必修1第四章第6节：等时圆问题专题

高一物理-等时圆专题

一、何谓“等时圆”“等时圆”是从一道高考题得到的一个重要结论及其应用，高考原题如下：在物理教学中，借助各种模型，把抽象问题具体化，把复杂问题简单化，能使得物理问题便于理解和接受。

基于此我对“等时圆”规律和应用阐述如下：mg cos ma由此题我们可以得出一个结论。

结论：物体沿着位于同一竖直圆上的所有光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等，均等于小球沿竖直直径（ d ）自由落体的时间。

推论：若将图1倒置成图2的形式，同样可以证明物体从最高点由静止开始沿不同的光滑细杆到圆周上各点所用的时间相等，均等于小球沿竖直直径（自由落体的时间。

像这样的竖直圆我们简称为“等时圆”、“等时圆”的应用，巧用等时圆模型解题对于涉及竖直面上物体运动时间的比较、计算等问题可考虑用等时圆模型求解.高一物理“等时圆”模型专题例1:如图3,通过空间任一点 A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点 A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（ A.球面 B.抛物面） C.水平面 D.无法确定解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一 “等时圆”上，所以A 正确。

2004年江西高考试题：如图1所示，ad 、bd 、cd 是竖直面内三根固定的光滑细杆,a 、b 、c 、d 位于同一圆周上，a 点为圆周的最高点，d 点为最低点。

每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从 a 、b 、c 处释放（初速为 0）,用3、t 2、t 3依次表示各滑环到达d 所用的时间，则（）A.t l <t 2<t 3B.t 1>t 2>t 3C.t 3>t 1>t 2D.t 1=t 2=t 3解析：选任一杆上的环为研究对象，受力分析并建立坐标如图所示，设圆半径为R,由牛顿第二定律得，再由几何关系, 细杆长度 L 2Rcos ②设下滑时间为 t,则L1at 22由以上三式得,可见下4滑时间与细杆倾角无关，所以D 正确。

高中物理运动学中等时圆应用技巧(含答案)

1运动学等时圆运用问题一等时圆问题引出（1）讨论：小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如图a ）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为g d g d a s t 2sin sin 220===ααg R2= （式中R 为圆的半径。

）结论：沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

（2）讨论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间结论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。

（如图b ，证明同上）g d g d a s t 2sin sin 220===ααgR2= （式中R 为圆的半径。

）说明：如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，设弦与水平方向的夹角为θ，则弦长2R sin θ，下滑受力 F =mg sin θ－mg cos θ沿斜面加速度： a =mF= g sin θ－g cos θ 由运动学公式有 2R sin θ=21(g sin θ—μg cos θ) t 2，解得 t =)cot 1(2)cos (sin sin 2θμθμθθ-=-g Rg R ， θ 增大，时间t 减小，规律不成立.图a 图b二等时圆的应用（1）比较运动快慢（2）确定运动路径（3）测定圆周半径（4）计算运动时间例1 直接利用等时圆结论解题（2004年高考试题）如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。

每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1<t2<t3B. t1>t2>t3C. t3>t1>t2 D .t1=t2=t3【答案】D二、“等时圆”的应用,1：如图，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【答案】A解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。

等时圆

h B H
O
P
解析：解析：由“等时圆”特征可知，当A、B处于等时圆等时圆”特征可知，、处于等时圆周上且P点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要周上且点处于等时圆的最低点时，点处于等时圆的最低点时 A 求如图所示，此时等时圆的半径为：如图所示，此时等时圆的半径为： h
B
h R = O1 P = H + 2
c b a O θ
解析：解析：三块滑块虽然都从同一圆柱面上下滑，但a、b、c三点不可能在同一竖直圆周、、三点不可能在同一竖直圆周上，所以下滑时间不一定相等。设圆柱底所以下滑时间不一定相等。面半径为R，面半径为，则
c
R = cos θ
4R 4R 1 gsinθt gsin t2， t2= g sin 2θ 2
A
解析：解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体等时圆”可知，应在同一“等时圆” 所以A正确正确。应在同一“等时圆”上，所以正确。
图3
例2：如图，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平面：如图:，相切于M点与竖直墙相切于点A，竖直墙上另一点B与相切于点，与竖直墙相切于点，竖直墙上另一点与M 的连线和水平面的夹角为60 是圆环轨道的圆心，是圆的连线和水平面的夹角为 0，C是圆环轨道的圆心，D是圆是圆环轨道的圆心环上与M靠得很近的一点靠得很近的一点（远小于CM）。已知在同一时）。已知在同一时环上与靠得很近的一点（DM远小于远小于）。两球分别由A、两点两点从静止开始沿光滑倾斜直轨刻：a、b两球分别由、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨、两球分别由道运动到M点球由C点自由下落到球从D点静止道运动到点；c球由点自由下落到点；d球从点静止球由点自由下落到M点球从出发沿圆环运动到M点出发沿圆环运动到点。则：（）

专题等时圆模型(课件)-2022-2023学年高中物理课件(人教版2019必修第一册)

静止开始滑到下端所用时间相等,如图乙所示;
等时性的证明
设某一条光滑弦与水平方向的夹角为α,圆的直径为d(如图丁)。质点沿光滑
弦做初速度为零的匀加速直线运动,加速度为a=g sin α,位移为s=d sin α,所以
2d sin α
2d
2s
运动时间为t0=
=
=
。
g sin α
g
a
丁
第四类：圆周内同底端的斜面(如图所示)
的圆心。已知在同一时刻a、b两球分别由A、B两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道A
M、BM运动到M点;c球由C点自由下落到M点。则
A.a球最先到达M点
B.b球最先到达M点
C.c球最先到达M点
D.b球和c球都可能最先到达M点
( C )
审题关键这里只有a球路径属于等时圆模型,b、c球如何跟等时圆模型建
立联系?
一样的小球同时从起点向下滑落，哪个小球先到终点。
1696年，瑞士数学家约翰·伯努利解
决了这个问题，他还拿这个问题向其
他数学家提出了公开挑战。牛顿、莱
布尼兹、洛比达以及雅克布·伯努利
等解决了这个问题。这条最速降线就
是一条摆线，也叫旋轮线。
伽利略于1630年提
出了这个问题，当
时他认为这条线应
该是一条圆弧，可
1 2
h
由L＝ at ，a＝gsin θ，L＝
2
sin θ
1
可得t＝
sin θ
2h
g，
可知倾角越小，时间越长，图1中t1＞t2＞t3。
第二类：同底斜面(如图2所示)
1 2
d
由L＝ at ，a＝gsin θ，L＝
2
cos θ

第四章运动和力等时圆模型人教版(教材)高中物理必修第一册PPT

动力学图像问题
连接体问题
动力学临界极值问题
等时圆模型

传送带模型
板块模型
【学习目标】
1、了解等时圆模型的建立过程，知道等时圆模型的基本规律和使用条件。
2、学会自建等时圆，掌握等时圆模型在动力学中的妙用。 3、体会物理模型、物理思维方法在物理解题中的重要性。
基本规律
物体从同一竖直圆上各点沿不同的光滑弦由静止下滑，到达圆周最低点的时间相等。物体从同一竖直圆上最高点沿不同的光滑弦由静止下滑，到达圆周上各点的时间相等。
【例 2】
方法一：等时圆法方法二：解析法
【解后反思】不能直接观察出“等时圆” 时，需自建“等时圆”。作等时圆的步骤是：（1）设置顶点（2）过顶点作竖直线（3）找圆心（4）作等时圆
【练习2】
1.3古.表人明写文文中章女常子常热借情古、讽温今柔。的杜句牧子《：阿既房见宫复赋关》，：载“呜笑呼载!言灭。六国者六国也，非秦也；族秦者秦也，非天下也。”借秦灭亡的教训批评唐敬4、宗烛广之建武宫的室闪。光处——“苟利国家生死以，岂因福祸趋避之。” 26、.作请者学提生出思自考己：的观点——“无所待”才是真正的逍遥的并列句了三类人的句子是：至人无己，神人无功，圣人无名。 B9.《材离料骚一》介中绍表了明共当享时单社车会产中生的的人背们景违及背其准使则用，方把法苟，合而取材悦料别三人和奉材为料信四条都的提两到句要：关注儿童骑行共享单车时所面临的安全问题。 194.写．女李子白为在人《妇蜀后道早难晚》辛一苦诗劳中动，的写句出子了是剑：阁三地岁势为险妇要，，靡易室守劳难矣攻；的夙特兴点夜的寐句，子靡是有“剑朝阁矣峥嵘而崔嵬，一夫当关，万夫莫开。” 1三8,.诗文歌中赏告析诉:我们别人的东西虽小也不能占有：苟非吾之所有，虽一毫而莫取。 21.4秦.《王离被骚逐》狼中狈表不明堪作，者荆保轲持行清刺白一为无正所道惧而。死，也是以古贤为榜样的两句(表明自己追慕古代圣贤，宁死不失正义) ：“伏清白以死直兮， 1固2前.本圣段之写所蒙厚嘉。在”秦王面前为荆轲见秦王铺平了道路，他先讲明燕王对秦国十分畏惧恭顺，再进一步讲明燕王如何诚心诚意侍奉秦国。这2.易样水，送就别满，足有了力秦地王突的出骄了傲荆心轲理义，无同反时顾，的由刚于毅是性宠格臣和所英言雄，气也概增。加了对荆轲的信任感。 ②问郑：伯诗是人如是何怎说样服想烛起之大武堰的河？的当？郑为伯什准么备艾使青烛说之“我武看见到秦了君雪时使，我却想遭起到了拒你绝”？：而“臣不之是壮看也到，春犹雨不，如听人到；秋今风老萧矣瑟，的无声能音为使也我已想。起”了鲜你明呢地？流露A. 出由对政年府轻倡时导未的被共重享用单而车产出生行的模牢式骚有与效不缓满解。了而公郑共伯出则行表“最现后得一大公度里宽”的容问而题不，卑而不网亢络。技“吾术不的能强早大用是子促，进今其急发而展求的子重，要是原寡因人。之过也。然郑明亡确，：子人亦如有其不名利，焉佚。之狐”先身屈上尊的自狐责味，太动重之。以只情身；入后虎以狼国之家地大，义能警否之说，服晓秦之伯以谁理也。不于敢是打，保烛票之，武稍只有得不“许慎之，”惹。恼了秦伯，自己掉了脑袋生不齐算答，：还《可白能蛇被传牢》牢。的钉在历史的耻辱柱上让后人指指点点。抬出烛之武，既能提高成功的几率，在成就烛之武的同时自己也落个“伯【乐课”的堂美教名学。设所计以】说他是一条狡猾的狐狸！ 7第.既四在部广分阔（的从历“既史至背秦景”上到引“秦出王阿目房眩宫良的久修”）建廷，刺又秦起王到了笼盖全篇、暗示主题的作用的句子是：六王毕，四海一；蜀山兀，阿房出。 1【3教．学李难白点在】《蜀道难》一诗中指出逶迤千里的蜀道，还有更为奇险的风光。诗人先用“连峰去天不盈尺，枯松倒挂倚绝壁。”托出山势的舞高幽险壑，之然潜后蛟由，静泣而孤动舟，之嫠“飞妇湍。瀑流争喧豗，砯崖转石万壑雷”写出水石激荡、山谷空鸣的场景。

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1运动学等时圆运用问题一等时圆问题引出（1）讨论：小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如图a ）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为g d g d a s t 2sin sin 220===ααg R2= （式中R 为圆的半径。

）结论：沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

（2）讨论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间结论：小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。

（如图b ，证明同上）g d g d a s t 2sin sin 220===ααgR2= （式中R 为圆的半径。

）说明：如果细杆是粗糙的，环与细杆间的动摩擦因数都为μ，设弦与水平方向的夹角为θ，则弦长2R sin θ，下滑受力 F =mg sin θ－mg cos θ沿斜面加速度： a =mF= g sin θ－g cos θ 由运动学公式有 2R sin θ=21(g sin θ—μg cos θ) t 2，解得 t =)cot 1(2)cos (sin sin 2θμθμθθ-=-g Rg R ， θ 增大，时间t 减小，规律不成立.图a 图b二等时圆的应用（1）比较运动快慢（2）确定运动路径（3）测定圆周半径（4）计算运动时间例1 直接利用等时圆结论解题（2004年高考试题）如图所示，ad、bd、cd是竖直面内三根固定的光滑细杆，a、b、c、d位于同一圆周上，a点为圆周的最高点，d点为最低点。

每根杆上都套有一个小滑环（图中未画出），三个滑环分别从a、b、c处释放（初速为0），用t1、t2、t3依次表示各滑环到达d所用的时间，则（）A.t1<t2<t3B. t1>t2>t3C. t3>t1>t2 D .t1=t2=t3【答案】D二、“等时圆”的应用,1：如图，通过空间任一点A可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【答案】A解析：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A正确。

等时圆模型最全

“等时圆”模型的规律及应用一、等时圆模型（如图所示）二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。

（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。

（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即gRg R g dt 2420===（式中R 为圆的半径。

）三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

四、应用等时圆模型解典型例题例1：如图1，通过空间任一点A 可作无限多个斜面，若将若干个小物体从点A 分别沿这些倾角各不相同的光滑斜面同时滑下，那么在同一时刻这些小物体所在位置所构成的面是（）A.球面B.抛物面C.水平面D.无法确定【解析】：由“等时圆”可知，同一时刻这些小物体应在同一“等时圆”上，所以A图a 图b正确。

例2：如图2，在斜坡上有一根旗杆长为L ，现有一个小环从旗杆顶部沿一根光滑钢丝AB 滑至斜坡底部，又知OB=L 。

求小环从A 滑到B 的时间。

【解析】：可以以O 为圆心，以 L 为半径画一个圆。

根据“等时圆”的规律可知，从A 滑到B 的时间等于从A 点沿直径到底端D 的时间，所以有gLg L g dt t AD AB 242==== 例3：如图5所示，在同一竖直线上有A 、B 两点，相距为h ，B 点离地高度为H ，现在要在地面上寻找一点P ，使得从A 、B 两点分别向点P 安放的光滑木板，满足物体从静止开始分别由A 和B 沿木板下滑到P 点的时间相等，求O 、P 两点之间的距离OP 。

解析：由“等时圆”特征可知，当A 、B 处于等时圆周上，且P 点处于等时圆的最低点时，即能满足题设要求。

牛顿运动定律——等时圆问题学案、试题、答案

试卷第1页，总1页牛顿运动定律的应用——“等时圆”模型一、等时圆模型（如图所示）二、等时圆规律：1、小球从圆的顶端沿光滑弦轨道静止滑下，滑到弦轨道与圆的交点的时间相等。

（如图a ）2、小球从圆上的各个位置沿光滑弦轨道静止滑下，滑到圆的底端的时间相等。

（如图b ）3、沿不同的弦轨道运动的时间相等，都等于小球沿竖直直径（d ）自由落体的时间，即 gR g R g d t 2420=== （式中R 为圆的半径。

）三、等时性的证明设某一条弦与水平方向的夹角为α，圆的直径为d （如右图）。

根据物体沿光滑弦作初速度为零的匀加速直线运动，加速度为αsin g a =，位移为αsin d s =，所以运动时间为 gd g d a s t 2sin sin 220===αα 即沿各条弦运动具有等时性，运动时间与弦的倾角、长短无关。

习题1、（多选）如图所示，位于竖直平面内的固定光滑圆轨道与水平轨道面相切于M 点，与竖直墙相切于A 点，竖直墙上另一点B 与M 的连线和水平面的夹角为60°，C 是圆轨道的圆心。

已知在同一时刻，a 、b 两球分别由A 、B 两点从静止开始沿光滑倾斜直轨道运动到M 点；c 球由C 点自由下落到M 点。

则下列说法正确的是（）A ．球a 最先到达M 点B ．球b 最先到达M 点C ．球c 最先到达M 点D ．球c 先到M 点，球b 最后到M 点2、如图，光滑细杆BC、DC和AC构成矩形ABCD的两邻边和对角线，AC∶BC∶DC＝5∶4∶3，AC杆竖直，各杆上分别套有一质点小球a、b、d，a、b、d 三小球的质量比为1∶2∶3，现让三小球同时从各杆的顶点由静止释放，不计空气阻力，则a、b、d三小球在各杆上滑行的时间之比为( )A．1∶1∶1B．5∶4∶3C．5∶8∶9D．1∶2∶33、如图所示，在竖直平面内有半径为R和2R的两个圆，两圆的最高点相切，切点为A，B和C分别是小圆和大圆上的两个点，其中AB，AC长为．现沿AB和AC建立两条光滑轨道，自A处由静止释放小球，已知小球沿AB轨道运动到B点所用时间为t1，沿AC轨道运动到C点所用时间为t2，则t1与t2之比为（）A．B．1:2 C．D．1:34、如图所示,一质点自倾角为60∘的斜面上方某点A,沿光滑斜槽AB从静止开始下滑,为了使质点在最短时间内到达斜面,则斜槽与竖直方向的夹角θ为( )A. 0∘B. 30∘C. 45∘D. 60∘试卷第2页，总1页。