随机变量的均值与方差、正态分布(专题复

教学过程

一、课堂导入

“离散型随机变量的分步列，均值和方差”在“排列与组合”知识的延伸，在本讲的学习中，同学们将通过具体实例理解随机变量及其分布列、均值和方差的概念，认识随机变量及其分布对于刻画随机现象的重要性．要求同学们会用随机变量表达简单的随机事件，会用分布列来计算这类事件的概率，计算简单离散型随机变量的均值、方差，并能解决一些实际问题．在高考中，这部分知识通常有一道解答题，占12─14分左右，主要考查学生的逻辑推理能力和运算能力，凸显数学的应用价值．

二、 复习预习

1．判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)

(1)随机变量的均值是常数，样本的平均值是随机变量，它不确定．

( )

(2)随机变量的方差和标准差都反映了随机变量取值偏离均值的平均程度，方差或标准差越小，则偏离变量平均程度越小．

( )

(3)正态分布中的参数μ和σ完全确定了正态分布，参数μ是正态分布的期望，σ是正态分布的标准差．

( ) (4)一个随机变量如果是众多的、互不相干的、不分主次的偶然因素作用结果之和，它就服从或近似服从正态分布．

( )

2．设随机变量ξ的分布列为P (ξ＝k )＝1

5(k ＝2,4,6,8,10)，则D (ξ)等于

( )

A ．5

B ．8

C ．10

D ．16

3．设随机变量ξ服从正态分布N (3,4)，若P (ξ<2a －3)＝P (ξ>a ＋2)，则a 等于 ( )

A ．3 B.5

3

C ．5

D.73

4．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，有放回地任取3件，若X 表示取到次品的件数，则D (X )＝________.

5．在篮球比赛中，罚球命中1次得1分，不中得0分．如果某运动员罚球命中的概率为0.7，那么他罚球1次的得分X 的均值是________．

附：1. √√√√ 2. B 3. D 4. 9

16

5. 0.7

三、知识讲解

考点1离散型随机变量的均值与方差

若离散型随机变量X的分布列为

X x1x2…x i…x n

P p1p2…p i…p n

(1)均值

称E(X)＝x1p1＋x2p2＋…＋x i p i＋…＋x n p n为随机变量X的均值或数学期望，它反映了离散型随机变量取值的平均水平．

(2)方差

(x i－E(X))2p i为随机变量X的方差，它刻画了随机变量X与其均值E(X)的平均偏离程度，其算术平方根称D(X)＝∑n

i＝1

D X为随机变量X的标准差．

考点2均值与方差的性质

(1)E(aX＋b)＝aE(X)＋b.

(2)D(aX＋b)＝a2D(X)．(a，b为常数)

考点3两点分布与二项分布的均值、方差

(1)若X服从两点分布，则E(X)＝__p__，D(X)＝p(1－p)．

(2)若X～B(n，p)，则E(X)＝__np__，D(X)＝np(1－p)．

考点4正态分布

(1)正态曲线：函数φμ，σ(x)＝1

2πσ

e2

2

ó

2

)

(u

x-

-，x∈(－∞，＋∞)，其中μ和σ为参数(σ>0，μ∈R)．我们称函数φμ

、σ(x)

的图象为正态分布密度曲线，简称正态曲线．

(2)正态曲线的性质：

①曲线位于x轴上方，与x轴不相交；

②曲线是单峰的，它关于直线x＝μ对称；

③曲线在x＝μ处达到峰值

1

σ2π

；

④曲线与x轴之间的面积为__1__；

⑤当σ一定时，曲线的位置由μ确定，曲线随着__μ__的变化而沿x轴平移，如图甲所示；

⑥当μ一定时，曲线的形状由σ确定，σ__越小__，曲线越“瘦高”，表示总体的分布越集中；σ__越大__，曲线越“矮胖”，表示总体的分布越分散，如图乙所示．

(3)正态分布的定义及表示

如果对于任何实数a，b (a

正态总体在三个特殊区间内取值的概率值

①P(μ－σ

②P(μ－2σ

③P(μ－3σ

四、例题精析

考点一离散型随机变量的均值、方差

例1(2013·浙江)设袋子中装有a个红球，b个黄球，c个蓝球，且规定：取出一个红球得1分，取出一个黄球得2分，取出一个蓝球得3分．

(1)当a＝3，b＝2，c＝1时，从该袋子中任取(有放回，且每球取到的机会均等)2个球，记随机变量ξ为取出此2球所得分数之和，求ξ的分布列；

(2)从该袋子中任取(每球取到的机会均等)1个球，记随机变量η为取出此球所得分数．若E(η)＝5

3

，D(η)＝

5

9

，求a∶b∶c.