获取最大利润
利润最大化模型
利润最大化模型在经济学中，利润最大化是企业经营的一个核心目标。
利润最大化模型是经济学家用来解释企业如何在给定的限制条件下，以使利润最大化的理论工具。
本文将介绍利润最大化模型的基本原理和应用，以及它在实际经营决策中的重要性。
一、利润最大化模型的概念利润最大化模型是一种用于分析企业利润最大化的经济学模型。
它基于企业的生产函数和成本函数的数学关系，通过对不同产量和成本水平的比较，确定使企业获得最大利润的最佳决策。
利润最大化模型的基本原理是在给定的生产要素价格和市场需求的情况下，企业能够通过决策调整产量和成本结构来实现最大利润。
二、利润最大化模型的基本假设利润最大化模型在实际应用中通常基于以下几个假设：1. 假设企业是利润最大化的理性经济体。
企业为了实现最大利润，会做出合理的决策，使得边际成本等于边际收益。
2. 假设企业在市场上是价格接受者。
企业所销售的产品价格由市场供需决定，企业只能接受市场价格而无法主动影响。
3. 假设企业生产函数和成本函数是已知的。
企业的生产函数描述了产量与生产要素的关系，成本函数描述了不同产量水平下的成本情况。
4. 假设企业的目标是长期利润最大化。
企业在决策中考虑的是长期利润最大化而非短期利润最大化，因此会考虑产能扩充和技术创新等因素。
三、利润最大化模型的数学表示在利润最大化模型中，通常通过数学函数来表示企业的生产函数、成本函数和利润函数。
以单产品企业为例，假设企业的产量为Q，生产成本为C，售价为P，则利润函数可以表示为π=PQ-C。
根据利润最大化的原则，企业在产量达到最大利润时，边际收益等于边际成本，即dπ/dQ=d(PQ-C)/dQ=P-MC=0。
四、利润最大化模型的应用利润最大化模型在实际经营决策中应用广泛。
企业可以通过利润最大化模型来评估不同的生产方案，并决定最优的产量水平和成本结构。
利润最大化模型也可以用于分析市场竞争的情况下企业的策略选择，如定价、产能扩充和市场份额的争夺等。
利润最大化的优缺点
利润最大化的优缺点
针对企业获取最大利润这一目标，将利润最大化作为企业发展策略是一种常见的企业
实践。
它既能全面考虑企业变革要求，有助于企业实现可持续发展，也能满足部分投资者
的需求。
优点一是可以更新的企业管理、营销及竞争战略，实现最大利润。
利润最大化可以更
好地运用资源，利用资本来实现有效的营销，节省成本以提高公司业绩，从而提高市场份
额及竞争力，从而获得最大利润。
其次，利润最大化能有效提升投资者收益率，使投资者通过投资受益。
利润的最大化
可以通过采取各种措施，如采购管理、产品创新、降低企业成本等来实现，从而使有限的
资源得到更大的收益，使投资者能够获得最大的经济效益。
缺点是容易放弃长远发展。
为了实现最大利润，有时企业可能放弃长期发展的好机会，而是采取短期利润最大化的措施，因此疏忽了企业长远发展的目标，从而降低了企业的综
合竞争力。
另外，采取利润最大化策略，投资者也会获得与初始投资比较少的回报，他们开始担
心投资损失很大，或者有太多的风险投资。
而且，由于企业采取了利润最大化的策略，往
往会缩短有效的操作时间，从而减少了公司的发展空间。
总的来说，利润最大化有一定的优势，但也存在不少缺点。
企业需要在利润最大化的
基础上，同时考虑长远发展的需求，从而获得更大的绩效和效益。
利润最大化原则
利润最大化原则利润最大化名词利润最大化解释是指在控制成本的基础上,尽可能提高价格,但价格的变化必须在社会可接受的范围之内.利润最大化原则概述[1](一)厂商组织形式.一般来说,企业可以有业主独资企业、合伙经营企业和股份公司三种形式组织.业主独资企业为某一个人所有.合伙经营企业为两个或更多的人所有.股份公司通常也为许多人所有,但又遵循着和所有者法则相分离的法则行事.因此合伙经营企业的持续存在取决于所有合伙者活着并且同意维持该企业.而股份公司可以比任何一个所有者存在的更久.因此大多数企业都以股份公司形式组织起来.(二)经济学中利润的涵义.利润是收益减去成本的差额.在经济学上,利润市场上决定进退的指标,只要有利可图,厂商就会继续经营,没有愿做赔本生意的.但是,利润在会计学和经济学中的意义是有差别的.经济学中的收益与成本和会计的收益与成本是不同的,因此使得利润有会计利润和经济利润之分.具体表现在:1、收益.经济学中的收益来源有四种:一是内在收益,即由于供给要素带来的收益;二是风险收益,"一旦内在受益——对资本的纯利息、管理、劳动的内在工资以及其他被扣除以后,剩余的部分是承担不肯定性的报酬.风险收益具体包括不能履约的风险收益、纯粹的风险收益或统计风险收益以及对创新和事业心的风险收益;三是垄断收益,即市场收益或垄断权力的现实基础,只包括已实现受益,将未实现收益排除在外.四是与会计有着本质区别的收益——持有损益.经济学收益将企业经济业务收益和企业因持有资产而获得的收益同等对待,而不考虑是否实现.而会计收益不包括未实现收益.2、成本.由于人们面临着权衡取舍,所以做出决策就要比较可供选择方案的成本与收益.当经济学家将企业生产成本的时候,他们指的是生产物品与劳务量的所有机会成本.机会成本除包括会计成本之外还包括会计未计算在内的隐含成本.在经济学家看来,尽管厂商无需对自有生产要素的耗费进行现实的货币支付,即无需对隐含成本进行货币补偿,但隐含成本却反映了生产要素的真实耗费.赚取相当于隐含成本的那部分会计利润,是厂商从事经营活动要求获得的最低报酬,是它正常经营的基本条件.机会成本的概念出自这样的思想:如果你把自己的生产要素例如劳动用于某一用途,你就失去了把它应用于别处的机会.因此,这种放弃的收益如工资就是生产的一部分成本.可以说,一种东西的机会成本是为了得到这种东西所放弃的东西. 利润的经济定义需要我们估价所有投入物和产出物的机会成本.经济学中假定厂商的经营目标只有一个:利润最大化.利润最大化是特指经济利润最大化.即在一定的生产技术和市场需求约束下,厂商实现利润最大或亏损最小.厂商的利润最大化原则厂商从事生产或出售商品的目的是为了赚取利润.如果总收益大于总成本,就会有剩余,这个剩余就是利润.值得注意的是,这里讲的利润,不包括正常利润,正常利润包括在总成本中,这里讲的利润是指超额利润.如果总收益等于总成本,厂商不亏不赚,只获得正常利润,如果总收益小于总成本,厂商便要发生亏损.厂商从事生产或出售商品不仅要求获取利润,而且要求获取最大利润,厂商利润最大化原则就是产量的边际收益等于边际成本的原则.边际收益是最后增加一单位销售量所增加的收益,边际成本是最后增加一单位产量所增加的成本.如果最后增加一单位产量的边际收益大于边际成本,就意味着增加产量可以增加总利润,于是厂商会继续增加产量,以实现最大利润目标.如果最后增加一单位产量的边际收益小于边际成本,那就意味着增加产量不仅不能增加利润,反而会发生亏损,这时厂商为了实现最大利润目标,就不会增加产量而会减少产量.只有在边际收益等于边际成本时,厂商的总利润才能达到极大值.所以MR=MC成为利润极大化的条件,这一利润极大化条件适用于所有类型的市场结构.利润最大化原则推导对MR=MC这一利润最大化原则,可用数学推导加以证明:设π为利润,Q为厂商产量,TR为厂商总收益,TC为厂商总成本,则p(Q) = TR(Q) m TC(Q)利润极大化的必要条件是π对Q的一阶导数为零.而TR对Q的一阶导数就是边际收益MR,同样,就是边际成本MC.所以,当MR=MC,即边际收益等于边际成本时,利润极大.利润最大化的充分条件还要求π的二阶导数为负数,即它表示,利润最大化要求边际成本函数的斜率要大于边际收益函数的斜率.一般来说,在不同的市场结构中,边际成本函数的斜率为正值,而边际收益函数的斜率在完全竞争市场中为零,在不完全竞争市场中为负值.利润最大化原则所指导的企业经营决策[1]1、用数学模型看利润最大化.由于行为的目的性假设,自然要引入一些数学模型,以解决含有若干变量的函数的极大值问题.我们可以假设追求利润最大化的企业以固定单价P销售产品,并以固定的单位要素价格w1 和W2 分别购买两种投入x1 和x2 .假设我们考虑的企业面临着竞争性的投入和产出市场.企业的生产过程可以用生产函数来概括: y = f(x1,x2) .这里,生产函数可以看做是通过将两种投入或称为两种要素x1 和x2 :相结合而达到最大产出市的技术状态.企业的目标函数是总收益减去总成本(即利润).我们认为企业是该函数取最大化,即p=pf(x1,x2) m w1x1 m w2x2最大化.该模型的检验条件是要素价格w1 、w2 和产品价格P的特值.模型的目标是举出可观测行为(如投入水平的变化)在检验条件变化(即要素价格或产品价格发生变化)时的可证伪的假设.利润最大化的一阶条件是:和最大化的充分条件是:由于pij = Pfij ,这些二阶条件可以简化为f11 < 0 、f22 < 0 以及: f11f22 m f12 > 0这些条件的经济解释是什么呢?利润最大化的一阶条件表明,追求利润最大化的企业会一直增加资源,直到各种要素的边际贡献(例如要素i的边际产出值,它带来的收入是pfi 等于每增加一单位该要素所带来的成本w1 .这些是利润最大化所必然包含的.但是,为了保证要素投入后能够获得最大利润而非最小利润,还需二个条件. f11 < 0 、f22 < 0 是收益递减法则.假设,最初使用一个单位的要素是值得的,如果该要素的边际产出是递增的,企业将无休止的增加该要素,因为投入带来的收入多于支出.有限的最大值与递增的边际率是矛盾的.但是,各种要素的边际生产率递减,其自身并不能保证利润能取最大化,还需条件f11f22 m f12 > 0 .尽管这一关系式不如边际生产率递减那样直观,但是它来自这样一个事实:一种要素的改变会影响另一种要素的边际产出,正如影响其自身的产出一样,对所有边际产出的总体影响必须与边际生产率递减相一致.2、图示.从上面的推导我们可以得出,如果企业追求利润最大化,那么凡可以自由变动数量的每种要素的边际产品价值必定等于该要素的价格.即边际成本等于边际收益.我们也可以从边际成本曲线来分析.以完全竞争市场的情况为例来说明:图:MC、ATC、AVC曲线这个图表示出了边际成本曲线(MC)、平均总成本曲线(ATC)和平均可变成本曲线(AVC).它还表示出市场价格(P)、市场价格等于边际收益(MR)和平均收益(Art).在产量为Q1时,边际收益MR1大于边际成本MC1,因此,增加产量增加了利润.在产量为Q2时,边际成本MC2大于边际收益MR2,因此,减少产量会增加利润.利润最大化产量是在水平价格线与边际成本曲线相交之处.利润最大化的逻辑意味着一个竞争性厂商的供给函数必定是产品价格的增函数,而每种要素的需求函数必然是要素价格的减函数.不完全竞争及其极端形式——垄断的情况图:MC、ATC、AVC曲线由于该垄断者拥有一条向下倾斜的需求曲线,这就意味着P>M.对于一个追求利润最大化的垄断者来说,由于价格高于边际成本,因此,垄断者会将产量水平减少到低于完全竞争产业中所决定的水平.从数学模型和图示我们可得知在任何市场结构中以利润最大化为目标的厂商产量决定行为的原则是边际成本等于边际收益.这时厂商会把产品产量定在边际成本等于边际收益的点上.提示:评论内容为网友针对条目"利润最大化原则"展开的讨论,与本站观点立场无关.能不能就厂家如何获得最大利润举个具体的实例呢?我们经常讲,企业生产经营的目标是利润最大化.但什么是利润最大呢?从企业的角度来说,利润当然是越多越好.如果我们这样理解利润最大化,利润最大化就没有意义了.在现实中,无限利润也是不可能的.因此,必须找到一个利润最大化的标准,说明在什么时候,企业就实现了利润最大化.利润是总收益减去包括会计成本和机会成本在内的总成本.我们已经分析过了成本,这里再谈谈收益.收益是企业出卖产品得到的收入,既包括成本也包括利润.它等于产品的价格乘以出卖产品量的积.总收益是出卖一定量产品所得到的全部收入.平均收益是出卖每单位产品所得到的收入,每单位产品是1,所以,平均收益就等于价格.边际收益是每多卖一单位产品所增加的收入.当我们说总产量、平均产量和边际产量时,是用实物单位来衡量产品数量的.当我们说总收益、平均收益和边际收益时,是用货币单位来衡量产品数量的.这两种说法在本质上是相同的——衡量的东西相同,所根据的衡量单位不同.所以,总收益、平均收益和边际收益的变化规律与以前讲过的总产量、平均产量和边际产量的变动规律一样.经济学家给出的利润最大化的标准是边际收益等于边际成本.当企业生产的产品使边际收益和边际成本相等时,这种产量就实现了利润最大化.这是根据企业的实践总结出来的规律,同时也可以用数学方法证明.我们可以用一个简单的例子来理解这个规律.假设一个企业生产一单位产品增加的收益(边际收益)边际成本为8元.每多生产一单位产品赚了2元.这时,企业一定要增加生产.它增加生产就表明原来的产量没有实现利润最大化,即没有把该赚的钱赚到.反之,如果边际收益为8元,边际成本为10元.每多生产一单位产品赔了2元.这时,企业一定要减少生产.它减少生产就表明原来的产量也没有实现利润最大化,即赔了.当边际收益与边际成本相等(比如都为9元)时,企业既不增加产量,也不减少产量,说明它对这种产量,实现了利润最大化.在现实中,也许许多企业家并不了解边际收益和边际成本,也并没有刻意追求边际收益和边际成本的相等.但如果分析那些实现了利润最大化的企业的资料,你一定会发现这些企业遵循了这一规律.无论你是否知道规律,它总是在起作用,但了解这些规律更有利于我们自觉地按规律办事,避免盲目性和在摸索这一规律中的弯路和浪费.企业总要使自己的产量保持在平均成本最低.平均成本最低时,平均成本与边际成本相等.如果市场是完全竞争的,企业每增加一单位产品并不影响价格,平均收益也等于边际收益.由此可以得出,在完全竞争市场上,边际收益等于边际成本,也就是平均收益等于平均成本.这时企业不就是没有利润了吗?的确,在完全竞争的市场上就是如此.竞争的结果利润最大化时的利润为零.但要记住,我们这时说的利润是经济利润.经济利润为零,会计利润不为零.在完全竞争时,企业所赚到的是补偿机会成本的会计利润.但是,市场并不都是完全竞争的.如果有的企业规模相当大,它的产量变动足以引起价格变动;或者有的企业利用政府赋予的权利(专利权、特许经营权式进入权)而具有了垄断地位;或者有的企业创造出了某种有特色的产品或敢于承担风险,价格就会高于完全竞争时.在这些情况下,企业就可以获得经济利润.在现实中,完全竞争是少的,普遍的情况是竞争与垄断的不同程度结合,但在这种不完全竞争的市场里,企业总具有不同的垄断势力,即对市场的控制能力.因此,这就可以引起企业通过产量控制或创新来使价格高于平均成本,从而获得利济利润.当然,利润最大化只是一个原则.不同行业的不同企业在运用这个原理时也会有所不同.有的企业会追求利润率最大化,有的企业会追求利润量最大化,有的企业更偏重短期利润最大化,有的企业会为了长期利润最大化而改变短期的好处.这些不同的目标既取决于企业自己的目的,尤其是企业决策者的偏好,也取决于它所处的市场环境.无论哪一个企业,要成功地实现利润最大化,必须满足消费者的需求.企业要根据消费者的需求进行生产,这就是"消费者主权"(或者"消费是上帝")的含义.因此,企业在进入市场之前必须了解消费者的需求,在推出一种新产品或服务之前,必须进行需求预测.从下一篇文章开始我们就开始分析市场需求,为进入市场成功奠定基础.。
利润最大化名词解释
利润最大化名词解释
利润最大化是指企业在经营决策中所追求的最终目标，即在给定的资源、市场环境和法规制度下，通过经营活动获取最大的经济利益。
在实际经营中，企业通常采用一系列策略来实现利润最大化，如降低成本、提高销售量、增加产品价值等，以达到企业利润最大化的目的。
利润最大化是经济学中的一个重要概念，也是企业管理中的核心目标之一。
在实际经营中，企业需要通过合理的经营策略和风险管理来实现利润最大化，同时还需要考虑社会责任和法律法规等因素的影响。
在市场竞争激烈的环境下，企业实现利润最大化需要不断提高自身的核心竞争力，积极推进产品创新和品牌建设，加强与供应商和客户的合作，以及优化内部管理流程等手段。
只有在不断提高经营效率和优化企业运营的基础上，才能实现长期稳定的利润最大化。
求利润最大值的公式
求利润最大值的公式
求利润最大值的公式一般采用最优化理论来求解。
其中，利用数
学最优化方法可以解决多余变量、非线性及不可微分函数的最优化问题，也即求利润最大化的问题。
具体的求利润最大值的公式可以表示为：
有：n个决策变量：x1, x2, x3 ……xn；目标函数：Z=f(x1,
x2, x3 ……xn)；因变量约束条件：gi(x1, x2, x3 ……xn)≤0
(i=1,2,3……m)
求解最优化问题即求满足所有约束条件和目标函数最大值的决策
变量值，即求最大利润z* 。
求解利润最大化问题，可以采用数学规划中的拉格朗日乘子法，
即求解其对应的对偶问题。
由拉格朗日乘子法可以得出求利润最大值
的公式为：
构造拉格朗日函数：L(x,λ)=f(x)+∑λi gi(x);
令L(x,λ)=0，即可求出最大值z*
这里，x表示一系列的决策变量，λ表示一系列的拉格朗日乘子，gi(x)表示约束条件，f(x)表示目标函数，利润最大值z*可以求解如下：
z* = max{f(x)}
s.t. gi(x)≤0 (i=1,2,3……m)
尤其在面对多变量、非线性及不可微分的情况下，以上的拉格朗
日乘子法是十分有效的，可以得到准确的求利润最大值的公式。
求最大利润的公式
求最大利润的公式利润最大化计算公式利润最大化计算公式：π（Q）=TR（Q）−TC（Q）；利润极大化的必要条件是π对Q的一阶导数为零。
TR对Q的一阶导数就是边际收益MR，也就是边际成本MC。
所以，当MR=MC，即边际收益等于边际成本时，利润极大。
厂商从事生产或出售商品不仅要求获取利润，而且要求获取最大利润，厂商利润最大化原则就是产量的边际收益等于边际成本的原则。
边际收益和边际成本边际收益是最后增加一单位销售量所增加的收益，边际成本是最后增加一单位产量所增加的成本。
如果最后增加一单位产量的边际收益大于边际成本，就相当于增加产量可以增加总利润，厂商会继续增加产量，以实现最大利润目标。
如果最后增加一单位产量的边际收益小于边际成本，那就意味着增加产量不仅不能增加利润，反而会发生亏损，这时厂商为了实现最大利润目标，就不会增加产量而会减少产量。
只有在边际收益等于边际成本时，厂商的总利润才能达到极大值。
所以MR=MC成为利润极大化的条件，这一利润极大化条件适用于所有类型的市场结构。
实现利润最大化是企业的最终目标，影响的因素很多，主要有两个方面，一是扩大产品收入，利润是收入创造的，没有收入上量的保障，利润是无从谈起的。
二是严格控制成本和费用支出，在利润增加的同时，成本和费用的支出的越少，利润就越大。
利润最大化原则利润最大化在早期西方资本主义，纯经济学的角度，企业的行为目标，就是利润最大化。
近期的经济学也加入伦理学的角度。
相信以长线而言，只有具商业信誉、社会责任的企业，其利润才会有最大化。
当边际成本等于边际收益(MC=MR)，利润达到极大化。
一般在经济学之中，所假设的企业利润最大化行为，如下面的公式所计算出来的。
〈假设所生产的数量能够完全的销售出去〉利润=收入-费用=商品售价×生产数量-费用。
利润最大化原则及其解释
利润最大化原则及其解释
利润最大化原则是指在经济活动中，企业或个人以追求最大利润为目标，通过合理配置资源和优化生产经营活动，实现利润最大化的决策原则。
利润最大化原则的核心思想是，企业或个人在进行经济决策时，应该以追求最大利润为首要目标，通过合理配置资源和优化生产经营活动，尽可能地提高经济效益。
利润最大化原则的解释主要有以下几点：
1. 利润是企业或个人经济活动的最终目的。
企业或个人进行经济活动的目的是为了获得利润，利润是衡量企业或个人经济效益的重要指标。
2. 利润最大化是企业或个人的本能追求。
在市场经济中，企业或个人追求利润最大化是一种本能行为，因为只有获得最大利润，才能更好地满足自身的需求和发展。
3. 利润最大化原则是资源配置的有效方式。
在市场经济中，资源配置是通过市场机制实现的，而利润最大化原则是市场机制的重要体现，它可以引导企业或个人合理配置资源，提高资源利用效率。
4. 利润最大化原则是企业或个人决策的重要依据。
在进行经济决策时，企业或个人应该以利润最大化为首要目标，通过分析成本和收益，选择最优的生产经营方案，以实现利润最大化的目标。
利润最大化原则是市场经济中企业或个人进行经济决策的重要原则之一，它可以引导企业或个人合理配置资源，提高经济效益，实现自身的利益最大化。
求利润最大值的公式
求利润最大值的公式
求利润最大值的公式是：利润最大值= 总收入- 总成本。
总收入
包括两部分：一部分是单件产品的销售价格乘以销售量的总和，另一
部分是政府提供的补助费用。
总成本是指生产、运输、维护等费用的
总和，这些费用可以通过实施某些措施来降低，从而促进企业利润的
最大化。
具体而言，求利润最大值的公式如下：利润最大值=（单件产品售
价*销售量+政府补助费用）-（生产成本+运输成本+维护成本+其他费用）。
针对这一公式，需要企业采取相应的措施才能得到最大化的利润。
首先，要确保单件产品的售价处于适当的水平，即既要保证售价水平
不太低，也不要过高，以便获取较大的收入；其次，要尽量降低生产
成本，比如改进工艺、提高工作效率等；其次，要尽量减少运输成本，比如优化路径规划以及采用优惠政策等；再次，要加强产品的维护，
以减少维护成本；最后，要积极申请政府提供的补助费用，以获取更
多的收入以抵消成本。
通过采取上述措施，企业可以有效地提高收入，降低成本，最终
实现利润最大化。
总之，求利润最大值的公式是：利润最大值=（单件
产品售价*销售量+政府补助费用）-（生产成本+运输成本+维护成本+
其他费用）。
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21.6综合与实践获取最大利润
教学目标
【知识与技能】
能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系,并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(或小)值,培养学生解决问题的能力.
【过程与方法】
应用已有的知识,经过自主探索和合作交流尝试解决问题.
【情感、态度与价值观】
在经历和体验数学知识发现的过程中,提高思维品质,在勇于创新的过程中树立学好数学的自信心.
重点难点
【重点】
二次函数在最优化问题中的应用.
【难点】
从现实问题中建立二次函数模型,学生较难理解和掌握.
教学过程
一、问题引入
在日常生活、生产和科研中,常常会遇到求什么条件下可使面积最大、利润最大、材料最省、时间最少、效率最高等问题,这类问题称为最优化问题.其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值.如何利用二次函数分析解决这样的问题呢?
本节课我们来研究二次函数在实际问题中的应用.
做一做:从地面竖直向上抛出一个小球,小球的高度h(单位:m)与小球的运动时间t(单位:s)之间的关系式是:h=30t-5t2(0≤t≤6).小球运动的时间是多少时,小球最高?小球运动中的最大高度是多少?
我们可以借助函数图象解决这个问题,画出函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象,如图所示,可以看出这个函数的图象是一条抛物线的一部分.这条抛物线的顶点是这个函数图象的最高点,也就是说,当t取顶点的横坐标时,这个函数有最大值.
因此,当t=-=-=3时,h有最大值=45,也就是说,小球运动的时间是3s时,小球最高,小球运动中的最大高度是45 m.
一般地,当a>0(或a<0)时,抛物线y=ax2+bx+c的顶点是最低(或高)点,也就是说,当x=-时,二次函数y=ax2+bx+c有最小(或大)值.
二、新课教授
问题1.用总长为60 m的篱笆围成矩形场地,矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化.当l是多少时,场地面积S最大?
师生活动:
学生积极思考,找到等量关系式,并尝试解答.
教师巡视、指导,最后给出解答过程.
解:矩形场地的周长是60 m,一边长l,则另一边长为(-l),场地的面积S=l(30-l),即
S=-l2+30l(0<l<30).
因此,当l=-=-=15(m)时,S有最大值==225(m2).
即当l是15 m时,场地面积S最大,最大值是225 m2.
问题2.某商品现在的售价是每件60元,每星期可卖出300件,市场调查反映,如调整价格,每涨价1元,每星期要少卖出10件;每降价1元,每星期可多卖出20件.已知商品的进价为每件40元,如何定价才能使利润最大?
师生活动:
教师分析存在的问题,书写解答过程.
分析:调整价格包括涨价和降价两种情况.我们先来看涨价的情况.
设每件涨价x元,则每星期售出商品的利润y随之改变.我们先来确定y随x变化的函数关系式,涨价x元时,每星期少卖10x件,实际卖出(300-10x)元.销售额为(60+x)(300-10x)元,买进商品需付40(300-10x)元.因此,所得利润为
y=(60+x)(300-10x)-40(300-10x),(0≤x≤30)
即y=-10x2+100x+600
=-10(x2-10x)+600
=-10(x2-10x+25)+850
=-10(x-5)2+850(0≤x≤30)
所在,在涨价的情况下,涨价5元,即定价65元时,利润最大,最大为850元.
思考:在降价的情况下,最大利润是多少?
(降价2.5元,即定价57.5元时,利润最大,最大为6 125元.)
思考:由上面的讨论及现在的销售情况,你知道如何定价才能使利润最大了吗?
(在涨价的情况下,定价65元;在降价的情况下,定价57.5元.)
问题3:图中是抛物线形拱桥,当水面在l时,拱顶离水面2 m,水面宽4 m.若水面下降1 m,水面宽度增加多少?
师生活动:
学生完成解答.
教师分析存在的问题,书写解答过程.
分析:我们知道二次函数的图象是抛物线,建立适当的坐标系,就可以求出这条抛物线表示的二次函数.为解题简便,以抛物线的对称轴为y轴建立直角坐标系.
可设这条抛物线表示的二次函数为y=ax2.
由抛物线经过点(2,-2),可得
-2=a×22,解得a=-,
这条抛物线表示的二次函数为y=-x2.
水面下降1 m,水面所在位置的纵坐标为y=-3,代入上述表达式得x=±.
故水面下降1 m,水面宽度增加(2-4)m.
让学生回顾解题过程,讨论、交流、归纳解题步骤:
(1)先分析问题中的数量关系,列出函数关系式;
(2)研究自变量的取值范围;
(3)研究所得的函数;
(4)检验x的取值是否是自变量的取值范围内,并求相关的值;
(5)解决提出的实际问题.
学生尝试从前面四道题中找到解题规律.
教师补充学生回答中的不足,及时纠正.
三、巩固练习
1.已知二次函数y=(3+x)(1-2x),当x=时,函数有最值,为.
【答案】-大
2.二次函数y=x2-8x+c的最小值为0,那么c的值等于()
A.4
B.8
C.-4
D.16
【答案】D
3.沿墙用长32 m的竹篱笆围成一个矩形的护栏(三面),怎样围才能使矩形护栏面积最大?最大面积为多少?试画出所得函数的图象.
【答案】围成的矩形一边长为8 m、另一边长为16 m可使矩形护栏的面积最大,最大面积为128 m2.图象略.(注意自变量的取值范围)
4.某旅社有客房120间,每间客房的日租金为50元,每天都客满,旅社装修后要提高租金,经市场调查,如果一间客房的日租金增加5元,则客房每天出租会减少6间,不考虑其他因素,旅社将每间客房的日租金提高到多少元时,客房日租金的总收入最高?比装修前的日租金总收入增加多少元?
【答案】将每间客房的日租金提高到75元时,总收入最高,比装修前的日租金总收入增加750元.
5.某产品每件的成本价是120元,试销阶段,每件产品的销售价x (元)与产品的日销售量
并且日销售量y是每件售价x的一次函数.
(1)求y与x之间的函数关系式;
(2)为获得最大利润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每日销售的利润是多少?
【答案】(1)y=-x+200
(2)销售利润S=(-x+200)(x-120),当售价定为每件160元时,每日销售利润最大为1 600元.
四、课堂小结
1.得出用二次函数知识解决实际生活中的最值问题的一般步骤:
(1)列出二次函数的表达式,并根据自变量的实际意义确定自变量的取值范围;
(2)在自变量的取值范围内,运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.
2.解题循环图:
教学反思
本节课充分运用导学提纲,教师提前通过一系列问题的设置引导学生课前预习.在课堂上通过对一系列问题的解决与交流,让学生通过二次函数掌握解决面积最大、利润最大等这一类题的方法,学会用建模的思想去解决和函数有关的应用问题.
所以在例题的处理中适当地降低了难度,让学生的思维有一个拓展的空间.在训练的过程中,通过学生的独立思考与小组合作探究相结合,使学生的分析能力、表达能力及思维能力都得到训练和提高.同时也注重对解题方法与解题模式的归纳与总结,并适当地渗透转化、化归、数形结合等数学思想方法.
就整节课看,学生的积极性得以充分调动,特别是学困生,在独立思考和小组合作中改变
以往的配角地位,也能积极参与到课堂学习活动中.今后继续发扬从学生出发,从学生的需要
出发,把问题的难度降低,让学生在能力范围内掌握新知识,等有了足够的热身运动之后再去
拓展延伸.。