2020-2021中考数学(直角三角形的边角关系提高练习题)压轴题训练附答案
2020-2021中考数学(直角三角形的边角关系提高练习题)压轴题训练附答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，某无人机于空中A处探测到目标BD、的俯角分别是30、60,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达'A处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机'A上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）235.
【解析】
【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，于是得到'60AEAC，
'30CEAA3，在Rt△ABC中，求得DC=33AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
AB=sin30AC=6012=120（m）
（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，
则'60AEAC， '30CEAA3，
在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，
DC=33AC=203
DE=503
tan∠A'AD= tan∠'ADC='AEDE=60503=235
答：从无人机'A上看目标D的俯角的正切值是235．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
2．在矩形ABCD中，AD＞AB，点P是CD边上的任意一点（不含C，D两端点），过点P作PF∥BC，交对角线BD于点F．
（1）如图1，将△PDF沿对角线BD翻折得到△QDF，QF交AD于点E．求证：△DEF是等腰三角形；
（2）如图2，将△PDF绕点D逆时针方向旋转得到△P'DF'，连接P'C，F'B．设旋转角为α（0°＜α＜180°）．
①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时，求证：△DP'C∽△DF'B．
②如图3，若点P是CD的中点，△DF'B能否为直角三角形？如果能，试求出此时tan∠DBF'的值，如果不能，请说明理由．
【答案】（1）证明见解析；（2）①证明见解析；②12或33 .
【解析】
【分析】（1）根据翻折的性质以及平行线的性质可知∠DFQ=∠ADF，所以△DEF是等腰三角形；
（2）①由于PF∥BC，所以△DPF∽△DCB，从而易证△DP′F′∽△DCB；
②由于△DF'B是直角三角形，但不知道哪个的角是直角，故需要对该三角形的内角进行分类讨论．
【详解】（1）由翻折可知：∠DFP=∠DFQ，
∵PF∥BC，
∴∠DFP=∠ADF，
∴∠DFQ=∠ADF，
∴△DEF是等腰三角形；
（2）①若0°＜α＜∠BDC，即DF'在∠BDC的内部时， ∵∠P′DF′=∠PDF，
∴∠P′DF′﹣∠F′DC=∠PDF﹣∠F′DC，
∴∠P′DC=∠F′DB，
由旋转的性质可知：△DP′F′≌△DPF，
∵PF∥BC，
∴△DPF∽△DCB，
∴△DP′F′∽△DCB
∴''DCDPDBDF
，
∴△DP'C∽△DF'B；
②当∠F′DB=90°时，如图所示，
∵DF′=DF=12BD，
∴'12DFBD，
∴tan∠DBF′='12DFBD；
当∠DBF′=90°，此时DF′是斜边，即DF′＞DB，不符合题意；
当∠DF′B=90°时，如图所示，
∵DF′=DF=12BD，
∴∠DBF′=30°，
∴tan∠DBF′=33.
【点睛】本题考查了相似三角形的综合问题，涉及旋转的性质，锐角三角函数的定义，相似三角形的性质以及判定等知识，综合性较强，有一定的难度，熟练掌握相关的性质与定理、运用分类思想进行讨论是解题的关键.
3．在Rt△ACB和△AEF中，∠ACB＝∠AEF＝90°，若点P是BF的中点，连接PC，PE.
特殊发现：
如图1，若点E、F分别落在边AB，AC上，则结论：PC＝PE成立（不要求证明）．
问题探究：
把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转．
(1)如图2，若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(2)如图3，若点F落在边AB上，则上述结论是否仍然成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由；
(3)记ACBC＝k，当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）
【答案】1 PCPE成立 2 ，PCPE成立 3当k为33时，CPEV总是等边三角形
【解析】
【分析】
（1）过点P作PM⊥CE于点M，由EF⊥AE，BC⊥AC，得到EF∥MP∥CB，从而有EMFPMCPB，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC，据此得到PC=PE．
（2）过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，先证△DAF≌△EAF，即可得出AD=AE；再证△DAP≌△EAP，即可得出PD=PE；最后根据FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，可得FD∥BC∥PM，再根据点P是BF的中点，推得PC=PD，再根据PD=PE，即可得到结论．
（3）因为△CPE总是等边三角形，可得∠CEP=60°，∠CAB=60°；由∠ACB=90°，求出∠CBA=30°；最后根据ACkBC，ACBC=tan30°，求出当△CPE总是等边三角形时，k的值是多少即可．
【详解】
解：（1）PC=PE成立，理由如下：
如图2，过点P作PM⊥CE于点M，∵EF⊥AE，BC⊥AC，∴EF∥MP∥CB，∴EMFPMCPB，∵点P是BF的中点，∴EM=MC，又∵PM⊥CE，∴PC=PE；
（2）PC=PE成立，理由如下：
如图3，过点F作FD⊥AC于点D，过点P作PM⊥AC于点M，连接PD，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA=90°，在△DAF和△EAF中
，∵∠DAF=∠EAF，∠FDA=∠FEA，AF=AF，
∴△DAF≌△EAF（AAS），
∴AD=AE，在△DAP和△EAP中，
∵AD=AE，∠DAP=∠EAP，AP=AP，
∴△DAP≌△EAP（SAS），
∴PD=PE，
∵FD⊥AC，BC⊥AC，PM⊥AC，
∴FD∥BC∥PM，
∴DMFPMCPB，
∵点P是BF的中点，
∴DM=MC，又∵PM⊥AC，
∴PC=PD，又∵PD=PE，
∴PC=PE；
（3）如图4，∵△CPE总是等边三角形，
∴∠CEP=60°，
∴∠CAB=60°，
∵∠ACB=90°，
∴∠CBA=90°﹣∠ACB=90°﹣60°=30°， ∵ACkBC，ACBC=tan30°，
∴k=tan30°=33，
∴当k为33时，△CPE总是等边三角形．
【点睛】
考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．
4．如图，某公园内有一座古塔AB，在塔的北面有一栋建筑物，某日上午9时太阳光线与水平面的夹角为32°，此时塔在建筑物的墙上留下了高3米的影子CD．中午12时太阳光线与地面的夹角为45°，此时塔尖A在地面上的影子E与墙角C的距离为15米（B、E、C在一条直线上），求塔AB的高度．（结果精确到0.01米）
参考数据：sin32°≈0.5299，cos32°≈0.8480，tan32°≈0.6249，21.4142．
【答案】塔高AB约为32.99米.
【解析】
【分析】
过点D作DH⊥AB，垂足为点H，设AB＝x，则 AH＝x﹣3，解直角三角形即可得到结论．
【详解】
解：过点D作DH⊥AB，垂足为点H．
由题意，得 HB = CD = 3，EC = 15，HD = BC，∠ABC =∠AHD = 90°，
∠ADH = 32°．
设AB = x，则 AH = x – 3．
在Rt△ABE中，由 ∠AEB = 45°，得 tantan451ABAEBEB．
∴ EB = AB = x．∴ HD = BC = BE + EC = x + 15．
在Rt△AHD中，由 ∠AHD = 90°，得 tanAHADHHD．
即得 3tan3215xx．
解得 15tan32332.991tan32x．
∴ 塔高AB约为32.99米．
【点睛】
本题考查的是解直角三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键．
5．如图，AB是圆O的直径，O为圆心，AD、BD是半圆的弦，且∠PDA=∠PBD．延长PD交圆的切线BE于点E
(1)判断直线PD是否为⊙O的切线，并说明理由；
(2)如果∠BED=60°，PD=3，求PA的长；
(3)将线段PD以直线AD为对称轴作对称线段DF，点F正好在圆O上，如图2，求证：四边形DFBE为菱形．
【答案】（1）证明见解析；（2）1；（3）证明见解析.
【解析】 【分析】
（1）连接OD，由AB是圆O的直径可得∠ADB=90°，进而求得∠ADO+∠PDA=90°，即可得出直线PD为⊙O的切线；
（2）根据BE是⊙O的切线，则∠EBA=90°，即可求得∠P=30°，再由PD为⊙O的切线，得∠PDO=90°，根据三角函数的定义求得OD，由勾股定理得OP，即可得出PA；
（3）根据题意可证得∠ADF=∠PDA=∠PBD=∠ABF，由AB是圆O的直径，得∠ADB=90°，设∠PBD=x°，则可表示出∠DAF=∠PAD=90°+x°，∠DBF=2x°，由圆内接四边形的性质得出x的值，可得出△BDE是等边三角形．进而证出四边形DFBE为菱形．
【详解】
（1）直线PD为⊙O的切线，
理由如下：
如图1，连接OD，
∵AB是圆O的直径，
∴∠ADB=90°，
∴∠ADO+∠BDO=90°，
又∵DO=BO，
∴∠BDO=∠PBD，
∵∠PDA=∠PBD，
∴∠BDO=∠PDA，
∴∠ADO+∠PDA=90°，即PD⊥OD，
∵点D在⊙O上，
∴直线PD为⊙O的切线；
（2）∵BE是⊙O的切线，
∴∠EBA=90°，
∵∠BED=60°，
∴∠P=30°，
∵PD为⊙O的切线，
∴∠PDO=90°，
在Rt△PDO中，∠P=30°，PD=3，
∴0tan30ODPD，解得OD=1，
∴22POPDOD=2，
∴PA=PO﹣AO=2﹣1=1；
2020-2021中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类含答案
2020-2021中考数学专题训练---直角三角形的边角关系的综合题分类含答案
一、直角三角形的边角关系
1．已知在平面直角坐标系中，点3,0,3,0,3,8ABC，以线段BC为直径作圆，圆心为E，直线AC交Ee于点D，连接OD.
（1）求证：直线OD是Ee的切线；
（2）点F为x轴上任意一动点，连接CF交Ee于点G，连接BG：
①当1an7tACF时，求所有F点的坐标 （直接写出）；
②求BGCF的最大值.
【答案】（1）见解析；（2）①143,031F，2(5,0)F；② BGCF的最大值为12.
【解析】
【分析】
（1）连接DE，证明∠EDO=90°即可；
（2）①分“F位于AB上”和“F位于BA的延长线上”结合相似三角形进行求解即可；
②作GMBC于点M，证明1~ANFABC，得12BGCF，从而得解.
【详解】
（1）证明：连接DE，则：
∵BC为直径
∴90BDC
∴90BDA
∵OAOB
∴ODOBOA
∴OBDODB
∵EBED
∴EBDEDB ∴EBDOBDEDBODB
即：EBOEDO
∵CBx轴
∴90EBO
∴90EDO
∴直线OD为Ee的切线.
（2）①如图1，当F位于AB上时：
∵1~ANFABC
∴11NFAFANABBCAC
∴设3ANx，则114,5NFxAFx
∴103CNCAANx
∴141tan1037FNxACFCNx，解得：1031x
∴150531AFx
1504333131OF
即143,031F
如图2，当F位于BA的延长线上时：
∵2~AMFABC
∴设3AMx，则224,5MFxAFx
∴103CMCAAMx
∴241tan1037FMxACFCMx
2020-2021中考数学一模试题分类汇编——直角三角形的边角关系综合及详细答案
2020-2021中考数学一模试题分类汇编——直角三角形的边角关系综合及详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，某无人机于空中A处探测到目标BD、的俯角分别是30、60,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达'A处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机'A上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）235.
【解析】
【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，于是得到'60AEAC，
'30CEAA3，在Rt△ABC中，求得DC=33AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
AB=sin30AC=6012=120（m）
（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，
则'60AEAC， '30CEAA3，
在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，
DC=33AC=203
DE=503
tan∠A'AD= tan∠'ADC='AEDE=60503=235
答：从无人机'A上看目标D的俯角的正切值是235．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
2．如图，在△ABC中，AB=7.5，AC=9，S△ABC=814．动点P从A点出发，沿AB方向以每秒5个单位长度的速度向B点匀速运动，动点Q从C点同时出发，以相同的速度沿CA方向向A点匀速运动，当点P运动到B点时，P、Q两点同时停止运动，以PQ为边作正△PQM（P、Q、M按逆时针排序），以QC为边在AC上方作正△QCN，设点P运动时间为t秒．
（1）求cosA的值；
（2）当△PQM与△QCN的面积满足S△PQM=95S△QCN时，求t的值；
2020-2021中考数学直角三角形的边角关系综合试题附详细答案
2020-2021中考数学 直角三角形的边角关系综合试题附详细答案
一、直角三角形的边角关系
1 .图1是一种折叠式晾衣架.晾衣时，该晾衣架左右晾衣臂张开后示意图如图 2所示，两
支脚OC= OD=10分米，展开角 Z COD= 60°,晾衣臂 OA= OB= 10分米，晾衣臂支架 HG = FE= 6分米，且 HO=FO= 4分米.当/ AOC= 90°时，点 A离地面的距离 AM为 分米；当OB从水平状态旋转到
OB （在CO延长线上）时，点 E绕点F随之旋转至OB上 的点E处，则B' E2 BE为 分米.
【答案】5 5,3 4
【解析】
【分析】
如图，作 OP，CD于P, OQ± AM于Q, FK，OB于K, FJL OC于J,解直角三角形求出 MQ, AQ即可求出AM,再分别求出 BE, B'即可.
【详解】
解：如图，作 OPXCDT P, OQ±AM 于 Q, FK±OB于 K, FJLOC于 J.
• . AM XCD,
/ QMP= / MPO= ZOQM = 90 °,
••・四边形OQMP是矩形，
.•.QM = OP,
• . OC= OD= 10, /COD= 60 °,
・•.△COD是等边三角形，
• .OPXCD,
___ 1 _____
/ COP= - / COD= 30 ,
.•.QM = OP=OC?COS30 = 5 73 （分米）,
• •• / AOC= / QOP= 90 °,
/ AOQ= ZCOP= 30 ;
- 1 一
1 .AQ= -OA= 5 （分米），
2
2 .AM=AQ+MQ = 5+5 石. * 月 3 . OB// CD,
/ BOD= / ODC= 60 °
在 Rt^OFK中，KO= OF?cos60=2 （分米），FK= OF?sin60 = 2百（分米）,
在 R「pKE 中，EK= JEF2~FK2 =2 娓（分米），
中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题附详细答案
中考数学直角三角形的边角关系-经典压轴题附详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，以AB的中点O为圆心，OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE．
（1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）求证：BC2＝2CD•OE；
（3）若314cos,53BADBE，求OE的长．
【答案】（1）DE为⊙O的切线，理由见解析；（2）证明见解析；（3）OE =356．
【解析】
试题分析：（1）连接OD，BD，由直径所对的圆周角是直角得到∠ADB为直角，可得出△BCD为直角三角形，E为斜边BC的中点，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得到CE=DE，从而得∠C=∠CDE，再由OA=OD，得∠A=∠ADO，由Rt△ABC中两锐角互余，从而可得∠ADO与∠CDE互余，可得出∠ODE为直角，即DE垂直于半径OD，可得出DE为⊙O的切线；
（2）由已知可得OE是△ABC的中位线，从而有AC=2OE，再由∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，可得△ABC∽△BDC，根据相似三角形的对应边的比相等，即可证得；
（3）在直角△ABC中，利用勾股定理求得AC的长，根据三角形中位线定理OE的长即可求得．
试题解析：（1）DE为⊙O的切线，理由如下：
连接OD，BD，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠ADB=90°，
在Rt△BDC中，E为斜边BC的中点，
∴CE=DE=BE=BC， ∴∠C=∠CDE，
∵OA=OD，
∴∠A=∠ADO，
∵∠ABC=90°，
∴∠C+∠A=90°，
∴∠ADO+∠CDE=90°，
∴∠ODE=90°，
∴DE⊥OD，又OD为圆的半径，
∴DE为⊙O的切线；
（2）∵E是BC的中点，O点是AB的中点，
∴OE是△ABC的中位线，
∴AC=2OE，
∵∠C=∠C，∠ABC=∠BDC，
∴△ABC∽△BDC，
∴，即BC2=AC•CD．
2020-2021全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考模拟和真题分类汇总含详细答案
2020-2021全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考模拟和真题分类汇总含详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图（1），在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．Rt△CDE中，∠CDE=90°，CD=4，DE=4，直角边CD在y轴上，且点C与点A重合．Rt△CDE沿y轴正方向平行移动，当点C运动到点O时停止运动．解答下列问题：
（1）如图（2），当Rt△CDE运动到点D与点O重合时，设CE交AB于点M，求∠BME的度数．
（2）如图（3），在Rt△CDE的运动过程中，当CE经过点B时，求BC的长．
（3）在Rt△CDE的运动过程中，设AC=h，△OAB与△CDE的重叠部分的面积为S，请写出S与h之间的函数关系式，并求出面积S的最大值．
【答案】（1）∠BME=15°；
（2BC=4；
（3）h≤2时，S=﹣h2+4h+8，
当h≥2时，S=18﹣3h．
【解析】
试题分析：（1）如图2，由对顶角的定义知，∠BME=∠CMA，要求∠BME的度数，需先求出∠CMA的度数．根据三角形外角的定理进行解答即可；
（2）如图3，由已知可知∠OBC=∠DEC=30°，又OB=6，通过解直角△BOC就可求出BC的长度；
（3）需要分类讨论：①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，S=S△EDC﹣S△EFM；②当h≥2时，如图3，S=S△OBC．
试题解析：解：（1）如图2，
∵在平面直角坐标系中，点A（0，﹣6），点B（6，0）．
∴OA=OB，
∴∠OAB=45°， ∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OCE=60°，
∴∠CMA=∠OCE﹣∠OAB=60°﹣45°=15°，
∴∠BME=∠CMA=15°；
如图3，
∵∠CDE=90°，CD=4，DE=4，
∴∠OBC=∠DEC=30°，
∵OB=6，
∴BC=4；
（3）①h≤2时，如图4，作MN⊥y轴交y轴于点N，作MF⊥DE交DE于点F，
2020-2021中考数学一模试题分类汇编——直角三角形的边角关系综合含答案
2020-2021中考数学一模试题分类汇编——直角三角形的边角关系综合含答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，山坡上有一棵树AB，树底部B点到山脚C点的距离BC为63米，山坡的坡角为30°．小宁在山脚的平地F处测量这棵树的高，点C到测角仪EF的水平距离CF=1米，从E处测得树顶部A的仰角为45°，树底部B的仰角为20°，求树AB的高度．（参考数值：sin20°≈0.34，cos20°≈0.94，tan20°≈0.36）
【答案】6.4米
【解析】
解：∵底部B点到山脚C点的距离BC为6 3 米，山坡的坡角为30°．
∴DC=BC•cos30°=36392米，
∵CF=1米，
∴DC=9+1=10米，
∴GE=10米，
∵∠AEG=45°，
∴AG=EG=10米，
在直角三角形BGF中，
BG=GF•tan20°=10×0.36=3.6米，
∴AB=AG-BG=10-3.6=6.4米，
答：树高约为6.4米
首先在直角三角形BDC中求得DC的长，然后求得DF的长，进而求得GF的长，然后在直角三角形BGF中即可求得BG的长，从而求得树高
2．在等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，∠EMF=135°．将∠EMF绕点M旋转，使∠EMF的两边交直线AB于点E，交直线AC于点F，请解答下列问题：
（1）当∠EMF绕点M旋转到如图①的位置时，求证：BE+CF=BM；
（2）当∠EMF绕点M旋转到如图②，图③的位置时，请分别写出线段BE，CF，BM之间的数量关系，不需要证明；
（3）在（1）和（2）的条件下，tan∠BEM=，AN=+1，则BM= ，CF= ．
【答案】（1）证明见解析（2）见解析（3）1，1+或1﹣
【解析】
【分析】
(1)由等腰△ABC中，∠B=90°，AM是△ABC的角平分线，过点M作MN⊥AC于点N，可得BM=MN，∠BMN=135°，又∠EMF=135°，可证明的△BME≌△NMF，可得BE=NF，NC=NM=BM进而得出结论；
2020-2021全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考模拟和真题分类汇总及答案
2020-2021全国中考数学直角三角形的边角关系的综合中考模拟和真题分类汇总及答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，某无人机于空中A处探测到目标BD、的俯角分别是30、60,此时无人机的飞行高度AC为60m，随后无人机从A处继续水平飞行303m到达'A处.
（1）求之间的距离
（2）求从无人机'A上看目标的俯角的正切值.
【答案】（1）120米；（2）235.
【解析】
【分析】
（1）解直角三角形即可得到结论；
（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，于是得到'60AEAC，
'30CEAA3，在Rt△ABC中，求得DC=33AC=203，然后根据三角函数的定义即可得到结论．
【详解】
解：（1）由题意得：∠ABD=30°，∠ADC=60°，
在Rt△ABC中，AC=60m，
AB=sin30AC=6012=120（m）
（2）过'A作'AEBC交BC的延长线于E，连接'AD，
则'60AEAC， '30CEAA3，
在Rt△ABC中， AC=60m，∠ADC=60°，
DC=33AC=203
DE=503
tan∠A'AD= tan∠'ADC='AEDE=60503=235
答：从无人机'A上看目标D的俯角的正切值是235．
【点睛】
本题考查了解直角三角形的应用，添加辅助线建立直角三角形是解题的关键.
2．如图，平台AB高为12m，在B处测得楼房CD顶部点D的仰角为45°，底部点C的俯角为30°，求楼房CD的高度（3＝1．7）．
【答案】32．4米．
【解析】
试题分析：首先分析图形，根据题意构造直角三角形．本题涉及多个直角三角形，应利用其公共边构造关系式求解．
试题解析：如图，过点B作BE⊥CD于点E，
根据题意，∠DBE=45°，∠CBE=30°．
∵AB⊥AC，CD⊥AC，
∴四边形ABEC为矩形，
∴CE=AB=12m，
在Rt△CBE中，cot∠CBE=BECE，
2020-2021九年级中考数学直角三角形的边角关系解答题压轴题提高专题练习附答案解析
2020-2021九年级中考数学直角三角形的边角关系解答题压轴题提高专题练习附答案解析
一、直角三角形的边角关系
1．如图，在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，直线4ykx交x轴、y轴分别于点A、点B，且ABO的面积为8.
（1）求k的值；
（2）如图，点P是第一象限直线AB上的一个动点，连接PO，将线段OP绕点O顺时针旋转90°至线段OC，设点P的横坐标为t，点C的横坐标为m，求m与t之间的函数关系式（不要求写出自变量t的取值范围）；
（3）在（2）的条件下，过点B作直线BMOP，交x轴于点M，垂足为点N，点K在线段MB的延长线上，连接PK，且0PKKBP，2PMBKPB，连接MC，求四边形BOCM的面积.
【答案】（1）1k；（2）4mt；（3）32BOCMSY.
【解析】
【分析】
（1）先求出A的坐标，然后利用待定系数法求出k的值；
(2) 过点P作PDx轴，垂足为D，过点C作CEx轴，垂足为E，证PODOCE可得OEPD，进一步得出m与t的函数关系式；
（3）过点O作直线OTAB，交直线BM于点Q，垂足为点T，连接QP，先证出QTBPTO；再证出KPBBPN；设KPBx，通过计算证出POPM；再过点P作PDx轴，垂足为点D，根据tantanOPDBMO得到ODBOPDMO，列式可求得t=4；所以OM=8进一步得出四边形BOCM是平行四边形，最后可得其面积为32.
【详解】 解：（1）把0x代入4ykx，4y，
∴4BO，
又∵4ABOS，
∴142AOBO，4AO，
∴(4,0)A，
把4x，0y代入4ykx，
得044k，
解得1k.
故答案为1；
（2）解：把xt代入4yx，4yt， ∴(,4)Ptt
如图，过点P作PDx轴，垂足为D，过点C作CEx轴，垂足为E，
2020-2021中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)含答案
2020-2021中考数学直角三角形的边角关系(大题培优 易错 难题)含答案
一、直角三角形的边角关系
1．如图，从地面上的点A看一山坡上的电线杆PQ，测得杆顶端点P的仰角是45°，向前走6m到达B点，测得杆顶端点P和杆底端点Q的仰角分别是60°和30°．
（1）求∠BPQ的度数；
（2）求该电线杆PQ的高度（结果精确到1m）．备用数据：，
【答案】（1）∠BPQ=30°；
（2）该电线杆PQ的高度约为9m．
【解析】
试题分析：（1）延长PQ交直线AB于点E，根据直角三角形两锐角互余求得即可；
（2）设PE=x米，在直角△APE和直角△BPE中，根据三角函数利用x表示出AE和BE，根据AB=AE-BE即可列出方程求得x的值，再在直角△BQE中利用三角函数求得QE的长，则PQ的长度即可求解．
试题解析：延长PQ交直线AB于点E，
（1）∠BPQ=90°-60°=30°；
（2）设PE=x米．
在直角△APE中，∠A=45°，
则AE=PE=x米；
∵∠PBE=60°
∴∠BPE=30°
在直角△BPE中，BE=33PE=33x米，
∵AB=AE-BE=6米，
则x-33x=6，
解得：x=9+33．
则BE=（33+3）米．
在直角△BEQ中，QE=33BE=33（33+3）=（3+3）米．
∴PQ=PE-QE=9+33-（3+3）=6+23≈9（米）．
答：电线杆PQ的高度约9米．
考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．
2．如图，等腰△ABC中，AB=AC，∠BAC=36°，BC=1，点D在边AC上且BD平分∠ABC，设CD=x．
（1）求证：△ABC∽△BCD；
（2）求x的值；
（3）求cos36°-cos72°的值．
【答案】(1)证明见解析；（2）152；（3）75816．
【解析】
试题分析：（1）由等腰三角形ABC中，顶角的度数求出两底角度数，再由BD为角平分线求出∠DBC的度数，得到∠DBC=∠A，再由∠C为公共角，利用两对角相等的三角形相似得到三角形ABC与三角形BCD相似；
2020-2021全国各地中考数学分类：直角三角形的边角关系综合题汇编及详细答案
2020-2021全国各地中考数学分类：直角三角形的边角关系综合题汇编及详细答案
一、直角三角形的边角关系
1．某地是国家AAAA级旅游景区，以“奇山奇水奇石景，古賨古洞古部落”享誉巴渠，被誉为 “小九寨”．端坐在观音崖旁的一块奇石似一只“啸天犬”，昂首向天，望穿古今．一个周末，某数学兴趣小组的几名同学想测出“啸天犬”上嘴尖与头顶的距离．他们把蹲着的“啸天犬”抽象成四边形ABCD，想法测出了尾部C看头顶B的仰角为40o，从前脚落地点D看上嘴尖A的仰角刚好60o，5CBm＝,2.7CDm＝．景区管理员告诉同学们，上嘴尖到地面的距离是3m．于是，他们很快就算出了AB的长．你也算算？（结果精确到0.1m．参考数据：400.64400.77400.84sincostan，，.21.41,31.73）
【答案】AB的长约为0.6m．
【解析】
【分析】
作BFCE于F，根据正弦的定义求出BF，利用余弦的定义求出CF，利用正切的定义求出DE，结合图形计算即可．
【详解】
解：作BFCE于F，
在RtBFC中，3.20BFBCsinBCF＝，
3.85CFBCcosBCF＝，
在RtADEE中，331.73tan3ABDEADE，
0.200.58BHBFHFAHEFCDDECF＝﹣＝，＝＝﹣＝
由勾股定理得，22BHAH0.6(m)AB，
答：AB的长约为0.6m．
【点睛】
考查的是解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，掌握仰角俯角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键．
2．小红将笔记本电脑水平放置在桌子上，显示屏OB与底板OA所在水平线的夹角为120°时，感觉最舒适（如图1），侧面示意图为图2；使用时为了散热，她在底板下面垫入散热架ACO＇后，电脑转到AO＇B＇位置（如图3），侧面示意图为图4．已知OA=OB=24cm，O＇C⊥OA于点C，O＇C=12cm．