等差数列前n项和(第二课时)
等差数列前n项和的性质 课件(第2课时)
寻找等差数列前 n 项和与通项之间的关系，在比值上能否相互转 化.
(1)
65 12
(2)
8 13
[(1)
法
一
：
a5 b5
＝
2a5 2b5
＝
a1＋a9 b1＋b9
＝
92a1＋a9 92b1＋b9
＝
S9 T9
＝
7×9＋9＋3 2＝6152． 法二：设 Sn＝(7n＋2)nt，Tn＝(n＋3)nt， 则 a5＝S5－S4＝185t－120t＝65t，b5＝T5－T4＝40t－28t＝12t，
法四：设数列{an}的公差为 d，由于 Sn＝na1＋nn－2 1d， 则Snn＝a1＋d2(n－1)． ∴数列Snn是等差数列，其公差为d2． ∴1S01000－S1100＝(100－10)×d2， 且1S11100－1S01000＝(110－100)×d2． 代入已知数值，消去 d，可得 S110＝－110．
15 [由“片段和”的性质，S2，S4－S2，S6－S4 成等差数列，也 就是 4，5，S6－9 成等差数列，∴4＋(S6－9)＝2×5 解得 S6＝15．]
知识点 2 等差数列奇偶项和的性质 (1)设两个等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn，则abnn＝ S2n－1． T2n－1 (2)若等差数列{an}的项数为 2n，则 S2n＝n(an＋an＋1)， S 偶－S 奇＝nd，SS奇偶＝aan＋n 1．
类型 2 比值问题 【例 2】 (1)已知等差数列{an}，{bn}的前 n 项和分别为 Sn，Tn， 且TSnn＝7nn＋＋32，则ab55＝________． (2)已知 Sn，Tn 分别是等差数列{an}，{bn}的前 n 项和，且abnn＝ 2nn＋＋21，则TS1111＝________．
等差数列前n项和公式(二)
4.2.4 等差数列前n项和公式（二）
(1 + )
，Sn＝na1
2
1.通项公式：an＝a1＋（n－1）d，前n项和公式：sn＝
＋
(−பைடு நூலகம்)
d.
2
2.等差数列的通项公式和前n项和公式中共含有五个量：a1，an，n，d，
Sn，知道其中的三个量，可以通过解方程（组）求出另外的两个量.
3.已知数列{an}的前n项和公式是Sn＝n2＋n，求数列的通项公式.
当n≥2时，Sn－1＝（n－1）2＋（n－1）＝n2－n.
∴an＝Sn－Sn－1＝（n2＋n）－（n2－n）＝2n.
同时当n＝1时，a1＝S1＝2.∴当n∈N*时，an＝2n
亲爱的同学们，下节课见！
3
2
21
2
a2＝ ，a6＝ .∴S7＝
(1 +7 )·7
( + )·7
＝ 2 6 ＝
2
2
3 21
(2+ 2 )×7
2
＝42
2.要使等差数列32，29，26，…的前n项的和Sn取最大值，求n的值.
an＝a1＋（n－1）·d＝32＋（n－1）·（－3）＝35－3n≥0.
35
3
∴n≤ ∴当n＝11时，Sn取最大值
(1 + )·
(18+6)×
∵Sn＝
.∴48＝
.∴n＝4.
2
2
又∵an＝a1＋（n－1）·d.∴6＝18＋3d.∴d＝－4
3.计算100以内能被3整除的所有自然数的和.
(3+99)×33
3＋6＋9＋…＋99＝
＝1683
2
解答题
高中数学 第二章 数列 2.3 等差数列的前n项和 第2课时 等差数列的前n项和(习题课)达标检测(
等差数列的前n 项和A 级 基础巩固一、选择题1．一个等差数列共有2n ＋1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项为()A ．30B ．31C ．32D ．33解析：中间项为a n ＋1.S 奇＝（a 1＋a 2n ＋1）2·(n ＋1)＝(n ＋1)a n ＋1＝512. S 偶＝a 2＋a 2n 2·n ＝n ·a n ＋1＝480. 所以a n ＋1＝S 奇－S 偶＝512－480＝32.答案：C2．(多选)设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，则下列结论正确的是()A ．d <0B ．a 9＝0C ．S 11>S 7D ．S 8、S 9均为S n 的最大值解析：由S 7<S 8得a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 7<a 1＋a 2＋…＋a 7＋a 8，即a 8>0，又因为S 8＝S 9，所以a 1＋a 2＋…＋a 8＝a 1＋a 2＋…＋a 8＋a 9，所以a 9＝0，故B 项正确．同理由S 9>S 10，得a 10<0，因为d ＝a 10－a 9<0，故A 项正确．对C ，S 11>S 7，即a 8＋a 9＋a 10＋a 11>0，可得2(a 9＋a 10)>0，由结论a 9＝0，a 10<0，显然C 项是错误的．因为S 7<S 8，S 8＝S 9>S 10，所以S 8与S 9均为S n 的最大值，故D 项正确．答案：ABD3．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若S 3S 6＝13，则S 6S 12为()A.310B.13C.18D.19解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6，S 12－S 9，构成一个新的等差数列，令S 3＝1，S 6－S 3＝3－1＝2，所以S 9－S 6＝3，S 12－S 9＝4.所以S 12＝S 3＋(S 6－S 3)＋(S 9－S 6)＋(S 12－S 9)＝1＋2＋3＋4＝10.所以S 6S 12＝310. 答案：A4．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于()A ．15B ．35C ．66D ．100解析：易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n >0则2n －5>0，所以n ≥3.所以|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝－(a 1＋a 2)＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.答案：C5．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，则当S n 取最小值时，n ＝()A ．9B ．8C ．7D ．6解析：设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a 2＝－11，a 5＋a 9＝－2，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝－11，2a 1＋12d ＝－2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－13，d ＝2.所以a n ＝－15＋2n .由a n ＝－15＋2n ≤0，解得n ≤152. 又n 为正整数，所以当S n 取最小值时，n ＝7.答案：C二、填空题6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9＝________．解析：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)．因为S 3＝9，S 6－S 3＝27，所以S 9－S 6＝45，所以a 7＋a 8＋a 9＝S 9－S 6＝45.答案：457．(2019·全国卷Ⅲ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，a 1≠0，a 2＝3a 1，则S 10S 5＝________． 答案：48．若等差数列{a n }的前n 项和为S n (n ∈N *)，若a 2∶a 3＝5∶2，则S 3∶S 5＝________． 解析：S 3S 5＝3（a 1＋a 3）5（a 1＋a 5）＝3a 25a 3＝35×52＝32. 答案：3∶2三、解答题9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0.(1)求公差d 的X 围；(2)问前几项的和最大，并说明理由．解：(1)因为a 3＝12，所以a 1＝12－2d ，因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0， 所以－247＜d ＜－3. (2)因为S 12＞0，S 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0， 所以a 6＞0.又由(1)知d ＜0.所以数列前6项为正，从第7项起为负．所以数列前6项和最大．10．一个等差数列的前10项之和为100，前100项之和为10，求前110项之和． 解：法一 设等差数列{a n }的公差为d ，前n 项和为S n ，则S n ＝na 1＋n （n －1）2d .由已知得⎩⎪⎨⎪⎧10a 1＋10×92d ＝100，①100a 1＋100×992d ＝10，② ①×10－②，整理得d ＝－1150， 代入①，得a 1＝1 099100. 所以S 110＝110a 1＋110×1092d ＝110×1 099100＋110×1092×⎝ ⎛⎭⎪⎫－1150 ＝110×1 099－109×11100＝－110. 故此数列的前110项之和为－110. 法二 数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100为等差数列，设公差为d ′，则10S 10＋10×92×d ′＝S 100＝10， 因为S 10＝100，代入上式得d ′＝－22， 所以S 110－S 100＝S 10＋(11－1)×d ′＝100＋10×(－22)＝－120， 所以S 110＝－120＋S 100＝－110.法三 设等差数列{a n }的前n 项和S n ＝an 2＋bn . 因为S 10＝100，S 100＝10，所以⎩⎪⎨⎪⎧102a ＋10b ＝100，1002a ＋100b ＝10， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－11100，b ＝11110， 所以S n ＝－11100n 2＋11110n ， 所以S 110＝－11100×1102＋11110×110＝－110. B 级 能力提升1．(2019·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 4＝0，a 5＝5，则()A ．a n ＝2n －5B ．a n ＝3n －10C ．S n ＝2n 2－8nD ．S n ＝12n 2－2n 答案：A2．若数列{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 003＋a 2 004＞0，a 2 003· a 2 004＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是________．解析：由条件可知数列单调递减，故知 a 2 003＞0，a 2 004＜0，故S 4 006＝4 006（a 1＋a 4 006）2＝2 003·(a 2 003＋a 2 004)＞0， S 4 007＝4 007（a 1＋a 4 007）2＝4 007×a 2 004＜0， 故使前n 项和S n ＞0成立的最大自然数n 是4 006. 答案：4 0063．等差数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝10，a 2为整数，且S n ≤S 4.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝1a n a n ＋1，求数列{b n }的前n 项和T n .解：(1)由a 1＝10，a 2为整数知，等差数列{a n }的公差d 为整数． 因为S n ≤S 4，故a 4≥0，a 5≤0，于是10＋3d ≥0，10＋4d ≤0.解得－103≤d ≤－52. 因此d ＝－3.数列{a n }的通项公式为a n ＝13－3n .(2)b n ＝1（13－3n ）（10－3n ）＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ， 于是T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝13⎣⎢⎡⎝ ⎛⎭⎪⎫17－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14－17＋⎦⎥⎤…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫110－3n －113－3n ＝13(110－3n －110)＝n 10（10－3n ）.。
人教新课标版数学高二必修五2.3.2等差数列的前n项和(二)
等差数列的前n 项和(二)等差数列的内容内涵丰富，通项公式与前n 项和公式是其核心内容，我们对其进行合理整合、变形，可以得到诸多的性质，它们的应用使解题变得轻松愉悦，与常规方法相比较，过程要简捷得多.【性质1】 已知等差数列{a n }，m 、p 、q ∈N *，若存在实数λ使λλ++=1qp m (λ≠-1), 则λλ++=1q p m a a a .证明：由等差数列{a n }的通项公式a n =dn +a 1-d 的几何意义：点(p,a p )、(m,a m )、(q,a q )共线，由斜率公式得mq a a pm a a m q p m --=--，因为λλ++=1qp m ，所以λ=--q m m p . 所以λ(a m -a q )=a p -a m .所以(1+λ)a m =a p +λa q ，即λλ++=1q p m a a a .评析：特别地,当λ=1时，2a m =a p +a q ，我们不妨将性质1称为等差数列的定比分点公式.【性质2】 等差数列{a n }，n i ，m i ∈N *，i=1,2,3,…,k,若∑∑===ki ik i i mn 11.则∑∑===ki m ki ma a11.证明：设等差数列{a n }的公差为d .根据a n i =a mi +(n i -m i )d ，i=1,2,3,…,k,则∑∑∑∑∑======-+=k i mi k i k i k i i i mi ki nia d m n a a11111)(.所以∑∑===ki mi k i ni a a 11推论：等差数列{a n }，n i ，m ∈N *，i=1,2,3,…,k,若∑==k i i n km 1.则∑==ki n m i a ka 1.评析：本性质实质上是等差中项性质的推广.【性质3】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .n ，m ∈N *, 则d n m n S m S n m )(21-=-.证明:因为mn mS nS n S m S nm n m -=- =mnd n n na m d m m ma n ]2)1([]2)1([11-+--+=mndn mn mna d m mn mna 2)1(2)1(11----+=d mn mnmn mn n m 222+--=d mnmn n m 222- =d mn n m mn 2)(-=d n m )(21- 所以d n m n S m S n m )(21-=-.评析：实质上数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n S n 是公差为2d 的等差数列.【性质4】 等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .n ，m ∈N *,则S m+n =S m +S n +mnd . 证明：因为S m+n =S n +(a n +1+a n +2+…+a n +m ) =S n +(a 1+nd )+(a 2+nd )+…+(a m +nd ) =S n +(a 1+a 2+…+a m )+m nd=S m +S n +m nd ， 所以S m+n =S m +S n +mnd .【性质5】 等差数列{a n }前n 项和为S n ，若m=p+q(m 、p 、q ∈N *且p≠q),则有qp S S m S qp m --=. 证明：设等差数列{a n }的公差为d . 因为S p -S q =p a 1+21p(p-1)d -q a 1-21 q(q-1)d =(p-q)［a 1+21(p+q-1)d ］，所以d q p a q p S S qp )1(211-++=--.又因为d m a m S m )1(211-+=且m=p+q ，所以有qp S S m S qp m --=. 推论：等差数列{a n }前n 项和为S n ，若m+t=p+q(m 、t 、p 、q ∈N *且m≠t,p≠q),则qp S S t m S S q p t m --=--.【性质6】 等差数列{a n }前n 项和为S n . (1)当n =2k(k ∈N *)时，S 2k =k(a k +a k+1); (2)当n =2k-1(k ∈N *)时，S 2k-1=k a k .。
4。2.2等差数列的前n项和
4.2.2.1等差数列的前n 项和要点一 等差数列的前n 项和公式 设等差数列{a n }的公差为d ，则S n ＝11()(1)22n n a a n n na d +-=+ 【重点总结】(1)等差数列前n 项和公式的推导：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，倒序得S n ＝a n ＋a n －1＋…＋a 2＋a 1.相加得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)．由等差数列性质，得2S n ＝n(a 1＋a n )，∴S n ＝n (a 1＋a n )2.我们不妨将上面的推导方法称为倒序相加求和法. 今后，某些数列求和常常会用到这种方法．(2)在求等差数列前n 项和时，若已知a 1和a n 及项数n ，则使用S n ＝n (a 1＋a n )2；若已知首项a 1和公差d 及项数n ，则采用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 来求．要点二 等差数列前n 项和的主要性质 1．S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…成等差数列．2．若S 奇表示奇数项的和，S 偶表示偶数项的和，公差为d ，①当项数为偶数2n 时，S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝1n n aa+；②当项数为奇数2n －1时，S 奇－S 偶＝n a ，S 奇S 偶＝1n n -.S 2n －1＝（2n -1）a n . 【重点总结】关于奇数项的和与偶数项的和的问题，要根据项数来分析，当项数为奇数或偶数时，S 奇与S偶的关系是不相同的．【基础自测】1．判断正误(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)数列的前n 项和就是指从数列的第1项a 1起，一直到第n 项a n 所有项的和．( ) (2)数列{a n }为等差数列，S n 为前n 项和，则S 2，S 4，S 6成等差数列．( ) (3)在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，则有S 2n －1＝(2n －1)a n .( ) (4)在等差数列{a n }中，当项数m 为偶数2n 时，则S 偶－S 奇＝a n ＋1.( ) 【答案】（1）√（2）×（3）√（4）×2．在等差数列{a n }中，已知a 1＝2，a 9＝10，则S 9等于( ) A ．45 B ．52 C ．108 D ．54 【答案】D【解析】S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9×122＝54.故选D.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则S 12＝( ) A ．28 B ．32 C ．36 D ．40 【答案】C【解析】∵数列{a n }为等差数列， ∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等差数列，∴2(S 8－S 4)＝S 4＋S 12－S 8，解得：S 12＝36.4．已知数列{a n }是等差数列，且a 3＋a 9＝4，那么数列{a n }的前11项和等于________. 【答案】22【解析】∵数列{a n }为等差数列，∴a 3＋a 9＝a 1＋a 11＝4.∴S 11＝11(a 1＋a 11)2＝112×4＝22.题型一 等差数列前n 项和的基本运算【例1】在等差数列{a n }中，(1)已知a 1＝56，a n ＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)已知a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d .(3)已知d ＝2，a n ＝11，S n ＝35，求a 1和n .【解析】(1)由题意得，S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ⎝⎛⎭⎫56－322＝－5，解得n ＝15.又a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.∴n ＝15，d ＝－16.(2)由已知得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2＝172，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5. ∴a 8＝39，d ＝5.(3)∵a n ＝11，d ＝2，S n ＝35，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋(n －1)×2＝11na 1＋n (n －1)2×2＝35解得n ＝5，a 1＝3或n ＝7，a 1＝－1. 【方法归纳】a 1，d ，n 称为等差数列的三个基本量，a n 和S n 都可以用这三个基本量来表示，五个量a 1，d ，n ，a n ，S n 中可知三求二，一般通过通项公式和前n 项和公式联立方程组求解，在求解过程中要注意整体思想的运用．【跟踪训练】在等差数列{a n }中，(1)a 1＝32，d ＝－12，S m ＝－15，求m 及a m ；(2)a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 10. (3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.【解析】(1)∵S m ＝m ×32＋m (m －1)2×⎝⎛⎭⎫－12＝－15，整理得m 2－7m －60＝0解得m ＝12或m ＝－5(舍去)∴a m ＝a 12＝32＋(12－1)×⎝⎛⎭⎫－12＝－4. (2)⎩⎪⎨⎪⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝5，a 6＝a 1＋5d ＝10，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－5，d ＝3.∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16，S 10＝10a 1＋10×92d ＝10×(－5)＋5×9×3＝85.(3)S 17＝17×(a 1＋a 17)2＝17×(a 3＋a 15)2＝17×402＝340.题型二 等差数列前n 项和性质的应用【例2】(1)等差数列前3项的和为30，前6项的和为100，则它的前9项的和为( ) A ．130 B ．170 C ．210 D ．260 【答案】C【解析】利用等差数列的性质：S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列． 所以S 3＋(S 9－S 6)＝2(S 6－S 3)，即30＋(S 9－100)＝2(100－30)，解得S 9＝210.(2)已知{a n }，{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ，T n ，且S n T n ＝2n ＋2n ＋3，则a 5b 5＝________.【答案】53【解析】由等差数列的性质，知a 5b 5＝a 1＋a 92b 1＋b 92＝a 1＋a 92×9b 1＋b 92×9＝S 9T 9＝2×9＋29＋3＝53. (3)已知等差数列{a n }前n 项和为S n ，S 4＝40，S n ＝210，S n －4＝130，则n ＝________. 【答案】14【解析】 S n －S n －4＝a n －3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝80， S 4＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝40.两式相加得4(a 1＋a n )＝120，∴a 1＋a n ＝30，又S n ＝n (a 1＋a n )2＝15n ＝210，∴n ＝14.【笔记小结】(1)中S 3，S 6－S 3，S 9－S 6也成等差数列． (2)中a 5b 5＝qa 5qb 5＝S 9T 9.(3)中S n －S n －4为末4项和，S 4为前4项和，倒序相加可得 4(a 1＋a n )． 【方法归纳】等差数列前n 项和的常用性质(1)S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n ，…是等差数列．(2)数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列，公差为数列{a n }的公差的12.(3)涉及两个等差数列的前n 项和之比时，一般利用公式a m b n ＝2n －12m －1·S 2m －1T 2n －1进行转化，再利用其他知识解决问题．(4)用公式S n ＝n (a 1＋a n )2时常与等差数列的性质a 1＋a n ＝a 2＋a n －1＝a 3＋a n －2＝…相结合．【跟踪训练2】设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 4＝8，S 8＝20，则a 11＋a 12＋a 13＋a 14等于( ) A ．18 B ．17 C ．16 D ．15 【答案】A【解析】设{a n }的公差为d ，则a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝S 8－S 4＝12，(a 5＋a 6＋a 7＋a 8)－S 4＝16d ，解得d ＝14，a 11＋a 12＋a 13＋a 14＝S 4＋40d ＝18.故选A.(2)已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若对于任意的自然数n ，都有S n T n ＝2n －34n －3，则a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝( )A.1941B.1737C.715D.2041 【答案】A【解析】a 3＋a 152(b 3＋b 9)＋a 3b 2＋b 10＝a 9b 3＋b 9＋a 3b 2＋b 10＝a 9＋a 3b 2＋b 10＝a 1＋a 11b 1＋b 11＝S 11T 11＝22－344－3＝1941.故选A.(3)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________.【解析】(3)方法一：因为S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，…，S 100－S 90，S 110－S 100成等差数列，设公差为d ，前10项的和为：10×100＋10×92d ＝10，所以d ＝－22，所以前11项的和S 110＝11×100＋11×102d ＝11×100＋11×102×(－22)＝－110.方法二：设等差数列{a n }的公差为d ， 则S n n ＝d 2(n －1)＋a 1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 成等差数列． 所以S 100100－S 1010100－10＝S 110110－S 100100110－100，即10100－10010100－10＝S 110110－1010010，所以S 110＝－110.方法三：设等差数列{a n }的公差为d ，S 110＝a 1＋a 2＋…＋a 10＋a 11＋a 12＋…＋a 110＝(a 1＋a 2＋…＋a 10)＋[(a 1＋10d )＋(a 2＋10d )＋…＋(a 100＋10d )]＝S 10＋S 100＋100×10d ，又S 100－10S 10＝100×992d －100×92d ＝10－10×100，即100d ＝－22，所以S 110＝－110. 题型三 求数列{|a n |}的前n 项和【例3】在等差数列{a n }中，a 1＝－60，a 17＝－12，求数列{|a n |}的前n 项和． 【解析】等差数列{a n }的公差 d ＝a 17－a 117－1＝－12－(－60)16＝3，∵a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－60＋3(n －1)＝3n －63， 令a n <0，即3n －63<0，则n <21.∴等差数列{a n }的前20项是负数，第20项以后的项是非负数，设S n 和S ′n 分别表示数列{a n }和{|a n |}的前n 项和．当n ≤20时，S ′n ＝－S n ＝－⎣⎡⎦⎤－60n ＋3n (n －1)2＝－32n 2＋1232n ；当n >20时，S ′n ＝－S 20＋(S n －S 20)＝S n －2S 20＝－60n ＋3n (n －1)2－2×⎝⎛⎭⎫－60×20＋20×192×3＝32n 2－1232n ＋1 260， ∴数列{|a n |}的前n 项和为S ′n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋1232n ，n ≤20，32n 2－1232n ＋1 260，n >20.【方法归纳】已知{a n }为等差数列，求数列{|a n |}的前n 项和的步骤 第一步，解不等式a n ≥0(或a n ≤0)寻找{a n }的正负项分界点．第二步，求和：①若a n 各项均为正数(或均为负数)，则{|a n |}各项的和等于{a n }的各项的和(或其相反数)；②若a 1>0，d <0(或a 1<0，d >0)，这时数列{a n }只有前面有限项为正数(或负数)，可分段求和再相加． 【跟踪训练3】已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .【解析】a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n － ⎣⎡⎦⎤－32(n －1)2＋2052(n －1)＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式，∴数列{a n }的通项公式为a n ＝－3n ＋104(n ∈N *)． 由a n ＝－3n ＋104≥0，得n ≤34.7. 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0.①当n ≤34时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n ；②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2S 34－S n ＝2⎝⎛⎭⎫－32×342＋2052×34－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3 502. 故T n ＝⎩⎨⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34且n ∈N *，32n 2－2052n ＋3 502，n ≥35且n ∈N *.【易错辨析】混淆等差数列的性质致误【例4】已知等差数列{a n }的前n 项之和记为S n ，S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 【答案】120【解析】由题意知⎩⎨⎧10a 1＋10×92d ＝1030a 1＋30×292d ＝70得⎩⎨⎧a 1＝25，d ＝215.所以S 40＝40×25＋40×392×215＝120.【易错警示】 1. 出错原因将等差数列中S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列误认为S m ，S 2m ，S 3m 成等差数列. 2. 纠错心得本题可用等差数列的性质：S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等差数列求解；还可以由S 10＝10，S 30＝70联立方程组解得a 1和d ，再求S 40.一、单选题1．已知等差数列{}n a 的前n 项和为18，若21S =，13n n a a -+=，则n 的值为（ ）A ．9B ．18C ．27D ．36【答案】B 【分析】由已知得()121124n n n a a a a a a -+++=+=，得12n a a +=，再由等差数列求和公式可求得答案. 【解析】解：∵等差数列{}n a 的前n 项和为18，21S =，13n n a a -+=，∵121a a +=， ∵()121124n n n a a a a a a -+++=+=，解得12n a a +=， 又()1182n n n a a S +==，∵2182n ⨯=，∵18n =.故选：B.2．已知在等比数列{}n a 中，3544a a a =，等差数列{}n b 的前n 项和为n S ，且74b a =，则13S =（ ） A ．26 B ．52 C ．78 D ．104【答案】B 【分析】利用等比中项的性质可求得4a 的值，即为7b 的值，再利用等差数列的求和公式可求得13S 的值. 【解析】因为在等比数列{}n a 中，3544a a a =，可得2444a a =，40a ≠，解得44a =，又因为数列{}n b 是等差数列，744b a ==，则()13113711313134522S b b b =⨯+==⨯=.故选：B.3．已知数列{}n a 的各项均不为零，1a a =，它的前n 项和为n S ．且n a1n a +（*N n ∈）成等比数列，记1231111n nT S S S S =+++⋅⋅⋅+，则（ ） A ．当1a =时，202240442023T < B ．当1a =时，202240442023T > C ．当3a =时，202210111012T > D ．当3a =时，202210111012T <【答案】C 【分析】结合等比性质处理得22n n a a +-=，再分1a =和3a =分类讨论，1a =时较为简单，结合裂项法直接求解，当3a =时，放缩后再采用裂项即可求解.【解析】由n a1n a +成等比数列可得，12n n n S a a +=⋅①，也即1122n n n S a a +++=⋅②，②-①得()1122n n n n a a a a +++=-，因为0n a ≠，所以，22n n a a +-=，即数列的奇数项成等差数列，偶数项成等差数列，当1a a =时，1122a a a =⋅，即22a =，对A 、B ，当1a =时，12341,2,3,4,n a a a a a n =====，此时数列为等差数列，前n 项和为()12n n n S +=，()1211211n S n n n n ⎛⎫==- ⎪++⎝⎭， 故12311111111112121223+11n n T S S S S n n n ⎛⎫⎛⎫=+++⋅⋅⋅+=-+-+-=- ⎪ ⎪+⎝⎭⎝⎭， 当2022n =时，2022140442120232023T ⎛⎫=-=⎪⎝⎭，故A 、B 错误； 对C 、D ，当3a =时，1352021202113,5,7,3+220232a a a a -====⨯=， 2420222,4,,2022a a a ===,当n 为偶数时，232n n nS +=， 当n 为奇数时，()()()2213132122n n n n n S n +++++=-+=， 所以()()12,2n n n S n N *++≤∈,()()121121212n S n n n n ⎛⎫≥=- ⎪++++⎝⎭, 此时202212320221111T S S S S =+++⋅⋅⋅+ 111111110112123342023202410121012⎛⎫>-+-++-=-= ⎪⎝⎭，故C 正确，D 错误. 故选：C4．数列{}n a 中，12a =，且112n n n n n a a a a --+=+-（2n ≥），则数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为（ ） A ．20211010B ．20211011C ．20191010D ．40402021【答案】B 【分析】由已知可得221(1)(1)n n a a n ----=，从而得221(1)(1)(1)2n a a n n ---=+-+⋅⋅⋅+，再由12a =得2(1)(1)2n n n a +-=，所以212112(1)(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，然后利用裂项相消求和法可求得结果【解析】因为112n n n n na a a a --+=+-（2n ≥），所以22112()n n n n a a a a n -----=，整理得，221(1)(1)n n a a n ----=，所以221(1)(1)(1)2n a a n n ---=+-+⋅⋅⋅+，因为12a =，所以2(1)(1)2n n n a +-=， 所以212112(1)(1)1n a n n n n ⎛⎫==- ⎪-++⎝⎭，所以数列()211n a ⎧⎫⎪⎪⎨⎬-⎪⎪⎩⎭前2021项和为2021111111202121212232021202220221011S ⎛⎫⎛⎫=-+-+⋅⋅⋅+-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 故选：B5．有一个三人报数游戏：首先甲报数字1，然后乙报两个数字2、3，接下来丙报三个数字4、5、6，然后轮到甲报四个数字7、8、9、10，依次循环，则甲报出的第2028个数字为（ ） A ．5986 B ．5987 C ．5988 D ．以上都不对【答案】C 【分析】首先分析出甲第n 次报数的个数，得到甲第n 次报完数后总共报数的个数，计算出甲是第0n 次报数中会报到第2020个数字，再计算当甲第0n 次报数时，3人总的报数次数m ， 再推算出此时报数的最后一个数m S ，再推出甲报出的第2028个数字. 【解析】由题可得甲第n *()n N ∈次报数的个数为32n -， 则甲第n 次报完数后总共报数的个数为[1(32)](31)22n n n n n T +--==，再代入正整数n ，使2020,n T n ≥的最小值为37，得372035T =， 而甲第37次报时，3人总共报数为3631109⨯+=次， 当甲第109次报完数3人总的报数个数为109(1091)12310959952m S +=++++==， 即甲报出的第2035个数字为5995， 所以甲报出的第2028个数字为5988. 故选：C.6．已知数列{}n a 满足()112nn n a a n +=-+，*n N ∈，则10S =（ ）A ．32B ．50C ．72D ．90【答案】B 【分析】由递推关系式，求得12a a +，34a a +，56a a +，78a a +，910a a +，然后相加可得10S ． 【解析】由已知212a a =-+，122a a +=，436a a =-+，346a a +=，同理5610a a +=，7814a a +=，91018a a +=， 所以102610141850S =++++=． 故选：B ．7．庑殿是古代传统建筑中的一种屋顶形式，其可近似看作由两个全等的等腰梯形和两个全等的等腰三角形组成，如图所示.若在等腰梯形与等腰三角形侧面中需铺瓦6层，等腰梯形中下一层铺的瓦数比上一层铺的瓦数多2,等腰三角形中下一层铺的瓦数是上一层铺的瓦数的2倍.两个等腰梯形与两个等腰三角形侧面同一层全部铺上瓦，其瓦数视作同一层的总瓦数.若顶层需铺瓦82块，整个屋顶需铺瓦666块，则最底层需铺瓦块数为（ ）A ．82B ．114C ．164D ．228【答案】C 【分析】由题意得等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{}n a ，等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{}n b ，故得到()()11611282,1265262666,212a b b a ⎧+=⎪⎪⎡⎤-⨯⎨⎢⎥+⨯+=⎪-⎢⎥⎪⎣⎦⎩，进而可求得两个数列的通项公式，再分别求每个数列的第6项，()()56622502164a b +=+=可得到最终结果.【解析】由题意等腰梯形中铺的瓦数自上而下构成一个公差为2的等差数列{}n a ， 等腰三角形中铺的瓦数自上而下构成一个公比为2的等比数列{}n b ， 由条件可知，()()11611282,1265262666,212a b b a ⎧+=⎪⎪⎡⎤-⨯⎨⎢⎥+⨯+=⎪-⎢⎥⎪⎣⎦⎩解之得1140,1ab ==，所以()14021238,2n n n a n n b -=+-=+=，所以()()56622502164a b +=+=，故最底层需铺瓦块数为164，故选：C.8．设数列{}n a 和{}n b 的前n 项和分别为n S ，n T ，已知数列{}n b 的等差数列，且2n n na nb a +=，33a =，4511b b +=，则n n S T +=（ ） A ．22n n - B ．22n n -C ．22n n +D ．22n n +【答案】D 【分析】设等差数列{}n b 的公差为d ，进而根据等差数列的通项公式计算得121b d =⎧⎨=⎩，故1n b n =+，n a n =，再根据等差数列前n 项和公式求解即可。
等差数列的前n项和公式课件(第二课时)-高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册
(2) 二次函数法
在等差数列{an}中，由于 Sn＝na1＋n(n2－1) d＝d2 n2＋a1－d2 n，则可用求二次 函数最值的方法来求前 n 项和 Sn 的最值，其中，n 的值可由 n∈N*及二次函数图
Sn
13n
1 2
n(n
1) (2)
n2 14n
(n 7)2 49
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法2: 由S3=S11, 得d=－2<0 则Sn的图象如下图所示
Sn
3 7 11 n
∴图象的对称轴为 n 3 11 7 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
1.已知等差数列{an}中, a1=13且S3=S11, 求n取何值时, Sn取最大值.
解法3: 由S3=S11, 得d=－2<0
∴an=13+(n-1) ×(-2)=－2n+15
由
an an1
0
0
,
得
n n
15 2 13 2
故当n=7时, Sn取最大值49.
解法4: 由S3=S11, 得
a4+a5+a6+……+a11=0
而 a4+a11=a5+a10=a6+a9=a7+a8
∵n N*,∴1 n 30. ∴集合M的元素是由1至59共30个奇数组成.
∴这些元素的和为30(1 59) 900. 2
课本P24
*5.已知数列{an }的通项公式为an
高二第一学期数学选择性必修二导学案(等差数列的前n项和公式第2课时)教师版
4.2.2 等差数列的前n项和公式（第二课时）【学习目标】（1）能熟练处理与等差数列的相关量之间的关系；（2）用函数的思想解决数列的最大（小）项、和的最大（小）值问题；（3）会利用等差数列的性质灵活解决与之相关的问题.【知识复习】1、等差数列的通项公式：a n=a1+(n−1)d2、等差数列前n项和的公式：S n=n(a1+a n)2S n=na1+n(n−1)2d【例题精讲】例1(课本例8)（实际应用）某校新建一个报告厅，要求容纳800个座位，报告厅共有20排座位，从第2排起后一排都比前一排多2个座位. 问第1排应安排多少个座位.跟踪训练11、某市一家商场的新年最高促销奖设立了两种领奖方式：第一种，获奖者可以选择2000元的奖金；第二种，从12月20日到第二年的1月1日，每天道商场领取奖品，第1天领取的奖品价值为100元，第2天为110元，以后逐天增加10元。
你认为哪种领奖方式获奖者受益更多？2、虎甲虫以爬行速度闻名，下表记录了一只虎甲虫连续爬行n s（n=1,2,…,100）时爬行的距离.（1）你能建立一个数列模型，近似地表示这只虎甲虫连续爬行的距离与时间之间的关系吗？（2）利用建立的模型计算，这只虎甲虫连续爬行1 min能爬多远（精确到0.01m）？它连续爬行10m 需要多长时间（精确到0.1s ）?例2（研究等差数列前n 项和公式的性质）探究：如果数列{a n }的前n 项和为S n =pn 2+qn +r ，其中p,q,r 为常数，且p ≠0，那么这个数列一定是等差数列吗？若是，则它的首项与公差分别是什么？证：当n≥2时，a n =S n -S n-1=pn 2+qn+r-p(n-1)2-q(n-1)-r=2pn-p+q 当n=1时，a 1=S 1=p+q+r当r ≠0时，a 1不满足a n =2pn-p+q ，此时数列不是等差数列. 当且仅当r =0时，a 1满足a n =2pn-p+q ，此时该数列是等差数列.故只有当r=0时该数列才是等差数列, 其中首项a 1=p+q, 公差d=2p(p≠0).跟踪训练2-1已知数列{a n }的n 项和为S n =14n 2+23n +3 ,求数列{a n }的通项公式.解：当n ≥2时，a n =S n −S n−1=14n 2+23n +3−[14(n −1)2+23(n −1)+3]=12n +512当n =1时，a 1=S 1=14+23+3=4712，不满足上式故数列{a n }的通项公式为a n ={4712,n =112n +512,n ≥2证明：∵S n =na 1+n (n−1)2d =d 2n 2+(a 1−d2)n∴S n n =d 2n +(a 1−d2) ∴S n n −S n−1n −1=d 2n +(a 1−d 2)−[d 2(n −1)+(a 1−d 2)]=d2故{Snn }是公差为d2的等差数列.跟踪训练2-2 已知S n是等差数列{a n}的前n项和.}是等差数列；（1）证明：{S nn}的前n项和，若S4=12,S8=40，求T n.（2）设T n为数列{S nn证明：∵S m=a1+a2+⋯+a m∴S2m−S m=a m+1+a m+2+⋯+a2m=(a1+a2+⋯+a m)+m2d S3m−S2m=a2m+1+a2m+2+⋯+a3m=(a m+1+a m+2+⋯+a2m)+m2d ∴(S2m−S m)−S m=(S3m−S2m)−(S2m−S m)=m2d∴S m,S2m−S m,S3m−S2m构成等差数列，公差为m2d.跟踪训练2-31.已知等差数列{a n}的n项和为S n,且S10＝310,S20＝1220，求S30.解：∵数列{a n}为等差数列，∴S10，S20－S10，S30－S20也成等差数列，∴2(S20－S10)＝S10＋S30－S20，即2×(1 220－310)＝310＋S30－1 220，∴S30＝2 730.证明：a mb n=2a m 2b n=a 1+a 2m−1b 1+b 2n−1=(2m−1)(a 1+a 2m−1)212m−1(2n−1)(b 1+b 2n−1)212n−1=(2n−1)S 2m−1(2m−1)T 2n−1跟踪训练2-41.已知{a n },{b n }均为等差数列，其前n 项和分别为S n ,T n ，且S n T n=2n+2n+3，则a 5b 5＝__53__.2、设等差数列{b n }的前n 项和为T n . 若a n b n=5n+2n+3，则 S5T5=__176__；证明： S 2n =2n (a 1+a 2n )2=n (a 1+a 2n )=n (a n +a n+1)，S 偶−S 奇=(a 2−a 1)+(a 4−a 3)+⋯+(a 2n −a 2n−1)=ndS 偶S 奇=n (a 2+a 2n )2n (a 1+a 2n−1)2=a 2+a 2n a 1+a 2n−1=2a n+12a n =a n+1a n.跟踪训练2-51.一个等差数列的前12项和为354，前12项中偶数项和与奇数项和之比为32∶27，则公差d =______.解：由条件{S 奇+S 偶=354S 偶S 奇=3227) ，解得{S 偶=192S 奇=162)∴ 由S 偶−S 奇=6d 得 d =5证明：S 2n+1=(2n+1)(a 1+a 2n+1)2=(2n+1)2a n+12=(2n +1)a n+1S 奇−S 偶=a 1+(a 3−a 2)+(a 5−a 4)+⋯+(a 2n+1−a 2n )=a 1+nd =a n+1S 偶S 奇=n (a 2+a 2n )2(n +1)(a 1+a 2n+1)2=n (a 2+a 2n )(n +1)(a 1+a 2n+1)=n n +1.跟踪训练2-61、项数为奇数的等差数列{a n }，奇数项之和为44，偶数项之和为33，求这个数列的中间项及项数．解：设等差数列{a n }共有(2n ＋1)项，则奇数项有(n ＋1)项，偶数项有n 项，中间项是第(n ＋1)项，即a n ＋1，∴S 奇S 偶＝12(a 1＋a 2n ＋1)(n ＋1)12(a 2＋a 2n )n ＝(n ＋1)a n ＋1na n ＋1＝n ＋1n ＝4433＝43，解得n ＝3.∵S 奇＝(n ＋1)a n ＋1＝44，∴a n ＋1＝11.∴这个数列的中间项为11，共有2n ＋1＝7(项)．例3（课本例9）已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1=10，公差d =−2，则S n 是否存在最大值？若存在，求S n 的最大值及取得最大值时n 的值；若不存在，请说明理由.【总结】求等差数列{a n }的前n 项和S n 的最值的方法 1.前n 项和公式法利用S n =An 2+Bn 进行配方，求二次函数的最值，此时n 应取最接近−B 2A的正整数值；2.通项公式法利用等差数列的增减性及a n 的符号变化(1)当a 1>0,d <0时，数列前面有若干项为正, 此时所有正项的和为S n 的最大值. 此时由a n ≥0且a n+1≤0求n 的值；(2)当a 1<0,d >0时，数列前面有若干项为负, 此时所有负项的和为S n 的最小值. 此时由a n ≤0 且a n+1≥ 0求n 的值；注意：当数列的项中有数值为0时，n应有两解.跟踪训练31、已知等差数列-4.2，-3.7，-3.2，…的前n项和为S n，S n是否存在最大（小）值？如果存在，求出取得最值时n的值.，前n项和为S n. 求S n取得最小值时n的值.2、已知数列{a n}的通项公式为a n=n−22n−15【课后作业】（1）《把关题》第6-7页；（2）《把关题》第8-9页.【板书设计】一、选择题1.已知数列{a n }满足a n ＝26－2n ，则使其前n 项和S n 取最大值的n 的值为( ) A.11或12 B.12 C.13D.12或13答案 D 解析 ∵a n ＝26－2n ，∴a n －a n －1＝－2， ∴数列{a n }为等差数列.又a 1＝24，d ＝－2，∴S n ＝24n ＋n （n －1）2×(－2)＝－n 2＋25n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －2522＋6254.∵n ∈N *，∴当n ＝12或13时，S n 最大.2.若数列{a n }满足：a 1＝19，a n ＋1＝a n －3(n ∈N *)，则数列{a n }的前n 项和最大时，n 的值为( ) A.6 B.7 C.8D.9答案 B 解析 因为a n ＋1－a n ＝－3，所以数列{a n }是以19为首项，－3为公差的等差数列，所以a n ＝19＋(n －1)×(－3)＝22－3n .设前k 项和最大，则有⎩⎨⎧a k ≥0，a k ＋1≤0，所以⎩⎨⎧22－3k ≥0，22－3（k ＋1）≤0，即193≤k ≤223. 因为k ∈N *，所以k ＝7.故满足条件的n 的值为7.3.在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述：今有良马与驽马发长安至齐，齐去长安四百二十里，良马初日行九十七里，日增一十五里；驽马初日行九十二里，日减一里；良马先至齐，复还迎驽马，二马相逢.问：几日相逢？( ) A.4日 B.3日 C.5日D.6日答案 A 解析 由题意，可知良马第n 日行程记为a n ，则数列{a n }是首项为97，公差为15的等差数列，驽马第n 日行程记为b n ，则数列{b n }是首项为92，公差为－1的等差数列，则a n ＝97＋15(n －1)＝15n ＋82，b n ＝92－(n －1)＝93－n .因为数列{a n }的前n 项和为n （97＋15n ＋82）2＝n （179＋15n ）2，数列{b n }的前n 项和为n （92＋93－n ）2＝n （185－n ）2，∴n （179＋15n ）2＋n （185－n ）2＝840，整理得14n 2＋364n －1 680＝0，即n 2＋26n －120＝0，解得n ＝4(n ＝－30舍去)，即4日相逢.4.若在数列{a n }中，a n ＝43－3n ，则当S n 取最大值时，n ＝( ) A.13 B.14 C.15D.14或15答案 B 解析 ∵数列{a n }中，a n ＝43－3n ，∴a 1＝40，∴S n ＝n （40＋43－3n ）2是关于n 的二次函数，函数图象是开口向下的抛物线上的一些横坐标为正整数的点，对称轴为n ＝836，又n 为正整数，与836最接近的一个正整数为14，故S n 取得最大值时，n ＝14.故选B.5.《算法统宗》是中国古代数学名著，由明代数学家程大位编著，它对我国民间普及珠算和数学知识起到了很大的作用.在这部著作中，许多数学问题都是以歌诀形式呈现的，“九儿问甲歌”就是其中一首：一个公公九个儿，若问生年总不知，自长排来差三岁，共年二百又零七，借问长儿多少岁，各儿岁数要详推.在这个问题中，记这位公公的第n 个儿子的年龄为a n ，则a 1＝( ) A.35 B.32 C.23D.38答案 A 解析 由题意可知，九个儿子的年龄成公差d ＝－3的等差数列，且九项之和为207.故S 9＝9a 1＋9×82d ＝9a 1－108＝207，解得a 1＝35. 二、填空题6.在等差数列{a n }中，a 1＝7，公差为d ，前n 项和为S n ，当且仅当n ＝8时，S n 取得最大值，则公差d 的取值范围是________. 答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－1，－78解析由题意，当且仅当n ＝8时，S n 有最大值，可知⎩⎨⎧d <0，a 8>0，a 9<0，即⎩⎨⎧d <0，7＋7d >0，7＋8d <0，解得－1<d <－78. 7.若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，数列{a n }的前n 项和最大.答案 8解析 ∵a 7＋a 8＋a 9＝3a 8>0，∴a 8>0. ∵a 7＋a 10＝a 8＋a 9<0，∴a 8>0，a 9<0. 故前8项的和最大.8.已知正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝40，则a 3·a 8的最大值为________. 答案 16解析 ∵正项等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S 10＝10（a 3＋a 8）2＝40，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 3>0，a 8>0，a 3＋a 8＝40×210＝8，∴a 3·a 8＝a 3(8－a 3)＝－a 23＋8a 3＝－(a 3－4)2＋16≤16.当且仅当a 3＝4时取等号. 三、解答题9.设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 3＝12，且S 12＞0，S 13＜0. (1)求公差d 的取值范围；(2)问前几项的和最大？并说明理由. 解 (1)∵a 3＝12，∴a 1＝12－2d .∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧12a 1＋66d ＞0，13a 1＋78d ＜0，即⎩⎨⎧24＋7d ＞0，3＋d ＜0，∴－247＜d ＜－3.即d 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－247，－3.(2)∵S 12＞0，S 13＜0，∴⎩⎨⎧a 1＋a 12＞0，a 1＋a 13＜0，∴⎩⎨⎧a 6＋a 7＞0，a 7＜0，∴a 6＞0，又由(1)知d ＜0. ∴数列前6项为正，从第7项起为负.∴数列前6项和最大.10.流行性感冒(简称流感)是由流感病毒引起的急性呼吸道传染病.某市去年11月份曾发生流感.据统计，11月1日该市新的流感病毒感染者有20人，此后，每天的新感染者平均比前一天的新感染者增加50人，由于该市医疗部门采取措施，使该种病毒的传播得到控制，从某天起，每天的新感染者平均比前一天的新感染者减少30人.到11月30日止，该市在这30日内感染该病毒的患者总共8 670人，问11月几日，该市感染此病毒的新患者人数最多？并求这一天的新患者人数.解 设第n 天新患者人数最多，则从第n ＋1天起该市医疗部门采取措施，于是，前n 天流感病毒感染者总人数构成一个首项为20，公差为50的等差数列的n 项和，S n ＝20n ＋n （n －1）2×50＝25n 2－5n (1≤n ≤30，n ∈N )，而后30－n 天的流感病毒感染者总人数，构成一个首项为20＋(n －1)×50－30＝50n －60，公差为－30，项数为30－n 的等差数列.其和T n ＝(30－n )·(50n －60)＋（30－n ）（29－n ）2×(－30)＝－65n 2＋2 445n －14 850.依题设构建方程有S n ＋T n ＝8 670，即25n 2－5n ＋(－65n 2＋2 445n －14 850)＝8 670.化简，得n 2－61n ＋588＝0，解得n ＝12或n ＝49(舍去)，第12天的新患者人数为20＋(12－1)×50＝570(人).故11月12日，该市感染此病毒的新患者人数最多，这一天的新患者人数为570人.11.《张邱建算经》是中国古代数学史上的杰作，该书中有首民谣记载了一数列问题：“南山一棵竹，竹尾风割断，剩下三十节，一节一个圈.头节高五寸①，头圈一尺三②，逐节多三分③，逐圈少分三④.一蚁往上爬，遇圈则绕圈.爬到竹子顶，行程是多远？”(注释：①第一节的高度为0.5尺；②第一圈的周长为1.3尺； ③每节比其下面的一节多0.03尺；④每圈周长比其下面的一圈少0.013尺) 问：此民谣提出的问题的答案是( ) A.61.395尺 B.61.905尺 C.72.705尺D.73.995尺答案 A 解析 设从地面往上，每节竹长为a 1，a 2，a 3，…，a 30，∵每节竹节间的长相差0.03尺，∴{a n }是以a 1＝0.5为首项，以d ′＝0.03为公差的等差数列.由题意知竹节上一圈比下一圈细0.013尺，设从地面往上，每圈周长为b 1，b 2，b 3，…，b 30，可得{b n }是以b 1＝1.3为首项，d ＝－0.013为公差的等差数列.∴一蚂蚁往上爬，遇圈则绕圈，爬到竹子顶，行程S 30＝(a 1＋a 2＋…＋a 30)＋(b 1＋b 2＋…＋b 30)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫30×0.5＋30×292×0.03＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤30×1.3＋30×292×（－0.013）＝61.395，故选A. 12.已知{a n }是等差数列，首项为a 1，其公差d <0，前n 项和为S n ，设数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前n 项和为T n .(1)若a 1＝－4d ，则当n ＝________时，T n 有最大值；(2)若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则a 1d 的取值范围是________.答案 8或9 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－3，－52解析 易知S n n ＝d 2n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2， 若a 1＝－4d ，则S n n ＝d 2n －92d ，由⎩⎪⎨⎪⎧S n n ≥0，S n ＋1n ＋1≤0，解得8≤n ≤9. 即n ＝8或9时，T n 有最大值；若当且仅当n ＝6时，T n 有最大值，则⎩⎪⎨⎪⎧S 66＝a 1＋52d >0，S 77＝a 1＋3d <0，d <0，解得－3<a 1d <－52. 13.某电站沿一条公路竖立电线杆，相邻两根电线杆的距离都是50 m ，最远一根电线杆距离电站1 550 m ，一汽车每次从电站运出3根电线杆供应施工.若该汽车往返运输总行程为17 500 m ，共竖立多少根电线杆？第一根电线杆距离电站多少米？解 由题意知汽车逐趟(由近及远)往返运输行程组成一个等差数列，记为{a n }， 则a n ＝1 550×2＝3 100，d ＝50×3×2＝300，S n ＝17 500.由等差数列的通项公式及前n 项和公式，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋（n －1）×300＝3 100， ①na 1＋n （n －1）2×300＝17 500. ② 由①得a 1＝3 400－300n .代入②得n (3 400－300n )＋150n (n －1)－17 500＝0，整理得3n 2－65n ＋350＝0，解得n ＝10或n ＝353(舍去)，所以a 1＝3 400－300×10＝400.故汽车拉了10趟，共拉电线杆3×10＝30(根)，最近的一趟往返行程400 m ，第一根电线杆距离电站12×400－100＝100(m).所以共竖立了30根电线杆，第一根电线杆距离电站100 m.14.(多选题)首项为正数，公差不为0的等差数列{a n }，其前n 项和为S n ，现有下列四个命题，其中正确的命题有( )A.若S 10＝0，则S 2＋S 8＝0B.若S 4＝S 12，则使S n >0的n 的最大值为15C.若S 15>0，S 16<0，则{S n }中S 8最大D.若S 7<S 8，则S 8<S 9答案 BC 解析 对于A ，若S 10＝0，则S 10＝（a 1＋a 10）·102＝0， 则a 1＋a 10＝0，即2a 1＋9d ＝0，则S 2＋S 8＝(2a 1＋d )＋(8a 1＋28d )＝10a 1＋29d ≠0，A 不正确；对于B ，若S 4＝S 12，则S 12－S 4＝0，即a 5＋a 6＋…＋a 11＋a 12＝4(a 8＋a 9)＝0，由于a 1>0，则a 8>0，a 9<0，则有S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0，S 16＝16（a 1＋a 16）2＝16（a 8＋a 9）2＝0，故使S n >0的n 的最大值为15，B 正确； 对于C ，若S 15>0，S 16<0，则S 15＝15（a 1＋a 15）2＝15a 8>0， S 16＝16（a 1＋a 16）2＝8(a 8＋a 9)<0，则有a 8>0，a 9<0，故{S n }中S 8最大，故C 正确；对于D ，若S 7<S 8，即a 8＝S 8－S 7>0，而S 9－S 8＝a 9，不能确定其符号，D 错误.。
高中数学选择性必修二 4 2 2第二课时等差数列前n项和的性质及应用(习题课)(含答案)
4．2.2 第二课时 等差数列前n 项和的性质及应用(习题课)[A 级 基础巩固]1．在项数为2n ＋1的等差数列中，所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则n 等于( )A ．9B ．10C ．11D ．12解析：选B ∵S 奇S 偶＝n ＋1n ，∴165150＝n ＋1n .∴n ＝10，故选B. 2．数列{a n }为等差数列，它的前n 项和为S n ，若S n ＝(n ＋1)2＋λ，则λ的值是( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1解析：选B 等差数列前n 项和S n 的形式为S n ＝an 2＋bn ，∴λ＝－1.3．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若OB ―→＝a 1OA ―→＋a 200OC ―→，且A ，B ，C 三点共线(该直线不过点O )，则S 200等于( )A ．100B ．101C ．200D ．201解析：选A 由A ，B ，C 三点共线得a 1＋a 200＝1，∴S 200＝2002(a 1＋a 200)＝100. 4．若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|等于( )A ．15B ．35C ．66D ．100 解析：选C 易得a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n ＝1，2n －5，n ≥2. |a 1|＝1，|a 2|＝1，|a 3|＝1，令a n ＞0则2n －5＞0，∴n ≥3.∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝1＋1＋a 3＋…＋a 10＝2＋(S 10－S 2)＝2＋[(102－4×10＋2)－(22－4×2＋2)]＝66.5．设数列{a n }是等差数列，若a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，以S n 表示{a n }的前n 项和，则使S n 达到最大值的n 是( )A ．18B ．19C ．20D ．21解析：选C ∵a 1＋a 3＋a 5＝105＝3a 3，∴a 3＝35，∵a 2＋a 4＋a 6＝99＝3a 4，∴a 4＝33，∴d ＝a 4－a 3＝－2，∴a n ＝a 3＋(n －3)d ＝41－2n ，令a n ＞0，∴41－2n ＞0，∴n ＜412， ∴n ≤20.6．已知等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知S 3＝9，a 4＋a 5＋a 6＝7，则S 9－S 6＝________. 解析：∵S 3，S 6－S 3，S 9－S 6成等差数列，而S 3＝9，S 6－S 3＝a 4＋a 5＋a 6＝7，∴S 9－S 6＝5. 答案：57．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－9n ，第k 项满足5＜a k ＜8，则k ＝________.解析：∵a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)， ∴a n ＝2n －10.由5＜2k －10＜8，得7.5＜k ＜9，又k ∈N *，∴k ＝8.答案：88．若数列{a n }是等差数列，首项a 1<0，a 203＋a 204>0，a 203·a 204<0，则使前n 项和S n <0的最大自然数n 是________． 解析：由a 203＋a 204>0知a 1＋a 406>0，即S 406>0，又由a 1<0且a 203·a 204<0，知a 203<0，a 204>0，所以公差d >0，则数列{a n }的前203项都是负数，那么2a 203＝a 1＋a 405<0，所以S 405<0，所以使前n 项和S n <0的最大自然数n ＝405.答案：4059．已知等差数列{a n }中，a 1＝9，a 4＋a 7＝0.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)当n 为何值时，数列{a n }的前n 项和取得最大值？解：(1)由a 1＝9，a 4＋a 7＝0，得a 1＋3d ＋a 1＋6d ＝0，解得d ＝－2，∴a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝11－2n .(2)法一：由a 1＝9，d ＝－2，得S n ＝9n ＋n (n －1)2·(－2)＝－n 2＋10n ＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．法二：由(1)知a 1＝9，d ＝－2＜0，∴{a n }是递减数列．令a n ≥0，则11－2n ≥0，解得n ≤112. ∵n ∈N *，∴n ≤5时，a n ＞0，n ≥6时，a n ＜0.∴当n ＝5时，S n 取得最大值．10．若等差数列{a n }的首项a 1＝13，d ＝－4，记T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |，求T n .解：∵a 1＝13，d ＝－4，∴a n ＝17－4n .当n ≤4时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n＝na 1＋n (n －1)2d ＝13n ＋n (n －1)2×(－4) ＝15n －2n 2；当n ≥5时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)－(a 5＋a 6＋…＋a n )＝S 4－(S n －S 4)＝2S 4－S n＝2×(13＋1)×42－(15n －2n 2) ＝2n 2－15n ＋56.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧15n －2n 2(n ≤4)，2n 2－15n ＋56(n ≥5). [B 级 综合运用]11．(多选)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，公差为d .已知a 3＝12，S 12>0，a 7<0，则( )A ．a 6>0B ．－247<d <－3 C ．S n <0时，n 的最小值为13D ．数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中最小项为第7项 解析：选ABCD 依题意得a 3＝a 1＋2d ＝12，a 1＝12－2d ，S 12＝a 1＋a 122×12＝6(a 6＋a 7)． 而a 7<0，所以a 6>0，a 1>0，d <0，A 选项正确．且⎩⎪⎨⎪⎧ a 7＝a 1＋6d ＝12＋4d <0，a 6＝a 1＋5d ＝12＋3d >0，a 6＋a 7＝2a 1＋11d ＝24＋7d >0.解得－247<d <－3，B 选项正确． 由于S 13＝a 1＋a 132×13＝13a 7<0，而S 12>0，所以S n <0时，n 的最小值为13.由上述分析可知，n ∈[1,6]时，a n >0，n ≥7时，a n <0；当n ∈[1,12]时，S n >0，当n ≥13时，S n <0.所以当n ∈[7,12]时，a n <0，S n >0，S n a n<0，且当n ∈[7,12]时，|a n |为递增数列，S n 为正数且为递减数列，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n a n 中最小项为第7项．故选A 、B 、C 、D.12．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m 等于( )A ．3B ．4C ．5D ．6解析：选C a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以公差d ＝a m ＋1－a m ＝1，由S m ＝m (a 1＋a m )2＝0，得a 1＝－2，所以a m ＝－2＋(m －1)·1＝2，解得m ＝5，故选C.13．已知等差数列{a n }的公差d >0，前n 项和为S n ，且a 2a 3＝45，S 4＝28.(1)则数列{a n }的通项公式为a n ＝________；(2)若b n ＝S n n ＋c(c 为非零常数)，且数列{b n }也是等差数列，则c ＝________. 解析：(1)∵S 4＝28，∴(a 1＋a 4)×42＝28，a 1＋a 4＝14，a 2＋a 3＝14， 又∵a 2a 3＝45，公差d >0，∴a 2<a 3，∴a 2＝5，a 3＝9，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝5，a 1＋2d ＝9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4， ∴a n ＝4n －3.(2)由(1)，知S n ＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c ， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c. 又∵{b n }也是等差数列，∴b 1＋b 3＝2b 2，即2×62＋c ＝11＋c ＋153＋c， 解得c ＝－12(c ＝0舍去)． 答案：(1)4n －3 (2)－1214．在等差数列{a n }中，a 10＝23，a 25＝－22.(1)数列{a n }前多少项和最大？(2)求{|a n |}的前n 项和S n .解：(1)由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋9d ＝23，a 1＋24d ＝－22，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝50，d ＝－3， ∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－3n ＋53.令a n >0，得n <533， ∴当n ≤17，n ∈N *时，a n >0；当n ≥18，n ∈N *时，a n <0，∴{a n }的前17项和最大．(2)当n ≤17，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－32n 2＋1032n . 当n ≥18，n ∈N *时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a 17－a 18－a 19－…－a n＝2(a 1＋a 2＋…＋a 17)－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝2⎝⎛⎭⎫－32×172＋1032×17－⎝⎛⎭⎫－32n 2＋1032n ＝32n 2－1032n ＋884. ∴S n＝⎩⎨⎧ －32n 2＋1032n ，n ≤17，n ∈N *，32n 2－1032n ＋884，n ≥18，n ∈N *.[C 级 拓展探究]15．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2.(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？解：(1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n .图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝⎛⎭⎫n －1322＋1694，n ∈N *， ∴当n ＝6或n ＝7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42.(3)由图象得{S n } 中有12项大于零．。
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a3 13, a10 1 求 Sn 何时取到最小值，并求出Sn 最小值.
类型一：等差数列前n项和 Sn 的最值
例2 设等差数列{an } 满足 a1
n(n 1) 解：由Sn na1 d 得 2 17(17 1) 9(9 1差数列前n项和 Sn 最值的方法
（1）求 Sn，利用二次函数性质求最值，
注意n取正整数
（2）求 an ，利用项的特点求最值
2、已知数列 Sn 求 an 的方法
n 1 S1 , an Sn - Sn-1，n 2
25, S17 S9 求 Sn 何时取到最大值，并求出Sn 最大值.
得d 2
类型二：已知 Sn 求 an
例3 设数列{an }前n项和
Sn n 3n,
2
求数列的通项公式 an . 练：设数列{an } 前n项和
Sn n 3n 1,
2
求数列的通项公式 an .
课堂小结
当n 5时，Sn取最大值，最大值为S5 25
11 解法2：令a n 0即-2n+11 0得n 2 a1 a2 a5 0 a6 a7 5(a1 +a 5 ) 当n=5时，Sn 最大，最大值为S5 =25 2
类型一：等差数列前n项和 Sn 的最值
解： a3 5, a10 9 (1)
号n的值
a1 2d 5 a1 9 得 a1 9d 9 d 2 an 9 (n 1) 2) 2n 11 (
n(n 1) (2)由S n na1 d 得 2 n(n 1) 2 S n 9n (2) n 10n 2 由二次函数图象开口向下，对称轴为n 5得
等差数列前n项和（第二课时）
学习目标
1、会求等差数列前n项和 Sn 的最值; 2、会利用数列的前n项和 Sn 求通项公式 an
类型一：等差数列前n项和 Sn 的最值
例1 设等差数列{an }满足 a3
（1）求 {an }的通项公式;
5, a10 9
（2）求 {an }的前n项和 Sn 及使得Sn 最大时序