高中数学必修2《直线方程》
高中数学人教A版必修2课件-3.2.1直线的点斜式方程
y0
l
x
y
l
O x0
x
y y0 k(x x0 )
②倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
③倾斜角α=90°
x x0 0或x x0
例1 直线 l 经过点 P0 2,3，且倾斜角 45，
求直线 l 的点斜式方程，并画出直线 l ．
解：直线 l经过点 P0 2,3，斜率k tan 45 1，
完成P95 练习1—4题
作业布置：
P100 第1(1)(2)(3)、第2题、第5题
小结
1.点斜式方程
y y0 k(x x0 )
当知道斜率和一点坐标时用点斜式 2.斜截式方程
y kx b
当知道斜率k和截距b时用斜截式 3.特殊情况
①直线和x轴平行时，倾斜角α=0°
y y0 0或y y0
代入点斜式方程得：y 3 x 2
y
画图时，只需再找出直
4
线l 上的另一点P1x1, y1 ，例
如，取 x1 1, y1 4，得 P1
的坐标为 1,4 ，过 P0，P1
的直线即为所求，如图示．
3
l
2
1
-2 -1 O
x
如果直线 l的斜率为k，且与 y轴的交点为 0,b ，
代入直线的点斜式方程，得： y b kx 0
解：（1）若 l1 // l2，则 k1 k2 ，此时 l1，l2与y 轴的交点不同，即 b1 b2 ；反之，k1 k2，且 b1 b2 时， l1 // l2 ．
（2）若 l1 l2 ，则 k1k2 1 ；反之，k1k2 1 时，l1 l2 ．
于是我们得到，对于直线：
l1 : y k1x b1，l2 : y k2x b2
人教A版高中数学必修2课件3.2.2直线的截距式方程课件
y0 x a b0 0a y x a x a x 1 b 0a a a a
化简得，x y 1 a 0, b 0 a b
直线的截距式方程
【典型例题】
设直线l 的倾斜角为 α =60 ° ，并且经过点 P(2,3). （1）写出直线 l的方程； （2）求直线 l在y 轴上的截距. 解：（1）由于直线l 的倾斜角为 α =60 ° ， 故其斜率为 k tan tan600 3 . 又直线经过点 P(2,3)，由直线的点斜式方程 y y0 k x x0 得直线的方程为： y 3 3 x 2 ，即 3 x y 3 2 3 0 .
知识点—— 直线的截距式方程
直线的截距式方程
【定义】
直线的截距式方程： x y 1 a 0, b 0 a b
直线的截距式方程
【公式推导】 已知直线 l与 x轴的交点为 A a, 0 ，与 y轴 的交点为 B 0, b ，其中 a ≠ 0，b ≠0 ，求 直线 l的方程. y y1 x x1 x1 x2 , y1 y2 根据直线的两点式方程： y2 y1 x2 x1 可求出该直线的方程：直线 Nhomakorabea截距式方程
【变式训练】 ∴ 该直线在x 轴上的截距a=-8, 直线在y 轴上的截距 b=-4, ∴该直线与坐标轴围成的三角形的面积为： 1 1 a b 8 4 16. 2 2 1 综上所述：该直线的斜率为 2 ，在 x轴 上的截距为 -8，在y 轴上的截距为 4，与 坐标轴围成的三角形的面积为16 .
直线的截距式方程
【典型例题】 （ 2）
3 x y 3 2 3 0, y 3 x 3 2 3
高一数学：1.2.3直线的一般式方程 课件 (北师大必修2)
y kx b
y y1 y 2 y1
x a yห้องสมุดไป่ตู้b
x x1 x 2 x1
( y 2 y1 ) x ( x1 x 2 ) y x1 ( y1 y 2 ) y1 ( x 2 x1 ) 0
1
bx ay ( ab ) 0
上述四式都可以写成直线方程的一般形式：
例1：已知直线经过点A（6，- 4），斜率 为 – 4/3，求直线的点斜式、一般式和截距 式方程。 解：经过点A（6，- 4）并且斜率等于- 4/3 的直线方程的点斜式是 y + 4 = -4/3 （x – 6） 化成一般式，得 截距式是： 4x+3y – 12=0
巩固训练（一）
若直线l在x轴上的截距-4时，倾斜角的余弦值 是-3/5， 则直线l的点斜式方程是___________
⑴B≠0时，方程化成 这是直线的斜截 式，
它表示为斜率为 – A/B，纵截距为- C/B的直线。
⑵B＝0时，由于A，B不同时为零所以A≠0，此时，Ax+By+ C=0可化为x= -C / A，它表示为与Y轴平行（当C=0时）或重合 （当C=0时）的直线。
思考：直线与二元一次方程具有什么样的关系？
结论:(1)直线方程都是关于x,y的二元一次方程 （2）关于x,y的二元一次图象又都是一条直线。 我们把方程Ax+By+c=0（A，B不同时为零）叫做 直线方程的一般式。所以直线和二元一次方程是 一一对应。
点斜式：已知直线上一点P1（x1，y1）的坐标， 和直线的斜率k，则直线的方程是 y y k ( x x ) 1 1 斜截式：已知直线的斜率k，和直线在y轴上的 截距b则直线方程是 y kx b
高中数学《直线方程的几种形式》课件1 新人教B必修2
6y
当且仅当 b 4 a 时等号成立. 5
ab
4
即b=2a时，等号成立。
b 2a
由
1 a
2 b
1
解得
a b
2 4
3 2 1
-1 O
P(1, 2)
x
1 2 34
所以当且仅当a=2且b=4时，△OAB的面
积S取最小值4. 此时，直线的方程为 x y 1 ，
24
即2x+y－4=0.
对直线的一般式方程的理解 1．两个独立的条件可求直线方程：
求直线方程，表面上需求A、B、C三个 系数，由于A、B不同时为零，
若A≠0，则方程化为 x B y C 0，只需确
定 B ,的C 值；
AA
AA
若B≠0，同理只需确定两个数值即可；
因此，只要给出两个条件，就可以求出
直线方程；
2．直线方程的其他形式都可以化成一般式， 解题时，如果没有特殊说明应把最后结果 化为一般式，一般式也可以化为其他形式。
2.2.2直线方程的几种形式(二)
复习： 1、四种形式的直线方程
2、相互关系
3、使用范围
y－y0=k1 x2 x1
x y 1 ab
整式 Ax+By+C=0
直线方程的一般式
直线方程的一般形式
方程Ax+By+C=0（A、B不全为零）叫做 直线的一般式方程.
y=4x.
（2）当直线不经过原点时，
设直线方程为 x y 1
aa
即：1 4 1
aa
a 5 所求直线方程为x+y-5=0
变式
过点A(1，4)且纵截距与横截距相反的 直线方程.
例2．过点P(1，2)作直线l，交x，y轴的正 半轴于A、B两点，求使△OAB面积取得 最小值时直线l的方程.
高中数学新教材选择性必修第一册第二章《直线的方程》全部课件
∵点P(3，m)在直线AB上，
则m＋1＝－3＋2，
得m＝－2.
解析答案
(2)△ABC的三个顶点为A(－3,0)，B(2,1)，C(－2,3)，求：
①AC所在直线的方程 y－0 x－－3
解 由直线方程的两点式得 3－0＝－2－－3， 所以AC所在直线的方程是3x－y＋9＝0.
②BC边的垂直平分线的方程. 解 因为B(2,1)，C(－2,3)， 所以 kBC＝－3－ 2－12＝－12， 线段BC的中点坐标是 2－2 2，1＋2 3，即(0,2)， 所以BC边的垂直平分线方程是y－2＝2(x－0)，
解析 由题意可知
解得a＝－
2 3
.
－2a＝3， －1a≠－1，
解析答案
1 23 4
4.(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程； 解 ∵与直线y＝2x＋7平行， ∴该直线斜率为2， 由点斜式方程可得y－1＝2(x－1)， 即y＝2x－1 ∴所求直线的方程为y＝2x－1.
解析答案
第二章 2.2.1点斜式方程
学习目标
1.了解由斜率公式推导直线方程的点斜式的过程； 2.掌握直线的点斜式方程与斜截式方程； 3.会利用直线的点斜式与斜截式方程解决有关的实际问题.
问题导学
新知探究 点点落实
知识点一 直线的点斜式方程
思考1 如图，直线l经过点P0(x0，y0)，且斜率为k，设点P(x，y)是直线 l上不同于点P0的任意一点，那么x，y应满足什么关系？
答案
思考2 过点(1,3)和(1,5)的直线能用两点式表示吗？为什么？过点(2,3)， (5,3)的直线呢？ 答案 不能，因为1－1＝0，而0不能做分母.过点(2,3)，(5,3)的直线也不能 用两点式表示.
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》学生版
个 性 化 辅 导 教 案学员姓名 科 目 年 级 授课时间课 时3授课老师教学目标 1、掌握两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法 2、掌握数形结合的学习方法重点难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
第三章：直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离 第一课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)两条直线的交点坐标[导入新知]1．两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示 点A A (a ，b ) 直线l l ：Ax ＋By ＋C ＝0 点A 在直线l 上 Aa ＋Bb ＋C ＝0直线l 1与l 2的交点是A方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b2．两直线的位置关系方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.两点间的距离[导入新知] 两点间的距离公式(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)当直线P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. 当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 当点P 1、P 2中有一个是原点时，|P 1P 2|＝x 2＋y 2.两条直线的交点问题[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.直线恒过定点问题[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5. 故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．两点间距离公式的应用[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． [活学活用]3．已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形． [成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12B ．－12C.23 D ．－23[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或53．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________．5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.第二课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(习题课)1．两条直线的交点坐标如何求？2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？3．平面内两点间的距离公式是什么？4．过定点的直线系方程有什么特点？5．如何用坐标法解决几何问题？6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？两直线交点问题的综合应用[例1] 过点M (0,1)作直线，使它被两已知直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．[解] 法一：过点M 与x 轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y ＝kx ＋1.若与两已知直线分别交于A ，B 两点，则解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，可得x A ＝73k －1，x B ＝7k ＋2.由题意73k －1＋7k ＋2＝0， ∴k ＝－14.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )，由中点坐标公式得A (－t,2t －6)．又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，所以(－t )－3(2t －6)＋10＝0，得t ＝4，即B (4,0)．由两点式可得所求直线方程为x ＋4y －4＝0.[类题通法]两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解． 解法一体现了方程思想，要学会利用． [活学活用]1．若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求m 的取值范围．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2m ＋37，y ＝m －27，即两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫2m ＋37，m －27.∵此交点在第四象限，∴⎩⎨⎧2m ＋37＞0，m －27＜0，解得－32＜m ＜2.故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，2.对称问题[例2] 一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程． [解] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·(－43)＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程 为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3(x ≤78)．[类题通法]1．点关于直线对称的点的求法点N (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1(AB ≠0)A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．2．直线关于直线的对称的求法求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1、P 2关于直线l 的对称点，再用两点式求出l 2的方程．[活学活用]2．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0坐标法的应用[例3] 一长为3 m ，宽为2 m 缺一角A 的长方形木板(如图所示)，长缺0.2 m ，宽缺0.5 m ，EF 是直线段，木工师傅要在BC 的中点M 处作EF 延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？[解] 以AB 所在直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立直角坐标系， 则E (0.2,0)，F (0,0.5)，B (3,0)，D (0,2)，M (3,1)， 所以EF 所在直线斜率k ＝0.5－0.2＝－52.∵所求直线与EF 垂直，∴所求直线斜率为k ′＝25，又直线过点M (3,1)，所以所求直线方程为y －1＝25(x －3)．令y ＝0，则x ＝0.5，所以所求直线与x 轴交点为(0.5,0)，故应在EB 上截|EN |＝0.3 m ，得点N ，即得满足要求的直线MN . [类题通法]1．坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．[活学活用]3．已知等腰梯形ABCD ，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC |＝|BD |.9.利用转化思想求最值[典例] 在x 轴上求一点P ，使得(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小，并求出最小值．[解题流程]在求有关距离之和最小或距离之差最大时，需利用对称性和几何性质求解.①三角形的两个顶点知道，第三个顶点在x 轴上；②三角形两边之差小于 第三边，两边之和大于第三边.在x 轴上求点P ，使|P A |－|PB |或|PB |－|P A |最大，以及|P A |＋|PC |最小，应首先画出图形，利用对称性及三角形三边关系求解.[规范解答]如图，(1)直线BA 与x 轴交于点P ，此时P 为所求点，(2分) 且|PB |－|P A |＝|AB |＝(0－4)2＋(4－1)2＝5.(3分) ∵直线BA 的斜率k BA ＝1－44＝－34，(4分) ∴直线BA 的方程为y ＝－34x ＋4.令y ＝0得x ＝163，即P ⎝⎛⎭⎫163，0.故距离之差最大值为5，此时P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫163，0，(6分) (2)作A 关于x 轴的对称点A ′，则A ′(4，－1)，连接CA ′，则|CA ′|为所求最小值，直线CA ′与x 轴交点为所求点．(7分)又|CA ′|＝(4－3)2＋(－1－4)2＝26，(9分)直线CA ′的斜率k CA ′＝－1－44－3＝－5，则直线CA ′的方程为y －4＝－5(x －3)．令y ＝0得x ＝195，即P ⎝⎛⎭⎫195，0.(11分)故距离之和最小值为26，此时P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫195，0.(12分)[名师批注]若在x 轴上另取一点P ′，则|P ′B |－|P ′A |＜|BA |，因此，|AB |为最大值由点斜式写出直线AB 方程，再令y ＝0即可由A 、C 点在x 轴同侧，可作A 关于x 轴的对称点A ′(也可作C 关于x 轴对称点C ′)，转化为|CA ′|为最小值，若再找一点P 0，则|P 0A |＋|P 0C |＝|P 0A ′|＋|P 0C |＞|A ′C |[活学活用]求函数f (x )＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．[随堂即时演练]1．(2012·济宁高一检测)已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5D.172．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为( ) A ．{3，－1} B ．3，－1 C ．(3，－1)D ．{(3，－1)}3．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为________． 4．点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则直线l 的方程为________．5．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)之间的距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.点到直线的距离[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋12．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________．两平行线间的距离[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．[活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．距离的综合应用[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程．[解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程． [解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 52．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2。
数学：《直线方程的点斜式方程》课件(人教a版必修2)
y 3 x 2.
2 1
x
直线的斜截式方程
y kx b
k 是直线的斜率， b 是直线在 y 轴上
的截距．
y
l
b
P0
O
x
该方程由直线的斜率与它在 y 轴上的截距确定， 所以该方程叫做直线的斜截式方程，简称斜截式．
典型例题
例2: 直线l过点P(1,2)
(1):
l与y轴交点坐标为(0,1),求直线l的直线方程；
请同学们复习下面三个问题：
1.倾斜角 的定义及其取值范围; 2.直线斜率k的定义;
3. 已知直线上两点P ( x1 , y1 ), Q ( x2 , y2 ), 如果x2 x1 , 那么直线PQ的斜率.
3.2.1 直线的点斜式方程
问题引入
在平面直角坐标系中，如果给定一条直线 l 经
过的一个点 P0 x0 , y0 和斜率 k，能否将直线上任意 一点的坐标 P x, y 满足的关系表示出来呢？ y l P
1 (2):求与坐标轴围成的三角形面积为 的直 2
线 l 的方程；
探究题： 直线l过点P(1,2),与坐标轴围成三 角形；
(1):当三角形面积为3时，满足条件的直线 l 有 条；
(2):当三角形面积为4时，满足条件的直线 l 有 条； (3):当三角形面积为5时，满足条件的直线 l 有 条。
思考题: 直线l过点P(1,2), 求与两坐标轴正半 轴围成的三角形面积取的最小值时直线 l 的方 程。
y l
P0 x0 , y0
O x
x x0
典型例题
例1 直线 l经过点 P0 2,3，且倾斜角 求直线 l的点斜式方程，并画出直线 l ．
人教版高中数学必修二课件：3.2.1 直线的点斜式方程(讲授式) (共28张PPT)
新课引入
直线的方程
引入新课
在平面直角坐标系内，如果给定一条直
线 l 经过的一个点 P0(x0,y0)和斜率k,能否将直线l上所
有点的坐标(x,y)满足的关系表示出来？
本节课我们将要学习直线的方程来解决这个问题.
新课讲授
直线方程的概念
思考3： 已知直线 l 经过已知点P0（x0，y0），并且它
的斜率是k，P(x,y)是直线 l 上不同于点P0的任意一点,那
学中普遍存在相互联系、相互转化等观点，使学
生能用联系的观点看问题．
学习目标
三维目标及重难点分析
4 ．重点与难点 重点 直线的点斜式方程和斜截式方程.
难点
直线的点斜式方程和斜截式方程的应用．
复习回顾
直线的倾斜角和斜率
思考1
在平面直角坐标系内如何确定一条直线呢？
答：(1)已知两点可以确定一条直线. (2)已知直线上的一点和这条直线的一个方向（斜率 或倾斜角）可以确定一条直线. 思考2 答： 直线的斜率公式是什么？ 时直线斜率不存在.
几何意义. 答：方程y=kx+b左端y的系数恒为1； 右端x的系数为直线的斜率，常数项b为直线的纵截距. 直线方程的斜截式：由于方程y=kx+b是由直线的斜率k与它在y轴 上的截距b确定，所以我们称方程y=kx+b为直线方程的斜截式. 适用条件：直线的斜率k和在y轴上的截距b均存在， 因此不能用来表示斜率不存在的直线.
答：斜率不存在或倾斜角为90°时，
显然直线 l 上的任何一点的横坐标均相同， y 均为x0，而y0可以为任意实数，所以这时的 直线方程为x= x0 或x- x0=0. 特别的，y 轴所在的直线上的每一点的横坐
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