数学建模实验答案离散模型

数学建模实验答案离散模型The following text is amended on 12 November 2020.实验09 离散模型（2学时）（第8章 离散模型）1. 层次分析模型（验证，编程）正互反阵最大特征根和特征向量的实用算法p263~264已知正互反阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡=14/16/1412/1621A 注：[263]定理2 n 阶正互反阵A 的最大特征根 ≥ n 。

★(1) 用MATLAB 函数求A 的最大特征根和特征向量。

(2) 幂法（见[263]）A 为n×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 任取n 维非负归一化初始列向量（分量之和为1）(0)w ；b. 计算(1)(),0,1,2,k k w Aw k +==；c. (1)k w +归一化，即令(1)(1)(1)1k k nk ii w ww+++==∑；d. 对于预先给定的精度ε，当(1)()||(1,2,,)k k ii w w i n ε+-<=时，(1)k w +即为所求的特征向量；否则返回到步骤b ；e. 计算最大特征根(1)()11k n i k i iw n w λ+==∑。

注：()()(1)()(1)()1,2,,k k k k k i k iAw w w w w i nw λλλ++≈⇒≈⇒∴≈=end w0=w; endlambda=sum(ww./w0)/n;☆(2) 用幂法函数求A 的最大特征根和特征向量。

(3) 和法（见[264]）A 为n×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得∑==ni ijijij a a w 1~； b. 对ijw ~按行求和得∑==nj ij i w w 1~~； c. 将i w ~归一化T n ni ii i w w w w w w w ),,,(,~~211==∑=即为近似特征向量； d. 计算∑==n i iiw Aw n 1)(1λ，作为最大特征根的近似值。

function [lambda w]=p264HE (A)%和法——求正互反阵最大特征根和特征向量 % A 正互反方阵 % lambda 最大特征根 % w 归一化特征列向量AA=A/diag(sum(A)); %a. 将A 的每一列向量归一化 ww=sum(AA,2); %b. 对AA 按行求和，ww 为列向量 w=ww./sum(ww); %c. 归一化，得w 为近似特征列向量lambda=sum(A*w./w)/ length(A); %d. 计算最大特征根的近似值λ☆(3) 用和法函数求A 的最大特征根和特征向量。

(4) 根法（见）A 为n×n 正互反矩阵，算法步骤如下：a. 将A 的每一列向量归一化得∑==ni ijijij a a w 1~； b. 对ijw ~按行求积并开n 次方得∏==nj nij i w w 11)~(~； c. 将i w ~归一化T n n i ii i w w w w w w w ),,,(,~~211==∑=即为近似特征向量； d. 计算∑==ni ii w Aw n 1)(1λ，作为最大特征根的近似值。

★(4) 编写根法函数，用该函数求A 的最大特征根和特征向量。

[提示：sum, prod, diag]对矩阵A 按行求和的调用为sum(A, 2)。

对矩阵A 按行求积的调用为prod(A, 2)。

diag(V)，用向量V构造对角矩阵。

nargin，存放函数输入自变量的数目。

编写的程序和调用及运行结果（见）：function [lambda w]=p264GEN (A)%根法——求正互反阵最大特征根和特征向量% A 正互反方阵% lambda 最大特征根%w 归一化特征列向量n=length(A);AA=A/diag(sum(A)); %a. 将A的每一列向量归一化ww=(prod(AA,2)).^(1/n); %b. 对AA按行求积并开n次方，ww为列向量w=ww./sum(ww); %c. 归一化，得w为近似特征列向量lambda=sum(A*w./w)/n; %d. 计算最大特征根的近似值λ（验证，编程）旅游决策问题p250~256在下面程序中，脚本式m文件调用函数式m文件（求A的最大特征根及归一化特征列向量、一致性指标值CI、一致性比率值CR），中调用另一个函数式m文件（求A的最大特征根及归一化特征列向量）。

%旅游决策问题%文件名：clear; clc; format compact;%层次分析法的基本步骤：%1.建立层次结构模型% 见p250 图1 选择旅游地的层次结构%2.构造成对比较阵%第2层为准则层：景色、费用、居住、饮食和旅途5个准则A=[1 1/2 4 3 3 ;...2 1 7 5 5 ;...要求：请仔细阅读以上程序，完成以下实验：在脚本式m文件后面添加命令，使★① 显示第2层的数据。

包括：最大特征根λ；特征向量（权向量）w；一致性指标CI；一致性比率CR。

★② 显示第3层的数据。

包括：特征向量（权向量）w；最大特征根λ；一致性指标CI。

添加的命令和运行结果（见表3）：w3k,lambda3,CI3k★③ 显示最下层（第3层）对目标（第1层）的组合权向量。

w3★④ 显示第2层和第3层的组合一致性比率，以及最下层对第1层的组合一致性比率。

添加的命令和运行结果（见）： CR2,CR3,CR2. 循环比赛的名次（编程，验证）双向连通竞赛图（4顶点）的名次排序p270, 271~2724个顶点的竞赛图（教材p270中图3(4)）如下：3424个队得分（获胜场数）为（2，2，1，1）由得分排名为{（1，2），（3，4）}，该竞赛图是双向连通图，属于第2种类型，可通过以下方法给出名次排序。

该图的邻接矩阵为：⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=0001100011000110A ★(1) 编写一个程序，求出1~8级得分向量，并依据8级得分向量给出排名。

给出程序和运行结果（比较）： clear; clc; format compact ; format short g ;A=[0 1 1 0;0 0 1 1;0 0 0 1;1 0 0 0]; %邻接矩阵n=length(A);%方阵A 的阶数s=A*ones(n,1); disp(s');for k=2:8s=A*s; disp(s');end[~,k]=sort(s,'descend'); %降序k' %排名(2) 求元素互不相等的得分向量法得分向量为s=A*ones其中，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=1111ones 记s (1)=ss (k)=A*s (k-1)=A k *ones, k=2, 3, … （s (k)称为k 级得分向量） 程序如下：%双向连通竞赛图的名次排序（求元素不等的得分向量）%文件名：clear; clc; format compact ; format short g ;A=[0 1 1 0;0 0 1 1;0 0 0 1;1 0 0 0]; %邻接矩阵 n=length(A);%方阵A 的阶数s=A*ones(n,1); k=1;while length(unique(s))<n %unique(s)去掉s 中的重复元素 s=A*s; k=k+1;endk % k 级得分向量s' %元素不等的得分列向量[~,kk]=sort(s,'descend'); %降序kk' %排名☆(2) 运行求元素互不相等的得分向量法程序。

运行结果（比(3) 特征根法对于n≥4个顶点的双向连通竞赛图，其邻接矩阵A 为素阵（存在正整数r ，使A r >0），且有 1lim k k k A s λ→∞=其中，1为全1列向量，λ为最大实特征根且为正，s为其特征列向量。

%双向连通竞赛图的名次排序（特征根法）%文件名：clear; clc; format compact; format short g;A=[0 1 1 0;0 0 1 1;0 0 0 1;1 0 0 0];%邻接矩阵[V,D]=eig(A); %返回A的特征值和特征向量。

%其中D为A的特征值构成的对角阵，每个特征值%对应的V的列为属于该特征值的一个特征向量。

D=diag(D); %返回矩阵D的对角线元素构成列向量。

D=D.*(imag(D)==0); %复数特征值用0代替，实数的则不变[lamda,k]=max(D);lamdas=V(:,k)/sum(V(:,k)); %最大特征根对应的特征列向量(归一化)[~,k]=sort(s,'descend'); %降序s', k'（验证）双向连通竞赛图（6顶点）的名次排序p270,272~2736个顶点的竞赛图（教材p270中图1）如下：63该图的邻接矩阵为：010111000111110100000011001001001000A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦要求：使用上题的程序。

☆(1) 求出1~4级得分向量，并依据4级得分向量给出排名。

运行结果（比较）：3. 公平的席位分配（验证）参照惯例的席位分配方法p278~279某学校有甲乙丙三个系共有200名学生，其中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。

(1) 有20个代表席位，采用参照惯例的席位分配方法，分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。

(2) 有21个代表席位，采用参照惯例的席位分配方法，分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。

function [qi,ni]=p278fun(p,n)% p 各单位人数（列向量）% n 总席位（标量）% qi 按比例分配的席位（列向量）% ni 参照惯例的结果（列向量）qi=n*p/sum(p); %按比例各单位所得席位（可能含小数）ni=fix(qi); %各单位所得席位取整m=n-sum(ni); %可能有没分配完的席位if m>0 %席位没分完[~,k]=sort(qi-ni,'descend'); %按降序排序（缺省为升序）ni(k(1: m))=ni(k(1: m))+1; %排在前m个，加1end要求：①在命令窗口分别调用以上函数求解（使用最佳定点或浮点格式（5位数字）控制命令format short g）。

②两个结果比较，合理吗☆ 题(1)（20个代表席位）的调用及结果（比较表1）。

（验证）Q值方法p280~281（教材：公平的席位分配）某学校有甲乙丙三个系共有200名学生，其中甲系有103人，乙系有63人，丙系有34人。

(1) 有20个代表席位，采用Q值法分别求出甲乙丙系的“席位分配结果”。