偏微分方程数值解课程的思索
偏微分方程 数值解
偏微分方程数值解
偏微分方程是描述自然现象和工程问题中的物理量随空间和时
间变化的数学模型。
由于这些方程的解析解很难求解，数值解法成为求解偏微分方程的重要手段之一。
偏微分方程数值解的基本思路是将偏微分方程转化为差分方程，然后通过数值计算得到一组离散解。
常用的数值方法有有限差分法、有限元法、谱方法等。
有限差分法是偏微分方程数值解的最基本方法之一。
它将偏微分方程中的导数用差分近似替代，然后通过数值迭代得到离散解。
有限元法则是将连续的区域离散化成若干个小的单元，然后在每个单元内应用一些基函数，通过求解一个线性方程组得到离散解。
谱方法则是利用函数的三角函数展开式，通过对展开系数的求解得到离散解。
对于不同的偏微分方程，选择不同的数值方法可以得到不同的精度和计算效率。
因此，对于偏微分方程数值解的研究是数值计算领域中的一个重要研究方向。
- 1 -。
数学中的偏微分方程与数值计算
数学中的偏微分方程与数值计算在数学中，偏微分方程（Partial Differential Equations，简称PDEs）是描述多变量函数之间关系的方程。
它们在物理、工程、生物学等领域中具有广泛的应用。
然而，由于偏微分方程的复杂性，通常很难找到准确的解析解。
因此，数值计算方法在求解偏微分方程中扮演着重要的角色。
一、偏微分方程的基本概念偏微分方程是包含多个未知函数及其偏导数的方程。
一般形式如下：F(x, y, u, u_x, u_y, u_{xx}, u_{yy}, \dots) = 0,其中，x 和 y 是自变量，u 是待求解的函数，u_x, u_y, u_{xx},u_{yy} 等分别表示 u 对 x 和 y 的一阶及二阶偏导数。
偏微分方程可进一步分为椭圆型、抛物型和双曲型，具体形式取决于方程中导数的符号性质。
二、数值计算方法由于大多数偏微分方程难以找到解析解，我们需要利用数值计算方法来近似求解。
常见的数值方法包括有限差分法、有限元法和谱方法等。
1. 有限差分法有限差分法是最常用的求解偏微分方程的数值方法之一。
它将连续的偏微分方程转化为离散的代数方程组。
通过将自变量空间离散化成一个个网格点，时间也离散化成一系列时间步长，我们可以根据差分近似计算导数，并得到离散的方程组。
进一步求解该代数方程组即可得到数值解。
2. 有限元法有限元法是一种应用广泛的数值计算方法，特别适用于边界值问题。
它将求解区域进行离散化，并引入试探函数和权重函数来构建逼近空间。
通过将偏微分方程转化为变分问题，并使用Galarkin近似方法求解，我们可以得到一个代数方程组。
通过求解该方程组，我们可以得到数值解。
3. 谱方法谱方法是一种特殊的数值计算方法，它利用了具有特殊性质的函数（例如切比雪夫多项式）在函数空间上的优良逼近性质。
通过选择合适的基函数并使用离散化方法，我们可以得到高精度的数值解。
然而，由于谱方法对解的光滑性要求较高，因此在处理非光滑解时可能存在困难。
对偏微分方程的认识与收获
对偏微分方程的认识与收获
偏微分方程是关于多元函数的方程，其中包含函数的偏导数。
它在数学和物理学等领域具有广泛的应用。
对于我个人而言，学习和研究偏微分方程带给我许多认识和收获。
首先，通过学习偏微分方程，我认识到这门学科是解决现实世界中许多实际问题的强有力工具。
偏微分方程可以描述和预测自然界中的现象，例如热传导、流体流动、电磁场等等。
通过对这些方程进行求解，我们可以了解这些现象背后的物理机制，并为相关工程和科学研究提供指导。
其次，对于我个人而言，学习偏微分方程使我深入了解了数学的美妙之处。
偏微分方程是数学分析的重要分支，它涉及到许多高深的数学概念和技巧，如函数空间、变分原理、特征线等。
通过研究这些概念和技巧，我逐渐意识到数学的严密性和优雅性。
通过解析解或数值方法求解偏微分方程，我能够欣赏到数学在解决实际问题中的独特魅力。
此外，学习偏微分方程也让我意识到数学与其他学科的紧密联系。
偏微分方程广泛应用于物理学、工程学、生物学等领域，它们提供了这些学科中许多问题的数学建模和分析方法。
通过研究偏微分方程，我能够拓宽自己的学科视野，将数学与其他学科结合起来，为解决实际问题提供更全面的方法。
总之，对偏微分方程的学习和研究给予我深刻的认识和丰富的收获。
它不仅增强了我对数学的理解和欣赏，还为我提供了解决实际问题的有力工具。
无论是在学术研究中还是在实际应用中，对偏微分方程的认识和掌握都能够为我提供宝贵的支持和帮助。
高等数学中的偏微分方程数值解法
偏微分方程是数学中的一大重要分支，广泛应用于物理、工程、金融等领域。
其求解方法可以分为解析解法和数值解法。
解析解法要求方程具有可积性，适用于一些简单的方程，但是对于复杂的方程往往无法得到解析解。
而数值解法通过将方程离散化，利用数值计算方法得到数值解，是一种弥补解析解法不足的重要手段。
在高等数学中，偏微分方程数值解法主要包括差分法、有限元法和有限差分法。
其中，差分法是最早应用于求解偏微分方程的数值方法之一。
差分法通过将偏微分方程中的导数用差商的形式来近似表示，将连续的问题转化为离散的问题，再通过计算机程序来进行求解。
差分法的优点是简单易懂、计算速度快，适用于一些较为简单的偏微分方程。
但是差分法的精度受到离散化步长的影响，不适用于一些对精度要求较高的问题。
有限元法是一种更为广泛应用的偏微分方程数值解法。
有限元法通过将求解区域分割成有限多个小区域，用简单形状的基函数来逼近真实解，再通过求解线性方程组得到数值解。
有限元法的优点在于适用于复杂的几何形状、能够处理不规则的边界条件，并且精度较高。
有限元法还具有较好的可扩展性，可以处理大规模的求解问题。
因此，有限元法在工程领域的应用非常广泛。
有限差分法是一种通过计算导数来逼近微分方程的数值解法。
有限差分法基于泰勒展开公式，将微分算子在某点处的展开为有限多个导数的差商的线性组合。
通过将微分算子离散化，可以将偏微分方程转化为代数方程组，再通过求解方程组来得到数值解。
有限差分法的优点在于简单易懂，计算速度较快。
但是由于差商的导数逼近误差，有限差分法的精度受到离散化步长的影响，需要选择合适的步长来保证精度。
总的来说，高等数学中的偏微分方程数值解法是研究偏微分方程数值计算的一大热点和难点。
不同的数值方法适用于不同的问题，需要根据具体情况来选择适合的数值方法。
在求解偏微分方程时，还需要注意数值误差对结果的影响，并通过适当选择离散化步长和网格数量等参数来提高数值解的精度。
随着计算机技术的发展，偏微分方程数值解法将会越来越广泛地应用于实际问题的求解中。
数值计算中的偏微分方程数值积分求解
数值计算中的偏微分方程数值积分求解偏微分方程在科学研究和工业应用中扮演着重要的角色，例如在流体力学、热传导、电磁场分析、量子力学等领域都有广泛的应用。
但是，由于偏微分方程的复杂性，精确的解法往往难以求得。
这时，数值计算就成了一种有效的求解方式。
而在数值计算中，数值积分是一种非常重要的方法，用来求解偏微分方程的数值解。
数值积分的基本思想是将函数在一定区间内进行合理的近似，从而得到定积分的数值逼近值。
在偏微分方程数值解中，数值积分主要用于离散化算法的实现和误差控制。
数值积分的方法主要有牛顿-柯茨公式、辛普森公式、梯形公式等，这些数值积分方法在偏微分方程的数值解中得到了广泛的应用。
一、牛顿-柯茨公式牛顿-柯茨公式是一种数值积分方法，可用于求解常微分方程初值问题和偏微分方程边值问题。
它是利用公式：$\int_{a}^{b}f(x)dx \approx \sum_{i=0}^{n} A_{i}f(x_{i})$ 进行逼近。
其中，$A_{i}$ 为权系数，$x_{i}$ 为节点，$n$ 为网络上的单元数。
牛顿-柯茨公式用来求解普通微分方程初值问题时，节点$x_{i+1}$ 要比$x_{i}$ 大一个步长$h$，节点的选择与步长有关，通常使用一些微分方程的求解方法来确定节点和权系数，如龙格-库塔法、欧拉法等。
对于偏微分方程求解，节点的选择会有所不同，通常先将区域进行网格划分，然后选择网格节点来表示整个区域的逼近值。
这时，权系数的选择也与网格节点的整体性质有关，常见的选择有拉格朗日插值、奇异积分法等。
二、辛普森公式辛普森公式是一种三点数值积分方法，用于近似定积分计算。
其原理是将定积分区间等分为若干个小区间，每个小区间用一个二次多项式逼近被积函数，从而得到整个区域的逼近值。
公式如下：$\int_{a}^{b}f(x)dx ≈ \frac{b-a}{6}(f(a) + 4f(\frac{a+b}{2}) +f(b))$辛普森公式具有精度高、实用性强等优点，在偏微分方程求解中得到了广泛应用。
高等数学偏微分方程教材解读
高等数学偏微分方程教材解读数学是一门抽象而深奥的学科，其中较为复杂的分支之一就是高等数学中的偏微分方程。
偏微分方程对许多科学领域的研究有着重要的应用价值，并且在工程、物理、经济学等领域中被广泛使用。
为了更好地理解和掌握偏微分方程，学习者需要借助教材进行系统学习。
本篇文章将对高等数学中的偏微分方程教材进行解读，旨在通过对教材内容的梳理和解释，帮助读者更好地理解和应用偏微分方程。
一、偏微分方程简介偏微分方程是描述自变量为多个变量的函数的方程，该函数的偏导数与未知函数之间的关系。
在物理问题的建模和求解中，常常需要对多个变量进行分析和研究，这时就需要用到偏微分方程。
例如，在热传导问题中，涉及到时间和空间的变化，因此需要使用偏微分方程进行描述和求解。
二、偏微分方程教材概述偏微分方程的教材通常包括以下内容：1. 偏微分方程的分类：偏微分方程根据其方程类型和解的性质，可以分为椭圆型、抛物型和双曲型方程。
教材通常会介绍这三类方程的特点以及其在实际问题中的应用。
2. 常见的偏微分方程：教材会详细介绍常见的偏微分方程，如泊松方程、热传导方程、波动方程等，并对它们的物理背景和解的性质进行阐述。
3. 偏微分方程的解法：教材会介绍偏微分方程的解法，包括分离变量法、变量替换法、特征线法等。
通过这些解法，学习者可以掌握不同类型偏微分方程的求解技巧。
4. 偏微分方程的数值解法：由于某些偏微分方程难以获得解析解，因此需要借助数值方法进行求解。
教材通常会对常用的数值方法进行介绍，如有限差分法、有限元法等，帮助学习者理解数值求解的原理和应用。
三、教材内容解读1. 偏微分方程分类的教学目标教材通常会从偏微分方程的分类入手，帮助学习者理解不同类型方程的特点和解的性质。
例如，在介绍椭圆型方程时，会强调其在稳态问题中的应用；而在讲解抛物型方程时，会重点介绍其在热传导问题中的应用。
通过对每一类方程的深入剖析，学习者可以从宏观和微观两个层面全面理解偏微分方程的基本概念和应用。
数学专业的偏微分方程数值解
数学专业的偏微分方程数值解数学作为一门基础学科，为多个学科领域的发展提供了理论支持和工具方法。
在数学的各个分支中，偏微分方程是一门研究重点。
偏微分方程广泛应用于物理、工程、经济等领域，而数值解是解决偏微分方程的一种重要方法。
本文将介绍数学专业的偏微分方程数值解的概念、方法和应用。
一、偏微分方程数值解的定义偏微分方程数值解是指通过数值计算方法来近似求解偏微分方程的解。
而偏微分方程是描述自变量的函数与自变量的偏导数之间关系的方程。
通常，偏微分方程数值解问题可以转化为网格、差分、插值等数值计算问题，通过计算机进行近似求解。
二、偏微分方程数值解的方法1. 有限差分法有限差分法是求解偏微分方程数值解最常用的方法之一。
该方法将偏微分方程所在范围划分为若干个网格点，通过有限差分近似偏导数，得到离散形式的方程组。
再通过数值计算方法求解离散方程组，得到偏微分方程的数值解。
2. 有限元法有限元法也是常用的偏微分方程数值解方法。
该方法将偏微分方程的求解区域划分为若干个有限元，通过近似变分原理和试验函数，得到离散化的代数方程组。
再通过数值计算方法求解代数方程组，得到偏微分方程的数值解。
3. 谱方法谱方法是一种基于函数空间的偏微分方程数值解方法。
该方法利用了函数在特定函数空间的展开形式，通过将偏微分方程化为代数方程组，再通过数值计算方法求解代数方程组，得到偏微分方程的数值解。
三、偏微分方程数值解的应用领域1. 物理学领域在物理学中，很多现象可以通过偏微分方程进行描述。
例如，热传导方程、波动方程和斯托克斯方程等都可以通过数值解法求解，用于模拟物理现象和预测实验结果。
2. 工程学领域工程学中的许多问题也可以转化为偏微分方程的数值解问题。
例如，热传导问题、流体力学问题以及结构力学问题等，通过数值解法可以得到工程实际运行中的响应和性能。
3. 经济学领域在经济学中，偏微分方程的数值解也有重要应用。
例如，布莱克-斯科尔斯期权定价模型就是基于偏微分方程的数值解方法，可以用于金融衍生品的定价和评估。
李治平 偏微分方程数值解讲义
李治平偏微分方程数值解讲义【李治平偏微分方程数值解讲义】知识文章一、前言在现代科学和工程中，偏微分方程是一种非常重要的数学工具，常常用于描述自然界各种现象和规律。
而对于偏微分方程的数值解法，也是数值计算中的一个重要分支。
本文将围绕着李治平教授的偏微分方程数值解讲义展开讨论，详细探究其中的价值和意义。
二、总览李治平教授的偏微分方程数值解讲义李治平教授的偏微分方程数值解讲义是在对数值计算和偏微分方程研究领域拥有丰富经验的学者对该领域的总结和共享。
其讲义通过结合理论和实践，系统地介绍了偏微分方程的数值解方法及其在实际问题中的应用。
涵盖了有限差分法、有限元法、谱方法等多种数值解法，还对常见的偏微分方程进行了具体案例分析，展现了其深度和广度。
三、深度分析1. 有限差分法有限差分法是一种常见的偏微分方程数值解法，它将偏微分方程中的导数用离散的差分表示，通过有限差分逼近来求解偏微分方程的近似解。
在李治平教授的讲义中，对有限差分法的原理和应用进行了详细介绍，并结合了具体的案例来展示其解题过程和应用效果。
2. 有限元法有限元法是一种更为精确的数值解法，它将求解区域划分成有限个单元，通过建立单元之间的关系来逼近原偏微分方程的解。
在讲义中，李治平教授对有限元法的算法和实现进行了深入讲解，并指导学生如何应用该方法解决实际问题，具有很高的指导意义。
3. 谱方法谱方法是一种基于傅里叶级数展开的数值解法，它通过将方程中的未知函数表示成正交多项式的线性组合，来逼近原偏微分方程的解。
与有限差分法和有限元法相比，谱方法在精度和稳定性上更具优势。
在讲义中，李治平教授对谱方法的理论和实践进行了讲解，并指引学生如何利用该方法处理实际问题。
四、回顾与展望李治平教授的偏微分方程数值解讲义涵盖了丰富的内容，深入浅出地介绍了多种数值解法及其应用。
通过学习这门课程，可以帮助学生建立起对偏微分方程数值解的深刻理解，并掌握相关的数值计算技能。
未来，随着科学技术的发展和应用的拓展，偏微分方程数值解将会更加广泛地应用于各个领域，因此这门讲义的价值和意义将会更加凸显。
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偏微分方程（PDE）是众多描述物理，化学和生物现象的数学模 型 的基础，其最新应用已经扩展到经济，金融预测，图像处理等很多领 域。 要通过 PDE 模型研究这些问题，就需要求解 PDE 方程，但是绝大 多数微分方程特别是偏微分方程，很难得到其解析形式的解。 我们希 望能够借助于计算机采用数值方法求得偏微分方程的近似解，这就是 《偏微分方程数值解》课程的主要内容。
2012 年 第 9 期
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
○高校讲坛○
科技信息
偏微分方程数值解课程的思索
邹永魁 （吉林大学数学与科学学院 吉林 长春 130012）
【摘 要】探讨《偏微分方程数值解》课程教学改革的思考与体会，主要包括教学方法和教学模式的改革，加强背景知识的介绍，将科研前沿 带入课堂，将 MATLAB 融入教学以及考核方式的改革等。
笔者长年教授《偏微分方程数值解》课程，在该门课程的教学改革 方面做了一些思索和尝试，主要包括改革教学方法，更新教学模式，加 强介绍背景知识，融入数学建模思想，教学与科研相结合，教学与计算 软件相结合，增设实验课，改革考核方式等。
1 改革教学方法，更新教学模式
由于数学课程大多理论性较强，趣味性较弱，为了激发学生学习 兴趣，在教学过程中，我们采用启发式、讨论式等多种教学方法，营造 良好的课堂气氛，加强师生之间的交流，引导学生独立思考，强化科学 思维的训练。 在教学内容方面，不光教授公式推导，定理证明，同时注 重算法思想的讲解和程序设计的讲解， 同时安排一定课时的习题课， 讲解典型习题和对每章进行总结。
考虑一个带有矩形孔的金属板上的热传导问题。 板的左边保持在
100℃，板 的 右 边 热 量 从 板 向 环 境 空 气 定 常 流 动 ， 其 他 边 及 内 孔 边 界 保
持绝缘。 初始 t=t0 时板的温度为 0。 对于这样的一个实际问题，我们先 应用所学的数学分析和数学建模知识，对原问题建立如下偏微分方程
对于这样的一个抛物型方程，我们设计其数值计算方法，然后分别用
200
科技信息
○高校讲坛○
SCIENCE & TECHNOLOGY INFORMATION
2012 年 第 9 期
C++语言和 MATLAB 实现， 并且充分利用 MATLAB 强 大 的 图 形 展 示 功能，直观的演示温度随时间的变化情况。 如图 1 所示。
偏微分方程组。 PDE 工具箱支持命令行形式求解，但需要记住大量命
令及其调用格式。 不过好在它提供了 GUI 界面，可以把我们从复杂的
编程中解脱出来， 还有很好的动画演示功能， 尤其适合刚入门的学
生。
我们在授课过程中精选与生活，生产密切相关的应用实例，鼓励
学生自己动手建立模型，应用数学软件和所学的知识求解模型。 例如
［责任编辑：曹明明］
●
（上接第 219 页）得到及时清洗，从而延长 了 净 水 材 料 的 使 用 周 期 ，降 低成本，节约资源。 3．4 该装置外壳模拟鱼体的流线造型。 一方面可减少工 作 运 动 时 摩 擦阻力，另一方面能够起到整体美观大方的效果，具有一定的观赏价 值。
4 应用前景
该装置在生产、生活中有广阔的应用前景: 4．1 养殖业领域的应用
2 加强知识背景的介绍，融入数学建模思想
《偏微分方程数值解》是理论知识与实际应用之间的桥梁，为学生 使用计算机解决科学与工程中的实际问题打下良好的理论基础和应 用基础。 传统教学以分析，证明，推导为主，重理论，轻应用，缺少偏微 分方程产生的实际背景的介绍和应用数值解的方法解决实际问题的 实例。 因此，我们在教授该课程的时候，注重与数学建模思想相结合， 从实际问题出发，建立相应的偏微分方程模型，这样，学生就知道为什 么要研究偏微分方程，偏微分方程能解决什么样的实际问题。
模型：
△△鄣u
△ △
鄣tBiblioteka -△u=0，△△△u=100，
△
△鄣u
△
=-1， 鄣u
=0，
△△鄣n
鄣n
u|△
△ △
t=t0
=0.
不妨设界顶点坐标为（-0.5，-0.8），（0.5，-0.8），（0.5，0.8），（-0.5，0.8）。
内边界顶点坐标为 （-0.005，-0.4），（0.05，-0.4），（0.05，0.4），（-0.05，0.4）。
《偏微分方程数值解》是信息与计算科学专业的一门专业课，它与 《数值代数》，《数值逼近》一起构成信息与计算科学专业信息与计算方 向的核心课程，在专业培养中占有非常重要的地位。 随着计算机技术 的飞速发展，偏微分方程数值解得到了前所未有的发展和应用，与此 同时也暴露了《偏微分方程数值解》课程传统教学中的很多不足之处， 这使得该门课程在教学上有很多地方需要调整。
例如，我们考虑有衰减的扩散问题：有一个扩散源，某物质从此扩 散源向四周扩散，沿 x,y,z 三个方向的扩散系数分别为常数 ，衰 减 使 质 量的减少与浓度成正比，扩散前周围空间此物质的浓度为 0，估计物 质的分布。 我们引导学生运用所学过的微积分的思想以及相应的物理 知识，对这一问题进行建模，可以得到如下的模型：
在我国特别是南方大部分地区，渔业等养殖业比较发达。 该装置 可以用于净化养殖池中的水，并定期向水中曝气，增加水的自净能力， 降低水的更换频率，延长水的使用周期，保持池水清洁，营造适合鱼类 生长繁殖的环境，降低经营人的投资成本，避免水资源的浪费。 4．2 家庭中的使用
近几年来，随着人们生活水平的日益提高，越来越多的家庭开始 饲养观赏鱼，一方面可以装扮家居风格，另一方面陶冶情操，增加生活
2
2
2
鄣u 鄣t
2
=a
鄣u
2
鄣x
2
+b
鄣u
2
鄣y
2
+c
鄣u
2
鄣z
2
-k u
上述方程是常系数线性抛物型方程，它就是有衰减的扩散过程的
数学模型。 有了这样的铺垫，学生知道了扩散问题的数学模型就是抛
物型方程，当然类似的环境污染，疾病流行等与扩散有关的实际问题
可以用抛物型方程来描述，很自然的，接下来的问题就是如何求解上
《偏微分方程数值解》 这门课程既有数学课程的理论上的抽象性 和严谨性，又有解决实际问题的实用性和实验性。 传统的《偏微分方程 数值解》课程重理论，轻实践。 加之我院信息与计算科学专业学生毕业 之后大多数学生继续攻读计算专业硕士学位，只有小部分学生跨专业 读研和工作，所以大部分同学理论能力强，动手能力差，一直到读研或 者读博实际做项目的时候才感觉到理论和动手操作之间的差距。 针对 这 一 现 象 ，我 们 调 整 了 传 统 的 授 课 内 容 ，增 加 了 实 验 环 节 ，分 配 以 10 个课时，教师在上机课会详细讲解算法，然后留上机作业，并预留部分 时间让学生自己动手。 学生上机之后要交实验报告，为了避免相互抄
情趣。 但鱼缸的频繁换水，不仅对水中的鱼类有一定影响，而且操作不 便，花费时间。 该装置可以保持鱼缸中的水清澈干净，并且操作便捷， 大量节约了做清理的时间，能够更好的发挥鱼类的观赏价值，进一步 提高人们生活质量。 4．3 游泳池及水上娱乐场所
● 【参考文献】
［1］李 荣 华 ，刘 播 .微 分 方 程 数 值 解 法 [M].北 京 ：高 等 教 育 出 版 社 ，2009. ［2］K.W.Morton, D.F.Mayers Numerical solution of partial differential equations[M]. 李治平，门大力，许现民，张硕,译. 北京：人民邮电出版社，2005. ［3］杨 韧 ， 张 志 让 .微 分 方 程 数 值 解 .课 程 教 学 改 革 与 实 践 [J].大 学 数 学 ，2011,27(4): 19-22. ［4］张 韵 华 ,陈 效 群 .数 值 计 算 方 法 课 程 改 革 初 步 [J].大 学 数 学 ,2003,19(3):23-26.
面的抛物型方程，学生的学习热情自然就提高了。
3 教学与科研相结合
随着计算技术和计算机科学的发展，偏微分方程数值解法的内涵 也在不断扩大，我们在讲授《偏微分方程数值解》课程中引进近年来最 新的理论和最新的方法，这样可以开阔学生的视野，激发学生的学习 情趣，锻炼学生的自学能力。 例如我们除了介绍有限差分法，有限元 法，有限体积法等经典的具有一般性的方法，还介绍了多重网格法。 由 于近些年来，人们将辛方法应用于哈密顿常微分方程系统以及推广应 用于微分方程的兴趣日益增长，我们也简单介绍了这一主题，并且用 这个思想去分析逼近波动方程的交错蛙跳格式。 在讲授方法的同时， 还注意介绍这些方法的发展历史，设计思想和理论依据，并给出了相 当丰富的参考文献，让基础好的同学自己去挖掘感兴趣的问题。 承担 课题的老师，可以把自己课题中与此课程相关的小问题拿出来供有兴 趣的同学琢磨，有助于锻炼学生的科研能力。
由于《偏微分方程数值解》涉及较多的概念、公式和定理，大多数 老师仍以传统的课堂教学为主，而少数年轻教师则喜欢用多媒体课件 教学。 传统的教学方法，虽然受到的批评最多，但也是用得最多，最能 让大家普遍接受的一种方法，在算法推导、理论分析等方面，采用传统 的板书讲解能更好地引导学生去感受和思考数学逻辑的过程以及创 造性的思维过程，加深对数学理论的理解和认识，培养学生的逻辑和 思维能力。 而在讲述背景知识，算法的应用，算法的程序实现时候最好 用多媒体课件进行演示。 多媒体课件可以让学生更直观，更全面的理 解算法的应用， 另外使用多媒体课件还可以节省大段公式的板书时 间，图示清楚、准确。 但是如果全部使用多媒体课件上课，容易加快教 学速度，淡化数学公式的推导以及定理的证明过程，不利于培养学生 的数学思维能力。 所以，我们认为需要将传统的教学方法和现代的教 学手段结合起来，充分发挥各自的优势，在传统教学中穿插多媒体课 件，根据教学内容选择合适的教学手段。