高考数学压轴专题最新备战高考《计数原理与概率统计》难题汇编及解析

【高中数学】数学《计数原理与概率统计》复习知识要点

一、选择题

1．某地区甲、乙、丙三所单位进行招聘，其中甲单位招聘2名，乙单位招聘2名，丙单位招聘1名，并且甲单位要至少招聘一名男生，现有3男3女参加三所单位的招聘，则不同的录取方案种数为（ ） A ．36 B ．72 C ．108 D ．144

【答案】D 【解析】 【分析】

按三步分步进行，先考虑甲单位招聘，利用间接法，因为至少招聘一名男生，将只招女生

的情况去掉，录取方案数为22

63C C -，然后剩余四人依次分配给乙单位和丙单位，分别为

24C 、2

2C ，然后根据分步乘法计数原理将三个数相乘可得出答案。

【详解】

根据题意，分3步进行分析：

①单位甲在6人中任选2人招聘，要求至少招聘一名男生，有226312C C -=种情况， ②单位乙在剩下的4人中任选2人招聘，有246C =种情况，

③单位丙在剩下的2人中任选1人招聘，有1

2

2C =种情况， 则有1262144??=种不同的录取方案； 故选：D ． 【点睛】

本题考查排列组合问题，将问题分步骤处理和分类别讨论，是两种最基本的求解排列组合问题的方法，在解题的时候要审清题意，选择合适的方法是解题的关键，着重考查学生分析问题和解决问题的能力，属于中等题。

2．已知函数，在区间

内任取一点，使

的概率为（ ）

A ．

B ．

C ．

D ．

【答案】C 【解析】 【分析】 先求出的取值范围，再利用几何概型相关公式即可得到答案. 【详解】 由

得，故

或

，由

，故

或

，故使

的概率为

.

【点睛】

本题主要考查几何概型的相关计算，难度一般.

3．安排5名学生去3个社区进行志愿服务，且每人只去一个社区，要求每个社区至少有一名学生进行志愿服务，则同学甲单独去一个社区不同的安排方式有（ ） A ．100种 B ．60种 C ．42种 D ．25种

【答案】C 【解析】 【分析】

给三个社区编号分别为1，2，3，则甲可有3种安排方法，剩下的两个再进行分步计数，从而求得所有安排方式的总数. 【详解】

甲可有3种安排方法， 若甲先安排第1社区，

则第2社区可安排1个、第3社区安排3个，共1

3

43C C ?；

第2社区2个、第3社区安排2个，共22

42C C ?；

第2社区3个，第3社区安排1个，共11

41C C ?；

故所有安排总数为132211

4342413()42C C C C C C ??+?+?=.

故选：C. 【点睛】

本题考查分类与分步计数原理、组合数的计算，考查分类讨论思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力.

4．下列等式不正确的是（ ）

A ．111

m m

n

n m C C n ++=+ B ．121

11m m m n n n A A n A +-+--= C ．1

1m m n n A nA --=

D ．1(1)k k k

n n n nC k C kC +=++

【答案】A 【解析】 【分析】

根据排列和组合公式求解即可. 【详解】

根据组合公式得1

1!1(1)!1!()!1(1)!()!1

m

m n n n m n m C C m n m n m n m n +++++==?=-++-+，则A 错误；

根据排列公式得

1221

11(1)!!!(1)!(11)()!()!()!()!

m m

m n n n n n n n A A n n n A n m n m n m n m +-+-+--=

-=+-=?=----，则B 正

确；

根据排列公式得1

1!(1)!()!()!

m

m n n n n A n nA n m n m ---=

=?=--，则C 正确；

根据组合公式得()()1

!!

(1)(1)(1)!1!!1!k n n n k C k k n k k n k ++=+?

=+-+-+????????

[]!!

()!()!!(1)!

k k

n n n n nC kC n k k n k k n k -?

=--+-=

即1(1)k k k n n n nC k C kC +=++，则D 正确；

故选:A 【点睛】

本题主要考查了排列和组合公式的应用，属于中档题.

5．下列四个结论中正确的个数是

（1）对于命题0:p x R ?∈使得2

010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->；

（2）已知2

(2,)X N σ:，则 (2)0.5P X >=

（3）已知回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），则回归直线方程为

?23y

x =-； （4）“1x ≥”是“1

2x x

+≥”的充分不必要条件. A ．1 B ．2

C ．3

D ．4

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，即可判定是正确的；（2）中，根据正态分布曲线的性质，即可判定是正确的；（3）中，由回归直线方程的性质和直线的点斜式方程，即可判定是正确；（4）中，基本不等式和充要条件的判定方法，即可判定． 【详解】

由题意，（1）中，根据全称命题与存在性命题的关系，可知命题0:p x R ?∈使得

2010x -≤，则:p x R ??∈都有210x ->，是错误的；

（2）中，已知(

)2

2,X N σ

~，正态分布曲线的性质，可知其对称轴的方程为2x =，所

以 (2)0.5P X >=是正确的；

（3）中，回归直线的斜率的估计值是2，样本点的中心为（4,5），由回归直线方程的性质

和直线的点斜式方程，可得回归直线方程为?23y

x =-是正确；

（4）中，当1x ≥时，可得12x x +≥=成立，当12x x +≥时，只需满足0x >，

所以“1x ≥”是“1

2x x

+≥”成立的充分不必要条件． 【点睛】

本题主要考查了命题的真假判定及应用，其中解答中熟记含有量词的否定、正态分布曲线

的性质、回归直线方程的性质，以及基本不等式的应用等知识点的应用，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题．

6．某人研究中学生的性别与成绩、视力、智商、阅读量这4个变量的关系，随机抽查了52名中学生，得到统计数据如表1至表4，则与性别有关联的可能性最大的变量是

（）

表1

表2

表3

表4

A ．成绩

B ．视力

C ．智商

D ．阅读量

【答案】D 【解析】 【分析】

根据公式()

()()()()

2

2n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得观察值，比较大小即可得结果.

【详解】

根据公式()()()()()2

2

n ad bc K a b c d a c b d -=++++分别计算得：

A.2

2

52(6221014):0.00916363220

A K ?-?=≈???;

2

2

52(4201216): 1.76916363220

B K ?-?=≈???;

2

2

52(824812): 1.316363220

C K ?-?=≈???;

2

2

52(143062):23.4816363220

D K ?-?=≈???

选项D 的值最大，所以与性别有关联的可能性最大,故选D. 【点睛】

本题主要考查独立性检验的应用，意在考查灵活应用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.

7．6件产品中有4件合格品，2件次品.为找出2件次品，每次任取一个检验，检验后不放回，则恰好在第四次检验后找出所有次品的概率为（ ） A ．

35

B ．

13

C ．

415

D ．

15

【答案】C 【解析】 【分析】

题目包含两种情况：第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，计算概率得到答案. 【详解】

题目包含两种情况：

第一种是前面三次找出一件次品，第四次找出次品，231461

5

C p C ==；

第二种情况是前面四次都是正品，则剩余的两件是次品，442461

15

C p C ==；

故12415

p p p =+=. 故选：C . 【点睛】

本题考查了概率的计算，忽略掉前面四次都是正品的情况是容易发生的错误.

8．某光学仪器厂生产的透镜，第一次落地打破的概率为0.3；第一次落地没有打破，第二次落地打破的概率为0.4；前两次落地均没打破，第三次落地打破的概率为0.9．则透镜落地3次以内（含3次）被打破的概率是（ ）． A ．0.378 B ．0.3

C ．0.58

D ．0.958

【答案】D 【解析】

分析：分别利用独立事件的概率公式求出恰在第一次、恰在第二次、恰在第三次落地打破的概率，然后由互斥事件的概率公式求解即可.

详解：透镜落地3次，恰在第一次落地打破的概率为10.3P =， 恰在第二次落地打破的概率为20.70.40.28P =?=， 恰在第三次落地打破的概率为30.70.60.90.378P =??=， ∴落地3次以内被打破的概率1230.958P P P P =++=．故选D ．

点睛：本题主要考查互斥事件、独立事件的概率公式，属于中档题. 解答这类综合性的概率问题一定要把事件的独立性、互斥性结合起来，要会对一个复杂的随机事件进行分析，也就是说能把一个复杂的事件分成若干个互斥事件的和，再把其中的每个事件拆成若干个相互独立的事件的积，这种把复杂事件转化为简单事件，综合事件转化为单一事件的思想方法在概率计算中特别重要.

9．某城市有3 个演习点同时进行消防演习，现将5 个消防队分配到这3 个演习点，若每个演习点至少安排1 个消防队，则不同的分配方案种数为（ ） A ．150 B ．240 C ．360 D ．540

【答案】A 【解析】

试题分析：由题意得，把5个消防队分成三组，可分为1,1,3，1,2,2两类方法，（1）分为

1,1,3，共有1135432210C C C A =种不同的分组方法；（2）分为1,2,2，共有122

542

2

215C C C A =种不同的分组方法；所以分配到三个演习点，共有3

3(1015)150A +?=种不同的分配方案，故

选A ．

考点：排列、组合的应用．

【方法点晴】本题主要考查了以分配为背景的排列与组合的综合应用，解答的关键是根据“每个演习点至少要安排1个消防队”的要求，明确要将5个消防队分为1,1,3，1,2,2的三组是解得关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，先将5个消防队分为三组，则分配到三个演习点，然后根据分步计数原理，即可得到答案．

10．若52345

012345(23)x a a x a x a x a x a x -=+++++，则0123452345a a a a a a +++++为

（） A ．－233 B ．10

C ．20

D ．233

【答案】A 【解析】 【分析】

对等式两边进行求导，当x ＝1时，求出a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5的值，再求出a 0的值，即可得出答案． 【详解】

对等式两边进行求导，得：

2×5（2x ﹣3）4＝a 1+2a 2x +3a 3x 2+4a 4x 3+5a 5x 4， 令x ＝1，得10＝a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5； 又a 0＝（﹣3）5＝﹣243，

∴a 0+a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5＝﹣243+10＝﹣233． 故选A ． 【点睛】

本题考查了二项式定理与导数的综合应用问题，考查了赋值法求解二项展开式的系数和的方法，利用导数得出式子a 1+2a 2+3a 3+4a 4+5a 5是解题的关键．

11．根据中央对“精准扶贫”的要求，某市决定派7名党员去甲、乙、丙三个村进行调研，其中有4名男性党员，3名女性党员现从中选3人去甲村若要求这3人中既有男性，又有女性，则不同的选法共有（ ） A ．35种 B ．30种

C ．28种

D ．25种

【答案】B 【解析】 【分析】

首先算出7名党员选3名去甲村的全部情况，再计算出全是男性党员和全是女性党员的情况，即可得到既有男性，又有女性的情况. 【详解】

从7名党员选3名去甲村共有3

7C 种情况，3名全是男性党员共有3

4C 种情况，

3名全是女性党员共有3

3C 种情况，

3名既有男性，又有女性共有333

74330C C C --=种情况.

故选：B 【点睛】

本题主要考查组合的应用，属于简单题.

12．把15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，则共有多少种放法（ ） A ．18 B ．28

C ．38

D ．42

【答案】B 【解析】 【分析】

根据题意，先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3. 个球，则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题，由挡板法分析可得答案． 【详解】

根据题意，15个相同的小球放到三个编号为123，，的盒子中，且每个盒子内的小球数要多于盒子的编号数，

先在1号盒子里放1个球，在2号盒子里放2个球，在3号盒子里放3个球， 则原问题可以转化为将剩下的9个小球，放入3个盒子，每个盒子至少放1个的问题， 将剩下的9个球排成一排，有8个空位，在8个空位中任选2个，插入挡板，有

2887

282

C ?=

=种不同的放法， 即有28个不同的符合题意的放法； 故选B ． 【点睛】

本题考查排列、组合的应用，关键是将原问题转化为将3个球放入3个盒子的问题，属于基础题．

13．2020(1)(1)i i +--的值为（ ） A ．0 B ．1024

C ．1024-

D ．10241-

【答案】A 【解析】 【分析】

利用二项式定理展开再化简即得解. 【详解】 由题得原式

=

112233191920112233191920

20202020202020201++i )1i )C i C i C i C i C i C i C i C i ++++--+-+-+L L （（ =11

33

55

1919

202020202()C i C i C i C i ++++L

=11

33

55

53

31

1

3

2020202020202(++)C i C i C i C i C i C i ++++L =11

33

55

5

5

33

1

2020202020202(C )C i C i C i i C i C i +++---L =0. 故选:A 【点睛】

本题主要考查二项式定理，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.

14．设1021001210)x a a x a x a x =++++L ，那么

()(2

20210139)a a a a a a +++-+++L

L 的值为（ ）

A ．0

B ．1-

C ．1

D ．101)

【答案】C 【解析】 【分析】

令1x =和1x =-得到012310a a a a a ++++L ，012310a a a a a -+-++L ，再整体代入可得； 【详解】

解：因为

)10

2

10

1

2

10

x

a a x a x a x =++++L ，

令1x =得)10

1

2

3

10

1a a a a a =++++L ，

令1x =-得)10

1

2

3

10

1a a a a a =-+-++L ，

所以()(2

20210139)a a a a a a +++-+++L L

()()012310012310a a a a a a a a a a =++++-+-++L L

))

10

10

1

1

=

?

))

10

11?

???

?

=

1011== 故选：C 【点睛】

本题考查利用待定系数法求二项式系数和的问题，属于中档题．

15．已知P 是△ABC 所在平面内﹣点，20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r

，现将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，则黄豆落在△PBC 内的概率是（ ） A ．

2

3

B ．

12

C ．

13

D ．

14

【答案】B 【解析】 【分析】

推导出点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12．从而S △PBC =1

2

S △ABC ．由此能求出将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率． 【详解】

以PB 、PC 为邻边作平行四边形PBDC ， 则PB PC +u u u r u u u r =PD u u u r ， ∵20PB PC PA ++=u u u r u u u r u u u r r ，∴2PB PC PA +=-u u u r u u u r u u u r ， ∴2PD PA =-u u u r u u u r

，∴P 是△ABC 边BC 上的中线AO 的中点，

∴点P 到BC 的距离等于A 到BC 的距离的12

． ∴S △PBC =

1

2

S △ABC ． ∴将一粒黄豆随机撒在△ABC 内，黄豆落在△PBC 内的概率为：

P=PBC ABC S S V V =12

． 故选B ． 【点睛】

本题考查概率的求法，考查几何概型等基础知识，考运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，考查创新意识、应用意识，是中档题．

16．已知随机变量ξ，η的分布列如下表所示，则（ ）

A ．E E ξη<，D D ξη<

B ．E E ξη<，D D ξη>

C ．E E ξη<，

D D ξη= D ．

E E ξη=，D D ξη=

【答案】C 【解析】 【分析】

由题意分别求出E ξ，D ξ，E η，D η，由此能得到E ξ＜E η，D ξ＞D η． 【详解】 由题意得： E ξ111123326=?

+?+?=116

， D ξ22211111111151(1)(2)(3)636108

266=-?+-?+-?=． E η111131236236

=?

+?+?=， D η＝（1316-

）216?+（2136-）212?+（3136

-）2151

3108?=， ∴E ξ＜E η，D ξ=D η． 故选：C ． 【点睛】

本题考查离散型随机变量的分布列、数学期望、方差的求法，考查运算求解能力，是中档题．

17．2019年10月1日，中华人民共和国成立70周年，举国同庆.将2，0，1，9，10这5个数字按照任意次序排成一行，拼成一个6位数，则产生的不同的6位数的个数为（ ） A ．96 B ．84 C ．120 D ．360

【答案】B 【解析】 【分析】

先求得所有不以0开头的排列数，再由以1，0相邻，且1在左边时所对应的排列数有一半是重复的，求出对应的排列数，进而可求出答案. 【详解】

由题意，2，0，1，9，10按照任意次序排成一行，得所有不以0开头的排列数为

44

4A 96=，其中以1，0相邻，且1在左边时，含有2个10的排列个数为44A 24=，有一半是重复的，故产生的不同的6位数的个数为961284-=. 故选：B.

【点睛】

本题考查排列组合，考查学生的推理能力与计算求解能力，属于中档题.

18．口袋中有相同的黑色小球n 个，红、白、蓝色的小球各一个，从中任取4个小球．ξ表示当n ＝3时取出黑球的数目，η表示当n ＝4时取出黑球的数目．则下列结论成立的是（ ）

A ．E （ξ）＜E （η），D （ξ）＜D （η）

B ．E （ξ）＞E （η），D （ξ）＜D （η）

C ．E （ξ）＜E （η），

D （ξ）＞D （η） D ．

E （ξ）＞E （η），D （ξ）＞D （η）

【答案】A 【解析】 【分析】

当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出()2E ξ=，

()2

5

D ξ=；当4n =时，η可取1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出()167

E η=

， ()2449

D η=，即可得解． 【详解】

当3n =时，ξ的可能取值为1，2，3，

()134336115C C P C ξ?===，()342236325C C P C ξ?===，()34

31361

35

C C P C ξ?===， ∴()131232555E ξ=

+?+?=，()112555

D ξ=+=； 当4n =时，η可取1，2，3，4，

()1434374

135C C P C η?===，()224374

18235C P C C η==?=， ()31437412335C P C C η==?=，()4

404375

1

43C C P C η?===， ∴()41812116234353535357

E η=

+?+?+?=， ()2

2

2

2

416181612161161234357357357549

4

372D η????????=-+-+-+-=

? ? ? ?????????； ∴()()E E ξη<，()()D D ξη<．

故选：A ． 【点睛】

本题考查了超几何分布概率公式的应用，考查了离散型随机变量期望和方差的求解，属于中档题.

19．某单位青年、中年、老年职员的人数之比为10∶8∶7，从中抽取200名职员作为样

本，若每人被抽取的概率是0.2，则该单位青年职员的人数为()

A．280 B．320 C．400 D．1000

【答案】C

【解析】

【分析】

由题意知这是一个分层抽样问题，根据青年、中年、老年职员的人数之比为1087

∶∶，从中抽取200名职员作为样本，得到要从该单位青年职员中抽取的人数，根据每人被抽取的概率为0.2，得到要求的结果

【详解】

由题意知这是一个分层抽样问题，

Q青年、中年、老年职员的人数之比为1087

∶∶，从中抽取200名职员作为样本，

∴要从该单位青年职员中抽取的人数为：

10

20080 1087

?=

++

Q每人被抽取的概率为0.2，

∴该单位青年职员共有80

400 0.2

=

故选C

【点睛】

本题主要考查了分层抽样问题，运用计算方法求出结果即可，较为简单，属于基础题。

20．某校组织由5名学生参加的演讲比赛，采用抽签法决定演讲顺序，在“学生甲和乙都不是第一个出场，甲不是最后一个出场”的前提下，学生丙第一个出场的概率为（）

A．1

3

B．

1

4

C．

1

5

D．

1

2

【答案】A

【解析】

【分析】

根据条件概率的公式与排列组合的方法求解即可.【详解】

由题意得学生甲和乙都不是第一个出场,甲不是最后一个出场的概率

113

333

15

5

C C A9

A20

P==,其

中学生丙第一个出场的概率

13

33

25

5

C A3

A20

P==,所以所求概率为2

1

1

3

P

P

P

==.

故选：A

【点睛】

本题主要考查了根据排列组合的方法求解条件概率的问题,属于中等题型.