高中数学必修2直线与圆的位置关系2
人教课标版高中数学必修2《直线与圆的位置关系》名师课件2
复习引入
1.直线的一般式方程是Ax By C （ 0 A、B不同时为0）
2.圆的标准方程是 ( x a)2 ( y b)2 r 2 其中圆心坐标为 (a，b) 半径为 r
3.圆的一般方程为
x2 y2 Dx Ey F 0(D2 E 2 4F 0)
其中圆心坐标为
例1、如图，已知直线l:3x+y-6=0和圆心为C 的圆x2+y2-2y-4=0，判断直线l与圆的位置关 系；如果相交，求它们的交点坐标。
解法一： x2 ( y 1)2 ( 5)2
y
l B
其圆心C(0,1)半, 径长为 5
d |3016| 5 5
32 12
10
C. A
O
x
所以,直线l与圆相交，有两个公共点.
r2
的 解 的 个 数 为n
△<0
n=0
直线与圆相离
△=0
n=1
直线与圆相切
△>0
n=2
直线与圆相交
新课讲解
直线与圆的位置关系的判定方法：
(2)利用圆心到直线的距离d与半径r的大小关
系判断：
aA bB C d
A2 B2
d >r d =r d <r
直线与圆相离 直线与圆相切 直线与圆相交
例题讲解
即xy11·xy22＝－1，x1x2＋y1y2＝0.①
又(x1，y1)，(x2，y2)是方程组xx＋2＋2yy2－＋3x＝－06，y＋m＝0的实数解，
即 x1，x2 是方程 5x2＋10x＋4m－27＝0，②的两个根， 所以 x1＋x2＝－2，x1x2＝4m－5 27.③
巩固练习
4、已知圆x2＋y2＋x－6y＋m＝0与直线x＋2y－3＝0相交于P、Q 两点，O为原点，且OP⊥OQ，求实数m的值．
(完整版)学生版高中数学必修2直线和圆的位置关系知识点总结经典例题和习题
高中数学必修2直线与圆的位置关系【一】、圆的定义及其方程．（1）圆的定义：平面内与定点距离等于定长的点的集合(轨迹)叫做圆，定点叫做圆心，定长就是半径；（圆心是定位条件，半径是定型条件） （2）圆的标准方程： ；圆心),(b a圆的一般方程：)04(02222>-+=++++F E D F Ey Dx y x ；圆心 ，半径为 ；【二】、点与圆的位置关系（仅以标准方程为例，其他形式，则可化为标准式后按同样方法处理）设),(00y x P 与圆222)()(r b y a x =-+-；若P 到圆心之距为d ； ①P 在在圆C 外 ； ②P 在在圆C 内 ； ③P 在在圆C 【三】、直线与圆的位置关系：设直线0:=++C By Ax l 和圆222)()(:r b y a x C =-+-，圆心C 到直线l 之距为d ，由直线l 和圆C 联立方程组消去x （或y ）后，所得一元二次方程的判别式为∆，则它们的位置关系如下：相离 ；相切 ；相交 ； 注意：这里用d 与r 的关系来判定，称为几何法，只有对圆才实用，也是最简便的方法；利用∆判定称为代数法，对讨论直线和二次曲线的位置关系都适应。
【四】、两圆的位置关系：（1）代数法：解两个圆的方程所组成的二元二次方程组；若方程组有两组不同的实数解，则两圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则两圆相切；若无实数解，两圆相离。
（2）几何法：设圆1O 的半径为1r ，圆2O 的半径为2r①两圆外离 ； ②两圆外切 ； ③两圆相交 ； ④两圆内切 ⑤两圆内含 ；（五）已知圆C：(x-a)2+(y-b)2=r2(r>0)，直线L：Ax+By+C=01．位置关系的判定：判定方法1：联立方程组得到关于x(或y)的方程(1)△>0相交；(2)△=0相切；(3)△<0相离。
判定方法2：若圆心(a，b)到直线L的距离为d(1)d<r相交；(2)d=r相切；(3)d>r相离。
人教A版数学必修2课件：4.2.1直线与圆的位置关系
仿照点和圆位置关系的 判定，怎样判断直线和 圆的位置关系呢？
二、直线与圆的位置关系的判定：
方法1：定义法 判断方法： (1)△＞0 直线与圆相交； 方法2：几何法
圆心到直线的距离d与 (3)△＜0 直线与圆相离. 直线与圆没有交点 半径r的大小关系
(d△ >r= ) 0 直线与圆相切； 1、相离 (2)
2 2
交于A, B两点.
x y 5 0 若弦长 A B 最大，则直线l的方程是2 ___________; x 2y 5 0 若弦长 A B 最短，则直线l的方程是___________.
【总一总★成竹在胸】
一、直线与圆的位置关系； 二、直线与圆的位置关系的判定； 三、直线与圆相交时弦长的求法。
(1)几何法：用弦心距d，半径r及 半弦构成直角三角形的三边
AB r d , d为弦心距，r为半径 2
2 2 2
y r
B
A
d O
x
(2)代数法：用弦长公式
AB 1 k x1 x2 1 k x1 x2 4x1 x2
2 2 2
1.直线x+y-2=0与圆x2+y2=2的位置关
相切 系为________ 2.直线x-y-2=0与圆(x-1)2+(y-1)2=1的
相离 位置关系为________
3.直线x+2y-1=0和圆x2-2x+y2-y+1=0 相交 的位置关系为________
直线和圆相交时, 如何来求弦长呢？
三、直线与圆相交时弦长的求法：
1 1 AB 1 y1 y2 1 k k
2
2Leabharlann y1 y2 2
人教版高中数学必修二4.2.1直线与圆的位置关系2
为30km的圆形区域. 已知港口位于台风中
心正北40km处， 如果这艘轮船不
y 港口
改变航线，那么
它是否会受到台
风的影响？
O
轮船 x
小 结：
设直线l：Ax＋By＋C＝0， 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
圆心C到直线l的距离为
小 结：
设直线l：Ax＋By＋C＝0， 圆C：(x－a)2＋(y－b)2＝r2，
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
有解，则直线与圆有公共点： 有一组解，则直线与圆相切； 有两组解，则直线与圆相交；
小 结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几 何判定： 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
有解，则直线与圆有公共点： 有一组解，则直线与圆相切； 有两组解，则直线与圆相交；
课后作业
1. 阅读教材P.126到P.128； 2. 《课后限时检测》二十五 .
小 结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几 何判定： 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
小 结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几 何判定： 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
2. 看直线与圆组成的方程组有无实数解:
小 结：
1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几 何判定： 比较圆心到直线的距离d与圆的半径r.
无解，则直线与圆相离.
例2.直线y＝x与圆x2＋(y－1)2＝r2相切， 求r的值.
例3. 已知过点M(－3, －3)的直线l被圆x2＋y2
＋4y－21＝0所截得的弦长为
求直线l的
方程.
练习.
例4. 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，
高中数学必修二-直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系知识集结知识元不含有参数的直线与圆位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲不含有参数的直线与圆位置关系例1.已知点P在单位圆x2+y2=1上运动，P到直线3x﹣4y﹣10=0与x=3的距离分为d1、d 2，则d1+d2的最小值是．例2.点P是直线x+y﹣2=0上的动点，点Q是圆x2+y2=1上的动点，则线段PQ长的最小值为．例3.经过圆x2+y2﹣2x+2y=0的圆心且与直线2x﹣y=0平行的直线方程是（）A．2x﹣y﹣3=0B．2x﹣y﹣1=0C．2x﹣y+3=0D．x+2y+1=0含有参数类型直线与圆的位置关系知识讲解1．直线与圆的位置关系1．直线与圆的位置关系2．判断直线与圆的位置关系的方法直线Ax+By+C＝0与圆（x﹣a）2+（y﹣b）2＝r2（r＞0）的位置关系的判断方法：（1）几何方法：利用圆心到直线的d和半径r的关系判断．圆心到直线的距离d＝①相交：d＜r②相切：d＝r③相离：d＞r（2）代数方法：联立直线与圆的方程，转化为一元二次方程，用判别式△判断．由消元，得到一元二次方程的判别式△①相交：△＞0②相切：△＝0③相离：△＜0．例题精讲含有参数类型直线与圆的位置关系例1.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形B．锐角三角形C．钝角三角形D．以上情况都有可能例2.直线ax﹣y+a=0（a≥0）与圆x2+y2=9的位置关系是（）A．相交B．相切C．相离D．相切或相离例3.圆x2+y2+4x﹣2y﹣1=0上存在两点关于直线ax﹣2by+2=0（a＞0，b＞0）对称，则的最小值为（）A．8B．9C．16D．18简单切线类型知识讲解1．圆的切线方程圆的切线方程一般是指与圆相切的直线方程，特点是与圆只有一个交点，且过圆心与切点的直线垂直切线．圆的切线方程的类型：（1）过圆上一点的切线方程：对于这种情况我们可以通过圆心与切点的连线垂直切线求出切线的斜率，继而求出直线方程（2）过圆外一点的切线方程．这种情况可以先设直线的方程，然后联立方程求出他们只有一个解（交点）时斜率的值，进而求出直线方程．例题精讲简单切线类型例1.设点A为圆（x﹣1）2+y2=1上的动点，PA是圆的切线，且|PA|=1，则P点的轨迹方程为（）A．y2=2x B．（x﹣1）2+y2=4C．y2=﹣2x D．（x﹣1）2+y2=2例2.已知圆的方程是x2+y2=1，则经过圆上一点M（1，0）的切线方程是（）A．x=1B．y=1C．x+y=1D．x﹣y=1例3.'已知圆C的方程为x2+y2﹣2x+4y﹣3=0，直线l：x﹣y+t=0．若直线l与圆C相切，求实数t的值.'简单弦长问题知识讲解弦长问题一、求直线与圆相交时的弦长有三种方法(1)交点法：将直线方程与圆的方程联立，求出交点A，B的坐标，根据两点间的距离公式|AB|＝求解．(2)弦长公式：如图所示，将直线方程与圆的方程联立，设直线与圆的两交点分别是A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝＝|x1－x2|＝|y1－y2|(直线l的斜率k存在)．(3)几何法：如图，直线与圆C交于A，B两点，设弦心距为d，圆的半径为r，弦长为|AB|，则有()2＋d2＝r2，即|AB|＝2.通常采用几何法较为简便。
必修2直线与圆的位置关系
d
| Aa Bb C | A2 B 2
例1 如图4.2-2，已知直线l：3x+y-6=0和圆心 为C的圆 x 2 y 2 2 y 4 0 ，判断直线l与圆的位 置关系。
2 2 解法 ：圆 x y 2 y 4 0可化为
其圆心C 到直线l的距离 | 3 0 1 6 | 5 d 5. 10 32 12
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巩固练习
1.已知直线l：y＝x+6,圆Ｃ: x2 y2－2 y 4 0. 试判断直线l与圆Ｃ有无公共点,有几个公共点．
解: 圆Ｃ的圆心坐标是(０,１),半径长r = 圆心到直线y＝x +6的距离
d 5 2 2
5 ，
5.
所以直线l与圆Ｃ无公共点．
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巩固练习 2.判断直线４x－３y=50与圆 x y 100的 位置关系．如果相交，求出交点坐标．
2 2
解：因为圆心O（0,0）到直线４x－３y=50的距离
| 0 0 50 | d 10. 5 而圆的半径长是10，所以直线与圆相切.
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4.2.1直线与圆的位置关系
知识回顾
1
直线方程的一般式
Ax+By+C=0(A,B不同时为零)
2
圆的标准方程 (x-a)2+(y-b)2=r2
圆心为(a,b) ,半径为r. 圆的一般方程：
24Biblioteka 2 Dx Ey F 0, 其中D2 E 2 4F 0. y x
圆心为
D E , 2 2
所以，直线l与圆相交
x 2 ( y 1) 2 ， 5 的坐标为（0，1）,半径长为 5 ,点C（0，1）
人教A版数学必修二教案：§4.2.1直线与圆的位置关系(2)
第2课时（一）导入新课思路1.一艘轮船在沿直线返回港口的途中,接到气象台的台风预报：台风中心位于轮船正西70 km处,受影响的范围是半径长为30 km的圆形区域.已知港口位于台风中心正北40 km处,如果这艘轮船不改变航线,那么它是否会受到台风的影响？图2分析：如图2,以台风中心为原点O,以东西方向为x轴,建立直角坐标系,其中,取10 km为单位长度.则台风影响的圆形区域所对应的圆心为O的圆的方程为x2+y2=9；轮船航线所在的直线l的方程为4x+7y-28=0.问题归结为圆心为O的圆与直线l有无公共点.因此我们继续研究直线与圆的位置关系.（二）推进新课、新知探究、提出问题①过圆上一点可作几条切线？如何求出切线方程？②过圆外一点可作几条切线？如何求出切线方程？③过圆内一点可作几条切线？④你能概括出求圆切线方程的步骤是什么吗？⑤如何求直线与圆的交点？⑥如何求直线与圆的相交弦的长?讨论结果：①过圆上一点可作一条切线,过圆x2+y2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是x0x+y0y=r2；过圆(x-a)2+(y-b)2=r2上一点(x0,y0)的切线方程是(x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)=r2.②过圆外一点可作两条切线,求出切线方程有代数法和几何法.代数法的关键是把直线与圆相切这个几何问题转化为联立它们的方程组只有一个解的代数问题.可通过一元二次方程有一个实根的充要条件——Δ=0去求出k的值,从而求出切线的方程.用几何方法去求解,要充分利用直线与圆相切的几何性质,圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.③过圆内一点不能作圆的切线.④求圆切线方程,一般有三种方法,一是设切点,利用①②中的切线公式法;二是设切线的斜率,用判别式法;三是设切线的斜率,用图形的几何性质来解,即圆心到切线的距离等于圆的半径(d=r),求出k的值.⑤把直线与圆的方程联立得方程组,方程组的解即是交点的坐标.⑥把直线与圆的方程联立得交点的坐标,结合两点的距离公式来求;再就是利用弦心距、弦长、半径之间的关系来求.（三）应用示例思路1例1 过点P(-2,0)向圆x2+y2=1引切线,求切线的方程.图3点评:过圆外一点向圆可作两条切线；可用三种方法求出切线方程,其中以几何法“d=r”比较好(简便).变式训练已知直线l 的斜率为k,且与圆x 2+y 2=r 2只有一个公共点,求直线l 的方程.活动：学生思考,观察题目的特点,见题想法,教师引导学生考虑问题的思路,必要时给予提示,直线与圆只有一个公共点,说明直线与圆相切.可利用圆的几何性质求解.例2 已知圆的方程为x 2+y 2+ax+2y+a 2=0,一定点为A(1,2),要使过定点A(1,2)作圆的切线有两条,求a 的取值范围.活动：学生讨论,教师指导,教师提问,学生回答,教师对学生解题中出现的问题及时处理,利用几何方法,点A(1,2)在圆外,即到圆心的距离大于圆的半径.点评:过圆外一点可作圆的两条切线,反之经过一点可作圆的两条切线,则该点在圆外.同时注意圆的一般方程的条件.思路2例1 已知过点M(-3,-3)的直线l 被圆x 2+y 2+4y-21=0所截得的弦长为45,求直线l 的方程.活动：学生思考或讨论,教师引导学生考虑问题的思路,求直线l 的方程,一般设点斜式,再求斜率.这里知道弦长,半径也知道,所以弦心距可求,如果设出直线的方程,由点到直线的距离等于弦心距求出斜率；另外也可利用弦长公式,结合一元二次方程根与系数的关系求解.点评:解法一突出了适当地利用图形的几何性质有助于简化计算,强调图形在解题中的作用,加强了数形结合;解法二是利用直线被曲线截得的弦长公式求出斜率后求直线方程,思路简单但运算较繁.变式训练已知圆C ：x 2+(y-1)2=5,直线l:mx-y+1-m=0.(1)求证：对m ∈R ,直线l 与圆C 总有两个不同交点;(2)设l 与圆C 交于不同两点A 、B,若|AB|=17,求l 的倾斜角;(3)求弦AB 的中点M 的轨迹方程;(4)若定点P(1,1)分弦AB 为PB AP =21,求此时直线l 的方程. 例2 已知直线l:y=k(x+22)与圆O:x 2+y 2=4相交于A 、B 两点,O 为坐标原点,△ABO 的面积为S,①试将S表示成k的函数S(k),并指出它的定义域；②求S的最大值,并求出取得最大值时的k值.活动：学生审题,再思考讨论,教师提示学生欲求△ABO的面积,应先求出直线被圆截得的弦长|AB|,将|AB|表示成k的函数.图5点评：在涉及到直线被圆截得的弦长时,要巧妙利用圆的有关几何性质,如本题中的Rt△BOC,其中|OB|为圆半径,|BC|为弦长的一半.变式训练已知x,y满足x2+y2-2x+4y=0,求x-2y的最大值.例3 已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2=25,直线l：(2m+1)x+(m+1)y－7m－4=0(m∈R).(1)证明不论m取什么实数,直线l与圆恒交于两点；(2)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.点评：证明直线与圆恒相交,一是可以将直线与圆的方程联立方程组,进而转化为一元二次方程,根据判别式与0的大小来判断,这是通性通法,但过程繁琐,计算量大；二是说明直线过圆内一点,由此直线与圆必相交.对于圆中过A点的弦,以直径为最长,过A点与此直径垂直的弦为最短.变式训练求圆x2+y2+4x-2y+4=0上的点到直线y=x-1的最近距离和最远距离.（四）知能训练1.已知直线l:y=2x－2,圆C:x2＋y2＋2x＋4y＋1=0,请判断直线l与圆C的位置关系,若相交,则求直线l被圆C所截的线段长.点评：(1)解本题之前先要求学生指出解题思路.(2)体会垂直条件是怎样转化的,以及韦达定理的作用：处理x1,x2的对称式.在解析几何中经常运用韦达定理来简化计算.（五）拓展提升已知点P到两个定点M(－1,0)、N(1,0)距离的比为2,点N到直线PM的距离为1,求直线PN的方程.（六）课堂小结1.直线和圆位置关系的判定方法：代数法和几何法.2.直线和圆相切,这类问题主要是求圆的切线方程.求圆的切线方程主要可分为已知斜率k或已知直线上一点两种情况,而已知直线上一点又可分为已知圆上一点和圆外一点两种情况.3.直线和圆相交,这类问题主要是求弦长以及弦的中点问题.注意弦长公式和圆的几何性质.4.求与圆有关的最值问题,往往利用数形结合,因此抽象出式子的几何意义是至关重要的.（七）作业课本习题4.2 A组5、6、7. （八）反思。
人教A版高中数学必修二4-2-1 直线与圆的位置关系
求满足下列条件的圆x2＋y2＝4的切线方程： (1)经过点P( 3，1)；(2)斜率为－1， (3)过点Q(3,0)
[解析] (1)∵点P( 3，1)在圆上． ∴所求切线方程为 3x＋y－4＝0. (2)设圆的切线方程为y＝－x＋b， 代入圆的方程，整理得 2x2－2bx＋b2－4＝0，∵直线与圆相切， ∴Δ＝(－2b)2－4×2(b2－4)＝0. 解得b＝±2 2. ∴所求切线方程为x＋y±2 2＝0. 也可用几何法d＝r求解．
③当直线和圆相离时，Δ<0，即a<－50或a>50.
解法二：(几何法)
圆x2＋y2＝100的圆心为(0,0)，半径r＝10，
则圆心到直线的距离d＝ 3|2a＋| 42＝|a5|.
①当直线和圆相交时，d<r，即|a5|<10，所以－50<a<50；
②当直线和圆相切时，d＝r，即|a5|＝10，所以a＝50或a＝
规律总结：本题求弦长问题时，利用了代数法和几何
法，其中解法一(几何法)较直观，求解过程要构造直角三角
形，利用勾股定理得到(半径)2＝(
弦长 2
)2＋(弦心距)2这一关系
是求出弦长的关键．
直线l经过点P(5,5)并且与圆C：x2＋y2＝25相交截得的弦 长为4 5，求l的方程．
[解析] 根据题意知直线l的斜率存在，
思路方法技巧
直线与圆的位置关系
学法指导 判断直线和圆的位置关系的方法 “用方程组解的个数”和“用圆心到直线的距离”，一 般情况下后一种方法相对简单，但如是要判断两圆相交并求 交点坐标时，必须求方程组的解，这样用第一种方法可起到 一举两得的作用．
[例1] 已知直线方程mx－y－m－1＝0，圆的方程x2＋y2 －4x－2y＋1＝0.当m为何值时，圆与直线
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利用消元法，得到关于另一个元的一元二次方程
求出其Δ的值
比较Δ与0的大小: 当Δ<0时,直线与圆相离；当Δ=0时, 直线与圆相 切 ;当Δ>0时,直线与圆相交。
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直线与圆的位置关系
已知直线l：kx-y+3=0和圆C: x2+y2=1,试问：k为何值时，直线l与 圆C相交？
直线与圆的位置关系
问题1：你知道直 线和圆的位置关系
有几种？
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例1 如图4.2-2，已知直线L：3x+y-6=0和圆心为C的圆
x2y22y40，判断直线L与圆的位置关系；如 果相交，求它们交点的坐标。
分析：方法一，判
断直线L与圆的位置关 系，就是看由它们的方 程组成的方程有无实数
解；方法二，可以
到台风的影响． y
B
0
A
x
归纳小结：直线与圆的位置关系的判断方法有两种：
①代数法：通过直线
方程与圆的方程所组成的 方程组成的方程组，根据 解的个数来研究，若有两 组不同的实数解，即⊿＞ ０，则相交；若有两组相 同的实数解，即⊿＝０， 则相切；若无实数解，即 ⊿＜０，则相离．
②几何法：由圆心
到直线的距离d与半径r 的大小来判断：当d<r时， 直线与圆相交；当d=r时， 直线与圆相切；当d>r时， 直线与圆相离．
r2d22( 7)2 b1
故所求圆的方程是(x-3)2+(y-1)2=9
或(x+3)2+(y+1)2=9。
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例1：过点P（1，-1）的直线L与圆M:
(x-3)2+(y-4)2=4
（1）当直线和圆相切时，求切线方程和
切线长;
y1 21(x1) 20
或 x=1
（2）若直线的斜率为2，求直线被圆截
直线与圆的位置关系
直线与圆的位置关系判断方法：
一、几何方法。主要步骤： 把直线方程化为一般式,利用圆的方程求出圆 心和半径
利用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离
作判断: 当d>r时，直线与圆相离；当d=r时， 直线与圆相切;当d<r时，直线与圆相交
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直线与圆的位置关系
二、代数方法。主要步骤：
直线与圆的位置关系
判断直线与圆的位置关系的方法2 (代数法): 将直线方程与圆的方程联立成方程组, 利用消元法消去一个元后,得到关于另一 个元的一元二次方程,求出其Δ的值，然后 比较判别式Δ与0的大小关系,
若Δ<0 则直线与圆相离 若Δ=0 则直线与圆相切 若Δ>0 则直线与圆相交
反之成立
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的直角坐标系，其中，取１０km为单位长度，这样，受
台风影响的圆形区域所对应的圆Ｏ方程为 x2 y2 9
轮船航线所在直线L的方程为4x+7y-28=0
问题归结为圆Ｏ与直线L有无公共点。
点Ｏ到直线L的距离 圆Ｏ的半径长r=3
d|0028 |283.5 65 65
因为３.５＞３，所以，这艘轮船不必改变航线，不会受
5
因为d=r，所以直线３x＋４y＋２＝０与圆相切．
③已知直线L：y＝x+6,圆Ｃ: x2y2－ 2y40试判断直线L与圆
Ｃ有无公共点，有几个公共点．
解：圆Ｃ的圆心坐标是（０，１），半径长r=
直线y＝x+6的距离 d 5 2 5 2
所以直线L与圆Ｃ无公共点．
5 ，圆心到
④试解本节引言中的问题．
解：以台风中心为原点，东西方向为x 轴，建立如图所示
圆心C的坐标为（0，1），半径长为 5 ，点C（0，1）到直 线L的距离
| 3016| 5 d＝ 32 12 ＝ 10
25
= 10 =
2.5 ＜
5
所以，直线L与圆相交，有两个公共点．
由 x23x20，解得
x x 1 =2 ， 2 ＝１．
把 把
x 1 =2代入方程①，得 y 1
x 2＝１代入方程①，得
问题：你还能用什么方法求解呢?
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直线与圆的位置关系
一只小老鼠在圆(x-5)2+(y-3)2=9上环
行，它走到哪个位置时与直线l ：
3x+4y-2=0的距离最短，请你帮小老鼠 找
到这个点并计算这个点到直线l的距离。
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直线与圆的位置关系
例1：直线l过点(2,2)且与圆x2+y22x=0
开放性问题: 在（x+1）2+(y-1)2＝R2的圆上是否存在四 个点到直线AB：3x-4y-3=0的距离等于１。
＝０；
y 2 ＝３．
所以，直线L圆相交，它们的坐标分别是Ａ（２，０），Ｂ （１，３）．
巩固练习：
①判断直线４x－３y=50与圆 x2 y2 100的位置关系．如
果相交，求出交点坐标．
解：因为圆心O（0，0）到直线４x－３y=50
| 0050|
的距离d=
5
= 10
而圆的半径长是10，所以直线与圆相切。 圆心与切点连线所得直线的方程为3x+4y=0
依据圆心到直线的距离 与半径长的关系，判断 直线与圆的位置关系。
yL B
C● 0
A x
图4.2-2
解法一：由直线L与圆的方程，得
{ 3xy60
①x2y22y40源自②消去y ，得 x23x20
因为
⊿= (3)241210
所以，直线L与圆相交，有两个公共点。
解法二：圆 x2y22y40可化为 x2(y1)2 5，其
解方程组
4x 3x
3y 4y
50 0
，
得
x y
8 6
切点坐标是（８，－６）
②判断直线３x＋４y＋２＝０与圆 x2y2－2x0的位置关
系．
解：方程 x2y2－ 2x0经过配方，得 (x1)2y2 1
圆心坐标是（１，０），半径长r=`1． 圆心到直线３x＋４y＋２＝０的距离是
d|302|
1
得的弦AB的长;
2 95
（ 3 ） 若 圆 的 方 程5 加 上 条 件 x≥3 ， 直 线 与
圆有且只有一个交点，求直线的斜率的取值
范围.
23k72或k2201优培化养解学题生程用序数，形用结运合动的变思化想的观 点分析解决问题的能力。
演示
例2: 在圆（x+1）2+(y+2)2＝8上到直线ｘ+ｙ +１=０的距离为 2 的点有__2___个.
相切y,求直2 线3l的(x方程2).或 x2 4
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直线与圆的位置关系
例2:一圆与y轴相切，圆心在直线x-3y=0上，
在y=x上截得弦长为2 7 ，求此圆的方
程。
解：设该圆的方程是(x-3b)2+(y-b)2=9b2， 圆 心 (3b,b) 到 直 线 x-y=0 的 距 离 是d|3bb| 2|b| r=|3b|