2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

（江南博哥）

1 [单选题]

A.ab=

B.ab=-

C.ab=0

D.ab=2

正确答案：A

参考解析：

2 [单选题] 设函数f(x)可导，且f(x)f’(x)>0，则（）．

A.f(1)>f(-1)

B.f(1)

C.|f(1)|>|f(-1)|

D.|f(1)|<|f(-1)|

正确答案：C

参考解析：

3 [单选题] 函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量u=(1，2，2)的方向导数为（）．

A.12

B.6

C.4

D.2

正确答案：D 参考解析：

4 [单选题] 甲、乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处，如下图所示，实线表示甲的速度曲线v=v1(t)(单位：m／s)，虚线表示乙的速度曲线v=v2(t)，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t0(单位：S)，则（）．

A.t0=10

B.15

C.t0=25

D.t0>25

正确答案：C

参考解析：

5 [单选题] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）．

A.E-ααT不可逆

B.E+ααT不可逆

C.E+2ααT不可逆

D.E-2ααT不可逆

正确答案：A

参考解析： A项，由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解，

故|E-ααT|=0．即E-ααT不可逆．

6 [单选题]

A.A与C相似，B与C相似

B.A与C相似，B与C不相似

C.A与C不相似，B与C相似

D.A与C不相似，B与C不相似

正确答案：B

参考解析：

由(λE-A)=0，可知A的特征值为2，2，1．

7 [单选题] 设A，B为随机事件，若0P(A|)的充分必要

条件是（）．

A.P(B|A)>P(B|)

B.P(B|A)

C.P(|A)>P(B|)

D.P(|A)

正确答案：A

参考解析：

8 [单选题] 设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）．

正确答案：B

参考解析：

9 [填空题]

参考解析：

【解析】

10 [填空题]

微分方程y”+2y'+3y=0的通解为y=______.

参考解析：

【解析】

11 [填空题]

内与路径无关，则a=______.

参考解析：

-1

【解析】

12 [填空题]

______.

参考解析：

【解析】

13 [填空题] 为线性无关的三维列向量组，则向量组Aα1，Aα2，Aα3的秩为______.

参考解析：

【解析】

由α1，α2，α3线性无关可知矩阵(α1，α2，α3)可逆，故r(Aα1，Aα2，Aα3)=r(A(α1，α2，α3))=r(A)，再由r(A)=2得r(Aα1，Aα2，Aα3)=2．

14 [填空题]

设随机变量X的分布函数为，其中(x)为标准正态分布函数，则E(X)=______.

参考解析：

【解析】

15 [简答题]

参考解析： 16 [简答题]

参考解析：

17 [简答题]

已知函数y(x)由方程x3+y3—3x+3y-2=0所确定，求y(x)的极值．

参考解析：

解：两边求导得

18 [简答题]

(I)方程f(x)=0在区间(0，1)内至少存在一个实根；

(Ⅱ)方程f(x)f”(x)+[f’(x)]2=0在区间(0，1)内至少存在两个不同的实根．

参考解析：

证明： (I)

又由于f(x)在[δ，1]上连续，由f(δ)<0,f(1)>0，根据零点定理得至少存在一点ξ∈(δ，1)，使f(ξ)=0，即得证．

19 [简答题]

设薄片形物体S是圆锥面被柱面z2=2x割下的有限部分，其上任一点的密

度为u(x，y，z)=9，记圆锥面与柱面的交线为C．

(I)求C在xOy面上的投影曲线的方程；

(Ⅱ)求S的质量M．

参考解析：

(Ⅰ)

(Ⅱ) 20 [简答题]

设三阶矩阵A=(α1，α2，α3)有3个不同的特征值，且α3=α1+2α2．

(I)证明：r(A)=2；

(11)如果β=α1+α2+α3，求方程组Ax=β的通解．

参考解析：

解：(I)由α3=α1+2α2可得α1+2α2-α3=0，即α1，α2，α3线性相关，因此，|A|=0，

即A的特征值必有0．

又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非0，

21 [简答题]

设二次型f(x1，x2，x3)=在正交变换x=Qy下的标

准形为，求a的值及一个正交矩阵Q．参考解析：

22 [简答题]

设随机变量X，Y相互独立，且X的概率分布为P{X=0}=P{X=2}=，Y的概率密

度为

(I)求P{Y≤E(Y)}；

(II)求Z=X+Y的概率密度．

参考解析：

23 [简答题]

某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n次测量，该物体的质量μ

是已知的，设n次测量结果X1，X2，…，Xn相互独立且均服从正态分布N(μ，σ2)，该工程师

记录的是n次测量的绝对误差Zi=|Xi-μ|(i=1，2，…，n)，利用Z1，Z2，…，Zn估计σ． (I)求Zi的概率密度；

(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量；

(Ⅲ)求σ的最大似然估计量．

参考解析：

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(完整word版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一)试卷

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的

（1)若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在0x处连续，则( )

（A)12ab （B)12ab （C)0ab （D)2ab

（2）设函数fx可导，且0fxfx则（）

(A)11ff (B) 11ff

（C）11ff （D）11ff

（3）函数22,,fxyzxyz在点1,2,0处沿向量1,2,2n的方向导数为（ )

（A）12 (B）6 （C)4 （D)2

（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处,如下图中，实线表示甲的速度曲线1vvt

（单位：m/s）虚线表示乙的速度曲线2vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位：s），则( ）

（A）010t (B)01520t (C)025t (D）025t

051015202530()ts(/)vms1020

（5)设为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则( ）

（A） TE不可逆 (B） TE不可逆

（6）已知矩阵200021001A 210020001B100020002C，则（）

（A） A与C相似,B与C相似 (B） A与C相似，B与C不相似 (完整word版)考研数学历年真题(2008-2017年)年数学一

2017年数三考研真题_附答案解析

2017年全国硕⼠研究⽣⼊学统⼀考试

数学三试题及参考答案

⼀、选择题：1～8⼩题，每⼩题4分，共32分，下列每题给出的四个选项中，

只有⼀个选项是符合题⽬要求的.1.若函数1,0(),0x f x axb x ?->?

=??≤?

在0x =处连续，则（）(A)12

ab =

(B)12

ab =-

ab =(D)2

ab =2.⼆元函数(3)z xy x y =--的极值点（）

(A)(0,0)

(B)(0,3)

(C)(3,0)

(D)(1,1)

3.设函数()f x 可导，且()()0f x f x '>则（）

(A)()()11f f >-(B)()()11f f <-(C)()()

11f f >-(D)()()

11f f <-4.若级数2111n sin kln n n ∞

=??

∑收敛，则k =(

)

(A)1(B)2(C)-1(D)-2

5.设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则()

(A)T E αα-不可逆(B)T E αα+不可逆(C)2T E αα+不可逆

(D)2T E αα-不可逆

6.已知矩阵200021001A

=??

210020001B =??100020002C ??

，则()(A)A 与C 相似，B 与C 相似(B)A 与C 相似，B 与C 不相似(C)A 与C 不相似，B 与C 相似

(D)A 与C 不相似，B 与C 不相似

7.设A B 、、C 为三个随机事件，且A 与C 相互独⽴，与C 相互独⽴，则A B ?与C 相互独⽴的充要条件是()

(A)A 与B 相互独⽴

(B)A 与B 互不相容

(C)AB 与C 相互独⽴(D)AB 与C 互不相容

8.设12,......(2)n X X X n ≥来⾃总体(,1)N µ的简单随机样本，记1

i X X n ==∑则下列结论中不正确的是()

(A)

1()n

i i X µ=-∑服从2χ分布(B)2

12()n X X -服从2χ分布

2000-2017考研数学二历年真题word版

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题

一、选择题：1~8小题，每小题4分，共32分。下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.

（1）若函数1cos,0(),0xxfxaxbx在x=0连续，则

(A)12ab (B)12ab (C)0ab (D)2ab

（2）设二阶可到函数()fx满足(1)(1)1,(0)1fff且 ()0fx，则

(A) 11()0fxdx

(B) 12()0fxdx

(D) 1110()()fxdxfxdx

（3）设数列nx收敛，则

(A)当limsin0nnx时，lim0nnx

(B)当lim()0nnnnxxx 时，则lim0nnx

(C)当2lim()0nnnxx, lim0n

(D)当lim(sin)0nnnxx时，lim0nnx

（4）微分方程248(1cos2)xyyyex 的特解可设为ky

(A)22(cos2sin2)xxAeeBxCx

(B)22(cos2sin2)xxAxeeBxCx

(D)22(cos2sin2)xxAxexeBxCx

（5）设()fx具有一阶偏导数，且在任意的(,)xy，都有(,)(,)0,fxyfxyxy则

(A)(0,0)(1,1)ff

(B)(0,0)(1,1)ff (C)(0,1)(1,0)ff

(D)(0,1)(1,0)ff

（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位:m）处,图中，实线表示甲的速度曲线1vvt （单位:m/s）虚线表示乙的速度曲线2vvt，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t（单位:s）,则

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学(一)真题及解析

（江南博哥）

1 [单选题]

A.ab=

B.ab=-

C.ab=0

D.ab=2

正确答案：A

参考解析：

2 [单选题] 设函数f(x)可导，且f(x)f’(x)>0，则（）．

A.f(1)>f(-1)

B.f(1)

C.|f(1)|>|f(-1)|

D.|f(1)|<|f(-1)|

正确答案：C

参考解析：

3 [单选题] 函数f(x，y，z)=x2y+z2在点(1，2，0)处沿向量u=(1，2，2)的方向导数为（）．

A.12

B.6

C.4

D.2

正确答案：D 参考解析：

A.t0=10

B.15

C.t0=25

D.t0>25

正确答案：C

参考解析：

5 [单选题] 设α为n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（）．

A.E-ααT不可逆

B.E+ααT不可逆

C.E+2ααT不可逆

D.E-2ααT不可逆

正确答案：A

参考解析： A项，由(E-ααT)α=α-α=0得(E-ααT)x=0有非零解，

故|E-ααT|=0．即E-ααT不可逆．

6 [单选题]

A.A与C相似，B与C相似

B.A与C相似，B与C不相似

C.A与C不相似，B与C相似

D.A与C不相似，B与C不相似

正确答案：B

参考解析：

由(λE-A)=0，可知A的特征值为2，2，1．

7 [单选题] 设A，B为随机事件，若0P(A|)的充分必要

条件是（）．

A.P(B|A)>P(B|)

B.P(B|A)

C.P(|A)>P(B|)

D.P(|A)

正确答案：A

参考解析：

8 [单选题] 设X1，X2，…，Xn(n≥2)为来自总体N(μ，1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（）．

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析

一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）

（1）若函数0,,0,cos1)(xbxaxxxf在0x处连续，则（）

)(A21ab。 )(B21ab。

)(C0ab。 D(2ab。

【答案】)(A

【解】aaxxfx21cos1lim)00(0，bff)00()0(，

因为)(xf在0x处连续，所以)00()0()00(fff，从而21ab，应选)(A。

（2）二原函数)3(yxxyz的极值点为（）

)(A)0,0(。 )(B)3,0(。 )(C)0,3(。 )(D)1,1(。

【答案】)(D

【解】由023,02322xxyxzyxyyzyx得0,0yx1,1yx3,0yx0,3yx

yzxx2，yxzxy223，xzyy2，

当)0,0(),(yx时，092BAC，则)0,0(不是极值点；

当)1,1(),(yx时，032BAC且02A，则)1,1(为极大点，应选)(D。

（3）设函数)(xf可导，且0)()(xfxf，则（）

)(A)1()1(ff。 )(B)1()1(ff。

)(C|)1(||)1(|ff。 )(D|)1(||)1(|ff。

【答案】)(C

【解】若0)(xf，则0)(xf，从而0)1()1(ff；

若0)(xf，则0)(xf，从而0)1()1(ff，故|)1(||)1(|ff，应选)(C。（4）若级数2)]11ln(1[sinnnkn收敛，则k （）

1987-2017年考研数学一真题(打印版)

1987-2017年考研数学一真题(打印版) 历年考研数学真题

第 2 页共 180 页

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.)

(1)当x=_____________时,函数2xyx取得极小值.

(2)由曲线lnyx与两直线e1yx及0y所围成的平面图形的面积是_____________.

X = 1

(3)与两直线 1yt 及121111xyz都平行且过原点的平面方程为_______.2zt

(4)设L为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22)(4)LxyydxxxdyÑ= _____________.

(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),ααα则向量(2,0,0)β在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数a与,b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立. 历年考研数学真题

第 3 页共 180 页三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,(,),(),ufxxyvgxxy求,.uvxx

(2)设矩阵A和B满足关系式2,AB=AB其中301110,014A求矩阵.B

四、(本题满分8分)

求微分方程26(9)1yyay的通解,其中常数0.a

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.)

(1)设2()()lim1,()xafxfaxa则在xa处

(A)()fx的导数存在,且()0fa (B)()fx取得极大值

(C)()fx取得极小值 (D)()fx的导数不存在

(2)设()fx为已知连续函数0,(),stItftxdx其中0,0,ts则I的值

2017年全国硕士研究生入学统一考试数学三真题及答案解析 .doc

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一、选择题（本题共8小题，每小题4分，满分32分）

（1）若函数0,,0,cos1)(xbxaxxxf在0x处连续，则（）

)(A21ab。 )(B21ab。

)(C0ab。 D(2ab。

【答案】)(A

【解】aaxxfx21cos1lim)00(0，bff)00()0(，

因为)(xf在0x处连续，所以)00()0()00(fff，从而21ab，应选)(A。

（2）二原函数)3(yxxyz的极值点为（）

)(A)0,0(。 )(B)3,0(。 )(C)0,3(。 )(D)1,1(。

【答案】)(D

【解】由023,02322xxyxzyxyyzyx得0,0yx1,1yx3,0yx0,3yx

yzxx2，yxzxy223，xzyy2，

当)0,0(),(yx时，092BAC，则)0,0(不是极值点；

当)1,1(),(yx时，032BAC且02A，则)1,1(为极大点，应选)(D。

（3）设函数)(xf可导，且0)()(xfxf，则（）

)(A)1()1(ff。 )(B)1()1(ff。

)(C|)1(||)1(|ff。 )(D|)1(||)1(|ff。

【答案】)(C

【解】若0)(xf，则0)(xf，从而0)1()1(ff；

全国硕士研究生入学统一考试数学(一)模拟题

（江南博哥）

1 [单选题]

A.不连续

B.连续但不可导

C.可导但导数不连续

D.导数连续

正确答案：D

参考解析：

2 [单选题]

A.P>N>M.

B.N>P>M.

C.N>M>P.

D.P>M>N.

正确答案：D

参考解析：

3 [单选题]

A.取得极小值

B.取得极大值

C.取得极大值e

D.不取得极值

正确答案：A

参考解析：

由

4 [单选题] 设向量组α1，α2，α3，α4线性无关，则下列向量组线性无关的是（）．

A.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4+α1

B.α1+α2，α2+α3，α3+α4，α4-α1

C.α1+α2，α2-α3，α3+α4，α4-α1

D.α1-α2，α2-α3，α3-α4，α4-α1

正确答案：B

参考解析：

5 [单选题] 设A，B，C，D都是n阶矩阵，且A～C，B～D，则必有

A.(A+B)～(C+D).

C.AB～CD. D.

正确答案：B

参考解析：

6 [单选题] 二次型f(x1，x2，x3)=x1x2+x2x3 ，的正、负惯性指数分别为（）．

A.p=1，q=1

B.p=1，q=2

C.p=1，q=0

D.p=0，q=2

正确答案：A

参考解析：

求正、负惯性指数，可通过标准形(规范形)或特征值得到，已知二次型厂中没有平方项，先作可逆线性变换产生平方项，再化为标准形或求其矩阵的特征值． 7 [单选题] 设0

A.P(A+B|)=P(A|)+P(B|)

B.P(AC+BC)=P(AC)+P(BC)

C.P(A+B)=P(A|C)+P(B|C)

D.P(C)=P(A)P(C|A)+P(B)P(C|A)

正确答案：B

参考解析：

8 [单选题] 设随机变量x在[0，]上服从均匀分布，U=sinX，V=cosX，则U与V的相关系数ρUV为（）．

A.ρUV=0

B.|ρUV|=1

数学一历年真题(1987-2017)年(直接打印版)

1987年全国硕士研究生入学统一考试

数学(一)试卷

一、填空题(本题共5小题,每小题3分,满分15分.把答案填在题中横线上)

(1)当x=_____________时,函数2xyx取得极小值.

(2)由曲线lnyx与两直线e1yx及0y所围成的平面图形的面积是_____________.

1x

(3)与两直线 1yt及121111xyz都平行且过原点的平面方程为_____________ .2zt

(4)设L为取正向的圆周229,xy则曲线积分2(22)(4)Lxyydxxxdy=

_____________.

(5)已知三维向量空间的基底为123(1,1,0),(1,0,1),(0,1,1),ααα则向量(2,0,0)β在此基底下的坐标是_____________.

二、(本题满分8分)

求正的常数a与,b使等式22001lim1sinxxtdtbxxat成立.

三、(本题满分7分)

(1)设f、g为连续可微函数,(,),(),ufxxyvgxxy求,.uvxx

(2)设矩阵A和B满足关系式2,AB=AB其中301110,014A求矩阵.B

四、(本题满分8分)

求微分方程26(9)1yyay的通解,其中常数0.a

五、选择题(本题共4小题,每小题3分,满分12分.每小题给出的四个选项中,只有一个符合题目要求,把所选项前的字母填在题后的括号内)

(1)设2()()lim1,()xafxfaxa则在xa处

(A)()fx的导数存在,且()0fa (B)()fx取得极大值

(C)()fx取得极小值 (D)()fx的导数不存在

(2)设()fx为已知连续函数0,(),stItftxdx其中0,0,ts则I的值

(A)依赖于s和t (B)依赖于s、t和x

数3--17真题答案

2017年考研数学(三)试卷答案速查

一、选择题

（1）A （2）D （3）C （4）C （5）A （6）B

（7）C （8）B

二、填空题

（9）3π

2 （10）122ttCt−+ （11）1(1)eQ

Q−

+−

（12）ey

（13）2 （14）9

三、解答题

（15）2

3．

（16）(21)

82−

．

（17）1

4．

（18）11

(1,)

ln22k−

．

（19）略．

（20）（Ⅰ）略．（Ⅱ）11

11k



−

x

（k

为任意常数）．

（21）2=a

．（Ⅱ）111

236

111

236



=−



−



Q

．

（22）（Ⅰ）4

9. （Ⅱ）,01,

()2,23,

0,.Zzz

fzzz



=−







其他

（23）

（Ⅰ）2

122

e,0,

()

0,;其他z

fz

−







；（Ⅱ）2π

=

；

（Ⅲ）2

ˆn

n

==

．

2017年全国硕士研究生入学统一考试

数学（三）参考答案

一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选

项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸

．．．指定位置上．

（1）【答案】（A）.

【详解】因为()fx在0x=

连续，所以

00lim()lim()(0)

xxfxfxf

+−

→→==;

由 2

0001

()

1cos1

lim()limlim,

xxxx

axaxa

+++

→→→−

===

0lim()(0)

xfxfb

−

→==

；得1

a=，即1

2ab=

．故选（A）．

（2）【答案】（D）.

【详解】由(32)0,

(32)0z

yxy

xxy

y

=−−=











=−−=



得驻点(0,0),(0,3),(3,0),(1,1)；又222

222,2,322zzz

yxxy

xyxy

=−=−=−−

；

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