高中数学必修2 ：直线与圆中的动点问题 专题练习
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直线与圆一．解答题（共10 小题）1．已知直线x﹣ y+3=0 与圆心为（ 3，4）的圆 C 相交，截得的弦长为2．（1）求圆 C 的方程；（2）设 Q 点的坐标为（ 2，3），且动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ| 的比值为常数 k（k＞ 0）．若动点 M 的轨迹是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程．2．已知直线l： y=x+2 被圆 C：（x﹣ 3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x﹣3）2+（ y﹣2）2=r2（ r＞ 0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△ CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n 的方程；若△ CDE的面积没有最大值，说明理由．3．已知 M （4， 0）， N（ 1，0），曲线 C上的任意一点P 满足：?=6||（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于 H 点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2 是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．4．已知动圆 P 与圆 F1：（x+2）2+y2=49 相切，且与圆 F2：（ x﹣ 2）2+y2=1 相内切，记圆心P 的轨迹为曲线 C．（Ⅰ）求曲线 C 的方程；（Ⅱ）设 Q 为曲线 C 上的一个不在x 轴上的动点， O 为坐标原点，过点F2作 OQ 的平行线交曲线 C 于 M，N 两个不同的点，求△QMN 面积的最大值．5．已知动圆P 过定点且与圆N：相切，记动圆圆心P 的轨迹为曲线C．（Ⅰ）求曲线 C 的方程；（Ⅱ）过点 D（ 3，0）且斜率不为零的直线交曲线 C 于 A，B 两点，在 x 轴上是否存在定点 Q，使得直线AQ，BQ的斜率之积为非零常数？若存在，求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．6．如图所示，在△ABC中， AB 的中点为 O，且 OA=1，点 D 在 AB 的延长线上，且．固定边AB，在平面内移动顶点C，使得圆 M 与边 BC，边 AC 的延长线相切，并始终与AB 的延长线相切于点D，记顶点C 的轨迹为曲线Γ．以AB所在直线为x 轴， O 为坐标原点如图所示建立平面直角坐标系．（Ⅰ）求曲线Γ的方程；（Ⅱ）设动直线l 交曲线Γ于 E、 F 两点，且以EF为直径的圆经过点O，求△ OEF面积的取值范围．7．已知△ ABC的顶点 A（1， 0），点 B 在 x 轴上移动， | AB| =| AC| ，且 BC 的中点在y 轴上．（Ⅰ）求 C 点的轨迹Γ的方程；（Ⅱ）已知过 P（ 0，﹣ 2）的直线 l 交轨迹Γ于不同两点 M， N，求证： Q（ 1，2）与 M， N 两点连线 QM， QN 的斜率之积为定值．8．已知圆M： x2+y2+2y﹣7=0和点N（0，1），动圆P经过点N且与圆M相切，圆心P的轨迹为曲线E．（1）求曲线 E 的方程；（2）点 A 是曲线 E 与 x 轴正半轴的交点，点 B、C 在曲线 E 上，若直线 AB、AC的斜率 k1，k2，满足 k1k2=4，求△ ABC面积的最大值．9．已知过点A（ 0， 1）且斜率为k 的直线 l 与圆 C：（x﹣ 2）2+（y﹣3）2=1 交于点 M，N 两点．（1）求 k 的取值范围；（2）请问是否存在实数k 使得（其中O为坐标原点），如果存在请求出k 的值，并求 | MN | ；如果不存在，请说明理由．10．已知O 为坐标原点，抛物线C： y2=nx（n＞ 0）在第一象限内的点P（2， t）到焦点的距离为，C在点P 处的切线交 x 轴于点 Q，直线 l1经过点 Q 且垂直于 x轴．（1）求线段 OQ 的长；（2）设不经过点 P 和 Q 的动直线 l2：x=my+b 交 C 交点 A 和 B，交 l1于点 E，若直线 PA， PB 的斜率依次成等差数列，试问： l2是否过定点？请说明理由．直线与圆参考答案与试题解析一．解答题（共10 小题）1．已知直线x﹣ y+3=0 与圆心为（ 3，4）的圆 C 相交，截得的弦长为2．（1）求圆 C 的方程；（2）设 Q 点的坐标为（ 2，3），且动点 M 到圆 C 的切线长与 | MQ| 的比值为常数 k（k＞ 0）．若动点 M 的轨迹是一条直线，试确定相应的 k 值，并求出该直线的方程．【分析】（1）求出圆心 C 到直线 l 的距离，利用截得的弦长为2求得半径的值，可得圆 C 的方程；（2）设动点 M（ x，y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（k2﹣1）?x2+（k2﹣1） ?y2+（6﹣ 4k2） x+（8﹣6k2）y+13k2﹣9=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则k2﹣1=0，即可得出结论．【解答】解：（1）圆心 C 到直线 l 的距离为= ，∵截得的弦长为 2，∴半径为 2，∴圆 C：（x﹣ 3）2+（ y﹣4）2=4；（2）设动点 M （x， y），则由题意可得=k，即=k，化简可得（ k2﹣ 1）?x2+（ k2﹣ 1）?y2+（ 6﹣4k2）x+（8﹣ 6k2） y+13k2﹣21=0，若动点 M 的轨迹方程是直线，则 k2﹣ 1=0，∴ k=1，直线的方程为 x+y﹣4=0．【点评】本小题主要考查直线与圆的位置关系，弦长公式的应用，圆的一般式方程，属于中档题．2．已知直线l： y=x+2 被圆 C：（x﹣ 3）2+（y﹣2）2=r2（r＞0）截得的弦AB的长等于该圆的半径．（1）求圆 C 的方程；（2）已知直线 m：y=x+n 被圆 C：（x﹣3）2+（ y﹣2）2=r2（ r＞ 0）截得的弦与圆心构成三角形CDE．若△ CDE 的面积有最大值，求出直线m：y=x+n 的方程；若△ CDE的面积没有最大值，说明理由．【分析】（1）根据直线和圆相交得到的弦长公式求出圆的半径即可求圆 C 的方程；（2）根据直线和圆相交的位置关系，结合△CDE的面积公式即可得到结论．【解答】解：（1）设直线 l 与圆 C 交于 A， B 两点．∵直线 l ：y=x+2 被圆 C：（x﹣ 3）2 +（y﹣ 2）2=r2（ r＞0）截得的弦长等于该圆的半径，∴△ CAB为正三角形，∴三角形的高等于边长的，∴圆心 C 到直线 l 的距离等于边长的．∵直线方程为x﹣y+2=0，圆心的坐标为（3， 2），∴圆心到直线的距离d==，∴r=，∴圆C的方程为：（x﹣3）2+（y﹣2）2=6．（2）设圆心 C 到直线 m 的距离为 h， H 为 DE的中点，连结 CD，CH，CE．在△ CDE中，∵DE=，∴=∴，当且仅当 h2=6﹣h2，即 h2=3，解得h=时，△ CDE的面积最大．∵CH=，∴| n+1| =，∴n=，∴存在n的值，使得△ CDE的面积最大值为3，此时直线 m 的方程为y=x．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系的应用，根据弦长公式是解决本题的关键．3．已知 M （4， 0）， N（ 1，0），曲线 C上的任意一点P 满足：?=6||（Ⅰ）求点 P 的轨迹方程；（Ⅱ）过点 N（1，0）的直线与曲线 C 交于 A，B 两点，交 y 轴于 H 点，设=λ1，=λ2，试问λ1+λ2 是否为定值？如果是定值，请求出这个定值；如果不是定值，请说明理由．【分析】（Ⅰ）求出向量的坐标，利用条件化简，即可求点P 的轨迹方程；（Ⅱ）分类讨论，利用=λ1，=λ2，结合韦达定理，即可得出结论．【解答】解：（Ⅰ）设 P（ x，y），则=（﹣ 3，0），=（ x﹣ 4，y），=（1﹣x，﹣ y）．∵?=6|| ，∴﹣ 3×（ x﹣ 4）+0× y=6，化简得=1 为所求点 P 的轨迹方程 .4 分（Ⅱ）设 A（x1，y1）， B（ x2， y2）．①当直线 l 与 x 轴不重合时，设直线l 的方程为x=my+1（ m≠ 0），则 H（ 0，﹣）．从而=（ x ， y +），=（ 1 x ， y ），由=λ得（x，y +）=λ（1x ， y ），111111111 1∴ λ=1+1同理由得λ，2=1+∴ （λ1+λ2）=2+由直与方程立，可得（4+3m2） y2+6my 9=0，∴y1+y2=，y1y2=代入得∴（λ+λ） =2+=，1 2∴λ+λ1 2=②当直 l 与 x 重合， A（ 2，0），B（2，0），H（0， 0），λ，1 =．λ2= 2∴λ+λ分1 2=11上，λ1+λ2定.12 分．【点】本考迹方程，考向量知的运用，考直与位置关系的运用，考分的数学思想，属于中档．4．已知P与F1：（x+2）2+y2=49相切，且与F2：（ x 2）2+y2=1相内切，心P 的迹曲 C．（Ⅰ）求曲 C 的方程；（Ⅱ） Q 曲 C 上的一个不在x 上的点， O 坐原点，点F2作 OQ 的平行交曲 C 于 M，N 两个不同的点，求△QMN 面的最大．【分析】（I ）由已知条件推出| PF1|+| PF2| =8＞ | F1F2| =6，从而得到心P 的迹以F1，F2焦点的，由此能求出心P 的迹 C 的方程．（II）由 MN∥ OQ，知△ QMN 的面 =△ OMN 的面，由此能求出△QMN 的面的最大．【解答】解：（Ⅰ） P 的半径R，心 P 的坐（ x，y），由于 P 与 F1：（ x+2）2+y2=49相切，且与F2：（ x 2）2+y2=1相内切，所以 P 与F1只能内切．⋯（ 1 分）所以 | PF1|+| PF2 | =7 R+R 1=6＞ | F1F2| =4．⋯（3 分）所以心心P 的迹以F1，F2焦点的，其中 2a=6，2c=4，∴ a=3， c=2， b2=a2c2=5．所以曲 C 的方程=1．⋯（4 分）（Ⅱ） M （x1， y1）， N（ x2， y2）， Q（x3，y3），直 MN 的方程x=my+2，由可得：（5m 2+9） y2+20my 25=0，y 1+y2 =，y1y2=．⋯（5分）所以 | MN | ==⋯（7分）因 MN∥ OQ，∴△ QMN 的面 =△OMN 的面，∵O 到直 MN ：x=my+2 的距离 d=．⋯（9分）所以△ QMN 的面．⋯（ 10 分）令=t， m2=t21（t ≥0），S==．，．因 t≥ 1，所以．所以，在 [ 1， +∞）上增．所以当 t=1 ， f（ t ）取得最小，其9．⋯（ 11 分）所以△ QMN 的面的最大．⋯（ 12 分）【点】本考的准方程、直、、与等知，考推理能力、运算求解能力，考函数与方程思想、化与化思想、数形合思想等．5．已知 P 定点且与 N：相切，心P 的迹曲C．（Ⅰ）求曲 C 的方程；（Ⅱ）点 D（ 3，0）且斜率不零的直交曲 C 于 A，B 两点，在 x 上是否存在定点Q，使得直AQ， BQ的斜率之非零常数？若存在，求出定点的坐；若不存在，明理由．【分析】（Ⅰ）由意可知丨PM 丨+丨 PN 丨 =4＞丨 MN 丨 =2 ， P 的迹 C 是以 M ，N 焦点，2=a2 c2=1，即可求得方程；4 的， a=4， c= ，b（Ⅱ）将直线方程代入椭圆方程，考查韦达定理，直线的斜率公式，当且仅当，解得 t= ±2，代入即可求得，定点的坐标．【解答】解：（Ⅰ）设动圆 P 的半径为r，由 N：及，知点M在圆N 内，则有，从而丨 PM 丨 +丨 PN 丨=4＞丨 MN 丨=2，∴P 的轨迹 C 是以 M ，N 为焦点，长轴长为 4 的椭圆，设曲线 C 的方程为：（a＞b＞0），则2a=4，a=4，c=，b2=a2﹣c2=1故曲线 C 的轨迹方程为；（Ⅱ）依题意可设直线AB 的方程为 x=my+3，A（ x1，y1），B（x2， y2）．，由，整理得：（ 4+m2）y2+6my+5=0，则△ =36m2﹣4×5×（ 4+m2）＞ 0，即 m2＞ 4，解得： m＞2 或 m＜﹣ 2，由 y 1+y2=﹣，y1y2= ， x1+x2=m（y1+y2）+6=，x1x2=（my1 +3）（my2 +3） =m2y1y2+m（y 1+y2）+9=，假设存在定点Q（t ，0），使得直线AQ，BQ 的斜率之积为非零常数，则（x1﹣ t）（ x2 ﹣t ） =x1 2﹣ t（ x1+x2） +t2= ﹣t ×2= ，x +t∴kAQ?k BQ=?==，要使 k AQ?k BQ为非零常数，当且仅当，解得t=±2，当 t=2 时，常数为=，当 t= ﹣2 时，常数为=，∴存在两个定点Q1（2， 0）和 Q2（ 2， 0），使直AQ，BQ 的斜率之常数，当定点 Q1（ 2，0），常数；当定点Q2（ 2， 0），常数．【点】本考准方程及几何性，的定，考直与的位置关系，达定理，直的斜率公式，考算能力，属于中档．6．如所示，在△ABC中， AB 的中点O，且 OA=1，点 D 在 AB 的延上，且．固定AB，在平面内移点C，使得 M 与 BC， AC 的延相切，并始与AB 的延相切于点D，点C 的迹曲Γ．以AB所在直x ， O 坐原点如所示建立平面直角坐系．（Ⅰ）求曲Γ的方程；（Ⅱ）直l 交曲Γ于 E、 F 两点，且以EF直径的点O，求△ OEF面的取范．【分析】（Ⅰ）确定点 C 迹Γ是以 A，B 焦点， 4 的，且挖去的两个点，即可求曲Γ的方程；（Ⅱ）可直，而表示面，即可求△ OEF面的取范．【解答】解：（Ⅰ）依意得AB=2，BD=1，M 与 AC 的延相切于T1，与 BC 相切于 T2，AD=AT1， BD=BT2， CT1=CT2 所以AD+BD=AT+BT=AC+CT +BT=AC+CT+CT=AC+BC=AB+2BD=4＞ AB=2⋯（2 分）12121 2所以点 C 迹Γ是以A，B 焦点， 4 的，且挖去的两个点．曲Γ的方程．⋯（ 4 分）（Ⅱ）由于曲Γ 要挖去两个点，所以直OE， OF 斜率存在且不0 ，所以可直⋯（ 5 分）由得，，同理可得：，；所以，又 OE⊥ OF，所以⋯（8分）令t=k2+1，t＞1且k 2=t1，所以=⋯（10 分）又，所以，所以，所以，所以，所以△ OEF面的取范．⋯（ 12 分）【点】本考迹方程，考直与位置关系的运用，考三角形面的算，考学生分析解决的能力，属于中档．7．已知△ ABC的点 A（1， 0），点 B 在 x 上移， | AB| =| AC| ，且 BC 的中点在y 上．（Ⅰ）求 C 点的迹Γ的方程；（Ⅱ）已知 P（ 0， 2）的直 l 交迹Γ于不同两点 M， N，求： Q（ 1，2）与 M， N 两点 QM， QN 的斜率之定．【分析】（Ⅰ）利用直接法，求 C 点的迹Γ的方程；（Ⅱ）直 l 的方程 y=kx 2，与抛物方程立，求出斜率，即可明．【解答】解：（Ⅰ） C（ x，y）（ y≠ 0），因 B 在 x 上且 BC 中点在 y 上，所以 B（ x，0），由| AB| =| AC| ，得（ x+1）2=（x 1）2+y2，化得y2=4x，所以 C 点的迹Γ的方程y2=4x（y≠ 0）．（Ⅱ）直 l 的斜率然存在且不0，直 l 的方程 y=kx 2， M （x1， y1）， N（ x2， y2），由得 ky24y 8=0，所以，，，同理，，所以 Q（1， 2）与 M ，N 两点的斜率之定4．【点】本考迹方程，考直与抛物位置关系的运用，考学生的算能力，属于中档．8．已知M： x2+y2+2y 7=0和点N（0，1），P点N且与M相切，心P的迹曲E．（1）求曲 E 的方程；（2）点 A 是曲 E 与 x 正半的交点，点 B、C 在曲 E 上，若直 AB、AC的斜率 k1，k2，足 k1k2=4，求△ ABC面的最大．【分析】（1）利用与的位置关系，得出曲 E 是 M， N 焦点，的，即可求曲 E 的方程；（2）立方程得（1+2t2）y2+4mty +2m22=0，利用达定理，合k1k2=4，得出直BC 定点（ 3， 0），表示出面，即可求△ABC面的最大．【解答】解：（1） M ： x2+y2+2y 7=0 的心 M（ 0， 1），半径点 N（ 0， 1）在 M内，因 P 点 N 且与 M 相切，所以 P 与 M 内切． P 半径 r，r=| PM| ．因 P 点 N，所以 r=| PN| ，＞| MN| ，所以曲 E 是 M， N 焦点，的．2=2 1=1，由，得 b所以曲 E 的方程⋯（4分）（Ⅱ）直 BC斜率 0 ，不合意B（x1，y1）， C（ x2， y2），直 BC：x=ty+m，立方程得（ 1+2t 2） y2+4mty +2m22=0，又k 1k2=4，知y1y2=4（x1 1）（x2 1）=4（ty1 +m 1）（ ty2+m 1）=．代入得又 m≠ 1，化得（ m+1）（ 1 4t2）=2（ 4mt 2）+2（m 1）（ 1+2t 2），解得 m=3，故直 BC 定点（ 3， 0）⋯（8 分）由△ ＞，解得t2＞ 4 ，=（当且 当取等号）．上，△ ABC 面 的最大⋯（ 12 分）【点 】 本 考 与 的位置关系，考 的定 与方程，考 直 与 位置关系的运用，考 达定理，属于中档 ．9．已知 点 A （ 0， 1）且斜率 k 的直 l 与 C ：（x2）2+（y3） 2=1 交于点 M ，N 两点．（1）求 k 的取 范 ；（2） 是否存在 数k 使得 （其中 O 坐 原点），如果存在 求出k 的 ，并求 | MN | ；如果不存在， 明理由．【分析】（1） 出直 方程，利用直 与 的位置关系，列出不等式求解即可．（2） 出 M ，N 的坐 ， 利用直 与 的方程 立，通 达定理， 合向量的数量 ， 求出直 的斜率，然后判断直 与 的位置关系求解 | MN| 即可．【解答】 解：（1）由 ，可知直 l 的方程 y=kx+1，因 直l 与 C 交于两点，由已知可得C 的 心 C 的坐 （ 2，3），半径 R=1．故由＜ 1，解得： ＜k ＜所以 k 的取 范 得（， ）（2） M （x 1 ，y 1），N （x 2，y 2）．将 y=kx+1 代入方程：（x 2）2+（y 3） 2=1，整理得（ 1+k 2）x 24（1+k ） x+7=0．所以 x 1+x 2=，x 1x 2 =，? =x 1x 2 +y1y 2 =（1+k 2）（ x1x 2）+k （ x +x ） +1==12，1 2解得 k=1，所以直l 的方程 y=x+1．故 心 C 在直 l 上，所以 | MN | =2．【点 】 本 主要考 直 和 的位置关系的 用，以及直 和 相交的弦 公式的 算，考 学生的 算能力，是中档 ．10．已知 O 坐 原点，抛物C ： y 2=nx （n ＞ 0）在第一象限内的点P （2， t ）到焦点的距离 ，C 在点 P 的切 交 x 于点 Q ，直 l 1 点 Q 且垂直于 x ．（1）求 段 OQ 的 ；（2）不点 P 和 Q 的直 l2：x=my+b 交 C 交点 A 和 B，交 l1于点 E，若直 PA， PB 的斜率依次成等差数列，： l2是否定点？明理由．【分析】（1）先求出 p 的，然后求出在第一象限的函数，合函数的数的几何意求出N 的坐即可求段 OQ 的；（2）立直和抛物方程行消元，化关于y 的一元二次方程，根据根与系数之的关系合直斜率的关系建立方程行求解即可．【解答】解：（Ⅰ）由抛物 y2=nx（n＞0）在第一象限内的点P（2， t）到焦点的距离，得 2+ = ，∴ n=2，抛物 C 的方程 y 2=2x，P（2，2）．⋯（2 分）C 在第一象限的象的函数解析式y= ， y′=，故 C 在点 P 的切斜率，切的方程y 2= （ x 2），令 y=0 得 x= 2，所以点 Q 的坐（ 2，0）．故段 OQ 的 2．⋯（ 5 分）（Ⅱ）l2恒定点（ 2， 0），理由如下：由意可知 l 1的方程 x= 2，因 l2与 l1相交，故 m≠ 0．由 l 2： x=my+b，令 x= 2，得 y= ，故 E（ 2，）A（ x1，y1），B（x2，y2）由消去 x 得： y22my2b=0y 1+y2 =2m，y1y2= 2b ⋯（ 7 分）直 PA的斜率，同理直 PB 的斜率，直 PE的斜率．因直 PA，PE，PB 的斜率依次成等差数列，所以+=2×⋯（10分）整理得：=，因 l2不点 Q，所以 b≠ 2，所以 2m b+2=2m，即 b=2．故 l 2的方程x=my+2，即 l2恒定点（ 2， 0）．⋯（12 分）【点】本主要考直和抛物的位置关系，利用直和抛物方程，化一元二次方程，合达定理，利用而不求的思想是解决本的关．。
(完整word版)必修二数学圆的方程及直线与圆的位置关系练习题
新课程高中数学训练题组（数学 2 必修）第四章圆与方程[ 基础训练 A 组]一、选择题１．圆 (x 2) 2 y2 5 对于原点 P(0, 0) 对称的圆的方程为( )A ．(x 2)2 y2 5 B．x2 ( y 2)2 5C．(x 2)2 ( y 2) 2 5 D．x2 ( y 2)2 52．若P(2, 1) 为圆 ( x 1)2 y 2 25 的弦AB的中点，则直线AB 的方程是（）A. x y 3 0 B. 2x y 3 0C. x y 1 0D. 2x y 5 03．圆x2 y 2 2x 2 y 1 0上的点到直线 x y 2 的距离最大值是（）A ．2 B． 1 2 C．12D．122 24．将直线2x y 0 ，沿 x 轴向左平移个单位，所得直线与1圆 x2 y2 2 x 4 y 0 相切，则实数的值为（）A．3或7 B．2或8 C ．0或10 D．1或115．在座标平面内，与点A(1, 2) 距离为1 ，且与点B(3,1)距离为 2 的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6．圆x2 y 2 4 x 0 在点 P(1, 3) 处的切线方程为（）A ．x 3 y 2 0 B．x 3y 4 0 C．x 3y 4 0 D．x 3y 2 0二、填空题1．若经过点P ( 1,0) 的直线与圆 x2 y 2 4x 2 y 3 0 相切，则此直线在y 轴上的截距是__________________.2．由动点P向圆x2 y2 1 引两条切线PA, PB，切点分别为A, B, APB 600，则动点P 的轨迹方程为。
3．圆心在直线 2 x y 7 0 上的圆C与y轴交于两点 A(0, 4), B(0, 2) ,则圆C的方程为.４．已知圆 x 3 2 y2 4 和过原点的直线 y kx 的交点为P,Q则 OP OQ 的值为________________。
5．已知P是直线3x 4 y 8 0 上的动点，PA, PB 是圆 x2 y 2 2x 2 y 1 0 的切线， A, B 是切点，C是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是________________。
高中数学人教A版必修2《直线和圆的位置关系》课后练习一(含解析)
（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学直线和圆的位置关系课后练习一（含解析）新人教A版必修2已知直线y=-2x+m，圆x2+y2+2y=0．（1）m为何值时，直线与圆相交？（2）m为何值时，直线与圆相切？（3）m为何值时，直线与圆相离？题1已知直线l：2x+3y+1=0被圆C：x2+y2=r2所截得的弦长为d，则下列直线中被圆C 截得的弦长同样为d的直线是（）．A．2x+4y-1=0 B．4x+3y-1=0 C．2x-3y-1=0 D．3x+2y=0题2过点M（2，1）作圆x2+y2=5的切线，求切线方程．题3已知点P(x，y)是圆C：(x＋2)2＋y2＝1上任意一点．求P点到直线3x＋4y＋12＝0的距离的最大值和最小值．题4求与圆x2+（y-2）2= 4相切且在两坐标轴上截距相等的直线方程．题5从直线x-y+3=0上的点向圆（x+2）2+（y+2）2=1引切线，则切线长的最小值是．题6若⊙O：x2＋y2＝5与⊙O1：(x－m)2＋y2＝20(m∈R)相交于A、B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段AB的长度是__________．题7已知圆C1：x2+y2+2x+6y+9＝0和圆C2：x2+y2−4x+2y−4＝0（1）判断两圆的位置关系；（2）求两圆的公共弦所在直线的方程；（3）求两圆公切线所在直线的方程． 题8已知圆1C 的圆心在坐标原点O ,且恰好与直线1:l 0x y --=相切． (Ⅰ) 求圆的标准方程；(Ⅱ）设点0,0()A x y 为圆上任意一点,AN x ⊥轴于N ,若动点Q 满足OQ mOA nON =+,(其中1,,0,m n m n m +=≠为常数),试求动点Q 的轨迹方程2C ．题9点M (x 0，y 0)是圆x 2＋y 2＝a 2(a ＞0)内不为圆心的一点，则直线x 0x ＋y 0y ＝a 2与该圆的位置关系是( )．A ．相切B ．相交C ．相离D ．相切或相交课后练习详解题1答案：（1）1--m <1-+（2）m =1-m =1-（3）m <1-m >1-详解：由y ＝−2x +m 和x 2+y 2+2y ＝0，得5x 2-4(m +1)x +m 2+2m =0．△=16(m +1)2-20(m 2+2m )=-4[(m +1)2-5]，当△＞0时，(m +1)2-5＜0，∴1-m <1-当△=0时，m =1-m =1-+当△＜0时，m <1-或m >1-故5-1-<m <1-m =1--m =1-+m <1--m >1-+题2 答案：C ．详解：∵圆x 2+y 2=r 2的圆心O （0，0）到直线l ：2x +3y +1=0的距离m =1313， 又直线l ：2x +3y +1=0被圆C ：x 2+y 2=r 2所截得的弦长为d ， ∴弦心距1313，弦长之半2d与圆半径r 组成的直角三角形，即222)1313()2(+=dr ，∵圆心O （0，0）到直线2x +4y -1=0的距离 1313105421221≠=+=m ，故A 与题意不符； 同理可得圆心O （0，0）到直线4x +3y -1=0的距离13132≠m ，故B 与题意不符；圆心O （0，0）到直线2x -3y -1=0的距离13133=m 符合题意；而圆心O （0，0）到直线3x +2y =0的距离13134≠m 故D 与题意不符；故选C ． 答案：2x +y -5=0．详解：由圆x 2+y 2=5，得到圆心A 的坐标为（0，0），圆的半径5=r ，而|AM |=r ==+514，所以M 在圆上，则过M 作圆的切线与AM 所在的直线垂直，又M （2，1），得到AM 所在直线的斜率为21，所以切线的斜率为-2， 则切线方程为：y -1=-2（x -2）即2x +y -5=0． 题3答案：最大值为115，最小值为15．详解：圆心C (－2,0)到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离为 d ＝|3×(－2)＋4×0＋12|32＋42＝65． ∴P 点到直线3x ＋4y ＋12＝0的距离的最大值为d ＋r ＝65＋1＝115，最小值为d －r ＝65－1＝15．题4答案：y =0或x +y -222±=0．详解：设两坐标轴上截距相等（在坐标轴上截距不为0）的直线l 方程为x +y =a ，则由题意得：x 2+(y −2)2＝4和x +y ＝a ，消去y 得：2x 2+（4-2a ）x +a 2-4a =0，∵l 与圆x 2+（y -2）2=4相切，∴△=（4-2a ）2-4×2（a 2-4a ）=0，解得a =222±，∴l 的方程为：x +y -222±=0， 当坐标轴上截距都为0时，y =0与该圆相切； 故答案为：y =0或x +y -222±=0． 题5 答案：214． 详解：如图设从直线x -y +3=0上的点P 向圆C ：（x +2）2+（y +2）2=1引切线PD ，切点为D ，则|CD |=1，在Rt △PDC 中，要使切线长PD 最小，只需圆心C 到直线上点P 的距离最小，∵点C （-2，-2）到直线x -y +3=0的距离CP ′最小为2d =，∴切线长PD 的最小值为214129'22=-=-CD C p 题6 答案：4．详解：依题意得|OO 1|＝5＋20＝5，且△OO 1A 是直角三角形，S △OO 1A ＝12·|AB |2·|OO 1|＝12·|OA |·|AO 1|，因此|AB |＝2·|OA |·|AO 1||OO 1|＝2×5×255＝4．答案：4 题7答案：（1）相交；（2）6x +4y +13=0；（3）4y =-和2512y +=x ． 详解：（1）圆C 1：x 2+y 2+2x +6y +9＝0化成标准形式：（x +1）2+（y +3）2=1 ∴圆心C 1（-1，-3），半径r 1=1同理，得到圆C 2：x 2+y 2−4x +2y −4＝0的圆心C 2（2，-1），半径r 2=3 ∵|r 1-r 2|=2，r 1+r 2=4，圆心距12C C ==∴|r 1-r 2|≤C 1C 2≤r 1+r 2，得两圆的位置关系是相交；（2）∵圆C 1：x 2+y 2+2x +6y +9＝0，圆C 2：x 2+y 2−4x +2y −4＝0∴圆C 1和圆C 2的方程两边对应相减，得6x +4y +13=0， 即为两圆公共弦所在直线方程．（3）过C 1作y 轴的平行线，交圆C 1于D 点，过C 2作y 轴的平行线，交圆C 2于C 点，可得D （-1，-4），C （2，-4）∴直线DC 方程为y =-4，且DC 是两圆的一条公切线直线DC 交直线C 1C 2于点A ，则过A 点与圆C 2相切的直线必定与圆C 1也相切 设切点为B ，因此直线AB 是两圆的另一条公切线， 求得C 1C 2方程：3732y -=x ，可得A （-2．5，-4）， 设直线AB 方程为y +4=k （x +2．5），即kx -y +2．5k -4=0 ∴点C 2到直线AB 的距离为3d ==，解之得512（k =0舍去），因此直线AB 的方程为2512y +=x ，综上所述，两圆公切线所在直线的方程为4y =-和2512y +=x ．题8答案：（1）224x y +=；（2）222144x y m+= 详解：(Ⅰ)设圆的半径为r ,圆心到直线1l 距离为d ，则2d ==所以圆1C 的方程为224x y +=(Ⅱ）设动点(,)Q x y ,0,0()A x y ,AN x ⊥轴于N ,0(,0)N x由题意,000(,)(,)(,0)x y m x y n x =+，所以000()x m n x x y my =+=⎧⎨=⎩即: 001x xy y m =⎧⎪⎨=⎪⎩，将1(,)A x y m ，代入224x y +=,得222144x y m += 题9 答案：C ．详解：由已知得2200x y +＜a 2，且2200x y +≠0，又∵圆心到直线的距离d 2a ，∴直线与圆相离．。
考点练习(必修二)：与圆有关的轨迹问题(附答案)
与圆有关的轨迹问题1. 动点P 与定点A(-1,0)，B(1,0)的连线的斜率之积为-1，则点P 的轨迹为（ ）A.221x y +=B. ()2211x y x +=≠±C. ()2211x y x +=≠ D. ()2210x y x +=≠2. 点P (4，－2)与圆x 2＋y 2＝4上任一点连线的中点的轨迹方程是( )A ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝1B ．(x －2)2＋(y ＋1)2＝4C ．(x ＋4)2＋(y －2)2＝4D ．(x ＋2)2＋(y －1)2＝13. 设点A 为圆(x －1)2＋y 2＝1上的动点，P A 是圆的切线，且|P A |＝1，则点P 的轨迹方程为( )A ．y 2＝2xB ．(x －1)2＋y 2＝4C ．y 2＝－2xD ．(x －1)2＋y 2＝24. 已知两定点A(－2,0)，B(1,0)，如果动点P 满足|P A|＝2|P B|，则点P 的轨迹所包围的图形的面积等于________．5. 自A(4,0)引圆x 2＋y 2＝4的割线ABC ，求弦BC 中点P 的轨迹方程．6. 已知动点M 到点A(2,0)的距离是它到点B(8,0)的距离的一半．(1)求动点M 的轨迹方程；(2)若N 为线段A M 的中点，试求点N 的轨迹．7. 已知线段AB 的长为4，且端点A ，B 分别在x 轴与y 轴上，则线段AB 的中点M 的轨迹方程为________．8. 点P（4，﹣2）与圆x2+y2=4上任一点连线的中点轨迹方程是（）A. （x﹣2）2+（y+1）2=1B.（x﹣2）2+（y+1）2=4C. （x+4）2+（y﹣2）2=1D.（x+2）2+（y﹣1）2=19. 已知△ABC的边AB长为2a，若BC边上的中线为定长m，求顶点C的轨迹．10. 在平面直角坐标系xOy中，已知圆P在x轴上截得线段长为22，在y轴上截得线段长为2 3.(1)求圆心P的轨迹方程；(2)若P点到直线y＝x的距离为22，求圆P的方程．11. 已知圆的方程是x2＋y2－2ax＋2(a－2)y＋2＝0，其中a≠1，且a∈R.(1)求证：a取不为1的实数时，圆过定点；(2)求圆心的轨迹方程．12. 设定点M(－3，4)，动点N在圆x2＋y2＝4上运动，以OM，ON为邻边作平行四边形MONP，求点P的轨迹.13. 已知圆x2＋y2＝4上一定点A(2,0)，B(1,1)为圆内一点，P，Q为圆上的动点．(1)求线段AP中点的轨迹方程；(2)若∠PBQ＝90°，求线段PQ中点的轨迹方程．14. 已知线段AB的端点B在圆C1：x2＋(y－4)2＝16上运动，端点A的坐标为(4，0)，线段AB的中点为M.(1)试求M点的轨迹C2的方程；(2)若圆C1与曲线C2交于C，D两点，试求线段CD的长.15. 已知点P(2，2)，圆C：x2＋y2－8y＝0，过点P的动直线l与圆C交于A，B两点，线段AB的中点为M，O为坐标原点.(1)求M的轨迹方程；(2)当|OP|＝|OM|时，求l的方程及△POM的面积.参考答案 与圆有关的轨迹问题1. 【答案】B2. 解析：选A 设圆上任意一点为(x 1，y 1)，中点为(x ，y )，则⎩⎨⎧x ＝x 1＋42，y ＝y 1－22，即⎩⎪⎨⎪⎧x 1＝2x －4，y 1＝2y ＋2，代入x 2＋y 2＝4，得(2x －4)2＋(2y ＋2)2＝4.化简得(x －2)2＋(y ＋1)2＝1.3. 解析：选D 设P (x ，y )，则由题意知，圆(x －1)2＋y 2＝1的圆心为C (1,0)、半径为1，∵P A 是圆的切线，且|P A |＝1，∴|PC |＝2，即(x －1)2＋y 2＝2，∴点P 的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝2.4. 【解析】设点P (x ，y )，由题意知(x ＋2)2＋y 2＝4[(x －1)2＋y 2]，整理得x 2－4x ＋y 2＝0，配方得(x －2)2＋y 2＝4. 可知圆的面积为4π.5. 【解析】设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．设P (x ，y )，O 为原点，连接OP ，∵当x ≠0时，OP ⊥A P ，即k OP ·k A P ＝－1，∴y x ·4yx -＝－1，即x 2＋y 2－4x ＝0.① 当x ＝0时，P 点坐标(0,0)是方程①的解，∴BC 中点P 的轨迹方程为x 2＋y 2－4x ＝0(在已知圆内的部分)．6. 【解析】(1)设动点M 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，B(8,0)，|M A|＝12|M B|，∴(x －2)2＋y 2＝14[(x －8)2＋y 2]． 化简得x 2＋y 2＝16，即动点M 的轨迹方程为x 2＋y 2＝16. (2)设点N 的坐标为(x ，y )，∵A(2,0)，N 为线段A M 的中点，∴点M 的坐标为(2x －2,2y )．又点M 在圆x 2＋y 2＝16上，∴(2x －2)2＋4y 2＝16，即(x －1)2＋y 2＝4. ∴点N 的轨迹是以(1,0)为圆心，2为半径的圆．7. 【解析】 设M 点坐标为(x ，y )，A 点坐标为(x 0,0)，B 点坐标为(0，y 0)．∵点M 是线段AB 的中点，∴000202x x y y +⎧⎫=⎪⎪⎪⎪⎨+⎪⎪=⎪⎪⎩⎭，即0022.x xy y =⎧⎨=⎩∴A(2x,0)，B(0,2y )．又∵|AB|＝4， ∴()()222002x y -+-＝4，即x 2＋y 2＝4.8. 【解析】设圆上任意一点为（x 1，y 1），中点为（x ，y ），则 得:，代入x 2+y 2=4得（2x ﹣4）2+（2y +2）2=4，化简得（x ﹣2）2+（y +1）2=1．故选A ． 9. 【解析】以直线AB 为x 轴，AB 的中垂线为y 轴建立平面直角坐标系(如右图)，则A(－a,0)，B(a,0)，设C(x ，y )，BC 中点D(x 0，y 0)．故x 0＝2x a+，y 0＝2y .①∵|AD|＝m ，∴(x 0＋a )2＋y 20＝m 2.② 将①代入②，整理得(x ＋3a )2＋y 2＝4m 2.∵点C 不能在x 轴上，∴y ≠0.综上，点C 的轨迹是以(－3a,0)为圆心，以2m 为半径的圆，除去(－3a ＋2m,0)和(－3a －2m,0)两点．10. 解：(1)设P (x ，y )，圆P 的半径为r .由题设y 2＋2＝r 2，x 2＋3＝r 2，从而y 2＋2＝x 2＋3. 故P 点的轨迹方程为y 2－x 2＝1. (2)设P (x 0，y 0)．由已知得|x 0－y 0|2＝22. 又P 点在双曲线y 2－x 2＝1上，从而得⎩⎪⎨⎪⎧ |x 0－y 0|＝1，y 20－x 20＝1.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝－1.此时，圆P 的半径r ＝ 3.由⎩⎪⎨⎪⎧ x 0－y 0＝－1，y 20－x 20＝1，得⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝0，y 0＝1.此时，圆P 的半径r ＝ 3. 故圆P 的方程为x 2＋(y ＋1)2＝3或x 2＋(y －1)2＝3.11. 【解析】(1)证明：将方程x 2＋y 2－2ax ＋2(a －2)y ＋2＝0，整理得x 2＋y 2－4y ＋2－a (2x －2y )＝0(a ≠1，且a ∈R)．令⎩⎪⎨⎪⎧ x 2＋y 2－4y ＋2＝0，2x －2y ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1.所以a 取不为1的实数时，圆过定点(1,1)． (2)由题意知圆心坐标为(a,2－a )，且a ≠1，又设圆心坐标为(x ，y )，则有⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ，y ＝2－a ，消去参数a ，得x ＋y －2＝0(x ≠1)，即为所求圆心的轨迹方程．12. 解 如图所示，设P (x ，y )，N (x 0，y 0)，则线段OP 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 2，y 2， 线段MN 的中点坐标为⎝⎛⎭⎫x 0－32，y 0＋42.由于平行四边形的对角线互相平分，故x 2＝x 0－32，y 2＝y 0＋42.从而⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝x ＋3，y 0＝y －4. 又N (x ＋3，y －4)在圆上，故(x ＋3)2＋(y －4)2＝4.因此所求轨迹为圆：(x ＋3)2＋(y －4)2＝4，但应除去两点⎝⎛⎭⎫－95，125和⎝⎛⎭⎫－215，285(点P 在直线OM 上时的情况).13. [解] (1)设AP 的中点为M (x ，y )，由中点坐标公式可知，P 点坐标为(2x －2,2y )．因为P 点在圆x 2＋y 2＝4上，所以(2x －2)2＋(2y )2＝4. 故线段AP 中点的轨迹方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)设PQ 的中点为N (x ，y )．在Rt △PBQ 中，|PN |＝|BN |.设O 为坐标原点，连接ON ，则ON ⊥PQ ，所以|OP |2＝|ON |2＋|PN |2＝|ON |2＋|BN |2，所以x 2＋y 2＋(x －1)2＋(y －1)2＝4.故线段PQ 中点的轨迹方程为x 2＋y 2－x －y －1＝0.14. 解 (1)设M (x ，y )，B (x ′，y ′)，则由题意可得⎩⎨⎧x ＝x ′＋42，y ＝y ′2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ′＝2x －4，y ′＝2y ，∵点B 在圆C 1：x 2＋(y －4)2＝16上，∴(2x －4)2＋(2y －4)2＝16，即(x －2)2＋(y －2)2＝4. ∴M 点的轨迹C 2的方程为(x －2)2＋(y －2)2＝4.(2)由方程组⎩⎪⎨⎪⎧（x －2）2＋（y －2）2＝4，x 2＋（y －4）2＝16，得直线CD 的方程为x －y －1＝0，圆C 1的圆心C 1(0，4)到直线CD 的距离d ＝|－4－1|2＝522，又圆C 1的半径为4， ∴线段CD 的长为242－⎝⎛⎭⎫5222＝14.15. 解 (1)圆C 的方程可化为x 2＋(y －4)2＝16，所以圆心为C (0，4)，半径为4.设M (x ，y )，则CM →＝(x ，y －4)，MP →＝(2－x ，2－y ). 由题设知CM →·MP →＝0，故x (2－x )＋(y －4)(2－y )＝0， 即(x －1)2＋(y －3)2＝2.由于点P 在圆C 的内部，所以M 的轨迹方程是(x －1)2＋(y －3)2＝2.(2)由(1)可知M 的轨迹是以点N (1，3)为圆心，2为半径的圆.由于|OP |＝|OM |，故O 在线段PM 的垂直平分线上，又P 在圆N 上，从而ON ⊥PM .因为ON 的斜率为3，所以l 的斜率为－13，故l 的方程为x ＋3y －8＝0.又|OM |＝|OP |＝22，O 到l 的距离为4105，所以|PM |＝4105，S △POM ＝12×4105×4105＝165， 故△POM 的面积为165.。
高中数学人教B版必修二同步练习：直线与圆的位置关系(二) Word版含答案
人教B 版 数学 必修2：直线与圆的位置关系（二）一、选择题 1、把直线x y 33=绕原点逆时针方向旋转，使它与圆0323222=+-++y x y x 相切，则 直线转动的最小正角是（ ）A ．3π B ． 2π C ．π32 D ．π652、如果实数y x ,满足等式3)2(22=+-y x ，那么xy的最大值是（ ） A ．21 B ．33 C ． 23 D ．3 3、圆x 2＋y 2＋2x ＋4y －3＝0上到直线x ＋y ＋1＝0的距离为2 的点有（ ）A ． 1个B ． 2个C ． 3个D ． 4个4、若过定点)0,1(-M 且斜率为k 的直线与圆05422=-++y x x 在第一象限内的部分有交点，则k 的取值范围是( )A. 50<<k B. 05<<-kC. 130<<kD. 50<<k5、直线y=2x ＋m 和圆122=+y x 交于A 、B 两点，以ox 轴为始边，OA 、OB 为终边 的角记为α、β，则sin(βα+)等于 （ ）A ．关于m 的一次函数B ．54C ．关于m 的二次函数D ．－54二、填空题6、圆222=+y x 上的点到直线02543=++y x 的距离的最小值为________________.7、已知直线032=-+y x 交圆0622=+-++F y x y x 于点Q P ,，O 为坐标原点，且OQ OP ⊥，则F 的值为 ．8、若直线20x y m ++=按向量(1,2)a =--平移后与圆22:240c x y x y ++-= 相切，则实数m 的值为 ．9、已知两圆0101022=--+y x y x 和0402622=--++y x y x ，则它们的公共弦长为 .10、若直线b x y +-=与曲线21y x --=恰有一个公共点，则b 的取值范围是__________. 三、解答题11、由点)3,3(-A 发出的光线l 射到x 轴上，被x 轴反射，若反射光线所在直线与圆074422=+--+y x y x 相切，求光线l 所在直线的方程．12、已知圆上的点)3,2(-A 关于直线02=+y x 的对称点仍在这个圆上，且与直线01=+-y x 相交的弦长为22，求圆的方程．13、已知C ：（x －1）2＋(y －2)2=25，直线l ：（2m ＋1）x ＋（m ＋1）y －7m －4＝0(m ∈R)． （1） 求证：不论m 取什么实数时，直线l 与圆恒交于两点； （2） 求直线l 被圆C 截得的线段的最短长度以及这时直线l 的方程．14、曲线x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0上两点P 、Q 满足：（1） 关于直线kx －y ＋4＝0对称，（2）OP ⊥OQ ，求直线PQ 的方程．54直线与圆的位置关系（二）1、B2、D3、C4、A5、D6、25-7、38、-13或-3.9、302. 10、{}(]1,12-⋃-11、解：已知圆1)2()2(22=-+-y x 关于x 轴的对称圆方程为1)2()2(22=++-y x ，设光线l 的方程是)3(3+=-x k y ，由题意，该直线与对称圆相切 ∴11552=++k k 解得：34,43-=-=k k 或 ∴直线的方程是0343=-+y x 或0334=++y x .12、解：设圆心为),2(a a -，由题意得：2222)2|13|()2()3()22(+-+=++--a a a ，解得3-=a 或7-=a ，此时52=r 或244=r ∴所求圆的方程为52)3()6(22=++-y x 或244)7()14(22=++-y x .13、解：（1）将l 的方程整理为（x ＋y －4）＋m （2x ＋y －7）＝0．因为对于任意实数m ，方程都成立，所以⎩⎨⎧=-+=-+.072,04y x y x⎩⎨⎧==.1,3y x所以对于任意实数m ，直线l 恒过定点P （3，1），又圆心C （1，2），r ＝5，而｜PC ｜＝5 ＜5，即｜PC ｜＜r ，所以P 点在圆内，即证．（2）l 被圆截得弦最短时，l ⊥PC ． 因为k pc ＝3112--＝－12 ，所以k l ＝2，所以l 的方程为2x －y －5＝0为所求，此时，最短的弦长为2 25－5 ＝45 .14、解：由①得 直线kx －y+4＝0过圆心，∴k ＝2 k PQ ＝－12 ，故设直线PQ 的方程为y ＝－12 x+b ，与圆方程联立消去y 得54 x 2+(4－b)x+b 2－6b+3＝0 设 P(x 1 , y 1), Q(x 2 , y 2)，由于OP ⊥OQ ∴x 1x 2＋y 1 y 2＝0即x 1x 2＋（－12 x 1+b ）(－12 x 2+b)＝0 结合韦达定理可得b ＝32 或b ＝54 从而直线PQ 的方程为y ＝－12 x+32 或y ＝－12 x+54。
高中数学人教A版必修2直线和圆的综合问题课后练习一含解析
（同步复习精讲辅导）北京市2014-2015学年高中数学 直线和圆的综合问题课后练习一（含解析）新人教A 版必修2设直线l 经过点P (3,4)，圆C 的方程为(x －1)2＋(y ＋1)2＝4.若直线l 与圆C 交于两个不同的点，则直线l 的斜率的取值范围为( )． A ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1918，＋∞ B ．⎝ ⎛⎭⎪⎫1716，2720 C ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞ D ．⎝ ⎛⎭⎪⎫2720，2917 题1已知m ∈R ，直线l ：m y m mx 4)1(2=+-和圆C ：0164822=++-+y x y x ． (1)求直线l 斜率的取值范围；(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12的两段圆弧？为什么？题2已知圆22630x y x y ++-+=上的两点P 、Q 关于直线k x －y ＋4＝0对称，且OP ⊥OQ (O 为坐标原点)，求直线PQ 的方程． 题3在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2+y 2=16上有且只有四个点到直线3x -4y +c =0的距离为2，则实数c 的取值范围为 ． 题4过点A (11, 2)作圆x 2+y 2-2x +4y +1=0的弦，则弦长为整数的弦共有（ ）． A ．4条 B ．7条 C ．8条 D ．11条 题5如果圆(x ＋3)2＋(y －1)2＝1关于直线l ：mx ＋4y －1＝0对称，则直线l 的斜率为( )．A ．4B ．－4C ．14D ．－14题6过点（0，1）引x 2+y 2-4x +3=0的两条切线，这两条切线夹角的余弦值为________．题7过点（2，1）的直线中，被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长最短的直线方程为 ． 题8 若直线1x ya b+=通过点P （1，1），（a ＞0，b ＞0），则（ ） A ．a +b ≤4 B ．a +b ≥4 C ．ab ＜4 D ．ab ＞4 题9在平面直角坐标系xOy 中，已知圆x 2＋y 2－12x ＋32＝0的圆心为Q ，过点P (0,2)且斜率为k 的直线与圆相交于不同的两点A 、B ． (1)求k 的取值范围；(2)是否存在常数k ，使得向量OA OB +u u u r u u u r 与PQ u u u u r共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 题10在坐标平面内，与点A （1，3）的距离为2，且与点B （3，1）的距离为32的直线共有______条．课后练习详解题1答案：C ．详解：由题意，设直线l 的方程为y －4＝k (x －3)，即kx －y ＋4－3k ＝0．又直线l 与圆C ：(x －1)2＋(y ＋1)2＝4交于两个不同的点，所以圆心到直线的距离小于圆的半径长，即|5－2k |k 2＋1＜2，解得k ＞2120．所以直线l 的斜率的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫2120，＋∞，答案选C ．题2答案：（1）[－12，12]；（2）不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．详解：(1)直线l 的方程可化为y ＝m m 2＋1x －4mm 2＋1，直线l 的斜率k ＝m m 2＋1，因为|m |≤12(m 2＋1)，所以|k |＝|m |m 2＋1≤12，当且仅当|m |＝1时等号成立．所以，斜率k 的取值范围是[－12，12]．(2)不能．由(1)知l 的方程为y ＝k (x －4)，其中|k |≤12．圆C 的圆心为C (4，－2)，半径r ＝2，圆心C 到直线l 的距离为d ＝21＋k2， 由|k |≤12，得d ≥45＞1，即d ＞r2．从而，若l 与圆C 相交，则圆C 截直线l 所得的弦所对的圆心角小于2π3．所以l 不能将圆C 分割成弧长的比值为12的两段弧．题3答案：y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54．详解：由P 、Q 关于直线kx －y ＋4＝0对称知直线kx －y ＋4＝0过已知圆的圆心(－12，3)，则k ＝2，直线PQ 的斜率k PQ ＝－12．设直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋b ，P (x 1，y 1)、Q (x 2，y 2)，则P 、Q 两点的坐标是方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－12x ＋b x 2＋y 2＋x －6y ＋3＝0的解，消去y ，得54x 2＋(4－b )x ＋b 2－6b ＋3＝0，故x 1＋x 2＝－ 4(4－b )5， ①x 1x 2＝4(b 2－6b ＋3)5， ②由OP ⊥OQ ⇒x 1x 2＋y 1y 2＝0⇒x 1x 2＋(－12x 1＋b )·(－12x 2＋b )＝0，54x 1x 2－b 2(x 1＋x 2)＋b 2＝0，将①，②代入得b ＝32或b ＝54． 所以直线PQ 的方程为y ＝－12x ＋32或y ＝－12x ＋54．题4答案：-10＜c ＜10．详解：圆x 2+y 2=16的圆心为O ，半径等于4，圆心到直线的距离5||c d =， 要使圆x 2+y 2=16上有且只有四个点到直线3x -4y +c =0的距离为2，应有245||-<=c d ，即-10＜c ＜10． 题5答案：B ．详解：圆x 2+y 2-2x +4y +1=0的标准方程是：（x -1）2+（y +2）2=22， 圆心（1，-2），半径r =2，过点A （11，2）的最短的弦长大于0， 最长的弦长为4，只有一条，还有长度为1，2，3的弦长，各2条， 所以共有弦长为整数的1+2×3=7条．故选B ． 题6答案：D ．详解：依题意，得直线mx ＋4y －1＝0经过点(－3,1)，所以－3m ＋4－1＝0．所以m ＝1，故直线l 的斜率为－14，选D ．题7 答案：53cos =α． 详解：设切线的方程为y -1=kx ，即kx -y +1=0．由切线的性质可得，圆心（2，0）到直线kx -y +1=0的距离11|12|22=++=k k d ，0=k 或43k =-，设两直线的夹角为α，则20πα≤≤，由直线的夹角公式可得，)34(01340tan -⨯-+=α， 因为925cos 1tan 122==+αα，cos α＞0，所以53cos =α． 题8答案：x -y -1=0．详解：∵圆x 2+y 2-2x -4y =0的圆心为C （1，2） ∴设A （2，1），得AC 的斜率12112-=--=AC K ，∵直线l 经过点A （2，1），且l 被圆x 2+y 2-2x -4y =0截得的弦长最短 ∴直线l 与经过点A （2，1）的直径垂直的直线由此可得，直线l 的斜率为K =1，因此，直线l 方程为y -1=x -2，即x -y -1=0 故答案为：x -y -1=0． 题9 答案：B ． 详解：因为直线1x ya b+=通过点P （1，1）， 所以111=+ba ，又因为a ＞0，b ＞0， 由基本不等式可得1111224b aa b a b a b a b+=++=+++≥+=()()当且仅当a =b =2时，取等号，故选B ． 题10答案：（1）－34<k <0；（2）没有符合题意的常数k ．详解：(1)圆(x －6)2＋y 2＝4的圆心Q (6,0)，半径r ＝2，设过P 点的直线方程为y ＝kx ＋2，根据题意得|6k ＋2|1＋k 2<2，∴4k 2＋3k <0，∴－34<k <0． (2)设A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则OA OB +u u u r u u u r＝(x 1＋x 2，y 1＋y 2)，将y ＝kx ＋2代入x 2＋y 2－12x ＋32＝0中消去y 得(1＋k 2)x 2＋4(k －3)x ＋36＝0，∵x 1，x 2是此方程两根，∴则x 1＋x 2＝－4(k －3)1＋k2，又y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2)＋4＝－4k (k －3)1＋k2＋4， P (0,2)，Q (6,0)，∴PQ u u u u r＝(6，－2)，向量OA OB +u u u r u u u r 与PQ u u u u r共线等价于－2(x 1＋x 2)＝6(y 1＋y 2)， ∴8(k －3)1＋k 2＝－6k ·4(k －3)1＋k 2＋24，∴k ＝－34，由(1)知k ∈(－34，0)，故没有符合题意的常数k ．题11答案：1．详解：以A （1，32为半径作圆A ，以B （3，1）为圆心，以32圆B ．∵|AB 22(13)(31)22322-+-==， ∴两圆内切，公切线只有一条．故答案为：1．。
高中数学必修二人教A版练习：4.2.1直线与圆的位置关系含解析.doc
4.2 直线、圆的位置关系4.2.1 直线与圆的位置关系【选题明细表】1.(2018·云南昆明模拟)已知直线l:y=x+m与圆C:x2+(y-3)2=6相交于A,B两点,若|AB|=2,则实数m的值等于( C )(A)-7或-1 (B)1或7(C)-1或7 (D)-7或1解析:圆心(0,3)到直线l的距离d==,故+2=6,解得:m=-1或m=7,故选C.2.若圆C的半径为1,圆心在第一象限,且与直线4x-3y=0和x轴相切,则该圆的标准方程是( B )(A)(x-3)2+(y-)2=1(B)(x-2)2+(y-1)2=1(C)(x-1)2+(y-3)2=1(D)(x-)2+(y-1)2=1解析:设圆心为(a,1),由已知得d==1,由a>0,所以a=2.3.(2018·江西新余高一期末)曲线y=1+与直线kx-y-2k+4=0有两个交点时,实数k取值范围是( A )(A)(,) (B)(,)(C)(,) (D)(0,)解析:曲线y=1+,因为x∈[-2,2],y=1+≥1,所以x2+(y-1)2=4,表示圆心为M(0,1),半径r=2的圆的上半部分.直线y=k(x-2)+4表示过定点P(2,4)的直线,当直线与圆相切时,由圆心到直线kx-y+4-2k=0的距离d==2,解得k=.当直线经过点B(-2,1)时,直线PB的斜率为k=.所以要使直线与曲线有两个不同的公共点,则必有<k≤.即实数k的取值范围是(,).4.(2018·河北承德期末)已知直线l:y=kx+2(k∈R),圆M:(x-1)2+y2=6,圆N:x2+(y+1)2=9,则( D )(A)l必与圆M相切,l不可能与圆N相交(B)l必与圆M相交,l不可能与圆N相切(C)l必与圆M相切,l不可能与圆N相切(D)l必与圆M相交,l不可能与圆N相离解析:因为直线l:y=kx+2(k∈R)过点(0,2),(0,2)在圆M:(x-1)2+y2=6内,所以直线l必与圆M相交,因为(0,2)在圆N:x2+(y+1)2=9上,所以l不可能与圆N相离.故选D.5.(2018·湖南益阳高一期末)若PQ是圆x2+y2=9的弦,PQ的中点是A(1,2),则直线PQ的方程是( B )(A)x+2y-3=0 (B)x+2y-5=0(C)2x-y+4=0 (D)2x-y=0解析:设圆的圆心是O,由题意知,直线PQ过点A(1,2),且和直线OA垂直,故其方程为y-2=-(x-1),整理得x+2y-5=0.故选B.6.(2018·湖南岳阳模拟)已知圆C:x2+(y-3)2=4,过A(-1,0)的直线l 与圆C相交于P,Q两点.若|PQ|=2,则直线l的方程为. 解析:当直线l与x轴垂直时,易知x=-1符合题意;当直线l与x轴不垂直时,设直线l的方程为y=k(x+1),由|PQ|=2,则圆心C(0,3)到直线l的距离d==1,解得k=,此时直线l的方程为y=(x+1).故所求直线l的方程为x=-1或4x-3y+4=0.答案:x=-1或4x-3y+4=07.(2018·山东枣庄二模)已知圆M与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,圆心在直线y=-x+2上,则圆M的标准方程为.解析:圆心在y=-x+2上,设圆心为(a,2-a),因为圆C与直线x-y=0及x-y+4=0都相切,所以圆心到直线x-y=0的距离等于圆心到直线x-y+4=0的距离,即=,解得a=0,所以圆心坐标为(0,2),r==,圆C的标准方程为x2+(y-2)2=2.答案:x2+(y-2)2=28.已知圆C的方程为(x-1)2+y2=9,求过M(-2,4)的圆C的切线方程. 解:因为r=3,圆心C(1,0)到点M(-2,4)的距离d=5>r,所以点M(-2,4)在圆C外,切线有两条.(1)当切线的斜率存在时,设过点M(-2,4)的圆C的切线方程为y-4=k(x+2),即kx-y+2k+4=0.由圆心C(1,0)到切线的距离等于半径3,得=3.解得k=-,代入切线方程得7x+24y-82=0.(2)当切线的斜率不存在时,圆心C(1,0)到直线x=-2的距离等于半径3,所以x=-2也是圆C的切线方程.综上(1)(2),所求圆C的切线方程为x+2=0或7x+24y-82=0.9.若直线ax+by-3=0和圆x2+y2+4x-1=0相切于点P(-1,2),则ab的值为( C )(A)-3 (B)-2 (C)2 (D)3解析:圆的标准方程为(x+2)2+y2=5,直线与圆相切,则圆心到直线距离为,所以=,整理得a2-12a+5b2-9=0且直线过P(-1,2),代入得2b-a-3=0,两式联立,得a=1,b=2,所以ab=2,故选C.10.(2018·宁夏中卫市二模)已知从圆C:(x+1)2+(y-2)2=2外一点P(x1,y1)向该圆引一条切线,切点为M,O为坐标原点,且有|PM|=|PO|,则当|PM|取最小值时点P的坐标为.解析:如图所示,圆心C(-1,2),半径r=.因为|PM|=|PO|,所以|PO|2+r2=|PC|2(C为圆心,r为圆的半径),所以++2=(x1+1)2+(y1-2)2,即2x1-4y1+3=0.要使|PM|最小,只要|PO|最小即可.当直线PO垂直于直线2x-4y+3=0时,即直线PO的方程为2x+y=0时,|PM|最小,此时P点即为两直线的交点,得P点坐标(-,).答案:(-,)11.已知直线ax+y-2=0与圆心为C的圆(x-1)2+(y-a)2=4相交于A,B 两点,且△ABC为等边三角形,则实数a= .解析:依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax+y-2=0的距离等于×2=,于是有=,即a2-8a+1=0,解得a=4±.答案:4±12.(2018·河南平顶山高一期末)设有一条光线从P(-2,4)射出,并且经x轴上一点Q(2,0)反射.(1)求入射光线和反射光线所在的直线方程(分别记为l1,l2);(2)设动直线l:x=my-2,当点M(0,-6)到l的距离最大时,求l,l1,l2所围成的三角形的内切圆(即圆心在三角形内,并且与三角形的三边相切的圆)的方程.解:(1)因为k PQ=-,所以l1:y=-(x-2),因为l1,l2关于x轴对称,所以l2:y=(x-2).(2)因为l恒过点N(-2,0),当MN⊥l时,M到l的距离最大,因为k MN=-,所以m=,所以l的方程为x=y-2,设所求方程为(x-2)2+(y-t)2=r2,所以r==,得t=2,所以所求方程为(x-2)2+(y-2)2=1.13.(2018·兰州二十七中高二上期末)已知半径为5的圆的圆心在x 轴上,圆心的横坐标是整数,且与直线4x+3y-29=0相切.(1)求圆的方程;(2)设直线ax-y+5=0与圆相交于A,B两点,求实数a的取值范围;(3)在(2)的条件下,是否存在实数a,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB?若存在,求出实数a的值;若不存在,请说明理由.解:(1)设圆心为M(m,0)(m∈Z),由于圆与直线4x+3y-29=0相切且半径为5,所以=5,即|4m-29|=25.因为m为整数,故m=1.故所求的圆的方程是(x-1)2+y2=25.(2)直线ax-y+5=0,即y=ax+5,代入圆的方程消去y整理,得(a2+1)x2+2(5a-1)x+1=0.由于直线ax-y+5=0交圆于A,B两点,故Δ=4(5a-1)2-4(a2+1)>0,即12a2-5a>0,解得a<0或a>.所以实数a的取值范围是(-∞,0)∪(,+∞).(3)设符合条件的实数a存在,由(2)得a≠0,则直线l的斜率为-,l的方程为y=-(x+2)+4,即x+ay+2-4a=0.由于l垂直平分弦AB,故圆心M(1,0)必在l上, 所以1+0+2-4a=0,解得a=.由于∈(,+∞),故存在实数a=,使得过点P(-2,4)的直线l垂直平分弦AB.。
高中数学必修二直线和圆的位置关系课后练习一(含解析)新人教A版必修2
题2 答案： C．
详解：∵圆 x2+y2 =r 2 的圆心 O（ 0， 0）到直线 l ： 2x+3y+1=0 的距离 m= 13 ， 13
又直线 l ：2x+3y+1=0 被圆 C：x2 +y2 =r 2 所截得的弦长为 d，
∴弦心距 13 ，弦长之半 d 与圆半径 r 组成的直角三角形，
13
2
即 r 2 ( d )2 ( 13 )2 ，∵圆心 O（ 0， 0）到直线 2x+4y-1=0 的距离
-2 ，
题3
11
1
答案：最大值为 5 ，最小值为 5．
详解：圆心 C( － 2,0) 到直线 3x＋ 4y＋12＝ 0 的距离为
|3 × ( －2) ＋4×0＋ 12| 6
d＝
32＋ 42
＝5．
6
11
∴P 点到直线 3x＋ 4y＋ 12＝ 0 的距离的最大值为 d＋ r ＝ 5＋ 1＝ 5 ，
6
1
最小值为 d－ r ＝ 5－1＝ 5．
题4
求与圆
x
2
+（
y-2
）
2
=
4
相切且在两坐标轴上截距相等的直线方程．
题5
从直线 x- y+3=0 上的点向圆（ x+2） 2 +（ y+2） 2 =1 引切线，则切线长的最小值是
．
题6 若⊙ O： x2＋ y2＝5 与⊙ O1： ( x－m) 2＋ y2＝ 20( m∈ R) 相交于 A、B 两点，且两圆在点 线互相垂直，则线段 AB的长度是 __________ ．
当△＞ 0 时， ( m+1) 2-5 ＜0，∴ 1 5 <m< 1 5 ;
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存在点 P 满足：过点 P 向圆 C1 作两条切线 PA, PB ，切点为 A, B ， ABP 的面积为1，则正数 m 的取值范围是 .
19.已 知 A, B 是 圆 C : x y 4 x 0 上 两 个 动 点 ， 且 AB 2 3 ， 点 P 在 直 线 l : x y 2 0
2 2
OA OB AB ,那么实数 m 的取值范围是
.
3.过点 A(11,2) 作圆 O : x y 2 x 4 y 164 0 的弦，其中弦长为整数的共有
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条
l ， 若 存 在 点 Q C ， 使 4.设 圆 C : x y 3 ， 直 线 l : x 3 y - 6 0 ， 点 P（x0 , y0）
17.在平面直角坐标系xOy中，圆M：(x-a)2+(y+a-3)2=1(a>0)，点N为圆M上任意一点.若以N为圆心， ON为半径的圆与圆M至 多有一个公共点，则a的最小值为 .
18.在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C1 : x - 1 y 2 ，圆 C2 : x - m y m m ，若圆 C2 上
0
.
8.已 知 点 A0,2 是 圆 M : x y - 2ax 2ay 0a 0 外 的 一 点 ， 圆 M 上 存 在 点 T 使 得
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MAT 450 ，则实数 a 的取值范围是
.
9.在平面直角坐标系 xoy 中，过点 A0,1 向直线 l : mx y m 2 0 作垂线，垂足为 M ，则点
直线与圆中的动点控制
1.已 知 直 线 mx y m 0 与 圆 O : x y 2 交 于 不 同 的 两 点 A, B ， O 是 坐 标 原 点 ，
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OA OB OM ，若点 M 也在圆 O 上，那么实数 m 的值是
.
2.已 知 直 线 x y m 0 与 圆 O : x y 2 交 于 不 同 的 两 点 A, B ， O 是 坐 标 原 点 ，
.
13.已知圆 C : x - 2 y 1 ，直线 x y 1 0 上存在点 P 使得经过 P 的直线 l 与圆 C 交于 A, B
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两点，且点 A 为 PB 中点，则点 P 的横坐标 x0 的取值范围是 .
14.在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C1 : x 1 y - 6 25 ，圆 C2 : x - 17 y - 30 r ，若
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上，则 PA PB 的 最小值是 .
20.已知点 A, B 在圆 C : x y 1 上，点 P 在圆 M : x 3 y 4 1 上，若 PA PB ，则
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2
2
实数 的取值范围是 .
16.在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C 的方程为 C : x - 1 y - 1 9 ，直线 l : y kx 3 与圆 C 相
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交于 A, B 两点， M 为弦 AB 上的一动点，以 M 为圆圆心，2为半径的圆与圆 C 总有公共点，则实 数 k 的取值范围 .
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点 P 作圆 C 的两条切线 PE , PF ，切点分别为 E , F ，则 PE PF 的最小值是
.
7.已知直线 l : x y 9 0 和圆 M : 2 x 2 y - 8 x 8 y 1 0 ，点 A 在直线 l 上， B，C 为 圆 M
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上两点，在 ABC 中， BAC 45 ， AB 过圆心 M ，则点 A 的横坐标 的取值范围是
M 到点 N 2， 3 的距离的最大值为
.
10.在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆上 x y 4 有且仅有四个点到直线 12 x - 5 y c 0 的距离
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为1，则实数 c 的取值范围是
.
11.在平面直角坐标系 xoy 中，圆 C : x y - 8 x 15 0 ，若直线 y kx 2 上至少存在一点，使
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得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆 C 有公共点，则 k 的最大值是
.
12.已知圆 C : x y 1 ，点 P（x0 , y0） 是直线 l : 3 x 2 y 4 0 上的动点，若圆 C 上总存在不同
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的两点 A, B ，使得 OA OB OP ，则 x0 的取值 范围是
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圆 C2 上存在点 P ，使得过点 P 可作一条射线与圆 C1 依次交于点 A, B ，满足 PA 2 AB ，则半径
r 的取值范围是 .
15.在平面直角坐 标系 xoy 中，若与点 A2,2 的距离为1且与点 B m,0 的距离为3的直线恰有两条， 则实数 m 的取值范围是 .
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OPQ 600 （ O 为圆点），则 x0 的取值范围是
.
5.已知 AC , BD 为圆 O : x y 4 的两条互相垂直的弦，垂足为 M 1，2 ， 则四 边形 ABCD 的
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面积的最大值为
.
6.圆 C : x - 2 y 4 ，圆 M : x 2 5 cos y 5 sin 1, R ，若圆上 M 任意一