大学物理习题答案第一章

[习题解答]

1-3 如题1-3图所示，汽车从A地出发，向北行驶60km到达B地，然后向东行驶60km到达C 地，最后向东北行驶50km到达D地。求汽车行驶的总路程和总位移。

解汽车行驶的总路程为

；

汽车的总位移的大小为

r =

位移的方向沿东北方向，与方向一致。

1-4 现有一矢量R是时间t的函数，问与在一般情况下是否相等为什么

解与在一般情况下是不相等的。因为前者是对矢量R的绝对值(大小或长度)求导，表示矢量R的大小随时间的变化率；而后者是对矢量R的大小和方向两者同时求导，再取绝对值，表示矢量R大小随时间的变化和矢量R方向随时间的变化两部分的绝对值。如果矢量R方向不变只是大小变化，那么这两个表示式是相等的。

1-5 一质点沿直线L运动，其位置与时间的关系为r = 6t 2 2t 3 ，r和t的单位分别是m

和s。求：

(1)第二秒内的平均速度；

(2)第三秒末和第四秒末的速度；

(3)第三秒末和第四秒末的加速度。

解取直线L的正方向为x轴，以下所求得的速度和加速度，若为正值，表示该速度或加速度沿x轴的正方向，若为负值表示，该速度或加速度沿x轴的反方向。

(1)第二秒内的平均速度

m s1；

(2)第三秒末的速度

因为，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的速度，为

v3 = 18 m s1；

用同样的方法可以求得第四秒末的速度，为

v4 = 48 m s1；

(3)第三秒末的加速度

因为，将t = 3 s 代入，就求得第三秒末的加速度，为

a3 = 24 m s2；

用同样的方法可以求得第四秒末的加速度，为

v4 = 36 m s2 .

1-6 一质点作直线运动，速度和加速度的大小分别为和，试证明：

(1) v d v = a d s；

(2)当a为常量时，式v 2 = v02 + 2a (s s0 )成立。

解

(1)

；

(2)对上式积分，等号左边为

,

等号右边为

,

于是得

,

即

.

1-7 质点沿直线运动，在经过时间t后它离该直线上某定点O的距离s满足关系式：s= (t1)2 (t2)，s和t的单位分别是m和s。求：

(1)当质点经过O点时的速度和加速度；

(2)当质点的速度为零时它离开O点的距离；

(3)当质点的加速度为零时它离开O点的距离；

(4)当质点的速度为12 m s 1 时它的加速度。

解：取质点沿x轴运动，取坐标原点为定点O。

(1)质点经过O点时，即s = 0，由式

,

可以解得

t = s，t = s .

当t = 1 s时，

.

当t = 2 s时，

v = m s-2，a = m s-2 .

(2)质点的速度为零，即

上式可化为

,

解得

t = s和t = s .

当t = 1 s时，质点正好处于O点，即离开O点的距离为0 m；当t = 5/3 s时，质点离开

O点的距离为m 。

(3)质点的加速度为零，即

,上式可化为

3t-4=0,

解得

t = s .

这时离开O点的距离为m。

(4)质点的速度为12 m s1，即

,

由此解得

将t值代入加速度的表示式

,

求得的加速度分别为

a = m s-2和a = m s-2 .

1-8 一质点沿某直线作减速运动，其加速度为a = Cv2，C是常量。若t = 0时质点的速度为v0 ，并处于s0 的位置上，求任意时刻t质点的速度和位置。

解以t = 0时刻质点的位置为坐标原点O，取水平线为x轴，质点就沿x轴运动。因为是直线运动，矢量可以用带有正负号的标量来表示。

,

于是有

.

两边分别积分，得

.

因为t0 = 0，所以上是变为

,

即

, (1)

上式就是任意时刻质点的速度表达式。

因为

， d x= v d t ,

将式(1)代入上式，得

,

两边分别积分，得

.

于是，任意时刻质点的位置表达式为

.

1-9 质点作直线运动，初速度为零，初始加速度为a0 ，质点出发后每经过时间，加速度均匀增加b。求经过t时间后质点的速度和加速度。

解可以把质点运动所沿的直线定为直线L，并设初始时刻质点处于固定点O上。根据题意，质点运动的加速度应该表示为

.

由速度公式

可以求得经过t时间质点的速度

.

另外，根据位移公式可以求得经过t时间质点的位移

.

1-10 质点沿直线y = 2x + 1 m 运动，某时刻位于x1 = m处，经过了 s到达x2 = m处。

求质点在此过程中的平均速度。

解根据定义，平均速度应表示为

,

其中

.

由已知条件找出x和y，就可以求得平均速度。

.

根据直线方程y = 2x + 1，可求得

y1 = 2x1 + 1 = m，y2 = 2x2 + 1 = m .

所以

.

平均速度为

.

也可以用下面的方式表示

；

与x轴的夹角为

.

1-11 质点运动的位置与时间的关系为x = 5+t 2 ，y = 3+5t t 2 ，z = 1+2t 2, 求第二秒末质点的速度和加速度，长度和时间的单位分别是米和秒。

解已知质点运动轨道的参量方程为

.

质点任意时刻的速度和加速度分别为

和.

质点在第二秒末的速度和加速度就是由以上两式求得的。将t = 2 s代入上式，就得到质点在第二秒末的速度和加速度，分别为

和.

1-12 设质点的位置与时间的关系为x = x(t)，y = y(t)，在计算质点的速度和加速度时，如果先求出，然后根据和求得结果；还可以用另一种方法计算：先算出速度和加速度分量，再合成，得到的结果为v = 和

。你认为哪一组结果正确为什么

解第二组结果是正确的。而在一般情况下第一组结果不正确，这是因为在一般情况下

.

速度和加速度中的r是质点的位置矢量，不仅有大小而且有方向，微分时，既要对大小微分也要对方向微分。第一组结果的错误就在于，只对位置矢量的大小微分，而没有对位置矢量的方向微分。

1-13 火车以匀加速运动驶离站台。当火车刚开动时，站在第一节车厢前端相对应的站台位置上的静止观察者发现，第一节车厢从其身边驶过的时间是 s。问第九节车厢驶过此观察者身边需要多少时间

解设火车的加速度为a，每节车厢的长度为l，第一节车厢从观察者身边通过所需时间为t1，t1满足

.(1)

前八节车厢通过观察者身边所需时间为t2，前九节车厢通过观察者身边所需时间为t3，并可列出下面两个方程式

, (2)

(3)

由式(1)得

.

将上式代入式(2)和式(3)，分别得到

,

.

第九节车厢通过观察者身边所需时间为

t = t3 t2 = s s = s .

1-14 一架开始静止的升降机以加速度 m s 2 上升，当上升速度达到 m s 1 时，有一螺帽自升降机的天花板上落下，天花板与升降机的底面相距 m。计算：

(1)螺帽从天花板落到升降机的底面所需要的时间；

(2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离。

解设螺帽落到升降机地面所需时间为t，在这段时间内螺帽下落的距离为h1，同时升降机上升的距离为h2。

(1)若以螺帽为研究对象，可取y轴竖直向下，t = 0时，螺帽的速度为v0 = m s1，加速度为g，则有

(1)

若以升降机为研究对象，可取y轴竖直向上，t= 0时，升降机的速度为v0 = m s1，加速度为a = m s2，这时应有

(2)

显然h = h1 + h2就是升降机的天花板与底面之间的距离，等于 m。于是

(3)

有式(3)解得

.

(2)螺帽相对升降机外固定柱子的下降距离，就是上面所说的h1，将上面所求得的t代入式(1)，可以得到

.

1-15 设火箭引信的燃烧时间为 s，今在与水平面成45角的方向将火箭发射出去，欲使火箭在弹道的最高点爆炸，问必须以多大的初速度发射火箭

解以火箭发射点为原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴，建立坐标系。设发射火箭的初速度为v0 ，则其竖直向上的分量为

,

竖直向上的速度为

.

火箭到达最高点时，v y= 0，由此可以求得初速度为

.

1-16 倾斜上抛一小球，抛出时初速度与水平面成60角，秒钟后小球仍然斜向上升，但飞行方向与水平面成45角。试求：

(1)小球到达最高点的时间；

(2)小球在最高点的速度。

解以抛设点为原点、水平向右为x轴、竖直向上为y轴，建立坐标系。

(1)为求得小球到达最高点的时间，必须先求出它的初速度v0 。因为v0与水平方向成60角，所以可列出下面的方程式

.

当t = 1 s 时，速度v与水平方向成45，必定有，所以

,

由此解得

.

如果小球到达最高点的时间为t，则有

,

由此解得

.

(2)小球到达最高点时的速度是沿水平方向的，其大小为

.

1-17 质点作曲线运动，其角速度为常量，质点位置的极径与时间的关系可以表示为，其中0和都是常量。求质点的径向速度和径向加速度，横向速度和横向加速度。

解质点的径向速度为

,

横向速度为

.

质点的径向加速度为

,

横向加速度为

.

(计算过程用到了为常量的条件。)

1-18 质点沿任意曲线运动, t时刻质点的极坐标为,，试求此时刻质点的速度、加速度，并写出质点运动的轨道方程。

解t时刻质点的速度为

,

此时刻质点的加速度为

.

题目给出了轨道的参量方程，由参量方程消去参变量t，就可以得到质点运动的轨道方程。由轨

道的参量方程的第二式得

,

将上式代入轨道的参量方程的第一式，得

,

这就是质点运动的轨道方程。

1-19 质点沿半径为R 的圆周运动，角速度为 = ct，其中c是常量。试在直角坐标系和平面极坐标系中分别写出质点的位置矢量、速度和加速度的表达式。

解建立如图1-12所示的坐标系，直角坐标系的原点与极坐标的极点相重合，并且就是质点运动所沿的圆周的圆心。显然直角坐标与极坐标有如下关系

, (1)

式中= R ，就是圆周的半径。相反的关系可以表示为

. (2)

设t= 0时，质点处于圆周与x轴的交点上。由题已知图1-12

,

所以

(3)

将式(3)代入式(1)，得

,.

于是质点的位置矢量可以表示为

；

质点的运动速度可以表示为

；

质点的运动加速度可以表示为

在极坐标中质点的位置矢量可以表示为

；

质点的速度为

；

质点的加速度为

.

1-20 质点按照s= bt的规律沿半径为R的圆周运动，其中s是质点运动的路程，b、

c是常量，并且b2 > cR。问当切向加速度与法向加速度大小相等时，质点运动了多少时间解质点运动的速率为

,

切向加速度为

,

切向加速度的大小可以写为a t = c。法向加速度可以表示为

.

切向加速度与法向加速度大小相等，即

,

由此解得

.

讨论：因为

v = b ct ,

所以，当t = 0时，v = b，当t = b/c时，v = 0 。这表示在0到b/c时间内，质点作减速运动。而在t = b/c之后，质点沿反方向作圆周运动，切向加速度为c，速率不断增大。可见质点有两个机会满足“切向加速度与法向加速度大小相等”。一个机会是在0到b/c之间，即

,

为什么t = t1是处于0到b/c之间呢根据已知条件b2 > cR，也就是b >，所以必定有b/c > t1 > 0。

另一个机会是在t = b/c之后，即

.

1-21 质点从倾角为=30的斜面上的O点被抛出，初速度的方

向与水平线的夹角为 = 30，如图1-13a所示，初速度的大小为

v0 = m s 1 。若忽略空气的阻力，试求：

(1)质点落在斜面上的B点离开O点的距离；

图1-13a

(2)在t = s时，质点的速度、切向加速度和法向加速度。

解建立如图所示的坐标系：以抛射点O为坐标原点，x轴沿水平向右，y轴竖直向上。这时质点的抛体运动可以看作为x方向的匀速直线运动和y方向的匀变速直线运动的合成，并且有

, .

(1)设B点到O点的距离为l，则B点的坐标可以表示为

(1)

(2)

以上两式联立，可解得

(3)

将式(3)代入式(1)，得

.

(2)设在t = s 时质点到达C点，此时

,

.

所以速度的大小为

.

速度与y轴负方向的夹角为

.

图1-13b

现在求C点的切向加速度a t和法向加速度a n 。由图1-13b 可见，质点的总加速度就是重力加速度g，方向与v y一致，而a t和a n则是它的两个分矢量。并且由于a t与v的方向一致，所以a t与g之间的夹角就是v与v y 之间的夹角，即角。于是可以得到

,

.

1-23 用绳子系一物体，使它在竖直平面内作圆周运动。问物体在什么位置上绳子的张力最大在什么位置上张力最小

解 ：设物体在任意位置上细绳与竖直方向的夹角为，如图

1-14所示。 这时物体受到两个力的作用，即绳子的张力T 和重力

m g ，并且下面的关系成立

.

所以可把绳子张力的大小表示为

.

由上式可以得到：当物体处于最低点时， = ，张力为最大；当物体处于最高点时，= 0 ，

张力为最小。

1-24 质量为m 的小球用长度为l 的细绳悬挂于天花板之下，如图1-15所示。当小球被推动后在水平面内作匀速圆周运动，角速度为

。求细绳与竖直方向的夹角

。

解 小球受到绳子的张力T 和重力m g 的作用，并且在竖直方向上无加速度，所以有

(1)

在水平方向上，小球有向心加速度

,

图1-14

图1-15