第4章 第6节

结合 A＋C＝120°，得 30°<C<90°，
所以12<a<2，从而
3 8 <S△ABC<
3 2.
因此，△ABC 面积的取值范围是 83， 23.
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
[方法技巧] 与三角形面积有关问题的解题策略 (1)对于面积公式 S＝12absin C＝12acsin B＝12bcsin A，一般是已知哪一个角就使用 哪一个公式． (2)与面积有关的问题，一般要用正弦定理或余弦定理进行边和角的转化．
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
5．(2017·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 2bcos B π
＝acos C＋ccos A，则 B＝____3____.
解析 方法一 由2bcos B＝acos C＋ccos A及正弦定理，
即此三角形有两解．
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
3．(2018·全国卷Ⅱ改编)在△ABC 中，cos C＝－35，BC＝1，AC＝5，则 AB＝( A )
A．4 2
B． 30
C． 29
D．2 5
解析 在△ABC 中，由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BC·cos C＝52＋12－ 2×5×1×－35＝32，
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
考点三 正、余弦定理的应用
考向(一) 判断三角形的形状
设△ABC 的内角 A，B，C 所对的边分别为 a，b，c，若 bcos C＋ccos B＝
asin A，则△ABC 的形状为( B )
A．锐角三角形
B．直角三角形
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
3．设△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.若 a＝ 3，sin B＝12，C＝π6， 则 b＝____1____.
解析 在△ABC 中，∵sin B＝12，0<B<π，∴B＝π6或 B＝56π. 又∵B＋C<π，C＝π6， ∴B＝π6，∴A＝23π.
得2sin Bcos B＝sin Acos C＋sin Ccos A．
∴2sin Bcos B＝sin(A＋C)．
又A＋B＋C＝π，∴A＋C＝π－B． ∴2sin Bcos B＝sin(π－B)＝sin B．
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
又 sin B≠0，∴cos B＝12.∴B＝π3. 方法二 ∵在△ABC 中，acos C＋ccos A＝b， ∴条件等式变为 2bcos B＝b，∴cos B＝12. 又 0<B<π，∴B＝π3.
∵sina A＝sinb B，∴b＝assiinnAB＝1.
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
[方法技巧] 利用正弦定理可解决两类问题
基本类型
一般解法
①由 A＋B＋C＝180°，求出 C；
已知两角及其中一角的 对边，如 A，B，a
②根据正弦定理，得sina A＝sinb B及sina A＝sinc C，求出
(1)可以连续用余弦定理求出两角，常常是分别求较小两
已知三边
边所对的角，再由 A＋B＋C＝180°，求出第三个角； (2)由余弦定理求出一个角后，也可以根据正弦定理求出
第二个角，但仍然是先求较小边所对的角
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
考点二 与三角形面积有关的问题
cos B＝c2＋2aa2c－b2；
(3)a∶b∶c＝____s_in__A_∶__s_in__B_∶__s_in__C______； (4)asin B＝bsin A，bsin C＝csin B，asin C＝csin A
cos C＝a2＋2ba2b－c2
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
∴AB＝ 32＝4 2.
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4．在△ABC 中，a＝4，b＝5，c＝6，则ssiinn2CA＝____1____. 解析 ssiinn2CA＝2sinsiAncCos A＝2ac·b2＋2cb2c－a2＝2×46×252＋×356×－616＝1.
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
[训练] (2017·全国卷Ⅲ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知 sin A＋ 3cos A＝0，a＝2 7，b＝2.
(1)求 c； (2)设 D 为 BC 边上一点，且 AD⊥AC，求△ABD 的面积． 解 (1)由已知可得 tan A＝－ 3，所以 A＝23π. 在△ABC 中，由余弦定理得 28＝4＋c2－4ccos 23π， 即 c2＋2c－24＝0， 解得 c＝－6(舍去)，c＝4.
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
定理
正弦定理
余弦定理
(1)a ＝ 2Rsin A ， b ____2_R_s_in__C______；
＝
_____2_R_s_in__B_____
，
c
＝
cos
A＝b2＋2cb2c－a2；
变形 (2)sin A＝2aR，sin B＝2bR，sin C＝2cR；
边 b，c
①根据正弦定理，经讨论求 B；
已知两边及其中一边所 ②求出 B 后，由 A＋B＋C＝180°，求出 C；
对的角，如 a，b，A
③再根据正弦定理sina A＝sinc C，求出边 c
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
考向(二) 利用余弦定理解三角形
4．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos A＋acos B＝c2，a
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
2．在△ABC中，若a＝18，b＝24，A＝45°，则此三角形有( B )
A．无解
B．两解
C．一解
D．解的个数不确定
解析
∵sina
A＝sinb
B，∴sinB＝basin
A＝2148sin
45°＝2
3
2 .
又∵a<b，∴B 有两个解，
4．三角形中的射影定理：在△ABC 中，a＝bcos C＋ccos B；b＝acos C＋ccos A；
c＝bcos A＋acos B．
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
[热身启动] 1．判断正误 (1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比．( × ) (2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B．( √ ) (3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素．( × ) (4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC为锐角三角形．( × ) (5)在三角形中，已知两边和一角就能求三角形的面积．( √ )
(2019·全国卷Ⅲ)△ABC
的内角
A，B，C
的对边分别为
a，b，c，已知
A＋C asin 2
＝bsin A．
(1)求 B；
(2)若△ABC 为锐角三角形，且 c＝1，求△ABC 面积的取值范围．
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
解 (1)由题设及正弦定理得 sin AsinA＋2 C＝sin Bsin A． 因为 sin A≠0，所以 sinA＋2 C＝sin B．
∴cos B＝
1－sin2B＝2
3
2 .
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2．(2019·全国卷Ⅱ)△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 bsin A＋ 3π
acos B＝0，则 B＝____4____. 解析 ∵bsin A＋acos B＝0，∴sina A＝－cbos B. 由正弦定理，得－cos B＝sin B，∴tan B＝－1. 又 B∈(0，π)，∴B＝34π.
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
5．(2020·山东菏泽月考)在△ABC 中，A＝60°，AC＝4，BC＝2 3，则△ABC 的 面积等于___2__3___.
解析 ∵si2n 630°＝sin4 B，∴sin B＝1，∴B＝90°，∴AB＝2，∴S△ABC＝12×2×2 3 ＝2 3.
由 A＋B＋C＝180°，可得 sinA＋2 C＝cosB2， 故 cosB2＝2sinB2cosB2. 因为 cosB2≠0，所以 sinB2＝12，所以 B＝60°.
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
(2)由题设及(1)知△ABC 的面积 S△ABC＝ 43a. 由(1)知 A＋C＝120°， 由正弦定理得 a＝cssiinnCA＝sin1s2in0°C－C＝2tan3C＋12. 由于△ABC 为锐角三角形，故 0°<A<90°，0°<C<90°.
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主题二 第四章 三角函数、解三角形
[学霸笔记] 1．在△ABC 中，内角 A，B，C 成等差数列⇔B＝π3，A＋C＝23π.