第四节陪集与拉格朗日定理
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近世代数课件(全)-2-7陪集、指数和Lagrange定理
H(1) U H(13) U H(23)
2020/2/17
四、陪集的性质及陪集分解 左陪集的性质及左陪集分解
1） aaH 2）a H aH H
3）b aH aH bH a1b H
4）aH bH aH bH
群 G 中每个元素属于且只属于一个左陪集， 因此群 G 可以按照其子群 H 的左陪集分类.
群 G 的按照其子群 H 的左陪集分类中除去
H 外，再无子群 存在.
2020/2/17
定义2
设 aH,bH, cH, 是子群 H 在群 G
中的所有不同的左陪集，称等式
G aH bH cH
为群 G 关于子群 H 的左陪集分解，而称
{a,b, c, }
为群G 关于子群 H 的一个左陪集代表系.
S3 H U (13)H U (132)H
S3 H U H (13) U H (123) ？ （√）
2020/2/17
六、指数和Lagrange定理
定义 3 称群 G 的子群 H 的不同左(右) 陪集的个数(有限或无限)为 H 在 G 中的指数.
记作 (G : H ).பைடு நூலகம்
例1中
G S3 H {(1), (12)} (G : H ) 3
aG , an e .
2020/2/17
答：由于 G 不一定是交换群,所以
Ha aH 未必成立.
2020/2/17
例1 G S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
H {(1), (12)}
① H G
② H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
(1)H {(1), (12)} (12)H (13)H {(13), (123)} (123)H (23)H {(23), (132)} (132)H
2020/2/17
四、陪集的性质及陪集分解 左陪集的性质及左陪集分解
1） aaH 2）a H aH H
3）b aH aH bH a1b H
4）aH bH aH bH
群 G 中每个元素属于且只属于一个左陪集， 因此群 G 可以按照其子群 H 的左陪集分类.
群 G 的按照其子群 H 的左陪集分类中除去
H 外，再无子群 存在.
2020/2/17
定义2
设 aH,bH, cH, 是子群 H 在群 G
中的所有不同的左陪集，称等式
G aH bH cH
为群 G 关于子群 H 的左陪集分解，而称
{a,b, c, }
为群G 关于子群 H 的一个左陪集代表系.
S3 H U (13)H U (132)H
S3 H U H (13) U H (123) ？ （√）
2020/2/17
六、指数和Lagrange定理
定义 3 称群 G 的子群 H 的不同左(右) 陪集的个数(有限或无限)为 H 在 G 中的指数.
记作 (G : H ).பைடு நூலகம்
例1中
G S3 H {(1), (12)} (G : H ) 3
aG , an e .
2020/2/17
答：由于 G 不一定是交换群,所以
Ha aH 未必成立.
2020/2/17
例1 G S3 {(1), (12), (13), (23), (123), (132)}
H {(1), (12)}
① H G
② H 在 G 中的全部不同的左陪集有:
(1)H {(1), (12)} (12)H (13)H {(13), (123)} (123)H (23)H {(23), (132)} (132)H
陪集和拉格朗日定理
为确定起见，下面只对左陪集进行讨论。 为确定起见，下面只对左陪集进行讨论。
为实数集， 上的一个二元运算 上的一个二元运算+ 例1 设G=R×R，R为实数集，G上的一个二元运算 × ， 为实数集 定义为 <x1,y1>+<x2,y2>=<x1+x2,y1+y2> 显然， ， 是一个具有幺元 是一个具有幺元<0， 的阿贝尔群 的阿贝尔群。 显然，<G，+>是一个具有幺元 ，0>的阿贝尔群。 H={<x,y>|y=2x} 设 容易验证<H， 是 ， 的子群 的子群。 容易验证 ，+>是<G，+>的子群。 对于<x 关于<x 的左陪集为<x 对于 0,y0>∈G，H关于 0,y0>的左陪集为 0,y0>H。 ∈ ， 关于 的左陪集为 。 这个例子的几何意义为： 这个例子的几何意义为： G是笛卡尔平面，H是通过原点的直线 是笛卡尔平面， 是通过原点的直线 是通过原点的直线y=2x，陪集 是笛卡尔平面 ， <x0,y0>H是通过点 0,y0>且平行于 的直线。如图 是通过点<x 且平行于H的直线 是通过点 且平行于 的直线。如图57.1所示。 所示。 所示
就是一个Klein四元群
例题2 任何一个四阶群只可能是四阶循环群或者 是Klein四元群 证明 设四阶群为<{e,a,b,c},*>。其中e是幺元。当 四阶群含有一个四阶元素时，这个群就是循环群。 当四阶群不含有四阶元素时，则由推论2可知， 除幺元e外，a,b,c的阶一定都是2。a*b不可能等于 a,b或e，否则将导致b=e,a=e或a=b的矛盾，所以 a*b=c。同样地有b*a=c以及a*c=c*a=b,b*c=c*b=a。 因此，这个群就是Klein四元群。
拉格朗日中值定理
一拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理，又被称为有限增量定理，是微积分中的一个基本定理。
拉格朗日中值公式的形式其实就是泰勒公式的一阶展开式的形式。
在现实应用当中，拉格朗日中值定有着很重要的作用。
拉格朗日中值定理是所有的微分中值定理当中使用最为普遍的定理。
拉格朗日中值定理的形成和发展过程都显示出了数学当中的一个定理的发展是一个推翻陈旧，出现创新的一个进程。
发现一些新的简单的定理去替代旧的复杂的定理，就是由初级走向高级。
用现代的语言来描述，在一个自变量x从x变为x+1的过程中，如果函数f(x)本身就是一个极限值，那么函数f(x+1)的值也应该是一个极限值，其值就应该和f(x)的值近似相等，即这就是非常著名的费马定律，当一个函数在x=a处可以取得极值，并且函数是可导函数，则′。
著名学者费马再给出上述定理时，此时的微积分研究理论正处于初始阶段，并没有很成熟的概念，没有对函数是否连续或者可导作出限制，因此在现代微积分理论成熟阶段这种说法就显得有些漏洞。
在所有的微分中值定理中，最重要的定理就是拉格朗日中值定理。
最初的拉格朗日中值定理和现在成熟的拉格朗日中值定理是不一样的，最初的定理是函数f(x)在闭区间[a,b]内任取两点和，并且函数在此闭区间内是连续的，′的最大值为A，′最小值为B，则的值必须是A和B之间的一个值。
这是拉格朗日定理最初的证明。
下述就是拉格朗日中值定理所要求满足的条件。
如果存在一个函数满足下面两个条件，（1）函数f 在闭区间[a，b]上连续；（2）函数f 在开区间（a，b）内可导；那么这个函数在此开区间内至少存在着一点，使得′ξ.拉格朗日中值定理是导数的一个延伸概念，在导数运算中是的很基本概念。
例1：函数，即′。
当在开区间∞时，有′，在开区间∞单调递增；当在开区间∞时，有′，f(x)在开区间∞单调递减。
在，有′，。
由上述例子说明，想要确定一个函数的单调性可以通过求得这个函数的一阶导数来求得判断单调区间。
第5-4讲 陪集与拉格朗日定理
3
2、拉格朗日定理（2）
拉格朗日定理:设<H,*>是群<G,*>的一个子群，则 （1）R={<a,b>|a,b∈G,a-1*b∈H}是G上的一个等价关系， 且[a]R=aH。 （2）若|G|=n，|H|=m，则 m|n。 <a,b>∈ *b∈ *b)∈ b∈[a]R ⇔ <a,b>∈R ⇔ a-1*b∈H ⇔ a*(a-1*b)∈aH ⇔ b∈aH 是等价关系，可设R 划分为K个等价类[a ],…,[a (2) 因R是等价关系，可设R将G划分为K个等价类[a1],[a2], ,[ak]，
7
6
3、拉格朗日定理的推论
推论1 质数阶群没有非平凡子群。 证：（反证法）假设质数阶群<G,*>有非平凡子群<H,*> ， 反证法）假设质数阶群<G,*>有非平凡子群<H,*> <G,*>有非平凡子群<H,*>， 反证法 |H|（ <|H|<|G|） |G|的因子 的因子， |G|为质数矛盾 为质数矛盾。 则|H|（1<|H|<|G|）是|G|的因子，与|G|为质数矛盾。 推论2 设<G,*>是n阶有限群，e为幺元。则G中任意元素a 的阶必是n的因子，且an=e。如n为质数，则<G,*>是循环 群。 证：若a∈G, a的阶数为 ，则<{a,a2,…,am},*>是G的子 若 a的阶数为 的阶数为m， ,a },*>是 可由子群判定定理一判定或按群的定义判定）。 子群判定定理一判定或按群的定义判定）。根 群（可由子群判定定理一判定或按群的定义判定）。根 .g 据拉格朗日定理， |n |n。 n=m.g, .g,则 =e。 据拉格朗日定理，m|n。令n= .g,则an=am.g=(am)g=eg=e。 如果n为质数，设任意a 如果n为质数，设任意a∈G，a≠e,a的阶数为m(≠1)。令 e,a的阶数为m(≠1)。 的阶数为m( G’=<{a,a2,…,am},*>，则G’是G的循环子群。如上所证， =<{a,a ,a },*>， 是 的循环子群。如上所证， 应是n的一个因子，已知n为质数， m=n,从而G=G’。 从而G=G m应是n的一个因子，已知n为质数，故m=n,从而G=G 。
2、拉格朗日定理（2）
拉格朗日定理:设<H,*>是群<G,*>的一个子群，则 （1）R={<a,b>|a,b∈G,a-1*b∈H}是G上的一个等价关系， 且[a]R=aH。 （2）若|G|=n，|H|=m，则 m|n。 <a,b>∈ *b∈ *b)∈ b∈[a]R ⇔ <a,b>∈R ⇔ a-1*b∈H ⇔ a*(a-1*b)∈aH ⇔ b∈aH 是等价关系，可设R 划分为K个等价类[a ],…,[a (2) 因R是等价关系，可设R将G划分为K个等价类[a1],[a2], ,[ak]，
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3、拉格朗日定理的推论
推论1 质数阶群没有非平凡子群。 证：（反证法）假设质数阶群<G,*>有非平凡子群<H,*> ， 反证法）假设质数阶群<G,*>有非平凡子群<H,*> <G,*>有非平凡子群<H,*>， 反证法 |H|（ <|H|<|G|） |G|的因子 的因子， |G|为质数矛盾 为质数矛盾。 则|H|（1<|H|<|G|）是|G|的因子，与|G|为质数矛盾。 推论2 设<G,*>是n阶有限群，e为幺元。则G中任意元素a 的阶必是n的因子，且an=e。如n为质数，则<G,*>是循环 群。 证：若a∈G, a的阶数为 ，则<{a,a2,…,am},*>是G的子 若 a的阶数为 的阶数为m， ,a },*>是 可由子群判定定理一判定或按群的定义判定）。 子群判定定理一判定或按群的定义判定）。根 群（可由子群判定定理一判定或按群的定义判定）。根 .g 据拉格朗日定理， |n |n。 n=m.g, .g,则 =e。 据拉格朗日定理，m|n。令n= .g,则an=am.g=(am)g=eg=e。 如果n为质数，设任意a 如果n为质数，设任意a∈G，a≠e,a的阶数为m(≠1)。令 e,a的阶数为m(≠1)。 的阶数为m( G’=<{a,a2,…,am},*>，则G’是G的循环子群。如上所证， =<{a,a ,a },*>， 是 的循环子群。如上所证， 应是n的一个因子，已知n为质数， m=n,从而G=G’。 从而G=G m应是n的一个因子，已知n为质数，故m=n,从而G=G 。
拉格朗日定理
❖ (3)Hg=gH是表示两个集合相等，并不意 味着hg=gh,完全有可能Hg=gH,但hggh。
❖ (4)Hg=gH是指，对任意hH，总存在 h'H ，使得hg=gh'。
❖ 定理14.18：H是G的子群, 它又是正规的, 当且仅当,对任gG,hH,有g-1hgH。
❖ 设G={(x; y)|x,yR，x 0}, 在G上定义二 元运算如下：
[G/H;]的单位元 逆元:对任意HaG/H,有逆元Ha-1G/H
❖ 关于H的商群
❖ 定义14.17:[G;*]为群,[H;*]为其正规子群, G/H为G关于H的商集合,为G/H上关于 陪集的运算, 则 [G/H;]是群,称为G关于
H的商群。
❖ 在G是有限阶的群时,G/H的阶必有限, 且 等于正规子群H在G中的指数,即|G|/|H|。
❖ 定理14.17：G为有限群,H为其子群, 则H 的阶可以整除G的阶,其相除的商就是H在 G中的指数k。
❖ 例：设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整 除|G|。
❖ 例：G为有限群，阶为素数p，则[G;*]是 循环群。
G
{
a c
b d
|
a c
b 0,a,b,c,d R}
d
H
{l群的子群都是正规子群。 ❖ 三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所
有非平凡子群是: H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中只有H4 是正规子群
❖ (1)H为正规子群，则应对G中每个元素g 都有Hg=gH
❖ (2)正规子群的前提要求是H为子群。
分析:关键是证明对任意a,b,c,dG,若a~b, c~d,必成立ac~bd. 就是要证明 (ac)(bd)-1H 应利用ab-1H和cd-1H
❖ (4)Hg=gH是指，对任意hH，总存在 h'H ，使得hg=gh'。
❖ 定理14.18：H是G的子群, 它又是正规的, 当且仅当,对任gG,hH,有g-1hgH。
❖ 设G={(x; y)|x,yR，x 0}, 在G上定义二 元运算如下：
[G/H;]的单位元 逆元:对任意HaG/H,有逆元Ha-1G/H
❖ 关于H的商群
❖ 定义14.17:[G;*]为群,[H;*]为其正规子群, G/H为G关于H的商集合,为G/H上关于 陪集的运算, 则 [G/H;]是群,称为G关于
H的商群。
❖ 在G是有限阶的群时,G/H的阶必有限, 且 等于正规子群H在G中的指数,即|G|/|H|。
❖ 定理14.17：G为有限群,H为其子群, 则H 的阶可以整除G的阶,其相除的商就是H在 G中的指数k。
❖ 例：设a为有限群[G;*]的元素，则a的阶整 除|G|。
❖ 例：G为有限群，阶为素数p，则[G;*]是 循环群。
G
{
a c
b d
|
a c
b 0,a,b,c,d R}
d
H
{l群的子群都是正规子群。 ❖ 三次对称群S3={e,1, 2, 3, 4, 5}的所
有非平凡子群是: H1={e, 1}; H2={e, 2}; H3={e, 3}; H4={e, 4, 5}。其中只有H4 是正规子群
❖ (1)H为正规子群，则应对G中每个元素g 都有Hg=gH
❖ (2)正规子群的前提要求是H为子群。
分析:关键是证明对任意a,b,c,dG,若a~b, c~d,必成立ac~bd. 就是要证明 (ac)(bd)-1H 应利用ab-1H和cd-1H
拉格朗日中值定理科普
拉格朗日中值定理科普嘿，朋友！你知道拉格朗日中值定理吗？这可是数学里相当厉害的一个家伙！咱先来说说，为啥要有这个定理。
就好比你要从 A 地去 B 地，不管你是快跑、慢跑，还是一会儿快一会儿慢，在这中间的某一个时刻，你的速度总会等于整个路程的平均速度。
拉格朗日中值定理差不多就是这个意思。
它说的是，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在这个区间内至少存在一点，使得函数在这一点的导数等于函数在这个区间上的平均变化率。
这定理有啥用呢？比如说，你想知道一辆车在一段时间内的速度变化情况，拉格朗日中值定理就能帮上忙啦。
再比如，你要研究一个经济指标的增长趋势，它也能给你提供有力的工具。
想象一下，一个函数的图像就像是一座连绵起伏的山峰。
那拉格朗日中值定理就像是在这山峰中找到了一条神奇的小路，能让你更好地理解这座山的走势。
你看，数学里的这些定理啊，就像我们生活中的小窍门。
比如我们炒菜，得掌握火候和调料的比例，这和运用定理来解决问题是不是有点像？都是在找那个最合适的“度”。
咱们再深入点说，拉格朗日中值定理的证明可不简单，但咱们先不纠结那些复杂的过程。
就记住它能帮我们在看似杂乱无章的函数变化中找到规律，这多神奇啊！好比你在黑暗中摸索，突然有了一束光，能让你看清前方的路。
拉格朗日中值定理就是那束光，能让我们在函数的世界里不再迷茫。
你可能会想，这定理听起来有点抽象，离我们的日常生活很远。
其实不是这样的！比如你规划旅行的费用，计算每天的平均花费和某个特定时间的花费之间的关系，这不就和拉格朗日中值定理有关系嘛。
所以说，数学的世界很奇妙，拉格朗日中值定理就是其中一颗璀璨的明珠。
它虽然看起来高深莫测，但只要我们用心去理解，就能发现它在很多地方都能发挥大作用。
总之，拉格朗日中值定理是数学里的好宝贝，学会它，能让我们在解决问题时更加得心应手，你说是不是？。
三、阿贝尔群和循环群、陪集与拉格朗日定理、同态同构
证明 1) Ｉ：对于任一a∈G，必有a-1 ∈G，使a-1 * a =e ∈H，所以 <a,a> ∈R，即Ｒ是自反的。 II：对于任意a,ｂ∈G，若<a,b> ∈R ，则a-1 * b∈H ， 因为H是G的子群，故(a-1 * b)-1 = b-1 * a∈H， 所以<b,a> ∈R，即Ｒ是对称的。 III：对于任意a,ｂ,c∈G，若<a,b> ∈R ，<b,c> ∈R ， 则a-1 * b ∈H ，b-1 * c ∈H ， 所以a-1 * b * b-1 * c = a-1 * c ∈H， 故<a,c> ∈R，即Ｒ是传递的。
k
k
ห้องสมุดไป่ตู้
又因为，H中任意两个不同的元素h1，h2，必有 a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。 因此 n=|G|=
k
aiH
=
i1
k
i 1
a i H =mk
推论1
推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。 设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。 证明见书Ｐ210
b*b*b=e
定理2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。
证明 设<G，*>是一个循环群，生成元为a， 那么对于任意的x,y∈G，
必有r,s∈I，使得x=ar 和 y=as
且 x * y= ar * as= ar+s = as+r = as * ar =y * x 因此<G,*>是一个阿贝尔群。
k
k
ห้องสมุดไป่ตู้
又因为，H中任意两个不同的元素h1，h2，必有 a* h1≠a* h2(a∈G) ，所以|aiH|=|H|=m，i=1,2,…,k。 因此 n=|G|=
k
aiH
=
i1
k
i 1
a i H =mk
推论1
推论2
任何质数阶的群不可能有非平凡子群。 设<G,*>是n阶有限群，那末对于任意的a∈G，a的 阶必是n的因子且必有an=e，这里e是群<G,*>中的 幺元。如果n为质数，则<G,*>必是循环群。 证明见书Ｐ210
b*b*b=e
定理2 任何一个循环群必定是阿贝尔群。
证明 设<G，*>是一个循环群，生成元为a， 那么对于任意的x,y∈G，
必有r,s∈I，使得x=ar 和 y=as
且 x * y= ar * as= ar+s = as+r = as * ar =y * x 因此<G,*>是一个阿贝尔群。
离散数学陪集与拉格朗日定理
4
❖ 陪集
例1：四阶群<G,*>的运算表：
* eabc
eeab c
aaec b
b
b
c
e
a
c
c
b
a
e
H={e, a}G，显然<H,*>是 <G,*>的子群，写出H关于G 的所有陪集。
左陪集：
eH = {e,a}
aH = {a*e, a*a} = {a,e} = eH
bH = {b*e, b*a} = {b,c}
例:四阶群<G,*>
* eabc eeabc aaecb bbcea ccbae
A={e, a}G，B={a, b, c} G AB = {e*a, e*b, e*c, a*a, a*b, a*c}
= {e, a, b, c} A-1= {a-1 | a A}={e,a}
定义2：<H,*>是群<G,*>的子群，aG，则{a}H （H{a}）的积称为H 关于a的左陪集（右陪集），简记为aH（Ha），a称为陪集的代表 元素 。
离散数学
❖ 代数系统
1 代数系统的基本概念 2 半群与含幺半群（独异点） 3 群（阿贝尔群与循环群） 4 陪集与拉格朗日定理 5 同态与同构 6 环与域
❖ 陪集
陪集的概念
定义1：<G,*>是一个群，A、B是G中的非空子集，则记 AB={a*b | aA, bB} ，A-1 = {a-1 | a A} 分别称为A、B的积和A的逆。
证：对于 b[a]R <a,b> R a-1 * b H a * (a -1 * b) aH b aH
∴ [a]R = aH
❖ 拉格朗日定理
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群.
证 1阶群是平凡的，显然是阿贝尔群.
2,3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群. 都是
Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则G=<a>. 由上述分析可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元. 由命题可知G也是Abel群.
Z18/<4> = {<4>, 1+<4>}, 其中 1+<4> = {1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15} ， 其中1+<4> = {1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15}， 运算表为 运算表为
<4>
1+<4>
<4> <4> 1+<4> 1+<4> 1+<4> <4>
对称性. 任取a,b∈G，则
<a,b>∈R ab1∈H (ab1) 1∈H ba1∈H <b,a>∈R 传递性. 任取a,b,c∈G，则 <a,b>∈R∧<b,c>∈R ab1∈H∧bc1∈H ac1∈H <a,c>∈R 下面证明：a∈G，[a]R = Ha. 任取b∈G， b∈[a]R <a,b>∈R ab1∈H Ha=Hb b∈Ha
解：<3> = {0, 3, 6, 9}, <3>的不同左陪集有3个，即 0+<3> = <3>, 1+<3> = 4+<3> = 7+<3> = 10+<3> = {1, 4, 7, 10} , 2+<3> = 5+<3> = 8+<3> = 11+<3> = {2, 5, 8, 11}.
分析：求群的所有陪集的方法，以右陪集为例加以说明. 对于有限群G，子群H的不同的右陪集数为 |G| / |H|. 第一个右陪集就是H自身.
三、商群 1. 商群定义及其实例 商群定义：设G是群，N是G的正规子群，令G/N是N在G中的 全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即 G/N = {Ng | g∈G}
在G/N上定义二元运算如下：对于任意的 Na, Nb∈G/N，
Na Nb=Nab 可以证明G/N关于运算构成一个群，称为G的商群.
. ZZ 关于 Z的商群 则3Z是Z的正规子群 /3Z3= {[0], [1], [2]}
[0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2]
[1] [1] [2] [0]
[2] [2] [0] [1]
2.商群的求解
= {0, 4, 8, 12, 16, 2, 6, 10, 14}. 例题．设<<4> Z18, >为模 18 加群，求商群 Z18/<4>, <3>/<9>. = {0, 3, 6, 9, 2, 12,6, 15} 解： <4> = <3> {0, 4, 8, 12, 16, 10, 14}. = 12, {0, 15} 9} <3> = {0, 3,<9> 6, 9, Z18/<4> = {<4>, 1+<4>}, <9> = {0, 9}
一、正规子群的定义与实例
1．正规子群的定义
定义11.10设H是群G的子群. 如果a∈G都有Ha=aH，则称H
是G的正规子群，记作H⊴G.
任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群，即G和{e}， 都是G的正规子群. 如果G是Abel群，G的所有子群都是正规子群.
2．正规子群的实例
例 设A={1, 2, 3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
例
设<Z,+>是整数加群,令
例 设<Z,+>是整数加群 ,令 3Z = {3z | z∈Z}
3Z = {3 zZ | z是 ∈Z } 的正规子群. Z 关于 3Z 的商群 则 3 Z
Z/3Z = {[0], [1], 其中 [i[2]} ] = {3z+i | z∈Z}，i = 0, 1, 2 其中 [i] = {3z+ i|Z z∈ }， i = 0, 1, 2 且 /3Z Z 中的运算如下表所示 . 且Z/3Z中的运算如下表所示.
任取a∈G，a ≠ e，则<a>是G的子群.
根据拉格朗日定理，<a>的阶是p的因子，即<a>的阶是p或1. 显然<a>的阶不是1，这就推出G = <a>
2．拉格朗日定理的应用实例 命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群. 证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取x,y∈G，则
xy = (xy)1 = y1x1 = yx，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har
|G| = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由定理11.11知，Hai≈H ，所以|Hai| = |H|＝m，i = 1,2,…,k, 得 n＝|G| = |H|· k = m· k 从而 m|n
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有an = e.
Hf5={f1f5, f2f5}={f5, f3}， Hf6={f1f6, f2f6}={f6, f4}
Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.
2．陪集的基本性质
定理11.8 设H是群G的子群，则 （1）He = H （2）a∈G有a∈Ha.
定理11.9 设H是群G的子群，则a,b∈G有
（1）eH = H
（2）a∈G，a∈aH （3）a,b∈G，a∈bH b1a∈H aH=bH （4）若在G上定义二元关系R， a,b∈G，<a,b>∈R b1a∈H
则R是G上的等价关系，且[a]R = aH.
（5）a∈G，H ≈ aH
例题：设G为模12加群, 求<3> 在G中所有的左陪集.
证 任取a∈G，<a>是G的子群，<a>的阶是n的因子. <a>是由a生成的子群，若|a| = r，则 <a> = {a0=e,a1,a2,…,ar1} 即<a>的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e. 推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>. 证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元.
二、正规子群的判别法
1．正规子群的判定定理 定理11.13 设N是群G的子群，N⊴G g∈G,n∈N有 gng1∈N. 定理11.14 设N是群G的子群， N⊴G g∈G有 gNg1=N
2．正规子群的判别实例
例 设N G，若G的其他子群都不与N等势，则N⊴G. 证 任取g∈G，易证gNg1是G的子群， 下面证N ≈ gNg1. n∈N，令f(n) = gng1，则f：N gNg1. f(n1)=f(n2) gn1g1=gn2g1 n1=n2，即f是单射. gng1∈gNg1，n∈N，f(n) = gng1 ，f是满射. 从而N ≈ gNg1. 根据已知条件，必有gNg1 = N. 所以N⊴G.
本节内容及要求
• 熟悉陪集的定义和性质
• 熟悉拉格朗日定理及其推论，学习使用该
定理解决简单的问题
第五节 正规子群与商群
一、正规子群的定义与实例
1．正规子群的定义 2．正规子群的实例
二、正规子群的判别法
1．正规子群的判定定理 2．正规子群的判别实例
三、商群
1. 商群定义及其实例 2. 商群的求解
第五节 正规子群与商群
推论 设H是群G的子群,则
（1）a,b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = （2）∪{Ha | a∈G} = G 定理11.11 设H是群G的子群，则
a∈G，H ≈ Ha
类似地，也可以定义H的左陪集，即
aH = {ah | h∈H}，a∈G 关于左陪集有下述性质：
求所有陪集的集合 G/N, 对于有限群，|G/N| = |G| / |N|.
本节内容及要求
• 正规子群的判别定理和方法
• 商群的定义和实例
• 会判别和证明子群的正规性
• 了解商群的概念
第六节 群的同态与同构
一、同态映射的定义 二、典型同态映射的实例 三、同态映射的性质
1．同态映射保持元素的对应性 2．同态映射保持子群的对应性 3．有关同态核的性质 4．同态基本定理
第四节 陪集与拉格朗日定理
一、陪集及其性质 1．陪集定义及实例 定义11.9 设H是G的子群，a∈G.令 Ha={ha | h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
例 设A={1,2,3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}， f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}， f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}
证 1阶群是平凡的，显然是阿贝尔群.
2,3和5都是素数，由推论2它们都是单元素生成的群. 都是
Abel群. 设G是4阶群. 若G中含有4阶元，比如说a，则G=<a>. 由上述分析可知G是Abel群. 若G中不含4阶元，G中只含1阶和2阶元. 由命题可知G也是Abel群.
Z18/<4> = {<4>, 1+<4>}, 其中 1+<4> = {1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15} ， 其中1+<4> = {1, 5, 9, 13, 17, 3, 7, 11, 15}， 运算表为 运算表为
<4>
1+<4>
<4> <4> 1+<4> 1+<4> 1+<4> <4>
对称性. 任取a,b∈G，则
<a,b>∈R ab1∈H (ab1) 1∈H ba1∈H <b,a>∈R 传递性. 任取a,b,c∈G，则 <a,b>∈R∧<b,c>∈R ab1∈H∧bc1∈H ac1∈H <a,c>∈R 下面证明：a∈G，[a]R = Ha. 任取b∈G， b∈[a]R <a,b>∈R ab1∈H Ha=Hb b∈Ha
解：<3> = {0, 3, 6, 9}, <3>的不同左陪集有3个，即 0+<3> = <3>, 1+<3> = 4+<3> = 7+<3> = 10+<3> = {1, 4, 7, 10} , 2+<3> = 5+<3> = 8+<3> = 11+<3> = {2, 5, 8, 11}.
分析：求群的所有陪集的方法，以右陪集为例加以说明. 对于有限群G，子群H的不同的右陪集数为 |G| / |H|. 第一个右陪集就是H自身.
三、商群 1. 商群定义及其实例 商群定义：设G是群，N是G的正规子群，令G/N是N在G中的 全体右陪集（或左陪集）构成的集合，即 G/N = {Ng | g∈G}
在G/N上定义二元运算如下：对于任意的 Na, Nb∈G/N，
Na Nb=Nab 可以证明G/N关于运算构成一个群，称为G的商群.
. ZZ 关于 Z的商群 则3Z是Z的正规子群 /3Z3= {[0], [1], [2]}
[0] [1] [2]
[0] [0] [1] [2]
[1] [1] [2] [0]
[2] [2] [0] [1]
2.商群的求解
= {0, 4, 8, 12, 16, 2, 6, 10, 14}. 例题．设<<4> Z18, >为模 18 加群，求商群 Z18/<4>, <3>/<9>. = {0, 3, 6, 9, 2, 12,6, 15} 解： <4> = <3> {0, 4, 8, 12, 16, 10, 14}. = 12, {0, 15} 9} <3> = {0, 3,<9> 6, 9, Z18/<4> = {<4>, 1+<4>}, <9> = {0, 9}
一、正规子群的定义与实例
1．正规子群的定义
定义11.10设H是群G的子群. 如果a∈G都有Ha=aH，则称H
是G的正规子群，记作H⊴G.
任何群G都有正规子群，因为G的两个平凡子群，即G和{e}， 都是G的正规子群. 如果G是Abel群，G的所有子群都是正规子群.
2．正规子群的实例
例 设A={1, 2, 3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}, f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}, f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>} f5={<1,2>,<2,3>,<3,1>}, f6={<1,3>,<2,1>,<3,2>}
例
设<Z,+>是整数加群,令
例 设<Z,+>是整数加群 ,令 3Z = {3z | z∈Z}
3Z = {3 zZ | z是 ∈Z } 的正规子群. Z 关于 3Z 的商群 则 3 Z
Z/3Z = {[0], [1], 其中 [i[2]} ] = {3z+i | z∈Z}，i = 0, 1, 2 其中 [i] = {3z+ i|Z z∈ }， i = 0, 1, 2 且 /3Z Z 中的运算如下表所示 . 且Z/3Z中的运算如下表所示.
任取a∈G，a ≠ e，则<a>是G的子群.
根据拉格朗日定理，<a>的阶是p的因子，即<a>的阶是p或1. 显然<a>的阶不是1，这就推出G = <a>
2．拉格朗日定理的应用实例 命题：如果群G只含1阶和2阶元，则G是Abel群. 证 设a为G中任意元素，有a1 = a. 任取x,y∈G，则
xy = (xy)1 = y1x1 = yx，
G = Ha1∪Ha2∪…∪Har
|G| = |Ha1| + |Ha2| + … + |Har| 由定理11.11知，Hai≈H ，所以|Hai| = |H|＝m，i = 1,2,…,k, 得 n＝|G| = |H|· k = m· k 从而 m|n
推论1 设G是n阶群，则a∈G，|a|是n的因子，且有an = e.
Hf5={f1f5, f2f5}={f5, f3}， Hf6={f1f6, f2f6}={f6, f4}
Hf1=Hf2，Hf3=Hf5，Hf4=Hf6.
2．陪集的基本性质
定理11.8 设H是群G的子群，则 （1）He = H （2）a∈G有a∈Ha.
定理11.9 设H是群G的子群，则a,b∈G有
（1）eH = H
（2）a∈G，a∈aH （3）a,b∈G，a∈bH b1a∈H aH=bH （4）若在G上定义二元关系R， a,b∈G，<a,b>∈R b1a∈H
则R是G上的等价关系，且[a]R = aH.
（5）a∈G，H ≈ aH
例题：设G为模12加群, 求<3> 在G中所有的左陪集.
证 任取a∈G，<a>是G的子群，<a>的阶是n的因子. <a>是由a生成的子群，若|a| = r，则 <a> = {a0=e,a1,a2,…,ar1} 即<a>的阶与|a|相等, 所以|a|是n的因子. 从而an = e. 推论2 对阶为素数的群G，必存在a∈G使得G = <a>. 证 设|G| = p，p是素数. 由p≥2知G中必存在非单位元.
二、正规子群的判别法
1．正规子群的判定定理 定理11.13 设N是群G的子群，N⊴G g∈G,n∈N有 gng1∈N. 定理11.14 设N是群G的子群， N⊴G g∈G有 gNg1=N
2．正规子群的判别实例
例 设N G，若G的其他子群都不与N等势，则N⊴G. 证 任取g∈G，易证gNg1是G的子群， 下面证N ≈ gNg1. n∈N，令f(n) = gng1，则f：N gNg1. f(n1)=f(n2) gn1g1=gn2g1 n1=n2，即f是单射. gng1∈gNg1，n∈N，f(n) = gng1 ，f是满射. 从而N ≈ gNg1. 根据已知条件，必有gNg1 = N. 所以N⊴G.
本节内容及要求
• 熟悉陪集的定义和性质
• 熟悉拉格朗日定理及其推论，学习使用该
定理解决简单的问题
第五节 正规子群与商群
一、正规子群的定义与实例
1．正规子群的定义 2．正规子群的实例
二、正规子群的判别法
1．正规子群的判定定理 2．正规子群的判别实例
三、商群
1. 商群定义及其实例 2. 商群的求解
第五节 正规子群与商群
推论 设H是群G的子群,则
（1）a,b∈G，Ha = Hb 或 Ha∩Hb = （2）∪{Ha | a∈G} = G 定理11.11 设H是群G的子群，则
a∈G，H ≈ Ha
类似地，也可以定义H的左陪集，即
aH = {ah | h∈H}，a∈G 关于左陪集有下述性质：
求所有陪集的集合 G/N, 对于有限群，|G/N| = |G| / |N|.
本节内容及要求
• 正规子群的判别定理和方法
• 商群的定义和实例
• 会判别和证明子群的正规性
• 了解商群的概念
第六节 群的同态与同构
一、同态映射的定义 二、典型同态映射的实例 三、同态映射的性质
1．同态映射保持元素的对应性 2．同态映射保持子群的对应性 3．有关同态核的性质 4．同态基本定理
第四节 陪集与拉格朗日定理
一、陪集及其性质 1．陪集定义及实例 定义11.9 设H是G的子群，a∈G.令 Ha={ha | h∈H} 称Ha是子群H在G中的右陪集. 称a为Ha的代表元素.
例 设A={1,2,3}，f1, f2, …, f6是A上的双射函数. 其中 f1={<1,1>,<2,2>,<3,3>}， f2={<1,2>,<2,1>,<3,3>} f3={<1,3>,<2,2>,<3,1>}， f4={<1,1>,<2,3>,<3,2>}