等差数列的前n项和练习 含答案
等差数列的前n项和公式同步练习(含解析)
《第二节等差数列》同步练习（等差数列的前n项和公式）一、选择题1.已知等差数列{a n}的前n项和为S n,且S2=10,S5=55,则过点P(n,S nn ),Q(n+2,S n+2n+2)(n∈N*)的直线的斜率为( )A.4B.3C.2D.12.[2022辽宁名校高三上联考]已知数列{a n}是等差数列,前n项和为S n,若a1+a2+a3+a4=3,a17+a18+a19+a20=5,则S20=( )A.10B.15C.20D.403.[2022四川成都七中高一下期中]已知等差数列{a n}的公差d<0,a5a7=35,a4+a8=12,前n 项和为S n,则S n的最大值为( )A.66B.72C.132D.1984.(多选)[2022湖南高三上联考]两个等差数列{a n}与{b n}的前n项和分别为S n与T n,且S2n T n =8n3n+5,则( )A.a3+a8=2b3B.当S n=2n2时,b n=6n+2C.a4+a11b4<2D.∀n∈N*,使得T n>05.(多选)[2022安徽临泉一中高二期末]已知等差数列{a n}的前n项和为S n,若S2 021>0,S2 022<0,则( )A.数列{a n}是递增数列B.|a1 012|>|a1 011|C.当S n取得最大值时,n=1 011D.S1 012<S1 0096.[2022山东潍坊高二调研]在我国古代著名的数学专著《九章算术》里有一段叙述:今有良马与驽马发长安至齐,齐去长安四百二十里,良马初日行九十七里,日增一十五里;驽马初日行九十二里,日减一里;良马先至齐,复还迎驽马,二马相逢.问:几日相逢?( )A.4日B.3日C.5日D.6日7.如果有穷数列a1,a2,…,a n(n∈N*)满足a i=a n-i+1(i=1,2,3,…,n),那么称该数列为“对称数列”.设{a n}是项数为2k-1(k∈N,k≥2)的“对称数列”,其中a k,a k+1,…,a2k-1是首项为50,公差为-4的等差数列,记{a n }的各项之和为S 2k -1,则S 2k -1的最大值为( ) A.622B.624C.626D.6288.(多选)[2022江苏南京高三月考]如图的形状出现在中国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》中,后人称为“三角垛”.“三角垛”最上层有1个球,第二层有3个球,第三层有6个球,第四层有10个球,…….设第n 层有a n 个球,从上往下n 层球的总数为S n ,则( )A.S 5=35B.a n +1-a n =nC.S n -S n -1=n(n+1)2,n ≥2 D.1a 1+1a 2+1a 3+…+1a 100=200101二、非选择题9.如图所示,八个边长为1的小正方形拼成一个长为4,宽为2的矩形,A ,B ,D ,E 均为小正方形的顶点,在线段DE 上有 2 020个不同的点P 1,P 2,…,P 2 020,且它们等分DE.记M i =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ (i =1,2,…,2 020).则M 1+M 2+…+M 2 020的值为 .10.已知数列{a n }满足2a n +1=a n +a n +2(n ∈N *),它的前n 项和为S n ,且a 3=10,S 6=72,则{a n }的通项公式a n = ;若数列{b n }满足b n =12a n -30,其前n 项和为T n ,则T n 的最小值为 .11.[2022辽宁阜新高二上期末]在等差数列{a n }中,S n 是数列{a n }的前n 项和,已知a 2=4,S 4=20.(1)求数列{a n }的通项公式;(2)若b n =(-1)n·a n ,求数列{b n }的前n 项和T n .12.[2022河北唐山一中高二上月考]记S n是等差数列{a n}的前n项和,若S5=-35,S7=-21.(1)求数列{a n}的通项公式,并求S n的最小值;(2)设b n=|a n|,求数列{b n}的前n项和T n.参考答案一、选择题1.C设d为数列{a n}的公差,则{S nn }是公差为d2的等差数列.2.C由题易知S4,S8-S4,S12-S8,S16-S12,S20-S16成等差数列,又S4=3,S20-S16=5,则S20=(S20-S16)+(S16-S12)+(S12-S8)+(S8-S4)+S4=(5+3)×52=20.3.A因为d<0,a5a7=35,a4+a8=a5+a7=12,所以a5=7,a7=5,则d=-1,所以a n=a7+(n-7)d=-n+12,所以a12=0,所以当n=11或12时,S n取得最大值,最大值为S11=S12=12(a1+a12)2= 12×(11+0)2=66.4.AB由S2nT n =8n3n+5,知S10T5=10(a1+a10)25(b1+b5)2=a1+a10b3=a3+a8b3=4020=2,即a3+a8=2b3,故A正确;同理可得a4+a11b4=S14T7=2813>2,故C错误;当S n=2n2时,有S2n=8n2,则T n=n(3n+5),易得b n=6n+2,故B正确;当S n=-2n2时,有S2n=-8n2,则T n=-n(3n+5)<0,则不存在n∈N*,使得T n>0,故D错误.5.BC因为S2 021=2021(a1+a2021)2=2 021a1 011>0,S2 022=2022(a1+a2022)2=1 011(a1 011+a1 012)<0,所以a1 011>0,a1 011+a1 012<0,所以a1 012<0,且|a1 012|>|a1 011|,所以数列{a n}是递减数列,且当n=1 011时,S n取得最大值,故B,C正确,A错误.又S1 012-S1 009=a1 010+a1 011+a1 012=3a1 011>0,所以S1 012>S1 009,故D错误.故选BC.6.A记良马第n日行程为a n,驽马第n日行程为b n,则由题意知数列{a n}是首项为97,公差为15的等差数列,数列{b n}是首项为92,公差为-1的等差数列,则a n=97+15(n-1)=15n+82,b n=92-(n-1)=93-n.因为数列{a n}的前n项和为n(97+15n+82)2=n(179+15n)2,数列{b n}的前n项和为n(92+93−n)2=n(185−n)2,所以n(179+15n)2+n(185−n)2=420×2,整理得n2+26n-120=0,解得n=4或n=-30(舍去),即4日相逢.7.C易知a k+a k+1+…+a2k-1=50k+k(k−1)×(−4)2=-2k2+52k,S2k-1=a1+…+a k+a k+1+…+a2k-1=2(a k+a k+1+…+a2k-1)-a k=-4k2+104k-50=-4(k-13)2+626,当k=13时,S2k-1取到最大值,且最大值为626.故选C.8.ACD因为a1=1,a2-a1=2,a3-a2=3,……,a n-a n-1=n,以上n个式子相加可得a n=1+2+3+…+n=n(n+1)2,所以S5=a1+a2+a3+a4+a5=1+3+6+10+15=35,故A正确;由递推关系可知a n+1-a n=n+1,故B 不正确;当n ≥2时,S n -S n -1=a n =n(n+1)2,故C 正确;因为1a n =2n(n+1)=2(1n−1n+1),所以1a 1+1a 2+…+1a 100=2[(1-12)+(12−13)+…+(1100−1101)]=2(1-1101)=200101,故D 正确.故选ACD.二、非选择题9.14 140 解析如图,设C 为DE 的中点,则AC =72.因为P 1,P 2,…,P 2 020等分DE ,所以AP i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 021−i ⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ =2AC ⃗⃗⃗⃗⃗ .又M 1+M 2+…+M 2 020=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ),令S =M 1+M 2+…+M 2 020,则2S =AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +…+AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )=AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·[(AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+(AP 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 2 019⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )+…+(AP 2 020⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ +AP 1⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ )]=(2×2 020)AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =4 040×√5×72×√5=28 280,所以S =14 140.10.4n -2 -225 解析因为2a n +1=a n +a n +2,所以a n +1-a n =a n +2-a n +1,故数列{a n }为等差数列.设数列{a n }的公差为d.由a 3=10,S 6=72,得{a 1+2d =10,6a 1+15d =72,解得{a 1=2,d =4,所以a n =4n -2,所以b n =12a n -30=2n -31.令{b n ≤0,b n+1≥0,即{2n −31≤0,2(n +1)−31≥0,解得292≤n ≤312.因为n ∈N *,所以数列{b n }的前15项均为负值且第16项为正值,所以T 15最小.因为数列{b n }的首项为-29,公差为2,所以T 15=15(−29+2×15−31)2=-225,所以数列{b n }的前n 项和T n 的最小值为-225.11.(1)设首项为a 1,公差为d ,由题意知 {a 1+d =4,4a 1+4×32d =20,解得{a 1=2,d =2,故a n =2n. (2)由(1)得b n =(-1)n·a n =(-1)n·2n.当n 为偶数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -1)+2n ]=n2·2=n ;当n 为奇数时,T n =(-2+4)+(-6+8)+…+[-2(n -2)+2(n -1)]-2n =(n -1)-2n =-n -1, 所以T n ={n,n 为偶数,−n −1,n 为奇数.12.(1)设{a n }的公差为d ,则{5a 1+5×42d =−35,7a 1+7×62d =−21,解得{a 1=−15,d =4, 所以a n =-15+4(n -1)=4n -19.由a n=4n-19≥0,得n≥194,所以当n=1,2,3,4时,a n<0,当n≥5时,a n>0,所以S n的最小值为S4=4a1+4×32d=-36.(2)由(1)知,当n≤4时,b n=|a n|=-a n;当n≥5时,b n=|a n|=a n.又S n=na1+n(n−1)2d=2n2-17n,所以当n≤4时,T n=-S n=17n-2n2,当n≥5时,T n=S n-2S4=2n2-17n-2×(-36)=2n2-17n+72,即T n={17n−2n2,n≤4, 2n2−17n+72,n≥5.。
等差等比数列前N项和练习答案
等差数列前N 项和（第一课时）一、选择题1．设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，S 8＝4a 3，a 7＝－2，则a 9＝( ) A ．－6 B ．－4 C ．－2 D ．2[答案] A[解析] 本题考查数列的基础知识和运算能力．⎩⎪⎨⎪⎧ S 3＝4a 3a 7＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧ 3a 1＋3d ＝4a 1＋8d a 1＋6d ＝－2⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝10d ＝－2. ∴a 9＝a 1＋8d ＝－6.2．四个数成等差数列，S 4＝32，a 2a 3＝13，则公差d 等于( )A ．8B ．16C ．4D ．0[答案] A [解析] ∵a 2a 3＝13，∴a 1＋d a 1＋2d ＝13，∴d ＝－2a 1. 又S 4＝4a 1＋4×32d ＝－8a 1＝32，∴a 1＝－4，∴d ＝8.3．等差数列{a n }中，a 3＋a 7－a 10＝8，a 11－a 4＝14.记S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则S 13＝( )A ．168B ．156C ．152D ．286[答案] D[解析] ∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 3＋a 7－a 10＝8a 11－a 4＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1－d ＝87d ＝14，∴⎩⎪⎨⎪⎧d ＝2a 1＝10，∴S 13＝13a 1＋13×122d ＝286.4．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4475C ．8950D ．10 000[答案] C[解析] 设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100(c 1＋c 100)2＝100×(40＋139)2＝8950.5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差是( ) A ．5 B ．4 C ．3 D ．2[答案] C[解析] 设等差数列为{a n }，公差为d ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 3＋a 5＋a 7＋a 9＝15a 2＋a 4＋a 6＋a 8＋a 10＝30， ∴5d ＝15，∴d ＝3.6．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 7a 5＝913，则S 13S 9＝( ) A ．1 B ．－1 C ．2 D ．12[答案] A [解析]S 13S 9＝13a 79a 5＝139×913＝1，故选A ． 二、填空题7．已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________. [答案] －5n 2＋n2[解析] ∵a n ＝－5n ＋2， ∴a n －1＝－5n ＋7(n ≥2)，∴a n －a n －1＝－5n ＋2－(－5n ＋7)＝－5(n ≥2)． ∴数列{a n }是首项为－3，公差为－5的等差数列． ∴S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－5n －1)2＝－5n 2＋n 2.8．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 9＝72，则a 2＋a 4＋a 9＝________. [答案] 24[解析] ∵S 9＝9·(a 1＋a 9)2＝72，∴a 1＋a 9＝16，即a 1＋a 1＋8d ＝16， ∴a 1＋4d ＝8，又a 2＋a 4＋a 9＝a 1＋d ＋a 1＋3d ＋a 1＋8d＝3(a 1＋4d )＝3×8＝24. 三、解答题9．已知等差数列{a n }．(1)a 1＝56，a 15＝－32，S n ＝－5，求n 和d ；(2)a 1＝4，S 8＝172，求a 8和d ． [解析] (1)∵a 15＝56＋(15－1)d ＝－32，∴d ＝－16.又S n ＝na 1＋n (n －1)2·d ＝－5，解得n ＝15，n ＝－4(舍)．(2)由已知，得S 8＝8(a 1＋a 8)2＝8(4＋a 8)2，解得a 8＝39，又∵a 8＝4＋(8－1)d ＝39，∴d ＝5.等差数列前N 项和（第二课时） 一、选择题1．记等差数列{a n }的前n 项和为S n .若d ＝3，S 4＝20，则S 6＝( ) A ．16 B ．24 C ．36 D ．48[答案] D[解析] 由S 4＝20,4a 1＋6d ＝20，解得a 1＝12⇒S 6＝6a 1＋6×52×3＝48.2．已知{a n }为等差数列，a 1＋a 3＋a 5＝105，a 2＋a 4＋a 6＝99，S n 是等差数列{a n }的前n 项和，则使得S n 达到最大值的n 是( )A ．21B ．20C ．19D ．18 [答案] B[解析] 由题设求得：a 3＝35，a 4＝33，∴d ＝－2，a 1＝39，∴a n ＝41－2n ，a 20＝1，a 21＝－1，所以当n ＝20时S n 最大．故选B ．3.13×5＋15×7＋17×9＋…＋113×15＝( )A ．415B ．215C ．1415D ．715[答案] B[解析] 原式＝12(13－15)＋12(15－17)＋…＋12(113－115)＝12(13－115)＝215，故选B ．4．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，a 5＝5，S 5＝15，则数列{1a n a n ＋1}的前100项和为( )A ．100101B ．99101C ．99100D ．101100[答案] A[解析] 本小题主要考查等差数列的通项公式和前n 项和公式的运用，以及裂项求和的综合应用．∵a 5＝5，S 5＝15 ∴5(a 1＋5)2＝15，∴a 1＝1. ∴d ＝a 5－a 15－1＝1，∴a n ＝n .∴1a n a n ＋1＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1. 则数列{1a n a n ＋1}的前100项的和为：T 100＝(1－12)＋(12－13)＋…＋(1100－1101)＝1－1101＝100101. 故选A ．5．设等差数列{a n }的前n 项的和为S n ，若a 1>0，S 4＝S 8，则当S n 取得最大值时，n 的值为( )A ．5B ．6C ．7D ．8[答案] B[解析] 解法一：∵a 1>0，S 4＝S 8，∴d <0，且a 1＝112d ，∴a n ＝－112d ＋(n －1)d ＝nd －132d ，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥0a n ＋1<0，得⎩⎨⎧nd －132d ≥0(n ＋1)d －132d <0，∴512<n ≤612，∴n ＝6，解法二：∵a 1>0，S 4＝S 8， ∴d <0且a 5＋a 6＋a 7＋a 8＝0， ∴a 6＋a 7＝0，∴a 6>0，a 7<0， ∴前六项之和S 6取最大值．6．设{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，且S 5<S 6，S 6＝S 7>S 8，则下列结论错误的是( ) A ．d <0 B ．a 7＝0C ．S 9>S 5D ．S 6与S 7均为S n 的最大值[答案] C[解析] 由S 5<S 6知a 6>0，由S 6＝S 7知a 7＝0，由S 7>S 8知a 8<0，C 选项S 9>S 5即a 6＋a 7＋a 8＋a 9>0，∴a 7＋a 8>0，显然错误． 二、填空题7．设S n 是等差数列{a n }(n ∈N *)的前n 项和，且a 1＝1，a 4＝7，则S 5＝________. [答案] 25[解析] 由⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝1a 4＝7得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1d ＝2，∴S 5＝5a 1＋5×42×d ＝25.8．(2014·北京理，12)若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大．[答案] 8[解析] 本题考查了等差数列的性质与前n 项和．由等差数列的性质，a 7＋a 8＋a 9＝3a 8，a 7＋a 10＝a 8＋a 9，于是有a 8>0，a 8＋a 9<0，故a 9<0，故S 8>S 7，S 9<S 8，S 8为{a n }的前n 项和S n 中的最大值，等差数列{a n }中首项a 1>0公差d <0，{a n }是一个递减的等差数列，前n 项和有最大值，a 1<0，公差d >0，{a n }是一个递增的等差数列，前n 项和有最小值．三、解答题9．设等差数列{a n }满足a 3＝5，a 10＝－9. (1)求{a n }的通项公式；(2)求{a n }的前n 项和S n 及使得S n 取最大值的n 的值．[解析] (1)设公差为d ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝5a 1＋9d ＝－9，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝9d ＝－2.∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝－2n ＋11.(2)由(1)知S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝10n －n 2＝－(n －5)2＋25，∴当n ＝5时，S n 取得最大值．等比数列前N 项和综合练习1．(2013·新课标全国Ⅰ)设首项为1，公比为23的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，则( )A ．S n ＝2a n －1B ．S n ＝3a n －2C ．S n ＝4－3a nD ．S n ＝3－2a n答案 D解析 S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q＝1－23a n1－23＝3－2a n ，故选D 项． 2．等比数列{a n }各项都是正数，若a 1＝81，a 5＝16，则它的前5项和是( )A ．179B ．211C ．248D ．275答案 B解析 ∵a 5＝a 1q 4，∴16＝81q 4.∴q ＝±23.又数列{a n }的各项都是正数，∴q ＝23. ∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝81[1－(23)5]1－23＝211. 3．在等比数列{a n }中，S n 表示前n 项和，若a 3＝2S 2＋1，a 4＝2S 3＋1，则公比q 等于( )A ．3B ．－3C ．－1D ．1答案 A解析 思路一：列方程求出首项和公比，过程略； 思路二：两等式相减得a 4－a 3＝2a 3，从而求得a 4a 3＝3＝q .4．在公比为正数的等比数列中，a 1＋a 2＝2，a 3＋a 4＝8，则S 8等于( )A ．21B ．42C ．135D ．170答案 D 解析5．设{a n }是由正数组成的等比数列，S n 为其前n 项和．已知a 2a 4＝1，S 3＝7，则S 5＝( )A.152B.314C.334D.172答案 B解析 显然公比q ≠1，由题意，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ·a 1q 3＝1，a 1(1－q 3)1－q ＝7，解得⎩⎨⎧a 1＝4，q ＝12，∴S 5＝a 1(1－q 5)1－q＝4(1－125)1－12＝314. 6．在14与78之间插入n 个数组成等比数列，若各项总和为778，则此数列的项数( )A ．4B ．5C ．6D ．7答案 B解析 ∵q ≠1(14≠78)，∴Sn ＝a 1－anq 1－q.∴778＝14－78q 1－q ，解得q ＝－12，78＝14×(－12)n ＋2－1.∴n ＝3，故该数列共5项．7．等比数列{an }的首项为1，公比为q ，前n 项和为S ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为( ) A.1S B ．S C ．Sq 1－n D ．S －1q 1－n答案 C解析 q ≠1时，S ＝1－q n 1－q ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为1(1－1q n )1－1q ＝q 1－n ·1－q n 1－q＝q 1－n ·S .当q ＝1时，q 1－n ·S ＝S .8．在等比数列{a n }中，公比q ＝－2，S 5＝44，则a 1的值为( )A ．4B ．－4C ．－2D ．2答案 A 解析9．数列{a n }的前n 项和为S n ＝4n ＋b (b 是常数，n ∈N *)，若这个数列是等比数列，则b 等于( )A ．－1B ．0C ．1D ．4答案 A 解析10．(2013·北京)若等比数列{a n }满足a 2＋a 4＝20，a 3＋a 5＝40，则公比q ＝________；前n 项和S n ＝________.答案 2 2n ＋1－2解析 由题意知q ＝a 3＋a 5a 2＋a 4＝2.由a 2＋a 4＝a 2(1＋q 2)＝a 1q (1＋q 2)＝20，∴a 1＝2，∴S n ＝2(1－2n )1－2＝2n ＋1－2.11．(2012·新课标全国)等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋3S 2＝0，则公比q ＝________.答案 －2解析 由S 3＝－2S 2，可得a 1＋a 2＋a 3＝－3(a 1＋a 2)， 即a 1(1＋q ＋q 2)＝－3a 1(1＋q )，化简整理得q 2＋4q ＋4＝0，解得q ＝－2.12．若等比数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝－512，前n 项和为S n ＝－341，则n 的值是________．答案 1013．(2012·浙江)设公比为q (q >0)的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 2＝3a 2＋2，S 4＝3a 4＋2，则q ＝________.答案 32解析 由已知S 4－S 2＝3a 4－3a 2，即a 4＋a 3＝3a 4－3a 2，即2a 4－a 3－3a 2＝0，两边同除以a 2，得2q 2－q －3＝0，即q ＝32或q ＝－1(舍)．答案 3n －1，或(－3)n－14解析答案24解析16．等比数列{a n}的公比q>0，已知a2＝1，a n＋2＋a n＋1＝6a n，则{a n}的前4项和S4＝________.答案 152解析 由条件a n ＋2＋a n ＋1＝a n q 2＋a n q ＝6a n ，q >0，得q ＝2，又a 2＝1，所以a 1＝12，S 4＝152.17．一个等比数列的首项为1，项数为偶数，其中奇数项的和为85，偶数项的和为170，求该数列的公比和项数．答案 该数列的公比为2，项数为8解析18．设等比数列{a n }的公比q <1，前n 项和为S n ，已知a 3＝2，S 4＝5S 2，求{a n }的通项公式．解析 由题设知a 1≠0，S n ＝a 1(1－q n )1－q，则 ⎩⎪⎨⎪⎧ a 1q 2＝2，a 1(1－q 4)1－q ＝5×a 1(1－q 2)1－q ， ①②由②得1－q 4＝5(1－q 2)，(q 2－4)(q 2－1)＝0.(q －2)(q ＋2)(q －1)(q ＋1)＝0， 因为q <1，解得q ＝－1或q ＝－2. 当q ＝－1时，代入①得a 1＝2，a n ＝2×(－1)n －1；当q ＝－2时，代入①得a 1＝12，a n ＝12×(－2)n －1.综上，当q ＝－1时，a n ＝2×(－1)n －1； 当q ＝－2时，a n ＝12×(－2)n －1.。
(完整版)等差数列的前n项和练习含答案
课时作业8 等差数列的前n 项和时间：45分钟 满分：100分课堂训练1．已知{a n }为等差数列，a 1＝35，d ＝－2，S n ＝0，则n 等于( ) A ．33 B ．34 C ．35 D ．36【答案】 D【解析】 本题考查等差数列的前n 项和公式．由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝35n ＋n (n －1)2×(－2)＝0，可以求出n ＝36.2．等差数列{a n }中，3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24，则数列前13项的和是( )A ．13B ．26C ．52D ．156 【答案】 B【解析】 3(a 3＋a 5)＋2(a 7＋a 10＋a 13)＝24⇒6a 4＋6a 10＝24⇒a 4＋a 10＝4⇒S 13＝13(a 1＋a 13)2＝13(a 4＋a 10)2＝13×42＝26. 3．等差数列的前n 项和为S n ，S 10＝20，S 20＝50.则S 30＝________. 【答案】 90【解析】 等差数列的片断数列和依次成等差数列． ∴S 10，S 20－S 10，S 30－S 20也成等差数列． ∴2(S 20－S 10)＝(S 30－S 20)＋S 10，解得S 30＝90.4．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 12＝84，S 20＝460，求S 28. 【分析】 (1)应用基本量法列出关于a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，进而求得S 28；(2)因为数列不是常数列，因此S n 是关于n 的一元二次函数且常数项为零．设S n ＝an 2＋bn ，代入条件S 12＝84，S 20＝460，可得a 、b ，则可求S 28；(3)由S n ＝d 2n 2＋n (a 1－d 2)得S n n ＝d 2n ＋(a 1－d2)，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是一个等差数列，又2×20＝12＋28，∴2×S 2020＝S 1212＋S 2828，可求得S 28.【解析】 方法一：设{a n }的公差为d ， 则S n ＝na 1＋n (n －1)2d .由已知条件得：⎩⎨⎧12a 1＋12×112d ＝84，20a 1＋20×192d ＝460，整理得⎩⎨⎧2a 1＋11d ＝14，2a 1＋19d ＝46，解得⎩⎨⎧a 1＝－15，d ＝4.所以S n ＝－15n ＋n (n －1)2×4＝2n 2－17n ， 所以S 28＝2×282－17×28＝1 092.方法二：设数列的前n 项和为S n ，则S n ＝an 2＋bn . 因为S 12＝84，S 20＝460，所以⎩⎨⎧122a ＋12b ＝84，202a ＋20b ＝460，整理得⎩⎨⎧12a ＋b ＝7，20a ＋b ＝23.解之得a ＝2，b ＝－17， 所以S n ＝2n 2－17n ，S 28＝1 092. 方法三：∵{a n }为等差数列， 所以S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，所以S n n ＝a 1－d 2＋d2n ，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 是等差数列．因为12,20,28成等差数列， 所以S 1212，S 2020，S 2828成等差数列， 所以2×S 2020＝S 1212＋S 2828，解得S 28＝1 092.【规律方法】 基本量法求出a 1和d 是解决此类问题的基本方法，应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a n }中，a 2＝7，a 4＝15，则前10项的和S 10等于( )A ．100B ．210C ．380D ．400【答案】 B【解析】 d ＝a 4－a 24－2＝15－72＝4，则a 1＝3，所以S 10＝210.2．在等差数列{a n }中，a 2＋a 5＝19，S 5＝40，则a 10＝( ) A ．27 B ．24 C ．29 D ．48【答案】 C 【解析】由已知⎩⎨⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋10d ＝40.解得⎩⎨⎧a 1＝2，d ＝3.∴a 10＝2＋9×3＝29.3．数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋2n －1，则这个数列一定是( ) A ．等差数列 B ．非等差数列 C ．常数列 D ．等差数列或常数列 【答案】 B【解析】 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋2n －1－[(n －1)2＋2(n －1)－1]＝2n ＋1，当n ＝1时a 1＝S 1＝2.∴a n ＝⎩⎨⎧2，n ＝1，2n ＋1，n ≥2，这不是等差数列．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n .若a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，则当S n 取最小值时，n 等于( )C ．8D ．9【答案】 A 【解析】⎩⎨⎧a 1＝－11，a 4＋a 6＝－6，∴⎩⎨⎧a 1＝－11，d ＝2，∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝－11n ＋n 2－n ＝n 2－12n . ＝(n －6)2－36. 即n ＝6时，S n 最小．5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为34，最后5项的和为146，所有项的和为234，则它的第7项等于( )A ．22B ．21C ．19D ．18【答案】 D【解析】 ∵a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＝34， a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＋a n －4＝146， ∴5(a 1＋a n )＝180，a 1＋a n ＝36， S n ＝n (a 1＋a n )2＝n ×362＝234. ∴n ＝13，S 13＝13a 7＝234.∴a 7＝18.6．一个有11项的等差数列，奇数项之和为30，则它的中间项为( )A ．8B ．7【答案】 D【解析】 S 奇＝6a 1＋6×52×2d ＝30，a 1＋5d ＝5，S 偶＝5a 2＋5×42×2d ＝5(a 1＋5d )＝25，a 中＝S 奇－S 偶＝30－25＝5.7．若两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别是S n ，T n ，已知S n T n＝7n n ＋3，则a 5b 5等于( ) A ．7 B.23 C.278 D.214【答案】 D【解析】 a 5b 5＝2a 52b 5＝a 1＋a 9b 1＋b 9＝92(a 1＋a 9)92(b 1＋b 9)＝S 9T 9＝214.8．已知数列{a n }中，a 1＝－60，a n ＋1＝a n ＋3，则|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|等于( )A ．445B ．765C ．1 080D ．1 305 【答案】 B【解析】 a n ＋1－a n ＝3，∴{a n }为等差数列． ∴a n ＝－60＋(n －1)×3，即a n ＝3n －63.∴a n ＝0时，n ＝21，a n >0时，n >21，a n <0时，n <21. S ′30＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a 30|＝－a 1－a 2－a 3－…－a 21＋a 22＋a 23＋…＋a 30 ＝－2(a 1＋a 2＋…＋a 21)＋S 30 ＝－2S 21＋S 30 ＝765.二、填空题(每小题10分，共20分)9．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝S 3＝12，则数列的通项公式a n ＝________.【答案】 2n【解析】 设等差数列{a n }的公差d ，则⎩⎨⎧a 1＋5d ＝12a 1＋d ＝4，∴⎩⎨⎧a 1＝2d ＝2，∴a n ＝2n .10．等差数列共有2n ＋1项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则n 等于________．【答案】 10【解析】 ∵等差数列共有2n ＋1项，∴S 奇－S 偶＝a n ＋1＝S 2n ＋12n ＋1.即132－120＝132＋1202n ＋1，求得n ＝10.【规律方法】 利用了等差数列前n 项和的性质，比较简捷． 三、解答题(每小题20分，共40分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)11．在等差数列{a n }中，(1)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8； (2)若a 1＝1，a n ＝－512，S n ＝－1 022，求d .【分析】 在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就可求出其他两个量，其中a 1和d 是两个最基本量，利用通项公式和前n 项和公式，先求出a 1和d ，然后再求前n 项和或特别的项．【解析】 (1)∵a 6＝10，S 5＝5，∴⎩⎨⎧a 1＋5d ＝10，5a 1＋10d ＝5.解方程组，得a 1＝－5，d ＝3， ∴a 8＝a 6＋2d ＝10＋2×3＝16， S 8＝8(a 1＋a 8)2＝44. (2)由S n ＝n (a 1＋a n )2＝n (－512＋1)2＝－1 022， 解得n ＝4.又由a n ＝a 1＋(n －1)d ， 即－512＝1＋(4－1)d ， 解得d ＝－171.【规律方法】 一般地，等差数列的五个基本量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a 1和d ，然后再用公式求出其他的量．12．已知等差数列{a n }，且满足a n ＝40－4n ，求前多少项的和最大，最大值为多少？【解析】 方法一：(二次函数法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， ∴S n ＝(a 1＋a n )n 2＝36＋40－4n2·n ＝－2n 2＋38n ＝－2[n 2－19n ＋(192)2]＋1922＝－2(n －192)2＋1922.令n －192＝0，则n ＝192＝9.5，且n ∈N ＋， ∴当n ＝9或n ＝10时，S n 最大，∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2(10－192)2＋1922＝180. 方法二：(图象法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36， a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝36n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋38n ， 点(n ，S n )在二次函数y ＝－2x 2＋38x 的图象上，S n 有最大值，其对称轴为x ＝－382×(－2)＝192＝9.5，∴当n ＝10或9时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝－2×102＋38×10＝180. 方法三：(通项法)∵a n ＝40－4n ，∴a 1＝40－4＝36，a 2＝40－4×2＝32，∴d ＝32－36＝－4<0，数列{a n }为递减数列．令⎩⎨⎧a n ≥0，a n ＋1≤0，有⎩⎨⎧40－4n ≥0，40－4(n ＋1)≤0，∴⎩⎨⎧n ≤10，n ≥9，即9≤n ≤10.当n ＝9或n ＝10时，S n 最大．∴S n 的最大值为S 9＝S 10＝a 1＋a 102×10＝36＋02×10＝180. 【规律方法】 对于方法一，一定要强调n ∈N ＋，也就是说用函数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n ＝9或n ＝10，需注意a m ＝0时，S m －1＝S m 同为S n 的最值．。
等差数列的前n项和(作业带答案)
等差数列的前n 项和一、选择题（5*6=30）1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．232．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 12＝a 7＋6，则S 11＝( )A ．99B ．33C ．198D ．663．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．6634．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．295．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布．记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14＋a 15＋a 16＋a 17的值为( )A ．55B ．52C ．39D ．266．(多选题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 2 019＞0，S 2 020＜0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则下列判断正确的是( )A ．a 1 010＞0B ．a 1 011＞0C ．|a 1 010|＞|a 1 011|D ．k 的值为1 010二、填空题（2*5=10）7．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．8．若数列{}a n 的前n 项和为S n ＝n 2－3n ＋1()n ∈N *，则该数列的通项公式为a n ＝________．三、解答题（20*3=60）9．已知等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50．(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n ．10．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求S n 和a n ．11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2．(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？等差数列的前n 项和（答案）一、选择题1．已知等差数列{a n }满足a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，则它的前10项的和S 10＝( )A ．138B ．135C ．95D ．23C [∵⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＋a 4＝4，a 3＋a 5＝10，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝2，a 1＋3d ＝5，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－4，d ＝3，∴S 10＝10a 1＋10×92×d ＝－40＋135＝95．]2．已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＋a 12＝a 7＋6，则S 11＝( )A ．99B ．33C ．198D ．66D [因为a 1＋a 12＝a 7＋6，所以a 6＝6，则S 11＝11(a 1＋a 11)2＝11a 6＝11×6＝66，故选D ．] 3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( )A ．765B ．665C ．763D ．663B [由题意得，所有被7除余2的数构成以2为首项，公差为7的等差数列，∴2＋(n －1)×7<100，∴n <15，∴n ＝14，S 14＝14×2＋12×14×13×7＝665．]4．现有200根相同的钢管，把它们堆成三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A ．9B ．10C ．19D ．29B [钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2．当n ＝19时，S 19＝190．当n ＝20时，S 20＝210>200．∴n ＝19时，剩余钢管根数最少， 为10根．]5．《张丘建算经》卷上第22题为“今有女善织，日益功疾，初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为：现有一善于织布的女子，从第2天开始，每天比前一天多织相同量的布，第1天织了5尺布，现在一月(按30天计算)共织390尺布．记该女子一月中的第n 天所织布的尺数为a n ，则a 14＋a 15＋a 16＋a 17的值为( )A ．55B ．52C ．39D ．26B [由题意可得{a n }为等差数列，a 1＝5，∴S 30＝30×5＋30×292d ＝390，解得d ＝1629，∴a 14＋a 15＋a 16＋a 17＝a 1＋13d ＋a 1＋14d ＋a 1＋15d ＋a 1＋16d ＝4a 1＋58d ＝4×5＋58×1629＝52．]6．(多选题)设等差数列{a n }的前n 项和为S n 且满足S 2 019＞0，S 2 020＜0，对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则下列判断正确的是( )A ．a 1 010＞0B ．a 1 011＞0C ．|a 1 010|＞|a 1 011|D ．k 的值为1 010AD [由等差数列{a n }，可得S 2 019＝2 019(a 1＋a 2 019)2＞0，S 2 020＝2 020(a 1＋a 2 020)2＜0， 即：a 1＋a 2 019＞0，a 1＋a 2 020＜0，可得：2a 1 010＞0，a 1 010＋a 1 011＜0，∴a 1 010＞0，a 1 011＜0，∴A 正确B 错误．又等差数列{a n }为递减数列， 且a 1 010＋a 1 011＜0，∴|a 1 010|＜|a 1 011|，∴C 错误．而对任意正整数n ，都有|a n |≥|a k |，则k 的值为1 010．故D 正确．故选AD ．]二、填空题7．已知在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，则数列{a n }的前9项和等于________．27 [由a 1＝1，a n ＝a n －1＋12(n ≥2)，可知数列{a n }是首项为1，公差为12的等差数列，故S 9＝9a 1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27．] 8．若数列{}a n 的前n 项和为S n ＝n 2－3n ＋1()n ∈N *，则该数列的通项公式为a n ＝________．⎩⎪⎨⎪⎧ －1 ()n ＝12n －4()n ≥2 [由题意可知，当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－3×1＋1＝－1； 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝()n 2－3n ＋1－⎣⎡⎦⎤()n －12－3()n －1＋1＝2n －4． 又a 1＝－1不满足a n ＝2n －4．因此，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －1()n ＝1，2n －4()n ≥2.] 三、解答题9．已知等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50．(1)求数列的通项公式；(2)若S n ＝242，求n ．[解] (1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ． 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2，∴a n ＝a 1＋(n －1)d ＝12＋(n －1)×2＝10＋2n ．(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d 以及a 1＝12，d ＝2，S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2，即n 2＋11n －242＝0，解得n ＝11或n ＝－22(舍去)．故n ＝11．10．已知数列{}a n 的前n 项和为S n ，且满足a 1＝12，a n ＝－2S n S n －1(n ≥2)．(1)求证：数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列； (2)求S n 和a n ．[解] (1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2S n S n －1，①∵S 1＝a 1≠0，由递推关系知S n ≠0(n ∈N *)，由①式得1S n －1S n －1＝2(n ≥2)． ∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是等差数列，其中首项为1S 1＝1a 1＝2，公差为2． (2)由(1)知，1S n＝2＋2(n －1)＝2n ，∴S n ＝12n ． 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－12n (n －1)， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12不适合上式．所以，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 12，n ＝1，－12n (n －1)，n ≥2.11．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a n }为等差数列，a 1＝12，d ＝－2．(1)求S n ，并画出{S n }(1≤n ≤13)的图象；(2)分别求{S n }单调递增、单调递减的n 的取值范围，并求{S n }的最大(或最小)的项；(3){S n }有多少项大于零？[解] (1)S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝12n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋13n ．图象如图．(2)S n ＝－n 2＋13n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫n －1322＋1694，n ∈N *， ∴当n ＝6或7时，S n 最大；当1≤n ≤6时，{S n }单调递增；当n ≥7时，{S n }单调递减．{S n }有最大值，最大项是S 6，S 7，S 6＝S 7＝42．(3)由图象得{S n }中有12项大于零．。
人教版高二数学《等差数列的前n项和公式》练习含答案解析
4．2.2 第一课时 等差数列的前n项和公式[A级 基础巩固]1．已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若2a6＝a8＋6，则S7等于( )A．49 B．42C．35 D．28解析：选B 2a6－a8＝a4＝6，S7＝72(a1＋a7)＝7a4＝42.2．已知数列{a n}是等差数列，a4＝15，S5＝55，则过点P(3，a3)，Q(4，a4)的直线斜率为( )A．4 D．1 4C．－4 D．－1 4解析：选A 由S5＝5(a1＋a5)2＝5×2a32＝55，解得a3＝11.∴P(3,11)，Q(4,15)，∴k＝15－114－3＝4.故选A.3．在小于100的自然数中，所有被7除余2的数之和为( ) A．765 B．665 C．763 D．663解析：选B ∵a1＝2，d＝7，则2＋(n－1)×7＜100，∴n＜15，∴n＝14，S14＝14×2＋12×14×13×7＝665.4．设S n是等差数列{a n}的前n项和，若a5a3＝59，则S9S5等于( )A．1 B．－1C．2 D．1 2解析：选A S9S5＝92(a1＋a9)52(a1＋a5)＝92·2a552·2a3＝9a55a3＝95·a5a3＝1.5．现有200根相同的钢管，把它们堆成一个正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为( )A．9 B．10C．19 D．29解析：选B 钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.当n＝19时，S19＝190.当n＝20时，S20＝210＞200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．6．已知{a n}是等差数列，a4＋a6＝6，其前5项和S5＝10，则其公差为d＝________.解析：a4＋a6＝a1＋3d＋a1＋5d＝6，①S5＝5a1＋12×5×(5－1)d＝10，②由①②联立解得a1＝1，d＝1 2 .答案：1 27．已知数列{a n}中，a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，则数列{a n}的前9项和等于________．解析：由a1＝1，a n＝a n－1＋12(n≥2)，可知数列{a n}是首项为1，公差为12的等差数列，故S9＝9a1＋9×(9－1)2×12＝9＋18＝27.答案：27n＝11．已知命题：“在等差数列{a n}中，若4a2＋a10＋a( )＝24，则S11为定值”为真命题，由于印刷问题，括号处的数模糊不清，可推得括号内的数为( )A．15 B．24C．18 D．28解析：选C 设括号内的数为n，则4a2＋a10＋a(n)＝24，即6a1＋(n＋12)d＝24.又因为S11＝11a1＋55d＝11(a1＋5d)为定值，所以a1＋5d为定值．所以n＋126＝5，解得n＝18.12．(多选)已知等差数列{a n}的前n项和为S n，若S7＝a4，则( ) A．a1＋a3＝0 B．a3＋a5＝0 C．S3＝S4 D．S4＝S5解析：选BC 由S7＝7(a1＋a7)2＝7a4＝a4，得a4＝0，所以a3＋a5＝2a4＝0，S3＝S4，故选B、C.13．在等差数列{a n}中，前m(m为奇数)项和为135，其中偶数项之和为63，且a m－a1＝14，则m＝________，a100＝________.解析：∵在前m项中偶数项之和为S偶＝63，∴奇数项之和为S奇＝135－63＝72，设等差数列{a n}的公差为d，则S奇－S偶＝2a1＋(m－1)d2＝72－63＝9.又∵a m＝a1＋d(m－1)，∴a1＋a m2＝9，∵a m－a1＝14，∴a1＝2，a m＝16.∵m(a1＋a m)2＝135，∴m＝15，∴d＝14m－1＝1，∴a100＝a1＋99d＝101.答案：15 10114．设S n是数列{a n}的前n项和且n∈N*，所有项a n＞0，且S n＝14a2n＋12a n－34.(1)证明：{a n}是等差数列；(2)求数列{a n}的通项公式．解：(1)证明：当n＝1时，a1＝S1＝14a21＋12a1－34，解得a1＝3或a1＝－1(舍去)．当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝14(a2n＋2a n－3)－14(a2n－1＋2a n－1－3)．所以4a n＝a2n－a2n－1＋2a n－2a n－1，即(a n＋a n－1)(a n－a n－1－2)＝0，因为a n＋a n－1＞0，所以a n－a n－1＝2(n≥2)．所以数列{a n}是以3为首项，2为公差的等差数列．(2)由(1)知a n＝3＋2(n－1)＝2n＋1.[C级 拓展探究]15．求等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)与{6m－3}(1≤m≤200)的公共项之和．解：由4n＋1＝6m－3(m，n∈N*且1≤m≤200,1≤n≤200)，可得Error!(t∈N*且23≤t≤67)．则等差数列{4n＋1}(1≤n≤200)，{6m－3}(1≤m≤200)的公共项按从小到大的顺序组成的数列是等差数列{4(3t－1)＋1}(t∈N*且23≤t≤67)，即{12t－3}(t∈N*且23≤t≤67)，各项之和为67×9＋67×662×12＝27 135.。
等差数列及其前n项和专题练习(含参考答案)资料
等差数列及其前n项和专题练习(含参考答案)数学27 等差数列及其前n 项和一、选择题1．数列{2n －1}的前10项的和是( C )A ．120B ．110C ．100D ．10[解析] ∵数列{2n －1}是以1为首项，2为公差的等差数列， ∴S 10＝(a 1＋a 10)×102＝(1＋19)×102＝100.故选C ． 2．我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何．”意思是：“现有一根金缍，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤？”( D )A ．6斤B ．7斤C ．8斤D ．9斤[解析] 设这根金锤从头到尾每一尺的重量构成等差数列{a n }，由已知得a 1＝4，a 5＝2，求a 2＋a 3＋a 4，∵a 2＋a 3＋a 4＝3a 3＝3×a 1＋a 52＝9，故选D ． 3．设等差数列{a n }的公差为d ，且a 1a 2＝35,2a 4－a 6＝7，则d ＝( C )A ．4B ．3C ．2D ．1[解析] ∵{a n }是等差数列，∴2a 4－a 6＝a 4－2d ＝a 2＝7，∵a 1a 2＝35，∴a 1＝5，∴d ＝a 2－a 1＝2，故选C ．4．在等差数列{a n }中，若a 1，a 2015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，则a 2＋a 1008＋a 2014＝( B )A ．10B ．15C ．20D ．40[解析] 因为a 1，a 2015为方程x 2－10x ＋16＝0的两根，所以a 1＋a 2015＝10.由等差数列的性质可知，a 1008＝a 1＋a 20152＝5，a 2＋a 2014＝a 1＋a 2015＝10，所以a 2＋a 1008＋a 2014＝10＋5＝15.故选B ．5．已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝50，S 10＝200，则a 10＋a 11的值为( D )A ．20B ．40C ．60D ．80[解析] 设等差数列{a n }的公差为d ，由已知得⎩⎨⎧S 5＝5a 1＋5×42d ＝50，S 10＝10a 1＋10×92d ＝200， 即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝10，a 1＋92d ＝20，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝4. ∴a 10＋a 11＝2a 1＋19d ＝80.故选D ．6．设数列{a n }的前n 项和为S n ，且a n ＝－2n ＋1，则数列{S n n}的前11项和为( D ) A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66[解析] ∵a n ＝－2n ＋1，∴数列{a n }是以－1为首项，－2为公差的等差数列，∴S n ＝n [－1＋(－2n ＋1)]2＝－n 2，∴S n n ＝－n 2n ＝－n ，∴数列{S n n}是以－1为首项，－1为公差的等差数列，∴数列{S n n }的前11项和为11×(－1)＋11×102×(－1)＝－66，故选D ． 7．《九章算术》“竹九节”问题：现有一根9节的竹子，自上而下各节的容积成等差数列，上面4节的容积共3升，下面3节的容积共4升，则第5节的容积为( B )A ．1升B ．6766升C ．4744升 D ．3733升 [解析] 设该等差数列为{a n }，公差为d ， 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝3，a 7＋a 8＋a 9＝4，即⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝3，3a 1＋21d ＝4， 解得⎩⎨⎧a 1＝1322，d ＝766.∴a 5＝1322＋4×766＝6766.故选B ．8．等差数列{a n }的公差为d ，关于x 的不等式dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]，则使数列{a n }的前n 项和S n 取得最大的正整数n 的值是( B )A ．4B ．5C ．6D ．7[解析] 由dx 2＋2a 1x ≥0的解集为[0,9]得，d <0且9d ＋2a 1＝0，∴a 1＝－92d ，S n ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n ＝d 2n 2－5dn ＝d 2(n 2－10n )，当n ＝5时，S n 取得最大值，故选B ． 二、填空题9．中位数为1011的一组数构成等差数列，其末项为2019，则该数列的首项为__3___．[解析] 设首项为a 1，则a 1＋2019＝2×1011，解得a 1＝3.故填3．10．已知数列{a n }中，a 1＝1且1a n ＋1＝1a n ＋13(n ∈N *)，则a 10＝ 14 ． [解析] 由已知得1a 10＝1a 1＋(10－1)×13＝1＋3＝4，故a 10＝14． 11．记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 3＝0，a 6＋a 7＝14，则S 7＝__14___．[解析] 解法一：设数列{a n }的公差为d ，则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，又∵a 3＝0，∴d ＝2，∴a 7＝a 3＋4d ＝8，又a 3＝a 1＋2d ，∴a 1＝－4，∴S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7×(－4＋8)2＝14． 解法二：设数列{a n }的公差为d ，则a 6＋a 7＝2a 3＋7d ＝14，又∵a 3＝0，∴d ＝2，∴a 4＝a 3＋d ＝2．∴S 7＝a 1＋a 2＋a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝7a 4＝14．12．在等差数列{a n }中，若S 4＝1，S 8＝4，则a 17＋a 18＋a 19＋a 20的值为__9___．[解析] 解法一：∵S 4＝1，S 8＝4，∴S 4，S 8－S 4，S 12－S 8，S 16－S 12，S 20－S 16成首项为1，公差为2的等差数列，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝1＋2×(5－1)＝9．解法二：由等差数列的性质知{S n n }是等差数列，且其公差d ＝S 88－S 448－4＝12－144＝116 ∴S 2020＝S 88＋12d ＝12＋34＝54，∴S 20＝25，同理S 16＝16，∴a 17＋a 18＋a 19＋a 20＝S 20－S 16＝9．三、解答题13．设{a n }是等差数列，且a 1＝ln2，a 2＋a 3＝5ln2．(1)求{a n }的通项公式；(2)求e a 1＋e a 2＋…＋e a n ．[解析] (1)设{a n }的公差为d ．因为a 2＋a 3＝5ln2，所以2a 1＋3d ＝5ln2．又a 1＝ln2，所以d ＝ln2．所以a n ＝a 1＋(n －1)d ＝n ln2．(2)因为e a 1＝e ln2＝2，e a n e a n －1＝e a n －a n －1＝e ln2＝2， 所以{e a n }是首项为2，公比为2的等比数列．所以e a 1＋e a 2＋…＋e a n ＝2×(1－2n )1－2＝2(2n －1)． 14．记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15．(1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．[解析] (1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15．由a 1＝－7得d ＝2．所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9．(2)由(1)得S n ＝n 2－8n ＝(n －4)2－16．所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16．[方法总结] 求等差数列前n 项和S n 的最值的方法：(1)函数法：利用等差数列前n 项和的函数表达式S n ＝an 2＋bn (a ≠0)，通过配方或借助图象求二次函数的最值．(2)邻项变号法：①当a1>0，d<0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m≥0，a m＋1≤0的项数m使得S n取得最大值，为S m(当a m＋1＝0时，S m＋1也为最大值)；②当a1<0，d>0时，满足⎩⎪⎨⎪⎧a m≤0，a m＋1≥0的项数m使得S n取得最小值，为S m(当a m＋1＝0时，S m＋1也为最小值)．1．已知{1a n}是等差数列，且a1＝1，a4＝4，则a10＝(A)A．－45B．－54C．413D．134[解析]由题意，得1a1＝1，1a4＝14，所以等差数列{1a n}的公差为d＝1a4－1a13＝－14，由此可得1a n＝1＋(n－1)×(－14)＝－n4＋54，因此1a10＝－54，所以a10＝－45.故选A．2．(理)(2018·湖北咸宁联考)等差数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S5＝10，则{a n}的公差为(C)A．23B．12C．13D．14[解析]由题意知a1＋a2＝3①，S5＝5(a1＋a5)2＝10，即a1＋a5＝4②，②－①得3d＝1，∴d＝13，故选C．3．等差数列{a n}的前n项和为S n，若S11＝22，则a3＋a7＋a8＝(D)A．18B．12C．9D．6[解析]由题意得S11＝11(a1＋a11)2＝11(2a1＋10d)2＝22，即a1＋5d＝2，所以a3＋a7＋a8＝a 1＋2d ＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D ．4．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝( C )A ．3B ．4C ．5D ．6[解析] 由S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，得a m ＝S m －S m －1＝2，a m ＋1＝S m ＋1－S m ＝3，所以等差数列的公差为d ＝a m ＋1－a m ＝3－2＝1，由⎩⎪⎨⎪⎧a m ＝a 1＋(m －1)d ＝2，S m ＝a 1m ＋12m (m －1)d ＝0，得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋m －1＝2，a 1m ＋12m (m －1)＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝－2，m ＝5.故选C ． 5． (河南省信阳高中、商丘一中2019届高三上学期第一次联考(1月)数学试题)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n 2＋8n ，{b n }是等差数列，且a n ＝b n ＋b n ＋1．(1)求数列{b n }的通项公式；(2)令c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n，求数列{c n }的前n 项和T n ． [解析] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝6n ＋5，当n ＝1时a 1＝S 1＝11，符合上式，所以a n ＝6n ＋5， 则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝b 1＋b 2a 2＝b 2＋b 3，得⎩⎪⎨⎪⎧b 1＝4d ＝3， 所以b n ＝3n ＋1．(2)由(1)得c n ＝(a n ＋1)n ＋1(b n ＋2)n ＝3(n ＋1)·2n ＋1， T n ＝3×[2×22＋3×23＋…＋(n ＋1)×2n ＋1]2T n ＝3×[2×23＋3×24＋…＋(n ＋1)×2n ＋2]，两式作差T n ＝3n ·2n ＋2．。
等差数列的前n项和(精练)(解析版)
4.2.2 等差数列的前n 项和1．（2020·宜宾市叙州区第一中学校高三三模（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，9445,31n S a -==，若198n S =，则n =（ ） A ．10 B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】945S =1955945()952a a a a ⇒=+=⇒= ,所以154()()198(531)11222n n n n n nS a a a a n -=+=+∴=+∴= ,选B.2．（2020·东北育才学校高二月考（文））已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若74328a a =+，则25S =（ ） A ．50 B ．100C ．150D ．200【答案】D【解析】设等差数列{a n }首项为1a ，公差为d,∵74328a a =+，∴3(()116)238a d a d +=++,∴1a +12d=8，即138a = 故S 25=()125252a a +=132522a ⨯=25a 13=200故选：D ． 3．（2020·四川省泸县第二中学开学考试（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，23a =，且936S S =，则{}n a 的公差d =（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由等差数列性质知()()1319329353939,?654922a a a a S a S S a ++=======，则56a =.所以5213a a d -==.故选A. 4．（2020·云南高一期末）《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列，冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺，前九个节气日影长之和为85.5尺，则小满日影长为（ ） A ．1.5尺B ．2.5尺C ．3.5尺D ．4.5尺题组一 等差数列的基本量【答案】C【解析】从冬至日起,依次小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气其日影长依次成等差数列{}n a ,冬至、立春、春分日影长之和为31.5尺,前九个节气日影长之和为85.5尺,∴()()111913631.598985.52a a d a d S a d ⎧++++=⎪⎨⨯=+=⎪⎩,解得113.5a =,1d =-,∴小满日影长为1113.510(1) 3.5a =+⨯-=（尺）.故选C .5．（2020·陕西省洛南中学高二月考）在等差数列{}n a 中，已知12232,10a a a a +=+=，求通项公式n a 及前n 项和n S .【答案】45n a n =-，223n S n n =- *(1,)n n N ≥∈【解析】令等差数列{}n a 的公差为d ，则由12232,10a a a a +=+=，知：11222310a d a d +=⎧⎨+=⎩，解之得11{4a d =-=； ∴根据等差数列的通项公式及前n 项和公式，有：()()1114145n a a n d n n =+-=-+-=-，21232nn a a S n n n +=⋅=- *(1,)n n N ≥∈；1．（2020·湖北黄州·黄冈中学其他（理））已知数列{}n a 为等差数列，n S 为其前n 项和，6353a a a +-=，则7S =（ ） A ．42 B ．21C ．7D ．3【答案】B【解析】由等差数列的性质可得6354553a a a a a a +-=+-=，()1747772732122a a a S +⨯∴===⨯=.故选：B.2．（2019·贵州六盘水·高二期末（理））在等差数列{}n a 中，358a a +=，则7S =（ ）题组二 前n 项和S n 与等差中项A ．12B ．28C ．24D ．35【答案】B【解析】等差数列{}n a 中，358a a +=，故17358a a a a +=+=，所以()7717782822S a a +⨯===.故选：B. 3．（2020·湖北荆州·高二期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若57942a a a ++=，则13S =（ ） A ．36 B ．72C ．91D ．182【答案】D【解析】数列{}n a 为等差数列，则5797342a a a a ++==，解得714a = 则()113137131313141822a a S a+=⨯==⨯=故选：D4．（2019·黄梅国际育才高级中学月考）若两个等差数列{}{},n n a b 的前n 项和分别为A n 、B n ，且满足4255n n A n B n +=-，则513513a a b b ++的值为（ ）A ．78B ．79C ．87D ．1920【答案】A【解析】等差数列{}n a 、{}n b 前n 项和分别为n A ，n B ，由4255n n A n B n +=-， 得1131171131751717511177)2)217(4172717(51758a a a a a a Ab b b b b b B +++⨯+=====+++⨯-．故选：A . 5．（2020·赣州市赣县第三中学期中）设等差数列{}n a 前n 项和为n S ，等差数列{}n b 前n 项和为n T ，若20121n n S n T n -=-．则33a b =（ ） A ．595B ．11C ．12D ．13【答案】B【解析】因为等差数列{}n a 前n 项和为n S ，所以1()2n n n a a S +=， 当n 是奇数时，112()2n n n n a a S na ++==，所以33533555a a Sb b T ==,故选：B6．（2020·广西田阳高中高二月考（理））已知等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-，则76a b =（ ） A ．67B ．1211C ．1825D ．1621【答案】A【解析】因为等差数列{}n a ，{}n b 的前n 项和分别为n S 和n T ，且521n n S n T n +=-， 所以可设(5)n S kn n =+，(21)n T kn n =-， 所以77618a S S k =-=，66521b T T k =-=，所以7667a b =.故选：A 7．（2020·商丘市第一高级中学高一期末）等差数列{a n }、{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ，且7453n n S n T n +=-，则使得nna b 为整数的正整数n 的个数是( ) A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】C【解析】∵等差数列{a n }、{b n }，∴121121,22n n n n a a b ba b --++== ， ∴()()121211212122n n n n n n n n n a a a na S n b b b nb T ----+===+ ,又7453n n S n T n +=- ， ∴()()7214566721324n n n a b n n -+==+--- ， 经验证,当n=1,3,5,13,35时,n n a b 为整数，则使得nna b 为整数的正整数的n 的个数是5.本题选择C 选项.1．（2020·榆林市第二中学高二月考）设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若488,20S S ==,则题组三 前n 项和S n 的性质13141516a a a a +++= ( )A ．12B ．8C ．20D ．16【答案】C【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，488,20S S ==， 由等差数列的性质得：4841281612,,,S S S S S S S ---成等比数列 又4848,20812,S S S =-=-=∴128122012416,S S S -=-=+=16121314151616420S S a a a a -=+++=+=．故选：C ．2．（2020·重庆其他（文））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知312S =，651S =，则9S 的值等于（ ） A ．66 B ．90C ．117D ．127【答案】C【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,由题意可得63963,,S S S S S --成等差数列，故()()363962S S S S S -=+-，代入数据可得()()9251121125S -=+-，解得9117S =故选C3．（2020·江苏徐州·高二期中）已知n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，且315S =，648S =，则9S 的值为（ ）. A ．63 B ．81C ．99D ．108【答案】C【解析】由n S 为等差数列{}n a 的前n 项之和，则3S ,639633(1),,......m m S S S S S S ---- 也成等差数列， 则3S ，6396,S S S S --成等差数列，所以633962()()S S S S S -=+-，由315S =，648S =， 得999S =，故选：C.4．（2020·昆明市官渡区第一中学高二期末（理））等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1020S =，2015S =，则30S =( ) A ．10 B ．20C ．30-D ．15-【答案】D【解析】由等差数列{}n a 的前n 项和的性质可得：10S ，1200S S -，3020S S -也成等差数列，20101030202()()S S S S S ∴-=+-，302(1520)2015S ∴⨯-=+-，解得3015S =-．故选D ．5．（2020·朔州市朔城区第一中学校期末（文））设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若39S =，636S =，则789a a a ++=（ ） A ．63 B ．45 C ．36 D ．27【答案】B【解析】由等差数列性质知S 3、S 6﹣S 3、S 9﹣S 6成等差数列，即9，27，S 9﹣S 6成等差，∴S 9﹣S 6=45 ∴a 7+a 8+a 9=45故选B ．6．（2020·新疆二模（文））在等差数列{}n a 中，12018a =-，其前n 项和为n S ，若101221210S S -=，则2020S =（ ） A ．-4040 B ．-2020 C ．2020 D ．4040【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的前n 项和为2+n S An Bn =，则+nS An B n=， 所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列．因为101221210S S -=，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭的公差为1，又11201811S a ==-，所以n S n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以2018-为首项，1为公差的等差数列， 所以202020182019112020S =-+⨯=，所以20202020S =故选：C 8．（2020·河北路南·唐山一中）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12017a =-， 20142008620142008S S -=，则2017S =__________． 【答案】2017- 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和， n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d ，201420086,66,120142008S S d d -=∴==， 112017,20171S a =-∴=-，()()20172017112018,2018201720172017nS n n S n∴=-+-⨯=-+∴=-+⨯=-， 故答案为2017-．9．（2020·湖南怀化·高二期末）已知n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，若12a =-，20202018220202018S S -=，则20192019S =________. 【答案】2016 【解析】n S 是等差数列{}n a 的前n 项和，n S n ⎧⎫∴⎨⎬⎩⎭是等差数列，设其公差为d .20202018 220202018S S -=，22d ∴=，1d =.12a =-，1S21∴=-. 2(1)13n S n n n ∴=-+-⨯=-.2019S20162019∴=.故答案为：2016.1．（2020·安徽铜陵·）设n S 是公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和，且10a >，若59S S =，则当n S 最大时，n=（ ） A ．6 B ．7C ．10D ．9【答案】B【解析】由等差数列中，59S S =，可得，故，其中，可知当时，最大．2．（2020·河北运河·沧州市一中月考）等差数列{}n a 中，10a >，201520160a a +>，201520160a a <，则使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是（ ） A ．2015 B ．2016C ．4030D ．4031【答案】C【解析】由题意知201520160,0a a ><，所以14030201520160a a a a +=+>，而14031201620a a a +=<，则有()140304*********a a S ⨯+=>，而()140314031403102a a S ⨯+=<，所以使前n 项和0n S >成立的最大自然数n 是4030，故选C ．3．（2020·河北路南·唐山一中期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且856a a -=-，9475S S -=，题组四 前n 项和S n 的最值则n S 取得最大值时n =（ ） A ．14 B ．15C ．16D ．17【答案】A【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，则11369364675d a d a d =-⎧⎨+--=⎩，解得1227d a =-⎧⎨=⎩，故292n a n =-，故当114n ≤≤时，0n a >；当15n ≥时，0n a <， 所以当14n =时，n S 取最大值.故选：A.4．（2020·广西南宁三中开学考试）已知等差数列{}n a 的通项公式为29n a n =-，则使得前n 项和n S 最小的n 的值为（ ） A ．3 B ．4C ．5D ．6【答案】B【解析】由290n a n =-≤，解得92n ≤，14n ∴≤≤时，0n a <；5n ≥时，0n a > 则使得前n 项和n S 最小的n 的值为4故选：B5．（2020·四川青羊·石室中学高一期末）在等差数列{}n a 中，其前n 项和是n S ，若90S >，100S <，则在912129,,,S S S a a a ⋯中最大的是（ ） A ．11S aB ．88S aC ．55S aD ．99S a【答案】C 【解析】由于191109510569()10()9050222a a a a S a S a a ++====+＞，（）＜ ，所以可得5600a a ＞，＜． 这样569121256900...0,0,...0S S S S S a a a a a ，，，>>><<，而125125S S S a a a ⋯⋯＜＜＜，＞＞＞>0， ， 所以在912129...S S S a a a ，，，中最大的是55S a ．故选C ．6．（2020·福建宁德·期末）公差为d 的等差数列{}n a ，其前n 项和为n S ，110S >，120S <，下列说法正确的有（ ） A ．0d < B ．70a >C ．{}n S 中5S 最大D ．49a a <【答案】AD【解析】根据等差数列前n 项和公式得：()111111102a a S +=>，()112121202a a S +=<所以1110a a +>，1120a a +<， 由于11162a a a +=，11267a a a a +=+，所以60a >，760a a <-<，所以0d <，{}n S 中6S 最大，由于11267490a a a a a a +=+=+<，所以49a a <-，即：49a a <.故AD 正确，BC 错误.故选：AD.7．（2020·黑龙江让胡路·大庆一中高一期末）已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若780a a +>，790a a +<则n S 取最大值时n 的值是（ ） A ．4 B ．5C ．6D ．7【答案】D【解析】等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且780a a +>，790a a +<，12130a d ∴+>且12140a d +<，10,0,a d ∴><且780,0a a ><，所以当S n 取最大值时7n =.故选：D8．（2020·浙江其他）已知等差数列{}n a 的前n 项和n S ，且34S =，714S =，则23n n S a +-最小时，n 的值为（ ）. A ．2 B ．1或2C ．2或3D ．3或4【答案】C【解析】设等差数列{}n a 的公差为d ，因为34S =，714S =，所以1132342767142a d a d ⨯⎧+=⎪⎪⎨⨯⎪+=⎪⎩，解得11a =，13d =，所以2223(1)11550[1(2)]23318n n n n n n S an n +----=+⨯-++=， 因为n ∈+N ，所以当2n =或3n =时，其有最小值.选：C1．（2020·山西大同·高三其他（理））若等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知129,a a Z =∈，且()5*n S S n N ≤∈，则12n a a a +++=________.【答案】2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩【解析】∵等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，129,a a Z =∈，且5n S S ≤，56940,950a d a d ∴=+≥=+<， 2,2a Z d ∈∴=-，2(1)9(2)102n n n S n n n -∴=+⨯-=-， ∴当5n ≤时，212..10n a a a n n ++⋯+=-；当5n >时，()()21212345210n a a a a a a a a n n++⋯⋯+=++++--()222105510n n =⨯-+-21050n n =-+，212210,5..1050,5n n n n a a a n n n ⎧-≤∴++⋯+=⎨-+>⎩.故答案为：2210,51050,5n n n n n n ⎧-≤⎨-+>⎩. 2．（2020·黑龙江香坊·哈尔滨市第六中学校高三三模（理））已知等差数列{}n a 前三项的和为3-，前三项的积为15，（1）求等差数列{}n a 的通项公式；（2）若公差0d >，求数列{}n a 的前n 项和n T .题组五 含有绝对值的求和【答案】（1）49n a n =-或74n a n =-（2）25,1{2712,2n n T n n n ==-+≥【解析】（1）设等差数列的{}n a 的公差为d 由1233a a a ++=-，得233a =-所以21a =- 又12315a a a =得1315a a =-，即1111(2)15a d a a d +=-⎧⎨+=-⎩所以154a d =-⎧⎨=⎩，或134a d =⎧⎨=-⎩即49n a n =-或74n a n =- （2）当公差0d >时，49n a n =-1）当2n ≤时，490n a n =-<，112125,6T a T a a =-==--= 设数列{}n a 的前项和为n S ，则2(549)272n n S n n n -+-=⨯=-2）当3n ≥时，490n a n =->123123n n n T a a a a a a a a =++++=--+++()()123122n a a a a a a =++++-+2222712n S S n n =-=-+当1n =时，15T =也满足212171127T ≠⨯-⨯+=， 当2n =时，26T =也满足222272126T =⨯-⨯+=，所以数列{}n a 的前n 项和25127122n n T n n n =⎧=⎨-+≥⎩ 3．（2020·全国高三（文））在等差数列{}n a 中，28a =，64a =-. （1）求n a 的通项公式； （2）求12||||||n n T a a a =+++的表达式.【答案】（1）314n a n =-+；（2）2232542232552522n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 【解析】（1）设公差为d ，则11854a d a d +=⎧⎨+=-⎩，解得111a =，3d =-，所以314n a n =-+.（2）由314n a n =-+0≥可得4n ≤， 所以当4n ≤时，112()(11314)22n n n n a a n n T a a a +-+=+++===232522n n -+， 当5n ≥时，12345()n n T a a a a a a =+++-++1234122()()n a a a a a a a =+++-+++114()4()222n n a a a a ++=⨯-(253)522n n -=-23255222n n =-+. 所以2232542232552522n n n n T n n n ⎧-+≤⎪⎪=⎨⎪-+≥⎪⎩. 4．（2020·石嘴山市第三中学高三其他（理））已知数列{}n a 满足：313a =-，()141,n n a a n n N -=+>∈. （1）求1a 及通项n a ；（2）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，则数列1S ，2S ，3S ，…n S …中哪一项最小？并求出这个最小值. （3）求数列{}n a 的前10项和.【答案】（1）121a =-，425n a n =-；（2）6S 最小，666S =-；（3）前10项和为：102. 【解析】（1）()142n n a a n -=+≥，∴当3n =时，324a a =+，217a =-，214a a =+，121a =-，由14n n a a --=知数列为首项是21-，公差为4的等差数列， 故425n a n =-；（2）425n a n =-，故610a =-<，730a =>，故6S 最小，()6656214662S ⨯=⨯-+⨯=-； （3）当16n ≤≤时，0n a <；当7n ≥时，0n a >，()()10121012678910……T a a a a a a a a a a ∴=+++=-+++++++()()()61061061092102142661022S S S S S ⨯=-+-=-=⨯-+⨯-⨯-=. 5．（2020·湖北武汉）已知数列{}n a 是等差数列，公差为d ，n S 为数列{}n a 的前n 项和，172a a +=-，315S =. （1）求数列{}n a 的通项公式n a ； （2）求数列{}n a 的前n 项和T n .【答案】（1）()*311n a n n N =-+∈；（2）2(193),3231960,42n n n n T n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩. 【解析】（1）∵{}n a 是等差数列，公差为d ，且172a a +=-，315S =，∴11262323152a d a d +=-⎧⎪⎨⨯+=⎪⎩，解得18a =，3d =-， ∴()()()11813311n a a n d n n =+-=+--=-+， ∴数列{}n a 的通项公式为：()*311n a n n N=-+∈.（2）令0n a ≥，则3110n -+≥，∴311n ≤，∴233n ≤，*n N ∈. ∴3n ≤时，0n a >；4n ≥时，0n a <， ∵18a =，311n a n =-+，∴3n ≤时，12(8311)2n n n n T a a a -+=++⋅⋅⋅+=()1932n n -=， 当4n ≥时，()121234n n n T a a a a a a a a =++⋅⋅⋅+=+++--⋅⋅⋅-()()12312322n n a a a a a a S S =++-++⋅⋅⋅+=-23(199)(193)319602222n n n n ⨯---+=⨯-=.∴2(193),3231960,42n n n n T n n n -⎧≤⎪⎪=⎨-+⎪≥⎪⎩. 6．（2020·任丘市第一中学）在公差是整数的等差数列{}n a 中，17a =-，且前n 项和4n S S ≥． （1）求数列{}n a 的通项公式n a ；（2）令n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n T ．【答案】（1）29n a n =-；（2）()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩. 【解析】（1）设等差数列{}n a 的公差为d ，则d Z ∈，由题意知，{}n S 的最小值为4S ，则4500a a ≤⎧⎨≥⎩，17a =-，所以370470d d -≤⎧⎨-≥⎩，解得7743d ≤≤，d Z ∈，2d ∴=，因此，()()1172129n a a n d n n =+-=-+-=-； （2）29n n b a n ==-.当4n ≤时，0n a <，则n n n b a a ==-，()272982n n n n T S n n -+-∴=-=-=-+；当5n ≥时，0n a >，则n n n b a a ==，()22428216832n n T S S n n n n ∴=-=--⨯-=-+.综上所述：()228,4832,5n n n n T n N n n n *⎧-+≤=∈⎨-+≥⎩.。
等差数列前N项和测试训练题(含答案)
等差数列前N项和测试题一、单选题（共11题；共22分）1.（2020高一下·太和期末）一个等差数列共有2n+1项，其奇数项的和为512，偶数项的和为480，则中间项的值为（）A. 30B. 31C. 32D. 332.（2020高一下·太和期末）等差数列的前n项和为，且，则（）A. 8B. 9C. 10D. 113.（2020高一下·温州期末）等差数列中，，，是数列的前n项和，则（）A. B. C. D.4.数列中，已知且则（）A. 19B. 21C. 99D. 1015.（2020高一下·七台河期末）等差数列的首项为1，公差不为0，若成等比数列，则的前6项的和为（）A. -24B. 3C. 8D. 116.（2020高一下·七台河期末）已知是公差为1的等差数列，为的前n项和.若，则（）A. 10B. 12C.D.7.（2020高一下·鹤岗期末）设为等差数列的前n项和，若，，则（）A. -12B. -10C. 10D. 128.（2020高一下·鹤岗期末）已知是等差数列的前n项和，，设为数列的前n项和，则（）A. 2014B. -2014C. 2015D. -20159.（2020高一下·哈尔滨期末）若一个等差数列的前3项和为24，最后3项的和为126，所有项的和为275，则这个数列共有（）A. 13项B. 12项C. 11项D. 10项10.（2020高一下·台州期末）已知等差数列的前n项和为，若，，，则（）A. B. C. D.11.（2020高一下·广东月考）等差数列中，若，且，为前n项和，则中最大的是（）A. B. C. D.二、填空题（共8题；共10分）12.（2020高一下·湖州期末）设公差为d的等差数列的前n项和为，若，，则________，取最小值时，n=________．13.（2020高一下·上海期末）已知等差数列满足：，，数列的前n项和为，则的取值范围是________．14.（2020高一下·上海期末）等差数列的前项和为，，则________.15.（2020高一下·上海期末）已知为等差数列, , 前n项和取得最大值时n的值为________.16.（2020高一下·南宁期末）已知为等差数列的前n项和，且，，则________.17.（2020高一下·黑龙江期末）已知为等差数列，其公差为2，且是与的等比中项，为前n项和，则的值为________.18.（2020高一下·金华月考）已知数列满足：，其前n项和为，则________，当取得最小值时，n的值为________.19.（2020高一下·尚义期中）设等差数列的前n项和为．若，，则正整数________．三、解答题（共6题；共55分）20.（2020高一下·六安期末）记为等差数列的前n项和，已知．（1）若，求的通项公式；（2）若，求使得的n的取值范围．21.（2020高一下·徐汇期末）设等差数列的前n项和为，若，，. （1）求常数k的值；（2）求的前n项和.22.在公差为d的等差数列中，已知，且成等比数列，为数列的前n 项和.（1）求；（2）若，求的最大值.23.（2020高一下·台州期末）已知等差数列中，为其前n项和，，.（Ⅰ）求数列的通项公式；（Ⅱ）记，，求数列的前n项和.24.（2020高一下·尚义期中）已知等差数列的前n项和为，且，．（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和．25.（2020高一下·崇礼期中）已知等差数列的前项和为，，，.（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和.答案解析部分一、单选题1.【答案】C【解析】【解答】中间项为.因为，，所以.故答案为：C.【分析】利用等差数列前n项和公式，对奇数项的和、偶数项的和列式.通过等差数列的性质，都转化为的形式，然后两式相减，可得到的值.2.【答案】B【解析】【解答】∵等差数列的前n项和为，且，解得故答案为：B．【分析】利用已知条件结合等差数列通项公式和前n项和公式，建立关于等差数列首项和公差的方程组，从而求出首项和公差，进而用等差数列通项公式求出等差数列第八项的值。
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等差数列的前n项和练习-含答案．项和等差数列的前n课时作业8分满分：100时间：45分钟课堂训练) (2，S＝0，则n等于a1．已知{}为等差数列，a＝35，d＝－nn1B．34 A．3336． DC．35D【答案】＋naS＝n【解析】本题考查等差数列的前项和公式．由1n?1n－n?n －1??n36. ，可以求出n＝0d＝35n＋×(－2)＝22，则数列前24＝＋3(aa)＋2(a＋a＋a)．等差数列2{a}中，133710n5)13项的和是(26 ．A．13 B156 ．D52 C．B【答案】＋＋)2()＋a＋a＋a＝24?6a6a＝24?aa3(【解析】a ＋41013375410?＋a13?a?13?a＋a413×10131426.＝＝＝＝?a＝4S1310222________. 50.＝则SS＝S．3等差数列的前n项和为，S20，＝30n201090【答案】等差数列的片断数列和依次成等差数列．【解析】S∴，S也成等差数列．－，－SSS2020101030S∴2(90.()S－＝SS＋)S－S，解得＝301020301020．. S＝460，求S，4．等差数列{a}的前n项和为S，若S＝8428n20n12a 应用基本量法列出关于a和的方程组，解出d【分析】(1)11；d，进而求得S和28的一元二次函数且常n因为数列不是常数列，因此S 是关于(2)n2，、b数项为零．设S＝anS＋bn，代入条件S＝84，＝460，可得a20n12 S；则可求28SdSddd??nn2是一个等差)，故(a－S(3)由＝n＋＋n(a－得??1n1nn2222??SSS282012. ＝＋2812＋，∴2×，可求得列，又2×20＝28281220 a}的公差为d，方法一：设【解析】{n?n?n －1S则.d＝na＋1n21112×?，84＋d＝a1212?由已知条件得： 19×20?，＝460＋20ad12??，＝－d11＝14，15a2a＋11解得整理得????4.＝d＋19d＝46，a21?－1?nn所以S－17n，2n15n ＋×4＝2＝－n2所以S－17×28＝1 092.228×＝228方法二：设数列的前n 项和为S ＋bn. 2an ，则S ＝nn 因为S ＝84，S ，460＝2012．?2，1212a ＋b ＝84所以? ?2，＝460＋2020ba?，b ＝712a＋整理得??23.＝20a ＋b ，b ＝－17解之得a ＝2，Sn ，17所以S －21 092.n ＝＝228n a 方法三：∵{ 为等差数列，}n ?1n ?n －S 所以 ，＝nad 1n 2SddS ??nn 所以＝a ＋是等差数列．，所n ??1nn22?? 12,20,28成等差数列，因为SSS 281220 成等差数列，所，282012SSS 281220，解得S所以2×＝1 092. 28201228【规律方法】基本量法求出a和d是解决此类问题的基本方法，1应熟练掌握．根据等差数列的性质探寻其他解法，可以开阔思路，有时可以简化计算．课后作业一、选择题(每小题5分，共40分)1．已知等差数列{a}中，a＝7，a＝15，则前10项的和S等于104n2) (210 B． A．100D．400．380 CB【答案】7－a15a－24a＝＝4，则210.3，所以＝d＝S＝【解析】10122－4) ＝(19，S＝40，则aa2．在等差数列{a}中，＋a＝105n2524 B．A．2748 C．29 D．C 【答案】?，195d＝＋2a1?【解析】由已知?40.10d＝5a＋1?，2a＝1∴a解得?＝2＋9×3＝29.10?3.d＝2＋2n－＝n1，则这个数列一定是．数列3{a}的前n项和为S nn)(A．等差数列 B．非等差数列D ．等差数列或常数列 C．常数列B【答案】＋2n－1－[(n－1)＋2(n22n＝S＝n≥2时，aS－【解析】当1nn－n －1)－1]＝2n＋1，当n＝1时a＝S＝2.11?，1，2n＝这不是等差数列．∴a?＝n?，n1，≥2n2＋4．设等差数列{a}的前n项和为S.若a＝－11，a＋a，6＝－641nn)n等于(则当S取最小值时，n7 B．A．69DC．8 ．A 【答案】??，＝－a ＝－11，11a 11∴?? 【解析】??，26，d ＝a ＋a＝－64?n －1n ?.－12nS ∴－n ＝n 22n ＋11d ＝－n ＝na ＋1n 236. －6)－＝(n 2S6时，n 即＝ 最小．n 534，最后5．一个只有有限项的等差数列，它的前5项的和为)，则它的第7项等于(146项的和为，所有项的和为234B ．21 ．22 A18 ．D ．C19D【答案】，＋a＝34a【解析】∵a＋a＋＋a53124，＝＋＋a＋aaa ＋a14642nn－n3n－1－n－a5(∴ 18036，a，a＋＝)＋a＝n11n?an?a＋36×n n1234.＝＝＝S n22S，n∴＝1318.∴234.a＝＝a＝137713，则它的中间项为．一个有611项的等差数列，奇数项之和为30)(7 ．B8 A．5．6 C． DD【答案】4××556a＝6a5＝＋S＝×2d30，a【解析】S＋5d＝5，偶奇211225.25＝＝S－S＝30－a255(d＝a＋5d)＝，×2偶中奇1S n，已知S7．若两个等差数列{a}和{b}的前n项和分别是，T nnnn T n an75)(，则等于b3＋n5 B.A．7 32127D. C 48D【答案】9?a?a＋aa＋91221aSa291955＝＝.【解析】42bT9bbb＋955?b?b91912＋…a|||a＝－a60，a＝＋3，则|a＋|a|＋}已知数列8．{a中，311nn12n＋)|＋|a等于(30765 ．A445 B．1 305 ． C．1 080 DB 【答案】＝－【解析】aa3，∴}a为等差数列．{n＋n1n a∴63.，即3a－3＝n×－(60＝－＋n1)nn a∴<21.0＝时，>21n>0时，a21＝n，na，时，<0nnn|a＋…＋|＋|a|＋|a|S′＝|a|3031302a＝－ a＋…＋…－a＋a＋a －a－a－30221323221a2(＝－ )＋S＋＋a…＋a301221S＝－2 ＋S3021765.＝)分，共20分二、填空题(每小题10则数列的通12，若a＝S＝a9．设等差数列{}的前n项和为S，3nn6________.a＝项公式n 2n【答案】，则a}的公差d{【解析】设等差数列n??2a＝a＋5d＝1211a，∴，∴??.＝2n n??2＋ad＝4＝d1，所有偶数项，所有奇数项之和为132＋10．等差数列共有2n1 ________．项之和为120，则n等于10【答案】S1＋n2aS＝－.S项，∴＝n【解析】∵等差数列共有2＋1偶奇1n＋12n＋120132＋10. ＝＝即132－120，求得n12n＋【规律方法】项和的性质，比较简捷．利用了等差数列前n解答应写出必要的文字说明、20(三、解答题每小题分，分．共40)证明过程或演算步骤．{a}中，11．在等差数列n和S；10，S＝5，求a已知(1)a＝8568. ，求d＝－a＝－512，S1 022(2)若a＝1，n1n在等差数列中，五个重要的量，只要已知三个量，就【分析】利用通项公式和前d是两个最基本量，可求出其他两个量，其中a 和1n项和或特别的项．项和公式，先求出a和d，然后再求前n1，10，S＝5＝【解析】(1)∵a56?，＋5d＝10a1∴??5.＝10d5a ＋1a解方程组，得 d＝3，＝－5，1a∴＝16，d＝10＋2×3＋＝a268?a ＋a8?8144.＝＝S82?1512?＋n?－＋n?aa n1＝－1 022，＝S(2)由n22解得n ＝4.又由a＝a＋(n－1)d，1n即－512＝1＋(4－1)d，解得d＝－171.【规律方法】一般地，等差数列的五个基本量a，a，d，n，n1S，知道其中任意三个量可建立方程组，求出另外两个量，即“知三n求二”．我们求解这类问题的通性通法，是先列方程组求出基本量a1．，然后再用公式求出其他的量．和d，求前多少项的和最＝40－4n}12．已知等差数列{a，且满足a nn大，最大值为多少？＝36，40(【解析】方法一：二次函数法)∵a＝40－4n，∴a＝－41n n440－?a＋a?n36＋n1＝n＋38∴S2n2n＝＝－·n2221919(－19n ＋n＝－2[2＋)]2221919＋－＝－2(n2.)221919 9.5，且n∈N，令n－＝0，则＝＋22S10时，或n＝∴当n＝9 最大，n21919180.＋∴＝2)＝－2(10－的最大值为S＝S10n922a方法二：(图象法)∵ 4＝36，40＝－4n，∴a＝40－1n 4＝－，＝32，∴d＝32－36＝a40－4×22?n－n－1?1n?n? n，＋382n2＝－＝S＝na＋d36n＋·(－4)1n22S的图象上，＋，S38x点(n2有最大值，其2x＝－)在二次函数y nn1938 ，x对称轴为＝－＝＝9.52?－22×?∴当n＝10或9时，S最大．n∴S180.＝10×38＋210的最大值为S×S＝2＝－109na通项法)∵方法三：( ＝36，a＝40－44＝40－n，∴1n 32，－4×2＝40a＝2a，数列{32－36＝－4<0∴d＝ }为递减数列．n??，n≥0a≥0，40－4n有令????，0?n＋1?≤a0，≤40－41＋n?，10n≤10.∴n≤≤即9??，n≥9S10时，＝9或n＝当n 最大．n036a＋a＋101∴S的最大值为S＝S×10×10＝180.10n922，也就是说用函Nn∈对于方法一，一定要强调【规律方法】＋数式求最值，不能忽略定义域，另外，三种方法中都得出n＝9或n ＝10，需注意a＝0时，S＝S同为S的最值．n－mm1m。