大学物理各章练习题：第十四章 电磁场理论的基本概念

第十四章 电磁场理论的基本概念
14-1 平板电容器由半径为R 的两块圆形极板构成，用长直电流给其充电， 使极板间电场强度增加率为d E/d t ，L 为两极板间以r 为半径，圆心在电容器对称轴上，圆平面与极板平行的圆．以L 为边界，作曲面S 使圆平面与S 形成闭合曲面以包围电容器的一个极板，如图14-1所示，求通过曲面S 的全电流，(1) r <R 时；(2)r >R 时．
边界的曲面S 的全电流，当回路L 一定时，积分值是一定的，与所取曲面形状无关．因此以r 为半径的圆作为回路，通过圆平面的全电流应等于通过曲面S 的全电流．由于本题中通过S 的传导电流是未知的，可以计算通过圆平面的全电流获得所需结果．
解 (1) r <R 时，穿过以L 为边界圆平面的传导电流为零，圆面积为2r S π=，电位移通量为E r SD D 02επψ==，位移电流为
t
E r t I D d d d d 02D επψ== 所以穿过S 面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为
t
E r I I d d 02D επ=+ (2) r>R 时, 因为忽略边缘效应，平板电容器的电场局限在极板内，极板面积为2R S π=，穿过以L 为边界的圆平面的传导电流为零，电位移通量为E R SD D 02επψ==，位移电流为
t
E R t I D D d d d d 02επψ== 所以穿过S 面的全电流等于穿过圆平面的全电流，为
t
E R I I D d d 02επ=+ 14-2 平板电容器的圆形极板半径为R =0.04m ，放在真空中．今将电容器充电，使两极板间的电场变化率为2.5×1012V/(m .s)．求：(1)两极板间位移电流的
大小；(2)r =0.02m 处及r=0.06m 处的磁感强度．
分析 通常假定平板电容器极板间距很小，可以忽略边缘效应，认为电场局限在两极板间．
解 (1) 电容器的极板面积为2R S π=，穿
过以L 为边界的圆平面的电位移通量为E R SD D 02επψ==，位移电流为 t E R t I D D d d d d 02επψ== A
111.0A 105.21085.804.014.312122=⨯⨯⨯⨯⨯=-- (2)在两极板间取半径为r 的磁场线为安培回路L ，当r =0.02m<R 时，电位移通量为E r SD D 02επψ==，位移电流为
t
E r t I D d d d d 02D επψ== 由于磁场的对称性，H 的方向在圆周回路L 的切线方向，大小处处相等，根据全电流定理，得
D I I r H +=⋅=⋅⎰π2d L l H
则
T 1078.2d d 2270000-⨯====t
E r I r H B D μεπμμ 当r =0.06m>R 时，因为电场局限在两极板间，求电位移通量时，只应计入极板的面积2R π，E R SD D 02επψ==，位移电流为
t
E R t I D D d d d d 02επψ== 得
T 1071.3d d 22720000-⨯====t
E r R I r H B D μεπμμ 14-3 给极板面积S =3cm 2的平板电容器充电，分别就下面两种情形求极板间的电场变化率d E/d t ：(1) 充电电流I =0.01A ；(2)充电电流I =0.5A ．
分析 极板内的位移电流与极板外的传导电流在大小和方向上相同，给出传导电流的大小相当于给出位移电流的大小，再根据位移电流的定义便可求出d E/d t ．
解 极板间位移电流为 I t
E S DS t t I D D ====d d d d d d 0εψ (1) 当充电电流I =0.01A 时，得
s)V /(m 1077.3d d 120⋅⨯==S
I t E ε (2)当充电电流I =0.5A 时，得
s)V /(m 1088.1d d 140⋅⨯==S
I t E ε 14-4 平板电容器的正方形极板边长为0.3m ，当放电电流为1.0A 时，忽略边缘效应，求(1)两极板上电荷面密度随时间的变化率；(2)通过极板中如图14-4所示的正方形回路abcd 间的位移电流的大小；(3)环绕此正方形回路的⎰⋅L d l B 的大小．
分析 若极板上电荷面密度σ，则对于平板电容
器有D=σ．
解 (1) 极板上电荷S q σ=，根据传导电流的定义，有t S t q I d d d d σ==，得 s)C/(m 1.11s)C/(m 3.00.1d d 2222⋅=⋅===d I S I t σ （2）正方形回路abcd 间的位移电流为
A 0.111A 1.111.0d d d d d d 2D =⨯====t
S DS t t I abcda abcda D σψ （3）正方形回路abcd 的磁感强度环流为
==⋅⎰D abcda
I 0d μl B 1.39×10-7 Wb/m 14-5 证明对任意形状电容器, 当电容量C 不变化时, 位移电流为t
V C I D d d =, 其中C 为电容器电容, V 为两极板电势差． 证 对任意形状的电容器, t 时刻极板带电量 q =CV ，当C 不变时
==t
V C t q d d d d I t
V C I I D d d == 14-6 极板面积为S 的一平板电容器与一电动势为E 的电源相连接, 若电容器两极板间的距离d 随时间变化, 且两极板相互离开的速度的大小为v . 在不考虑电源内阻及线路内阻的情况下, 忽略边缘效应, 求两极板间的位移电流.
分析 两极板以速度v 相互离开时, 电容器始终与电源相连, 不考虑电源内
阻, 也不考虑线路内阻, 两极板的电势差正好为电源电动势．于是可以计算出极板间场强和电位移矢量．
解 板间电位移矢量大小为
D =d
E E
00εε=
20
0)(d d d d d
d t S S t D I D E E εε===v S 14-7 如图14-7所示，匀速直线运动的点电荷+q ，以速度v 向O 点运动，在O 点处画一半径为R 的圆，圆面与v 垂直(v<<c )，试计算通过此圆面的位移电流．
应用全电流定理计算圆边缘某一点的磁感强度．设运动电荷与该点的距离为r , 把计算结果与运动电荷的磁感强度计算式3
04r q r B ⨯=v πμ作比较. 分析 由运动电荷的磁感强度表示式可以看出，该磁场具有轴对称性，即以电荷运动方向为轴线，与轴线距离相等并与电荷距离相等处磁感强度大小相等、方向在垂直于轴线并以轴线为中心的圆的切线方向．
解 半径为R 的圆中心到电荷的距离为x ，其边缘到电荷的距离
22x R r +=，
如图14-7所示，当 v<<c 时, 运动点电荷周围电场具有球对称性，以电荷为中心、r 为半径的球的电位移通量为q ，通过给定圆的电位移通量等于以r 为半径以该圆为边界的球冠的通量．球冠面积为)(2x r r -π，则通过给定圆
的电位移通量为
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=⎪⎭⎫ ⎝⎛-=-=21222)(114)(2x R x q r x q r x r r q D ππψ 因t x d d =- v ，则通过圆平面的位移电流为 2/32222/3222)(2)(d d 2d d x R qR x R t x R q t I D D +=+-==v ψ (1)
分析表明，运动电荷的磁场具有轴对称性，磁场线是垂直于轴线圆心在轴上的一系列同心圆．设圆边缘某点P 的磁感强度为B ，磁场强度为H ，以给定圆为积分回路L ，应用全电流定理和(1)式，得
23222L )(22d x R qR I I R H D +=+=⋅=⋅⎰v πl H
2
/322)(4x R qR H +=πv
由于2/122)
(sin x R R +=ϕ，22x R r +=，则 2
004sin r q H B πϕμμv == 因磁感强度方向在垂直于轴线的圆的切线方向，并利用矢量积r ⨯v 的定义，可以将上式写成矢量式，为
3
04r q r B ⨯=v πμ 与运动电荷磁感强度计算公式相同．。