高中数学方法篇之配方法

高中数学方法篇之配方法配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）的技巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。

何时配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂项”与“添项”、“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。

有时也将其称为“凑配法”。

最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。

它主要适用于：已知或者未知中含有二次方程、二次不等式、二次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的平移变换等问题。

配方法使用的最基本的配方依据是二项完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2，将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab＝(a－b)2＋3ab＝(a＋b2)2＋（32b）2；a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ca＝12[(a＋b)2＋(b＋c)2＋(c＋a)2]a2＋b2＋c2＝(a＋b＋c)2－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)2－2(ab－bc－ca)＝…结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）2；x2＋12x＝(x＋1x)2－2＝(x－1x)2＋2 ；……等等。

一、再现性题组：1. 在正项等比数列{an }中，a1♦a5+2a3♦a5+a3∙a7=25，则 a3＋a5＝_______。

2. 方程x2＋y2－4kx－2y＋5k＝0表示圆的充要条件是_____。

A. 14<k<1B. k<14或k>1C. k∈RD. k＝14或k＝13. 已知sin4α＋cos4α＝1，则sinα＋cosα的值为______。

A. 1B. －1C. 1或－1D. 04. 函数y＝log12(－2x2＋5x＋3)的单调递增区间是_____。

A. （－∞, 54]B. [54,+∞)C. (－12,54]D. [54,3)5. 已知方程x2+(a-2)x+a-1=0的两根x1、x2，则点P(x1,x2)在圆x2+y2=4上，则实数a＝_____。

【简解】 1小题：利用等比数列性质a m p -a m p +＝a m 2，将已知等式左边后配方（a 3＋a 5）2易求。

答案是：5。

2小题：配方成圆的标准方程形式(x －a)2＋(y －b)2＝r 2，解r 2>0即可，选B 。

3小题：已知等式经配方成(sin 2α＋cos 2α)2－2sin 2αcos 2α＝1，求出sin αcos α，然后求出所求式的平方值，再开方求解。

选C 。

4小题：配方后得到对称轴，结合定义域和对数函数及复合函数的单调性求解。

选D 。

5小题：答案3－11。

二、示范性题组：例1. 已知长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为_____。

A. 23 B. 14 C. 5 D. 6【分析】 先转换为数学表达式：设长方体长宽高分别为x,y,z ，则211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩ ,而欲求对角线长x y z 222++，将其配凑成两已知式的组合形式可得。

【解】设长方体长宽高分别为x,y,z ，由已知“长方体的全面积为11，其12条棱的长度之和为24”而得：211424()()xy yz xz x y z ++=++=⎧⎨⎩。

长方体所求对角线长为：x y z 222++＝()()x y z xy yz xz ++-++22＝6112-＝5所以选B 。

【注】本题解答关键是在于将两个已知和一个未知转换为三个数学表示式，观察和分析三个数学式，容易发现使用配方法将三个数学式进行联系，即联系了已知和未知，从而求解。

这也是我们使用配方法的一种解题模式。

例2. 设方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，若(p q )2+(q p)2≤7成立，求实数k 的取值范围。

【解】方程x 2＋kx ＋2=0的两实根为p 、q ，由韦达定理得：p ＋q ＝－k ，pq ＝2 , (p q )2+(q p )2＝p q pq 442+()＝()()p q p q pq 2222222+-＝[()]()p q pq p q pq +--2222222＝()k 22484--≤7， 解得k ≤－10或k ≥10 。

又∵p、q为方程x2＋kx＋2=0的两实根，∴△＝k2－8≥0即k≥22或k≤－22综合起来，k的取值范围是：－10≤k≤－22或者22≤k≤10。

【注】关于实系数一元二次方程问题，总是先考虑根的判别式“Δ”；已知方程有两根时，可以恰当运用韦达定理。

本题由韦达定理得到p＋q、pq后，观察已知不等式，从其结构特征联想到先通分后配方，表示成p＋q与pq的组合式。

假如本题不对“△”讨论，结果将出错，即使有些题目可能结果相同，去掉对“△”的讨论，但解答是不严密、不完整的，这一点我们要尤为注意和重视。

例3.设非零复数a、b满足a2＋ab＋b2=0，求(aa b+)1998＋(ba b+)1998。

【分析】对已知式可以联想：变形为(ab)2＋(ab)＋1＝0，则ab＝ω（ω为1的立方虚根）；或配方为(a＋b)2＝ab 。

则代入所求式即得。

【解】由a2＋ab＋b2=0变形得：(ab)2＋(ab)＋1＝0 ，设ω＝ab，则ω2＋ω＋1＝0，可知ω为1的立方虚根，所以：1ω＝ba，ω3＝ω3＝1。

又由a2＋ab＋b2=0变形得：(a＋b)2＝ab ，所以 (aa b+)1998＋(ba b+)1998＝(aab2)999＋(bab2)999＝(ab)999＋(ba)999＝ω999＋ω999＝2 。

【注】本题通过配方，简化了所求的表达式；巧用1的立方虚根，活用ω的性质，计算表达式中的高次幂。

一系列的变换过程，有较大的灵活性，要求我们善于联想和展开。

【另解】由a2＋ab＋b2＝0变形得：(ab)2＋(ab)＋1＝0 ，解出ba＝-±132i后，化成三角形式，代入所求表达式的变形式(ab)999＋(ba)999后，完成后面的运算。

此方法用于只是未-±132i联想到ω时进行解题。

假如本题没有想到以上一系列变换过程时，还可由a2＋ab＋b2＝0解出：a＝-±132ib，直接代入所求表达式，进行分式化简后，化成复数的三角形式，利用棣莫佛定理完成最后的计算。

三、巩固性题组：1.函数y＝(x－a)2＋(x－b)2（a、b为常数）的最小值为_____。

A. 8B. ()a b -22C. a b 222+ D.最小值不存在 2. α、β是方程x 2－2ax ＋a ＋6＝0的两实根，则(α-1)2 +(β-1)2的最小值是_____。

A. －494B. 8C. 18D.不存在3. 已知x 、y ∈R +，且满足x ＋3y －1＝0，则函数t ＝2x ＋8y 有_____。

A.最大值22B.最大值22C.最小值22 B.最小值224. 椭圆x 2－2ax ＋3y 2＋a 2－6＝0的一个焦点在直线x ＋y ＋4＝0上，则a ＝_____。

A. 2B. －6C. －2或－6D. 2或65. 化简：218-sin ＋228+cos 的结果是_____。

A. 2sin4B. 2sin4－4cos4C. －2sin4D. 4cos4－2sin46. 设F 1和F 2为双曲线x 24－y 2＝1的两个焦点，点P 在双曲线上且满足∠F 1PF 2＝90°，则△F 1PF 2的面积是_________。

7. 若x>－1，则f(x)＝x 2＋2x ＋11x +的最小值为___________。

8. 已知π2〈β<α〈34π，cos(α-β)＝1213，sin(α+β)＝－35，求sin2α的值。

(92年高考题)9. 设二次函数f(x)＝Ax 2＋Bx ＋C ，给定m 、n （m<n ）,且满足A 2[(m+n)2+ m 2n 2]＋2A[B(m+n)－Cmn]＋B 2＋C 2＝0 。

① 解不等式f(x)>0；② 是否存在一个实数t ，使当t ∈(m+t,n-t)时，f(x)<0 ？若不存在，说出理由；若存在，指出t 的取值范围。

10. 设s>1，t>1，m ∈R ，x ＝log s t ＋log t s ，y ＝log s 4t ＋log t 4s ＋m(log s 2t ＋log t 2s),① 将y 表示为x 的函数y ＝f(x)，并求出f(x)的定义域；② 若关于x 的方程f(x)＝0有且仅有一个实根，求m 的取值范围。