此题易出现的错误是求2，3，4，5这四个数的平均数，对平均数的理解不正确．5．〔4分〕在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，点D在边BC上，设=，=，那么向量用向量、表示为〔〕A．+B．﹣C．﹣+ D．﹣﹣【分析】由△ABC中，AD是角平分线，结合等腰三角形的性质得出BD=DC，可求得的值，然后利用三角形法那么，求得答案．【解答】解：如下列图：∵在△ABC中，AB=AC，AD是角平分线，∴BD=DC，∵=，∴=，∵=，∴=+=+．应选：A．【点评】此题考查了平面向量的知识，注意掌握三角形法那么的应用是解题关键．6．〔4分〕如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=7，点D在边BC上，CD=3，⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，且点B在⊙D外，那么⊙D的半径长r的取值范围是〔〕A．1＜r＜4 B．2＜r＜4 C．1＜r＜8 D．2＜r＜8【分析】连接AD，根据勾股定理得到AD=5，根据圆与圆的位置关系得到r＞5﹣3=2，由点B在⊙D外，于是得到r＜4，即可得到结论．【解答】解：连接AD，∵AC=4，CD=3，∠C=90°，∴AD=5，∵⊙A的半径长为3，⊙D与⊙A相交，∴r＞5﹣3=2，∵BC=7，∴BD=4，∵点B在⊙D外，∴r＜4，∴⊙D的半径长r的取值范围是2＜r＜4，应选B．【点评】此题考查了圆与圆的位置关系，点与圆的位置关系，设点到圆心的距离为d，那么当d=r时，点在圆上；当d＞r时，点在圆外；当d＜r时，点在圆内．二、填空题：本大题共12小题，每题4分，共48分7．〔4分〕计算：a3÷a=a2．【分析】根据同底数幂相除，底数不变指数相减进行计算即可求解．【解答】解：a3÷a=a3﹣1=a2．故答案为：a2．【点评】此题考查了同底数幂的除法的运算性质，熟记运算性质是解题的关键．8．〔4分〕函数y=的定义域是x≠2．【分析】直接利用分式有意义的条件得出答案．【解答】解：函数y=的定义域是：x≠2．故答案为：x≠2．【点评】此题主要考查了函数自变量的取值范围，正确把握相关性质是解题关键．9．〔4分〕方程=2的解是x=5．【分析】利用两边平方的方法解出方程，检验即可．【解答】解：方程两边平方得，x﹣1=4，解得，x=5，把x=5代入方程，左边=2，右边=2，左边=右边，那么x=5是原方程的解，故答案为：x=5．【点评】此题考查的是无理方程的解法，正确利用两边平方的方法解出方程，并正确进行验根是解题的关键．10．〔4分〕如果a=，b=﹣3，那么代数式2a+b的值为﹣2．【分析】把a与b的值代入原式计算即可得到结果．【解答】解：当a=，b=﹣3时，2a+b=1﹣3=﹣2，故答案为：﹣2【点评】此题考查了代数式求值，熟练掌握运算法那么是解此题的关键．11．〔4分〕不等式组的解集是x＜1．【分析】首先解每个不等式，两个不等式的解集的公共局部就是不等式组的解集．【解答】解：，解①得x＜，解②得x＜1，那么不等式组的解集是x＜1．故答案是：x＜1．【点评】此题考查了一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共局部，解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到．12．〔4分〕如果关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，那么实数k的值是．【分析】根据方程有两个相等的实数根结合根的判别式，即可得出关于k的一元一次方程，解方程即可得出结论．【解答】解：∵关于x的方程x2﹣3x+k=0有两个相等的实数根，∴△=〔﹣3〕2﹣4×1×k=9﹣4k=0，解得：k=．故答案为：．【点评】此题考查了根的判别式以及解一元一次方程，解题的关键是找出9﹣4k=0．此题属于根底题，难度不大，解决该题型题目时，根据方程解的情况结合根的判别式得出方程〔不等式或不等式组〕是关键．13．〔4分〕反比例函数y=〔k≠0〕，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，那么k的取值范围是k＞0．【分析】直接利用当k＞0，双曲线的两支分别位于第一、第三象限，在每一象限内y随x的增大而减小；当k＜0，双曲线的两支分别位于第二、第四象限，在每一象限内y随x的增大而增大，进而得出答案．【解答】解：∵反比例函数y=〔k≠0〕，如果在这个函数图象所在的每一个象限内，y的值随着x的值增大而减小，∴k的取值范围是：k＞0．故答案为：k＞0．【点评】此题主要考查了反比例函数的性质，正确记忆增减性是解题关键．14．〔4分〕有一枚材质均匀的正方体骰子，它的六个面上分别有1点、2点、 (6)点的标记，掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率是．【分析】共有6种等可能的结果数，其中点数是3的倍数有3和6，从而利用概率公式可求出向上的一面出现的点数是3的倍数的概率．【解答】解：掷一次骰子，向上的一面出现的点数是3的倍数的概率==．故答案为．【点评】此题考查了概率公式：随机事件A的概率P〔A〕=事件A可能出现的结果数除以所有可能出现的结果数．15．〔4分〕在△ABC中，点D、E分别是边AB、AC的中点，那么△ADE的面积与△ABC的面积的比是．【分析】构建三角形中位线定理得DE∥BC，推出△ADE∽△ABC，所以=〔〕2，由此即可证明．【解答】解：如图，∵AD=DB，AE=EC，∴DE∥BC．DE=BC，∴△ADE∽△ABC，∴=〔〕2=，故答案为．【点评】此题考查三角形中位线定理，相似三角形的判定和性质，解题的关键是记住相似三角形的面积比等于相似比的平方，属于中考常考题型．16．〔4分〕今年5月份有关部门对方案去上海迪士尼乐园的局部市民的前往方式进行调查，图1和图2是收集数据后绘制的两幅不完整统计图．根据图中提供的信息，那么本次调查的对象中选择公交前往的人数是6000．【分析】根据自驾车人数除以百分比，可得答案．【解答】解：由题意，得4800÷40%=12000，公交12000×50%=6000，故答案为：6000．【点评】此题考查了条形统计图，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．条形统计图能清楚地表示出每个工程的数据．17．〔4分〕如图，航拍无人机从A处测得一幢建筑物顶部B的仰角为30°，测得底部C的俯角为60°，此时航拍无人机与该建筑物的水平距离AD为90米，那么该建筑物的高度BC约为208米．〔精确到1米，参考数据：≈1.73〕【分析】分别利用锐角三角函数关系得出BD，DC的长，进而求出该建筑物的高度．【解答】解：由题意可得：tan30°===，解得：BD=30，tan60°===，解得：DC=90，故该建筑物的高度为：BC=BD+DC=120≈208〔m〕，故答案为：208．【点评】此题主要考查了解直角三角形的应用，熟练应用锐角三角函数关系是解题关键．18．〔4分〕如图，矩形ABCD中，BC=2，将矩形ABCD绕点D顺时针旋转90°，点A、C分别落在点A′、C′处．如果点A′、C′、B在同一条直线上，那么tan∠ABA′的值为．【分析】设AB=x，根据平行线的性质列出比例式求出x的值，根据正切的定义求出tan∠BA′C，根据∠ABA′=∠BA′C解答即可．【解答】解：设AB=x，那么CD=x，A′C=x+2，∵AD∥BC，∴=，即=，解得，x1=﹣1，x2=﹣﹣1〔舍去〕，∵AB∥CD，∴∠ABA′=∠BA′C，tan∠BA′C===，∴tan∠ABA′=，故答案为：．【点评】此题考查的是旋转的性质、矩形的性质以及锐角三角函数的定义，掌握旋转前、后的图形全等以及锐角三角函数的定义是解题的关键．三、解答题：本大题共7小题，共78分19．〔10分〕计算：|﹣1|﹣﹣+．【分析】利用绝对值的求法、分数指数幂、负整数指数幂分别化简后再加减即可求解．【解答】解：原式=﹣1﹣2﹣2+9=6﹣【点评】此题考查了实数的运算及负整数指数幂的知识，解题的关键是了解相关的运算性质及运算法那么，难度不大．20．〔10分〕解方程：﹣=1．【分析】根据解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1进行计算即可．【解答】解：去分母得，x+2﹣4=x2﹣4，移项、合并同类项得，x2﹣x﹣2=0，解得x1=2，x2=﹣1，经检验x=2是增根，舍去；x=﹣1是原方程的根，所以原方程的根是x=﹣1．【点评】此题考查了解分式方程，熟记解分式方程的步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1是解题的关键，注意验根．21．〔10分〕如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，点D在边AC上，且AD=2CD，DE⊥AB，垂足为点E，联结CE，求：〔1〕线段BE的长；〔2〕∠ECB的余切值．【分析】〔1〕由等腰直角三角形的性质得出∠A=∠B=45°，由勾股定理求出AB=3，求出∠ADE=∠A=45°，由三角函数得出AE=，即可得出BE的长；〔2〕过点E作EH⊥BC，垂足为点H，由三角函数求出EH=BH=BE•cos45°=2，得出CH=1，在Rt△CHE中，由三角函数求出cot∠ECB==即可．【解答】解：〔1〕∵AD=2CD，AC=3，∴AD=2，∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC=3，∴∠A=∠B=45°，AB===3，∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，∠ADE=∠A=45°，∴AE=AD•cos45°=2×=，∴BE=AB﹣AE=3﹣=2，即线段BE的长为2；〔2〕过点E作EH⊥BC，垂足为点H，如下列图：∵在Rt△BEH中，∠EHB=90°，∠B=45°，∴EH=BH=BE•cos45°=2×=2，∵BC=3，∴CH=1，在Rt△CHE中，cot∠ECB==，即∠ECB的余切值为．【点评】此题考查了解直角三角形、勾股定理、等腰直角三角形的性质、三角函数；熟练掌握等腰直角三角形的性质，通过作辅助线求出CH是解决问题〔2〕的关键．22．〔10分〕某物流公司引进A、B两种机器人用来搬运某种货物，这两种机器人充满电后可以连续搬运5小时，A种机器人于某日0时开始搬运，过了1小时，B种机器人也开始搬运，如图，线段OG表示A种机器人的搬运量y A〔千克〕与时间x〔时〕的函数图象，线段EF表示B种机器人的搬运量y B〔千克〕与时间x 〔时〕的函数图象．根据图象提供的信息，解答以下问题：〔1〕求y B关于x的函数解析式；〔2〕如果A、B两种机器人连续搬运5个小时，那么B种机器人比A种机器人多搬运了多少千克？【分析】〔1〕设y B关于x的函数解析式为y B=kx+b〔k≠0〕，将点〔1，0〕、〔3，180〕代入一次函数函数的解析式得到关于k，b的方程组，从而可求得函数的解析式；〔2〕设y A关于x的解析式为y A=k1x．将〔3，180〕代入可求得y A关于x的解析式，然后将x=6，x=5代入一次函数和正比例函数的解析式求得y A，y B的值，最后求得y A与y B的差即可．【解答】解：〔1〕设y B关于x的函数解析式为y B=kx+b〔k≠0〕．将点〔1，0〕、〔3，180〕代入得：，解得：k=90，b=﹣90．所以y B关于x的函数解析式为y B=90x﹣90〔1≤x≤6〕．〔2〕设y A关于x的解析式为y A=k1x．根据题意得：3k1=180．解得：k1=60．所以y A=60x．当x=5时，y A=60×5=300〔千克〕；x=6时，y B=90×6﹣90=450〔千克〕．450﹣300=150〔千克〕．答：如果A、B两种机器人各连续搬运5小时，B种机器人比A种机器人多搬运了150千克．【点评】此题主要考查的是一次函数的应用，依据待定系数法求得一次函数的解析式是解题的关键．23．〔12分〕：如图，⊙O是△ABC的外接圆，=，点D在边BC上，AE∥BC，AE=BD．〔1〕求证：AD=CE；〔2〕如果点G在线段DC上〔不与点D重合〕，且AG=AD，求证：四边形AGCE 是平行四边形．【分析】〔1〕根据等弧所对的圆周角相等，得出∠B=∠ACB，再根据全等三角形的判定得△ABD≌△CAE，即可得出AD=CE；〔2〕连接AO并延长，交边BC于点H，由等腰三角形的性质和外心的性质得出AH⊥BC，再由垂径定理得BH=CH，得出CG与AE平行且相等．【解答】证明：〔1〕在⊙O中，∵=，∴AB=AC，∴∠B=∠ACB，∵AE∥BC，∴∠EAC=∠ACB，∴∠B=∠EAC，在△ABD和△CAE中，，∴△ABD≌△CAE〔SAS〕，∴AD=CE；〔2〕连接AO并延长，交边BC于点H，∵=，OA为半径，∴AH⊥BC，∴BH=CH，∵AD=AG，∴DH=HG，∴BH﹣DH=CH﹣GH，即BD=CG，∵BD=AE，∴CG=AE，∵CG∥AE，∴四边形AGCE是平行四边形．【点评】此题考查了三角形的外接圆与外心以及全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定，圆心角、弧、弦之间的关系，把这几个知识点综合运用是解题的关键．24．〔12分〕如图，抛物线y=ax2+bx﹣5〔a≠0〕经过点A〔4，﹣5〕，与x轴的负半轴交于点B，与y轴交于点C，且OC=5OB，抛物线的顶点为点D．〔1〕求这条抛物线的表达式；〔2〕连结AB、BC、CD、DA，求四边形ABCD的面积；〔3〕如果点E在y轴的正半轴上，且∠BEO=∠ABC，求点E的坐标．【分析】〔1〕先得出C点坐标，再由OC=5BO，得出B点坐标，将A、B两点坐标代入解析式求出a，b；〔2〕分别算出△ABC和△ACD的面积，相加即得四边形ABCD的面积；〔3〕由∠BEO=∠ABC可知，tan∠BEO=tan∠ABC，过C作AB边上的高CH，利用等面积法求出CH，从而算出tan∠ABC，而BO是的，从而利用tan∠BEO=tan ∠ABC可求出EO长度，也就求出了E点坐标．【解答】解：〔1〕∵抛物线y=ax 2+bx ﹣5与y 轴交于点C ，∴C 〔0，﹣5〕，∴OC=5．∵OC=5OB ，∴OB=1，又点B 在x 轴的负半轴上，∴B 〔﹣1，0〕．∵抛物线经过点A 〔4，﹣5〕和点B 〔﹣1，0〕， ∴，解得，∴这条抛物线的表达式为y=x 2﹣4x ﹣5．〔2〕由y=x 2﹣4x ﹣5，得顶点D 的坐标为〔2，﹣9〕．连接AC ，∵点A 的坐标是〔4，﹣5〕，点C 的坐标是〔0，﹣5〕，又S △ABC =×4×5=10，S △ACD =×4×4=8，∴S 四边形ABCD =S △ABC +S △ACD =18．〔3〕过点C 作CH ⊥AB ，垂足为点H ．∵S △ABC =×AB ×CH=10，AB==5， ∴CH=2，在RT △BCH 中，∠BHC=90°，BC=，BH==3， ∴tan ∠CBH==．∵在RT△BOE中，∠BOE=90°，tan∠BEO=，∵∠BEO=∠ABC，∴，得EO=，∴点E的坐标为〔0，〕．【点评】此题为二次函数综合题，主要考查了待定系数法求二次函数解析式、三角形面积求法、等积变换、勾股定理、正切函数等知识点，难度适中．第〔3〕问，将角度相等转化为对应的正切函数值相等是解答关键．25．〔14分〕如下列图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠B=90°，AD=15，AB=16，BC=12，点E是边AB上的动点，点F是射线CD上一点，射线ED和射线AF交于点G，且∠AGE=∠DAB．〔1〕求线段CD的长；〔2〕如果△AEG是以EG为腰的等腰三角形，求线段AE的长；〔3〕如果点F在边CD上〔不与点C、D重合〕，设AE=x，DF=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．【分析】〔1〕作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，那么DH=BC=12，CD=BH，再利用勾股定理计算出AH，从而得到BH和CD的长；〔2〕分类讨论：当EA=EG时，那么∠AGE=∠GAE，那么判断G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，那么AM=AD=，通过证明Rt△AME ∽Rt△AHD，利用相似比可计算出此时的AE长；当GA=GE时，那么∠AGE=∠AEG，可证明AE=AD=15，〔3〕作DH⊥AB于H，如图2，那么AH=9，HE=|x﹣9|，先利用勾股定理表示出DE=，再证明△EAG∽△EDA，那么利用相似比可表示出EG=，那么可表示出DG，然后证明△DGF∽△EGA，于是利用相似比可表示出x和y的关系．【解答】解：〔1〕作DH⊥AB于H，如图1，易得四边形BCDH为矩形，∴DH=BC=12，CD=BH，在Rt△ADH中，AH===9，∴BH=AB﹣AH=16﹣9=7，∴CD=7；〔2〕①EA=EG时，那么∠AGE=∠GAE，∵∠AGE=∠DAB，∴∠GAE=∠DAB，∴G点与D点重合，即ED=EA，作EM⊥AD于M，如图1，那么AM=AD=，∵∠MAE=∠HAD，∴Rt△AME∽Rt△AHD，∴AE：AD=AM：AH，即AE：15=：9，解得AE=；②GA=GE时，那么∠GAE=∠AEG，∵∠AGE=∠DAB，而∠AGE=∠ADG+∠DAG，∠DAB=∠GAE+∠DAG，∴∠GAE=∠ADG，∴∠AEG=∠ADG，∴AE=AD=15．综上所述，△AEC是以EG为腰的等腰三角形时，线段AE的长为或15；〔3〕作DH⊥AB于H，如图2，那么AH=9，HE=|x﹣9|，在Rt△HDE中，DE==，∵∠AGE=∠DAB，∠AEG=∠DEA，∴△EAG∽△EDA，∴EG：AE=AE：ED，即EG：x=x：，∴EG=，∴DG=DE﹣EG=﹣，∵DF∥AE，∴△DGF∽△EGA，∴DF：AE=DG：EG，即y：x=〔﹣〕：，∴y=〔0＜x＜〕．【点评】此题考查了四边形的综合题：熟练掌握梯形的性质等等腰三角形的性质；常把直角梯形化为一个直角三角形和一个矩形解决问题；会利用勾股定理和相似比计算线段的长；会运用分类讨论的思想解决数学问题．。
2021年上海市普陀区高考数学二模卷 详解版
普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研2021.4考生注意:1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上 作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设全集=U }2,1,0,1{-，若集合}2,0,1{-=A ，则=A C U .2. 若复数i iz +=2（i 表示虚数单位），则=z Im . 3. 函数xx y 1-=的零点为 .4. 曲线x y 42=的顶点到其准线的距离为 .5. 若1)3cos(=+πθ，则=θcos .6. 设棱长为2的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 .7. 设8)12(-x 882210x a x a x a a ++++= ，则=+++821a a a .8. 设无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，且()3lim 1=+∞→n n S S ，则公比=q .9. 设x 、y 均为非负实数且满足⎩⎨⎧≤-+≤-0220y x y x ，则y x 3-的最小值为 .10. 某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为 （结果用最简分数表示）.11. 设),(y x M 是直线3=+y x 上的动点，若21≤≤x ，则xy y x 11+-+的最大值为 .12. 如图，在△ABC 中，2π=C ，3=AC ，1=BC . 若O 为△ABC内部的点且满足0||||||=++OC OCOB OBOA OA，则=||:||:||OC OB OA .二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设a 、b 均为非零实数且b a >，则下列结论中正确的是（ ）)A (22-->b a )B ( 11-->b a )C (22b a > )D (33b a > 14. 设167<<m ，则双曲线171622=-+-my m x 的焦点坐标是（ ） )A ( )0,4(± )B (()0,3± )C ( )5,0(± )D (()4,0±15. 设βα,是两个不重合的平面，m l ,是两条不重合的直线，则“βα//”的一个充分非必要条件是（ ）)A ( l ≠⊂α，m ≠⊂α且β//l ，β//m )B (l ≠⊂α，m ≠⊂β，且m l //)C ( α⊥l ，β⊥m 且m l // )D ( α//l ，β//m ，且m l // 16. 已知函数xxx f 313)(+=，设i x （3,2,1=i ）为实数，且0321=++x x x .给出下列结论：① 若0321>⋅⋅x x x ，则23)()()(321<++x f x f x f ； ② 若0321<⋅⋅x x x ，则23)()()(321>++x f x f x f .其中正确的是（ ）)A (①与②均正确 )B (①正确，②不正确 )C (①不正确，②正确 )D (①与②均不正确（第12题）三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，设底面半径为2的圆锥的顶点、底面中心依次为P 、O ，AB 为其底面的直径. 点C 位于底面圆周上，且 90=∠BOC . 异面直线PA 与CB 所成角的大小为60. （1）求此圆锥的体积；（2）求二面角O BC P --的大小（结果用反三角函数值表示）.18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设函数x x f 2log )(=（0>x ）的反函数为)(1x f -.（1）解方程：0)(2)2(=-+x f x f ；（2）设)(x g y =是定义在R 上且以2为周期的奇函数.当10<<x 时，)()(1x fx g -=，试求)10(log 2g 的值.19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为i A （4,3,2,1=i ），3021=A A 米， 120412=∠A A A ，D 为对角线42A A 和31A A 的交点.他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与21A A 相交于1A 、另一段弧与43A A 相交于3A ，这两段弧恰与42A A 均相交于D .设θ=∠D A A 21.（1）若两段圆弧组成“甬路”L （宽度忽略不计），求L 的长（结果精确到1米）；（2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S .对于条件（1）中的L ，当12.02131<-S S A A L时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由.PAC O（第17题） 1A 23A4D（第19题）20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知曲线Γ:124322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B两点.（1）求△21AF F 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22，且l 与圆2F 相切，求l 的方程；（3）设l 的一个方向向量),1(k d =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MB MA =且55tan =∠MAB ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）记实数a 、b 中的较大者为},max{b a ，例如2}2,1max{=，1}1,1max{=.对于无穷数列}{n a ，记},m ax {212k k k a a c -=（*N ∈k ），若对于任意的*N ∈k ，均有k k c c <+1，则称数列}{n a 为“趋势递减数列”.（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列}{n a 是否为“趋势递减数列”，并说明理由.①nn a ⎪⎭⎫⎝⎛-=21， ②2sin πn a n =；（2）设首项为1的等差数列}{n b 的前n 项和为n S 、公差为d ，且数列}{n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列}{n d 满足1d 、2d 均为正实数，且||12++-=n n n d d d ，求证：}{n d 为“趋势递减数列”的充要条件为}{n d 的项中没有0.普陀区2020学年第二学期高三数学质量调研2021.4考生注意:1.本场考试时间120分钟.试卷4页，满分150分，答题纸共2页.2.作答前，在答题纸正面填写姓名、准考证号，反面填写姓名，将核对后的条形码贴在答题纸指定位置.3.所有作答务必填涂或书写在答题纸上与试卷题号对应的区域，不得错位.在试卷上 作答一律不得分.4.用2B 铅笔作答选择题，用黑色字迹钢笔、水笔或圆珠笔作答非选择题. 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1～6题每题4分，第7～12题每题5分） 考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1. 设全集=U }2,1,0,1{-，若集合}2,0,1{-=A ，则=A C U . 【答案】{}1【解析】由已知得，{}{}1,0,1,2,1,0,2U A =-=-，{}1U C A = 2. 若复数iiz +=2（i 表示虚数单位），则=z Im . 【答案】2-【解析】()22i i2i 12i i i z ++===-，所以Im 2z =- 3. 函数xx y 1-=的零点为 .【答案】1x =【解析】令10y x==，即1x =，其中0x >，所以函数的零点1x = 4. 曲线x y 42=的顶点到其准线的距离为 . 【答案】1【解析】因为24y x =的顶点坐标为()0,0，准线的方程为1x =-，即顶点到准线的距离为1 5. 若1)3cos(=+πθ，则=θcos .【答案】12【解析】由凑角33ππθθ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭可得，2cos cos c 133o 323s ππππθθθθ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+-=+++ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣=⎝⎭⎦因为cos 13πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，所以sin 03πθ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，即1cos 2θ= 6. 设棱长为2的正方体的八个顶点在同一球面上，则此球的表面积为 . 【答案】12π【解析】设球的半径为R因为正方体所有顶点都在球面上，所以该球的直径为正方体的体对角线，所以2R R =⇒=2412S R ππ==表7. 设8)12(-x 882210x a x a x a a ++++= ，则=+++821a a a .【答案】0【解析】令1x =得，20811a a a a ++++=， 令0x =得，01a =，所以1280a a a +++=8. 设无穷等比数列}{n a 的前n 项和为n S ，若11=a ，且()3lim 1=+∞→n n S S ，则公比=q . 【答案】12【解析】在无穷等比数列{}n a 中，因为11a =且()1lim 3n n S S →∞+=， 所以1131q +=-，解得12q =9. 设x 、y 均为非负实数且满足⎩⎨⎧≤-+≤-0220y x y x ，则y x 3-的最小值为 .【答案】3-【解析】注意,x y 均为负实数，画出可行域易得最优解为()0,1，即()min 33x y -=-10. 某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为 （结果用最简分数表示）. 【答案】47【解析】【直接法：一男一女】11432747C C P C == 【反面法：全是男生或全是女生】224327417C C P C ⎛⎫+=-= ⎪⎝⎭ 11. 设),(y x M 是直线3=+y x 上的动点，若21≤≤x ，则xy y x 11+-+的最大值为 .2【解析】【法一】由已知得，3[1,2]y x x =-∈所以原式=所以max ==-. 【法二】[1,2],3x x y ∈+=∴211x y y x =+++-11x y x y x y x y xy +=+++-=++-31322xy xy xy=+-++(*) 令9(3),[2,]4t xy x x t ==-∈则(*)式31322t t t =+-++，其在9[2,]4t ∈单调递减， ∴当2t =时，即2,1x y ==或1,2x y ==时，()式取得最大值9322-，11x y y x∴+-+的最大值为632-. 故答案为：632-12. 如图，在△ABC 中，2π=C ，3=AC ，1=BC . 若O 为△ABC内部的点且满足0||||||=++OC OCOB OBOA OA，则::OA OB OC = .【答案】4:2:1 【解析】法一：0||||||OA OB OCOA OB OB ++= ||||||OA OB OCOA OB OC ∴+=-两边平方得112cos 1AOB ++∠= 所以1cos 1202AOB AOB ︒∠=-⇒∠= 同理得，120AOC BOC ︒∠=∠= 在AOC 中，()3sin120sin 60AO θ︒︒=-，在AOB 中，()2sin120sin 30AOθ︒︒=+ ()()3sin 602sin 30sin120sin120AO θθ︒︒︒︒-+∴==（第12题）AOBC()()3602sin 30θθ︒︒∴-=+31133sin 2cos 22θθθθ⎫⎛⎫-=+⎪ ⎪⎪ ⎪⎭⎝⎭133cos sin 22θθ∴= tan 33θ∴= 从而33sin 2727θθ==同理()sin 30cos 3sin 0sin120B θθθ︒︒++==()sin 30cos 3sin sin120CO θθθ︒︒--∴==33:02:1,0:02cos 3sin 13tan AO B B C θθθ∴====--::4:2:1.OA OB OC ∴=法二：延长,,AO BO CO 分别交,,BC AC AB 于点,,D E F ，||||||OA OB OCOA OB OC +=-，可知CF 为AOB ∠的平分线， 同理可知,AD BE 为,BOC AOC ∠∠的平分线，即60AOF FOB BOD DOC COE EOA ︒∠=∠=∠=∠=∠=∠=设,,OA a OB b OC c ===， 由角平分线定理可知, 2,b bBF BD a b b c==++ 由于,,,F O D B 四点共圆且FOB BOD ∠=∠， 则BF BD =，即2b b a b b c=++，即2a b c =+⋯① 在,,AOB BOC COD 中由余弦定理得，2222224 3 1 a b ab a c ac b c bc ⎧=++⋯⎪=++⋯⎨⎪=++⋯⎩②③④则=+②③④得22c ac bc ab ++=⋯⑤ 由①⑤可得42a cb c =⎧⎨=⎩，即::4:2:1.OA OB OC =【法三】由上解法可知AOB BOC ，则21AO BO AB BO CO BC ===，则::4:2:1.OA OB OC =二、选择题（本大题共有4题，满分20分，每题5分） 每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13. 设a 、b 均为非零实数且b a >，则下列结论中正确的是（ ）)A (22-->b a )B ( 11-->b a )C (22b a > )D (33b a >【答案】D【解析】由已知易得，33a b >正确，故选D .14. 设167<<m ，则双曲线171622=-+-my m x 的焦点坐标是（ ） )A ( )0,4(± )B (()0,3± )C ( )5,0(± )D (()4,0±【答案】B【解析】因为716m <<，所以双曲线221167x y m m -=--焦点坐标在x 轴， 即21679c m m =-+-=，即焦点坐标为()3,0±，故选B15. 设βα,是两个不重合的平面，m l ,是两条不重合的直线，则“βα//”的一个充分非必要条件是（ ）)A ( l ≠⊂α，m ≠⊂α且β//l ，β//m )B (l ≠⊂α，m ≠⊂β，且m l //)C ( α⊥l ，β⊥m 且m l // )D ( α//l ，β//m ，且m l //【答案】C【解析】对于A ，若,lm αα 且/,l mββ‖， 若,l m 是平行直线，则它们可能都平行于,αβ的交线，故A 不正确； 对于,,B lm αβ且//l m ，可得,l m 有可能都平行于,αβ的交线，故B 不正确；对于C ，由l α⊥且//l m ，得到m α⊥, 再由m m αβ⊥⊥、得到//αβ 故“,l m αβ⊥⊥且/l m ”是//αβ的一个充分非必要条件，得C 正确; 对于D , 由“//,//l m αβ, 且 //l m "得可能有,l m 可能都平行于,αβ的交线， 故D 不正确，故选：C16. 已知函数xxx f 313)(+=，设i x （3,2,1=i ）为实数，且0321=++x x x .给出下列结论：①若0321>⋅⋅x x x ，则23)()()(321<++x f x f x f ； ②若0321<⋅⋅x x x ，则23)()()(321>++x f x f x f .其中正确的是（ ）)A (①与②均正确 )B (①正确，②不正确 )C (①不正确，②正确 )D (①与②均不正确【答案】D【解析】由已知得3()13xxf x =+得，()()1f x f x +-=所以()f x 关于10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭对称，【法一】又因为1230x x x ++=，所以令12x x =，则312x x =-()()()()()()()123111122212f x f x f x f x f x f x f x ++=+-=+-①当12,x x 为负，即()112()21f x f x -+带特殊值11x =-时，()()()12332f x f x f x ++<②当12,x x 为正，即()112()21f x f x -+带特殊值11x =时，()()()12332f x f x f x ++> 故①与②均正确，选A【法二】画出函数()f x 的图像，也可推出选A【法三】设3131131()()2132231x x x g x f x -=-=-=⋅++，则是在上的奇函数且严格递增. ()()()()()()()()12121212312()g x g x g x g x g x g x x g x g x g x x ++=++--=+-+,()()()()()()12121212121212123131311313131123131312313131x x x x x x x x x x x x x x x x ++++-⋅--⎛⎫---=+-==→* ⎪+++++⋅+⎝⎭ ①1231230,,x x x x x x ⋅⋅>⇒中有两个为负，一个为正，不妨设123,0,0x x x <> ，则*的分母各括号都为正，分子各括号都为负，因为0*< 此时()()()()()()12312311132222f x f x f xg x g x g x ++=+++++< ②1231230,,x x x x x x ⋅⋅>⇒中有一个为负，两个为正，不妨设123,0,0x x x ><，则*的分母各括号都为正，分子各括号都为负，因为0*> 此时()()()()()()12312311132222f x f x f xg x g x g x ++=+++++> 综上所述：答案选A三、解答题（本大题共有5题，满分76分） 解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的 步骤.17.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分）如图，设底面半径为2的圆锥的顶点、底面中心依次为P 、O ，AB 为其底面的直径. 点C 位于底面圆周上，且90=∠BOC . 异面直线PA 与CB 所成角的大小为60. （1）求此圆锥的体积；（2）求二面角O BC P --的大小（结果用反三角函数值表示）.【解析】（1）设圆锥的高为h .以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 所在的直线分别为x 、y 、PAC O （第17题）z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示.根据题设条件，可得)0,0,2(C 、),0,0(h P 、)0,2,0(-A 、)0,2,0(B .),2,0(h PA --=，)0,2,2(-=CB ……3分由异面直线PA 与CB 所成角的大小为60，得21444|0)(2)2()2(0|60cos 2=+⋅+⨯-+⨯-+-⨯==h h， 解得2=h .……5分 圆锥的体积=V ππ382231312=⨯⨯=sh .…………6分 （2）取BC 的中点D , 连接OD 、PD .由OC OB =，得BC OD ⊥；再由PC PB =，得BC PD ⊥. 所以PDO ∠即为二面角O BC P --的平面角.……10分 PO ⊥圆锥的底面，所以OD PO ⊥，故POD 为直角三角形.在△POD 中，221==BC OD ，2=PO ，故PDO ∠tan 2==ODPO……13分 即PDO ∠2arctan =，故二面角O BC P --的大小为2arctan …………14分 （坐标法比照给分）18.（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 设函数x x f 2log )(=（0>x ）的反函数为)(1x f -.（1）解方程：0)(2)2(=-+x f x f ；（2）设)(x g y =是定义在R 上且以2为周期的奇函数.当10<<x 时，)()(1x fx g -=，试求)10(log 2g 的值.【解析】解：（1）0)(2)2(=-+x f x f 0log 2)2(log 22=-+⇔x x （*）……2分 将（*）变形，得222log )2(log x x =+，……3分即022=--x x ，解得2=x 或1-.……5分经检验1-=x 为增根.所以原方程的解集为}2{.……6分（2）x x f2)(1=-（R ∈x ），所以当10<<x 时，xx g 2)(=……9分，由于)(x g y =是定义在R 上且以2为周期的奇函数，所以对于任意实数x ，均有)()2(x g x g =+，)()(x g x g -=-.……11分 故)85(log )410(log )10(log 222g g g =-=……12分又因为1850<<，所以085log 2<，故582)58(log )85(log 58log 222-=-=-=g g即58)10(log 2-=g ……14分19.（本题满分14分，第1小题满分7分，第2小题满分7分）如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为i A （4,3,2,1=i ），3021=A A 米， 120412=∠A A A ，D 为对角线42A A 和31A A 的交点.他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与21A A 相交于1A 、另一段弧与43A A 相交于3A ，这两段弧恰与42A A 均相交于D .设θ=∠D A A 21.（1）若两段圆弧组成“甬路”L （宽度忽略不计），求L 的长（结果精确到1米）；（2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S .对于条件（1）中的L ，当12.02131<-S S A A L时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由.【解析】解：（1）根据题设条件，可得在△421A A A 中，21422A A A A =.……1分 由正弦定理，得2412141242sin sin A A A A A A A A A A ∠=∠，即4332sin 21sin 241==∠πA A A .……3分故43arcsin3-=πθ……4分，所以θa L 2=……5分 当30=a 时，=L ⎪⎪⎭⎫⎝⎛-⋅43arcsin 360π≈36米.答：甬路L 的长约为36米.……7分 （2）由（1）得θ60=L ，在△D A A 21中，由余弦定理，得θcos 1800180021-=D A ， 故31A A =θcos 2260-，所以=31A A L θθcos 22-……10分（按思维框架给分）θ9001=S ，)sin 2(9002θθ-=S ，故θθθ-=sin 221S S ……13分（按思维框架给分） 当43arcsin3-=πθ时，12.01181.0sin 2cos 22<≈---θθθθθ.234（第19题）所以此人的设计是“用心”的.……14分20.（本题满分16分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分）已知曲线Γ:124322=+y x 的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B 两点.（1）求△21AF F 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22，且l 与圆2F 相切，求l 的方程；（3）设l 的一个方向向量),1(k d =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MB MA =且55tan =∠MAB ？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由.【解析】（1）根据题设条件，可得13422=+y x ，故2=a ，根据椭圆定义，可知42||||21==+a AF AF ，……1分1=c ，22||21==c F F …2分 由6||||||2121=++F F AF AF ，得△21AF F 的周长为6.…………4分（2）设圆2F 的方程为222)1(r y x =+-（0>r ） 令0=x ，得y =，故=得r =分由l 与圆2F 相切，得)0,1(2F 到直线l ：)1(+=x k y 的距离31||22=+=kk d .解得3±=k ，…8分故直线l 的方程为)1(3+±=x y .……10分（3）假设在x 轴上存在一点)0,(0x M ，设直线l 的方程为)1(+=x k y （0≠k ），将直线l 的方程和椭圆的方程联立，得⎩⎨⎧=++=1243)1(22y x x k y ， 消去y 并整理，得0)3(48)43(2222=-+++k x k x k ，必有0>∆令),(11y x A ，),(11y x B ，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+-=+-=+2221222143124438k k x x k k x x ……12分=+-=)1()(||2221k x x AB )1](4)[(221221k x x x x +-+=2243)1(12k k ++ ……13分 故线段AB 的中点C 的坐标为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-222433,434k k k k ，则线段AB 中垂线1l 的方程为⎪⎪⎭⎫⎝⎛++-=+-2224341433k k x k k k y ……14分 令0=y ，得=0x 2243kk +-，点M ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-0,4322k k 到直线l 的距离22431||3k k k d ++= ……15分 又因为||||MB MA =，所以55||21tan ==∠AB d MAB ，即22431||3k k k ++⋅=2243)1(12105k k ++⋅ 化简得||15522k k =+，解得42=k ，故)0,194(-M .……16分 21.（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分）记实数a 、b 中的较大者为},max{b a ，例如2}2,1max{=，1}1,1max{=.对于无穷数列}{n a ，记},m ax {212k k k a a c -=（*N ∈k ），若对于任意的*N ∈k ，均有k k c c <+1，则称数列}{n a 为“趋势递减数列”.（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列}{n a 是否为“趋势递减数列”，并说明理由.①nn a ⎪⎭⎫⎝⎛-=21， ②2sin πn a n =；（2）设首项为1的等差数列}{n b 的前n 项和为n S 、公差为d ，且数列}{n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列}{n d 满足1d 、2d 均为正实数，且||12++-=n n n d d d ，求证：}{n d 为“趋势递减数列”的充要条件为}{n d 的项中没有0. 【解析】解：（1）①中0211212<⎪⎭⎫⎝⎛-=--k k a ，02122>⎪⎭⎫⎝⎛=kk a 得kk c ⎪⎭⎫⎝⎛=41（k 为正整数）且041431<⎪⎭⎫⎝⎛-=-+kk k c c ，故①数列满足“趋势递减数列”的定义，故为“趋势递减数列”.②112)1(+--=k k a ，02=ka ，0,21,21k k lc k l =⎧=⎨=-⎩（l 为正整数），其中23c c <，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”.……4分（2）由数列}{n S 为“趋势递减数列”，得},{},m ax {432211S S c S S c =>=.……5分 ①若21S S ≥，则0122≤-=S S a ,即01≤+d a ，也即01≤+d ，故1-≤d . 此时 >>>>≥n a a a 320，所以 >>>>>≥n S S S S S 4321故11212++-=>=k k k k c S S c （*N ∈k ），满足条件.……7分②若21S S <，则32S S >，得1->d ；0233<-=S S a ，021<+d a ， 即021<+d ，解得21-<d ，所以211-<<-d .同理可以验证满足条件……9分 由①②可得，21-<d .………………10分 （3）先证明必要性：用反证法.假设存在正整数m )3(≥m ,使得0=m d ，则令a d d m m ==--21则数列}{n d 从1-m d 项开始以后的各项为 ,0,,,0,,a a a a ，故a c c k k ==+1，与}{n d 是“趋势递减数列”矛盾.……14分 再证明充分性：由||12++-=n n n d d d ，得},m ax {12++<n n n d d d ……15分因为}{n d 中的项没有0，所以对于任意正整数n ，0≠n d .于是032≠+k d （k 为正整数） 所以2212++≠k k d d ……16分①当2212++>k k d d 时，k k k k k k k c d d a d d c =<==-++++},m ax {},m ax {2121222121……17分 ②当2212++<k k d d 时，k k k k k k k c d d d d d c =<==-++++},m ax {},m ax {2122222121 所以均有k k c c <+1故}{n d 为“趋势递减数列”的充要条件是数列}{n d 的项中没有0.……18分。
2021届上海市普陀区高三二模数学试题(解析版)
2021届上海市普陀区高三二模数学试题一、单选题1．设a 、b 均为非零实数且a b >，则下列结论中正确的是（ ） A ．22a b --> B ．11a b -->C ．22a b >D ．33a b >【答案】D【分析】利用作差法逐项进行判断即可.【详解】A ．因为()()22222222b a b a b a a b a b a b---+--==，+a b 的正负无法确定，故错误； B ．因为11b aab ab----=，ab 的正负无法确定，故错误； C ．因为()()22a b a b a b -=+-，+a b 的正负无法确定，故错误；D ．因为()()()223322324b b a b a b a ab b a b a ⎡⎤⎛⎫-=-++=-++⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦，2230,024b b a b a ⎛⎫->++> ⎪⎝⎭ ，所以330a b ->，所以33a b >，故正确，故选：D.【点睛】方法点睛：常见的比较大小的方法： （1）作差法：作差与0作比较；（2）作商法：作商与1作比较（注意正负）； （3）函数单调性法：根据函数单调性比较大小； （4）中间值法：取中间值进行大小比较.2．设716m <<，则双曲线221167x y m m+=--的焦点坐标是（ ）A ．()4,0±B ．()3,0±C ．(0,5)±D ．()0,4±【答案】B【分析】确定双曲线的焦点位置，求出c 的值，即可得出双曲线的焦点坐标. 【详解】716m <<，则160m ->，70m -<，所以，双曲线的标准方程为221167x y m m -=--，所以该双曲线的焦点在x 轴上，且216a m =-，27b m =-，则3c =， 因此该双曲线的焦点坐标为()3,0±. 故选：B.3．设,αβ是两个不重合的平面，,l m 是两条不重合的直线，则“//αβ”的一个充分非必要条件是（ ）A ．l ⊂α，m ⊂α且l β//，//m βB ．l ⊂α，m ⊂β，且//l mC ．l α⊥，m β⊥且//l mD ．//l α，//m β，且//l m【答案】C【分析】根据线面垂直的性质和面面平行判定定理的推论，可得由C 项的条件能证出//αβ，由面面平行判定定理和空间线面位置关系，对A 、B 、D 各项的条件加以推理，可得都有可能,l m 平行于,αβ的交线，得它们不正确.【详解】对于A ，若l α⊂，m α⊂且l β//，//m β，若,l m 是平行直线，则它们可能都平行于,αβ的交线，所以A 不正确； 对于B ，l ⊂α，m ⊂β，且//l m ，可得,l m 都平行于,αβ的交线，所以B 不正确；对于C ，l α⊥且//l m ，可得m α⊥，再由m α⊥，m β⊥，得到//αβ， 所以l α⊥，m β⊥且//l m 是//αβ的一个充分非必要条件，所以C 正确； 对于D ，由//l α，//m β，且//l m ，可能有,l m 都平行于,αβ的交线，所以D 不正确； 故选：C.【点睛】关键点点睛：该题给出几个位置关系的条件，求能使//αβ的一个充分条件，正确解题的关键是要明确面面平行的判定定理.4．已知函数3()13xxf x =+，设i x （1,2,3i =）为实数，且1230x x x ++=．给出下列结论：①若1230x x x ⋅⋅>，则1233()()()2f x f x f x ++<；②若1230x x x ⋅⋅<，则1233()()()2f x f x f x ++>． 其中正确的是（ ） A ．①与②均正确 B ．①正确，②不正确 C ．①不正确，②正确 D ．①与②均不正确【答案】A【分析】令()1()2g x f x =-，得到()g x 为递增函数，且为奇函数，①中，不妨设1230,0,0x x x <<>，结合1212(,())A x x f x x ++，利用直线OA 的方程得到()()1212()g x g x g x x +<+，进而得到()()123()0g x g x g x ++<，可判断①正确；②中，不妨设1230,0,0x x x <>>，得到点2323(,())B x x f x x ++，利用直线OB 的方程得到()()2323()g x g x g x x +>+，进而得到()()123()0g x g x g x ++>，可判定②正确.【详解】令函数()()()13131112132213213x x x xx g x f x -=-=-==-+++，可得函数()g x 为单调递增函数，又由3131()()02(13)2)(13x x x x g x g x --+-=+=++--，即()()g x g x -=-， 所以函数()g x 为奇函数，图象关于点(0,0)对称，如图（1）所示， ①中，因为1230x x x ++=，且1230x x x ⋅⋅>，则312()x x x =-+， 不妨设1230,0,0x x x <<>，则点1212(,())A x x f x x ++，此时直线OA 的方程为1212()f x x y x x x +=+，可得()()121211221212()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++<<++，则()()12121212121212()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++<+=+++，可得()()1212()0g x g x g x x +-+<，又由()31212[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++<，即()()123111()0222f x fx f x -+-+-<，即1233()()()2f x f x f x ++<，所以①正确；②中，若1230x x x ⋅⋅<，不妨设1230x x x ⋅⋅>，则123()x x x =-+， 不妨设1230,0,0x x x <>>，则点2323(,())B x x f x x ++，此时直线OB 的方程为2323()f x x y x x x +=+，可得()()232322332323()(),g x x g x x g x x g x x x x x x ++>>++，则()()23232323232323()()()g x x g x x g x g x x x g x x x x x x +++>+=+++，可得()()2323()0g x g x g x x +-+>，又由()12323[()]()g x g x x g x x =-+=-+，所以()()123()0g x g x g x ++>， 即()()123111()0222f x f x f x -+-+->，即1233()()()2f x f x f x ++>， 所以②正确. 故选：A.【点睛】方法点拨：令函数()1()2g x f x =-，得到函数()g x 为递增函数，且为奇函数，求得点1212(,())A x x f x x ++和2323(,())B x x f x x ++，结合直线OA 和OB 的方程，得出不等式关系式是解答的关键.二、填空题5．设全集U ={}1,0,1,2-，若集合{}1,0,2A =-，则UA___________．【答案】{1}【分析】根据集合的补集的概念及运算，即可求解.【详解】由题意，全集U ={}1,0,1,2-，集合{}1,0,2A =-， 根据集合补集的概念及运算，可得{1}UA =.故答案为：{1}. 6．若复数2iz i+=（i 表示虚数单位），则Im z =__________． 【答案】2-【分析】先根据复数的除法运算求解出z ，然后可直接判断出z 的虚部.【详解】因为()()()2212i i i z i i i i +⋅-+===-⋅-，所以z 的虚部为2-， 所以Im 2z =-， 故答案为：2-. 7．函数1y x x=的零点为___________． 【答案】1【分析】令10y x ==求解.【详解】令10y x ==1x=，两边平方得：()310x x =>，解得1x =，所以函数1y x=的零点为1. 故答案为：1.8．曲线24y x =的顶点到其准线的距离为__________． 【答案】1【分析】根据抛物线的定义求出顶点坐标和准线方程，求出其到准线的距离即可. 【详解】因为曲线24y x =，所以其顶点为(0,0)，准线方程为：1x =-， 所以曲线24y x =的顶点到其准线的距离为1， 故答案为：1.【点睛】关键点点睛：该题考查的是有关抛物线的问题，正确解题的关键是要理解抛物线的性质，明确抛物线的顶点和焦点坐标. 9．若cos()13πθ+=，则cos θ=__________．【答案】12【分析】根据cos cos()33ππθθ=+-，利用两角差的余弦公式可求出结果. 【详解】因为cos()13πθ+=，所以sin()03πθ+=，所以cos cos()33ππθθ=+-cos()cos sin()sin 3333ππππθθ=+++1102=⨯+12=. 故答案为：1210．棱长为2的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积等于______. 【答案】12π【分析】棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上，球的直径是正方体的对角线，从而得到结果．【详解】∵棱长为2的正方体的八个顶点都在同一个球面上， ∴球的直径是正方体的对角线，∴球的半径是2r r ==∴球的表面积是4212ππ⨯⨯=.故答案为：12π.11．设8(21)x -280128a a x a x a x =++++，则128a a a +++=___________．【答案】0【分析】先令0x =计算出0a 的值，再令1x =计算出0128a a a a ++++的值，由此可计算出128a a a +++的值.【详解】令0x =，所以()8011a -==， 令1x =，所以2818011a a a a +++=+=，所以128110a a a +++=-=，故答案为：0.【点睛】方法点睛：“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种处理二项展开式相关问题的比较常用的方法.对形如()()()2,,,nnax b ax bx ca b c R +++∈的式子求其展开式的各项系数之和、系数的绝对值之和等，可通过令0,1x =±求得相关式子的值，然后求解出结果.12．设无穷等比数列{}n a 的前n 项和为n S ，若11a =，且()1lim 3n n S S →∞+=，则公比q =_________．【答案】12【分析】根据无穷等比数列的求和公式和极限的运算公式，即可求解. 【详解】设等比数列{}n a 的公比为q ，因为11a =，且()1lim 3n n S S →∞+=，可得1111li +131m 1n n a S S a q q→∞=+=+-=-，解得12q =. 故答案为：12.13．设x 、y 均为非负实数且满足0220x y x y -≤⎧⎨+-≤⎩，则3x y -的最小值为__________．【答案】3-【分析】根据不等式组作出可行域，然后采用平移直线法求解出目标函数3x y -的最小值.【详解】记3z x y =-，由条件可知,x y 满足：02200,0x y x y x y -≤⎧⎪+-≤⎨⎪≥≥⎩，作出可行域如下图所示：由图可知，当直线3z x y =-经过点A 时，此时纵截距最大，所以z 有最小值，又0220x x y =⎧⎨+-=⎩，所以01x y =⎧⎨=⎩，所以()0,1A ，所以min 0133z =-⨯=-， 故答案为：3-.【点睛】思路点睛：利用线性规划求解线性目标函数最值的步骤： （1）根据不等式组作出可行域；（2）采用平移直线法将直线的纵截距与目标函数的最值联系在一起；（3）通过平移直线确定出直线纵截距取最值时直线所过可行域内的点的坐标，从而目标函数最值可求.14．某学校从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为____________（结果用最简分数表示）． 【答案】47【分析】利用组合计数原理结合古典概型的概率公式可求得所求事件的概率. 【详解】由题意可知，从4名男生、3名女生中选出2名担任招生宣讲员，则在这2名宣讲员中男、女生各1人的概率为114327124217C C P C ===. 故答案为：47. 15．设(),M x y 是直线3x y +=上的动点，若12x ≤≤值为_________．【分析】233xy =+-32t ⎤=⎥⎦，分析函数()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间32⎤⎥⎦上的单调性，求出()max f t ，即可得解.【详解】211x y x y =+++-3333x y x y xy xyxy +=++-=+-=+-，令32t ⎤===⎥⎦， 设()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭，()1g t t t=+32t ≤≤， 任取1t 、232t ⎤∈⎥⎦且12t t<1232t t ≤<≤，所以，()()()()12121212121221121111t t g t g t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+-+=---=-- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭()()1212121t t t t t t --=，12322t t ≤<≤，则120t t -<，121t t >，()()12g t g t ∴<，所以，函数()1g t t t =+在区间32,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以，函数()23132f t t t t ⎛⎫=+-+ ⎪⎝⎭在区间32,2⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减， ()()()2max 6332962232222f t f-⎛⎫-∴==+-+== ⎪ ⎪⎭，所以，11x y y x +-+的最大值为63632-=-. 故答案为：63-. 【点睛】关键点点睛：本题求解代数式最值的求解，解题的关键就是将代数式平方后，利用换元法将代数式的最值转化为函数的最值来处理. 16．如图，在△ABC 中，2C π=，3AC =，1BC =．若O 为△ABC 内部的点且满足0OA OB OC OAOBOC++=，则::OA OB OC =________．【答案】4:2:1【分析】根据已知的向量关系先分析出120BOC AOB AOC ∠=∠=∠=︒，然后通过设OCB θ∠=，根据相似三角形以及正弦定理找到,,OA OB OC 的关系，从而可求解出::OA OB OC 的结果.【详解】因为0OA OB OC OAOBOC++=，所以OA OB OC OAOBOC=+，所以22OA OB OC OA OB OC ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪=+⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以111211cos ,OB OCOB OC=++⋅⋅⋅<>，所以,1cos 2OB OC OB OC <>=-，所以120,OB OCOB OC<>=︒，即120BOC ∠=︒，同理可知：120BOC AOB AOC ∠=∠=∠=︒， 不妨设OCB θ∠=，所以60OBC θ∠=︒-， 又因为2C π=，3AC =，1BC =，所以2,60AB ABC =∠=︒，所以()6060OBA θθ∠=︒-︒-=，所以18012060OAB θθ∠=︒-︒-=︒-，所以AOBBOC ，所以AO BOBO CO=，所以2OA OC OB ⋅=； 在BOC 中，sin sin sin BC OB OCBOC OCB OBC==∠∠∠，所以()1sin120sin sin 60OB OC θθ==︒︒-，所以23sin 3OB θ=， 又在AOB 中，sin sin OB ABOAB AOB=∠∠，所以()2sin 60sin120OB θ=︒-︒，所以()43sin 603OB θ=︒-， 所以()2343sin sin 60θθ=︒-，所以()sin 2sin 60θθ=︒-， 又因为()sin sin 60OB OC θθ=︒-，所以2OB OC=， 又因为2OA OC OB ⋅=，所以4OAOC=， 所以::4:2:1OA OB OC =. 故答案为：4:2:1.【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是通过向量关系分析得到,,BOC AOB AOC ∠∠∠的角度，再利用角度结合正弦定理分析所求线段长度之间的关系，本例中的O 点要注意和“内心”作区分.三、解答题17．如图，设底面半径为2的圆锥的顶点、底面中心依次为P 、O ，AB 为其底面的直径．点C 位于底面圆周上，且90BOC ∠=．异面直线PA 与CB 所成角的大小为60．（1）求此圆锥的体积；（2）求二面角P BC O --的大小（结果用反三角函数值表示）． 【答案】（1）83π；（2）3arccos（或写成arctan 2）． 【分析】（1）建立空间直角坐标系，根据异面直线PA 与CB 所成角的大小为60求解出圆锥的高OP ，再根据圆锥的体积公式求解出其体积；（2）根据空间直角坐标系，分别求解出平面PBC 和平面OBC 的一个法向量，根据法向量夹角的余弦值求解出二面角P BC O --的大小.【详解】解：（1）设圆锥的高为h ．以O 为坐标原点，以OC 、OB 、OP 所在的直线分别为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示．根据题设条件，可得(2,0,0)C 、(0,0,)P h 、(0,2,0)A -、(0,2,0)B ．(0,2,)PA h =--，(2,2,0)CB =-由异面直线PA 与CB 所成角的大小为60， 得01cos602PA CB PA CB⋅⨯===，解得2h =． 圆锥的体积V =211822333Sh ππ=⨯⨯⨯=． （2）方法一：由（1）知()()()0,0,2,0,2,0,2,0,0P B C , 所以()0,2,2PB =-，()2,2,0BC =-， 设平面PBC 一个法向量为(),,m x y z =，所以00m PB m BC ⎧⋅=⎨⋅=⎩，所以00y z x y -=⎧⎨-=⎩，令1x =，所以()1,1,1m =，取平面BCO 一个法向量为()0,0,1n =， 所以cos ,13m n m n m n⋅<>===⋅ 结合图形可知二面角P BC O --为锐二面角， 所以二面角P BC O --的大小为arccos3； 方法二：取BC 的中点D ，连接OD 、PD ． 由OB OC =，得ODBC ；再由PB PC =，得PD BC ⊥．所以PDO ∠即为二面角P BC O--的平面角．PO ⊥圆锥的底面，所以PO OD ⊥，故POD 为直角三角形．在△POD 中，12OD BC==2PO =，故tan PDO ∠PO OD==即PDO ∠=P BC O --的大小为【点睛】思路点睛：向量方法求解二面角的余弦值的步骤：（1）建立合适空间直角坐标系，写出二面角对应的两个半平面中相应点的坐标； （2）设出法向量，根据法向量垂直于平面中任意方向向量，求解出半平面的一个法向量；（注：若半平面为坐标平面，直接取法向量亦可）（3）计算（2）中两个法向量夹角的余弦值，结合立体图形中二面角的实际情况，判断二面角是钝角还是锐角，从而得到二面角的余弦值. 18．设函数()()2log 0f x x x =>的反函数为()1f x -．（1）解方程：()()220f x f x +-=；（2）设()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数．当01x <<时，()()1g x f x -=，试求()2log 10g 的值．【答案】（1）原方程的解集为{}2；（2）()28log 105g =-． 【分析】（1）利用底数的运算性质直接求解所原方程，结合真数有意义可求得原方程的解集；（2）求得当01x <<时，()2xg x =，通过计算得出()22258log 10log log 85g g g ⎛⎫⎛⎫==- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即可得解.【详解】（1）()()()22220log 22log 0f x f x x x +-=⇔+-=，则()222log 2log x x +=即220x x --=，解得2x =或1-．由20x x +>⎧⎨>⎩可得0x >，2x ∴=，所以，原方程的解集为{}2； （2）()2log f x x =，其中0x >，令2log y x =，可得2y x =，即()12x f x -=，所以当01x <<时，所以，()2xg x =，由于()y g x =是定义在R 上且以2为周期的奇函数，所以对于任意实数x ，均有()()2g x g x +=，()()g x g x -=-．342102<<，则23log 104<<，故()()()222225log 10log 104log 10log 16log 8g g g g ⎛⎫=-=-= ⎪⎝⎭， 又因为15128<<，所以251log 08-<<，故28log 522588log log 2855g g ⎛⎫⎛⎫=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.因此，()28log 105g =-. 【点睛】方法点睛：函数的三个性质：单调性、奇偶性和周期性，在高考中一般不会单独命题，而是常将它们综合在一起考查，其中单调性与奇偶性结合、周期性与抽象函数相结合，并结合奇偶性求函数值，多以选择题、填空题的形式呈现，且主要有以下几种命题角度；（1）函数的单调性与奇偶性相结合，注意函数的单调性及奇偶性的定义，以及奇、偶函数图象的对称性．（2）周期性与奇偶性相结合，此类问题多考查求值问题，常利用奇偶性及周期性进行交换，将所求函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内求解；（3）周期性、奇偶性与单调性相结合，解决此类问题通常先利用周期性转化自变量所在的区间，然后利用奇偶性和单调性求解.19．如图所示，某人为“花博会”设计一个平行四边形园地，其顶点分别为iA （1,2,3,4i =），1230A A =米，214120A A A ∠=，D 为对角线24A A 和13A A 的交点．他以2A 、4A 为圆心分别画圆弧，一段弧与12A A 相交于1A 、另一段弧与34A A 相交于3A ，这两段弧恰与24A A 均相交于D ．设12A A D θ∠=．（1）若两段圆弧组成“甬路”L （宽度忽略不计），求L 的长（结果精确到1米）； （2）记此园地两个扇形面积之和为1S ，其余区域的面积为2S ．对于条件（1）中的L ，当11320.12S LA A S -<时，则称其设计“用心”，问此人的设计是否“用心”？并说明理由． 【答案】（1）36米；（2）此人的设计是“用心”的；答案见解析． 【分析】（1）在△124A A A 中，根据正弦定理求出1423A A A ∠=公式可求出结果；（2）利用余弦定理求出1A D ，可得13A A ，利用三角形面积公式和扇形的面积公式求出1S ，2S ，可得1132||S LA A S -，再通过近似计算可得答案. 【详解】（1）根据题设条件，可得在△124A A A 中，24122A A A A =．由正弦定理，得2412214142sin sin A A A A A A A A A A =∠∠，即142123sin sin 234A A A π∠==．所以1423arcsinA A A ∠=，所以3arcsin 3πθ=-， 所以12260L A A θθ=⋅==360arcsin 3π⎛⎫⋅- ⎪ ⎪⎝⎭≈36米． 答：甬路L 的长约为36米．（2）由（1）得60L θ=，在△12A A D 中，由余弦定理，得21221800180303023030c cos 0os A D θθ=+-⨯⨯⨯=-，所以13022cos A D θ=-， 故13A A =6022cos θ-，所以13LA A =22cos θ-，2112002930S θθ==⨯⨯，2914303000(2s )sin 90n 0i 2S θθθθ=⨯⨯⨯-=-，故122sin S S θθθ=-， 当3arcsin34πθ=-时，0.11810.122sin 22cos θθθθθ-≈<--．所以此人的设计是“用心”的．【点睛】关键点点睛：利用正弦定理、余弦定理、弧长和扇形的面积公式、三角形的面积公式求解是解题关键.20．已知曲线Γ：223412x y +=的左、右焦点分别为1F 、2F ，直线l 经过1F 且与Γ相交于A 、B 两点．（1）求△12F AF 的周长；（2）若以2F 为圆心的圆截y 轴所得的弦长为22l 与圆2F 相切，求l 的方程；（3）设l 的一个方向向量(1,)d k =，在x 轴上是否存在一点M ，使得||||MA MB =且tan MAB ∠=？若存在，求出M 的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）6；（2）1)y x =+；（3）存在；4(,0)19M -． 【分析】（1）根据椭圆方程求出,a c ，再根据椭圆的定义可求出结果；（2）圆2F 的方程为222(1)x y r -+=（0r >），根据弦长求出r ，再根据直线l 与圆2F 相切可出k ，从而可得直线l 的方程；（3）假设在x 轴上存在一点00(),M x ，满足题意，设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），联立直线l 与椭圆方程，根据韦达定理求出AB 的中点坐标，利用AB 的中垂线方程求出M ，再根据点到直线的距离公式求出点M 到直线l的距离，再根据tan MAB ∠=可求出结果. 【详解】（1）根据题设条件，可得22143x y +=，故2a =，根据椭圆定义，可知12||||24AF AF a +==，1c =，12||22F F c ==，由12126AF AF F F ++=，得△12F AF 的周长为6．（2）设圆2F 的方程为222(1)x y r -+=（0r >），令0x =，得y =，故=r = 由l 与圆2F 相切，得2(1,0)F 到直线l ：(1)y k x =+的距离d ==k =故直线l的方程为1)y x =+．（3）假设在x 轴上存在一点00(),M x ，设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），将直线l 的方程和椭圆的方程联立，得22(1)3412y k x x y =+⎧⎨+=⎩， 消去y 并整理，得2222(34)84(3)0k x k x k +++-=，42226416(34)(3)144(1)0k k k k ∆=-+-=+>，令11(,)A x y ，11(,)B x y ，则2122212283441234k x x k k x x k ⎧+=-⎪⎪+⎨-⎪=⎪+⎩，AB ==2212(1)34k k++， 121212(1)(1)()2y y k x k x k x x k +=+++=++2228623434k kk k k=-+=++， 故线段AB 的中点C 的坐标为22243,3434k k k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭，则线段AB 中垂线1l 的方程为2223143434k k y x k k k ⎛⎫-=-+ ⎪++⎝⎭， 令0y =，得0x =2234k k -+，点M 22,034k k ⎛⎫- ⎪+⎝⎭到直线l的距离d =， 又因为||||MA MB =，所以tan 12d MAB AB ∠===2212(1)1034k k ++，k =，解得24k =，故4(,0)19M -．所以在x 轴上是否存在一点4(,0)19M -，使得||||MA MB =且tan MAB ∠=. 【点睛】关键点点睛：设直线l 的方程为(1)y k x =+（0k ≠），利用直线l 的方程与椭圆方程联立求出AB 的中点坐标，再根据AB 的中垂线方程得到M ，再根据点M 到直线l的距离与tan MAB ∠=建立方程求出2k 是解题关键， 21．记实数a 、b 中的较大者为max{,}a b ，例如{}max 1,22=，{}max 1,11=．对于无穷数列{}n a ，记{}212max ,k k k c a a -=（*N k ∈），若对于任意的*N k ∈，均有1k k c c +<，则称数列{}n a 为“趋势递减数列”．（1）根据下列所给的通项公式，分别判断数列{}n a 是否为“趋势递减数列”，并说明理由．①12nn a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，②sin 2n n a π=； （2）设首项为1的等差数列{}n a 的前n 项和为n S 、公差为d ，且数列{}n S 为“趋势递减数列”，求d 的取值范围；（3）若数列{}n d 满足1d 、2d 均为正实数，且21n n n d d d ++=-，求证：{}n d 为“趋势递减数列”的充要条件为{}n d 的项中没有0．【答案】（1）①数列为“趋势递减数列”；②数列不是“趋势递减数列”；理由见解析；（2）12d <-；（3）证明见解析．【分析】（1）根据“趋势递减数列”的定义逐个分析可得结果；（2）由数列{}n S 为“趋势递减数列”可得{}{}112234max ,,c S S c S S =>=，①若12S S ≥，推出1d ≤-，经验证数列{}n S 为“趋势递减数列”； ②若12S S <，推出112d -<<-，经验证数列{}n S 为“趋势递减数列”，由此可得结果；（3）利用反证法证明必要性，根据“趋势递减数列”的定义证明充分性,即可得解.【详解】（1）①中，由2121102k k a --⎛⎫=-< ⎪⎝⎭，22102k k a ⎛⎫=> ⎪⎝⎭，得14kk c ⎛⎫= ⎪⎝⎭（k 为正整数），因为11131044414k k kk k c c ++⎛⎫⎛-⎫=-⎝⎛⎪⎫-=⎝ < ⎪⎭⎪⎝⎭⎭，所以①数列满足“趋势递减数列”的定义，故①中数列为“趋势递减数列”.②中，由121(1)k k a +-=-，20k a =，所以0,21,21k k lc k l =⎧=⎨=-⎩（l 为正整数），因为3210c c =>=，故②中数列不满足“趋势递减数列”的定义，故其不是“趋势递减数列”．（2）由数列{}n S 为“趋势递减数列”，得{}{}112234max ,,c S S c S S =>=． ①若12S S ≥，则212S S a -==10a d +≤，即10d +≤，也即1d ≤-， 此时{}n a 为递减数列，故230n a a a ≥>>>>．所以1234n S S S S S ≥>>>>>，故21211k k k k c S S c -++=>=（*N k ∈），满足条件． ②若12S S <，则20a >，则10d +>，即1d >-， 由{}{}112234max ,,c S S c S S =>=得23S S >， 则3320a S S =-<，则120a d +<， 即120d +<，解得12d <-，所以112d -<<-．此时{}n a 为递减数列， 所以1230n a a a a >>>>>>， 所以1234n S S S S S <>>>>>，所以当2k ≥且*k N ∈时，21211k k k k c S S c -++=>=，又12c c >， 所以21211k k k k c S S c -++=>=（*N k ∈），满足条件， 由①②可得，12d <-． （3）先证明必要性：用反证法．假设存在正整数m (3)m ≥，使得0m d =，21||0m m m d d d --=-=，令12m m d d a --==， 因为120,0d d >>，且21n n n d d d ++=-，所以0n d ≥，故0a ≥， 则数列{}n d 从1m d -项开始以后的各项为,,0,,,0,a a a a ，则当211k m -≥-时，212max{,)k k k c d d a -==，所以12122max{,}k k k c d d a +++==， 所以1k k c c a +==，与{}n d 是“趋势递减数列”矛盾． 故假设不成立，故{}n d 的项中没有0. 再证明充分性：由21n n n d d d ++=-，得{}21max ,n n n d d d ++<，因为{}n d 中的项没有0，所以对于任意正整数n ，0n d ≠．于是230k d +≠（k 为正整数），所以2122k k d d ++≠，①当2122k k d d ++>时，{}{}1212221212max ,max ,k k k k k k k c d d d d d c ++++-==<=， ②当2122k k d d ++<时，{}{}1212222212max ,max ,k k k k k k k c d d d d d c ++++-==<=， 所以均有1k k c c +<，故{}n d为“趋势递减数列”的充要条件是数列{}n d的项中没有0．【点睛】关键点点睛：理解并运用“趋势递减数列”的定义求解是解题关键.第 21 页共 21 页。
上海市2021年中考数学真题试卷(Word版+答案+解析)
上海市2021年中考数学试卷一、单选题（共6题；共12分）1.下列实数中，有理数是（ ）A. √12B. √13C. √14D. √152.下列单项式中， a 2b 3 的同类项是（ ）A. a 3b 2B. 2a 2b 3C. a 2bD. ab 33.将抛物线 y =ax 2+bx +c(a ≠0) 向下平移两个单位，以下说法错误的是（ ）A. 开口方向不变B. 对称轴不变C. y 随x 的变化情况不变D. 与y 轴的交点不变4.商店准备一种包装袋来包装大米，经市场调查以后，做出如下统计图，请问选择什么样的包装最合适（ ）A. 2kg /包B. 3kg /包C. 4kg /包D. 5kg /包5.如图，已知平行四边形ABCD 中， AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =a ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ =b ⃗ ，E 为 AB 中点，求 12a +b ⃗ = （ ）A. EC⃗⃗⃗⃗⃗ B. CE ⃗⃗⃗⃗⃗ C. ED ⃗⃗⃗⃗⃗ D. DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 6.如图，已知长方形 ABCD 中， AB =4,AD =3 ，圆B 的半径为1，圆A 与圆B 内切，则点 C,D 与圆A 的位置关系是（ ）A. 点C在圆A外，点D在圆A内B. 点C在圆A外，点D在圆A外C. 点C在圆A上，点D在圆A内D. 点C在圆A内，点D在圆A外二、填空题（共12题；共12分）7.计算：x7÷x2=________．8.已知f(x)=6x，那么f(√3)=________．9.已知√x+4=3，则x=________．10.不等式2x−12<0的解集是________．11.70°的余角是________．12.若一元二次方程2x2−3x+c=0无解，则c的取值范围为________．13.有数据1,2,3,5,8,13,21,34，从这些数据中取一个数据，得到偶数的概率为________．14.已知函数y=kx经过二、四象限，且函数不经过(−1,1)，请写出一个符合条件的函数解析式________．15.某人购进一批苹果到集贸市场零售，已知卖出的苹果数量与售价之间的关系如图所示，成本为5元/千克，现以8元/千克卖出，赚________元．16.如图，已知S△ABDS△BCD =12，则S△BOCS△BCD=________．17.六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形，直角三角板的最短边为1，求中间正六边形的面积________．18.定义：在平面内，一个点到图形的距离是这个点到这个图上所有点的最短距离，在平面内有一个正方形，边长为2，中心为O，在正方形外有一点P,OP=2，当正方形绕着点O旋转时，则点P到正方形的最短距离d的取值范围为________．三、解答题（共7题；共60分）19.计算：912+|1−√2|−2−1×√820.解方程组：{x+y=3x2−4y2=021.已知在△ABD中，AC⊥BD,BC=8,CD=4，cos∠ABC=45，BF为AD边上的中线．（1）求AC的长；（2）求tan∠FBD的值．22.现在5G手机非常流行，某公司第一季度总共生产80万部5G手机，三个月生产情况如下图．（1）求三月份共生产了多少部手机?（2）5G手机速度很快，比4G下载速度每秒多95MB，下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒，求5G手机的下载速度．23.已知：在圆O内，弦AD与弦BC交于点G,AD=CB,M,N分别是CB和AD的中点，联结MN,OG．（1）求证：OG⊥MN；（2）联结AC,AM,CN，当CN//OG时，求证：四边形ACNM为矩形．24.已知抛物线y=ax2+c(a≠0)过点P(3,0),Q(1,4)．（1）求抛物线的解析式；（2）点A在直线PQ上且在第一象限内，过A作AB⊥x轴于B，以AB为斜边在其左侧作等腰直角ABC．①若A与Q重合，求C到抛物线对称轴的距离；②若C落在抛物线上，求C的坐标．25.如图，在梯形ABCD中，AD//BC,∠ABC=90°,AD=CD,O是对角线AC的中点，联结BO并延长交边CD或边AD于E．（1）当点E在边CD上时，①求证：△DAC∽△OBC；②若BE⊥CD，求AD的值；BC（2）若DE=2,OE=3，求CD的长．答案解析部分一、单选题1.【答案】C【考点】有理数及其分类【解析】【解答】解：A、√12=√22∵√2是无理数，故√12是无理数B、√13=√33∵√3是无理数，故√13是无理数C、√14=12为有理数D、√15=√55∵√5是无理数，故√15是无理数故答案为：C【分析】先将各项二次根式化为最简二次根式，然后根据整数和分数统称有理数，有限小数和无限循环小数都可以化为分数；无限不循环小数叫做无理数，对于开方开不尽的数、圆周率π都是无理数；据此判断即可.2.【答案】B【考点】同类项【解析】【解答】∵a的指数是3，b的指数是2，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴a3b2不是a2b3的同类项，不符合题意；∵a的指数是2，b的指数是3，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3一致，∴2a2b3是a2b3的同类项，符合题意；∵a的指数是2，b的指数是1，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴a2b不是a2b3的同类项，不符合题意；∵a的指数是1，b的指数是3，与a2b3中a的指数是2，b的指数是3不一致，∴ab3不是a2b3的同类项，不符合题意；故答案为：B【分析】所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项叫做同类项，据此逐一判断即可.3.【答案】D【考点】二次函数图象的几何变换【解析】【解答】将抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)向下平移两个单位，开口方向不变、对称轴不变、故y随x的变化情况不变；与y轴的交点改变故答案为：D．【分析】由于抛物线上下平移后形状不变，开口方向不变、对称轴不变、从而可得增减性不变，但与y 轴的交点改变，据此判断即可.4.【答案】A【考点】条形统计图【解析】【解答】由图可知，选择1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的人数最多，∴选择在1.5kg/包-2.5kg/包的范围内的包装最合适．故答案为：A．【分析】最合适的包装即是顾客购买最多的包装，据此判断即可.5.【答案】A【考点】平面向量【解析】【解答】∵四边形ABCD是平行四边形，E为AB中点，∴12a+b⃗=12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗故答案为：A．【分析】根据平行四边形的性质及线段的中点，可得12a+b⃗=12AB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EB⃗⃗⃗⃗⃗ +BC⃗⃗⃗⃗⃗ =EC⃗⃗⃗⃗⃗ ，据此判断即可.6.【答案】C【考点】点与圆的位置关系【解析】【解答】∵圆A与圆B内切，AB=4，圆B的半径为1∴圆A的半径为5∵AD=3<5∴点D在圆A内在Rt△ABC中，AC=√AB2+BC2=√42+32=5∴点C在圆A上故答案为：C【分析】根据两圆内切，可得圆A的半径为5，由点与圆的位置关系可得点D在圆A内，在Rt△ABC中，利用勾股定理求出AC=5，利用点与圆的位置关系可得点C在圆A上，据此判断即可.二、填空题7.【答案】x5【考点】同底数幂的除法【解析】【解答】∵x7÷x2=x5,故答案为: x5．【分析】同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此计算即可.8.【答案】2√3【考点】代数式求值【解析】【解答】解：∵f(x)=6x，∴f(√3)==2√3，√3故答案为：2√3．【分析】将x=√3代入，求出函数值即可.9.【答案】5【考点】无理方程【解析】【解答】解：√x+4=3，两边同平方，得x+4=9，解得：x=5，经检验，x=5是方程的解，∴x=5，故答案是：5．【分析】将方程两边同平方，化为一元一次方程，求解并检验即可.10.【答案】x<6【考点】解一元一次不等式【解析】【解答】2x−12<02x<12x<6故答案为：x<6．【分析】利用移项、系数化为1即可求出解集.11.【答案】20°【考点】余角、补角及其性质【解析】【解答】70°的余角是90°- 70°= 20°故答案为：20°．【分析】互余的两个角的和等于90°，据此解答即可.12.【答案】c>98【考点】一元二次方程根的判别式及应用【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程2x2−3x+c=0无解，∵a=2，b=−3，c=c，∴△=b2−4ac=(−3)2−4×2c<0，，解得c>98∴c的取值范围是c>9．8故答案为：c>9．8【分析】由关于x的一元二次方程2x2−3x+c=0无解，可得△＜0，据此解答即可.13.【答案】38【考点】概率公式【解析】【解答】根据概率公式，得偶数的概率为 38 ，故答案为： 38 ．【分析】直接利用概率公式计算即可.14.【答案】 y =−2x （ k <0 且 k ≠−1 即可）【考点】正比例函数的图象和性质【解析】【解答】解：∵正比例函数 y =kx 经过二、四象限，∴k<0，当 y =kx 经过 (−1,1) 时，k=-1，由题意函数不经过 (−1,1) ，说明k≠-1，故可以写的函数解析式为： y =−2x (本题答案不唯一，只要 k <0 且 k ≠−1 即可)．【分析】正比例函数经过二、四象限，可得k<0， 又不经过 (−1,1) ，可得k≠-1，，据此求解即可（答案不唯一）.15.【答案】 33k 5【考点】一次函数的实际应用【解析】【解答】设卖出的苹果数量与售价之间的关系式为 y =mx +n(5≤x ≤10) ，将（5，4k ），（10，k ）代入关系式：{5m +n =4k 10m +n =k ，解得 {m =−35k n =7k∴ y =−35kx +7k(5≤x ≤10)令 x =8 ，则 y =115k ∴利润= (8−5)×115k =335k【分析】利用待定系数法求出卖出的苹果数量与售价之间的关系式，再求出当售价为8元/千克时卖出的苹果数量，最后利用利润=（售价-进价）×销售量，计算即得.16.【答案】 23【考点】相似三角形的判定与性质【解析】【解答】解：作AE ⊥BC ，CF ⊥BD∵ S △ABDS △BCD =12 ∴△ABD 和△BCD 等高，高均为AE∴S△ABDS△BCD =12AD·AE12BC·AE=ADBC=12∵AD∥BC∴△AOD∽△COB∴ODOB =ADBC=12∵△BOC和△DOC等高，高均为CF∴S△BOCS△DOC =12OB·CF12OD·CF=OBOD=21∴S△BOCS△BCD =23故答案为：23【分析】作AE⊥BC，CF⊥BD，可得S△ABDS△BCD =12AD·AE12BC·AE=ADBC=12，利用平行线可证△AOD∽△COB可得ODOB =ADBC=12，从而求出S△BOCS△DOC=12OB·CF12OD·CF=OBOD=21，继而得出结论.17.【答案】3√32．【考点】正多边形的性质【解析】【解答】解：如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，在正六边形ABCDEF中，∵直角三角板的最短边为1，∴正六边形ABCDEF为1，∴△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，∵∠ABC=∠CDE =∠EFA =120°，AB=BC= CD=DE= EF=FA=1，∴∠BAG=∠BCG =∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30°，∴BG=DI= FH= 12，∴由勾股定理得：AG =CG = CI = EI = EH = AH = √32，∴AC =AE = CE = √3，∴由勾股定理得：AI= 32，∴S= 3×12×√3×12+12×√3×32=3√32，故答案为：3√32．【分析】如图所示，连接AC、AE、CE，作BG⊥AC、DI⊥CE、FH⊥AE，AI⊥CE，利用正六边形的性质可得△ABC、△CDE、△AEF为以1为边长的等腰三角形，△ACE为等边三角形，从而求出∠BAG=∠BCG=∠DCE=∠DEC=∠FAE =∠FEA=30︒，继而得出BG=DI= FH= 12，AC =AE = CE = √3，AI= 32，由中间正六边形的面积=3△ABC的面积+△ACE的面积，利用三角形的面积公式计算即可.18.【答案】2−√2≤d≤1【考点】旋转的性质，四边形-动点问题【解析】【解答】解：如图1，设AD的中点为E，连接OA，OE，则AE=OE=1，∠AEO=90°，OA=√2．∴点O与正方形ABCD边上的所有点的连线中，OE最小，等于1，OA最大，等于√2．∵OP=2，∴点P与正方形ABCD边上的所有点的连线中，如图2所示，当点E落在OP上时，最大值PE=PO-EO=2-1=1；如图3所示，当点A落在OP上时，最小值PA=PO−AO=2−√2．∴当正方形ABCD绕中心O旋转时，点P到正方形的距离d的取值范围是2−√2≤d≤1．故答案为：2−√2≤d≤1【分析】由旋转及正方形的性质可得，当点E落在OP上时，最大值为PE的长，当点A落在OP上时，最小值为PA的长，据此分别求出最大值与最小值，即得结论.三、解答题19.【答案】解：912+|1−√2|−2−1×√8，= √9−(1−√2)−12×2√2，= 3+√2−1−√2，=2．【考点】实数的运算【解析】【分析】利用算术平方根、负整数指数幂、绝对值的性质分别化简，再合并即可.20.【答案】解：由题意：{x+y=3⋯(1)x2−4y2=0⋯(2)，由方程(1)得到：x=3−y，再代入方程(2)中：得到： (3−y)2−4y 2=0 ，进一步整理为： 3−y =2y 或 3−y =−2y ， 解得 y 1=1 ， y 2=−3 ，再回代方程(1)中，解得对应的 x 1=2 ， x 2=6 ， 故方程组的解为： {x =2y =1 和 {x =6y =−3 ． 【考点】解二元一次方程组【解析】【分析】利用代入消元法解方程组即可. 21.【答案】 （1）∵ AC ⊥BD ， cos ∠ABC =45 ∴ cos ∠ABC =BCAB =45 ∴AB=10∴ AC = √AB 2−BC 2=6 ；（2）过点F 作FG ⊥BD ，∵ BF 为 AD 边上的中线． ∴F 是AD 中点 ∵FG ⊥BD ， AC ⊥BD ∴ FG //AC∴FG 是△ACD 的中位线 ∴FG= 12AC = 3 CG= 12CD =2∴在Rt △BFG 中， tan ∠FBD = FGBG =38+2=310 ． 【考点】勾股定理，锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1） 利用 cos ∠ABC =BCAB =45可求出AB 的长，再利用勾股定理求出AC 的长即可； （2）过点F 作FG ⊥BD ，由AC ⊥BD 可得FG ∥AC ，可得FG 是△ACD 的中位线，从而可得= 3， =2 ，在Rt △BFG 中，由tan ∠FBD .22.【答案】（1）3月份的百分比= 1−30%−25%=45%三月份共生产的手机数= 80×45%=36（万部）答：三月份共生产了36万部手机．（2）设5G手机的下载速度为x MB/秒，则4G下载速度为(x−95)MB/秒，由题意可知：1000x−95−1000x=190解得：x=100检验：当x=100时，x⋅(x−95)≠0∴x=100是原分式方程的解．答：5G手机的下载速度为100 MB/秒．【考点】分式方程的实际应用，扇形统计图【解析】【分析】（1）由扇形统计图求出三月份所占百分比，再乘以总数即得结论；（2）设5G手机的下载速度为x MB/秒，则4G下载速度为(x−95)MB/秒，根据“下载一部1000MB的电影，5G比4G要快190秒”列出方程，求解并检验即可.23.【答案】（1）证明：连结OM,ON，∵M、N分别是CB和AD的中点，∴OM，ON为弦心距，∴OM⊥BC，ON⊥AD，∴∠GMO=∠GNO=90°，在⊙O中，AB=CD，∴OM=ON，在Rt△OMG和Rt△ONG中，{OM=ONOG=OG，∴RtΔGOM≌RtΔGON(HL)，∴MG=NG，∠MGO=∠NGO，∴OG⊥MN;（2）设OG 交MN 于E ， ∵RtΔGOM ≌RtΔGON(HL) ， ∴ MG =NG ，∴ ∠GMN =∠GNM ，即 ∠CMN =∠ANM ， ∵CM =12CB =12AD =AN ，在△CMN 和△ANM 中 {CM =AN∠CMN =∠ANM MN =NM ，∴△CMN ≌△ANM ，∴AM =CN,∠AMN =∠CNM ， ∵CN ∥OG ，∴∠CNM =∠GEM =90° ， ∴∠AMN =∠CNM =90° ，∴∠AMN +∠CNM =90°+90°=180° ， ∴AM ∥CN ，∴ACNM 是平行四边形， ∵∠AMN =90° ， ∴四边形ACNM 是矩形．【考点】矩形的判定，圆的综合题【解析】【分析】（1）连结OM,ON ， 证明RtΔGOM ≌RtΔGON(HL) ，可得MG=NG ， ∠MGO=∠NGO ， MG =NG ，∠MGO =∠NGO ，24.【答案】 （1）将 P(3,0)、Q(1,4) 两点分别代入 y =ax 2+c ，得 {9a +c =0,a +c =4,解得 a =−12,c =92 ．所以抛物线的解析式是 y =−12x 2+92 ．（2）①如图2，抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点 Q(1,4) 重合时， AB =4 ， 作 CH ⊥AB 于H ．∵ △ABC 是等腰直角三角形，∴ △CBH 和 △CAH 也是等腰直角三角形， ∴ CH =AH =BH =2 ，∴点C 到抛物线的对称轴的距离等于1．②如图3，设直线PQ 的解析式为y=kx+b ，由 P(3,0)、Q(1,4) ，得 {3k +b =0,k +b =4,解得 {k =−2,b =6,∴直线 PQ 的解析式为 y =−2x +6 ， 设 A(m,−2m +6) ， ∴ AB =−2m +6 ，所以 CH =BH =AH =−m +3 ．所以 y C =−m +3,x C =−(−m +3−m)=2m −3 ． 将点 C(2m −3,−m +3) 代入 y =−12x 2+92 ， 得 −m +3=−12(2m −3)2+92 ． 整理，得 2m 2−7m +3=0 ． 因式分解，得 (2m −1)(m −3)=0 ．解得 m =12 ，或 m =3 （与点B 重合，舍去）．当 m =12 时， 2m −3=1−3=−2,−m +3=−12+3=52 ． 所以点C 的坐标是 (−2,52) ．【考点】待定系数法求二次函数解析式，二次函数-动态几何问题【解析】【分析】（1）将P 、Q 两点坐标代入抛物线解析式中，求出a 、c 的值即可；（2）① 作 CH ⊥AB 于H ．抛物线的对称轴是y 轴，当点A 与点 Q(1,4) 重合时， AB =4 ， 可得出 △CBH 和 △CAH 也是等腰直角三角形，从而得出CH =AH =BH =2 ， 继而得出点C 到抛物线的对称轴的距离等于1；②先求出直线 PQ 的解析式为 y =−2x +6 ， 设A(m,−2m +6) ，可求出点 C(2m −3,−m +3) ，将点C 坐标代入y =−12x 2+92中，可求出m 值，即得点C 坐标.25.【答案】 （1）①由 AD =CD ，得 ∠1=∠2 ． 由 AD//BC ，得 ∠1=∠3 ．因为 BO 是 Rt △ABC 斜边上的中线，所以 OB =OC ．所以 ∠3=∠4 ． 所以 ∠1=∠2=∠3=∠4 ． 所以 △DAC ∽△OBC ．②若BE⊥CD，那么在Rt△BCE中，由∠2=∠3=∠4．可得∠2=∠3=∠4=30°．作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m．在Rt△DCH中，∠DCH=60°,DC=2m，所以CH=m．所以BC=BH+CH=3m．所以ADBC =2m3m=23．（2）①如图5，当点E在AD上时，由AD//BC,O是AC的中点，可得OB=OE，所以四边形ABCE是平行四边形．又因为∠ABC=90°，所以四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x，已知DE=2，所以AE=x−2．已知OE=3，所以AC=6．在Rt△ACE和Rt△DCE中，根据CE2=CE2，列方程62−(x−2)2=x2−22．解得x=1+√19，或x=1−√19（舍去负值）．②如图6，当点E在CD上时，设AD=CD=x，已知DE=2，所以CE=x−2．设OB=OC=m，已知OE=3，那么EB=m+3．一方面，由△DAC∽△OBC，得DCOC =ACBC，所以xm=2OCBC，所以OCBC=x2m，另一方面，由∠2=∠4，∠BEC是公共角，得△EOC∽△ECB．所以EOEC =ECEB=OCCB，所以3x−2=x−2m+3=OCCB．等量代换，得3x−2=x−2m+3=x2m．由3x−2=x2m，得m=x2−2x6．将m=x2−2x6代入3x−2=x−2m+3，整理，得x2−6x−10=0．解得x=3+√19，或x=3−√19（舍去负值）．【考点】相似三角形的判定与性质，四边形的综合，四边形-动点问题【解析】【分析】（1）①由等腰三角形的性质得出∠1=∠2，由平行线的性质得出∠1=∠3，利用直角三角形的性质得出∠3=∠4，即得∠1=∠2=∠3=∠4，根据两角分别相等可证△DAC∽△OBC；② 在Rt△BCE中，得出∠2=∠3=∠4=30°，作DH⊥BC于H．设AD=CD=2m，那么BH=AD=2m，从而求出CH=m，继而得出BC=BH+CH=3m，据此即可求出结论；（2）分两种情况：① 当点E在AD上时，证明四边形ABCE是矩形，设AD=CD=x，在Rt△ACE和Rt△DCE中，根据CE2=CE2建立方程，求出x值即可；② 当点E在CD上时，设AD=CD=x，设OB=OC=m，由△DAC∽△OBC=ACBC ，据此可得xm=2OCBC，证明△EOC∽△ECB，可得EOEC =ECEB=OCCB，据此可得3x−2=x−2m+3=OCCB，从而得出方程，求出x值即可.。
2021年上海市数学中考试题(含答案)
2021年上海中考数学试题一、选择题：（本大题共6题,每题4分,满分24分）1．在下列代数式中,次数为3的单项式是（ ）。
。
．。
．．2数据5,7,5,8,6,13,5的中位数是（ ）．5。
．6。
．7 。
．8．3．不等式组的解集是（ ）．。
．。
．。
．．4．在下列各式中,的有理化因式（ ）。
．5在下列图形中,为中心对称图形的是（ ）．等腰梯形。
．平行四边形。
．正五边形。
．等腰三角形．6如果两圆的半径长分别为6和2,圆心距为3,那么这两个圆的位置关系是（ ）．外离。
．相切。
．相交。
．内含．二、填空题：（本大题共12题,每题4分,满分48分）7．计算．8．因式分解 ．A 2xyB 33+x yC 3x yD 3xy A B C D 2<62>0x x ⎧⎨⎩--A >3x -B <3x -C >2x D <2x A B C D A B C D A B C D 112-==xy x -9．已知正比例函数,点在函数上,则随的增大而 （增大或减小）．10的根是 ．11．如果关于的一元二次方程（是常数）没有实根,那么的取值范围是 ．12．将抛物线向下平移2个单位,所得抛物线的表达式是 ．13．布袋中装有3个红球和6个白球,它们除颜色外其他都相同,如果从布袋里随机摸出一个球,那么所摸到的球恰好为红球的概率是 ．14．某校500名学生参加生命安全知识测试,测试分数均大于或等于60且小于100,分数段的频率分布情况如表所示（其中每个分数段可包括最小值,不包括最大值）,结合表1的信息,可测得测试分数在80~90分数段的学生有 名．分数段60—7070—8080—9090—100频率0.20.250.2515．如图,已知梯形,∥,,如果,,那么 （用,表示）．16．在△中,点、分别在、上,,如果,△的面积为4,四边形的面积为5,那么的长为 ．()=0y kx k ≠()2,3-y x x 26+=0x x c -c c 2=+y x x ABCD AD BC =2BC AD =AD a =AB b =AC a bABC D E AB AC =ADE B ∠∠=2AE ADE BCDE AB17．我们把两个三角形的中心之间的距离叫做重心距,在同一个平面内有两个边长相等的等边三角形,如果当它们的一边重合时,重心距为2,那么当它们的一对角成对顶角时,重心距为 ．18．如图,在△中,,,,点在上,将△沿直线翻折后,将点落在点处,如果,那么线段的长为 ．三、解答题：（本大题共7题,满分78分）19．（本题满分10分）．20．（本题满分10分）解方程：．21．(本题满分10分,第（1）小题满分4分．第（2）小题满分6分）如图在△中,∠,是边的中点,⊥,垂足为点．己知,．（1）求线段的长。
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第1页（共27页） 2021年上海市普陀区中考数学二模试卷 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．（4分）下列计算中，正确的是( )
A．23235aaa B．23235aaa C．22233aaa D．235(2)8aa 2．（4分）下列单项式中，可以与23xy合并同类项的是( ) A．32xy B．322yx C．23xy D．232xyz 3．（4分）方程2xx的根是( ) A．2x B．1x C．0x D．2x 4．（4分）已知两组数据：1x、2x、3x、4x、5x和12x、22x、32x、42x、52x，下列有关这两组数据的说法中，正确的是( ) A．平均数相等 B．中位数相等 C．众数相等 D．方差相等 5．（4分）已知在ABC和△ABC中，ABAB，ACAC，下列条件中，不一定能得到ABC△ABC的是( ) A．BCBC B．AA C．CC D．90BB 6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C落在y轴上，点A的对应点A落在反比例函数6yx在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是(0,4)、(2,0)，那么点A的坐标是( ) 第2页（共27页）
A．(3,2) B．3(2，4) C．(2,3) D．3(4,)2 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．（4分）因式分解：34aa ． 8．（4分）已知2()1fxx，则(3)f ．
9．（4分）不等式组2431xx的解集是 ． 10．（4分）已知正比例函数(ykxk是常数，0)k的函数值y随x的值增大而减小，那么k
的取值范围是 ． 11．（4分）如果关于x的方程210xxm有两个相等的实数根，那么m的值等于 ． 12．（4分）抛物线22(0)yaxaxa的对称轴是直线 ． 13．（4分）为了唤起公众的节水意识，从1993年起，联合国将每年的3月22日定为“世界水日”．某居委会表彰了社区内100户节约用水的家庭，5月份这100户家庭节约用水的情况如表所示，那么5月份这100户家庭节水量的平均数是 吨． 每户节水量（单位：吨） 5 6 7.2
节水户户62 28 10 第3页（共27页）
数 14．（4分）小明已有两根长度分别是2cm和5cm的细竹签，盒子里有四根长度分别是3cm、4cm、7cm、8cm的细竹签，小明从盒子里随意抽取一根细竹签，恰能与已有的两根细竹签首尾顺次联结组成三角形的概率等于 ． 15．（4分）如图，两条平行线1l、2l分别经过正五边形ABCDE的顶点B、C．如果120，那么2 ．
16．（4分）如图，已知ABC中，D、E分别为边AB、AC的中点，点F在DE的延长线上，EFDE，设,BCaAFb，那么向量AC用向量a、b表示是 ．
17．（4分）已知等腰三角形ABC中，ABAC，6BC，以A为圆心2为半径长作A，以B为圆心BC为半径作B，如果A与B内切，那么ABC的面积等于 ． 18．（4分）如图，正方形ABCD中，4AB，E为边BC的中点，点F在AE上，过点F作MNAE，分别交边AB、DC于点M、N，联结FC，如果FNC是以CN为底边的等腰三角形，那么FC ． 第4页（共27页）
三、解答题：（本大题共7题，满分78分 19．（10分）计算：12020211()|32|273． 20．（10分）解方程：22241323xxxx． 21．（10分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知直线122yx分别与x轴、y轴交于点A、B，一个正比例函数的图象与这直线交于点C，点C的横坐标是1． （1）求正比例函数的解析式； （2）将正比例函数的图象向上或向下平移，交直线122yx于点D，设平移后函数图象的截距为b，如果交点D始终落在线段AB上，求b的取值范围．
22．（10分）如图1，一扇窗户打开后可以用窗钩AB将其固定，窗钩的一个端点A固定在窗户底边OE上，且与转轴底端O之间的距离为20cm，窗钩的另一个端点B可在窗框边上 第5页（共27页）
的滑槽OF上移动，滑槽OF的长度为17cm，AB、BO、AO构成一个三角形．当窗钩端点B与点O之间的距离是7cm的位置时（如图2)，窗户打开的角AOB的度数为37． （1）求钩AB的长度（精确到1)cm； （2）现需要将窗户打开的角AOB的度数调整到45时，求此时窗钩端点B与点O之间的距离（精确到1)cm．
（参考数据：sin370.6，cos370.8，tan370.75，21.4)
23．（12分）已知：如图，在ABCD中，点E、F分别在边BC、边BC的延长线上，四边形AEFD是菱形，菱形的对角线AF分别交DE、DC于点P、Q，AFEFBFPF． 求证：（1）四边形ABCD为矩形； （2）BEDQFQPE．
24．（12分）在平面直角坐标系xOy中（如图），已知抛物线212yxbxc与x轴交于点(2,0)A、(6,0)B，与y轴交于点C，点D是在第四象限内抛物线上的一个动点，直线AD
与直线BC交于点E． （1）求b、c的值和直线BC的表达式； （2）设45CAD，求点E的坐标； 第6页（共27页）
（3）设点D的横坐标为d，用含d的代数式表示ACE与DCE的面积比． 25．（14分）在梯形ABCD中，//ADBC，ABBC，3AD，5CD，3cos5C（如图）．M
是边BC上一个动点（不与点B、C重合），以点M为圆心，CM为半径作圆，M与射线CD、射线MA分别相交于点E、F． （1）设185CE，求证：四边形AMCD是平行四边形； （2）联结EM，设FMBEMC，求CE的长； （3）以点D为圆心，DA为半径作圆，D与M的公共弦恰好经过梯形的一个顶点，求此时M的半径长． 第7页（共27页）
2021年上海市普陀区中考数学二模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分）[下列各题的四个选项中，有且只有一个选项是正确的，选择正确项的代号并填涂在答题纸的相应位置上] 1．（4分）下列计算中，正确的是( )
A．23235aaa B．23235aaa C．22233aaa D．235(2)8aa 【解答】解：A、223aa，无法计算，故此选项错误； B、23236aaa，故此选项错误； C、22233aaa，故此选项正确；
D、236(2)8aa，故此选项错误； 故选：C． 2．（4分）下列单项式中，可以与23xy合并同类项的是( ) A．32xy B．322yx C．23xy D．232xyz 【解答】解：A、32xy与23xy，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； B、322yx与23xy，所含字母相同，相同字母的指数相同，是同类项，能合并，故本选项符合题意； C、2xy与23xy，所含字母相同，但是相同字母的指数不相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； D、232xyz与23xy，所含字母不尽相同，不是同类项，所以不能合并，故本选项不合题意； 故选：B． 3．（4分）方程2xx的根是( ) A．2x B．1x C．0x D．2x 【解答】解：将方程两边平方得： 22xx．
解这个一元二次方程得： 第8页（共27页）
12x，21x． 检验：把12x，21x分别代入原方程， 2x是原方程的根，1x是原方程的增根． 原方程的根为：2x． 故选：D． 4．（4分）已知两组数据：1x、2x、3x、4x、5x和12x、22x、32x、42x、52x，下列有关这两组数据的说法中，正确的是( ) A．平均数相等 B．中位数相等 C．众数相等 D．方差相等 【解答】解：因为新数据是在原数据的基础上每个加2， 这两组数据的波动幅度不变， 故选：D． 5．（4分）已知在ABC和△ABC中，ABAB，ACAC，下列条件中，不一定能得到ABC△ABC的是( ) A．BCBC B．AA C．CC D．90BB 【解答】解：A、由ABAB，ACAC，BCBC可以判定ABC△()ABCSSS，不符合题意． B、由ABAB，ACAC，AA可以判定ABC△()ABCSAS，不符合题意． C、由ABAB，ACAC，CC不可以判定ABC△()ABCSSA，符合题意． D、由ABAB，ACAC，90BB可以判定RtABCRt△()ABCHL，不符合题意． 故选：C． 6．（4分）如图，在平面直角坐标系中，ABC的顶点A、B均在y轴上，点C在x轴上，将ABC绕着顶点B旋转后，点C的对应点C落在y轴上，点A的对应点A落在反比例函数6yx在第一象限的图象上．如果点B、C的坐标分别是(0,4)、(2,0)，那么点A的坐标是( )