数学建模离散型概率分布
离散型随机变量与概率分布
离散型随机变量与概率分布离散型随机变量（Discrete Random Variable）是指在一定范围内取有限个或可列个值的随机变量。
与之相对应的是连续型随机变量，后者可以取任意连续的值。
在概率论和数理统计中，离散型随机变量是一个重要的概念，它通常用于描述实验中可以明确计数的结果。
离散型随机变量的概率分布（Probability Distribution）描述了该变量取特定值的概率。
概率分布可以通过概率质量函数（Probability Mass Function，PMF）或累积分布函数（Cumulative Distribution Function，CDF）来表示。
下面将介绍离散型随机变量的概率质量函数和累积分布函数，并给出两个例子进行说明。
一、概率质量函数概率质量函数（PMF）是离散型随机变量取各个值的概率。
对于离散型随机变量X，其概率质量函数可以表示为P(X=x)，其中x为该随机变量可能取的某个值。
概率质量函数需要满足以下两个条件：1. 非负性：对于所有可能的取值x，P(X=x) ≥ 0。
2. 概率的总和为1：所有可能取值的概率之和等于1，即∑P(X=x) = 1。
通过概率质量函数，我们可以计算出随机变量X取某个特定值的概率。
例如，假设有一个公平的六面骰子，投掷一次，随机变量X代表出现的点数。
则该骰子的概率质量函数为：P(X=1) = 1/6P(X=2) = 1/6P(X=3) = 1/6P(X=4) = 1/6P(X=5) = 1/6P(X=6) = 1/6二、累积分布函数累积分布函数（CDF）是离散型随机变量小于等于某个特定值的概率。
对于离散型随机变量X，其累积分布函数可以表示为F(x)=P(X≤x)，其中x为该随机变量的某个值。
累积分布函数也需要满足概率的基本要求。
通过累积分布函数，我们可以计算出随机变量X小于等于某个特定值的概率。
以前述的六面骰子为例，该骰子的累积分布函数为：F(x) = P(X≤x)F(1) = 1/6F(2) = 2/6 = 1/3F(3) = 3/6 = 1/2F(4) = 4/6 = 2/3F(5) = 5/6F(6) = 1三、例子说明例子1：硬币投掷假设有一个公平的硬币，投掷一次，随机变量X代表正面朝上的次数。
离散型概率分布的概念
离散型概率分布的概念离散型概率分布是概率论与数理统计中的重要概念。
它主要用于描述一个随机变量的取值为有限或可数个，但每个取值出现的概率不同的情况。
离散型概率分布可以用于模拟、预测和统计等各种领域中。
在概率论中，离散型概率分布是指一个随机变量的取值集合为有限或可数。
这个集合中的每一个取值都有对应的概率。
随机变量的取值由一个离散型随机变量函数来表示，即为X。
离散型概率分布的特点是它的取值只能取一定的数值，而且每一个取值都有一个确定的概率。
离散型概率分布的概率函数可以表示为f(x)，其中x为某一随机变量的取值。
它描述了每个随机变量取值的概率。
在实际应用中，离散型概率分布通常是利用概率分布函数或概率质量函数来表示。
概率质量函数是离散型概率分布函数的一种特殊情况。
它描述了每个离散型随机变量取得某个特定值的概率。
通常，我们会使用符号P(x)来表示某个随机变量取某个特定值的概率。
离散型概率分布的一个重要概念是期望值。
期望值是随机变量在所有可能取值出现的概率的加权平均值。
在离散型概率分布中，期望值通常表示为E(X)。
计算期望值需要对随机变量的所有可能取值进行加权平均。
离散型概率分布的一个常见例子是伯努利分布。
伯努利分布是二项分布的一种特殊情况。
它表示在一个试验中某一个事件发生的概率。
例如，考虑一个硬币翻转的情况，我们可以定义随机变量X为硬币朝上的概率。
X的取值范围为0和1，且它是一个离散型随机变量。
伯努利分布可以用于计算硬币翻转的概率。
除了伯努利分布，常见的离散型概率分布还包括泊松分布、几何分布、超几何分布和负二项分布等等。
在统计学中，离散型概率分布可以用于研究各种现象。
例如，它被广泛应用于独立性检验、方差分析、回归分析等各种领域。
总之，离散型概率分布是概率论与统计学中的重要概念。
它描述了一个离散型随机变量的所有可能取值以及每种取值的出现概率。
在实际应用中，离散型概率分布被用于模拟、预测和统计等各种领域中。
数学建模常用知识点总结
数学建模常用知识点总结1.1 矩阵及其运算矩阵是一个矩形的数组，由行和列组成。
可以进行加法、减法和数乘运算。
1.2 矩阵的转置对矩阵进行转置就是把矩阵的行和列互换得到的新矩阵。
1.3 矩阵乘法矩阵A和矩阵B相乘得到矩阵C，要求A的列数等于B的行数，C的行数是A的行数，列数是B的列数。
1.4 矩阵的逆只有方阵才有逆矩阵，对于矩阵A，如果存在矩阵B，使得AB=BA=I，那么B就是A的逆矩阵。
1.5 行列式行列式是一个标量，是一个方阵所表示的几何体积的无向量。
1.6 特征值和特征向量对于矩阵A，如果存在标量λ和非零向量x，使得Ax=λx，那么λ就是A的特征值，x就是对应的特征向量。
1.7 线性相关和线性无关对于一组向量，如果存在一组不全为零的系数，使得它们的线性组合等于零向量，那么这组向量就是线性相关的。
1.8 空间与子空间空间是向量的集合，子空间是一个向量空间的子集，并且本身也是一个向量空间。
1.9 线性变换对于向量空间V和W，如果满足T(v+u)=T(v)+T(u)和T(kv)=kT(v)，那么T就是一个线性变换。
1.10 最小二乘法对于一个线性方程组，如果方程个数大于未知数个数，可以使用最小二乘法来求得最优解。
1.11 奇异值分解矩阵分解的方法之一，将一个任意的矩阵分解为三个矩阵的乘积。
1.12 特征分解对于一个对称矩阵，可以将其分解为特征向量和特征值的乘积。
1.13 线性代数在建模中的应用在数学建模中，线性代数是非常重要的基础知识，它可以用来表示和分析问题中的数据，解决矩阵方程组、优化问题、回归分析等。
二、微积分2.1 极限和连续性极限是指一个函数在某一点上的局部性质，连续性则是函数在某一点上的全局性质。
2.2 导数和微分对于一个函数y=f(x)，它的导数可以表示为f’(x)，其微分可以表示为dy=f’(x)dx。
2.3 泰勒级数泰勒级数是一种用多项式逼近函数的方法，在建模中可以用来进行函数的近似计算。
2-2离散型随机变量的概率分布
(3) 二项概率公式 若 X 表示 n 重伯努利试验中事件 A 发生的次数, 则 X 所有可能取的值为
0, 1, 2, , n.
当 X k (0 k n) 时, 即 A 在 n 次试验中发生了 k 次.
AAA AAA ,
泊松资料
泊松分布的图形
泊松分布随机数演示
上面我们提到
二项分布 np ( n )泊松分布
单击图形播放/暂停 ESC键退出
合理配备维修工人问题
例5 为了保证设备正常工作, 需配备适量的维修 工人 (工人配备多了就浪费 , 配备少了又要影响生 产),现有同类型设备300台,各台工作是相互独立的, 发生故障的概率都是0.01.在通常情况下一台设备 的故障可由一个人来处理(我们也只考虑这种情况 ) ,问至少需配备多少工人 ,才能保证设备发生故障 但不能及时维修的概率小于0.01?
把检查一只元件是否为一级品看成是一次试 验, 检查20只元件相当于做20 重伯努利试验.
解 以 X 记 20 只元件中一级品的只数, 则 X ~ b(20, 0.2), 因此所求概率为
P{ X k} 20(0.2)k (0.8)20k , k 0,1,,20. k
P{ X 0} 0.012 P{ X 4} 0.218 P{ X 8} 0.022 P{ X 1} 0.058 P{ X 5} 0.175 P{ X 9} 0.007 P{ X 2} 0.137 P{ X 6} 0.109 P{ X 10} 0.002 P{ X 3} 0.205 P{ X 7} 0.055
一、离散型随机变量的分布律
定义 设离散型随机变量X 所有可能取的值为 xk (k 1,2,), X 取各个可能值的概率, 即事件 { X xk } 的概率, 为
第二章2节 离散型随机变量的概率分布
一.离散型随机变量
1. 定义 若随机变量全部可能取到的值是有限多个 或可列无限多个, 称为离散型随机变量 离散型随机变量. 或可列无限多个 则 称为离散型随机变量 2. 离散型 r.v.的分布律 : 设离散型 r.v. X所有可能取值为 x k ( k = 1,2,3,...) 所有可能取值为 P ( X = x k ) = p k , k = 1,2,... (1)
(2)泊松分布有很多应用 泊松分布有很多应用. 泊松分布有很多应用 例如,一定时间间隔内电话交换台收到的呼唤次数 一定时间间隔内电话交换台收到的呼唤次数; 例如 一定时间间隔内电话交换台收到的呼唤次数 一本书的印刷错误数; 一本书的印刷错误数 某一地区一个时间间隔内发生的交通事故数等 都服从泊松分布. 都服从泊松分布
k =1
此处 n - - - 试验次数 ,
p - - - A发生的概率 , X − − A发生的次数 .
某种电子元件的使用寿命超过1500小时为 例6. 某种电子元件的使用寿命超过 小时为 一级品, 已知一大批该产品的一级品率为0.2, 一级品 已知一大批该产品的一级品率为 从中随机抽查20只 从中随机抽查 只. 只元件中一级品只数X的分布律 求这20只元件中一级品只数 的分布律 只元件中一级品只数 的分布律. 解: 抽查一只元件看是否为 一级品可以看作是一 次试验 , 抽查 20 只元件可以看作 20 次试验 , 一大批元件不放回抽样 可看作放回抽样处理 ,
在例3中, X ~ b(400,0.02), 中 λ = np = 400 × 0.02 = 8, P{ X ≥ 2} = 1 − P{ X = 0} − P{ X = 1} 400 399 = 1 − (0.98) − 400 × (0.02) × (0.98) .
数学建模十大经典算法( 数学建模必备资料)
建模十大经典算法1、蒙特卡罗算法。
该算法又称随机性模拟算法，是通过计算机仿真来解决问题的算法，同时通过模拟可以来检验自己模型的正确性。
2、数据拟合、参数估计、插值等数据处理算法。
比赛中通常会遇到大量的数据需要处理，而处理数据的关键就在于这些算法，通常使用Matlab作为工具。
3、线性规划、整数规划、多元规划、二次规划等规划类问题。
建模竞赛大多数问题属于最优化问题，很多时候这些问题可以用数学规划算法来描述，通常使用Lindo、Lingo、MATLAB软件实现。
4、图论算法。
这类算法可以分为很多种，包括最短路、网络流、二分图等算法，涉及到图论的问题可以用这些方法解决，需要认真准备。
5、动态规划、回溯搜索、分治算法、分支定界等计算机算法。
这些算法是算法设计中比较常用的方法，很多场合可以用到竞赛中。
6、最优化理论的三大非经典算法：模拟退火法、神经网络、遗传算法。
这些问题是用来解决一些较困难的最优化问题的算法，对于有些问题非常有帮助，但是算法的实现比较困难，需慎重使用。
7、网格算法和穷举法。
网格算法和穷举法都是暴力搜索最优点的算法，在很多竞赛题中有应用，当重点讨论模型本身而轻视算法的时候，可以使用这种暴力方案，最好使用一些高级语言作为编程工具。
8、一些连续离散化方法。
很多问题都是实际来的，数据可以是连续的，而计算机只认的是离散的数据，因此将其离散化后进行差分代替微分、求和代替积分等思想是非常重要的。
9、数值分析算法。
如果在比赛中采用高级语言进行编程的话，那一些数值分析中常用的算法比如方程组求解、矩阵运算、函数积分等算法就需要额外编写库函数进行调用。
10、图象处理算法。
赛题中有一类问题与图形有关，即使与图形无关，论文中也应该要不乏图片的，这些图形如何展示以及如何处理就是需要解决的问题，通常使用Matlab进行处理。
历年全国数学建模试题及解法赛题解法93A非线性交调的频率设计拟合、规划93B足球队排名图论、层次分析、整数规划94A逢山开路图论、插值、动态规划94B锁具装箱问题图论、组合数学95A飞行管理问题非线性规划、线性规划95B天车与冶炼炉的作业调度动态规划、排队论、图论96A最优捕鱼策略微分方程、优化96B节水洗衣机非线性规划97A零件的参数设计非线性规划97B截断切割的最优排列随机模拟、图论98A一类投资组合问题多目标优化、非线性规划98B灾情巡视的最佳路线图论、组合优化99A自动化车床管理随机优化、计算机模拟99B钻井布局0-1规划、图论00A DNA序列分类模式识别、Fisher判别、人工神经网络00B钢管订购和运输组合优化、运输问题01A血管三维重建曲线拟合、曲面重建01B 公交车调度问题多目标规划02A车灯线光源的优化非线性规划02B彩票问题单目标决策03A SARS的传播微分方程、差分方程03B 露天矿生产的车辆安排整数规划、运输问题04A奥运会临时超市网点设计统计分析、数据处理、优化04B电力市场的输电阻塞管理数据拟合、优化05A长江水质的评价和预测预测评价、数据处理05B DVD在线租赁随机规划、整数规划06A 出版资源配置06B 艾滋病疗法的评价及疗效的预测 07A 中国人口增长预测 07B 乘公交，看奥运 多目标规划 数据处理 图论 08A 数码相机定位 08B 高等教育学费标准探讨09A 制动器试验台的控制方法分析 09B 眼科病床的合理安排 动态规划 10A 10B赛题发展的特点：1.对选手的计算机能力提出了更高的要求：赛题的解决依赖计算机，题目的数据较多，手工计算不能完成，如03B ，某些问题需要使用计算机软件，01A 。
数学建模概率论知识点总结
数学建模概率论知识点总结1.概率的基本概念概率是描述随机现象发生可能性大小的数值。
随机现象是指在一定条件下，不能准确预测结果的现象，比如抛硬币、掷骰子等。
为了描述随机现象的规律，人们引入了概率的概念。
概率的基本概念包括样本空间、事件、概率等。
样本空间是指随机现象所有可能的结果组成的集合。
比如抛硬币的样本空间为{正面，反面}，掷骰子的样本空间为{1，2，3，4，5，6}。
事件是样本空间的子集，表示一个具体的结果或一组结果。
概率是描述事件发生可能性大小的数值，通常用P(A)来表示事件A发生的概率。
概率的基本性质包括非负性、规范性、可列可加性、加法定理等。
非负性指概率的值始终大于等于0，规范性指样本空间的概率为1，可列可加性指对于互不相容事件的概率，其和等于各自概率的和，加法定理指事件A与事件B的和事件的概率等于事件A的概率加上事件B的概率减去事件A与事件B的交事件的概率。
2.随机变量与概率分布随机变量是描述随机现象结果的数学变量，通常用大写字母X、Y等来表示。
随机变量分为离散随机变量和连续随机变量。
离散随机变量的取值有限或可数，比如投掷硬币的结果、掷骰子的结果等。
离散随机变量的概率分布通常用概率质量函数来描述，概率质量函数表示了随机变量取各个值的概率。
连续随机变量的取值为连续的实数区间，比如身高、体重等。
连续随机变量的概率分布通常用概率密度函数来描述，概率密度函数表示了随机变量在某个区间内取值的概率密度。
常见的离散概率分布包括均匀分布、伯努利分布、二项分布、泊松分布等；常见的连续概率分布包括均匀分布、正态分布、指数分布、伽玛分布等。
3.大数定律与中心极限定理大数定律指在独立重复试验中，随着试验次数的增加，随机变量的平均值趋于一个确定的常数。
大数定律包括弱大数定律和强大数定律，弱大数定律指随机变量的平均值收敛于其数学期望，强大数定律指随机变量的平均值几乎必然收敛于其数学期望。
中心极限定理指在独立重复试验中，随机变量的和在适当标准化后近似服从正态分布。
方法技巧专题22概率与离散型随机变量的分布列及期望
方法技巧专题22概率与离散型随机变量的分布列及期望概率与离散型随机变量的分布列及期望在概率论中，我们经常研究随机变量的分布及其特性。
离散型随机变量是指取有限个或可列个数值的随机变量，其取值只能是离散的。
离散型随机变量的分布列描述了每个可能取值的概率，并用数学公式表示。
首先，让我们来了解离散型随机变量的分布列。
设X是一个离散型随机变量，其可能的取值为x1，x2，x3，...，xn。
分布列通过P(X=xk)表示随机变量X取值为xk的概率。
其中，k为1到n的整数。
分布列满足以下条件：1. 非负性：P(X=xk) ≥ 0， k=1,2,3,...,n；2. 正则性：∑ P(X=xk) = 1， k=1到n。
以一个骰子的投掷为例，假设X表示投掷一次骰子的结果，其可能的取值为1，2，3，4，5，6、根据一次投掷的结果不同，我们可以得到分布列如下：X，1，2，3，4，5，6---------------------------------P(X=xk) ，1/6 ，1/6 ，1/6 ，1/6 ，1/6 ，1/6接下来，我们来计算离散型随机变量的期望。
期望是指随机变量的平均值，用E(X)表示。
对于离散型随机变量，其期望的计算公式为：E(X) = ∑ (xk * P(X=xk))， k=1到n。
以上述骰子的例子为例，我们可以计算其期望。
根据分布列，我们可以得到：E(X)=(1*1/6)+(2*1/6)+(3*1/6)+(4*1/6)+(5*1/6)+(6*1/6)=3.5因此，该骰子的期望为3.5在计算期望时，我们可以利用期望的线性性质。
假设X和Y为两个离散型随机变量，常数a和b为两个实数。
则有以下公式成立：E(aX+bY)=aE(X)+bE(Y)这个公式表明，计算两个离散型随机变量线性组合的期望时，可以将系数分别乘以各自的期望后相加。
除了期望之外，离散型随机变量还有其他重要的特性指标，例如方差和标准差。
方差衡量了随机变量离其期望值的偏离程度，标准差是方差的平方根。
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解 (1) 有放回抽球是伯努利试验，现令A=｛抽到白
球｝，则P(A)=2/3，所以所求概率
P5 (3)
C53
(
2 3
)3
(1)2 3
0.329
(2) 同(1)属伯努利试验
(3) 无放回抽球不是伯努利试验，抽取5次，可以看 成是一次抽取5个球，此时抽球的概率计算可参照古 典概型讨论。因此若记｛抽到白球3次｝，则
试治该病5例，问治愈3例的概率是多少？
解 假设 Ai ｛第 i 例治愈｝，那么，假设 Ai ｛第 i 例未治愈｝ i 1, 2, ,5
B ｛治愈3例｝
P( Ai ) p
故治疗5例就是做5次贝努利试验。
治疗5例治愈3例的所有结果为 C53 ，如下：
A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 , A1 A2 A3 A4 A5 ,
于是
B A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5 A1 A2 A3 A4 A5
又 C53 种事件 互相排斥，因此
P(B) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) P(A1A2 A3 A4 A5 )
记住 p 较大时 ( p 0.5), X Y n
例5 已知 X ~ B(k,10, 0.7) 求 P(X 7)
解 设 Y 为X 所代表事件的对立事件，则
Y ~ B(k,10,0.3) 其中 k k 10 所以
P(X 7) P(Y 3) 1 P(Y 4)
1 0.35039 0.64961
二项分布的最可能成功次数 k0
使 P(X k) 取最大值时的 k 称为二项分布的
最可能值
就是 n 次独立重复试验中事件 A 最可能出现的
次数，记为k0
P(X k) P(X k 1)
Cnk pk (1 p)nk
P(A)
C230C120 C350
0.360
例4 设 X ~ B(k, 20, 0.20)求 P(X 4), F(4), P(2 X 6)
解 直接用公式计算
P( X 4) C240 0.24 0.816
情况1 p 0.5 用查表法计算更简便
P(X 4) P(X 4) P(X 5) 0.58855 0.37035 0.2182
又
P( A1A2 A3 A4 A5 ) P( A1)P( A2 )P( A3 )P( A4 )P( A5 ) p3(1 p)2
P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1 A2 A3 A4 A5 ) P( A1A2 A3 A4 A5 ) p3 (1 p)2
所以
P(B) C53 p3 (1 p)2
F(4) P(X 4) 1 P(X 5) 1 0.37035 0.62965
P(2 X 6) P(3 X 5) P(X 3) P(X 6)
0.79392 0.19579 0.59813
情况2 p 0.5 当二项分布中的概率 p 较大时 ( p 0.5), 但可转化 为其对立事件的概率
一、伯努利试验
试验结果具有对立性的 n 次独立重复试验 称为 n 重伯努利试验，简称伯努利试验。
伯努利试验的特点：
(1) 对立性，每次试验的结果只能是对立事件
中的一个，要么出现A ，要么出现 A
(2) 独立性，每次试验的结果互不影响，且各
次试验中事件 A 出现的概率都相等.
例2 设某药治某病的治愈率为 p，现在用此药
P5 (3) C53 0.73 (1 0.7)3 0.3087
若 X 的分布律为：
P{X k} Cnk pk qnk , k 0,1, 2, n
则称随机变量 X 服从参数为 n,p 的二项分布
记为 X ~ B(n , p) 其中 q ＝ 1 － p
两个基本性质
(1) P( X k ) Cnk pk (1 p)nk 0
常见离散型随机变量的概率分布
一、二项分布 二、泊松分布 三、其它离散型分布
二项分布
二项分布是瑞士数学家雅各布·伯努利在1713 年出版的专著《猜度术》中提出的，在医药学 中常用于率的研究，如死亡率，有效率，治愈 率等。
雅各布·伯努利 （Jakob Bernoulli，1654年12月
27日－1705年8月16日）伯努利家族 代表人物之一，数学家。他是最早使 用“积分”这个术语的人，也是较早 使用极坐标系的数学家之一。他研究 了悬链线，还确定了等时曲线的方程。
若事件 A 出现的次数 X ~ B(k, n, p), 那么其对立事件
A 出现的次数Y ~ B(k, n, q), 其中
q 1 p, k 0,1, , n, k k n,
因此
P( X k) P(Y n k), P(X k) P(Y n k)
P(k1 X k2 ) P(n k2 Y n k1)
故用此药试治该病5例，治愈3例的概率为C53 p3 (1 p)2
二、二项分布(伯努利公式)
在伯努利试验中，若事件 A
在一次试验中出现的概率为 p 则在 n重试验中
事件 A恰好出现 k 次的概率为
Pn (k ) Cnk pk (1 p)nk
如果上例的治愈率为0.7，那么治疗5例治愈3例的 概率就是
n
n
(2)
P( X k) Cnk pk (1 p)nk ，每次抽球一个： (1) 袋中装有白球20个和黑球10个，现从袋中有放回 抽取5次，求抽到白球3次的概率； (2) 袋中装有白球2个和黑球1个，现从袋中有放回抽 取5次，求抽到白球3次的概率； (3) 袋中装有白球20个和黑球10个，现从袋中无放回 抽取5次，求抽到白球3次的概率。