高中数学：极坐标系公开课课件人教A版选修4-4
题组二：在极坐标系里描出下列各点
A(3, 0) 4 D(5, ) 3 5 G (6, ) 3 B(6, 2 ) 5 E (3, ) 6 C (3, ) 2 F (4, )
2
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ5 6
4
E F O
C A B X
4 3
D
G
5 3
问题：如何规定ρ、θ的范围，使平 面内确定的一点的极坐标是唯一的？ ρ>0，θ∈ [0，2π）时点的极坐 标与平面上的点一一对应（极点除 外）。
尤溪五中
陈敏
从这向北 2000米。
请问：去 X市场怎么走？
请分析上面这句话，他告诉了问路人 什么？ 从 这 向 北 走 2 0 0 0 米 ！
出发点
方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表示 一点的位置。这种用方向和距离表示平 面上一点的位置的思想，就是极坐标的 基本思想。
一、极坐标系的建立：
O
X
题组一：说出下图中各点的极坐标
2
5 6
C E D O B A X
4
4 3
F
G
5 3
特别规定： 当M在极点时，它的极 坐标=0，可以取任意值。
想一想？
①平面上一点的极坐标是否唯一？
②若不唯一，那有多少种表示方法？
③坐标不唯一是由谁引起的？
④不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
三、点的极坐标的表达式的研究
在平面内取一个定点O，叫做极点。 引一条射线OX，叫做极轴。 再选定一个长度单位和 计算角度的正方向（通 常取逆时针方向）。
O
X
这样就建立了一个极坐标系。
二、极坐标系内一点的极坐标的规定
对于平面上异于极点的任意一点M，用 表示线段OM的长度，用 表示以OX为始 边、OM为终边 的角度。 叫做M的极径， 叫做点M的极角，有序实数对（，）就 叫做M的极坐标。记作M （，）。 M 特别规定： 当M在极点时，它 的极坐标=0，可以取 任意值。
四、极坐标系下点与它的极坐标的对应情况
[1]给定极坐标M（，）,在平面上可 以确定唯一一点。 [2]给定平面上一点，却有无数个极坐 标。 特别的，极点（0，θ），θ取一切实 数。
小结
[1]建立一个极坐标系需要哪些要素
极点；极轴；长度单位； [2]极坐标系内一点的极坐标有多少种 表达式？
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？ 有。（ρ，2kπ+θ）
M 如图：OM的长度为4， 4 请说出点M的极坐标的其 他表达式。 O X 思：这些极坐标之间有何异同？ 极径相同，不同的是极角 思考：这些极角有何关系？ 这些极角的始边相同，终边也相同。也 就是说它们是终边相同的角。
π 本题点M的极坐标统一表达式：4， 2kπ+ 4
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高二数学选修4-44.1.21极坐标系课堂PPT.ppt
（x , y , z）的集合建立一一对应；
授课：XX
1
复习回顾
4.1.1 直角坐标系
数
平面直角
轴
坐标系
空间直角 坐标系
R
（x , y)
（x , y , z)
授课：XX
2
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系 中，应满足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐 标就能确定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
OM= 3
M
给定ρ,θ在极坐标系中描点的方法：先按极角找到极径所在的 射线，后按极径的正负和数值在这条射线或其反向延长线上描 点。
授课：XX
19
5、负极径的实质
从比较来看，负极径比 正极径多了一个操作，将射
M
线OP“反向延长”。
而反向延长也可以看成是旋转 O
，因此，所谓“负极径”实
质是针对方向的。这与数学中
[1]作射线OP，使XOP=
P
[2]在OP的反向延长
线上取一点M，使OM= ;
O
X
如图示：
M
授课：XX
15
新课讲解
2、负极径的实例
在极坐标系中画出点:M（－3，/4）的位置
[1]作射线OP，使XOP= /4 [2]在OP的反向延长线上取一
P = /4
点M，使OM= 3;
O
X
如图示： M（－3，/4）
[3]一点的极坐标是否有统一的表达式？
有.（ ，2k ） 或（- ，2k π）
授课：XX
27
课堂小结
1、极坐标 （ρ，2kπ+θ） 和（-ρ，2kπ+θ+π）k其Z
人教高中数学 选修4-4-第一讲-坐标系(实用资料)ppt
设P(x, y)是平面直角坐标系中任意一点，保持横坐标
x不变，将纵坐标y伸长为原来的3倍，得到点P’(x’, y’),
坐标对应关系为：
x x
y
3
y
②
我们把②式叫做平面直角坐标系中的一个坐标伸长变换.
怎样由正弦曲线y=sinx得到曲线y=3sin2x?
y
在正弦曲线y=sinx上任取一
点P(x, y)，保持纵坐标不变，将
故|PA|－ |PB|=340×4=1360
由双曲线定义P点在以A, B为焦点的双曲线
x2 a2
y2 b2
1
上
a=680, c=1020, b2=c2-a2=10202-6802=5×3402.
所以双曲线的方程为： 6x2 82 05y3242 0 1(x0)
用y=－x代入上式，得 x6850,y6850,
例2 圆O1与圆O2的半径都是1，|O1O2|=4，过动点P 分别作圆O1、圆O2的切线PM、PN (M、N分别为切点), 使得PM= 2 PN，试建立适当的坐标系，求动点P的轨迹
方程。
解：以直线O1O2为x轴，线段 O1O2的垂直平分线为y轴，建立平 M 面直角坐标系，
yP NX
则两圆的圆心坐标分别为
坐标法 建系时，根据几何特点选择适当的直角坐标系，
注意以下原则：
(1)如果图形有对称中心，可以选对称中心为坐标原点；
(2)如果图形有对称轴，可以选择对称轴为坐标轴；
(3)使图形上的特殊点尽可能多的在坐标轴上。
例1.已知△ABC的三边a, b, c满足yb2+c2=5a2,BE,CF分
别为边AC, CF上的中线，建立适当的平面直角坐标系探
x
1
人教版高中数学选修4-4 第一讲 坐标系 二 极坐标系 (共34张PPT)教育课件
A. y 1
sin t
1
x t2
C.
1
yt 2
x cos t
B. y 1
cos t
x tan t
D. y 1
tan t
7.极坐标方程
2
arcsin化(为 直0)角坐标方程的形
式是 （ ）
A. x2 y2 x 0
B．y x(1 x)
C. 2x 1 4y2 1 D.．y (x 1)
2.极坐标（,）与(ρ，2kπ+θ)( k )表z 示 同一个点.即一点的极坐标的统一的表达式 为(ρ，2kπ+θ)
3.如果规定ρ＞0,0≤θ＜2π，那么除 极 点外,平面内的点和极坐标就可以一一对 应了。
我们学了直角坐标,也学了极坐 标，那么这两种坐标有什么关系呢? 已知点的直角坐标为,如何用极坐标 表示这个点呢?
M (, )
0
x
2
4
5
6
C
1.如图，在极坐标系中，写出点 AF(,6B, ,4C3 ,)D的, G极(坐5, 标53，所) 并在标的出位E置( 72 , ) ,
E D BA
O
X
4 F
3
G 5
3
解：如图可得A,B,C,D的坐标分别为
(4,0)
(2, )
(3, )
(1, 5 )
4
2
6
点E,F,G的位置如图所示
1
4.极坐标方程ρ=cosθ与ρcosθ= 的2 图形是（ ） B
A
B
C
D
解x=：12把，ρc故os排θ=除A，、12 化D；为又直圆角ρ坐=c程os，θ显得然: 过点 (0,1)，又排除C，故选B。
5、若A、B的两点极坐标为A(4,
人教A版高中数学选修4-4极坐标系 名师公开课市级获奖课件(29张)
，π ).
π π 解 (1)∵x＝ρcos θ ＝2cos 6 ＝ 3，y＝ρsin θ ＝2sin 6 π ＝1.∴点的极坐标2， 化为直角坐标为( 3，1). 6 π π (2)∵x＝ρcos θ ＝3cos 2 ＝0，y＝ρsin θ ＝3sin 2 ＝3. π ∴点的极坐标3， 化为直角坐标为(0，3). 2 (3)∵x＝ρcos θ ＝π cos π ＝－π ，y＝ρsin θ ＝π sin π ＝0.∴点的极坐标(π ，π )化为直角坐标为(－π ，0).
预习导学
课堂讲义
当堂检测
跟踪演练 3 表示为(
点 P 的直角坐标为( 2，－ 2)，那么它的极坐标可 )
3π B.2， 4 7π D.2， 4
2
π A.2， 4 5π C.2， 4
2
－ 2 解析 ∵ρ＝ （－ 2） ＋（ 2） ＝2，tan θ＝ ＝ 2 7π 7π －1，点 P 在第四象限，θ＝ .∴极坐标为2， . 4 4
(1)极坐标系的建立：在平面内取一个定点O，叫做 极点 ； 自
极点O引一条射线Ox，叫做 极轴；再选定一个长度单位 、 一 个
角度单位(通常取弧度)及其 正方向 ( 通常取逆时针方向 ) ，这样 就建立了一个极坐标系. (2) 极坐标：设 M 是平面内一点，极点 O 与点 M 的距离 |OM| 叫做 点M的 极径 ，记为ρ；以极轴Ox为始边，射线OM为终边的角 xOM叫做点M的 极角 ，记为θ.有序数对(ρ，θ) 叫 做 点 M 的 极 坐标，记为 M(ρ，θ) . 一般地，不作特殊说明时，我们认为 ρ≥0，θ可取 任意实数 .
预习导学
课堂讲义
高中数学 极坐标系课件 新人教A版选修4
3
因为点在第三象限,
3
所以
7
6
因此, 点M的极坐标为 ( 2, 7 )
6
第十八页，编辑于星期五：十点 四十六分。
练习: 点的直角坐标, 求它们 的极坐标.
A (3, 3) C (5,0)
B (1, 3) D (0,2)
E (3,3)
第十九页，编辑于星期五：十点 四十六分。
例求两3 已点知间两的点距（离2. ，π3）B ，（3，π2）
§1.2 极坐标系
第一页，编辑于星期五：十点 四十六分。
从这向北
2000米。
请问：去菜
市场怎么走？
第二页，编辑于星期五：十点 四十六分。
请分析上面这句话，他告诉了问路人什 么？
从这向北走2000米！
出发点 方向
距离
在生活中人们经常用方向和距离来表 示一点的位置。这种用方向和距离表示 平面上一点的位置的思想，就是极坐标 的根本思想。
思 考:
平面内的一个点的直角坐标是(1, 3 ) 这个点如何用极坐标表示?
第十二页，编辑于星期五：十点 四十六分。
在直角坐标系中, 以原点作为极点, x轴的正半轴作为极轴, 并且两种坐标系中取相
同的长度单位
y
M (1, 3 )
θ
O
x
点M的直角坐标为 (1 , 3 )
设点M的极坐标为(ρ,θ) M ( 2, ∏ / 3)
12（3） 2 2 tan 3 3
1
第十三页，编辑于星期五：十点 四十六分。
极坐标与直角坐标的互化关系式: 设点M的直角坐标是 (x, y)
极坐标是 (ρ,θ)
2x2y2, tan y(x0)
x
x=ρcosθ, y=ρsinθ
高二数学,人教A版,选修4-4 , 第2课时,极坐标,和直角坐标的互化 , 课件
7π 3，－1)化为极坐标为2， 6 .
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
[规律方法]
2
将点的直角坐标(x，y)化为极坐标(ρ，θ)时，
2
y 运用公式 ρ＝ x ＋y ，tan θ＝x(x≠0)即可．在[0,2π)范围内，由 y tan θ＝x(x≠0)求 θ 时， 要根据直角坐标符号特征判断出点所在的 象限．如果允许 θ∈R，再根据终边相同的角的意义，表示为 θ ＋2kπ(k∈Z)即可．
解析： (1)∵ρ＝2，θ＝0，
∴x＝2cos θ＝2，y＝2sin θ＝0， ∴将极坐标(2,0)化为直角坐标为(2,0)． 0 (2)∵ρ＝ －2 ＋0 ＝2，tan θ＝ ＝0， －2
2 2
由于点(－2,0)在 x 轴的非正半轴上，所以 θ＝π， ∴将直角坐标(－2,0)化为极坐标为(2，π)．
(2)互化公式： 设 M 是平面内任意一点， 它的直角坐标是(x， y)，极坐标是(ρ，θ)(ρ≥0)， 于是极坐标与直角坐标的互化公式如表： 点M 互化 公式 直角坐标(x，y)
______ cos θ x＝ρ sin θ ______ y＝ρ
极坐标(ρ，θ)
x2＋y2 ρ2＝______
tan θ＝－1，θ∈[0,2π)， 3π 由于点(－1,1)在第二象限，所以 θ＝ 4 ，
∴直角坐标(－1,1)化为极坐标为
2 2
3π 2， 4 .
－1 3 (2)ρ＝ － 3 ＋－1 ＝2，tan θ＝ ＝3， － 3 7π 由于点(－ 3，－1)在第三象限，所以 θ＝ 6 ， ∴直角坐标(－
二 极坐标 第2课时 极坐标和直角坐标的互化
课标定位
1．了解极坐标系与直角坐标系的联系．
2．掌握极坐标和直角坐标的互化关系式．
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：1-3第一讲-坐标系
2．曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互相转化 与点的极坐标与直角坐标的互相转化一样， 以平面直角坐标系 的原点 O 为极点，x 轴的正半轴为极轴，且在两坐标系中取相同的 长度单位．平面内的曲线(含直线)的极坐标方程与直角坐标方程也 可以进行互相转化，设曲线上任意一点 M 的直角坐标与极坐标分 别为(x，y)和(ρ，θ)，则极坐标方程与直角坐标方程的互相转化公 式为：y＝ρsinθ，x＝ρcosθ，ρ2＝x2＋y2.
【例 3】
π 在极坐标系中，圆 ρ＝4sinθ 的圆心到直线 θ＝6(ρ
∈R)的距离是________．
【解析】
圆 ρ＝4sinθ 的直角坐标方程为 x2＋(y－2)2＝4，其
π 圆心为 C(0,2)，直线 l：θ＝ (ρ∈R)的直角坐标方程为 x－ 3y＝0； 6 |0－2 3| 所以点 C 到直线 l 的距离是 d＝ ＝ 3. 2
【例 1】
求圆心在
并把它化为直角坐标方程． 【分析】 数形结合，先描绘圆的大致位置，找出圆上任一点 满足的几何条件．
【解】
如图，设 M(ρ，θ)为圆上除 O，B 外的任意一点，连
3 接 OM，MB，则有|OB|＝4，|OM|＝ρ，∠MOB＝θ－ π，∠BMO＝ 2 π 2.
从而△BOM 为直角三角形， 所以有|OM|＝|OB|cos∠MOB. 即
与曲线 C 相交于 A，B，求|AB|.
【解】
x＝ρcosθ， (1)因为 y＝ρsinθ，
所以 ρ2＝x2＋y2，
由 ρ＝2sinθ＋4cosθ，得 ρ2＝2ρsinθ＋4ρcosθ， ∴x2＋y2－4x－2y＝0，即(x－2)2＋(y－1)2＝5. 曲线 C 的直角坐标方程为(x－2)2＋(y－1)2＝5.
人教A版高中数学选修4-4课件1.1.2极坐标系
如果规定 0, 0 2 ，那么除极点外，平面内 的点可用唯一的极坐标 ， 表示. 同时，极坐标 ， 表示的点也是唯一确定的.
默认： 0， R. 第9页
负极径
默认： 0， R. 第9页
对称点
思考：设P , 是平面内一点，则点P关于 极轴、极垂线 过极点且垂直于极轴的直线 、 极点对称的点的坐标是什么？
2 B 5， 6
例5 把下列点的直角坐标化成极坐标：
0, 0 2
4 1 A 1, 1； 2 B 4， 3 ;
3 3 3 , 2 2
x cos y sin
x y
2 2
2
y tan x 0 x
例4 把下列点的极坐标化成直角坐标： 14 1 A 4， ； 3
2 B 5， 6
例4 把下列点的极坐标化成直角坐标： 14 1 A 4， ； 3
60m
A教学楼 B体育馆
思考：在极坐标中 4， ， 4 ， 2 ， 4 ， 4 ， 6 6 6 2 表示的点有什么关系？ 4， 6
一般地，极坐标 ， 与 ， 2k k Z 表示 同一个点.平面内一个点的极坐标有无数种表示.
（ ， ） M
x
注意：（1）一般地，不作特殊说明时，我们认为ρ≥0， 可取任意实数。 （2）当M在极点时，它的极坐标为（0，θ），可取任 意值。
例1 如图，在极坐标系中，写出点A, B , C的极坐标.
A 1， 0
B 4， 2
人教版高中数学选修4-4课件1.2-极坐标系 (共38张PPT)
阶段小结
1、建立一个极坐标系需要哪些要素? 极点；极轴；长度单位；计算角度的正方向.
2、极坐标系内一点的极坐标有多少种表达式？ 无数，极角有无数个.
3、一点的极坐标有否统一的表达式？
有。（ρ ，2kπ +θ ）
4、结论：
极坐标(, ) 与(, ＋2k)(k∈Z)表示同一个点. 和直角坐标不同，平
（3）在空间直角坐标系上，空间上所有点的集合与全体三元有序实数对（x , y , z）的集合建立一 一对应；
复习回顾
1. 直角坐标系
数
平面直角坐标
轴
系
R
（x , y)
空间直角坐标 系
（x , y , z)
复习回顾
建立坐标系是为了确定点的位置。由此，在所创建的坐标系中，应满 足： 任意一点都存在一个坐标与之对应；反之，依据一个点的坐标就能确 定这个点的位置； 而确定点的位置即为求出此点在设定的坐标系中的坐标。
区别吗？
思考: ①平面上一点的极坐标是否唯一？
若不唯一，那有多少种表示方法？ ②不同的极坐标是否可以写出统一表达式？
1、点的极坐标的表达式的研究
如图：OM的长度为4，
4
请说出点M的极坐标的表达式？
思考：这些极坐标之间有何异同？
M
O
4，π 4
+2kπ
X
极径相同，不同的是极角.
A
2
11 7
6
6
C
3
5
4
3
3
2
2
3
B
6
D
A
2
11
6
3
人教A版数学【选修4-4】ppt课件：第一讲《坐标系》小结
在△OMB 中，同理 → |MB|＝ ρ2＋36－12ρcosθ. → → 由|MA|· |MB|＝36，得 (ρ2＋36)2－(12ρcosθ)2＝362. 即 ρ4＋72ρ2－144ρ2cos2θ＝0. 即 ρ2＝72(2cos2θ－1)＝72cos2θ. 所以，点 M 的轨迹的极坐标方程为 ρ2＝72cos2θ.
3．柱坐标系与球坐标系 (1)柱坐标系
一般地，如图，建立空间直角坐标系 Oxyz，设 P 是空间任意 一点，它在 Oxy 平面上的射影为 Q，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示 点 Q 在平面 Oxy 上的极坐标， 这时点 P 的位置可用有序数组(ρ， θ， z)(z∈R)表示，这样我们建立了空间的点与有序数组(ρ，θ，z)之间 的一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有 序数组(ρ，θ，z)，叫做 P 的柱坐标，空间点 P 的直角坐标与柱坐 x＝ρcosθ， 标之间的变换公式为y＝ρsinθ， z＝z.
2ac (2)当 a≠c 时，方程可化为 x ＋y － x＝0，其轨迹是以 a－c
2 2
ac ac 2ac ( ，0)为圆心， 为半径的圆，但不包括点(0,0)和( ， a－c |a－c| a－c 0)．
【例 2】
x′＝2x， 在同一坐标系中， 经过伸缩变换 y′＝2y
后，
曲线 C 变为曲线(x－5)2＋(y＋6)2＝1，求曲线 C 的方程，并判 断是什么曲线．
高 考 真 题 【例 8】 在极坐标系中， 圆 ρ＝2cosθ 的垂直于极轴的两条切 线方程分别为( )
A．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π B．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝2 π C．θ＝2(ρ∈R)和 ρcosθ＝ D．θ＝0(ρ∈R)和 ρcosθ＝1