积分变换法
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第三章积分变换法2
0,
t
0,
(3.41) (3.42)
u x0 f (t),t 0,
(3.43)
不能用Fourier变换，因为 x, t (0, )
用Laplace变换求解。
对x还是t取Laplace变换？
U (x, p) u(x,t)e ptdt
记
0
号 F ( p) f (t)e ptdt 0
dt
a2
2u x2
ej x dx Nhomakorabea22U
(,
t
)
f (x, t)e jxdx G(, t)
得到 dU (,t) a22U (,t) G(,t) （3.37）
dt
dU (,t) a22U (,t) G(,t) （3.37）
3.3 积分变换法举例
积分变换的某些作用：
通过积分变换可将未知函数的常微分方程化成象 函数的代数方程，达到了消去对自变量求导数运算的
目的。
积分变换法也能用于解偏微分方程，在偏微分方程 两端对某个变量取变换就能消去未知函数对该自变 量求偏导数的运算，得到象函数的较为简单的微分方 程。
例1 无界杆上的热传导问题
c
方程的特点:非齐次 ，求解的区域又是无界。
(3.35) (3.36)
u
t
a2
2u x2
f
(x,t),
x
, t
0,
u t0 (x), x ,
(3.35) (3.36)
因为 x ，所以对x取Fourier变换来解。
jxdx
十一章积分变换法
变换的定义
交换积分次序
1
2
x
exp
ikx
dx
1
[
( )eik d ]ek2a2teikxdk
2π
u(x,t) 1
( )[
ek2a2teik (x )dk ]d
2π
令 (x ) ，得
u(x,t) 1
( )[
ek2a2t eik dk]d
2π
应用高斯像函数的 傅里叶变换关系
ikx
dk
1 2
1
2
1 (k)eikat expikxdk
kai
1
2
1 kai
(k
)eikat
exp
ikx
dk
u1 x,t u2 x,t
u1
x,t
1 2
1
2
(k)eikat expikxdk
1
2
(k
)eikat
exp
ikx
dk
u2
x,
t
1 2
1
2
1 (k)eikat expikxdk
1
2
ut
x,t exp ikx dx
a2
1
2
uxx
x,
t
exp
ikx
dx
0
ut k 2a2u(k, t) 0
边界条件运用傅里叶变换，得
11
1
2
u
x,
t
exp
ikx
dx
|t
0
1
2
1 ex2 expikxdx
由高斯函数的 傅里叶变换关系
u
1 eax2 expikxdx
u2
交换积分次序
1
2
x
exp
ikx
dx
1
[
( )eik d ]ek2a2teikxdk
2π
u(x,t) 1
( )[
ek2a2teik (x )dk ]d
2π
令 (x ) ，得
u(x,t) 1
( )[
ek2a2t eik dk]d
2π
应用高斯像函数的 傅里叶变换关系
ikx
dk
1 2
1
2
1 (k)eikat expikxdk
kai
1
2
1 kai
(k
)eikat
exp
ikx
dk
u1 x,t u2 x,t
u1
x,t
1 2
1
2
(k)eikat expikxdk
1
2
(k
)eikat
exp
ikx
dk
u2
x,
t
1 2
1
2
1 (k)eikat expikxdk
1
2
ut
x,t exp ikx dx
a2
1
2
uxx
x,
t
exp
ikx
dx
0
ut k 2a2u(k, t) 0
边界条件运用傅里叶变换，得
11
1
2
u
x,
t
exp
ikx
dx
|t
0
1
2
1 ex2 expikxdx
由高斯函数的 傅里叶变换关系
u
1 eax2 expikxdx
u2
第三章 积分变换法
1 1 a 2 2t
G(, )e
0 a 2 2 ( t )
t
a 2 2 ( t )
d ]
F [( )e
1
a 2 2t
] F [ G(, )e
1 0
( x )2 4 a 2t t 1 0
t
d ]
]d
x2
1 2a
方程与初始条件两端同时关于x取Fourier变换，得
dU ( , t ) 2 2 a U ( , t ) dt U ( , t ) ( ) t 0
通过Fourier变换将原问题转化为常微分方程定解问题。方程通解为： U (, t ) Ce
( x )2 4 a 2t '
由公式
( x, t; )
1 2a t
'
f ( , )e
1 d 2a (t )
f ( , )e
( x )2 4 a 2 ( t )
d
由齐次化原理 1 V ( x, t ) ( x, t; )d 0 2a
1
f ( x)e i x dx
F ( )ei x d
f ( x)e i x dx
1 f ( x) F [ F ( )] 2
x
F ( )ei x d
例.求函数f ( x) e 的Fourier变换。
解：F ( )
0
2 2W W 2 , - x , t 0, 2 a 2 ( II ) t x W - x t 0 ( x),
G(, )e
0 a 2 2 ( t )
t
a 2 2 ( t )
d ]
F [( )e
1
a 2 2t
] F [ G(, )e
1 0
( x )2 4 a 2t t 1 0
t
d ]
]d
x2
1 2a
方程与初始条件两端同时关于x取Fourier变换，得
dU ( , t ) 2 2 a U ( , t ) dt U ( , t ) ( ) t 0
通过Fourier变换将原问题转化为常微分方程定解问题。方程通解为： U (, t ) Ce
( x )2 4 a 2t '
由公式
( x, t; )
1 2a t
'
f ( , )e
1 d 2a (t )
f ( , )e
( x )2 4 a 2 ( t )
d
由齐次化原理 1 V ( x, t ) ( x, t; )d 0 2a
1
f ( x)e i x dx
F ( )ei x d
f ( x)e i x dx
1 f ( x) F [ F ( )] 2
x
F ( )ei x d
例.求函数f ( x) e 的Fourier变换。
解：F ( )
0
2 2W W 2 , - x , t 0, 2 a 2 ( II ) t x W - x t 0 ( x),
积分变换法求解定解问题
1
F ()eixd
2
为f(x)的傅里叶逆变换式，记为f(x)=F-1[F(ω)]；称
函数f(x)为F(ω)的傅里叶逆变换，简称傅氏逆变换
(或像原函数)。
傅里叶变换与傅里叶逆变换是互逆变换，即
F1F() F1 F f (x) F1F f (x) f (x)
定义 13.1.3 多维傅里叶变换 n维情况下函数 f(x1, x2,…,xn)傅氏变换为
F1 F1() F2 () f1( x) * f2( x)
证明：
F f1(x) * f2(x)
f1( x) * f2 ( x) eixdx
f1( )
f2(x
)eixd dx
f1( )
f2 (u)ei(u )dud
x u
dx du
f1( )ei )
f2 (u)eiudud
n
12
dn
注：傅氏变换和其逆变换积分前的系数虽然各书 的写法各不相同，但只要这两个系数的乘积等于 1/2π，傅氏变换和其逆变换则均可满足。
三、δ 函数
定义 13.1.5 如果一个函数满足下列条件，则 称之为δ 函数，并记为δ(x)：
(
x)
0
x0 x0
(x)dx 1
等价定义（函数序列的极限）：
f (ax)e a
1 d(ax)
a
1
f
iu
(u)e a du
1
iu
f (u)e a du
a
a
1 F() 1 F()
aa a a
u ax dx du
卷积定义 知函数f1(x)和f2(x)，则它们的卷积定 义为：
f1(x) * f2(x) f1( ) f2(x )d
《积分变换法》课件
信号处理
在频域中，积分变换法可用于 滤波、降噪和信号分析。
电路分析
积分变换法可帮助分析电路的 稳定性、频率响应和系统性能。
总结
优缺点
积分变换法具有数学表达简单、普适性强等优点，但对初始条件敏感。
与其他方法的比较
相比其他方法，积分变换法可以更方便地处理连续和离散函数。
发展趋势
未来，积分变换法将继续应用于自动控制、信号处理和电子技术等领域，不断发展和完善。
《积分变换法》PPT课件
欢迎来到本次《积分变换法》PPT课件。让我们一起探索积分变换法的定义、 分类、常见方法以及在控制工程、信号处理和电路分析中的应用。
什么是积分变换法？
定义
积分变换法是一种数学方法，通过对函数的积分来研究和处理一些问题。
分类
积分变换法分为拉普拉斯变换、傅里叶变换和Z变换等不同类型。
1 参考文献
常见的积分变换频域，可用于信号
处理和频谱分析。
3
拉普拉斯变换
将函数从时域转换到频域，广泛应用于 控制系统和信号分析。
Z变换
将离散信号从时域转换到Z域，在数字信 号处理和系统分析中有重要应用。
积分变换法的应用
控制工程
积分变换法可用于控制系统的 建模、参数估计和控制器设计。
数理方程：第9讲积分变换法
L1 F p
L1
e
px a
f
t
L1
e
px a
查表得
L1
1
e
px a
p
2
x
e y2 dy g(t)
2a t
易证 而
g0 0
L1
e
px a
L1
p
1
e
px a
p
于是
L[ g
't ]
p
1
e
p x
a
g
0
p
p x
e a
于是
L1[
p
1
e
p a
x
]
g
't
p
d dt
2
x
e
y2
dy
2
e
x2 4a2t
3
2a t
2a t 2
所以
u x,t f t g 't
x
t
f ( )
1
e d
4
x2 a2 (t
)
2a 0
(t )3/2
例 设 x 1, y 0, 求解下面定解问题
2u x2 y xy u | y0 x 2 u | x1 cos y
解 对 y进行拉普拉斯变换, ux, y Ux, p
x
方程可变为
dU ,
t 2U ,t
dt
U , t |t0
可解得
U ,t e2t
由于
F 1[e2t ]
1
x2
e 4t
2 t
即
F
1
x2
e 4t
e2t
2 t
积分变换法
F fg F (f)F ( g )
2)微分运算性质
FfiFf
Ff(n ) (i)nF f
整理课件
6
4.1 傅立叶变换的概念和性质
3)对傅立叶变换后的函数求导数
ddFfF[ixf(x)]
dd nnFfF[(ix)nf(x)]
4) 卷积性质
设 f(x)，g(x) 在 (,) 上绝对可积, 定义卷积：
整理课件
27
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
8) 卷积性质 L f g L fL g
其 中 fg t 0 tfsg t sd s
应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程 (如 P38 ), 也适用于偏微分方程。
整理课件
28
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
例 解常微分方程的初值问题:
T''ta2Tt f t T0b, T'0c.
解：对 t 进行拉普拉斯变换, 设
T(t)L Tp, ftL Fp.
则原方程变为 p 2 T p b p c a 2 T p F ( p )
整理课件
29
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
T p F p p 2 b a p 2 c a 1 F p p 2 a a 2 b p 2 p a 2 a c p 2 a a 2
t是连续点 t是第一类间断点
特别的，当 f(x) 连续时
f
x1
eixd
f(t)eitdt
2
➢傅立叶逆变换定义为：记f整作理x课：件f(2x 1) F F 1 [F (e i)]xd 5
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换具有如下性质:
1)线性性质：设 f,g是绝对可积的函数， , 为数
2)微分运算性质
FfiFf
Ff(n ) (i)nF f
整理课件
6
4.1 傅立叶变换的概念和性质
3)对傅立叶变换后的函数求导数
ddFfF[ixf(x)]
dd nnFfF[(ix)nf(x)]
4) 卷积性质
设 f(x)，g(x) 在 (,) 上绝对可积, 定义卷积：
整理课件
27
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
8) 卷积性质 L f g L fL g
其 中 fg t 0 tfsg t sd s
应用：拉普拉斯变换既适用于常微分方程 (如 P38 ), 也适用于偏微分方程。
整理课件
28
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
例 解常微分方程的初值问题:
T''ta2Tt f t T0b, T'0c.
解：对 t 进行拉普拉斯变换, 设
T(t)L Tp, ftL Fp.
则原方程变为 p 2 T p b p c a 2 T p F ( p )
整理课件
29
4.3 拉普拉斯变换的概念和性质
T p F p p 2 b a p 2 c a 1 F p p 2 a a 2 b p 2 p a 2 a c p 2 a a 2
t是连续点 t是第一类间断点
特别的，当 f(x) 连续时
f
x1
eixd
f(t)eitdt
2
➢傅立叶逆变换定义为：记f整作理x课：件f(2x 1) F F 1 [F (e i)]xd 5
4.1 傅立叶变换的概念和性质
傅立叶变换具有如下性质:
1)线性性质：设 f,g是绝对可积的函数， , 为数
数学物理方法第十二章积分变换法课件
方程(12.2.4)的通解为
将式(12.2.6)代入式(12.2.5)，可得
将式(12.2.7)与式(12.2.8)联立，解出C1与C2后代入 式(12.2.6) ，可得
(12.2.9)
53
(3)作像函数应
的傅里叶逆变换
第一、三项应用延迟定理 作傅里叶逆变换得
(12.2.10)
54
第二、四项应用延迟定理和积分定理
特别是
证明 将
代入式 (12.1.40)左边，交换积分次序后应用d函数的 傅里叶展开式，便有
41
帕塞瓦尔等式在辐射问题中有着广泛的应用，如 计算切连科夫辐射的电磁能流密度时就会用到
42
【例12.1.5】 求解积分方程
解设 解题的步骤分三步：
(1)作积分方程的傅里叶变换。由卷积的定义
用卷积定理，将积分方程的傅里叶变换写成
可见，只要证明
, 也即证明e-k满足傅
里叶正弦逆变换(见式(12.1.20)
则本题得证
22
实际上，通过两次分部积分可证，留给读者作为练 习．
23
4. d函数的傅里叶展开
d函数可以表示为指数函数与三角函数的傅里叶积分
证明 令f(x)=d (x-x’)代入式(12.1.14), 得 将上式代入式(12.1.15) 即有
若a1 、a2为任意常数，则对任意函数f1(x)及
f2(x) ，有
27
证明 由定义出发
28
2.延迟定理
设x0为任意常数，则
证明由定义出发，令u=x-x0可得
由式(12.1.16)可见,F[f(x)]仅为k的函数，与x无关(x 是定积分的积分变量) 故 F[f(u)]=F[f(x)] (12.1.30)
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(5)微分性质
n 1 x 0, n 1,2, ，则 若当 x 时， f
F f n x i F f x
n
（2.4.16）
(6)积分性质
x 1 F f d F f x x 0 i
2.4.18 2.4.19
（2.4.20）
f1 x f 2 x
定义为函数 f 1 x 和 f 2 x 的卷积 3.一些常用函数的 Fourier 变换
f f x d
1 2
表2.4.1 原函数
Fourier变换简表 像函数
（6）积分性质 （2.4.28）
（7）卷积性质
其中， , ; p0 ; a; 均为常数 a 0 ；而
t
L f1 t f 2 t L f1 t L f 2 t
（2.4.29）
f1 t f 2 t f1 f 2 t d
（5）微分性质
（2.4.26）
L f n t p n L f t p n 1 f 0 p n 2 f ' 0 f n 1 0
t 1 L f d L f t 0 p
（2.4.27）
f t Me 0t ,0 t
F p f t e pt dt
0
（2.4.21）
f t
中国海洋大学 数学科学学院
1 i F p e pt dp i 2i
（2.4,22）
方钟波
4
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
为函数 f r 即 f x, y, z 的Fourier变换，而称函数
（2.4.9）
f r
即
G ω e 2
3
1
iω r
dω
（2.4.10）
f x, y, z
为函数 G ω 即 G 1 , 2 , 3 的Fourier变换。其中
F p k x, p f x dx
1 （1） e a 0 cos bxdx e 4 a 0 2 a x2 （2） e dx 0 2
ax2
b2
（2.4.1） (2.4.2) (2.4.3) (2.4.4) (2.4.5)
定义为函数 f1 t 和 f 2 t 的卷积 3.一些常用函数的 Laplace 变换 表2.4.2 原函数
0
（2.4.30）
Laplace变换简表 像函数
f t
1 i F p e pt dt i 2i 1或 H t
t n n是整数
方钟波
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
第四章 积分变换法
一、基本要求 1.掌握 Fourier 变换及 Laplace 变换的定义、存在条件及函数的正反变换的求法。 2.掌握并会应用 Fourier 变换及 Laplace 变换的主要性质。 3.学会正确使用积分变换表。 4.掌握用积分变换法求解数理方程的主要精神及一般步骤。重点掌握用 Fourier 变换法求解无界区 域中的偏微分方程的定解问题和用 Laplace 变换法求解常微分方程及方程组的初值问题。 二 、内容提要 （一）积分变换法 1.积分变换 所谓积分变换，就是把某函数类 A 中的函数 f x ，经过某种可逆的积分手续 变成另一函数类 B 中的函数 F p 。其中 F p 称为 f x 的像函数， f x 称为原函数，而 k x, p 是 p 和 x 的已知函数，称为积分变换核 2.积分变换法 对偏微分方程（常微分方程、积分方程）的定解问题中的各项实行积分变换，从而将偏微分 方程（常微分方程和积分方程）的求解问题转化为常微分方程（代数方程）的求解问题的方法称 之为积分变换法。其中对各项施行Fourier变换的方法，称为Fourier变换法；而对各项均施行Lapla ce变换的方法，称之为Laplace变换法。 Fourier变换法和Laplace变换法是两种常用于求解数理方程的积分变换法。前者多用于求解没 有初始条件的无界或半无界问题，而后者多用于求解常微分方程的初值问题。 3.积分变换法的解题步骤 用积分变换法求解数理方程（这里也包括常微分方程和积分方程）大体分为如下三步： （1） 对方程和定解条件中的各项（对某个适当的变量）去变换，得到像函数的常微分方程 的定解问题或代数方程。 （2）求解常微分方程的定解问题或代数方程，得到像函数。 （3）求像函数的逆，即得原定解问题的解。 4.用积分变换法求解数理方程时常用到的积分公式
s
x
0 Re x 1
1 x
e ax
2
1 s
1 1 s sin s 2
2
2a 2 a e a
2
1 a 0 x a2
2
e a x , x 0 a0 0 , x 0
1 a i
1 e
e x
x 2
(3) (4) (5)
0
e ax dx
2
a
,a 0
sin x dx x 2
0
e t t x 1 dt x , x 0
方钟波
中国海洋大学 数学科学学院
1
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
-0-
《数学物理方程》 -定解问题与5种求解方法
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
2011-01-19
School of Mathematical Sciences Ocean University of China
G 和 G ω 又分别称作 f x 和 f r 的像函数；而 f x 和 f r 又分别称作 G 和 G ω 的原
F f1 f 2 F f1 F f 2
（2.4.12） （2.4.13） （2.4.14）
Lf1 f 2 L f1 L f 2
（2.4.23） （2.4.24） （2.4.25）
L e p0t f t Fp p 0 , Rep p 0 0
L f t e p F p
p L f at F a
G , 2
3 1
1
2
, 3 e i 1x ,2 y ,3 z dω1 d 2 d3
(2.4.11)
ω i1 j 2 k 3 , r ix jy kz
而 i, j, k 分别为Descarfes坐标系中沿 x, y , z 轴的单位向量 函数 2.性质 (1)线性性质 (2)延迟性质 (3)位移性质 (4)相似性质
（二）Fourier 变换 1.定义 设函数 f x 在上 , 连续、分段光滑且绝对可积，则称函数
G
为函数 f x 的Fourier变换，记作 F f x G ，而称函数
f x e
ix
dx
（2.4.6）
1 f x 2
2
2
sh
b a
x2 a2 ln 2 , a, b 0 x b2
e
2
e
x2 4a2
,a 0
2a e a
2
x arctan , a 0 a
i2
e
a
x x0
e ix0
利用Fourier变换（和反变换）的定义、性质和表2.4.1，采取前面所述用积分变换法解数理方 程的三大步骤，便可用Fourier变换法求解相关的定解问题（见后面的例题分析）。 （三）Laplace 变换 1.定义 设函数 f t 满足以下条件： （1）当 t 0 时， f t 0 （2）当 t 0 时， f t 及除去有限个第一类间断点外，处处连续 （3）当 t 时，存在常数 M 及 0 0 ，使得 则称函数 为函数 f t 的Laplace变换，并记作 L f t F p ，而称函数
F e i0 x f x G 0
F f x x0 e ix0 F f x
F f ax 1 G a a
（2.4.15）
2
中国海洋大学 数学科学学院
方钟波
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
1 f x 2
G e
ix
d
G
f x e
ix
dx
sin ax x
, a
, a 2 0, a
i e ia e ib
e ix a x b
n 1 x 0, n 1,2, ，则 若当 x 时， f
F f n x i F f x
n
（2.4.16）
(6)积分性质
x 1 F f d F f x x 0 i
2.4.18 2.4.19
（2.4.20）
f1 x f 2 x
定义为函数 f 1 x 和 f 2 x 的卷积 3.一些常用函数的 Fourier 变换
f f x d
1 2
表2.4.1 原函数
Fourier变换简表 像函数
（6）积分性质 （2.4.28）
（7）卷积性质
其中， , ; p0 ; a; 均为常数 a 0 ；而
t
L f1 t f 2 t L f1 t L f 2 t
（2.4.29）
f1 t f 2 t f1 f 2 t d
（5）微分性质
（2.4.26）
L f n t p n L f t p n 1 f 0 p n 2 f ' 0 f n 1 0
t 1 L f d L f t 0 p
（2.4.27）
f t Me 0t ,0 t
F p f t e pt dt
0
（2.4.21）
f t
中国海洋大学 数学科学学院
1 i F p e pt dp i 2i
（2.4,22）
方钟波
4
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
为函数 f r 即 f x, y, z 的Fourier变换，而称函数
（2.4.9）
f r
即
G ω e 2
3
1
iω r
dω
（2.4.10）
f x, y, z
为函数 G ω 即 G 1 , 2 , 3 的Fourier变换。其中
F p k x, p f x dx
1 （1） e a 0 cos bxdx e 4 a 0 2 a x2 （2） e dx 0 2
ax2
b2
（2.4.1） (2.4.2) (2.4.3) (2.4.4) (2.4.5)
定义为函数 f1 t 和 f 2 t 的卷积 3.一些常用函数的 Laplace 变换 表2.4.2 原函数
0
（2.4.30）
Laplace变换简表 像函数
f t
1 i F p e pt dt i 2i 1或 H t
t n n是整数
方钟波
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
第四章 积分变换法
一、基本要求 1.掌握 Fourier 变换及 Laplace 变换的定义、存在条件及函数的正反变换的求法。 2.掌握并会应用 Fourier 变换及 Laplace 变换的主要性质。 3.学会正确使用积分变换表。 4.掌握用积分变换法求解数理方程的主要精神及一般步骤。重点掌握用 Fourier 变换法求解无界区 域中的偏微分方程的定解问题和用 Laplace 变换法求解常微分方程及方程组的初值问题。 二 、内容提要 （一）积分变换法 1.积分变换 所谓积分变换，就是把某函数类 A 中的函数 f x ，经过某种可逆的积分手续 变成另一函数类 B 中的函数 F p 。其中 F p 称为 f x 的像函数， f x 称为原函数，而 k x, p 是 p 和 x 的已知函数，称为积分变换核 2.积分变换法 对偏微分方程（常微分方程、积分方程）的定解问题中的各项实行积分变换，从而将偏微分 方程（常微分方程和积分方程）的求解问题转化为常微分方程（代数方程）的求解问题的方法称 之为积分变换法。其中对各项施行Fourier变换的方法，称为Fourier变换法；而对各项均施行Lapla ce变换的方法，称之为Laplace变换法。 Fourier变换法和Laplace变换法是两种常用于求解数理方程的积分变换法。前者多用于求解没 有初始条件的无界或半无界问题，而后者多用于求解常微分方程的初值问题。 3.积分变换法的解题步骤 用积分变换法求解数理方程（这里也包括常微分方程和积分方程）大体分为如下三步： （1） 对方程和定解条件中的各项（对某个适当的变量）去变换，得到像函数的常微分方程 的定解问题或代数方程。 （2）求解常微分方程的定解问题或代数方程，得到像函数。 （3）求像函数的逆，即得原定解问题的解。 4.用积分变换法求解数理方程时常用到的积分公式
s
x
0 Re x 1
1 x
e ax
2
1 s
1 1 s sin s 2
2
2a 2 a e a
2
1 a 0 x a2
2
e a x , x 0 a0 0 , x 0
1 a i
1 e
e x
x 2
(3) (4) (5)
0
e ax dx
2
a
,a 0
sin x dx x 2
0
e t t x 1 dt x , x 0
方钟波
中国海洋大学 数学科学学院
1
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
-0-
《数学物理方程》 -定解问题与5种求解方法
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
2011-01-19
School of Mathematical Sciences Ocean University of China
G 和 G ω 又分别称作 f x 和 f r 的像函数；而 f x 和 f r 又分别称作 G 和 G ω 的原
F f1 f 2 F f1 F f 2
（2.4.12） （2.4.13） （2.4.14）
Lf1 f 2 L f1 L f 2
（2.4.23） （2.4.24） （2.4.25）
L e p0t f t Fp p 0 , Rep p 0 0
L f t e p F p
p L f at F a
G , 2
3 1
1
2
, 3 e i 1x ,2 y ,3 z dω1 d 2 d3
(2.4.11)
ω i1 j 2 k 3 , r ix jy kz
而 i, j, k 分别为Descarfes坐标系中沿 x, y , z 轴的单位向量 函数 2.性质 (1)线性性质 (2)延迟性质 (3)位移性质 (4)相似性质
（二）Fourier 变换 1.定义 设函数 f x 在上 , 连续、分段光滑且绝对可积，则称函数
G
为函数 f x 的Fourier变换，记作 F f x G ，而称函数
f x e
ix
dx
（2.4.6）
1 f x 2
2
2
sh
b a
x2 a2 ln 2 , a, b 0 x b2
e
2
e
x2 4a2
,a 0
2a e a
2
x arctan , a 0 a
i2
e
a
x x0
e ix0
利用Fourier变换（和反变换）的定义、性质和表2.4.1，采取前面所述用积分变换法解数理方 程的三大步骤，便可用Fourier变换法求解相关的定解问题（见后面的例题分析）。 （三）Laplace 变换 1.定义 设函数 f t 满足以下条件： （1）当 t 0 时， f t 0 （2）当 t 0 时， f t 及除去有限个第一类间断点外，处处连续 （3）当 t 时，存在常数 M 及 0 0 ，使得 则称函数 为函数 f t 的Laplace变换，并记作 L f t F p ，而称函数
F e i0 x f x G 0
F f x x0 e ix0 F f x
F f ax 1 G a a
（2.4.15）
2
中国海洋大学 数学科学学院
方钟波
Definite Solutions Problem and Five Kind Solving Methods in Equations of Mathematical Physics
1 f x 2
G e
ix
d
G
f x e
ix
dx
sin ax x
, a
, a 2 0, a
i e ia e ib
e ix a x b