江苏省徐州苏教版高中数学必修2学案：直线与圆中的动点问题
苏教版高中数学必修二第课时直线与圆的位置关系学案
第二章 平面解析几何初步第二节 圆与方程第13课时 直线与圆的位置关系2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系；3．理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系；4．会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题；5．灵活处理与圆相交的问题．自学评价1．直线与圆有一个交点称为 相切，有两个交点称为 ，没有交点称为 ．2.设圆心到直线的距离为d ，圆半径为r ，当 时，直线与圆相离，当 时，直线与圆相切，当 时，直线与圆相交．3.直线l 与圆C 的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆 ，若方程组仅有一组解，则直线与圆 ，若方程组有两组不同的解，则直线与圆 ．【精典范例】例1：求直线4340x y +=和圆22100x y +=的公共点坐标，并判断它们的位置关系．【解】听课随笔例2：自点(1,4)A -作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ,求切线l 的方程．【解】例3：求直线0x +=被圆224x y +=截得的弦长．【解】追踪训练一1.求过圆224x y +=上一点的圆的切线方程．2. 自点(2,2)A 作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l ,求切线l 的方程．3.从圆22(1)(1)1x y -+-=外一点(2,3)P 向圆引切线，求切线长．【选修延伸】一、圆、切线、截距例4: 已知圆22(2)(3)1x y -+-=，求该圆与x 轴和y 轴的截距相等的切线l 的方程.【解】例5：若直线y x b =+与24x y =-恰有一个公共点，求实数b 的取值范围.【解】思维点拔： 在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”．例如，求与圆相切的直线方程时，先用待定系数法设出直线方程，然后根据d r =即可求得．这种数形结合的思想贯穿了整个章节．追踪训练二听课随笔1．已知圆222x y +=，求该圆与x 轴和y 轴的截距的绝对值相等的切线l 的方程．2．若直线y x b =+与y =有两个不同的交点，求实数b 的取值范围．。
高二数学苏教版必修二学案：2.2 圆与方程 第3课时---直线与圆
课题：§2.2 圆与方程第3课时 直线与圆的位置关系 主备人：陈高峰学习目标：（1）依据直线和圆的方程，能熟练求出它们的交点坐标；（2）理解直线与圆的三种位置关系，掌握直线与圆的位置关系的代数法、几何法判断．学习重点：熟练掌握求圆的切线方程，直线与圆相交时的弦长问题．学习难点：选择合理方法判断直线与圆的位置关系，处理与圆有关问题【温故习新·导引自学】1.直线与圆的位置关系的有 、 、 三种．2、直线与圆的位置关系的判断方法：⑴（几何法）① 若直线与圆相交⇔圆心到直线的距离d 圆的半径r ；② 若直线与圆相切⇔圆心到直线的距离d 圆的半径r ；③ 若直线与圆相离⇔圆心到直线的距离d 圆的半径r ．⑵（代数法）将直线方程与圆方程联立得关于x 或y 的一元二次方程，① 当方程组无解时，直线l 与圆C ；② 当方程组一解时，直线l 与圆C ；③ 当方程组两解时，直线l 与圆C ．3、若点),(00y x P 是圆222r y x =+上一点，过点的直线与圆相切，则切线的方程为 ．4、若点),(00y x P 是圆222)()(:r b y a x C =-+-外一点，由点P 向圆C 引切线的长为 ．5、若直线l 与圆C 相交，则两交点所在的弦长为 ．【交流质疑·精讲点拨】例1、（1）已知圆的方程是422=+y x ，求过点)3,1(-A 的圆的切线方程；（2）已知圆的方程是422=+y x ，求过点)4,2(B 的圆的切线方程．例2、直线02=-+y x 与圆422=+y x 相交，求直线被圆截得的弦长及直线截圆所得的劣弧长．变式、已知点)1,1(P 为圆4:22=+y x O 内一点，求过点P 被圆O 所截得的弦最短时的直线方程．例3、（1）一圆与y 轴相切，圆心在直线x-3y=0上，在y=x 上截得的弦长为27，求这个圆方程；（2）已知圆22(2)(3)1x y -+-=，求该圆与x 轴和y 轴的截距相等的切线l 的方程．【当堂反馈·效果评价】1．若直线20x y a -+=与圆22(1)1x y -+=有公共点，则实数a 的取值范围为________．2．从圆1)1()1(22=-+-y x 外一点P(2,3)向圆引切线，则切线方程为________________，切线长为____________．3．过点()2,1的直线l 将圆()4222=+-y x 分成两段弧，当劣弧所对的圆心角最小时，直线l 的斜率k =_______，弦长为__________．4．若直线220(,(0,))ax by a b R +-=∈+∞平分圆224260x y x y +---=，则12a b+的最小值是 ．5．判断直线4034=+y x 与圆10022=+y x 是否有公共点？若有，求出公共点．【作业巩固·拓展迁移】1、若经过点)0,1(-P 的直线与圆032422=+-++y x y x 相切，则此直线在y 轴上的截距是__________．2、从圆012622=-+++y x y x 外一点)1,1(P 向圆引切线PT ，其中T 为切点，则=PT __________．3、若P 为圆122=+y x 上的动点，则点P 到直线01043=--y x 的距离的最小值为__________．4、过直线x y =上一点P 引圆07622=+-+x y x 的切线，则切线长的最小值为__________．5、对于任意实数k ，直线02)23(=--+ky x k 与圆022222=---+y x y x 的位置关系是________．6、已知P 是直线0843=++y x 上的动点，PB PA ,是圆012222=+--+y x y x 的切线，B A ,是切点，C 是圆心，那么四边形PACB 面积的最小值是__________．7、求过点)2,1(A 和)10,1(B ，且与直线012=--y x 相切的圆的方程．8、若点),(00y x M 是圆)0(22>=+a a y x 内不为圆心的一个点，判断直线a y y x x =+00与该圆的位置关系．9、求通过直线032=+-y x 与圆0142:22=+-++y x y x C 的交点，且面积最小的圆的方程．10、已知直线0543:1=-+y x l ，圆4:22=+y x O ．（1）求直线1l 被圆O 所截得的弦长；（2）如果过点)2,1(-的直线2l 与1l 垂直，2l 与圆心在直线y x 2=上的圆M 相切，圆M 被直线1l 分成两段圆弧，其弧长比为2:1，求圆M 的方程．11、已知圆03:22=++++Ey Dx y x C ，圆C 关于直线01=-+y x 对称，圆心在第二象限，半径为2．（1）求圆C 的方程；（2）若圆C 的切线在两坐标轴上的截距相等且不为零，求切线方程．。
高一数学苏教版必修2教学案：第2章14直线与圆位置关系(1)
江苏省泰兴中学高一数学教学案(114)必修2 直线与圆位置关系(1)班级 姓名目标要求:点与圆、直线与圆的位置关系的判断及有关问题重点难点重点：直线与圆的位置关系问题，如求切线方程、弦的长度难点：圆的几何性质的运用典例剖析例1、过点P (-3,4)作直线l ，当斜率k 为何值时，直线l 与圆C ：22(1)(2)4x y -++= 有公共点？例2、已知圆C 的方程为222x y r +=，点P 的坐标为00(,)x y . 当P 在圆C 上时，求过点P 的圆的切线方程；例3、(1)求平行于直线2x －y+1=0且与圆x 2+y 2=5相切的直线方程;(2)试求自点A （3，1）作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线l 的方程.例4、过点(13)P ，作圆 x y 224+= 的割线，割线被圆截得的弦长为23，求割线方程.学后反思1、判断直线与圆的位置关系有两种方法：（1）点到直线的距离；（2）直线方程与圆的方程联立后利用判别式.2、求切线方程的主要方法是待定系数法，并应先判断点与圆的位置关系.3、有关直线被圆截得的弦长问题，常转化为弦心距、半径、半弦长所构成的直角三角形求解.课堂练习1、判断直线l 与圆C 的位置关系：(1) 直线l ：2x+3y-6=0，圆221x y += ____________________(2) 直线l ：3x+4y ＋2=0，圆2220x y x +-= _____________________(3) 直线l ： x-y+3=0，圆 22240x y y +--=_________________________ 2、直线x+y=1与圆2220(0)x y ax a +-=>没有公共点，则a 的取值范围是___________.3、自点A(-1，4)作圆22(2)(3)1x y -+-=的切线，则切线长为________________.4、直线33y x =绕原点按逆时针方向旋转30°后，所得的直线与圆22(2)3x y -+= 的位置关系是__________________.5、如果直线x-y-1=0被圆心为（2，－1）的圆所截得的弦长为22，那么这个圆的方程为_____________________江苏省泰兴中学高一数学作业(114)班级 姓名 得分1、圆221x y +=上的点到直线3x+4y-25=0的距离的最小值是_________________2、从点P(m ，3)向⊙C 22(2)(2)1x y +++=引切线。
高一数学第14课时《直线与圆的位置关系》教案(苏教版)必修2
第二章平面解析几何初步听课随笔第二节圆与方程第14课时直线与圆的位置关系2．能通过比较圆心到直线的距离和半径之间的大小关系判断直线和圆的位置关系；3．理解直线和圆的三种位置关系与相应的直线和圆的方程所组成的二元二次方程组的解的对应关系；4．会处理直线与圆相交时所得的弦长有关的问题；5．灵活处理与圆相交的问题．【课堂互动】自学评价1．直线与圆有一个交点称为相切，有两个交点称为相交，没有交点称为相离．2.设圆心到直线的距离为，圆半径为，当时，直线与圆相离，当时，直线与圆相切，当时，直线与圆相交．3.直线与圆的方程联立方程组，若方程组无解，则直线与圆相离，若方程组仅有一组解，则直线与圆相切，若方程组有两组不同的解，则直线与圆相交．【精典范例】例1：求直线和圆的公共点坐标，并判断它们的位置关系．分析：直线方程和圆的方程联立方程组即可【解】直线和圆的公共点坐标就是方程组的解．解这个方程组，得所以公共点坐标为．直线和圆有两个公共点，所以直线和圆相交．例2：自点作圆的切线,求切线的方程．分析：根据点的坐标设出直线方程，再根据直线和圆相切求解．【解】法1：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为即如图，因为直线与圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，故解得或．因此，所求直线的方程是或法2：当直线垂直于轴时，直线与圆相离，不满足条件．当直线不垂直于轴时，可设直线的方程为由于直线与圆相切，所以方程组仅有一组解．由方程组消去，得关于的一元二次方程，因为一元二次方程有两个相等实根，所以判别式解得或因此，所求直线的方程是或．点评:该题用待定系数法先设直线方程，应注意直线的斜率是否存在的问题．本题给出了两种解法，可以看到用“几何法”来解题运算量要小的多．例3：求直线被圆截得的弦长．分析：可利用圆心距、半径、弦长的一半构成直角三角形的性质解题【解】法1:如图，设直线与圆交于两点，弦的中点为，则（为坐标原点），所以所以．法2:直线和圆的公共点坐标就是方程组的解解得所以公共点坐标为直线被圆截得的弦长为追踪训练一1.求过圆上一点的圆的切线方程．答案：．2.自点作圆的切线,求切线的方程．答案：．3.从圆外一点向圆引切线，求切线长．答案：．【选修延伸】一、圆、切线、截距例4: 已知圆，求该圆与轴和轴的截距相等的切线的方程.分析：用待定系数法求解．【解】由题意设切线与轴和轴的截距为，，则①时，设的方程为，即，因为直线和圆相切，所以圆心到直线的距离等于圆的半径，故解得或所以的方程为或②时，设的方程为，即所以，解得或所以的方程为或综上所述：的方程为或或或.点评:本题较为复杂，要讨论的情况比较多，解题过程中要注重分析．例5听课随笔分析：由题意可化为表示一个右半圆，如图所示，对于当变化时所得的直线是互相平行的，由图可知与半圆有一个交点与半圆正好有两个交点，所以位于和之间的直线都与半圆只有一个交点，另外与半圆相切也符合题意【解】由题意可化为表示一个右半圆，如图所示直线的方程为：，直线的方程为：，因为直线与半圆相切，所以，解得所以直线的方程为：，由图可知位于和之间的直线都与半圆只有一个交点，且与半圆相切，所以实数的取值范围为：或点评:本题应用数形结合的方法去解题．思维点拔：在解决直线与圆的位置关系的问题时，我们通常采用“几何法”．例如，求与圆相切的直线方程时，追踪训练二1答案：或．2答案：．。
苏教版高中数学必修2教案4.2.1直线与圆的位置关系
4.2.2 圆与圆的位置关系
一、教学目标 1、知识与技能
（1）理解直线与圆的位置的种类；
（2）利用平面直角坐标系中点到直线的距离公式求圆心到直线的距离； （3）会用点到直线的距离来判断直线与圆的位置关系． 2、过程与方法
设直线l ：0=++c by ax ，圆C ：022=++++F Ey Dx y x ，圆的半径为r ，圆心)2
,2(E
D --
到直线的距离为d ，则判别直线与圆的位置关系的依据有以下几点： （1）当r d >时，直线l 与圆C 相离； （2）当r d =时，直线l 与圆C 相切； （3）当r d <时，直线l 与圆C 相交； 3、情态与价值观
让学生通过观察图形，理解并掌握直线与圆的位置关系，培养学生数形结合的思想． 二、教学重点、难点：
重点：直线与圆的位置关系的几何图形及其判断方法． 难点：用坐标法判直线与圆的位置关系． 三、教学设想。
高中数学新苏教版精品教案《苏教版高中数学必修2 2.2.2 直线与圆的位置关系》6
直线和圆的位置关系教学设计〔高三期中复习〕一．内容和内容解析1、内容：苏教版版全日制普通高级中学教科书〔必修2〕，本节课内容为高三一轮复习?直线和圆的位置关系?2、重点解析：〔1〕直线和圆位置关系的几何特征的运用；〔2〕解决圆的切线和弦长问题的根本方法和思路;〔3〕根本思路解决直线与圆的位置关系中的含参问题。
3、难点解析：数型结合、分类讨论思想的表达和掌握。
二、目标和目标解析1、目标:理解直线和圆的位置关系的定义，掌握直线和圆的位置关系的判定方法、圆的切线的相关问题和直线被圆所截得的弦长问题的根本思路和方法；体验以上根本思路和方法提炼的过程和数学思想；培养学生数与形、形与数相互转化的能力以及探究问题、解决问题的能力。
2、目标解析：〔1〕通过热身训练，学生归纳出直线与圆相交或相切时利用三个定理，通过构造一个特征直角三角形，实现两个转化〔圆心和半径〕；〔2〕学生经历对直线和圆位置关系判定方法的探究，体验数学中数与形的完美结合；〔3〕通过对圆的切线和弦长问题根本思路和方法的分析，体会这两个问题是当直线和圆的位置关系为相切和相交时，对直线、圆的代数形式以及几何属性的探究。
三、教学过程设计：1、授课内容〔1〕热身训练1 、圆C: ，过点作圆C的切线，求切线方程及切线长2、圆C: ，求直线被圆C截得的弦长问题一: 直线与圆的位置关系有几种？是如何定义的？问题二：如何求解弦长和切线长〔引导学生抓住位置关系的定义，分别从代数和几何两个方面来总结方法〕圆的切线的相关问题的思路分析圆的弦长的相关问题的解题思路分析走进高考：体会高考中的相似问题2、例题讲授：含参问题即直线或曲线动起来，使学生强化动中找定，利用上述根本方法解决问题。
走进高考：体会高考中的相似问题3、反思总结学生自主从知识和方法两个角度总结本节所学。
四、教学反思利用变式教学，为本节课的教学打好了根底，从课堂的反响效果不错。
2.2.2直线与圆的位置关系教案2高中数学必修二苏教版Word版
2.2.2直线与圆的位置关系教案2⾼中数学必修⼆苏教版Word版2.2.2 直线与圆的位置关系从容说课本节课的主要内容是研究直线与圆的位置关系.在教学过程中，先联⽴直线与圆的⽅程组，再由⽅程组的解的个数问题来表⽰直线和圆的位置关系.另外，还可以通过点到直线的距离来研究圆⼼距，通过圆的半径与圆⼼间距离的⼤⼩关系，来确定直线与圆的位置关系.教学重点判断直线与圆的位置关系.教学难点判断直线与圆的位置关系时设⽅程要注重斜率的讨论. 教具准备多媒体、三⾓板、圆规. 课时安排1课时三维⽬标⼀、知识与技能1.掌握通过联⽴⽅程组解的个数的讨论来研究直线与圆的位置关系.2.掌握利⽤圆⼼距与圆的半径的关系来判断直线与圆的位置关系.3.会求圆的切线⽅程. ⼆、过程与⽅法 1.注意类⽐的⽅法. 2.师⽣共同探究.三、情感态度与价值观培养数形结合的能⼒及从不同⽅向思考问题的习惯. 教学过程导⼊新课师在解析⼏何中我们研究了两条直线间的位置关系，⼤家回忆⼀下两条直线可能有哪些关系？⽣垂直、平⾏、相交.师通常我们分为重合、相交、平⾏.到⽬前为⽌在直⾓坐标系下我们研究了直线⽅程和圆的⽅程，那么如何在坐标系下研究直线⽅程和圆的位置关系呢？⼤家先回忆⼀下，平⾯⼏何中我们是如何研究的？⽣看圆⼼到直线的距离. 师对！共有⼏种情况？⽣三种：相交、相切、相离. 师(同时板书)如下图.推进新课在平⾯直⾓坐标系中，怎样根据⽅程来判断直线与圆的位置关系呢？设直线l 、圆C 的⽅程分别为Ax +By +C =0,x 2+y 2+Dx +Ey +F =0.如果直线l 与圆C 有公共点，由于公共点同时在l 和C 上，所以公共点的坐标⼀定是这两个⽅程的公共解，反之，如果这两个⽅程有公共解，那么以公共解为坐标的点必是l 与圆C 的公共点.由l 与圆C 的⽅程联⽴得⽅程组??=++++=++.0,022F Ey Dx y x C By Ax下⾯我们仿照研究两条直线的位置关系的情形来研究直线与圆的位置关系.我们知道两条直线的位置关系(相交、重合、平⾏)可以转化为联⽴两条直线⽅程所得⽅程组??=++=++,0,0222111C y B x A C y B x A 的解的个数问题，⽅程组=++=++0222111C y B x A C y B x A 的解仅有⼀组时，两条直线l 1、l 2的公共点仅有⼀个，两直线相交，⽆解时意味着两条直线平⾏,⽆数解时意味着两条直线重合.这样考察⽅程组?=++++=++,0,022F Ey Dx y x C By Ax 我们有如下结论：⽅程组⽆解时直线l 与圆C 相离;⽅程组仅有⼀解时直线l 与圆C 相切;⽅程组有两组不同的解时直线l 与圆C 相交.【例1】求直线4x +2y =40与圆x 2+y 2=100的公共点坐标，并判断它们的位置关系. 解:直线4x +2y =40和圆x 2+y 2=100的公共点坐标就是⽅程组??=+=+100,402422y x y x 的解.解这个⽅程组得====.548;514;0,102221y x x x 所以公共点坐标为(10，0)、(548,514). 因为直线4x +2y =40和圆x 2+y 2=100有两个公共点，所以直线和圆相交.【例2】(课本第109页练习第5题)从圆(x -1)2+(y -1)2=1外⼀点P (2,3)向圆引切线，求切线长.分析：切线PQ 与半径O Q 和圆⼼O 与P 点的连线段O P 构成直⾓三⾓形，由勾股定理可求得切线长.解:设圆⼼为O ，则O(1,1)，切点为Q ，则|O P |=.5)13()12(22=-+-由O Q ⊥PQ 知切线长|PQ |=222=-OQ OP .【例3】⾃点A(-1,4)作圆(x -2)2+(y -3)2=1的切线l ，求切线l 的⽅程.解法⼀:易知，当直线l 垂直于x 轴时，不满⾜条件;当直线l 不垂直x 轴时，可设直线l 的⽅程为y -4=k(x +1)，即k x -y +(k+4)=0. 如右图，由直线与圆相切，得圆⼼(2，3)到直线l 的距离等于圆的半径，故1)4(322+++-k k k =1，解得k=0或k=-43. 因此，所求直线l 的⽅程是y =4或3x +4y -13=0.师设直线l 的⽅程为y -4=k(x +1)时要考虑斜率不存在时的情形.解法⼆:易知，当直线l 垂直于x 轴时，不满⾜条件;当直线l 不垂直x 轴时，可设直线l 的⽅程为y -4=k(x +1).由于直线l 与圆相切，所以⽅程组=-+-+=-1)3()2(),1(422y x x k y 仅有⼀组解，由⽅程组消去y ，得关于x 的⼀元⼆次⽅程(1+k 2)x 2+(2k 2+2k-4)x +k 2+2k+4=0.由其判别式Δ=(2k 2+2k-4)2-4(1+k 2)(k 2+2k+4)=0,解得k=0或k=-43.因此，所求直线l 的⽅程是y =4或3x +4y -13=0.【例4】据⽓象台预报,在A 市正东⽅向300km 的B 处有⼀台风中⼼形成，并以40km/h 的速度向西北⽅向移动，在距台风中⼼250km 以内的地区将受其影响，从现在起经过多长时间，台风将影响A 市？持续时间多长？(精确0.1h)解:以A 为圆⼼、250km 为半径作⊙A,当台风中⼼移动经过的直线l 与⊙A 相交或相切时，A 市将受到台风影响.建⽴如图所⽰的直⾓坐标系，那么点A 、B 的坐标分别为(0，0)、(300，0)，⊙A 的⽅程为x 2+y 2=2502，直线l 的⽅程为y ＝－(x －300)，即x ＋y －300＝0.因为点O 到直线l 的距离OM=2150113000022=+-+＜250,所以直线l 与圆相交,设交点为C 、D,则|CD|＝2|DM|＝27100)2(15025022=-.⼜|BM|=|OM|，故|BD|=|BM|-|DM|＝1502－507＝50(32-7).因此，经过40)7-2(350≈2.0(h)后，A 市将受台风影响，持续影响时间为407100≈6.6(h)【例5】若直线l ：y =x +b 与曲线y =24x -有两个不同的交点，求实数b 的取值范围.分析：曲线y =24x -可化为x 2+y 2=4(y ≥0)，表⽰如图所⽰的⼀个半圆，直线与该半圆有两个交点，则直线l 必须在l 1的上⽅(包括l 1)，并且在直线l 2(l 2与半圆相切)的下⽅.解:由图可知，直线l 1⽅程为y =x +2，设直线l 2⽅程为y =x +m ，∵直线l 2与半圆相切，∴2m =2.∴m=22或-22(舍). ∴直线l 2⽅程为x -y +22=0.由图可知,当直线l 介于直线l 1和l 2之间时，直线l 与半圆有两个交点，∴b 的取值范围为2≤b ＜22.课堂⼩结今天我们⼀起研究了直线与圆的位置关系，有两个途径: (1)通过联⽴⽅程组;(2)通过圆⼼到直线的距离与半径的⼤⼩⽐较来处理. 有时还可结合图形来考虑. 布置作业P 106练习1、2. 板书设计2.2.2 直线与圆的位置关系l 与C 的⽅程联⽴⽅程组=++++=++022F Ey Dx y x C By Ax 课堂⼩结解与交点的关系：…… 布置作业例题：活动与探究学习直线和圆相切三注意(知识梳理)直线和圆相切是圆这⼀章的重点内容，必须认真学好，并注意以下三点：⼀、注意掌握⼏何判定法学习直线和圆相切的⽅法，除掌握常⽤的代数⽅法外，还要注意掌握⼏何⽅法——直线与圆相切的充要条件是圆⼼到直线的距离等于此圆的半径.【例1】求证：如果b 2=r 2(1+k 2),那么直线y =k x +b 与圆x 2+y 2=r 2相切.证明:∵圆x 2+y 2=r 2的圆⼼(0，0)到直线y =k x +b ,即k x －y －b =0的距离d=110022+=++-?k b k b k ,两边平⽅，并注意到b 2=r 2(1+k 2)，得d 2=1)1(122222++=+k k r k b =r 2, ∴d=r.故直线y =k x +b 与圆相切.⼆、注意求切线⽅程防⽌丢解【例2】求过点M(2，4)向圆(x －1)2+(y +3)2=1所引的切线⽅程. 解:易判定点M 在此圆外. 当过点M 的直线的倾⾓α≠2π时，可设直线⽅程为y －4=k(x －2).(1) 把①代⼊圆的⽅程并化简整理，得(1+k 2)x 2－(4k 2－14k+2)x +4k 2－28k=0, 该⽅程的判别式Δ=56k －192. ∵直线①与圆相切，∴Δ=56k －192=0. 解得k=724, 代⼊①得y －4=724(x －2). 当过M 的直线的倾斜⾓α=2π时，这条直线的⽅程是x =2. ∵圆⼼(1，－3)到该直线距离d=1，∴x =2是所求的另⼀条切线.∴所求的两条切线⽅程是24x －7y －20=0和x =2. 评注:对于α=2π时的情况不可遗漏，否则可能丢掉⼀条切线(如题中的x =2). 三、求圆的⽅程注意⽤判定⽅法中的⼏何性质【例3】⼀个圆经过点P (2，－1)且和x －y =1相切，其圆⼼在直线y =－2x 上，求此圆的⽅程.解:当圆与直线相切时，圆⼼到直线的距离等于半径.设所求圆的⽅程是(x －a )2+(y －b )2=r 2，由题设条件可得-==--=--+-,2,21,)1()2(222a b r b a r b a解之，得=-==2,2,1r b a 或=-==.213,18,9c b a∴所求圆的⽅程是(x －1)2+(y +2)2=2或(x －9)2+(y +18)2=338.备课资料⼀、动直线与定圆之间关系的讨论【例题】求实数m ，使直线x -m y +3=0和圆x 2+y 2-6x +5=0分别满⾜下列条件：(1)相交；(2)相切；(3)相离.分析：可根据“⼏何法”进⾏求解.解:将已知圆整理得(x -3)2+y 2=4，∴圆⼼为(3,0)，半径为2.圆⼼到直线x -m y +3=0的距离d=22161303mmm +=++?-，(1)当d216m+<2，也即当m>22或m<-22时，直线与圆相交；(2)当d=r ，即216m+=2，也即当m=22或m=-22时，直线与圆相切；(3)当d>r ，即216m+>2，也即当-22注：x -m y +3=0恒过定点(－3，0). ⼆、圆截直线所得弦长的计算⽅法如图，⊙O 与直线l 相交于A 、B 两点，M 为线段AB 的中点，由垂径定理知OM ⊥AB ，则OM 即为圆⼼O 到直线l 的距离(即弦⼼距)，设OM=d ，∴弦长AB=2AM=222d r -.。
高一数学 教案 1 苏教版高中数学必修2直线与圆的位置关系
第一课时 4.2.1直线与圆的位置关系（1课时）教学要求：理解和掌握直线与圆的位置关系，利用直线与圆的位置关系解决一些实际问题。
教学重点：直线与圆的位置关系教学难点：直线与圆的位置关系的几何判定. 教学过程：一、复习准备：1. 在初中我们知道直线现圆有三种位置关系：（1）相交，有一两个公共点；（2）相切，只有一个公共点；（3）相离，没有公共点。
2. 在初中我们知道怎样判断直线与圆的位置关系？现在如何用直线和圆的方程判断它们之间的位置关系？ 二、讲授新课：设直线:0l Ax By C ++=,圆()()222:C x a y b r -+-=圆心到直线的距离22Aa Bb Cd A B++=+1. 利用直线与圆的位置直观特征导出几何判定：比较圆心到直线的距离d 与圆的半径r ① d r ⇔直线与圆相交②d r =⇔直线与圆相切③d r ⇔直线与圆相离2.看直线与圆组成的方程组有无实数解: 有解,直线与圆有公共点.有一组则相切:有两组,则相交:b 无解,则相离3.例题讲解:例1 直线y x =与圆()2221x y r +-=相切,求r 的值例2 如图1,已知直线:360l x y +-=和圆心为C 的圆22240x y y +--=.判断直线l 与圆的位置关系;如果相交,求出他们交点的坐标. 45 ,例3 如图2,已知直线l 过点()5,5M 且和圆22:25C x y +=相交,截得弦长为求l 的方程练习.已知超直线:3230l x y +-=,圆22:4C x y +=求直线l 被圆C 截得的弦长4.小结：判断直线与圆的位置关系有两种方法 (1) 判断直线与圆的方程组是否有解a 有解,直线与圆有公共点.有一组则相切;有两组,则相交b 无解,则直线与圆相离 (2) 圆心到直线的距离与半径的关系:22Aa Bb C d A B++=+如果d r < 直线与圆相交; 如果d r =直线与圆相切; 如果d r >直线与圆相离. 三、巩固练习：1.圆222430x y x y +++-=上到直线:10l x y ++=的距离为2的点的坐标2.求圆心在直线23x y -=上,且与两坐标轴相切的圆的方程.3.若直线430x y a -=+=与圆22100x y +=(1)相交(2)相切(3)相离分别求实数a 的取值范围 四.作业:p140 4题第二课时 4.2.2圆与圆的位置关系教学要求：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系； 教学重点：能根据给定圆的方程，判断圆与圆的位置关系 教学难点：用坐标法判断两圆的位置关系 教学过程： 一、复习准备1. 两圆的位置关系有哪几种？2. 设圆两圆的圆心距设为d. 当d R r >+时，两圆 当d R r =+时，两圆当||R r d R r -<<+ 时，两圆 当||d R r =+时，两圆 当|d R r <+时，两圆３．如何根据圆的方程，判断它们之间的位置关系？(探讨) 二、讲授新课：1.两圆的位置关系利用半径与圆心距之间的关系来判断 例1. 已知圆221:2880C x y x y +++-=，圆222:4420C x y x y ++--=，试判断圆1C 与圆2C 的关系？（配方→圆心与半径→探究圆心距与两半径的关系） 2． 两圆的位置关系利用圆的方程来判断方法：通常是通过解方程或不等式和方法加以解决例2圆1C 的方程是:2222450x y mx y m +-++-=圆2C 的方程是:2222230x y x my m ++-+-=, m 为何值时,两圆(1)相切.(2)相交(3)相离(4)内含思路：联立方程组→讨论方程的解的情况（消元法、判别式法）→交点个数→位置关系）练习：已知两圆2260x y x +-=与224x y y m +-=，问m 取何值时，两圆相切。
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直线与圆中的动点控制
1.已知直线0=++m y mx 与圆2:2
2=+y x O 交于不同的两点B A ,，O 是坐标原点，OM OB OA =+，若点M 也在圆O 上，那么实数m 的值是 .
2.已知直线0=++m y x 与圆2:2
2=+y x O 交于不同的两点B A ,，O 是坐标原点，
≥,那么实数m 的取值范围是 .
3.过点)2,11(A 作圆016442:2
2=--++y x y x O 的弦，其中弦长为整数的共有 条
4.设圆3:22=+y x C ，直线06-3:=+y x l ，点l y x P ∈）
（00,，若存在点C Q ∈，使060=∠OPQ （O 为圆点），则0x 的取值范围是 .
5.已知BD AC ,为圆4:22=+y x O 的两条互相垂直的弦，垂足为()
21，M ，则四边形ABCD 的面积的最大值为 .
6.圆()42-:22=+y x C ，圆()()()R y x M ∈=-+--θθθ,1sin 5cos 52:2
2，若圆上M 任意一点P 作圆C 的两条切线PF PE ,，切点分别为F E ,，则PF PE ⋅的最小值是 .
7.已知直线09:=-+y x l 和圆0188-22:22=--+y x y x M ，点A 在直线l 上，C B ，为圆M 上两点，在ABC ∆中，0
45=∠BAC ，AB 过圆心M ，则点A 的横坐标的取值范围是 .
8.已知点()2,0A 是圆()0022-:22>=-+a ay ax y x M 外的一点，圆M 上存在点T 使得045=∠MAT ，则实数a 的取值范围是 .
9.在平面直角坐标系xoy 中，过点()1,0A 向直线02:=+-+m y mx l 作垂线，垂足为M ，
则点M 到点()32，
N 的距离的最大值为 .
10.在平面直角坐标系xoy 中，已知圆上42
2=+y x 有且仅有四个点到直线05-12=+c y x 的距离为1，则实数c 的取值范围是 .
11.在平面直角坐标系xoy 中，圆0158-:22=++x y x C ，若直线2-=kx y 上至少存在一点，使得以该点为圆心， 1为半径的圆与圆C 有公共点，则k 的最大值是 .
12.已知圆1:2
2=+y x C ，点）（00,y x P 是直线0423:=-+y x l 上的动点，若圆C 上总存在不同的两点B A ,，使得OP OB OA =+，则0x 的取值范围是 .
13.已知圆()12-:22=+y x C ，直线01=++y x 上存在点P 使得经过P 的直线l 与圆C 交于B A ,两点，且点A 为PB 中点，则点P 的横坐标0x 的取值范围是 .
14.在平面直角坐标系xoy 中，圆()()256-1:2
21=++y x C ，圆()()22
2230-17-:r y x C =+，若圆2C 上存在点P ，使得过点P 可作一条射线与圆1C 依次交于点B A ,，满足AB PA 2=，则半径r 的取值范围是 .
15.在平面直角坐标系xoy 中，若与点()2,2A 的距离为1且与点()0,m B 的距离为3的直线恰有两条，则实数m 的取值范围是 .
16.在平面直角坐标系xoy 中，圆C 的方程为()()91-1-:2
2=+y x C ，直线3:+=kx y l 与圆C 相交于B A ,两点，M 为弦AB 上的一动点，以M 为圆圆心，2为半径的圆与圆C 总有公共点，则实数k 的取值范围 .
17.在平面直角坐标系xOy 中，圆M ：(x-a )2+(y+a-3)2=1(a>0)，点N 为圆M 上任意一点.若以N 为圆心，ON 为半径的圆与圆M 至多有一个公共点，则a 的最小值为 .
18.在平面直角坐标系xoy 中，圆()21-:221=+y x C ，圆()()22
22-:m m y m x C =++，若圆2C 上存在点P 满足：过点P 向圆1C 作两条切线PB PA ,，切点为B A ,，ABP ∆的面积为1，则正数m 的取值范围是 .
19.已知B A ,是圆04:22=-+x y x C 上两个动点，且32=AB ，点P 在直线
02:=-+y x l 上，则PB PA ⋅的最小值是 .
20.已知点B A ,在圆1:22=+y x C 上，点P 在圆()()143:2
2=-+-y x M 上，若PB PA λ=，则实数λ的取值范围是 .。