新课标高中数学必修2直线与方程
高一数学必修2 直线与方程 精讲
一、直线的一般式方程【知识要点】1. 一般式：0A x B y C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线. 2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=； 与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=；（2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠.如果2220A B C ≠时， 则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠； 1l 与2l 重合111222A B C A B C ⇔==； 1l 与2l 相交1122A BA B ⇔≠. 【经典例题】例1、已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时： （1）12l l ⊥； （2）12//l l .例2、（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程；（2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程.例3、已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．例4、直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交； （2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交； （4）是x 轴所在直线； （5）是y 轴所在直线.【经典练习】1．如果直线0Ax By C ++=的倾斜角为45︒，则有关系式（ ）.A. A B =B. 0A B +=C. 1AB =D. 以上均不可能 2．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是（ ）. A. (1,1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 3．直线1(0)ax by ab +=≠与两坐标轴围成的面积是（ ）. A ．12ab B ．1||2ab C ．12ab D ．12||ab 4． 直线（32-）x +y =3和直线x +（23-）y =2的位置关系是（ ）. A. 相交不垂直 B. 垂直 C. 平行D. 重合5．已知直线mx +ny +1=0平行于直线4x +3y +5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（ ）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－3 6．若直线x +a y+2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a = .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（a ，12）在此直线上，则a ＝ ． 8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式： （1）斜率是－12，经过点A （8，－2）； （2）经过点B (4，2)，平行于x 轴； （3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.9．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.10．已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得：（1）l 1和l 2相交； （2）l 1⊥l 2； （3）l 1//l 2； （4）l 1和l 2重合.二、两条直线的交点坐标【知识要点】1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩.若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标； 若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点， 其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.【经典例题】例1、判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标. （1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0； （2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.例2、求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.例3、已知直线(2)(31)1a y a x -=--. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限.例4、若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.【经典练习】1．直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是（ ）. A. (2,1)- B. (3,2)- C. (2,1)- D. (3,2)-2．直线1:(21)2l x y -+=与直线2:(21)3l x y ++=的位置关系是（ ）. A. 平行 B. 相交 C. 垂直 D. 重合3．已知直线12,l l 的方程分别为 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且12l l 与只有一个公共点，则（ ）.A. 11220A B A B -≠B. 12210A B A B -≠C.1122A B A B ≠D. 1212A AB B ≠ 4．经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线的方程是（ ）.A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 5．直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为（ ）. A. 1 B. －1 C. 2 D. －26．直线1l ：2x ＋3y ＝12与2l ：x －2y ＝４的交点坐标为 .7．（07年上海卷.理2）若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m = ． 8．已知直线l 1: 2x -3y +10=0 , l 2: 3x +4y -2=0. 求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x -2y +4=0垂直的直线l 的方程.9．试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.10．已知直线方程为(2+λ)x +(1-2λ)y +4-3λ=0. （1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.三、两点间的距离【知识要点】1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-； 当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PPk x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量； （2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.【经典例题】例1、在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.例2、直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.例3、如图，已知函数2()1f x x =+，设,a b R ∈，且a b ≠，求证|()()|f a f b -<||a b -.oxA (1,a )B (1,b )y【经典练习】1．已知(2,1),(2,5)A B --，则|AB |等于（ ）. A. 4 B.10 C. 6 D. 2132．已知点(2,1),(,3)A B a --且||5AB =，则a 的值为（ ）. A. 1 B. －5 C. 1或－5 D. －1或53．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则||AB 的长为（ ）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 64．已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC =BC ，则点C 的坐标为（ ）. A. 11(,0)2-B. 11(0,)2-C. 11(0,)2D. 11(,0)25．已知点(1,3),(5,1)M N -，点(,)P x y 到M 、N 的距离相等，则点(,)P x y 所满足的方程是（ ）.A. 380x y +-=B. 340x y --=C. 390x y -+=D. 380x y -+= 6．已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，则BC 边上的中线AM 的长为 . 7．已知点P （2，－4）与Q （0，8）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 . 8．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ∆的类型．9．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．四、点到直线的距离及两平行线距离【知识要点】1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020Ax By C ++=，即002Ax By C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A BA B++-==++.【经典例题】例1、求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.例2、在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.例3、求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3.例4、求直线1:2310l x y +-=与2:4650l x y +-=的正中平行直线方程. .【经典练习】1．点（0，5）到直线y =2x 的距离是（ ）.A. 52B. 5C. 32D. 522．动点P 在直线40x y +-=上，O 为原点，则OP 的最小值为（ ）.A.10 B. 22 C. 6 D. 23．（03年全国卷）已知点(,2)(0)a a >到直线:30l x y -+=的距离为1，则a =（ ）. A ．2 B ．－2C ．21-D ．21+4．两平行直线51230102450x y x y ++=++=与间的距离是（ ）.A.213 B. 113C. 126D. 5265．直线l 过点P (1，2)，且M (2，3)，N (4，－5)到l 的距离相等，则直线l 的方程是（ ）.A. 4x+y －6=0B. x +4y －6=0C. 2x +3y －7=0或x +4y －6=0D. 3x +2y －7=0或4x+y －6=0 6．两平行直线2y x =和25y x =+间的距离是 .7．与直线l ：51260x y -+=平行且到l 的距离为2的直线的方程为 .8．（1）已知点A （a ，6）到直线3x －4y ＝2的距离d =4，求a 的值.（2）在直线30x y +=求一点P , 使它到原点的距离与到直线320x y +-=的距离相等.五、直线与方程复习【知识要点】理解直线的倾斜角和斜率的概念，掌握过两点的直线斜率的计算公式；能根据两条直线的斜率判定平行或垂直；握直线方程的几种形式（点斜式、两点式及一般式）；能用解方程组的方法求两直线的交点坐标；掌握两点间的距离公式、点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离.【经典例题】例1、设A 、B 是x 轴上的两点，点P 的横坐标为2，且｜P A ｜＝｜PB ｜，若直线PA 的方程为10x y -+=，则直线PB 的方程是（ ）.A.240x y --=B. 210x y --= 2C.50x y +-=D.270x y +-=例2、一直线被两直线1l ：460x y ++=，2l ：3560x y --=截得的线段的中点恰好是坐标原点，求该直线方程.例3、光线从A （－3，4）点射出，到x 轴上的B 点后，被x 轴反射到y 轴上的C 点，又被y 轴反射，这时反射线恰好过点D （－1，6），求BC 所在直线的方程.【经典练习】1． 在x 轴和y 轴上的截距分别为－2、3的直线方程是（ ）. A. 2360x y --= B. 3260x y --=C. 3260x y -+=D. 2360x y -+=2．若直线0Ax By C ++=通过第二、三、四象限，则系数A 、B 、C 需满足条件（ ）. A. A 、B 、C 同号 B. AC ＜0，BC ＜0C. C ＝0，AB ＜0D. A ＝0，BC ＜03． 到两坐标轴距离相等的点的轨迹方程是（ ）. A. x －y =0B. x +y =0C. |x |－y =0D. |x |－|y |=04．下列四种说法中的正确的是（ ）.A. 经过定点P 0（x 0，y 0）的直线都可以用方程y －y 0=k （x －x 0）表示B. 经过任意两个不同点111222(,),(,)P x y P x y 的直线都可以用方程121121()()()()y y x x x x y y --=--表示C. 不经过原点的直线都可以用方程1x ya b+=表示 D. 经过定点A （0，b ）的直线都可以用方程y =kx +b 表示5．已知点(0,1)P -，点Q 在直线x -y +1=0上，若直线PQ 垂直于直线x +2y -5=0，则点Q 的坐标是（ ）.A ．（－2，1）B ．（2，1）C ．（2，3）D ．（－2，－1） 6．已知两点A （1，－1）、B （3，3），点C （5，a ）在直线AB 上，则实数a 的值是 . 7．点P 在直线x +y -4=0上，O 为原点，则|OP |的最小值是 . 8．求经过直线772400x y x y +-=-=和的交点，且与原点距离为125的直线方程．9．已知点A 的坐标为(4,4)-，直线l 的方程为3x ＋y －2＝0，求：（1）点A 关于直线l 的对称点A ′的坐标； （2）直线l 关于点A 的对称直线l '的方程.第24讲 §3.2.3 直线的一般式方程¤学习目标：根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的一般式，体会一般式与直线其它方程形式之间的关系.¤知识要点：1. 一般式（general form ）：0A x B y C ++=，注意A 、B 不同时为0. 直线一般式方程0(0)Ax By C B ++=≠化为斜截式方程A C y x B B =--，表示斜率为A B -，y 轴上截距为CB-的直线.2 与直线:0l Ax By C ++=平行的直线，可设所求方程为'0Ax By C ++=；与直线0Ax By C ++=垂直的直线，可设所求方程为'0Bx Ay C -+=. 过点00(,)P x y 的直线可写为00()()0A x x B y y -+-=.经过点0M ，且平行于直线l 的直线方程是00()()0A x x B y y -+-=； 经过点0M ，且垂直于直线l 的直线方程是00()()0B x x A y y ---=.3. 已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），则两条直线的位置关系可以如下判别： （1）1212120l l A A B B ⊥⇔+=； （2）1212211221//0,0l l A B A B AC A B ⇔-=-≠； （3）1l 与2l 重合122112210,0A B A B AC A B ⇔-=-=； （4）1l 与2l 相交12210A B A B ⇔-≠. 如果2220A B C ≠时，则11112222//A B C l l A B C ⇔=≠；1l 与2l 重合111222A B CA B C ⇔==；1l 与2l 相交1122A B A B ⇔≠. ¤例题精讲：【例1】已知直线1l ：220x my m +--=，2l ：10mx y m +--=，问m 为何值时： （1）12l l ⊥； （2）12//l l .解：（1）12l l ⊥时，12120A A B B +=，则110m m ⨯+⨯=，解得m ＝0.（2）12//l l 时，12211m m m m--=≠--, 解得m ＝1. 【例2】（1）求经过点(3,2)A 且与直线420x y +-=平行的直线方程； （2）求经过点(3,0)B 且与直线250x y +-=垂直的直线方程. 解：（1）由题意得所求平行直线方程4(3)(2)0x y -+-=，化为一般式4140x y +-=. （2） 由题意得所求垂直直线方程(3)2(0)0x y ---=，化为一般式230x y --=.【例3】已知直线l 的方程为3x +4y －12=0，求与直线l 平行且过点（－1，3）的直线的方程．分析：由两直线平行，所以斜率相等且为34-，再由点斜式求出所求直线的方程. 解：直线l:3x +4y －12=0的斜率为34-， ∵ 所求直线与已知直线平行， ∴所求直线的斜率为34-， 又由于所求直线过点（－1，3），所以，所求直线的方程为：33(1)4y x -=-+，即3490x y +-=.点评：根据两条直线平行或垂直的关系，得到斜率之间的关系，从而由已知直线的斜率及点斜式求出所求直线的方程. 此题也可根据直线方程的一种形式00()()0A x x B y y -+-=而直接写出方程，即3(1)4(3)0x y ++-=，再化简而得.【例4】直线方程0Ax By C ++=的系数A 、B 、C 分别满足什么关系时，这条直线分别有以下性质?（1）与两条坐标轴都相交；（2）只与x 轴相交；（3）只与y 轴相交；（4）是x 轴所在直线；（5）是y 轴所在直线.分析：由直线性质，考察相应图形，从斜率、截距等角度，分析系数的特征. 解：（1）当A ≠0，B ≠0，直线与两条坐标轴都相交. （2）当A ≠0，B =0时，直线只与x 轴相交. （3）当A ＝0，B ≠0时，直线只与y 轴相交.（4）当A ＝0，B ≠0，C ＝0，直线是x 轴所在直线. （5）当A ≠0，B ＝0，C ＝0时，直线是y 轴所在直线. 点评：结合图形的几何性质，转化为方程形式所满足的代数形式. 对于直线的一般式方程，需要特别注意以上几种特殊位置时的方程形式.第24练 §3.2.3 直线的一般式方程※基础达标1．如果直线0Ax By C ++=的倾斜角为45︒，则有关系式（ ）.A. A B =B. 0A B +=C. 1AB =D. 以上均不可能 2．若0a b c -+=，则直线0ax by c ++=必经过一个定点是（ ）. A. (1,1) B. (1,1)- C. (1,1)- D. (1,1)-- 3．直线1(0)ax by ab +=≠与两坐标轴围成的面积是（ ）. A ．12ab B ．1||2ab C ．12abD ．12||ab 4．（2000京皖春）直线（32-）x +y =3和直线x +（23-）y =2的位置关系是（ ）.A. 相交不垂直B. 垂直C. 平行D. 重合 5．已知直线mx +ny +1=0平行于直线4x +3y +5=0，且在y 轴上的截距为13，则m ，n 的值分别为（ ）.A. 4和3B. －4和3C. －4和－3D. 4和－3 6．若直线x +a y+2=0和2x +3y +1=0互相垂直，则a = .7．过两点（5，7）和（1，3）的直线一般式方程为 ；若点（a ，12）在此直线上，则a ＝ ．※能力提高8．根据下列各条件写出直线的方程，并且化成一般式：（1）斜率是－12，经过点A （8，－2）； （2）经过点B (4，2)，平行于x 轴；（3）在x 轴和y 轴上的截距分别是32,－3； （4）经过两点1P （3，－2）、2P （5，－4）.9．已知直线12,l l 的方程分别是：1111:0l A x B y C ++=（11,A B 不同时为0），2222:0l A x B y C ++=（22,A B 不同时为0），且12120A A B B +=. 求证12l l ⊥.※探究创新10．已知直线1:60l x my ++=，2:(2)320l m x y m -++=，求m 的值，使得： （1）l 1和l 2相交；（2）l 1⊥l 2；（3）l 1//l 2；（4）l 1和l 2重合.第25讲 §3.3.1 两条直线的交点坐标¤学习目标：进一步掌握两条直线的位置关系，能够根据方程判断两直线的位置关系，理解两直线的交点与方程的解之间的关系，能用解方程组的方法求两直线的交点坐标.¤知识要点：1. 一般地，将两条直线的方程联立，得到二元一次方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩. 若方程组有惟一解，则两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；若方程组有无数解，则两条直线有无数个公共点，此时两条直线重合.2. 方程111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=为直线系，所有的直线恒过一个定点，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点.¤例题精讲：【例1】判断下列各对直线的位置关系. 如果相交，求出交点坐标.（1）直线l 1: 2x －3y +10=0 , l 2: 3x +4y －2=0； （2）直线l 1: 1nx y n -=-, l 2: 2ny x n -=.解：（1）解方程组231003420x y x y -+=⎧⎨+-=⎩， 得22x y =-⎧⎨=⎩.所以，l 1与l 2相交，交点是（－2，2）.（2）解方程组12nx y n ny x n-=-⎧⎨-=⎩，消y 得 22(1)n x n n -=+.当1n =时，方程组无解，所以两直线无公共点，1l //2l .当1n =-时，方程组无数解，所以两直线有无数个公共点，l 1与l 2重合. 当1n ≠且1n ≠-，方程组有惟一解，得到1n x n =-，211n y n -=-， l 1与l 2相交. ∴当1n =时，1l //2l ；当1n =-时，l 1与l 2重合；当1n ≠且1n ≠-，l 1与l 2相交，交点是21(,)11n n n n ---. 【例2】求经过两条直线280x y +-=和210x y -+=的交点，且平行于直线4370x y --=的直线方程.解：设所求直线的方程为28(21x y x y λ+-+-+=，整理为(2)(12)x y λλλ++-+-=.∵ 平行于直线4370x y --=， ∴ (2)(3)(12)40λλ+⨯---⨯=，解得2λ=. 则所求直线方程为4360x y --=.【例3】已知直线(2)(31)1a y a x -=--. 求证：无论a 为何值时直线总经过第一象限. 解：应用过两直线交点的直线系方程，将方程整理为(3)(21)0a x y x y -+-+-=.对任意实数a 恒过直线30x y -=与210x y -+=的交点为(15,35)，∴ 直线系恒过第一象限内的定点为(15,35).所以，无论a 为何值时直线总经过第一象限.点评：化为111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=后，解方程组1112220A x B y C A x B y C ++=⎧⎨++=⎩所得到的解，为何就是直线恒过的定点坐标？实质就是方程组的解能使方程成立，即点在直线上.【例4】若直线l ：y ＝kx 3-与直线2x ＋3y －6＝0的交点位于第一象限，求直线l 的倾斜角的取值范围.解：如图，直线2x +3y －6=0过点A （3，0），B （0，2），直线l ：y ＝kx 3-必过点（0，－3）.当直线l 过A 点时，两直线的交点在x 轴；当直线l 绕C 点逆时针（由位置AC 到位置BC ）旋转时，交点在第一象限. 根据303033AC k --==-，得到直线l 的斜率k >33. ∴倾斜角范围为(30,90)︒︒. 点评：此解法利用数形结合的思想，结合平面解析几何中直线的斜率公式，抓住直线的变化情况，迅速、准确的求得结果. 也可以利用方程组的思想，由点在某个象限时坐标的符号特征，列出不等式而求.第25练 §3.3.1 两条直线的交点坐标※基础达标1．直线3510x y +-=与4350x y +-=的交点是（ ）. A. (2,1)- B. (3,2)- C. (2,1)- D. (3,2)-2．直线1:(21)2l x y -+=与直线2:(21)3l x y ++=的位置关系是（ ）.A. 平行B. 相交C. 垂直D. 重合3．已知直线12,l l 的方程分别为 1111:0l A x B y C ++=，2222:0l A x B y C ++=，且12l l 与只有一个公共点，则（ ）.A. 11220A B A B -≠B. 12210A B A B -≠C.1122A B A B ≠D. 1212A AB B ≠ 4．经过直线240x y -+=与50x y -+=的交点，且垂直于直线20x y -=的直线的方程是（ ）.A. 280x y +-=B. 280x y --=C. 280x y ++=D. 280x y -+= 5．直线a x ＋2y ＋８＝0，4x ＋3y ＝10和2x －y ＝10相交于一点，则a 的值为（ ）.A. 1B. －1C. 2D. －26．直线1l ：2x ＋3y ＝12与2l ：x －2y ＝４的交点坐标为 .7．（07年上海卷.理2）若直线1210l x my ++=： 与直线231l y x =-：平行，则m = ． ※能力提高8．已知直线l 1: 2x -3y +10=0 , l 2: 3x +4y -2=0. 求经过l 1和l 2的交点，且与直线l 3: 3x -2y +4=0垂直的直线l 的方程.9．试求直线1:l 20x y --=关于直线2l :330x y -+=对称的直线l 的方程.※探究创新10．已知直线方程为(2+λ)x +(1-2λ)y +4-3λ=0. （1）求证不论λ取何实数值，此直线必过定点；（2）过这定点引一直线，使它夹在两坐标轴间的线段被这点平分，求这条直线方程.第26讲 §3.3.2 两点间的距离¤学习目标：探索并掌握两点间的距离公式. 初步了解解析法证明，初步了解由特殊到一般，再由一般到特殊的思想与“数”和“形”结合转化思想.¤知识要点：1. 平面内两点111(,)P x y ，222(,)P x y ，则两点间的距离为：22121212||()()PP x x y y =-+-. 特别地，当12,P P 所在直线与x 轴平行时，1212||||PP x x =-；当12,P P 所在直线与y 轴平行时，1212||||PP y y =-；当12,P P 在直线y kx b =+上时，21212||1||PPk x x =+-. 2. 坐标法解决问题的基本步骤是：（1）建立坐标系，用坐标表示有关量；（2）进行有关代数运算；（3）把代数运算的结果“翻译”成几何关系.¤例题精讲：【例1】在直线20x y -=上求一点P ，使它到点(5,8)M 的距离为５，并求直线PM 的方程.解：∵ 点P 在直线20x y -=上，∴ 可设(,2)P a a ， 根据两点的距离公式得22222(5)(28)5,542640PM a a a a =-+-=-+=即,解得3225a a ==或，∴3264(2,4)(,)55P 或． ∴ 直线PM 的方程为8585643248258555y x y x ----==----或， 即4340247640x y x y -+=--=或.【例2】直线2x －y －4=0上有一点P ，求它与两定点A (4，－1)，B (3，4)的距离之差的最大值.解：找A 关于l 的对称点A ′，A ′B 与直线l 的交点即为所求的P 点. 设'(,)A a b , 则12144124022b a a b +⎧⨯=-⎪⎪-⎨+-⎪⨯--=⎪⎩，解得01a b =⎧⎨=⎩， 所以线段22|'|(41)(30)32A B =-+-=. 【例3】已知AO 是△ABC 中BC 边的中线，证明|AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）. 解：以O 为坐标原点，BC 为x 轴，BC 的中垂线为y 轴，建立如图所示坐标系xOy . 设点A (a ,b)、B (-c ,0)、C (c ,0),由两点间距离公式得：|AB |=22()a c b ++，|AC |=22()a c b -+，|AO |=22a b +， |OC |=c .∴ |AB |2＋|AC |2=2222()a b c ++， |AO |2＋|OC |2=222a b c ++.∴ |AB |2＋|AC |2=2（|AO |2＋|OC |2）.点评：此解体现了解析法的思路. 先建立适当的直角坐标系，将△ABC 的顶点用坐标表示出来，再利用解析几何中的“平面内两点间的距离公式”计算四条线段长，即四个距离，从而完成证明. 还可以作如下推广：平行四边形的性质：平行四边形中，两条对角线的平方和，等于其四边的平方和.三角形的中线长公式：△ABC 的三边长为a 、b 、c ，则边c 上的中线长为2221222a b c +-. y xB (-c ,0) A (a ,b )C (c ,0) O【例4】已知函数2()1f x x =+，设,a b R ∈，且a b ≠，求证|()()|f a f b -<||a b -. 解：由|()()|f a f b -=22|11|a b +-+，在平面直角坐标系xoy 中，取两点(1,),(1,)A a B b ，则2||1,OA a =+ 2||1O B b =+, ||||AB a b =-.△O AB 中，||||||||OA OB AB -<，∴ 22|11|a b +-+<||a b -. 故原不等式成立.点评：此证法为数形结合法，由22a b +联想到平面内点到原点的距离公式，构造两点与三角形，将要证明的不等式转化为三角形中三边的不等关系.第26练 §3.3.2 两点间的距离※基础达标1．已知(2,1),(2,5)A B --，则|AB |等于（ ）.A. 4B. 10C. 6D. 2132．已知点(2,1),(,3)A B a --且||5AB =，则a 的值为（ ）.A. 1B. －5C. 1或－5D. －1或5 3．点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，线段AB 的中点M 的坐标是(3,4)，则||AB 的长为（ ）. A. 10 B. 5 C. 8 D. 64．已知(1,2),(0,4)A B -，点C 在x 轴上，且AC =BC ，则点C 的坐标为（ ）.A. 11(,0)2-B. 11(0,)2-C. 11(0,)2D. 11(,0)25．已知点(1,3),(5,1)M N -，点(,)P x y 到M 、N 的距离相等，则点(,)P x y 所满足的方程是（ ）.A. 380x y +-=B. 340x y --=C. 390x y -+=D. 380x y -+=6．已知(7,8),(10,4),(2,4)A B C -，则BC 边上的中线AM 的长为 .7．已知点P （2，－4）与Q （0，8）关于直线l 对称，则直线l 的方程为 . ※能力提高8．已知点(1,2),(3,4),(5,0)A B C ，判断ABC ∆的类型．9．已知(1,0)(1,0)M N -、，点P 为直线210x y --=上的动点．求22PM PN +的最小值，及取最小值时点P 的坐标．oxA (1,a )B (1,b )y※探究创新10．燕隼（sun ）和红隼是同属于隼形目隼科的鸟类．它们的体形大小如鸽，形略似燕，身体的形态特征比较相似．红隼的体形比燕隼略大．通过抽样测量已知燕隼的平均体长约为31厘米，平均翅长约为27厘米；红隼的平均体长约为35厘米，平均翅长约为25厘米. 近日在某地发现了两只形似燕隼或红隼的鸟. 经测量，知道这两只鸟的体长和翅长分别为A （32.65厘米，25.2厘米），B （33.4厘米，26.9厘米）. 你能否设计出一种近似的方法，利用这些数据判断这两只鸟是燕隼还是红隼？第27讲 §3.3.3 点到直线的距离及两平行线距离¤学习目标：探索并掌握点到直线的距离公式，会求两条平行直线间的距离. 体会数形结合、转化的数学思想，培养研究探索的能力.¤知识要点：1. 点00(,)P x y 到直线:0l Ax By C ++=的距离公式为0022||Ax By C d A B++=+.2. 利用点到直线的距离公式，可以推导出两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=之间的距离公式1222||C C d A B-=+，推导过程为：在直线2l 上任取一点00(,)P x y ，则0020A x B y C ++=，即002A x B y C +=-. 这时点00(,)P x y 到直线11:0l Ax By C ++=的距离为001122222||||Ax By C C C d A B A B++-==++. ¤例题精讲：【例1】求过直线1110:33l y x =-+和2:30l x y -=的交点并且与原点相距为1的直线l 的方程.解：设所求直线l 的方程为310(3)0y x x y λ+-+-=, 整理得(31)(3)100x y λλ++--=.由点到直线的距离公式可知，22101(31)(3)d λλ==++-, 解得3λ=±. 代入所设，得到直线l 的方程为14350x x y =-+=或.【例2】在函数24y x =的图象上求一点P ，使P 到直线45y x =-的距离最短，并求这个最短的距离.解：直线方程化为450x y --=. 设2(,4)P a a , 则点P 到直线的距离为22222|445||4(1/2)4|4(1/2)417174(1)a a a a d ------+===+-.高一数学21 当12a =时，点1(,1)2P 到直线的距离最短，最短距离为41717. 【例3】求证直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=与点(4,1)P -的距离不等于3. 解：由点线距离公式，得22|(2)4(1)(1)(64)|(2)(1)m m m d m m +-+--+=+++ =22|3|(2)(1)m m m ++++. 假设3d =，得到222(3)9[(2)(1)]m m m +=+++，整理得21748360m m ++=.∵ 248417361400∆=-⨯⨯=-<， ∴ 21748360m m ++=无实根.∴ 3d ≠，即直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.点评：此解妙在反证法思路的运用. 先由点线距离公式求出距离，然后从“距离不等于3”的反面出发，假设距离是3求m ，但求解的结果是m 无解. 从而假设不成立，即距离不等于3.另解：把直线L ：(2)(1)(64)0m x m y m +-+-+=按参数m 整理，得(4)260x y m x y --+--=.由{40260x y x y --=--=，解得{22x y ==-. 所以直线L 恒过定点(2,2)Q -. 点P 到直线L 取最大距离时, PQ ⊥L ，即最大距离是PQ =22(24)(21)-+-+=5. ∵ 5<3， ∴直线L 与点(4,1)P -的距离不等于3.点评：此解妙在运用直线系111222()()0A x B y C A x B y C λ+++++=恒过一个定点的知识，其定点就是1110A x B y C ++=与2220A x B y C ++=的交点. 由运动与变化观点，当直线PQ ⊥L 时，点线距离为最大.【例4】求直线1:2310l x y +-=与2:4650l x y +-=的正中平行直线方程.解：直线1l 的方程化为4620x y +-=. 设正中平行直线的方程为460x y C ++=， 则2222|2||5|4646C C ----=++，即|2||5|C C +=+，解得72C =-. 所以正中平行直线方程为74602x y +-=. 点评：先化一次项系数为相同，巧设正中平行直线方程，利用两组平行线间距离相等而求.结论：两条平行直线11:0l Ax By C ++=，22:0l Ax By C ++=的正中平行直线方程为12()/20Ax By C C +++=。
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.2直线的方程)》学生版
个性化辅导教案学员姓名科目年级授课时间课时 3 授课老师教学目标掌握直线的五种形式，会求点到直线的距离，会处理一些对称的问题重点难点直线的五种形式，点到直线的距离，对称问题第三章：直线与方程3.2直线的方程3．2.1直线的点斜式方程[导入新知]1．直线的点斜式方程(1)定义：如图所示，直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k，则把方程y－y0＝k(x－x0)叫做直线l的点斜式方程，简称点斜式．(2)说明：如图所示，过定点P(x0，y0)，倾斜角是90°的直线没有点斜式，其方程为x－x0＝0，或x＝x0.2．直线的斜截式方程(1)定义：如图所示，直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)，则方程y＝kx＋b叫做直线l的斜截式方程，简称斜截式．(2)说明：一条直线与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线在y轴上的截距．倾斜角是直角的直线没有斜截式方程．[化解疑难]1．关于点斜式的几点说明：(1)直线的点斜式方程的前提条件是：①已知一点P(x0，y0)和斜率k；②斜率必须存在．只有这两个条件都具备，才可以写出点斜式方程．(2)方程y －y 0＝k (x －x 0)与方程k ＝y －y 0x －x 0不是等价的，前者是整条直线，后者表示去掉点P (x 0，y 0)的一条直线．(3)当k 取任意实数时，方程y －y 0＝k (x －x 0)表示恒过定点(x 0，y 0)的无数条直线．2．斜截式与一次函数的解析式相同，都是y ＝kx ＋b 的形式，但有区别，当k ≠0时，y ＝kx ＋b 即为一次函数；当k ＝0时，y ＝b ，不是一次函数，一次函数y ＝kx ＋b (k ≠0)必是一条直线的斜截式方程．截距不是距离，可正、可负也可为零．直线的点斜式方程[例1] (1)经过点(－5,2)且平行于y 轴的直线方程为________．(2)直线y ＝x ＋1绕着其上一点P (3,4)逆时针旋转90°后得直线l ，则直线l 的点斜式方程为________． (3)求过点P (1,2)且与直线y ＝2x ＋1平行的直线方程为________． [解析] (1)∵直线平行于y 轴，∴直线不存在斜率，∴方程为x ＝－5.(2)直线y ＝x ＋1的斜率k ＝1，所以倾斜角为45°.由题意知，直线l 的倾斜角为135°，所以直线l 的斜率k ′＝tan 135°＝－1，又点P (3,4)在直线l 上，由点斜式方程知，直线l 的方程为y －4＝－(x －3)．(3)由题意知，所求直线的斜率为2，且过点P (1,2)，∴直线方程为y －2＝2(x －1)，即2x －y ＝0. [答案] (1)x ＝－5 (2)y －4＝－(x －3) (3)2x －y ＝0 [类题通法]已知直线上一点的坐标以及直线斜率或已知直线上两点的坐标，均可用直线方程的点斜式表示，直线方程的点斜式，应在直线斜率存在的条件下使用．当直线的斜率不存在时，直线方程为x ＝x 0.[活学活用]1．写出下列直线的点斜式方程： (1)经过点A (2,5)，斜率是4； (2)经过点B (2,3)，倾斜角是45°； (3)经过点C (－1，－1)，与x 轴平行．直线的斜截式方程[例2] (1)倾斜角为150°，在y 轴上的截距是－3的直线的斜截式方程为________．(2)已知直线l 1的方程为y ＝－2x ＋3，l 2的方程为y ＝4x －2，直线l 与l 1平行且与l 2在y 轴上的截距相同，求直线l 的方程．[解析] (1)∵倾斜角α＝150°，∴斜率k ＝tan 150°＝－33，由斜截式可得所求的直线方程为y ＝－33x －3.(2)由斜截式方程知直线l 1的斜率k 1＝－2， 又∵l ∥l 1，∴l 的斜率k ＝k 1＝－2.由题意知l 2在y 轴上的截距为－2，∴l 在y 轴上的截距b ＝－2，由斜截式可得直线l 的方程为y ＝－2x －2.[答案] (1)y ＝－33x －3 [类题通法]1．斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在．当b ＝0时，y ＝kx 表示过原点的直线；当k ＝0时，y ＝b 表示与x 轴平行(或重合)的直线．2．截距不同于日常生活中的距离，截距是一个点的横(纵)坐标，是一个实数，可以是正数，也可以是负数或零，而距离是一个非负数．[活学活用]2．求倾斜角是直线y ＝－3x ＋1的倾斜角的14，且在y 轴上的截距是－5的直线方程．两直线平行与垂直的应用[例3] 当a 为何值时，(1)两直线y ＝ax －2与y ＝(a ＋2)x ＋1互相垂直？ (2)两直线y ＝－x ＋4a 与y ＝(a 2－2)x ＋4互相平行？[解] (1)设两直线的斜率分别为k 1，k 2，则k 1＝a ，k 2＝a ＋2. ∵两直线互相垂直， ∴k 1k 2＝a (a ＋2)＝－1， 解得a ＝－1.故当a ＝－1时，两条直线互相垂直． (2)设两直线的斜率分别为k 3，k 4， 则k 3＝－1，k 4＝a 2－2. ∵两条直线互相平行，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－2＝－1，4a ≠4，解得a ＝－1. 故当a ＝－1时，两条直线互相平行． [类题通法]判断两条直线位置关系的方法直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，直线l 2：y ＝k 2x ＋b 2. (1)若k 1≠k 2，则两直线相交． (2)若k 1＝k 2，则两直线平行或重合， 当b 1≠b 2时，两直线平行； 当b 1＝b 2时，两直线重合．(3)特别地，当k 1·k 2＝－1时，两直线垂直． (4)对于斜率不存在的情况，应单独考虑． [活学活用]3．(1)若直线l 1：y ＝(2a －1)x ＋3与直线l 2：y ＝4x －3垂直，则a ＝________. (2)若直线l 1：y ＝－x ＋2a 与直线l 2：y ＝(a 2－2)x ＋2平行，则a ＝________.7.斜截式判断两条直线平行的误区[典例] 已知直线l 1：x ＋my ＋6＝0，l 2：(m －2)x ＋3y ＋2m ＝0，当l 1∥l 2时，求m 的值．[解] 由题设l 2的方程可化为y ＝－m －23x －23m ，则其斜率k 2＝－m －23，在y 轴上的截距b 2＝－23m .∵l 1∥l 2，∴l 1的斜率一定存在，即m ≠0. ∴l 1的方程为y ＝－1m x －6m.由l 1∥l 2，得⎩⎨⎧－m －23＝－1m，－23m ≠－6m，解得m ＝－1.∴m 的值为－1.[易错防范]1．两条直线平行时，斜率存在且相等，截距不相等．当两条直线的斜率相等时，也可能平行，也可能重合．2．解决此类问题要明确两直线平行的条件，尤其是在求参数时要考虑两直线是否重合．[成功破障]当a为何值时，直线l1：y＝－2ax＋2a与直线l2：y＝(a2－3)x＋2平行？[随堂即时演练]1．直线y＝2x－3的斜率和在y轴上的截距分别等于()A．2,3B．－3，－3C．－3,2 D．2，－32．直线l经过点P(2，－3)，且倾斜角α＝45°，则直线的点斜式方程是()A．y＋3＝x－2 B．y－3＝x＋2C．y＋2＝x－3 D．y－2＝x＋33．过点(－2，－4)，倾斜角为60°的直线的点斜式方程是________．4．在y轴上的截距为2，且与直线y＝－3x－4平行的直线的斜截式方程为________．5．(1)求经过点(1,1)，且与直线y＝2x＋7平行的直线的方程；(2)求经过点(－2，－2)，且与直线y＝3x－5垂直的直线的方程．3．2.2 & 3.2.3直线的两点式方程、直线的一般式方程两点式、截距式[导入新知]直线的两点式与截距式方程两点式截距式条件P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2) 其中x 1≠x 2，y 1≠y 2在x 轴上截距a ，在y 轴上截距b 图形方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1x a ＋y b＝1 适用范围不表示垂直于坐标轴的直线不表示垂直于坐标轴的直线及过原点的直线[化解疑难]1．要注意方程y －y 1y 2－y 1＝x －x 1x 2－x 1和方程(y －y 1)(x 2－x 1)＝(x －x 1)(y 2－y 1)形式不同，适用范围也不同．前者为分式形式方程，形式对称，但不能表示垂直于坐标轴的直线．后者为整式形式方程，适用于过任何两点的直线方程．2．直线方程的截距式为x a ＋yb ＝1，x 项对应的分母是直线在x 轴上的截距，y 项对应的分母是直线在y 轴上的截距，中间以“＋”相连，等式的另一端是1，由方程可以直接读出直线在两轴上的截距，如：x 3－y4＝1，x 3＋y4＝－1就不是直线的截距式方程.直线方程的一般式[导入新知]1．直线与二元一次方程的关系(1)在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都可以用一个关于x ，y 的二元一次方程表示． (2)每个关于x ，y 的二元一次方程都表示一条直线． 2．直线的一般式方程的定义我们把关于x ，y 的二元一次方程Ax ＋By ＋C ＝0(其中A ，B 不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式．[化解疑难]1．求直线的一般式方程的策略(1)当A ≠0时，方程可化为x ＋B A y ＋C A ＝0，只需求B A ，C A 的值；若B ≠0，则方程化为A B x ＋y ＋CB ＝0，只需确定A B ，CB的值．因此，只要给出两个条件，就可以求出直线方程．(2)在求直线方程时，设一般式方程有时并不简单，常用的还是根据给定条件选用四种特殊形式之一求方程，然后可以转化为一般式．2．直线的一般式转化为其他形式的步骤 (1)一般式化为斜截式的步骤 ①移项得By ＝－Ax －C ；②当B ≠0时，得斜截式：y ＝－A B x －CB .(2)一般式化为截距式的步骤①把常数项移到方程右边，得Ax ＋By ＝－C ；②当C ≠0时，方程两边同除以－C ，得Ax －C ＋By－C ＝1；③化为截距式：x －C A ＋y－C B＝1.由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式．利用两点式求直线方程[例1] 三角形的三个顶点是A (－1,0)，B (3，－1)，C (1,3)，求三角形三边所在直线的方程． [解] 由两点式，直线AB 所在直线方程为：y －(－1)0－(－1)＝x －3－1－3，即x ＋4y ＋1＝0.同理，直线BC 所在直线方程为： y －3－1－3＝x －13－1，即2x ＋y －5＝0. 直线AC 所在直线方程为： y －30－3＝x －1－1－1，即3x －2y ＋3＝0.[类题通法]求直线的两点式方程的策略以及注意点(1)当已知两点坐标，求过这两点的直线方程时，首先要判断是否满足两点式方程的适用条件：两点的连线不平行于坐标轴，若满足，则考虑用两点式求方程．(2)由于减法的顺序性，一般用两点式求直线方程时常会将字母或数字的顺序错位而导致错误．在记忆和使用两点式方程时，必须注意坐标的对应关系．[活学活用]1．(1)若直线l 经过点A (2，－1)，B (2,7)，则直线l 的方程为________． (2)若点P (3，m )在过点A (2，－1)，B (－3,4)的直线上，则m ＝________.直线的截距式方程及应用[例2] 直线l 过点P (43，2)，且与x 轴、y 轴的正半轴分别交于A 、B 两点，O 为坐标原点．(1)当△AOB 的周长为12时，求直线l 的方程． (2)当△AOB 的面积为6时，求直线l 的方程．[解] (1)设直线l 的方程为 x a ＋yb＝1(a ＞0，b ＞0)， 由题意知，a ＋b ＋a 2＋b 2＝12. 又因为直线l 过点P (43，2)，所以43a ＋2b＝1，即5a 2－32a ＋48＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎨⎧a 2＝125，b 2＝92，所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0 或15x ＋8y －36＝0.(2)设直线l 的方程为x a ＋yb ＝1(a ＞0，b ＞0)，由题意知，ab ＝12，43a ＋2b ＝1，消去b ，得a 2－6a ＋8＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝4，b 1＝3，⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝2，b 2＝6， 所以直线l 的方程为3x ＋4y －12＝0或3x ＋y －6＝0. [类题通法]用截距式方程解决问题的优点及注意事项(1)由截距式方程可直接确定直线与x 轴和y 轴的交点的坐标，因此用截距式画直线比较方便． (2)在解决与截距有关或直线与坐标轴围成的三角形面积、周长等问题时，经常使用截距式．(3)但当直线与坐标轴平行时，有一个截距不存在；当直线通过原点时，两个截距均为零．在这两种情况下都不能用截距式，故解决问题过程中要注意分类讨论．[活学活用]2．求经过点A (－2,2)，并且和两坐标轴围成的三角形面积是1的直线方程．直线方程的一般式应用[例3] (1)已知直线l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0与直线l 2：mx ＋3y －2＝0平行，求m 的值；(2)当a 为何值时，直线l 1：(a ＋2)x ＋(1－a )y －1＝0与直线l 2：(a －1)x ＋(2a ＋3)y ＋2＝0互相垂直？ [解] (1)法一：由l 1：2x ＋(m ＋1)y ＋4＝0. l 2：mx ＋3y －2＝0. ①当m ＝0时，显然l 1与l 2不平行． ②当m ≠0时，l 1∥l 2，需2m ＝m ＋13≠4－2.解得m ＝2或m ＝－3.∴m 的值为2或－3. 法二：令2×3＝m (m ＋1)，解得m ＝－3或m ＝2.当m ＝－3时，l 1：x －y ＋2＝0，l 2：3x －3y ＋2＝0，显然l 1与l 2不重合，∴l 1∥l 2. 同理当m ＝2时，l 1：2x ＋3y ＋4＝0，l 2：2x ＋3y －2＝0， l 1与l 2不重合，l 1∥l 2， ∴m 的值为2或－3.(2)法一：由题意，直线l 1⊥l 2，①若1－a ＝0，即a ＝1时，直线l 1：3x －1＝0与直线l 2：5y ＋2＝0，显然垂直．②若2a ＋3＝0，即a ＝－32时，直线l 1：x ＋5y －2＝0与直线l 2：5x －4＝0不垂直．③若1－a ≠0，且2a ＋3≠0，则直线l 1，l 2的斜率k 1，k 2都存在，k 1＝－a ＋21－a ，k 2＝－a －12a ＋3，当l 1⊥l 2时，k 1·k 2＝－1，即(－a ＋21－a )·(－a －12a ＋3)＝－1，所以a ＝－1.综上可知，当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. 法二：由直线l 1⊥l 2，所以(a ＋2)(a －1)＋(1－a )(2a ＋3)＝0，解得a ＝±1. 将a ＝±1代入方程，均满足题意． 故当a ＝1或a ＝－1时，直线l 1⊥l 2. [类题通法]1．直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，直线l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0， (1)若l 1∥l 2⇔A 1B 2－A 2B 1＝0且B 1C 2－B 2C 1≠0(或A 1C 2－A 2C 1≠0)． (2)若l 1⊥l 2⇔A 1A 2＋B 1B 2＝0.2．与直线Ax ＋By ＋C ＝0平行的直线方程可设为Ax ＋By ＋m ＝0，(m ≠C )，与直线Ax ＋By ＋C ＝0垂直的直线方程可设为Bx －Ay ＋m ＝0.[活学活用]3．(1)求与直线3x ＋4y ＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l 的方程； (2)求经过点A (2,1)且与直线2x ＋y －10＝0垂直的直线l 的方程．3.探究直线在坐标轴上的截距问题[典例] 求过点A (4,2)，且在两坐标轴上的截距的绝对值相等的直线l 的方程． [解] 当直线过原点时，它在x 轴、y 轴上的截距都是0， 满足题意．此时，直线的斜率为12，所以直线方程为y ＝12x .当直线不过原点时，由题意可设直线方程为x a ＋y b＝1，又过点A ，所以4a ＋2b＝1(1)．4．截距和是定数问题求过点A (4,2)且在两坐标轴上截距之和为12的直线l 的方程．解：设直线l 的方程为x a ＋y b＝1， 由题意⎩⎪⎨⎪⎧ 4a ＋2b ＝1，a ＋b ＝12.∴4b ＋2a ＝ab ，即4(12－a )＋2a ＝a (12－a )，∴a 2－14a ＋48＝0，解得a ＝6或a ＝8.因此⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝6，b ＝6，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝8，b ＝4. ∴所求直线l 的方程为x ＋y －6＝0或x ＋2y －8＝0.[方法感悟]如果题目中出现直线在两坐标轴上的“截距相等”、“截距的绝对值相等”、“截距互为相反数”、“在一坐标轴上的截距是另一坐标轴上截距的m 倍(m ＞0)”等条件时，可采用截距式求直线方程，但一定要注意考虑“零截距”的情况．[随堂即时演练]1．直线x 3－y 4＝1在两坐标轴上的截距之和为( ) A ．1B ．－1C ．7D ．－72．直线3x －2y ＝4的截距式方程是( )A.3x 4－y 2＝1 B.x 13－y 12＝4 C.3x 4－y －2＝1 D.x 43＋y －2＝1 3．直线l 过点(－1,2)和点(2,5)，则直线l 的方程为________．4．斜率为2，且经过点A (1,3)的直线的一般式方程为________．5．三角形的顶点坐标为A (0，－5)，B (－3,3)，C (2,0)，求直线AB 和直线AC 的方程．。
直线系方程
所以直线恒过定点
7 , 5 2 2
例1.求证：无论m取何实数时，直线 (m-1)x-(m+3)y-(m-11)=0恒过定点， 并求出定点的坐标。
解法2：将方程变为：
x 3 y 11 m( x y 1) 0
解得： x 3 y 11 0
x
y
1
0
即：
过 7 , 5
3.过两直线2x y 8 0和x 2y 1 0的交点,
且平行于直线4 x - 3 y 7 0的直线是 : 4_x_-_3_y_-6_=0
4.过两直线y 2x 3和3x - y 2 0的交点,
且垂直于第一条直线的直线方程是 :x_+_2_y_-_1_1=0
四、一个二次方程表示 两条直线的问题:
高一数学 必修 2
第三章 直线的方程
一、直线系方程的概念
• 直线系： • 具有某种共同性质的所有直
线的集合.它的方程叫直线系 方程。
二、直线系方程的种类1:
1:与直线L：Ax+By+C=0平行的直线系方程 为：
Ax+By+m=0 （其中m≠C，m为待定系 数）；y
o x
直线系方程的种类2:
2:与直线L：Ax+By+C=0垂直的直线系方程为: Bx-Ay+m=0 （m为待定系数）.
2 2
方法小结：
若证明一条直线恒过定点或求一条直线必 过定点，通常有两种方法： 法一:分离系数法，即将原方程改变成： f(x, y)+mg(x,y)=0的形式，此式的成立与 m的取值无关，故从而解出定点。
法二：从特殊到一般，先由其中的两条特 殊直线求出交点，再证明其余直线均过此 交点。
例2: 求过两直线x-2y+4=0和x+y-2=0的交点， 且满足下列条件的直线L的方程。 (1) 过点(2, 1) (2) 和直线3x-4y+5=0垂直。
高中数学必修2《第3章：直线与方程(3.3直线的交点坐标与距离公式1)》学生版
个 性 化 辅 导 教 案学员姓名 科 目 年 级 授课时间课 时3授课老师教学目标 1、掌握两直线交点坐标的求法，以及判断两直线位置的方法 2、掌握数形结合的学习方法重点难点重点：判断两直线是否相交，求交点坐标。
难点：两直线相交与二元一次方程的关系。
第三章：直线与方程3.3直线的交点坐标与距离公式3．3.1 & 3.3.2 两直线的交点坐标、两点间的距离 第一课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(新授课)两条直线的交点坐标[导入新知]1．两直线的交点坐标几何元素及关系代数表示 点A A (a ，b ) 直线l l ：Ax ＋By ＋C ＝0 点A 在直线l 上 Aa ＋Bb ＋C ＝0直线l 1与l 2的交点是A方程组⎩⎪⎨⎪⎧ A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解是⎩⎪⎨⎪⎧x ＝ay ＝b2．两直线的位置关系方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0的解一组 无数组 无解 直线l 1与l 2的公共点个数 一个 无数个 零个 直线l 1与l 2的位置关系相交重合平行[化解疑难]两直线相交的条件(1)将两直线方程联立解方程组，依据解的个数判断两直线是否相交．当方程组只有一解时，两直线相交．(2)设l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，l 2：A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0，则l 1与l 2相交的条件是A 1B 2－A 2B 1≠0或A 1A 2≠B 1B 2(A 2，B 2≠0)．(3)设两条直线l 1：y ＝k 1x ＋b 1，l 2：y ＝k 2x ＋b 2，则l 1与l 2相交⇔k 1≠k 2.两点间的距离[导入新知] 两点间的距离公式(1)公式：点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)间的距离公式|P 1P 2|＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2.(2)文字叙述：平面内两点的距离等于这两点的横坐标之差与纵坐标之差的平方和的算术平方根． [化解疑难]两点间距离公式的理解(1)此公式与两点的先后顺序无关，也就是说公式也可写成|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2. (2)当直线P 1P 2平行于x 轴时，|P 1P 2|＝|x 2－x 1|. 当直线P 1P 2平行于y 轴时，|P 1P 2|＝|y 2－y 1|. 当点P 1、P 2中有一个是原点时，|P 1P 2|＝x 2＋y 2.两条直线的交点问题[例1] 判断下列各组直线的位置关系．如果相交，求出交点的坐标： (1)l 1：5x ＋4y －2＝0，l 2：2x ＋y ＋2＝0； (2)l 1：2x －6y ＋3＝0，l 2：y ＝13x ＋12；(3)l 1：2x －6y ＝0，l 2：y ＝13x ＋12.[解] (1)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2＝0，2x ＋y ＋2＝0，得⎩⎨⎧x ＝－103，y ＝143.所以l 1与l 2相交，且交点坐标为⎝⎛⎭⎫－103，143. (2)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＋3＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6整理得2x －6y ＋3＝0.因此，①和②可以化成同一个方程，即①和②表示同一条直线，l 1与l 2重合． (3)解方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －6y ＝0，①y ＝13x ＋12，②②×6－①得3＝0，矛盾．方程组无解，所以两直线无公共点，l 1∥l 2. [类题通法]判断两直线的位置关系，关键是看两直线的方程组成的方程组的解的情况．(1)解方程组的重要思想就是消元，先消去一个变量，代入另外一个方程能解出另一个变量的值． (2)解题过程中注意对其中参数进行分类讨论． (3)最后把方程组解的情况还原为直线的位置关系． [活学活用]1．判断下列各对直线的位置关系．若相交，求出交点坐标： (1)l 1：2x ＋y ＋3＝0，l 2：x －2y －1＝0； (2)l 1：x ＋y ＋2＝0，l 2：2x ＋2y ＋3＝0.直线恒过定点问题[例2] 求证：不论m 为何实数，直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5都过某一定点． [证明] 法一：取m ＝1时，直线方程为y ＝－4；取m ＝12时，直线方程为x ＝9.两直线的交点为P (9，－4)，将点P 的坐标代入原方程左边＝(m －1)×9＋(2m －1)×(－4)＝m －5. 故不论m 取何实数，点P (9，－4)总在直线(m －1)x ＋(2m －1)y ＝m －5上， 即直线恒过点P (9，－4)．法二：原方程化为(x ＋2y －1)m ＋(－x －y ＋5)＝0. 若对任意m 都成立，则有⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋2y －1＝0，x ＋y －5＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝9，y ＝－4.所以不论m 为何实数，所给直线都过定点P (9，－4)． [类题通法]解含有参数的直线恒过定点的问题(1)方法一：任给直线中的参数赋两个不同的值，得到两条不同的直线，然后验证这两条直线的交点就是题目中含参数直线所过的定点，从而问题得解．(2)方法二：含有一个参数的二元一次方程若能整理为A 1x ＋B 1y ＋C 1＋λ(A 2x ＋B 2y ＋C 2)＝0，其中λ是参数，这就说明了它表示的直线必过定点，其定点可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0，A 2x ＋B 2y ＋C 2＝0解得．若整理成y －y 0＝k (x －x 0)的形式，则表示的所有直线必过定点(x 0，y 0)．[活学活用]2．求经过两直线l 1：3x ＋4y －2＝0和l 2：2x ＋y ＋2＝0的交点且过坐标原点的直线l 的方程．两点间距离公式的应用[例3] 已知点A (1,1)，B (5,3)，C (0,3)，求证：△ABC 为直角三角形． [证明] 法一：∵|AB |＝(5－1)2＋(3－1)2＝25， |AC |＝(0－1)2＋(3－1)2＝5， 又|BC |＝(5－0)2＋(3－3)2＝5， ∴|AB |2＋|AC |2＝|BC |2， ∴△ABC 为直角三角形． 法二：∵k AB ＝3－15－1＝12，k AC ＝3－10－1＝－2，∴k AB ·k AC ＝－1，∴AB ⊥AC ，∴△ABC 是以A 为直角顶点的直角三角形．[类题通法]1．计算两点间距离的方法(1)对于任意两点P 1(x 1，y 1)和P 2(x 2，y 2)，则|P 1P 2|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(2)对于两点的横坐标或纵坐标相等的情况，可直接利用距离公式的特殊情况求解． 2．解答本题还要注意构成三角形的条件． [活学活用]3．已知点A (－1,2)，B (2，7)，在x 轴上求一点P ，使|P A |＝|PB |，并求|P A |的值．8.两条直线相交求参数中的误区[典例] 若三条直线l 1：ax ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋ay ＋1＝0 ，l 3：x ＋y ＋a ＝0能构成三角形，则a 应满足的条件是( )A ．a ＝1或a ＝－2B ．a ≠±1C ．a ≠1且a ≠－2D ．a ≠±1且a ≠－2[解析] 为使三条直线能构成三角形，需三条直线两两相交且不共点．(1)若三条直线交于一点，由⎩⎪⎨⎪⎧ x ＋ay ＋1＝0，x ＋y ＋a ＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－a －1，y ＝1，将l 2，l 3的交点(－a －1,1)代入l 1的方程解得a ＝1或a ＝－2①；(2)若l 1∥l 2，则由a ×a －1×1＝0，得a ＝±1②， 当a ＝1时，l 1与l 2重合；(3)若l 2∥l 3，则由1×1－a ×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 2与l 3重合； (4)若l 1∥l 3，则由a ×1－1×1＝0，得a ＝1，当a ＝1时，l 1与l 3重合． 综上，当a ＝1时，三条直线重合；当a ＝－1时，l 1∥l 2；当a ＝－2时，三条直线交于一点， 所以要使三条直线能构成三角形，需a ≠±1且a ≠－2. [答案] D [易错防范]①处，解题过程中，由a ＝1或a ＝－2得a ≠1且a ≠－2，此种错误只考虑了三条直线相交于一点不能构成三角形，而忽视了任意两条平行或重合的直线也不能构成三角形．②处，若得到a ≠±1，只考虑了直线的斜率不相等的条件，而忽视了三条直线相交于一点也不能构成三角形．解答此类问题由条件不易直接求参数，可考虑从反面入手，同时考虑问题要全面，不要漏掉某些情形． [成功破障](2013·银川高一检测)直线y ＝2x ＋10，y ＝x ＋1，y ＝ax －2交于一点，则a 的值为( ) A.12B ．－12C.23 D ．－23[随堂即时演练]1．直线3x ＋2y ＋6＝0和2x ＋5y －7＝0的交点的坐标为( ) A ．(－4，－3) B ．(4,3) C ．(－4,3)D ．(3,4)2．已知点A (－2，－1)，B (a,3)，且|AB |＝5，则a 的值为( ) A ．1 B ．－5 C ．1或－5D ．1－或53．设Q (1,3)，在x 轴上有一点P ，且|PQ |＝5，则点P 的坐标是________．4．若p ，q 满足p －2q ＝1，直线px ＋3y ＋q ＝0必过一个定点，该定点坐标为________．5．(2012·山东德州高一检测)分别求经过两条直线2x ＋y －3＝0和x －y ＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．(1)平行于直线l 1：4x －2y －7＝0； (2)垂直于直线l 2：3x －2y ＋4＝0.第二课时 两直线的交点坐标、两点间的距离(习题课)1．两条直线的交点坐标如何求？2．如何根据方程组的解判断两直线的位置关系？3．平面内两点间的距离公式是什么？4．过定点的直线系方程有什么特点？5．如何用坐标法解决几何问题？6．点关于点的对称点，点关于线的对称点如何求？两直线交点问题的综合应用[例1] 过点M (0,1)作直线，使它被两已知直线l 1：x －3y ＋10＝0和l 2：2x ＋y －8＝0所截得的线段恰好被M 所平分，求此直线的方程．[解] 法一：过点M 与x 轴垂直的直线显然不合要求，故设所求直线方程为y ＝kx ＋1.若与两已知直线分别交于A ，B 两点，则解方程组⎩⎪⎨⎪⎧ y ＝kx ＋1，x －3y ＋10＝0，和⎩⎪⎨⎪⎧y ＝kx ＋1，2x ＋y －8＝0，可得x A ＝73k －1，x B ＝7k ＋2.由题意73k －1＋7k ＋2＝0， ∴k ＝－14.故所求直线方程为x ＋4y －4＝0.法二：设所求直线与两已知直线分别交于A 、B 两点，点B 在直线2x ＋y －8＝0上，故可设B (t,8－2t )，由中点坐标公式得A (－t,2t －6)．又因为点A 在直线x －3y ＋10＝0上，所以(－t )－3(2t －6)＋10＝0，得t ＝4，即B (4,0)．由两点式可得所求直线方程为x ＋4y －4＝0.[类题通法]两条直线的交点坐标就是联立两条直线方程所得的方程组的解． 解法一体现了方程思想，要学会利用． [活学活用]1．若直线5x ＋4y －2m －1＝0与直线2x ＋3y －m ＝0的交点在第四象限，求m 的取值范围．解：由方程组⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋4y －2m －1＝0，2x ＋3y －m ＝0，得⎩⎨⎧x ＝2m ＋37，y ＝m －27，即两直线的交点坐标为⎝⎛⎭⎫2m ＋37，m －27.∵此交点在第四象限，∴⎩⎨⎧2m ＋37＞0，m －27＜0，解得－32＜m ＜2.故所求m 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－32，2.对称问题[例2] 一束光线从原点O (0,0)出发，经过直线l ：8x ＋6y ＝25反射后通过点P (－4,3)，求反射光线的方程． [解] 设原点关于l 的对称点A 的坐标为(a ，b )，由直线OA 与l 垂直和线段AO 的中点在l 上得⎩⎨⎧b a ·(－43)＝－1，8×a 2＋6×b2＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4，b ＝3，∴A 的坐标为(4,3)．∵反射光线的反向延长线过A (4,3)， 又由反射光线过P (－4,3)，两点纵坐标相等， 故反射光线所在直线方程 为y ＝3.由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y ＝3，8x ＋6y ＝25，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝78，y ＝3，由于反射光线为射线，故反射光线的方程为y ＝3(x ≤78)．[类题通法]1．点关于直线对称的点的求法点N (x 0，y 0)关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的对称点M (x ，y )可由方程组⎩⎪⎨⎪⎧y －y 0x －x 0·⎝⎛⎭⎫－A B ＝－1(AB ≠0)A ·x ＋x 02＋B ·y ＋y2＋C ＝0求得．2．直线关于直线的对称的求法求直线l 1：A 1x ＋B 1y ＋C 1＝0关于直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0对称的直线l 2的方程的方法是转化为点关于直线对称，在l 1上任取两点P 1和P 2，求出P 1、P 2关于直线l 的对称点，再用两点式求出l 2的方程．[活学活用]2．与直线2x ＋3y －6＝0关于点(1，－1)对称的直线方程是( ) A ．3x －2y ＋2＝0 B ．2x ＋3y ＋7＝0 C ．3x －2y －12＝0 D ．2x ＋3y ＋8＝0坐标法的应用[例3] 一长为3 m ，宽为2 m 缺一角A 的长方形木板(如图所示)，长缺0.2 m ，宽缺0.5 m ，EF 是直线段，木工师傅要在BC 的中点M 处作EF 延长线的垂线(直角曲尺长度不够)，应如何画线？[解] 以AB 所在直线为x 轴，AD 所在的直线为y 轴建立直角坐标系， 则E (0.2,0)，F (0,0.5)，B (3,0)，D (0,2)，M (3,1)， 所以EF 所在直线斜率k ＝0.5－0.2＝－52.∵所求直线与EF 垂直，∴所求直线斜率为k ′＝25，又直线过点M (3,1)，所以所求直线方程为y －1＝25(x －3)．令y ＝0，则x ＝0.5，所以所求直线与x 轴交点为(0.5,0)，故应在EB 上截|EN |＝0.3 m ，得点N ，即得满足要求的直线MN . [类题通法]1．坐标法解决实际应用题，首先通过建立模型将它转化为数学问题．2．用坐标法解决几何问题，首先要建立适当的坐标系，用坐标表示有关量，然后进行代数运算，最后把代数运算的结果“翻译”成几何关系．[活学活用]3．已知等腰梯形ABCD ，建立适当的坐标系，证明：对角线|AC |＝|BD |.9.利用转化思想求最值[典例] 在x 轴上求一点P ，使得(1)P 到A (4,1)和B (0,4)的距离之差最大，并求出最大值； (2)P 到A (4,1)和C (3,4)的距离之和最小，并求出最小值．[解题流程]在求有关距离之和最小或距离之差最大时，需利用对称性和几何性质求解.①三角形的两个顶点知道，第三个顶点在x 轴上；②三角形两边之差小于 第三边，两边之和大于第三边.在x 轴上求点P ，使|P A |－|PB |或|PB |－|P A |最大，以及|P A |＋|PC |最小，应首先画出图形，利用对称性及三角形三边关系求解.[规范解答]如图，(1)直线BA 与x 轴交于点P ，此时P 为所求点，(2分) 且|PB |－|P A |＝|AB |＝(0－4)2＋(4－1)2＝5.(3分) ∵直线BA 的斜率k BA ＝1－44＝－34，(4分) ∴直线BA 的方程为y ＝－34x ＋4.令y ＝0得x ＝163，即P ⎝⎛⎭⎫163，0.故距离之差最大值为5，此时P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫163，0，(6分) (2)作A 关于x 轴的对称点A ′，则A ′(4，－1)，连接CA ′，则|CA ′|为所求最小值，直线CA ′与x 轴交点为所求点．(7分)又|CA ′|＝(4－3)2＋(－1－4)2＝26，(9分)直线CA ′的斜率k CA ′＝－1－44－3＝－5，则直线CA ′的方程为y －4＝－5(x －3)．令y ＝0得x ＝195，即P ⎝⎛⎭⎫195，0.(11分)故距离之和最小值为26，此时P 点的坐标为⎝⎛⎭⎫195，0.(12分)[名师批注]若在x 轴上另取一点P ′，则|P ′B |－|P ′A |＜|BA |，因此，|AB |为最大值由点斜式写出直线AB 方程，再令y ＝0即可由A 、C 点在x 轴同侧，可作A 关于x 轴的对称点A ′(也可作C 关于x 轴对称点C ′)，转化为|CA ′|为最小值，若再找一点P 0，则|P 0A |＋|P 0C |＝|P 0A ′|＋|P 0C |＞|A ′C |[活学活用]求函数f (x )＝x 2－8x ＋20＋x 2＋1的最小值．[随堂即时演练]1．(2012·济宁高一检测)已知点A (x,5)关于点(1，y )的对称点为(－2，－3)，则点P (x ，y )到原点的距离是( ) A ．2 B ．4 C ．5D.172．已知集合M ＝{(x ，y )|x ＋y ＝2}，N ＝{(x ，y )|x －y ＝4}，那么集合M ∩N 为( ) A ．{3，－1} B ．3，－1 C ．(3，－1)D ．{(3，－1)}3．经过两直线2x －3y －3＝0和x ＋y ＋2＝0的交点且与直线3x ＋y －1＝0垂直的直线l 的方程为________． 4．点A (4,5)关于直线l 的对称点为B (－2,7)，则直线l 的方程为________．5．已知△ABC 是直角三角形，斜边BC 的中点为M ，建立适当的平面直角坐标系，证明：|AM |＝12|BC |.3．3.3 & 3.3.4 点到直线的距离 两条平行线间的距离[导入新知]点到直线的距离与两条平行线间的距离点到直线的距离 两条平行直线间的距离 定义点到直线的垂线段的长度 夹在两条平行直线间公垂线段的长度 公式点P 0(x 0，y 0)到直线l ：Ax ＋By ＋C ＝0的距离d ＝|Ax 0＋By 0＋C |A 2＋B2两条平行直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0与l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0(C 1≠C 2)之间的距离 d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2[化解疑难]1．点到直线的距离公式需注意的问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式，应先化成一般式再用公式．例如，求P 0(x 0，y 0)到直线y ＝kx ＋b 的距离，应先把直线方程化为kx －y ＋b ＝0，得d ＝|kx 0－y 0＋b |k 2＋1.2．点到几种特殊直线的距离 (1)点P 0(x 0，y 0)到x 轴的距离d ＝|y 0|； (2)点P (x 0，y 0)到y 轴的距离d ＝|x 0|；(3)点P (x 0，y 0)到与x 轴平行的直线y ＝b (b ≠0)的距离d ＝|y 0－b |； (4)点P (x 0，y 0)到与y 轴平行的直线x ＝a (a ≠0)的距离d ＝|x 0－a |. 3．对平行线间的距离公式的理解(1)利用公式求平行线间的距离时，两直线方程必须是一般式，且x ，y 的系数对应相等． (2)当两直线都与x 轴(或y 轴)垂直时，可利用数形结合来解决 ①两直线都与x 轴垂直时，l 1：x ＝x 1，l 2：x ＝x 2，则d ＝|x 2－x 1|； ②两直线都与y 轴垂直时，l 1：y ＝y 1，l 2：y ＝y 2，则d ＝|y 2－y 1|.点到直线的距离[例1] 求点P (3，－2)到下列直线的距离：(1)y ＝34x ＋14；(2)y ＝6；(3)x ＝4.[解] (1)直线y ＝34x ＋14化为一般式为3x －4y ＋1＝0，由点到直线的距离公式可得d ＝|3×3－4×(－2)＋1|32＋(－4)2＝185. (2)因为直线y ＝6与y 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|－2－6|＝8. (3)因为直线x ＝4与x 轴垂直，所以点P 到它的距离d ＝|3－4|＝1. [类题通法]应用点到直线的距离公式应注意的三个问题(1)直线方程应为一般式，若给出其他形式应化为一般式． (2)点P 在直线l 上时，点到直线的距离为0，公式仍然适用．(3)直线方程Ax ＋By ＋C ＝0中，A ＝0或B ＝0公式也成立，但由于直线是特殊直线(与坐标轴垂直)，故也可用数形结合求解．[活学活用]1．已知点A (a,2)(a ＞0)到直线l ：x －y ＋3＝0的距离为1，则a ＝( ) A.2 B ．2－ 2 C.2－1D.2＋12．点P (2,4)到直线l ：3x ＋4y －7＝0的距离是________．两平行线间的距离[例2] 求与直线l ：5x －12y ＋6＝0平行且到l 的距离为2的直线方程． [解] 法一：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0. 在直线5x －12y ＋6＝0上取一点P 0(0，12)，则点P 0到直线5x －12y ＋C ＝0的距离为|－12×12＋C |52＋(－12)2＝|C －6|13，由题意，得|C －6|13＝2，所以C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. 法二：设所求直线的方程为5x －12y ＋C ＝0， 由两平行直线间的距离公式得2＝|C －6|52＋(－12)2，解得C ＝32，或C ＝－20.故所求直线的方程为5x －12y ＋32＝0，或5x －12y －20＝0. [类题通法]求两平行线间的距离，一般是直接利用两平行线间的距离公式，当直线l 1：y ＝kx ＋b 1，l 2：y ＝kx ＋b 2，且b 1≠b 2时，d ＝|b 1－b 2|k 2＋1；当直线l 1：Ax ＋By ＋C 1＝0，l 2：Ax ＋By ＋C 2＝0且C 1≠C 2时，d ＝|C 1－C 2|A 2＋B 2.但必须注意两直线方程中x ，y 的系数对应相等．[活学活用]3．(2012·岳阳高一检测)两直线3x ＋y －3＝0和6x ＋my －1＝0平行，则它们之间的距离为________．距离的综合应用[例3] 求经过点P (1,2)，且使A (2,3)，B (0，－5)到它的距离相等的直线l 的方程．[解] 法一：当直线斜率不存在时，即x ＝1，显然符合题意．当直线斜率存在时，设所求直线的斜率为k ，则直线方程为y －2＝k (x －1)．由条件得|2k －3－k ＋2|k 2＋1＝|5－k ＋2|k 2＋1，解得k ＝4，故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0.法二：由平面几何知识知l ∥AB 或l 过线段AB 的中点． ∵直线AB 的斜率k AB ＝4，若l ∥AB ，则l 的方程为4x －y －2＝0.若l 过AB 的中点(1，－1)，则直线方程为x ＝1， 故所求直线方程为x ＝1或4x －y －2＝0. [类题通法]解这类题目常用的方法是待定系数法，即根据题意设出方程，然后由题意列方程求参数．也可以综合应用直线的有关知识，充分发挥几何图形的直观性，判断直线l 的特征，然后由已知条件写出l 的方程．[活学活用]4．求经过两直线l 1：x －3y －4＝0与l 2：4x ＋3y －6＝0的交点，且和点A (－3,1)的距离为5的直线l 的方程．9.漏掉直线斜率不存在的情况[典例] 直线l 1过点A (0,1)，l 2过点B (5,0)，如果l 1∥l 2，且l 1与l 2的距离为5，求l 1，l 2的方程． [解] (1)若直线l 1，l 2的斜率存在①，设直线的斜率为k ，由斜截式得l 1的方程y ＝kx ＋1，即kx －y ＋1＝0.由点斜式可得l 2的方程为y ＝k (x －5)，即kx －y －5k ＝0.因为直线l 1过点A (0,1)，则点A 到直线l 2的距离d ＝|－1－5k |(－1)2＋k 2＝5，∴25k 2＋10k ＋1＝25k 2＋25，∴k ＝125，∴l 1的方程为12x －5y ＋5＝0，l 2的方程为12x －5y －60＝0.(2)若l 1，l 2的斜率不存在①，则l 1的方程为x ＝0，l 2的方程为x ＝5，它们之间的距离为5，同样满足条件． 综上所述，满足条件的直线方程有两组：l 1：12x －5y ＋5＝0，l 2：12x －5y －60＝0；或l 1：x ＝0，l 2：x ＝5.[易错防范]1．①处容易漏掉l 1，l 2的斜率都不存在的情形而导致错误．2．用待定系数法求直线方程时，一定要对斜率是否存在的情况进行讨论． [成功破障]经过点A (1,2)且到原点的距离等于1的直线方程为________．[随堂即时演练]1．原点到直线x ＋2y －5＝0的距离为( ) A ．1 B. 3 C ．2D. 52．已知直线l 1：x ＋y ＋1＝0，l 2：x ＋y －1＝0，则l 1，l 2之间的距离为( ) A ．1 B. 2 C. 3D ．2。
新课标高中数学人教A版必修二：3.2.3直线的一般式方程
复习引入
1.点斜式方程： 2. 斜截式方程：
3. 两点式方程：
复习引入
1.点斜式方程： y－y0＝k(x－x0) (已知定点 (x0, y0)及斜率k存在)
2. 斜截式方程：y＝kx＋b [已知斜率k存在 及截距 b(与y轴交点(0, b)]
3. 两点式方程： y y1 x x1 y2 y1 x2 x1
[已知两定点(不适合与x轴 或y轴垂直的直线)]
复பைடு நூலகம்引入
4. 截距式方程：
5. 一般式方程：
复习引入
4. 截距式方程：
x y 1 ab
[已知截距a(与x轴交点(a,0))及截距b(与y轴
交点(0, b))不适合过原点的直线]
5. 一般式方程： Ax＋By＋C＝0 (A、B不同时为0)
特别的，l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2， 则 l1 //l2 k1＝k2，且b1≠b2；
l1⊥ l2k1·k2 ＝－1.
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？
讲授新课
研读教材P.97－P.98: 1. 平面直角坐标系中的每一条直线都可
以用一个关于x, y的二元一次方程表 示吗？ 2. 每一个关于x、y的二元一次方程都表 示一条直线吗？
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它 在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
例2.把直线l的一般式方程x－2y＋6＝0 化成斜截式，求出直线l的斜率以及它 在x轴与y轴上的截距，并画出图形.
练习.教材P.99-P.100练习第1、2题.
人教课标版高中数学必修2直线的方程的综合应用
直线的方程的综合应用一.直线方程的五种形式直线方程常见有点斜式、斜截式、截距式、两点式和一般式五种形式，除了一般式每一种形式既有它的优越性又有局限性（比如点斜式、斜截式、截距式、两点式不能表示斜率不存在的直线，两点式也不能表示斜率为0的直线，截距式同时还不能表示过原点和斜率为0的直线等），故应在不同的题设下灵活的运用不同的形式，同时要特别注意不能遗漏。
下面举例说明：例1.当直线l 经过点)2,3(P 且与y x ,轴正半轴交于A 、B 两点，当OAB ∆面积最小时求直线l 的方程.解法一：设直线l 的方程为2(3)y k x -=-令0,23x y k ==-得 又令20,3y x k ==-得，由已知显然0k < ()11223322AOB S OA OB k k ⎛⎫∴==-- ⎪⎝⎭ ()141412912922k k k k ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=--=+-+- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦1122⎛≥+ ⎝ 12=（当且仅当429,3k k k -=-=-即时取等号） 所以所求直线方程为22(3)3y x -=--即01232=-+y x 解法二：设直线l 的方程为)0,0(1>>=+b a by a x ， 直线l 过)2,3(P ， 02,03,0,0.123>>∴>>=+∴b a b a b a . 由均值不等式得,41223232=⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤⨯b a b a 当且仅当2123==b a ，即4,6==b a 时，OAB ∆的面积ab S 21=最小. ∴所求直线的方程为146=+y x ，即01232=-+y x .点评：解法一是注意到直线过一点因此设直线方程的点斜式求解；解法二是注意到直线与两坐标轴的截距，因此设为截距式.例2 求 经过点(-5,2)且横、纵截距相等的直线方程.解：当直线过原点时可设y kx =，将点(-5,2)代入解得直线为：y=52-x . 当直线不过原点时可设直线方程为：1x y a a+=，将点代入解得直线为：03=++y x 综上，所求直线的方程为y=52-x 或03=++y x . 二.直线系方程 具有某种共同特征的一系列直线合在一起组成直线系，常见的直线系有如下三类：① 平行直线系以斜率为0k （常数）的直线系：b x k y +=0（b 为参数）；平行于已知直线00000,(0B A C y B x A =++是不全为0的常数）的直线系：000=++C y B x A (C 为参数)。
新课标高级中学数学必修2直线与方程
3.1知识表直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率（1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．（2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．（3）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 2≠x 1）两点的直线的斜率特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.1.特殊角与斜率 ※基础达标1．若直线1x =的倾斜角为α，则α等于（ ）.A ．0B ．45°C ．90°D ．不存在2．已知直线l 3 ）.A. 60°B. 30°C. 60°或120°D. 30°或150° 3. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为__________4.经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜角为1350，则y 的值等于 （ ） 5.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）. A.1 B.4 C.1或3 D.1或46．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ .7.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.8．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是( ) A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -=9．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 10.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．11．光线从点(2,1)A 出发射入y 轴上点Q , 再经y 轴反射后过点(4,3)B , 试求点Q 的坐标,以及入射光线、 反射光线所在直线的斜率.倾斜角 斜率※能力提高12．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.13.已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( A )A.k ≥43或k ≤－4 B.－4≤k ≤43 C. 43≤k ≤4 D.－43≤k ≤4 14.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k的取值范围.15.右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定基础知识：1.两条不重合的直线平行或垂直，则（1）l 1∥l 2 ⇔k 1=k 2（2）l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=－1. 若l 1和l 2都没有斜率，则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l 1⊥l 2. 【例1】四边形ABCD 的顶点为(2,222)A +、(2,2)B -、(0,222)C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状.【例2】已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．【例3】（1）已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32）、S （0，52），试判断1l 与2l 是否平行？（2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？【例4】已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．点评：通过设点D 的坐标，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的纽带是斜率公式. 解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.※基础达标1．下列说法中正确的是（ ）.A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等C. 垂直的两直线的斜率之积为-1D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 2．若直线12l l 、的倾斜角分别为12,αα、且12l l ⊥，则有（ ）.A. 1290αα-=o B. 2190αα-=o C. 2190αα-=o D. 12180αα+=o3．经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（ ）. A ．4 B ．1 C ．1或3 D ．1或4 4．若(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)A B C D --， 则下面四个结论：①//AB CD ；②AB CD ⊥；③//AC BD ；④AC BD ⊥. 其中正确的序号依次为（ ）.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5．已知ABC ∆的三个顶点坐标为(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，则其形状为（ ）. A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 无法判断6．直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是 .7．若过点(2,2),(5,0)A B -的直线与过点(2,1),(1,)P m Q m --的直线平行，则m = . ※能力提高8．已知矩形ABCD 的三个顶点的分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，求第四个顶点D 的坐标． 9． ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ∆为直角三角形，求m 的值.※探究创新10．已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.（1） 证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.必修二3.2知识表名称几何条件方程 局限性点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0=k(x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 斜率为k ，纵截距为by=kx ＋b不含垂直于x 轴的直线找要素，写方程（两点、一点一斜、两截）设方程，求系数（讨论）线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++ §3.2.1 直线的点斜式方程※基础达标1．.写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4； 54(3)y x -=-（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30o .31(3)y x +=-. 2. 倾斜角是135o ，在y 轴上的截距是3的直线方程是 . 3.直线y ax b =+（a b +＝0）的图象可以是（ ）.4．已知直线l 过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =+的两倍，则直线l 的方程为（ ）.A. 42(3)y x -=-B. 43y x -=-C. 40y -=D. 30x -=5．过点()2,1M 的直线与x 、y 轴分别交于P 、Q ，若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为_____________ 6． 将直线31y x =+绕它上面一点（1315°，得到的直线方程是 .求直线方程的方法 “先判断，后计算”，“特殊提前，通法接连”。
高一数学必修2第三章《直线与方程》PPT 课件
直线的交点个数与直线位置的关系
方程组：
A1x+B1y+C1=0
A2x+B2y+C2=0的解
a=1或-3
求满足下列条件的直线方程： (1)经过点P(2，-1)且与直线2x+3y+12=0平行；
2x+3y-1=0
(2)经过点Q(-1，3)且与直线x+2y-1=0垂直； 2x-y+5=0
.
(3)经过点R(-2，3)且在两坐标轴上截距相等； x+y-1=0或3x+2y=0
已知 △ ABC 的三个顶点坐标是 A ( 1 , - 1 ) ， B ( - 1 , 3 ) ， C ( 3 , 0 )
2.直线的斜率：
（1）定义：倾斜角不是90°的直线它的倾 斜角α的正切值叫做这条直线的斜率，常 用k表示，即k=tanα.
α=90°的直线斜率不存在；
（2）经过两点P（x1,y1）,Q（x2,y2）的直
线的斜率公式
k
y2
y1 （其中x1≠x2）.
x2 x1
k=tanα，
当0＜α＜ π 2
时，k＞0；
当 π ＜α＜π时，k ＜0； 2
当α=0时，k=0；
牢记特殊角的斜率 （正切）值！
当α= π 时，k不存在. 2
B
如图，已知A(3，2),B(-4，1),C（0，-1）,求直线 AB，BC，CA的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角 还是钝角.
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3.1知识表直线方程的概念及直线的倾斜角和斜率（1）直线的方程：如果以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解，这时，这个方程就叫做这条直线的方程，这条直线叫做这个方程的直线．（2）直线的倾斜角：一条直线向上的方向与x 轴正方向所成的最小正角叫这条直线的倾斜角．倾斜角的取值范围是0°≤α<180°．（3）直线的斜率：倾斜角不是90°的直线，它的倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．倾斜角是90°的直线的斜率不存在．过P 1（x 1，y 1），P 2（x 2，y 2）（x 2≠x 1）两点的直线的斜率特别地是，当12x x =，12y y ≠时，直线与x 轴垂直，斜率k 不存在；当12x x ≠，12y y =时，直线与y 轴垂直，斜率k =0.注意：直线的倾斜角α=90°时，斜率不存在，即直线与y 轴平行或者重合. 当α=90°时，斜率k =0；当090α︒<<︒时，斜率0k >，随着α的增大，斜率k 也增大；当90180α︒<<︒时，斜率0k <，随着α的增大，斜率k 也增大. 这样，可以求解倾斜角α的范围与斜率k 取值范围的一些对应问题.1.特殊角与斜率※基础达标1．若直线1x =的倾斜角为α，则α等于（ ）. A ．0 B ．45° C ．90° D ．不存在2．已知直线l 3 ）.A. 60°B. 30°C. 60°或120°D. 30°或150° 3. 已知直线经过点A(0,4)和点B （1，2），则直线AB 的斜率为__________4.经过两点)3,2(),12,4(-+B y A 的直线的倾斜角为1350，则y 的值等于 （ ） 5.过点P (－2,m )和Q (m ,4)的直线的斜率等于1，则m 的值为（ ）. A.1 B.4 C.1或3 D.1或46．已知两点A (x ，－2)，B (3，0)，并且直线AB 的斜率为2，则x ＝ .7.已知过两点22(2,3)A m m +-, 2(3,2)B m m m --的直线l 的倾斜角为45°，求实数m 的值.8．若三点P （2，3），Q （3，a ），R (4，b )共线，那么下列成立的是( ) A ．4,5a b == B ．1b a -= C ．23a b -= D ．23a b -=9．若A (1，2)，B (-2，3)，C (4，y )在同一条直线上，则y 的值是 . 10.已知三点A (a ，2)、B (3，7)、C (-2，-9a )在一条直线上，求实数a 的值．11．光线从点(2,1)A 出发射入y 轴上点Q , 再经y 轴反射后过点(4,3)B , 试求点Q 的坐标,以及入射光线、 反射光线所在直线的斜率.倾斜角 斜率※能力提高12．已知(2,3),(3,2)A B ---两点，直线l 过定点(1,1)P 且与线段AB 相交，求直线l 的斜率k 的取值范围.13.已知两点M (2，－3)、N (－3，－2)，直线l 过点P (1，1)且与线段MN 相交，则直线l 的斜率k 的取值范围是( A )A.k ≥43或k ≤－4 B.－4≤k ≤43 C. 43≤k ≤4 D.－43≤k ≤4 14.已知两点A (-2,- 3) , B (3, 0) ,过点P (-1, 2)的直线l 与线段AB 始终有公共点，求直线l 的斜率k 的取值范围.15.右图中的直线l 1、l 2、l 3的斜率分别为k 1、k 2、k 3，则（ ）. A .k 1＜k 2＜k 3 B. k 3＜k 1＜k 2 C. k 3＜k 2＜k 1 D. k 1＜k 3＜k 2§3.1.2 两条直线平行与垂直的判定基础知识：1.两条不重合的直线平行或垂直，则（1）l 1∥l 2 ⇔k 1=k 2（2）l 1⊥l 2⇔k 1·k 2=－1. 若l 1和l 2都没有斜率，则l 1与l 2平行或重合.若l 1和l 2中有一条没有斜率而另一条斜率为0，则l 1⊥l 2.【例1】四边形ABCD 的顶点为(2,222)A +、(2,2)B -、(0,222)C -、(4,2)D ，试判断四边形ABCD 的形状.【例2】已知ABC ∆的顶点(2,1),(6,3)B C -，其垂心为(3,2)H -，求顶点A 的坐标．【例3】（1）已知直线1l 经过点M （-3，0）、N （-15，-6），2l 经过点R （-2，32）、S （0，52），试判断1l 与2l 是否平行？（2）1l 的倾斜角为45°，2l 经过点P （-2，-1）、Q （3，-6），问1l 与2l 是否垂直？【例4】已知A （1，1），B （2，2），C （3，-3），求点D ，使直线CD ⊥AB ，且CB ∥AD ．点评：通过设点D 的坐标，把已知条件中的垂直与平行的两种关系、三点的坐标联系在一起，联系的纽带是斜率公式. 解题的数学思想是方程求解，方程的得到是利用平行与垂直时斜率的关系.※基础达标1．下列说法中正确的是（ ）.A. 平行的两条直线的斜率一定存在且相等B. 平行的两条直线的倾斜角一定相等C. 垂直的两直线的斜率之积为-1D. 只有斜率相等的两条直线才一定平行 2．若直线12l l 、的倾斜角分别为12,αα、且12l l ⊥，则有（ ）.A. 1290αα-=B. 2190αα-=C. 2190αα-= D. 12180αα+= 3．经过点(2,)P m -和(,4)Q m 的直线平行于斜率等于1的直线，则m 的值是（ ）.A ．4B ．1C ．1或3D ．1或4 4．若(4,2),(6,4),(12,6),(2,12)A B C D --， 则下面四个结论：①//AB CD ；②AB CD ⊥；③//AC BD ；④AC BD ⊥. 其中正确的序号依次为（ ）.A. ①③B. ①④C. ②③D. ②④5．已知ABC ∆的三个顶点坐标为(5,1),(1,1),(2,3)A B C -，则其形状为（ ）.A. 直角三角形B. 锐角三角形C. 钝角三角形D. 无法判断6．直线12,l l 的斜率是方程2310x x --=的两根，则12l l 与的位置关系是 . 7．若过点(2,2),(5,0)A B -的直线与过点(2,1),(1,)P m Q m --的直线平行，则m = . ※能力提高8．已知矩形ABCD 的三个顶点的分别为(0,1),(1,0),(3,2)A B C ，求第四个顶点D 的坐标． 9． ABC ∆的顶点(5,1),(1,1),(2,)A B C m -，若ABC ∆为直角三角形，求m 的值.※探究创新10．已知过原点O 的一条直线与函数y =log 8x 的图象交于A 、B 两点，分别过点A 、B 作y 轴的平行线与函数y =log 2x 的图象交于C 、D 两点.（1） 证明：点C 、D 和原点O 在同一直线上. （2）当BC 平行于x 轴时，求点A 的坐标.必修二3.2知识表名称几何条件方程 局限性点斜式 过点(x 0，y 0)，斜率为k y －y 0=k(x －x 0) 不含垂直于x 轴的直线 斜截式 斜率为k ，纵截距为by=kx ＋b不含垂直于x 轴的直线找要素，写方程（两点、一点一斜、两截）设方程，求系数（讨论）线段12P P 中点坐标公式1212(,)22x x y y ++ §3.2.1 直线的点斜式方程※基础达标1．.写出下列点斜式直线方程：（1）经过点(2,5)A ，斜率是4；54(3)y x -=-（2）经过点(3,1)B -，倾斜角是30.13)y x +=-. 2. 倾斜角是135，在y 轴上的截距是3的直线方程是 .求直线方程的方法 “先判断，后计算”，“特殊提前，通法接连”。
3.直线y ax b =+（a b +＝0）的图象可以是（ ）.4．已知直线l 过点(3,4)P ，它的倾斜角是直线1y x =+的两倍，则直线l 的方程为（ ）.A. 42(3)y x -=-B. 43y x -=-C. 40y -=D. 30x -=5．过点()2,1M 的直线与x 、y 轴分别交于P 、Q ，若M 为线段PQ 的中点，则这条直线的方程为_____________ 6． 将直线31y x =+-绕它上面一点（1，3）沿逆时针方向旋转15°，得到的直线方程是 . 7.方程(2)y k x =-表示（ ）.A. 通过点(2,0)-的所有直线B. 通过点(2,0)的所有直线C. 通过点(2,0)且不垂直于x 轴的直线D. 通过点(2,0)且除去x 轴的直线 8．直线3)2(+-=x k y 必过定点，该定点的坐标为（ B ）A ．（3，2）B ．（2，3）C ．（2，–3）D ．（–2，3）※能力提高9．已知△ABC 在第一象限，若(1,1),(5,1),60,45A B A B ∠=∠=，求：（1）边AB 所在直线的方程； （2）边AC 和BC 所在直线的方程.10.已知直线31y kx k =++.（1）求直线恒经过的定点；（2）当33x -≤≤时，直线上的点都在x 轴上方，求实数k 的取值范围.11.光线从点A （－3，4）发出，经过x 轴反射，再经过y 轴反射，光线经过点 B （－2，6），求射入y 轴后的反射线的方程.12. 已知直线l 在y 轴上的截距为－3，且它与两坐标轴围成的三角形的面积为6，求直线l 的方程. 13.已知直线l 经过点(5,4)P --，且l 与两坐标轴围成的三角形的面积为5，求直线l 的方程．※探究创新14．国庆庆典活动的中心广场有数万名学生手持圆花组成大型图案方阵，方阵前排距观礼台120米，方阵纵列95人，每列长度192米，问第一、二排间距多大能达到满意的观礼效果？两点式 在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b （a,b ≠0）a ——直线的横截距b ——直线的纵截距不包括垂直于坐标轴的直线.截距式在x 轴、y 轴上的截距分别为a ，b （a,b ≠0）不包括垂直于坐标轴和过原点的直线.§3.2.2 直线的两点式方程※基础达标1．过两点(1,2)和(3,4)的直线的方程为（ ）.A. 1y x =- B. 1y x =+ C. 2y x =-+ D. 2y x =--2.已知△ABC 顶点为(2,8),(4,0),(6,0)A B C -，求过点B 且将△ABC 面积平分的直线方程.3.过两点(1,1)-和(3,9)的直线在x 轴上的截距为（ ）. A. 32- B. 23- C. 25D. 24．已知1122234,234x y x y -=-=，则过点1122(,),(,)A x y B x y 的直线l 的方程是（ ）.A. 234x y -=B. 230x y -=C. 324x y -=D. 320x y -= 5.求过点(3,2)P ，并且在两轴上的截距相等的直线方程.6.经过点（-3，4）且在两个坐标轴上的截距和为12的直线方程是：____________________7.．已知直线l 过点（3，-1），且与两轴围成一个等腰直角三角形，则l 的方程为 . 8.菱形的两条对角线长分别等于8和6，并且分别位于x 轴和y 轴上，求菱形各边所在的直线的方程.※能力提高9．三角形ABC 的三个顶点A （－3，0）、B （2，1）、C （－2，3），求：（1）BC 边所在直线的方程； （2）BC 边上中线AD 所在直线的方程；10.长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定重量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李费用y （元）是行李重量x （千克）的一次函数，直线过两点（1）求y 与x 之间的函数关系式，并说明自变量x 的取值范围；（2）如果某旅客携带了75千克的行李，则应当购买多少元行李票？11．直线l 在X 轴、Y 轴上的截距之比是2:3,且过点(4,9)A ,求直线l 的方程. 12.已知直线l 的斜率为6，且被两坐标轴所截得的线段长为37，求直线l 的方程. 13.已知直线l 过点(2,2)-，且与两坐标轴构成单位面积的三角形，求直线l 的方程． 14.与两坐标轴围成的三角形周长为9，且斜率为34-的直线l 的方程为 15.已知△ABC 的顶点A （－4，2），两条中线所在的直线方程分别为3220,35120,x y x y -+=+-=求BC 边所在的直线方程。