2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题Word
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题
一、选择题:1 8小题,每小题4分,共32分.下列每题给出的四个选项中,只有一个选项符合题目要求的.
(1) 若函数
10(),0
x f x ax
b x ⎧->⎪
=⎨⎪≤⎩
在0x =处连续，则 （ ）
(A) 12ab =
(B) 1
2
ab =- (C) 0ab = (D) 2ab = (2) 设函数()f x 可导，且()'()0,f x f x ⋅>则 （ ）
(A) (1)(1)f f >- (B) (1)(1)f f <- (C) (1)(1)f f >- (D) (1)(1)f f <-
(3) 函数22(,.)f x y z x y z =+在点（1,2,0）处沿向量(1,2,2)u =的方向导数为 （ ） (A) 12 (B) 6 (C) 4 (D) 2
(4) 甲，乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：
m/s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10, 20, 3. 计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则
(A) 010t = (B) 01520t << (C) 025t = (D) 025t > (5) 设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 （ ）
(A) E ααT
-不可逆 (B) E ααT
+不可逆
(C) 2E ααT +不可逆 (D) 2E ααT
-不可逆
(6) 已知矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭， 100020002C ⎛⎫ ⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，则 （ ）
(A) A 与C 相似,B 与C 相似 (B) A 与C 相似,B 与C 不相似
(C) A 与C 不相似,B 与C 相似 (D) A 与C 不相似,B 与C 不相似
(7) 设,A B 为随机概率，若0()1P A <<,0()1P B <<,则()()P A B P A B >的充分必要条件是
（ ）
(A) ()()P B A P B A > (B) ()()P B A P B A < (C)()()P B A P B A > (D) ()()P B A P B A <
(8) 设1,2,...(2)n X X X n ≥为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记1
1n
i i x x n ==∑则下列结论正确
的是 （ ）
(A)
2
1()
n
i
i x μ=-∑服从2x 分布 (B) 212()n x x -服从2
x 分布
(C)
2
1
()
n
i
i x X =-∑服从2x 分布 (D) 2()n X μ-服从2
x 分布
二、填空题：9 14小题,每小题4分,共24分. (9) 已知函数2
1()1f x x
=
+，则(3)
(0)f = (10) 微分方程'''
230y y y ++=的通解为y =
(11) 若曲线积分
221
L xdx aydy x y -+-⎰在区域22
{(,)|1}D x y x y =+<内与路径无关，则a = (12) 幂级数
1
11
(1)
n n n nx ∞
--=-∑在区间(1,1)-内的和函数()S x =
(13) 设矩阵101112011A ⎛⎫
⎪
= ⎪ ⎪⎝⎭
，1α，2α，3α为线性无关的3维列向量组，则向量组1A α，2A α，
3A α的秩为
(14) 设随机变量X 的分布函数为4
()0.5()0.5(
)2
x F x x -=Φ+Φ，其中()x Φ为标准正态分布函数，则EX =
三、解答题：15～23小题,共94分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (15)(本题满分10分)
设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(,cos )x
y f e x =，求
x dy
dx
=，22
x d y dx =
(16)(本题满分10分)
求21
lim
ln(1)n
x k k k
n n →∞=+∑ (17)(本题满分10分)
已知函数()y x 由方程3
3
3320x y x y +-+-=确定，求()y x 的极值. (18)(本题满分10分)
设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0
()
lim 0x f x x
+
→<，证明： (Ⅰ)方程()0f x =在区间（0,1）内至少存在一个实根；
(Ⅱ)方程'''2
()()(())0f x f x f x +=在区间（0,1）内至少存在两个不同实根。
(19)(本题满分10分)
设薄片型物体S 是圆锥面z
被柱面2
2z x =割下的有限部分，其上任一点的密度
为. 记圆锥面与柱面的交线为C.
(Ⅰ)求C 在xOy 平面上的投影曲线的方程； (Ⅱ)求S 的质量M. (20)(本题满分11分)
设3阶矩阵()123,,A ααα=有3个不同的特征值，且3122ααα=+. (Ⅰ)证明()2r A =；
(Ⅱ)若123βααα=++，求方程组Ax β=的通解. (21)(本题满分11分)
设二次型()2
2
2
123123121323,,2282f x x x x x ax x x x x x x =-++-+在正交变换x Qy =下的标
准形为22
1122y y λλ+，求a 的值及一个正交矩阵Q .
(22)(本题满分11 分)
设随机变来那个为X ，Y 相互独立，且X 的概率分布为()()1
02,2
P X P X Y ====的概率密度为()2,01
0,y y f y <<⎧=⎨
⎩其他
(Ⅰ)求()P Y EY ≤;
(Ⅱ)求Z X Y =+的概率密度. (23)(本题满分11 分)
某工程师为了解一台天平的精度，用该天平对一物体的质量做n 次测量，该物体的质量μ是
已知的，设n 次测量结果12,,...,n X X X 相互独立且均服从正态分布()
2
,N μσ.该工程师记录的是
n 次测量的绝对误差()1,2,i i Z X i n μ=-= ，利用12,,n Z Z Z 估计σ.
(Ⅰ)求i Z 的概率密度；
(Ⅱ)利用一阶矩求σ的矩估计量；
(Ⅲ)求σ的最大似然估计量.。
2017年考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追6上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】C【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=TE 。
2017年考研数学1真题
2017年考研数学1真题2017年考研数学1真题一、选择题（1）若函数在x=0处连续，则（1）。
A.B.C.D.（2）设函数可导，且，则（2）。
A.与B.与C.与D.与（3）函数在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为（3）。
A.12B. 6C. 4D. 2（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图中实线表示甲的速度曲线（单位：m/s），虚线表示的速度曲线，三块部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单位：s），则（3）。
A.B.C.D.（5）设是n维单位列向量，E为n阶单位矩阵，则（5）。
A.不可逆B.不可逆C.不可逆D.不可逆（6）设矩阵，，，则（6）。
A.A与C相似，B与C相似B.A与C相似，B与C不相似C.A与C不相似，B与C相似D.A与C不相似，B与C不相似（7）设A、B为随机概率，若，则的充分必要条件是（7）。
A.B.C.D.（8）设X1,X2,…Xn(n≥2)为来自总体N(μ,1)的简单随机样本，记，则下列结论中不正确的是（8）。
A.μ服从分布B.服从分布C.服从分布D.μ服从分布二、填空题（9）已知函数，则（9）。
（10）微分方程的通解为（10）。
（11）若曲线积分在区域内与路径无关，则（11）。
（12）幂级数在区间(-1,1)内的和函数（12）。
（13）设矩阵，为线性无关的3维列向量组，则向量组的秩为（13）。
（14）设随机变量X的分布函数为，其中为标准正态分布函数，则（14）。
三、解答题（15）设函数具有2阶连续偏导数，，求｜，｜。
（16）求。
（17）已知函数由方程确定，求的极值。
（18）设函数在区间[0,1]上具有2阶导数，且，证明。
1.方程在区间(0,1)至少存在一个实根；2.方程在区间(0,1)内至少存在两个不同实根。
（19）设薄片型物体S是圆锥面被柱面割下的有限部分，其上任一点的密度为μ。
记圆锥面与柱面的交线为C。
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五年级下册数学期末试卷37一、 填空题（39分）1、折线统计图不仅可以表示（ ），还可以表示（ ）。
2、一盒糖果共有14块，平均分给7个同学，每块糖果是这盒糖果的（ ）；每人分得（ ）块。
3、要画一个周长21.98分米的圆，圆规两脚尖的距离是（ ）分米；这个圆的周长是（ ）平方分米。
4、圆周率是（ ）与（ ）的商，它是一个（ ）小数，计算时取近似值（ ）。
5、2203的分数单位是（ ），它减去（ ）个这样的分数单位后，就是1。
6、一个圆的半径扩大5倍时，那么它的面积扩大（ ）;直径扩大（ ）； 周长扩大（ ）；。
7、14和15的最大公因数是（ ）；最小公倍数是（ ）。
24和48的最大公因数是（ ）；最小公倍数是（ ）。
15和20 的最大公因数是（ ）；最小公倍数是（ ）。
8、美术兴趣小组有36人，女生12人。
男生人数是女生的（ ），女生人数是男生的（ ），男生人数占美术兴趣小组的（ ）。
9、1里面有（ ）个141；分母是18的最简真分数有（ ） 它们的和是（ ）。
10、在（ ）里填适当的最简分数。
20时=（ ）日 25厘米=（ ）米 150毫升=（ ）升 50公顷=（ ）平方千米15平方厘米=（ ）平方分米 300千克=（ ）吨11、在○里填“＞” “＜”或“=”73○0.43 613○2.2 1.2○151 12、在54、1012、1010、715、914、1352中，真分数有（ ）；假分数有（ ）；最简分数有（ ）。
二、选择题（6分）1、如果下面各图形的周长都相等，那么（ ）的面积最小。
A 、 长方形B 、正方形C 、圆2、两个圆的面积相等，那么它们的周长（ ）。
A 、不一定相等B 、相等3、一个分数的分母扩大3倍，分子缩小3倍，这个分数就（ ）A 、扩大9倍B 、不变C 、扩大6倍D 、缩小9倍4、136的分子增加12，要使分数的大小不变，分母应增加（ ） A 、26 B 、24 C 、395、直径是半径的（ ）。
2017年考研数学一真题及答案(全)
2017年全国硕士研究生入学统一考试数学（一）试题一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分．下列每题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上． （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在x 连续，则 (A) 12ab =． (B) 12ab =-． (C) 0ab =． (D) 2ab =．【答案】A【详解】由011lim 2x b ax a +→-==,得12ab =.（2）设函数()f x 可导，且()'()0f x f x >则(A) ()()11f f >- ． (B) ()()11f f <-．(C) ()()11f f >-． (D) ()()11f f <-.【答案】C【详解】2()()()[]02f x f x f x ''=>,从而2()f x 单调递增,22(1)(1)f f >-. （3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿着向量(1,2,2)n =的方向导数为 (A) 12． (B) 6．(C) 4．(D)2 ．【答案】D【详解】方向余弦12cos ,cos cos 33===αβγ,偏导数22,,2x y z f xy f x f z '''===,代入cos cos cos x y z f f f '''++αβγ即可.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10(单位：m)处.图中，实线表示甲的速度曲线1()v v t =(单位：m/s)，虚线表示乙的速度曲线2()v v t =(单位：m/s)，三块阴影部分面积的数值一次为10，20，3，计时开始后乙追上甲的时刻记为(单位：s)，则(A) 010t =． (B) 01520t <<． (C) 025t =． (D) 025t >．【答案】C【详解】在025t =时,乙比甲多跑10m,而最开始的时候甲在乙前方10m 处. （5）设α为n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则 (A) TE -αα不可逆． (B) TE +αα不可逆．(C) T 2E +αα不可逆． (D) T2E -αα不可逆．【答案】A【详解】可设T α=(1,0,,0),则T αα的特征值为1,0,,0,从而T αα-E 的特征值为011,,,,因此T αα-E 不可逆.（6）设有矩阵200021001A ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，210020001B ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，122C ⎛⎫ ⎪= ⎪ ⎪⎝⎭(A)A 与C 相似，B 与C 相似． (B) A 与C 相似，B 与C 不相似．(C) A 与C 不相似，B 与C 相似． (D) A 与C 不相似，B 与C 不相似． 【答案】B【详解】,A B 的特征值为221,,,但A 有三个线性无关的特征向量,而B 只有两个,所以A 可对角化,B 则不行.（7）设,A B 为随机事件，若0()1P A <<，0()1P B <<，则(|)(|)P A B P B A >的充分必要条件(A) (|)(|)P B A P B A >． (B) (|)(|)P B A P B A <． (C) (|)(|)P B A P B A >． (D) (|)(|)P B A P B A <．【答案】A【详解】由(|)(|)P A B P A B >得()()()()()()1()P AB P AB P A P AB P B P B P B ->=-,即()>()()P AB P A P B ;由(|)(|)P B A P B A >也可得()>()()P AB P A P B . （8）设12,,,(2)n X X X n 为来自总体(,1)N μ的简单随机样本，记11ni i X X n ==∑，则下列结论不正确的是 (A)21()ni i Xμ=-∑服从2χ分布 ． (B) 212()n X X -服从2χ分布．(C)21()nii XX =-∑服从2χ分布． (D) 2()n X -μ服从2χ分布．【答案】B【详解】222211~(0,1)()~(),()~(1)1n ni i i i i X N X n X X n ==----∑∑μμχχ; 221~(,),()~(1);X N n X n-μμχ2211()~(0,2),~(1)2n n X X X X N --χ.二、填空题：9～14小题，每小题4分，共24分．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （9）已知函数21(),1f x x=+(3)(0)f = ． 【答案】0 【详解】2421()1(11)1f x x x x x==-++-<<+,没有三次项.（10）微分方程032=+'+''y y y 的通解为 ．【答案】12e ()xy C C -=+【详解】特征方程2230r r ++=得1r =-,因此12e ()x y C C -=+.（11）若曲线积分⎰-+-L y x aydy xdx 122在区域{}1),(22<+=y x y x D 内与路径无关，则=a．【答案】1-【详解】有题意可得Q Px x∂∂=∂∂,解得1a =-. （12）幂级数111)1(-∞=-∑-n n n nx 在(-1,1)内的和函数()S x = ．【答案】21(1)x + 【详解】112111(1)[()](1)n n n n n nxx x ∞∞--=='-=--=+∑∑.（13）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=110211101A ，321ααα，，是3维线性无关的列向量，则()321,,αααA A A 的秩为 ．【答案】2【详解】123(,,)()2r r ααα==A A A A（14）设随即变量X 的分布函数4()0.5()0.5()2x F x x -=Φ+Φ，其中)(x Φ为标准正态分布函数，则EX = ． 【答案】2 【详解】00.54()d [0,5()()]d 222x EX xf x x x x x +∞+∞-∞-==+=⎰⎰ϕϕ. 三、解答题：15～23小题，共94分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．请将答案写在答题纸．．．指定位置上． （15）（本题满分10分）．设函数(,)f u v 具有2阶连续偏导数，(e ,cos ),xy f x =求2200,x x dyd y dxdx==.【答案】(e ,cos )x y f x =()''12'12''''''''''111212122222''''11122sin ,0(1,1)sin (sin )sin cos 0(1,1)(1,1)(1,1)x x x x x dyf e f x dx dy x f dx d y f e f x e f e f e f x x f x dx d y x f f f dx ∴=-∴===-+---==+- （16）（本题满分10分）．求2limln(1)n k k n n→∞+.【答案】212221120012202lim ln(1)1122lim ln(1)ln(1)...ln(1)11122lim ln(1)ln(1)...ln(1)1ln(1)ln(1)21111ln(1)02211111ln 2221n k n n k k nn n n n n n n n n n n n n n n n n n x x dx x d x x x x dxx x ∞→∞=→∞→∞+⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭⎛⎫=++++++ ⎪⎝⎭=+=+=+-+-+=-∑⎰⎰⎰1011002111ln 2[(1)]22111111ln 2[()ln(1)]002221111ln 2(1ln 2)2224dxxx dx dx xx x x +=--++=--++=--+=⎰⎰⎰（17）（本题满分10分）．已知函数)(x y 由方程333320x y x y +-+-=确定，求)(x y 的极值. 【答案】333320x y x y +-+-=①，方程①两边对x 求导得：22''33330x y y y +-+=②，令'0y =，得233,1x x ==±.当1x =时1y =，当1x =-时0y =.方程②两边再对x 求导：'22''''66()330x y y y y y +++=，令'0y =，2''6(31)0x y y ++=，当1x =，1y =时''32y =-，当1x =-，0y =时''6y =. 所以当1x =时函数有极大值，极大值为1，当1x =-时函数有极小值，极小值为0.（18）（本题满分10分）．设函数()f x 在区间[0,1]上具有2阶导数，且(1)0f >，0()lim 0x f x x+→<.证明： （I ）方程()0f x =在区间(0,1)内至少存在一个实根;（II ）方程2()''()['()]0f x f x f x +=在区间(0,1)内至少存在两个不同实根. 【答案】 (1)()lim 0x f x x+→<，由极限的局部保号性，(0,),()0c f c δ∃∈<使得，又(1)0,f >由零点存在定理知，(c,1)ξ∃∈，使得，()0f ξ=.(2)构造()()'()F x f x f x =，(0)(0)'(0)0F f f ==，()()'()0F f f ξξξ==，0()lim 0,'(0)0,x f x f x+→<∴<由拉格朗日中值定理知(1)(0)(0,1),'()010f f f ηη-∃∈=>-，'(0)'()0,f f η<所以由零点定理知1(0,)(0,1)ξη∃∈⊂，使得1'()0f ξ=，111()()'()0,F f f ξξξ∴== 所以原方程至少有两个不同实根。
2017年考研数学一真题及答案解析
在 至少有两个不同实根。
得证。
（19）（本题满分10分）
设薄片型物体 是圆锥面 被柱面 割下的有限部分，其上任一点的密度为
。记圆锥面与柱面的交线为
求 在 平面上的投影曲线的方程；
求 的 质量。
【答案】64
【解析】
（1）由题设条件知， 的方程为
则 在 平面的方程为
（2）
（20）（本题满分11分）设3阶矩阵 有3个不同的特征值，且 。
【答案】2
【解析】 ，故
。令 ，则 =
因此 .
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
（15）（本题满分10分）
设函数 具有2阶连续偏导数， ，求 ，
【答案】
【解析】
结论：
（16）（本题满分10分）求
【答案】
【解析】
（17）（本题满分10分）
因为 ，∴A可相似对角化，且
由 可知B特征值为2,2,1.
因为 ，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，
∴ ，且B不相似于C
（7）设 为随机概率，若 ，则 的充分必要条件是（）
【答案】A
【解析】按照条件概率定义展开，则Ａ选项符合题意。
（8）设 为来自总体 的简单随机样本，记 ，则下列结论中不正确的是（）
【答案】B
【解析】
由于找不正确的结论，故B符合题意。
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指定位置上.
(9)已知函数 ，则 =__________
【答案】
【解析】
(10)微分方程 的通解为 _________
【答案】 ，（ 为任意常数）
2017年考研数学一真题及答案解析
位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v v2 (t) ，三块阴影部分面积的数值依次为 10,20,3，计时开始后乙追 上甲的时刻记为 t0 （单位：s），则（ ）
(A)t0 10 (B)15 t0 20 (C)t0 25 (D)t0 25
【答案】B
【解析】从 0 到 t0 这段时间内甲乙的位移分别为
0
2
1ln(1 x)dx2 1 (ln(1 x) x2
0
2
1 0
1 x2 11 dx) 1
0 1 x
4
（17）（本题满分 10 分）
已知函数 y(x) 由方程 x3 y3 3x 3y 2 0 确定，求 y(x) 的极值
【答案】极大值为 y(1) 1 ，极小值为 y(1) 0
【解析】 两边求导得：
22
2
2
x(x)dx EX 0 。令 x 4 t ，则 x( x 4)dx = 2 4 2t (t)dt 8 1 4 t(t)dt 8
2
2
因此 E( X ) 2 .
三、解答题：15—23 小题，共 94 分.请将解答写在答．题．纸．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或 演算步骤. （15）（本题满分 10 分）
（14）设随机变量 X 的分布函数为 F (x) 0.5(x) 0.5( x 4) ，其中 (x) 为标准正态分布函数，则 2
EX _________
【答案】2
【解析】 F(x) 0.5(x) 0.5 ( x 4) ，故 EX 0.5 x(x)dx 0.5 x( x 4)dx
n i 1
Xi
，则下列结论中不正确
的是（ ）
n
( A) ( X i )2 服从 2分布 i 1 n
2017考研数学一真题及答案
．．．（1）若函数f(x)=⎨⎩1-cos x1【解析】lim=lim=,Q f(x)在x=0处连续∴x→0+ax【解析】Q f(x)f'(x)>0,∴⎨⎧f(x)>0={4,1,0}⇒∂f2017考研数学一真题及答案一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定位置上.⎧1-cos x ⎪ax ⎪b,x≤0,x>0在x=0处连续，则（）(A)ab=12(B)ab=-12(C)ab=0【答案】A(D)ab=21x2x→0+ax2a（2）设函数f(x)可导，且f(x)f'(x)>0，则（）11=b⇒ab=.选A. 2a2(A)f(1)>f(-1) (C)f(1)>f(-1)(B)f(1)<f(-1) (D)f(1)<f(-1)【答案】C⎧f(x)<0(1)或⎨(2)，只有C选项满足(1)且满足⎩f'(x)>0⎩f'(x)<0(2)，所以选C。
（3）函数f(x,y,z)=x2y+z2在点(1,2,0)处沿向量u=(1,2,2)的方向导数为（）(A)12【答案】D【解析】(B)6(C)4(D)2gradf={2xy,x2,2z},⇒gradf(1,2,0)u122 =gradf⋅={4,1,0}⋅{,,}=2.∂u|u|333（6）设矩阵 A = ⎢0 2 1⎥⎥ , B = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ , C = ⎢⎢0 2 0⎥⎥ ,则（ ）T ⎣ ⎣ ⎣选 D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方 10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线 v = v (t ) （单位：m / s ），虚线表示乙的速度曲线 v = v (t ) ，三块阴影部分面积的数值12依次为 10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为t （单位：s ），则（）v(m / s)1020( A )t = 10【答案】B0 5 10 15 20 25 30 t(s)( B )15 < t < 20 (C )t = 25 ( D )t > 250 0 0【解析】从 0 到 t 这段时间内甲乙的位移分别为⎰t 0v (t)dt , ⎰ t 0v (t)dt , 则乙要追上甲，则1 2⎰ t 0v2(t) - v (t)dt = 10 ，当 t = 25 时满足，故选 C.1 0（5）设 α 是 n 维单位列向量， E 为 n 阶单位矩阵，则（）( A) E - αα T 不可逆(C ) E + 2αα T 不可逆(B )E + αα T 不可逆 (D )E - 2αα T 不可逆【答案】A【解析】选项 A,由 ( E - αα T )α = α - α = 0 得 ( E - αα T ) x = 0 有非零解，故 E - αα T = 0 。
2017年考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数1,0(),0x f x axb x ⎧->⎪=⎨⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】001112lim lim ,()2x x xf x ax ax a++→→-==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C 【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E 。
2017年考研数学一真题及解析
【解析】
两边求导得：
3x2 3y2 y ' 3 3y ' 0
（1）
令 y ' 0 得 x 1
对（1）式两边关于 x 求导得
6x 6 y y '2 3y 2y '' 3y '' 0
（2）
将
x
1
代入原题给的等式中，得
x y
1 or
1
x
( A)ab 1 2
(C)ab 0
B ab 1
2
D ab 2
【答案】A
【解析】 lim 1 cos
x
lim
1x 2
1
, f ( x) 在 x 0 处连续
1
b ab 1 . 选 A.
x0
ax
x0 ax 2a
2a
2
（2）设函数 f (x) 可导，且 f (x) f '(x) 0 ，则（ ）
x x0 () 方程 f (x) 0 在区间 (0,1) 内至少存在一个实根； () 方程 f (x) f '(x) ( f '(x))2 0 在区间 (0,1) 内至少存在两个不同实根。
【答案】
【解析】
（I） f (x) 二阶导数， f (1) 0, lim f (x) 0 x x0
d2y dx2
x0
f ''
11
(1,1)
f1' (1,1)
f
' 2
(1,1)
（16）（本题满分
10
分）求
lim
2017年考研数学一真题及答案解析
2017年考研数学一真题及答案解析一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上. （1）若函数0(),0x f x b x >=⎪≤⎩在0x =处连续，则（ ） ()()11()22()02A abB abC abD ab ==-==【答案】A【解析】00112lim lim ,()2x x xf x ax a++→→==在0x =处连续11.22b ab a ∴=⇒=选A.（2）设函数()f x 可导，且'()()0f x f x >，则（ ）()()()(1)(1)(1)(1)()(1)(1)(1)(1)A f fB f fC f fD f f >-<->-<-【答案】C【解析】'()0()()0,(1)'()0f x f x f x f x >⎧>∴⎨>⎩或()0(2)'()0f x f x <⎧⎨<⎩，只有C 选项满足(1)且满足(2)，所以选C 。
（3）函数22(,,)f x y z x y z =+在点(1,2,0)处沿向量()1,2,2u =的方向导数为（ ）()12()6()4()2A B C D【答案】D 【解析】2(1,2,0)122{2,,2},{4,1,0}{4,1,0}{,,} 2.|u |333f u gradf xy x z gradfgradf u ∂=⇒=⇒=⋅=⋅=∂ 选D.（4）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m ）处，图中实线表示甲的速度曲线1()v v t =（单位：/m s ），虚线表示乙的速度曲线2()v v t =，三块阴影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为0t （单位：s ），则（ ）()s0000()10()1520()25()25A t B t C t D t =<<=>【答案】B【解析】从0到0t 这段时间内甲乙的位移分别为120(t),(t),t t v dt v dt ⎰⎰则乙要追上甲，则210(t)v (t)10t v dt -=⎰，当025t =时满足，故选C.（5）设α是n 维单位列向量，E 为n 阶单位矩阵，则（ ）()()()()22T T TT A E B E C E D E αααααααα-++-不可逆不可逆不可逆不可逆【答案】A【解析】选项A,由()0ααααα-=-=T E 得()0αα-=TE x 有非零解，故0αα-=T E 。