2020-2021 中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附答案解析
2020-2021 中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练附答案解析
一、二次函数
1．已知：如图，抛物线y=ax2+bx+c与坐标轴分别交于点A（0，6），B（6，0），C（﹣2，0），点P是线段AB上方抛物线上的一个动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）当点P运动到什么位置时，△PAB的面积有最大值？
（3）过点P作x轴的垂线，交线段AB于点D，再过点P做PE∥x轴交抛物线于点E，连结DE，请问是否存在点P使△PDE为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣12x2+2x+6；（2）当t=3时，△PAB的面积有最大值；（3）点P（4，6）．
【解析】
【分析】（1）利用待定系数法进行求解即可得；
（2）作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM，先求出直线AB解析式为y=﹣x+6，设P（t，﹣12t2+2t+6），则N（t，﹣t+6），由S△PAB=S△PAN+S△PBN=12PN•AG+12PN•BM=12PN•OB列出关于t的函数表达式，利用二次函数的性质求解可得；
（3）由PH⊥OB知DH∥AO，据此由OA=OB=6得∠BDH=∠BAO=45°，结合∠DPE=90°知若△PDE为等腰直角三角形，则∠EDP=45°，从而得出点E与点A重合，求出y=6时x的值即可得出答案．
【详解】（1）∵抛物线过点B（6，0）、C（﹣2，0），
∴设抛物线解析式为y=a（x﹣6）（x+2），
将点A（0，6）代入，得：﹣12a=6，
解得：a=﹣12，
所以抛物线解析式为y=﹣12（x﹣6）（x+2）=﹣12x2+2x+6；
（2）如图1，过点P作PM⊥OB与点M，交AB于点N，作AG⊥PM于点G，
设直线AB解析式为y=kx+b，
将点A（0，6）、B（6，0）代入，得：
660bkb，
解得：16kb，
则直线AB解析式为y=﹣x+6，
设P（t，﹣12t2+2t+6）其中0＜t＜6，
则N（t，﹣t+6），
∴PN=PM﹣MN=﹣12t2+2t+6﹣（﹣t+6）=﹣12t2+2t+6+t﹣6=﹣12t2+3t，
∴S△PAB=S△PAN+S△PBN
=12PN•AG+12PN•BM
=12PN•（AG+BM）
=12PN•OB
=12×（﹣12t2+3t）×6
=﹣32t2+9t
=﹣32（t﹣3）2+272，
∴当t=3时，△PAB的面积有最大值；
（3）如图2，
∵PH⊥OB于H，
∴∠DHB=∠AOB=90°，
∴DH∥AO，
∵OA=OB=6，
∴∠BDH=∠BAO=45°，
∵PE∥x轴、PD⊥x轴，
∴∠DPE=90°，
若△PDE为等腰直角三角形，
则∠EDP=45°，
∴∠EDP与∠BDH互为对顶角，即点E与点A重合，
则当y=6时，﹣12x2+2x+6=6，
解得：x=0（舍）或x=4，
即点P（4，6）．
【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，涉及到待定系数法、二次函数的最值、等腰直角三角形的判定与性质等，熟练掌握和灵活运用待定系数法求函数解析式、二次函数的性质、等腰直角三角形的判定与性质等是解题的关键.
2．已知，m，n是一元二次方程x2+4x+3=0的两个实数根，且|m|＜|n|，抛物线y=x2+bx+c的图象经过点A（m，0），B（0，n），如图所示．
（1）求这个抛物线的解析式；
（2）设（1）中的抛物线与x轴的另一个交点为抛物线的顶点为D，求出点C，D的坐标，并判断△BCD的形状；
（3）点P是直线BC上的一个动点（点P不与点B和点C重合），过点P作x轴的垂线，交抛物线于点M，点Q在直线BC上，距离点P为2个单位长度，设点P的横坐标为t，△PMQ的面积为S，求出S与t之间的函数关系式．
【答案】（1）223yxx；（2）C（3，0），D（1，﹣4），△BCD是直角三角形；（3）2213(03)2213(03)22tttStttt＜＜＜或＞ 【解析】
试题分析：（1）先解一元二次方程，然后用待定系数法求出抛物线解析式；
（2）先解方程求出抛物线与x轴的交点，再判断出△BOC和△BED都是等腰直角三角形，从而得到结论；
（3）先求出QF=1，再分两种情况，当点P在点M上方和下方，分别计算即可．
试题解析：解（1）∵2+430xx，∴11x，23x，∵m，n是一元二次方程2+430xx的两个实数根，且|m|＜|n|，∴m=﹣1，n=﹣3，∵抛物线223yxx的图象经过点A（m，0），B（0，n），∴10{3bcc，∴2{3bc，∴抛物线解析式为223yxx；
（2）令y=0，则2230xx，∴11x，23x，∴C（3，0），∵223yxx=2(1)4x，∴顶点坐标D（1，﹣4），过点D作DE⊥y轴，∵OB=OC=3，∴BE=DE=1，∴△BOC和△BED都是等腰直角三角形，∴∠OBC=∠DBE=45°，∴∠CBD=90°，∴△BCD是直角三角形；
（3）如图，∵B（0，﹣3），C（3，0），∴直线BC解析式为y=x﹣3，∵点P的横坐标为t，PM⊥x轴，∴点M的横坐标为t，∵点P在直线BC上，点M在抛物线上，∴P（t，t﹣3），M（t，223tt），过点Q作QF⊥PM，∴△PQF是等腰直角三角形，∵PQ=2，∴QF=1．
①当点P在点M上方时，即0＜t＜3时，PM=t﹣3﹣（223tt）=23tt，∴S=12PM×QF=21(3)2tt=21322tt，②如图3，当点P在点M下方时，即t＜0或t＞3时，PM=223tt﹣（t﹣3）=23tt，∴S=12PM×QF=12（23tt）=21322tt．
综上所述，S=2213 (03)22{13 (03)22ttttttt或．
考点：二次函数综合题；分类讨论．
3．在平面直角坐标系中，有两点,Aab、,Bcd，若满足：当ab时，ca，2db；当ab时，ca，db，则称点为点的“友好点”.
（1）点4,1的“友好点”的坐标是_______.
（2）点,Aab是直线2yx上的一点，点B是点A的“友好点”.
①当B点与A点重合时，求点A的坐标.
②当A点与A点不重合时，求线段AB的长度随着a的增大而减小时，a的取值范围.
【答案】（1）41,；（2）①点A的坐标是2,0或1,1；②当1a或322a时，AB的长度随着a的增大而减小；
【解析】
【分析】
（1）直接利用“友好点”定义进行解题即可；（2）先利用 “友好点”定义求出B点坐标，A点又在直线2yx上，得到2ba；①当点A和点B重合，得2bb．解出即可，②当点A和点B不重合， 1a且2a．所以对a分情况讨论，1°、当1a或2a时，222313224ABbbaaa，所以当a≤32时，AB的长度随着a的增大而减小，即取1a．2°当12a时，22231+3224ABbbaaa，当32a时，AB的长度随着a的增大而减小，即取322a． 综上，当1a或322a时，AB的长度随着a的增大而减小．
【详解】
（1）点4,1，4＞1，根据“友好点”定义，得到点4,1的“友好点”的坐标是41,
（2）Q点,Aab是直线2yx上的一点，
2ba．
Q2aa，根据友好点的定义，点B的坐标为2,Bab，
①当点A和点B重合，2bb．
解得0b或1b．
当0b时，2a；当1b时，1a，
点A的坐标是2,0或1,1．
②当点A和点B不重合，1a且2a．
当1a或2a时，222313224ABbbaaa．
当a≤32时，AB的长度随着a的增大而减小， 取1a．
当12a时， 22231+3224ABbbaaa ．
当32a时，AB的长度随着a的增大而减小，
取322a．
综上，当1a或322a时，AB的长度随着a的增大而减小．
【点睛】
本题属于阅读理解题型，结合二次函数的基本性质进行解题，第二问的第二小问的关键是求出AB的长用a进行表示，然后利用二次函数基本性质进行分类讨论
4．如图1，抛物线经过平行四边形的顶点、、，抛物线与轴的另一交点为.经过点的直线将平行四边形分割为面积相等的两部分，与抛物线交于另一点.点为直线上方抛物线上一动点，设点的横坐标为.
（1）求抛物线的解析式；
（2）当何值时，的面积最大?并求最大值的立方根；
（3）是否存在点使为直角三角形?若存在，求出的值；若不存在，说明理由.
【答案】（1）抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；（2）当t=时，△PEF的面积最大，其最大值为×，
最大值的立方根为=；（3）存在满足条件的点P，t的值为1或
【解析】
试题分析：（1）由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；
（2）由A、C坐标可求得平行四边形的中心的坐标，由抛物线的对称性可求得E点坐标，从而可求得直线EF的解析式，作PH⊥x轴，交直线l于点M，作FN⊥PH，则可用t表示出PM的长，从而可表示出△PEF的面积，再利用二次函数的性质可求得其最大值，再求其最大值的立方根即可； （3）由题意可知有∠PAE=90°或∠APE=90°两种情况，当∠PAE=90°时，作PG⊥y轴，利用等腰直角三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值；当∠APE=90°时，作PK⊥x轴，AQ⊥PK，则可证得△PKE∽△AQP，利用相似三角形的性质可得到关于t的方程，可求得t的值．
试题解析： （1）由题意可得，解得，
∴抛物线解析式为y=﹣x2+2x+3；
（2）∵A（0，3），D（2，3），
∴BC=AD=2，
∵B（﹣1，0），
∴C（1，0），
∴线段AC的中点为（，），
∵直线l将平行四边形ABCD分割为面积相等两部分，
∴直线l过平行四边形的对称中心，
∵A、D关于对称轴对称，
∴抛物线对称轴为x=1，
∴E（3，0），
设直线l的解析式为y=kx+m，把E点和对称中心坐标代入可得，解得，
∴直线l的解析式为y=﹣x+，
联立直线l和抛物线解析式可得，解得或，
∴F（﹣，），
如图1，作PH⊥x轴，交l于点M，作FN⊥PH，
中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)
第 1 页 共 49 页 中考数学复习《二次函数相似三角形综合压轴题》专项提升训练(附答案)
学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________
1．已知：二次函数𝑦=𝑥2−(𝑚+2)𝑥+𝑚−1．
(1)求证：该抛物线与𝑥轴一定有两个交点；
(2)设抛物线与𝑥轴的两个交点是𝐴、𝐵（𝐴在原点左边，𝐵在原点右边），且𝐴𝐵=3，求此时抛物线的解析式；
(3)在（2）的前提下，若抛物线与𝑦轴交于点𝐶，问在𝑦轴的正半轴上是否存在点𝐷，使△𝐷𝑂𝐵和△𝐴𝑂𝐶相似？
2．如图，抛物线：𝑦=𝑥2+𝑏𝑥+𝑐的图像与𝑥轴交于𝐴和𝐵(−3，0)两点，与𝑦轴交于𝐶(0，−3)，直线𝑦=𝑥+𝑚经过点𝐵，且与𝑦轴交于点𝐷，与抛物线交于点𝐸，与对称轴交于点𝐹．
(1)求抛物线的解析式和𝐸点坐标；
(2)在𝑦轴上是否存在点𝑃，使得以𝐷、𝐸、𝑃为顶点的三角形与△𝐵𝑂𝐷相似，若存在，直接写出点𝑃的坐标：若不存在，试说明理由．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥−3与x轴交于𝐴(1,0)和𝐵(3,0)，与y轴交于点C．
(1)求该抛物线的解析式；
(2)绕点A旋转的直线𝑙：𝑦=𝑘𝑥+𝑏1与y轴相交于点D，与抛物线相交于点E，且满足𝐴𝐷=2𝐴𝐸时，求直线l的解析式；
(3)点P为抛物线上的一点，点Q为抛物线对称轴上的一点，是否存在以点B，C，P， 第 2 页 共 49 页 Q为顶点的平行四边形，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4．已知：抛物线𝑦=𝑎𝑥2+𝑏𝑥+4与x轴相交于𝐴(−2，0)，𝐵(8，0)两点，与y轴相交于点C，连接𝐵𝐶．
(1)求抛物线的表达式并直接写出点C的坐标；
(2)如图，点M是抛物线第一象限内的一点，连接𝑀𝐵，𝑀𝐶，求△𝑀𝐵𝐶面积的最大值；
2020中考数学压轴题综合提升训练：二次函数 (附解析)
决战2020中考数学压轴题综合提升训练：
二次函数
1．如图，过点A（5，）的抛物线y＝ax2+bx的对称轴是x＝2，点B是抛物线与x轴的一个交点，点C在y轴上，点D是抛物线的顶点．
（1）求a、b的值；
（2）当△BCD是直角三角形时，求△OBC的面积；
（3）设点P在直线OA下方且在抛物线y＝ax2+bx上，点M、N在抛物线的对称轴上（点M在点N的上方），且MN＝2，过点P作y轴的平行线交直线OA于点Q，当PQ最大时，请直接写出四边形BQMN的周长最小时点Q、M、N的坐标．
2．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与x轴交于点A（﹣2，0），点B（4，0），与y轴交于点C（0，2），连接BC，位于y轴右侧且垂直于x轴的动直线l，沿x轴正方向从O运动到B（不含O点和B点），且分别交抛物线、线段BC以及x轴于点P，D，E，连接AC，BC，PA，PB，PC．
（1）求抛物线的表达式；
（2）如图1，当直线l运动时，求使得△PEA和△AOC相似的点P点的横坐标；
（3）如图1，当直线1运动时，求△PCB面积的最大值；
（4）如图2，抛物线的对称轴交x轴于点Q，过点B作BG∥AC交y轴于点G．点H、K分别在对称轴和y轴上运动，连接PH、HK，当△PCB的面积最大时，请直接写出PH+HK+KG的最小值．
3．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx﹣3交x轴于点A（﹣1，0）和点B（3，0），与y轴交于点C，顶点是D，对称轴交x轴于点E．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P是抛物线在第四象限内的一点，过点P作PQ∥y轴，交直线AC于点Q，设点P的横坐标是m．
①求线段PQ的长度n关于m的函数关系式；
②连接AP，CP，求当△ACP面积为时点P的坐标；
（3）若点N是抛物线对称轴上一点，则抛物线上是否存在点M，使得以点B，C，M，N为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出线段BN的长度；若不存在，请说明理由．
专练21 二次函数的图像变换问题-2021年中考数学压轴题专项高分突破训练(全国通用)(解析版)
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1 专练21二次函数的图像变换问题
1.已知抛物线y=ax2+bx+3经过A(−3，0)，B(−1，0)两点(如图1)，顶点为M.
（1）a、b的值；
（2）设抛物线与y轴的交点为Q(如图1)，直线y=−2x+9与直线OM交于点D．现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.当抛物线的顶点平移到D点时，Q点移至N点，求抛物线上的两点M、Q间所夹的曲线MQˆ扫过的区域的面积；
（3）设直线y=−2x+9与y轴交于点C，与直线OM交于点D(如图2).现将抛物线平移，保持顶点在直线OD上.若平移的抛物线与射线CD(含端点C)没有公共点时，试探求其顶点的横坐标h的取值范围.
【答案】 （1）解：将A（-3，0），B（-1，0）代入抛物线y=ax2+bx+3中，得：
{9a−3b+3=0a−b+3=0 ，
解得：a=1、b=4．
（2）解：连接MQ、QD、DN，
由图形平移的性质知：QN∥MD，即四边形MQND是平行四边形；
由（1）知，抛物线的解析式：y=x2+4x+3=（x+2）2-1，则点M（-2，-1）， word可编辑文档
2 当x=0时，y=3，
∴Q（0，3）；
设直线OM的解析式为y=kx，
∴-2k=-1，
∴k= 12 ，
∴直线OM：y= 12 x，联立直线y=-2x+9，得：
{y=12xy=−2x+9 ，
解得
{x=185y=95 ．
则D（ 185,95 ）；
曲线QM扫过的区域的面积：S=S ▱ MQND=2S△MQD =2×12×OQ×|xM−xD|=3×|−2−185|=845 ；
（3）解：由于抛物线的顶点始终在y= 12 x上，可设其坐标为（h， 12 h），设平移后的抛物线解析式为y=（x-h）2+ 12 h；
①当平移后抛物线对称轴右侧部分经过点C（0，9）时，有：
h2+ 12 h=9，解得：h= −1−√1454 （依题意，舍去正值）
2021年江苏省各市中考数学真题汇编——《二次函数》压轴题(含解析)
2021年江苏省各市中考数学真题汇编—
《二次函数》压轴题
1．（2021•镇江）如图①，直线l经过点（4，0）且平行于y轴，二次函数y＝ax2﹣2ax+c（a、c是常数，a＜0）的图象经过点M（﹣1，1），交直线l于点N，图象的顶点为D，它的对称轴与x轴交于点C，直线DM、DN分别与x轴相交于A、B两点．
（1）当a＝﹣1时，求点N的坐标及的值；
（2）随着a的变化，的值是否发生变化？请说明理由；
（3）如图②，E是x轴上位于点B右侧的点，BC＝2BE，DE交抛物线于点F．若FB＝FE，求此时的二次函数表达式．
2．（2021•南通）已知抛物线y＝ax2+bx+c经过A（2，0），B（3n﹣4，y1），C（5n+6，y2）三点，对称轴是直线x＝1．关于x的方程ax2+bx+c＝x有两个相等的实数根．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若n＜﹣5，试比较y1与y2的大小；
（3）若B，C两点在直线x＝1的两侧，且y1＞y2，求n的取值范围．
3．（2021•宿迁）某超市经销一种商品，每千克成本为50元，经试销发现，该种商品的每天销售量y（千克）与销售单价x（元/千克）满足一次函数关系，其每天销售单价，销售量的四组对应值如下表所示： 销售单价x（元/千克） 55 60 65 70
销售量y（千克） 70 60 50 40
（1）求y（千克）与x（元/千克）之间的函数表达式；
（2）为保证某天获得600元的销售利润，则该天的销售单价应定为多少？
（3）当销售单价定为多少时，才能使当天的销售利润最大？最大利润是多少？
4．（2021•宿迁）二次函数y＝ax2+bx+3的图象与x轴交于A（2，0），B（6，0）两点，与y轴交于点C，顶点为E．．
（1）求这个二次函数的表达式，并写出点E的坐标；
（2）如图①，D是该二次函数图象的对称轴上一个动点，当BD的垂直平分线恰好经过点C时，求点D的坐标；
（3）如图②，P是该二次函数图象上的一个动点，连接OP，取OP中点Q，连接QC，QE，CE，当△CEQ的面积为12时，求点P的坐标．
2020年江西省中考数学第二轮专题复习教案及练习：专题六 二次函数压轴题(含答案)
专题六 二次函数压轴题
类型一 二次函数与图形变换
如图①，已知直线l：y＝－x＋2与y轴交于点A，抛物线y＝(x－1)2＋m也经过点A，其顶点为B，将该抛物线沿直线l平移，使顶点B落在直线l上的点D处，点D的横坐标为n(n＞1)．
(1)求点B的坐标；
(2)平移后的抛物线可以表示为__________________(用含n的式子表示)；
(3)若平移后的抛物线与原抛物线相交于点C，且点C的横坐标为a.
①请写出a关于n的函数关系式；
②如图②，连接AC、CD，若∠ACD＝90°，求a的值．
【分析】 (1)点B是抛物线顶点，要求点B的坐标，只需求抛物线解析式即可，将点A代入即可得解；
(2)确定平移后的抛物线解析式，可根据抛物线平移规律直接得解；
(3)①由点C是两抛物线交点，可联立解方程来确定a与n的关系；
②由∠ACD＝90°，可过点C作y轴的垂线，构造三垂直模型利用相似来解．
【自主解答】
1．已知平面直角坐标系中两定点A(－1，0)、B(4，0)，抛物线y＝ax2＋bx－2(a≠0)过点A，B，顶点为C，点P(m，n)(n＜0)为抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标；
(2)当∠APB为钝角时，求m的取值范围；
(3)若m＞32，当∠APB为直角时，将该抛物线向左或向右平移t(0＜t＜52)个单位长度，点C、P平移后对应的点分别记为C′、P′，是否存在t，使得首尾依次连接A、B、P′、C′所构成的多边形的周长最短？若存在，求t的值，并说明抛物线平移的方向；若不存在，请说明理由．
2．(2019·陕西)在平面直角坐标系中，已知抛物线L：y＝ax2＋(c－a)x＋c经过点A(－3，0)和点B(0，－6)，L关于原点O对称的抛物线为L′.
(1)求抛物线L的表达式；
(2)点P在抛物线L′上，且位于第一象限，过点P作PD⊥y轴，垂足为D，若△POD与△AOB相似，求符合条件的点P的坐标．
2020-2021中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案
2020-2021中考数学与二次函数有关的压轴题含详细答案
一、二次函数
1．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD的三个顶点B（1, 0）、C（3, 0）、D（3,
4）．以A为顶点的抛物线y＝ax2＋bx＋c过点C．动点P从点A出发，以每秒12个单位的速度沿线段AD向点D运动，运动时间为t秒．过点P作PE⊥x轴交抛物线于点M，交AC于点N．
（1）直接写出点A的坐标，并求出抛物线的解析式；
（2）当t为何值时，△ACM的面积最大？最大值为多少？
（3）点Q从点C出发，以每秒1个单位的速度沿线段CD向点D运动，当t为何值时，在线段PE上存在点H，使以C、Q、N、H为顶点的四边形为菱形？
【答案】（1）A（1，4）；y＝－x2＋2x＋3；（2）当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；（3）2085或2013．
【解析】
（1）由矩形的性质得到点A的坐标，由抛物线的顶点为A，设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，把点C的坐标代入即可求得a的值；
（2）由点P的坐标以及抛物线解析式得到点M的坐标，由A、C的坐标得到直线AC的解析式，进而得到点N的坐标，即可用关于t的式子表示MN，然后根据△ACM的面积是△AMN和△CMN的面积和列出用t表示的△ACM的面积，利用二次函数的性质即可得到当t＝２时，△AＭC面积的最大值为1；
（3）①当点Ｈ在Ｎ点上方时，由PＮ＝CQ，PN∥CQ，得到四边形PNCQ为平行四边形，所以当PQ＝CQ时，四边形FECQ为菱形，据此得到，解得t值；②当点Ｈ在Ｎ点下方时，NH=CQ=，NQ＝CQ时，四边形NHCQ为菱形，NQ2＝CQ2，得：，解得t值．
解：（1）由矩形的性质可得点A（1，4），
∵抛物线的顶点为A， 设抛物线的解析式为y＝a（x－1）2＋4，
代入点C（3, 0），可得a＝－1．
∴y＝－（x－1）2＋4＝－x2＋2x＋3．
（2）∵P（112t，４），
中考数学(二次函数提高练习题)压轴题训练及答案(1)
一、二次函数 真题与模拟题分类汇编（难题易错题）
1．如图，抛物线y＝12x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且A（﹣1，0）．
（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）判断△ABC的形状，证明你的结论；
（3）点M是抛物线对称轴上的一个动点，当MC+MA的值最小时，求点M的坐标．
【答案】（1）抛物线的解析式为y＝213x-22x﹣2，顶点D的坐标为 （32，﹣258）；（2）△ABC是直角三角形，证明见解析；（3）点M的坐标为（32，﹣54）．
【解析】
【分析】
（1）因为点A在抛物线上，所以将点A代入函数解析式即可求得答案；
（2）由函数解析式可以求得其与x轴、y轴的交点坐标，即可求得AB、BC、AC的长，由勾股定理的逆定理可得三角形的形状；
（3）根据抛物线的性质可得点A与点B关于对称轴x32对称，求出点B，C的坐标，根据轴对称性，可得MA＝MB，两点之间线段最短可知，MC+MB的值最小．则BC与直线x32交点即为M点，利用得到系数法求出直线BC的解析式，即可得到点M的坐标．
【详解】
（1）∵点A（﹣1，0）在抛物线y212xbx﹣2上，∴2112（）b×（﹣1）﹣2＝0，解得：b32，∴抛物线的解析式为y21322xx﹣2．
y21322xx﹣212（x2﹣3x﹣4 ）21325228x（），∴顶点D的坐标为
（32528，）．
（2）当x＝0时y＝﹣2，∴C（0，﹣2），OC＝2．
当y＝0时，21322xx﹣2＝0，∴x1＝﹣1，x2＝4，∴B （4，0），∴OA＝1，OB＝4，AB＝5．
∵AB2＝25，AC2＝OA2+OC2＝5，BC2＝OC2+OB2＝20，∴AC2+BC2＝AB2．∴△ABC是直角三角形．
（3）∵顶点D的坐标为 （32528，），∴抛物线的对称轴为x32．
∵抛物线y12x2+bx﹣2与x轴交于A，B两点，∴点A与点B关于对称轴x32对称．
二次函数与一元二次方程压轴题(含答案)
2020中考数学 二次函数与一元二次方程压轴题（含答案）
【例1】（1）抛物线cbxaxy2与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，若ABC是直角三角形，则ac= .
（2）为使方程bxx311322 有四个不同的实数根，则实数b的取值范围为 .
【例2】设一元二次方程0622kkxx的根分别满足下列条件：①两根均大于1；②一根大于1，另一根小于1；③两根均大于1且小于4．试求实数k的取值范围．
【例3】如果抛物线1122mxmxy与x轴交于A，B两点，且A点在x轴的正半轴上，B点在x轴的负半轴上，OA的长是a，OB的长是b，
（1）求m的取值范围；
（2）若1:3:ba，求m的值，并写出此时抛物线的解析式；
（3）设（2）的抛物线与y轴交于点C，抛物线的顶点是M，问：抛物线是否存在一点P，使得PAB面积等于BCM的面积的8倍？若存在，求出P点坐标，若不存在，请说明理由．
【例4】 设p是实数，二次函数ppxxy22的图像与x轴有2个不同的交点A0,1x，B0,2x．
（1）求证：032221pxpx；
（2）若A，B两点之间距离不超过32p，求p的最大值．
【例5】是否存在这样的实数k，使得二次方程023122kxkx有两个实数根，且两根都在2与4之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试述理由．
【例6】设m，n为正整数，且2m.如果对一切实数t，二次函数mtxmtxy332的图象与x轴的两个交点间的距离不小于nt2，求m，n的值．
能力训练
A级
1．已知二次函数2242mmxxy的图象与x轴有两个交点A，B，顶点为C，若△ABC的面积为24，则m= .
2．把抛物线213xy向上平移k个单位，所得抛物线与x轴相交于点A(1x，0)和B(2x，0)，已知9262221xx，那么平移后的抛物线的解析式为 .
2020-2021九年级备战中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习附答案解析
2020-2021九年级备战中考数学二次函数解答题压轴题提高专题练习附答案解析
一、二次函数
1．已知二次函数223yaxax的最大值为4，且该抛物线与y轴的交点为C，顶点为D.
（1）求该二次函数的解析式及点C，D的坐标；
（2）点(,0)Pt是x轴上的动点，
①求PCPD的最大值及对应的点P的坐标；
②设(0,2)Qt是y轴上的动点，若线段PQ与函数2||23yaxax的图像只有一个公共点，求t的取值范围.
【答案】（1）2yx2x3，C点坐标为(0,3)，顶点D的坐标为(1,4)；（2）①最大值是2，P的坐标为(3,0)，②t的取值范围为3t或332t或72t.
【解析】
【分析】
（1）先利用对称轴公式x=2a12a，计算对称轴，即顶点坐标为（1，4），再将两点代入列二元一次方程组求出解析式；
（2）根据三角形的三边关系：可知P、C、D三点共线时|PC-PD|取得最大值，求出直线CD与x轴的交点坐标，就是此时点P的坐标；
（3）先把函数中的绝对值化去，可知22x23,0,yx23,0.xxxx，此函数是两个二次函数的一部分，分三种情况进行计算：①当线段PQ过点（0，3），即点Q与点C重合时，两图象有一个公共点，当线段PQ过点（3，0），即点P与点（3，0）重合时，两函数有两个公共点，写出t的取值；②线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x≥0）时有一个公共点时，求t的值；③当线段PQ过点（-3，0），即点P与点（-3，0）重合时，线段PQ与当函数y=a|x|2-2a|x|+c（x＜0）时也有一个公共点，则当t≤-3时，都满足条件；综合以上结论，得出t的取值．
【详解】
解：（1）∵2ax12a，
∴2yaxax3的对称轴为x1.
∵2yaxax3人最大值为4，
∴抛物线过点1,4.
得a2a34，
2020-2021中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练含详细答案
2020-2021中考数学(一元二次方程组提高练习题)压轴题训练含详细答案
一、一元二次方程
1．在等腰三角形△ABC中，三边分别为a、b、c，其中ɑ＝4，若b、c是关于x的方程x2﹣（2k+1）x+4（k﹣12）＝0的两个实数根，求△ABC的周长．
【答案】△ABC的周长为10．
【解析】
【分析】
分a为腰长及底边长两种情况考虑：当a=4为腰长时，将x=4代入原方程可求出k值，将k值代入原方程可求出底边长，再利用三角形的周长公式可求出△ABC的周长；当a=4为底边长时，由根的判别式△=0可求出k值，将其代入原方程利用根与系数的关系可求出b+c的值，由b+c=a可得出此种情况不存在．综上即可得出结论．
【详解】
当a＝4为腰长时，将x＝4代入原方程，得：214421402kk
解得：52k
当52k时，原方程为x2﹣6x+8＝0，
解得：x1＝2，x2＝4，
∴此时△ABC的周长为4+4+2＝10；
当a＝4为底长时，△＝[﹣（2k+1）]2﹣4×1×4（k﹣12）＝（2k﹣3）2＝0，
解得：k＝32，
∴b+c＝2k+1＝4．
∵b+c＝4＝a，
∴此时，边长为a，b，c的三条线段不能围成三角形．
∴△ABC的周长为10．
【点睛】
本题考查了根的判别式、根与系数的关系、一元二次方程的解、等腰三角形的性质以及三角形的三边关系，分a为腰长及底边长两种情况考虑是解题的关键．
2．已知关于x的一元二次方程（x﹣3）（x﹣4）﹣m2=0．
（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；
（2）若方程的一个根是2，求m的值及方程的另一个根．
【答案】（1）证明见解析；（2）m的值为±2，方程的另一个根是5．
【解析】 【分析】
（1）先把方程化为一般式，利用根的判别式△=b2-4ac证明判断即可；
（2）根据方程的根，利用代入法即可求解m的值，然后还原方程求出另一个解即可.