初中数学中考试题研究《方案设计试题综合》
2022年河北中考数学试卷分析
2022年河北中考数学试卷分析2022年河北中考再次落下帷幕，今年的中考数学试卷再次延续了“稳中求新，关注数学本质”的特点，又以“新颖灵活，别具一格”在全国各地中考试题中独树一帜。
第一部分、试卷整体评价知识考查全面，重基础层分明试题几乎涵盖了初中数学所有知识点，其中数与代数、图形与几何、统计与概率所占比例约为5:4:1，与教学所占课时分配大致相当，试题难度较2021年更均衡更平滑，比2020年难度略高，试题注重四基，强化基础，选择题前8道，填空题前2道，解答题前3道难度均不大，考查基础而全面。
同时，各题组均按照梯度进行设置，基础题每题设置一个或两个知识点，中档题设置每题两个左右知识点，综合题每题设置两个以上知识点，层层递进，起到了良好的区分度。
贴近生活情景，有传承有创新试题的命题方式减少了学生的陌生情景，消除了学生的阅读障碍和审题障碍，增加了题目解决方式的多样性。
凡是涉及的生活情景都是学生熟悉见过的，确保学生不因生活情景陌生而影响审题。
同时，减少题目文字量，避免与数学无关的内容影响学生，增加阅读负担。
试卷整体体现“稳中求新”的风格，题目设置背景与近两年试题均有联系，又有创新，试题很多方面都在渗透2022版数学新课程标准下的知识及能力素养的考查，比如：课标中增加了理解角平分线的概念，尺规作图过直线外一点做这条直线的平行线，理解中位数、众数的意义等，这些内容在试题中均有所体现。
第二部分、试卷试题解读选填试题分析2022年的数学总分仍是120分，选择题仍是16道，1-10每题3分，11-16每题2分与2021年保持一致，填空题变化较大，由2021年的12分降低到2022年的9分，第17题一空3分，第18题第一空2分，第二空1分，第19题三个空，每空1分，这样调整，目的是尽可能让学生应该得到的分能得到，能得够。
第7题考查立体图形的拼接，深层考查学生的空间想象，由于整体难度的考虑，此题所给图形比较简单，学生很容易根据个数确定1、4或2、3，再根据长方体的要求确定1、4。
初中数学方案设计型问题赏析
解 题 技巧 与 方法 静 ．‘ ．． ８ ‘ Ｉ － ・
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扬舻数学 案 衡型 鲤霸鳓
◎ 高兴 林 （ 苏省 常 州市 新 北 区实 验 中 学 江 ２３２） １０ ２
随着 九年 义务 教育 《 学 课 程 标 准 》 数 的实 施 ， 学 教 学 与 数
我 们 的 日常 生 活 、 会 生 产 、 场 经 济 的联 系 越 来 越 紧 密 ， 社 市 中 考也 越来 越 重 视 对 数 学 应 用 价 值 的 考 查 ． 案 设 计 问 题 就 是 方
者共赏． 不 等 式 建 模 型 例 １ （ 南 ） 家 电 商 场 计 划 用 ３ ４ ０元 购 进 “家 电下 河 某 ２０
一
（ 如 果 工 厂 招 聘 ｎ（ １＜ｌ 名 新 工 人 ， 得 招 聘 的新 ２） ｏ＜／ Ｏ） ， 使
工 人 和 抽 调 的熟 练 工 刚好 能完 成 一 年 的 安 装 任 务 ， 么 工 厂 那
辆 电 动 汽 车 ： 名 熟 练 工 和 ３名 新 工 人 每 月 可 安 装 １ 辆 ２ ４
类重要 的数学应用题 型 ， 趣味浓 、 型新 、 用性 强 ， 它 题 应 是
当前 各 地 中考 的热 点 之 一 ． 方 案 设 计 问题 常 常 以 现 实 生 活 问题 为背 景 ， 含 着 许 多 蕴 重 要 的数 学思 想 如 分类 讨 论 思 想 、 形 结 合 思 想 、 化 思 想 、 数 转 数学 建模 思 想 、 计 优 化 思 想 等 ， 含 着 解 决 问题 的 方 法 、 统 蕴 技 巧 和策 略 生 要 认 真 阅 读 分 析 才 能 将 其 转 化 成 数 学 问题 ． 学 因 此 ． 案 设 计 问 题 对 于 考 查 学 生 的 能 力要 求 比较 高 ， 视 对 方 重
2024年天津中考数学试题及答案
2024年天津中考数学试题及答案本试卷分为第I 卷（选择题）、第II 卷（非选择题）两部分。
第I 卷为第1页至第3页，第II 卷为第4页至第8页。
试卷满分120分。
考试时间100分钟。
答卷前，请务必将自己的姓名、考生号、考点校、考场号、座位号填写在“答题卡”上，并在规定位置粘贴考试用条形码。
答题时，务必将答案涂写在“答题卡”上，答案答在试卷上无效。
考试结束后，将本试卷和“答题卡”一并交回。
祝你考试顺利！第I 卷注意事项：1.每题选出答案后，用2B 铅笔把“答题卡”上对应题目的答案标号的信息点涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号的信息点。
2.本卷共12题，共36分。
一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．计算()33--的结果等于（ ）A ．—6B ．0C ．3D ．62．下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ）A ．B ．C ．D ．3的值在（ ）A ．1和2之间B ．2和3之间C ．3和4之间D ．4和5之间4．在一些美术字中，有的汉字是轴对称图形．下面4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．5．据2024年4月18日《天津日报》报道，天津市组织开展了第43届“爱鸟周”大型主题宣传活动．据统计，今春过境我市候鸟总数已超过800000只．将数据800000用科学记数法表示应为（ ）A ．70.0810´B ．60.810´C ．5810´D ．48010´61-o的值等于（ ）A ．0B ．1C 1-D 1-7．计算3311x x x ---的结果等于（ ）A ．3B ．x C ．1xx -D ．231x -8．若点()()()123,1,,1,,5A x B x C x -都在反比例函数5y x =的图象上，则312,,x x x 的大小关系是（ ）A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．321x x x <<D ．213x x x <<9．《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题：“今有木，不知长短．引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳度之，不足一尺．木长几何？”意思是：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长x 尺，绳子长y 尺，则可以列出的方程组为（ ）A ． 4.50.51y x x y -=ìí-=îB ． 4.50.51y x x y -=ìí+=îC ． 4.51x y x y +=ìí-=îD ． 4.51x y y x +=ìí-=î10．如图，Rt ABC △中，90,40C B ÐÐ==o o ，以点A 为圆心，适当长为半径画弧，交AB 于点E ，交AC 于点F ；再分别以点,E F 为圆心，大于12EF 的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在BAC Ð的内部相交于点P ；画射线AP ，与BC 相交于点D ，则ADC Ð的大小为（ ）A ．60oB ．65oC ．70o D ．75o 11．如图，ABC △中，30B Ð=o ，将ABC △绕点C 顺时针旋转60o 得到DEC △，点,A B 的对应点分别为,D E ，延长BA 交DE 于点F ，下列结论一定正确的是（ ）A ．ACB ACDÐÐ=B ．AC DE ∥C ．AB EF =D ．BF CE^12．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h （单位：m ）与小球的运动时间t （单位：s ）之间的关系式是()230506h t t t =-££．有下列结论：①小球从抛出到落地需要6s ；②小球运动中的高度可以是30m ；③小球运动2s 时的高度小于运动5s 时的高度．其中，正确结论的个数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．32024年天津市初中学业水平考试试卷数学第II 卷注意事项：1．用黑色字迹的签字笔将答案写在“答题卡”上（作图可用2B 铅笔）．2．本卷共13题，共84分．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．不透明袋子中装有10个球，其中有3个绿球、4个黑球、3个红球，这些球除颜色外无其他差别．从袋子中随机取出1个球，则它是绿球的概率为______．14．计算86x x ¸的结果为______．15．计算)11+-的结果为______．16．若正比例函数y kx =（k 是常数，0k ¹）的图象经过第三、第一象限，则k 的值可以是______（写出一个即可）．17．如图，正方形ABCD 的边长为,AC BD 相交于点O ，点E 在CA 的延长线上，5OE =，连接DE ．（I ）线段AE 的长为______；（II ）若F 为DE 的中点，则线段AF 的长为______．18．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，点,,A F G 均在格点上．（I ）线段AG 的长为______；（II ）点E 在水平网格线上，过点,,A E F 作圆，经过圆与水平网格线的交点作切线，分别与,AE AF 的延长线相交于点,,B C ABC △中，点M 在边BC 上，点N 在边AB 上，点P 在边AC 上．请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，画出点,,M N P ，使MNP △的周长最短，并简要说明点,,M N P 的位置是如何找到的（不要求证明）．三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程）19．（本小题8分）解不等式组213, 317. x x x +£ìí-³-î①②请结合题意填空，完成本题的解答．（I ）解不等式①，得______；（II ）解不等式②，得______；（III ）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来：（IV ）原不等式组的解集为______．20．（本小题8分）为了解某校八年级学生每周参加科学教育的时间（单位：h ），随机调查了该校八年级a 名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②．请根据相关信息，解答下列问题：（I ）填空：a 的值为______，图①中m 的值为______，统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的众数和中位数分别为______和______；（II ）求统计的这组学生每周参加科学教育的时间数据的平均数；（III ）根据样本数据，若该校八年级共有学生500人，估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h 的人数约为多少？21．（本小题10分）已知AOB △中，30,ABO AB Ð=o为O e 的弦，直线MN 与O e 相切于点C ．（I ）如图①，若AB MN ∥，直径CE 与AB 相交于点D ，求AOB Ð和BCE Ð的大小；（II ）如图②，若,OB MN CG AB ^∥，垂足为,G CG 与OB 相交于点,3F OA =，求线段OF 的长．22．（本小题10分）综合与实践活动中，要用测角仪测量天津海河上一座桥的桥塔AB 的高度（如图①）．某学习小组设计了一个方案：如图②，点,,C D E 依次在同一条水平直线上，36m,DE EC AB =^，垂足为C ．在D 处测得桥塔顶部B 的仰角（CDB Ð）为45o ，测得桥塔底部A 的俯角（CDA Ð）为6o，又在E 处测得桥塔顶部B 的仰角（CEB Ð）为31o．（I ）求线段CD 的长（结果取整数）；（II ）求桥塔AB 的高度（结果取整数）．参考数据：tan310.6,tan60.1»»o o ．23．（本小题10分）已知张华的家、画社、文化广场依次在同一条直线上，画社离家0.6km ，文化广场离家1.5km ．张华从家出发，先匀速骑行了4min 到画社，在画社停留了15min ，之后匀速骑行了6min 到文化广场，在文化广场停留6min 后，再匀速步行了20min 返回家．下面图中x 表示时间，y 表示离家的距离．图象反映了这个过程中张华离家的距离与时间之间的对应关系．请根据相关信息，回答下列问题：（I ）①填表：张华离开家的时间/min141330张华离家的距离/km 0.6②填空：张华从文化广场返回家的速度为______km /min ；③当025x ££时，请直接写出张华离家的距离y 关于时间x 的函数解析式；（II ）当张华离开家8min 时，他的爸爸也从家出发匀速步行了20min 直接到达了文化广场，那么从画社到文化广场的途中()0.6 1.5y <<两人相遇时离家的距离是多少？（直接写出结果即可）24．（本小题10分）将一个平行四边形纸片OABC 放置在平面直角坐标系中，点()0,0O ，点()3,0A ，点,B C 在第一象限，且2,60OC AOC Ð==o．（I ）填空：如图①，点C 的坐标为______，点B 的坐标为______；（II ）若P 为x 轴的正半轴上一动点，过点P 作直线l x ^轴，沿直线l 折叠该纸片，折叠后点O 的对应点O ¢落在x 轴的正半轴上，点C 的对应点为C ¢．设OP t =．①如图②，若直线l 与边CB 相交于点Q ，当折叠后四边形PO C Q ¢¢与OABC Y 重叠部分为五边形时，O C ¢¢与AB 相交于点E ．试用含有t 的式子表示线段BE 的长，并直接写出t 的取值范围；②设折叠后重叠部分的面积为S ，当21134t ££时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．25．（本小题10分）已知抛物线()2,,,0y ax bx c a b c a =++>为常数的顶点为P ，且20a b +=，对称轴与x 轴相交于点D ，点(),1M m 在抛物线上，1,m O >为坐标原点．（I ）当1,1a c ==-时，求该抛物线顶点P 的坐标；（II ）当OM OP ==a 的值；（III ）若N 是抛物线上的点，且点N 在第四象限，90,MDN DM DN Ð==o ，点E 在线段MN 上，点F 在线段DN 上，NE NF +=，当DE MF +a 的值．机密★启用前参考答案一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分）1．D2．B 3．C 4．C 5．C 6．A 7．A 8．B 9．A 10．B 11．D 12．C二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）13．31014．2x 15．1016．1（答案不唯一，满足0k >即可）17．（I ）2；（II18．（I ；（II ）如图，根据题意，切点为M ；连接ME 并延长，与网格线相交于点1M ；取圆与网格线的交点D 和格点H ，连接DH 并延长，与网格线相交于点2M ；连接12M M ，分别与,AB AC 相交于点,N P ，则点,,M N P 即为所求．三、解答题（本大题共7小题，共6619．（本小题8分）解：（I ）1x £；（II ）3x ³-；（III ）（IV ）31x -££．20．（本小题8分）解：（I ）50,34,8,8．（II ）观察条形统计图，63778179151088.36,3717158x ´+´+´+´+´==++++Q \这组数据的平均数是8.36．（III ）Q 在所抽取的样本中，每周参加科学教育的时间是9h 的学生占30%，\根据样本数据，估计该校八年级学生500人中，每周参加科学教育的时间是9h的学生占30%，有50030%150´=．\估计该校八年级学生每周参加科学教育的时间是9h 的人数约为150．21．（本小题10分）解：（I ）AB Q 为O e 的弦，OA OB \=．得A ABO ÐÐ=．AOB Q △中，180A ABO AOB ÐÐÐ++=o ，又30ABO Ð=o，1802120AOB ABO ÐÐ\=-=o o ．Q 直线MN 与O e 相切于点,C CE 为O e 的直径，CE MN \^．即90ECM Ð=o ．又AB MN ∥，90CDB ECM ÐÐ\==o ．在Rt ODB △中，9060BOE ABO Ð=-=o o ．12BCE BOE ÐÐ=Q ，30BCE Ð\=o ．（II ）如图，连接OC ．同（I ），得90COB Ð=o．CG AB ^Q ，得90FGB Ð=o ．\在Rt FGB △中，由30ABO Ð=o ，得9060BFG ABO ÐÐ=-=o o．60CFO BFG ÐÐ\==o ．在Rt COF △中，tan ,3OC CFO OC OA OFÐ===，3tan tan60OC OF CFO Ð\===o．22．（本小题10分）解：（I ）设CD x =，由36DE =，得36CE CD DE x =+=+．EC AB ^Q ，垂足为C ，90BCE ACD ÐÐ\==o ．在Rt BCD △中，tan ,45BC CDB CDB CDÐÐ==o ，tan tan45BC CD CDB x x Ð\=×=×=o ．在Rt BCE △中，tan ,31BC CEB CEB CEÐÐ==o ，()tan 36tan31BC CE CEB x Ð\=×=+×o ．()36tan31x x \=+×o．得36tan31360.6541tan3110.6x ´´=»=--o o ．答：线段CD 的长约为54m ．（II ）在Rt ACD △中，tan ,6AC CDA CDA CDÐÐ==o ，tan 54tan6540.1 5.4AC CD CDA Ð\=×»´»´=o ．5.45459AB AC BC \=+»+»．答：桥塔AB 的高度约为59m ．23．（本小题10分）解：（I ）①0.15,0.6,1.5；②0.075；③当04x ££时，0.15y x =；当419x <£时，0.6y =；当1925x <£时，0.15 2.25y x =-．（II ）1.05km ．24．（本小题10分）解：（I ）((,．（II ）①由折叠知，60,OO C AOC O P OP t ÐÐ===¢¢¢=o ，则2OO t ¢=．Q 点()3,0A ，得3OA =．23AO OO OA t \¢==¢--．Q 四边形OABC 为平行四边形，2,AB OC AB OC \==∥．得60O AB AOC ÐÐ==¢o ．AO E \¢△为等边三角形．有23AE AO t ¢==-．BE AB AE =-Q ，即()22352BE t t =--=-，25BE t \=-+，其中t 的取值范围是3522t <<．S ££．25．（本小题10分）解：（I ）20,1a b a +==Q ，得22b a =-=-．又1c =-，\该抛物线的解析式为221y x x =--．()222112y x x x =--=--Q ，\该抛物线顶点P 的坐标为()1,2-．（II ）过点(),1M m 作MH x ^轴，垂足为,1H m >，则90,1,MHO HM OH m Ð===o．在Rt MOH △中，由222,HM OH OM OM +==，221m \+=．解得1233,22m m ==-（舍）．\点M 的坐标为3,12æöç÷èø．20a b +=Q ，即12b a-=．\抛物线22y ax ax c =-+的对称轴为1x =．Q 对称轴与x 轴相交于点D ，则1,90OD ODP Ð==o ．在Rt OPD △中，由222,OD PD OP OP +==221PD \+=．解得32PD =．由0a >，得该抛物线顶点P 的坐标为31,2æö-ç÷èø．\该抛物线的解析式为()2312y a x =--．Q 点3,12M æöç÷èø在该抛物线上，有2331122a æö=--ç÷èø．10a \=．（III ）过点(),1M m 作MH x ^轴，垂足为,1H m >，则90,1,MHO HM OH m Ð===o．1DH OH OD m \=-=-．\在Rt DMH △中，()222211DM DH HM m =+=-+．过点N 作NK x ^轴，垂足为K ，则90DKN Ð=o ．90,MDN DM DN Ð==o Q ，又90DNK NDK MDH ÐÐÐ=-=o ，NDK DMH \≌△△．得点N 的坐标为()2,1m -．在Rt DMN △中，45DMN DNM ÐÐ==o，22222MN DM DN DM =+=，即MN =．根据题意，NE NF +=，得ME NF =．在DMN △的外部，作45DNG Ð=o ，且NG DM =，连接GF ，得90MNG DNM DNG ÐÐÐ=+=o．GNF DME \≌△△．有GF DE =．DE MF GF MF GM \+=+³．当满足条件的点F 落在线段GM 上时，DE MF +取得最小值，即GM =．在Rt GMN △中，22223GM NG MN DM =+=，223DM \=．得25DM =．()2115m \-+=．解得123,1m m ==-（舍）．\点M 的坐标为()3,1，点N 的坐标为()2,2-．Q 点()()3,1,2,2M N -都在抛物线22y ax ax c =-+上，得196,244a a c a a c =-+-=-+．1a \=．。
2021河南中考数学试卷评析(附5年)
2021河南中考数学试卷评析（附5年）2021年河南省中考数学试卷，基本延续了去年的题型结构，内容覆盖面广，大部分题目偏基础，但是稳中有新、目标明确，从知识技能、数学思考到问题解决、情感态度对学生进行了全面考查。
今年中考数学试卷整体结构与往年基本一致，但也有一些变化向我们指引了中考的新方向．一、从分值上看，填选的分值保持不变，解答题方面16题分值从8分改为10分，21题由10分改为9分，23题由11分改为10分；略微调整了基础题与难题之间的分数比例，践行国家提倡的双减行动．从这个方向看，河南中考相对于前几年，有意识的在下调难度．二、从题型来看，15题没有延续去年最值问题的考查，回归了折叠问题，不过也有创新点，出现了2次折叠，但分析角度并没有太大变化；16题由化简求值改为分别进行数的计算与式的计算；22题去年的新函数问题今年没有再延续，但探究函数本身相关性质仍是主要考查点；同时23题由经典的类比探究改为探究尺规作图的原理及应用．从这些变化的角度来说，题型的变化更灵活，更重视数学基础，数学思维的考查，而弱化了题目的综合度．这个方向是要引导学生更重视课本，扎实基础．培养基本能力和核心素养，而不是死搬硬套知识套路，更有利于学生的成长．三、从题目背景来看，很多题目都融合现实背景．例如第2题体现了河南人民互相帮扶的可贵品质；第8题的北斗，天问，高铁，九章唤醒孩子们的民族自豪感；13题和17题体现了数据统计对于现实生活的指导；19题、20题、21题从古代人民的智慧结晶到现代的经济生活，情景紧密联系实际，让学生从生活中抽象出数学问题．这些变化彰显了数学的应用价值和育人价值．四、整体来看，从去年的中考改革以来，河南中考更重视了题目的推陈出新，更突出对于知识应用性的考查，凸显了数学运算，数学推理，数学建模等核心素养的考查．对于善于探索，追根溯源的学生是个好消息，而对于死记硬背，生搬套路的学生则会痛苦一些，这有利于改变现有的一些教育现况，从中高考开始改革才能真正带来学校的变革。
初中数学中考指导二轮复习锦囊专题九方案设计型问题
专题九方案设计型问题一、中考专题讲解方案设计型问题，方案设计型问题是设置一个实责问题的情况，给出若干信息，提出解决问题的要求，追求合适的解决方案，有时还给出几个不相同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优．方案设计型问题主要观察学生的着手操作能力和实践能力．随着新课程改革的不断深入，一些奇特、灵便、亲近联系本质的方案设计问题正越来越碰到中考命题人员的喜爱，这些问题主要观察学生着手操作能力和创新能力，这也是新课程所要求的中心内容之一。
二、解题策略和解法精讲方案设计型问题涉及生产生活的方方面面，如：测量、购物、生产配料、汽车分派、图形拼接等。
所用到的数学知识有方程、不等式、函数、解直角三角形、概率和统计等知识。
这类问题的应用性特别突出，题目一般较长，做题从前要仔细读题，理解题意，选择和构造合适的数学模型，经过数学求解，最后解决问题。
解答此类问题必定拥有扎实的基础知识和灵便运用知识的能力，别的，解题时还要侧重综合运用转变思想、数形结合的思想、方程函数思想及分类谈论等各种数学思想。
三、中考考点精讲考点一：设计测量方案问题这类问题主要包括物体高度的测量和地面宽度的测量。
所用到的数学知识主要有相似、全等、三角形中位线、投影、解直角三角形等。
例 1 （2014? 浙江宁波，第26 题 14 分）木匠黄师傅用长AB=3，宽 BC=2的矩形木板做一个尽可能大的圆形桌面，他设计了四种方案：方案一：直接锯一个半径最大的圆；方案二：圆心O1、 O2分别在 CD、 AB上，半径分别是O1C、 O2A，锯两个外切的半圆拼成一个圆；方案三：沿对角线AC将矩形锯成两个三角形，合适平移三角形并锯一个最大的圆；方案四：锯一块小矩形BCEF拼到矩形AFED下面，利用拼成的木板锯一个尽可能大的圆．（1）写出方案一中圆的半径；（2）经过计算说明方案二和方案三中，哪个圆的半径较大？（3）在方案四中，设CE=x（ 0＜x＜ 1），圆的半径为y．①求 y 关于 x 的函数解析式；②当 x 取何值时圆的半径最大，最大多数径为多少？并说明四种方案中哪一个圆形桌面的半径最大．考点：圆的综合题解析：（ 1）观察图易知，截圆的直径需不高出长方形长、宽中最短的边，由已知长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）方案二、方案三中求圆的半径是老例的利用勾股定理或三角形相似中对应边长成比率等性质解直角三角形求边长的题目．一般都先设出所求边长，此后利用关系代入表示其他相关边长，方案二中可利用△O1O2E 为直角三角形，则满足勾股定理整理方程，方案三可利用△AOM∽△OFN后对应边成比率整理方程，进而可求 r 的值．（3）①近似（ 1）截圆的直径需不高出长方形长、宽中最短的边，诚然方案四中新拼的图象不用然为矩形，但直径也不得高出横纵向方向跨度．则选择最小跨度，取其，即为半径．由EC为 x，则新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为2+ x，则需要先判断大小，此后分别谈论结论．②已相关系表达式，则直接依照不等式性质易得方案四中的最大多数径．另与前三方案比较，即得最后结论．解答：（ 1）方案一中的最大多数径为1．解析以下：因为长方形的长宽分别为3， 2，那么直接取圆直径最大为2，则半径最大为1．（2）如图 1，方案二中连接O1， O2，过 O1作 O1E⊥ AB于 E，方案三中，过点O分别作 AB， BF的垂线，交于M， N，此时 M， N恰为⊙ O与 AB， BF的切点．方案二：设半径为r ，在 Rt△ O1O2E 中，∵O1O2=2r ， O1E=BC=2， O2E=AB﹣ AO1﹣ CO2=3﹣2r ，∴（ 2r）2=22 +（ 3﹣ 2r）2，解得 r =．新 _课 _标第 _一 _网方案三：设半径为r ，在△ AOM和△ OFN中，，∴△ AOM∽△ OFN，∴，∴，解得 r =．比较知，方案三半径较大．（3）方案四：①∵ EC=x，∴新拼图形水平方向跨度为3﹣x，竖直方向跨度为 2+x．近似（ 1），所截出圆的直径最大为3﹣x或 2+x较小的．1．当 3﹣ x＜2+x 时，即当 x＞时， r =（3﹣ x）；2．当 3﹣ =2+时，即当=时，r =（ 3﹣） =；x x x3．当 3﹣ x＞ 2+x 时，即当x＜时， r =（2+x）．②当 x＞时， r =（3﹣ x）＜（3﹣）=；当 x=时， r =（3﹣）=；当 x＜时， r =（2+x）＜（2+）=，∴方案四，当 x=时， r 最大为．∵ 1＜＜＜，∴方案四时可取的圆桌面积最大．谈论：此题观察了圆的基本性质及经过勾股定理、三角形相似等性质求解边长及分段函数的表示与性质谈论等内容，题目虽看似奇特不易找到思路，但仔细观察每一小问都是老例的基础考点，所以整体来说是一道质量很高的题目，值得仔细练习．对应训练1．（2014?济宁，第 20 题 8 分）在数学活动课上，王老师发给每位同学一张半径为 6 个单位长度的圆形纸板，要求同学们：（1）从带刻度的三角板、量角器和圆规三种作图工具中任意采纳作图工具，把圆形纸板分成面积相等的四部分；（2）设计的整个图案是某种对称图形．王老师给出了方案一，请你用所学的知识再设计两种方案，并完成下面的设计报告．名称四均分圆的面积方案方案一方案二方案三采纳的工具带刻度的三角板画出表示图简述设计方案作⊙ O两条互相垂直的直径AB、 CD，将⊙ O的面积分成相等的四份．指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形考点：利用旋转设计图案；利用轴对称设计图案．解析：依照圆的面积公式以及轴对称图形和中心对称图形定义分别解析得出即可．解答：名称四均分圆的面积方案方案一方案方案二三采纳的工具带刻度的三角板带刻带刻度三度三角板、角板、量角圆规．器、圆规．画出表示图简述设计方作⊙ O两条互相垂直的直径AB、 CD，将⊙ O的面积分成相等的四份．（1）（ 4）案以点作⊙OO为的一圆心，条直以 3径个单AB；位长（ 5）度为分别半径以作圆；OA、OB（2）的中在大点为⊙O圆心，上依以3次取个单三等位长分点度为A、B、半径C；作⊙（3）O1、⊙连接 O2；OA、则⊙OB、 O1、⊙O C． O2和则小⊙O圆O 中剩与三余的等份两部圆环分把把⊙ O⊙O的面的面积四积四均分．均分．指出对称性既是轴对称图形又是中心对称图形．轴对既是称图轴对形称图形又是中心对称图形．谈论：此题主要观察了利用轴对称设计图案以及轴对称图形以及中心对称图形的性质，熟练利用扇形面积公式是解题要点．考点二：设计搭配方案问题这类问题不但在中考中经常出现，大家在平时的练习中也会经常碰到。
九年级数学中考第二轮复习—方案设计问题冀教版
初三数学中考第二轮复习—方案设计问题冀教版【本讲教育信息】一. 教学内容：专题四：方案设计问题二. 知识要点：这类问题常常给出问题情景与解决问题的要求，让学生设计解决问题的方案，或给出多种不同方案，让学生判断它们的优劣．解这类问题的关键是寻找相等关系，利用函数的图像和性质解决问题；或列出相关不等式（组），通过寻求不等关系找到问题的答案；或利用图形变换、解直角三角形解决图形的设计方案、测量方案等．三. 考点分析：近年来，在各地的中考试题中，出现了方案设计题．方案设计题可以综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、动手能力等．方案设计题还呈现出创新、新颖、异彩纷呈的新趋势．【典型例题】题型一利用方程（组）进行方案设计例1.一牛奶制品厂现有鲜奶9t．若将这批鲜奶制成酸奶销售，则加工1t鲜奶可获利1200元；若制成奶粉销售，则加工1t鲜奶可获利2000元．该厂的生产能力是：若专门生产酸奶，则每天可用去鲜奶3t；若专门生产奶粉，则每天可用去鲜奶1t．由于受人员和设备的限制，酸奶和奶粉两产品不可能同时生产，为保证产品的质量，这批鲜奶必须在不超过4天的时间内全部加工完毕．假如你是厂长，你将如何设计生产方案，才能使工厂获利最大，最大利润是多少？分析：要确定哪种方案获利最多，首先应求出每种方案各获得的利润，再比较即可．解：生产方案设计如下：（1）将9t鲜奶全部制成酸奶，则可获利1200×9＝10800元．（2）4天内全部生产奶粉，则有5t鲜奶得不到加工而浪费，且利润仅为2000×4＝8000元．（3）4天中，用x天生产酸奶，用4－x天生产奶粉，并保证9t鲜奶如期加工完毕．由题意，得3x＋（4－x）×1＝9．解得x．∴4－x（天）．故在4天中，，，则利润为（×3××1×2000）元＝12000元．答：按第三种方案组织生产能使该厂获利最大，最大利润是12000元．评析：运用数学知识解决现代经济生产中的实际问题是中考的热点考查对象之一，同学们应多关心商品经济，生活中的规律、规则，把数学与生活有机结合起来．题型二利用不等式进行方案设计例2.某公司为了扩大经营，决定购进6台机器用于生产某种活塞．现有甲，乙两种机器供选择，其中每台机器的价格和每台机器日生产活塞的数量如下表所示．经过预算，本次购买机器所耗资金不能超过（1）按该公司要求可以有几种购买方案？（2）若该公司购进的6台机器的日生产能力不低于380个，那么为了节约资金应选择哪种购买方案？分析：（1）可设购买甲种机器x 台，然后用x 表示出购买甲、乙两种机器的实际费用，根据“本次购买机器所耗资金不能超过34万元”列不等式求解．（2）分别算出（1）中各方案每天的生产量，根据“日生产能力不低于380个”与“节约资金”两个条件选择购买方案．解：（1）设购买甲种机器x 台，则购买乙种机器（6－x ）台， 则：7x ＋5（6－x ）≤34，解得x ≤2， 又x ≥0，∴0≤x ≤2，∴整数x ＝0、1、2， ∴可得三种购买方案： 方案一：购买乙种机器6台；方案二：购买甲种机器1台，乙种机器5台； 方案三：购买甲种机器2台，乙种机器4台． （2）列表如下：由于方案一的日生产量小于380个，因此不选择方案一；•方案三比方案二多耗资2万元，故选择方案二．评析：①部分实际问题的解通常为整数；②方案的各种情况可以用表格的形式表达；③对关键词“不低于”、“至少”、“不少于”的理解是解本例的关键．题型三 利用函数进行方案设计例3.已知某种水果的批发单价与批发量的函数关系如图（1）所示． （1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图（2）的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么X 围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．图(1)m （kg ）图(2)（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（3）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．图(3)分析：（1）中注意图像中的圆圈表示不包括该点；（2）中金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式分两部分，实际是两个函数图像．当240＜w ≤300时，批发量m 有两个值，可比较这两者的大小；当w 取其他值时，m 只有一个值．（3）利用二次函数的最值求获得最大利润的进货和销售方案．解：（1）图（1）中①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2）解：由题意得：w ＝⎩⎪⎨⎪⎧5m （20≤m ≤60）4m （m ＞60） ，函数图象如图（4）所示．由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．（3）解法一：设当日零售价为x 元，由图可得日最高销量m ＝320－40x ， 当m ＞60时，x ＜6.5，由题意，销售利润为： y ＝（x －4）（320－40x ）＝40[－（x －6）2＋4]， 当x ＝6时，y 最大＝160，此时m ＝80，即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元． 解法二：设日最高销售量为xkg （x ＞60），则由图（3）日零售价p 满足：x ＝320－40p ，于是p ＝320－x40， 销售利润y ＝x （320－x 40－4）＝－140（x －80）2＋160，当x ＝80时，y 最大＝160，此时p ＝6，即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元．m （kg ）图（4）评析：本题考查同学们的读图能力，解题关键是数形结合，弄清题目的数量关系．题型四 利用解直角三角形进行方案设计例4. 如图所示，小山上有一棵树．现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB ． 要求：（1）画出测量示意图．（2）写出测量步骤．（测量数据用字母表示） （3）根据（2）中的数据计算AB ．分析：本题是一道开放性问题，设计方案时要注意测角仪有高度，同时还要注意测量所需数据可用a 、b 、c 、d 以及角度α、β来表示．最后还要注意直角三角形的模型．解：（1）测量图（示意图）如图所示．ABCD EFH αβhhm（2）测量步骤：第一步：在地面上选择点C 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角∠AHE ＝α． 第二步：沿CB 前进到点D ，用皮尺量出C 、D 之间的距离CD ＝m ． 第三步：在点D 安装测角仪，测得此时树尖A 的仰角∠AFE ＝β． 第四步：用皮尺量出测角仪的高h ．（3）AB ＝αββαtan tan tan tan m -⋅＋h ．评析：利用解直角三角形进行方案设计时一定要使用题目中所给的测量工具，而不能利用题目以外的测量工具．同时还要关注测量时是否有障碍物，是用具体的数值表示还是用字母表示等．本题的易错点在于同学们容易忽视测角仪的高度．设计测量方案时，结合我们平时在解直角三角形中已经建立的模型来考虑是一条捷径．题型五 利用统计和概率进行方案设计例5. 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分（满分为10分）： 方案1：所有评委所给分的平均数．方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数．方案3：所有评委所给分的中位数． 方案4：所有评委所给分的众数．为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验．如图所示是这个同学的得分统计图．（1）分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分．（2）根据（1）中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分．分析：对于题目中的四种方案我们可以分别计算出结果，只要注意平均数、中位数、众数的概念及三种统计量的意义即可．解：（1）方案1最后得分： 110（3.2＋7.0＋7.8＋3×8.0＋3×8.4＋9.8）＝7.7． 方案2最后得分：18（7.0＋7.8＋3×8.0＋3×8.4）＝8．方案3最后得分：8． 方案4最后得分：8或8.4．（2）因为方案1中的平均数受较大或较小数据的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为统计最后得分的方案．因为方案4中的众数有两个，众数没有实际意义，所以方案4不适合作为统计最后得分的方案．评析：本题考查了统计中三个统计量的计算和意义的使用．题型六 实际应用图形方案设计例6. 在一次数学探究性学习活动中，某学习小组要制作一个圆锥体模型，操作规则是：在一块边长为16cm 的正方形纸片上剪出一个扇形和一个圆，使得扇形围成圆锥的侧面时，圆恰好是该圆锥的底面．他们首先设计了如图所示的方案一，发现这种方案不可行，于是他们调整了扇形和圆的半径，设计了如图所示的方案二．（两个方案的图中，圆与正方形相邻两边及扇形的弧均相切．方案一中扇形的弧与正方形的两边相切） （1）请说明方案一不可行的理由；（2）判断方案二是否可行？若可行，请确定圆锥的母线长及其底面圆的半径；若不可行，请说明理由．A BCD ABDC方案一方案二分析：判断方案是否可行，可用反证法，假设方案可行，确定正方形的大小，与所给正方形进行比较得出结论．解：（1）理由如下：假设方案一可行．∵扇形的弧长＝2π×16×14＝8π，圆锥底面周长＝2πr ，则圆的半径为4cm ．由于所给正方形纸片的对角线长为162cm ，而制作这样的圆锥实际需要正方形纸片的对角线长为16＋4＋42＝20＋42cm ，20＋42＞162．∴假设不成立，故方案一不可行． （2）方案二可行．求解过程如下：设圆锥底面圆的半径为rcm ，圆锥的母线长为R cm ，则（1＋2）r ＋R ＝162——①．2πr ＝2πR4——②．由①②，可得R ＝6425＋2＝3202－12823，r ＝1625＋2＝802－3223．故所求圆锥的母线长为3202－12823cm ，底面圆的半径为802－3223cm ．评析：图形方案设计问题，关键要弄清楚设计要求，图形变化前后变化的量和不变的量．【方法总结】这类试题不仅要求学生要有扎实的数学双基知识，而且要能够把实际问题中所涉及的数学问题转化，抽象成具体的数学问题．从方法上分两类进行概括：（1）方案已知，要求选优；（2）先求方案，再选最优．【预习导学案】（专题五：开放探索性问题）一. 预习导学1. 如图所示，AC 、BD 相交于点O ，∠A ＝∠D ，请你再添加一个条件__________，使得∠ABC ≌△DCB ．ABCDO2. 请同学们写出两个具有轴对称性的汉字__________．3. 已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c （a ≠0）的图像如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a ＋b ＜0；③4a －2b ＋c ＜0；④a ＋c ＞0．其中正确的个数是（ ） A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二. 反思1. 开放探索性问题有什么特征？2. 开放探索性问题的解题策略是什么？【模拟试题】（答题时间：50分钟）一. 选择题*1. 一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A. 4种B. 3种C. 2种D. 1种**2. 奥运期间，体育场馆要对观众进行安全检查。
初中数学专题复习方案设计题(含解答)
专题复习四方案设计题一、知识系统网络近年来,在各地中考试题中,出现了方案设计题.•方案设计题可以综合考查学生的阅读理解能力、分析推理能力、数据处理能力、文字概括能力、动手能力等.•命题的方案设计也出现创新、新颖、异彩纷呈的新趋势.二、中考题型例析1.设计图形题例1 (2003·潍坊)小明家有一块三角形菜地,要种植面积相等的四种蔬菜,请你设计四种不同的分割方案(分成三角形或四边形不限).方案一方案二方案三方案四分析:解决本题作图主要用到的是三角形面积公式,考查学生对这一公式和相关概念的灵活运用,以及分解平面图形的能力.解:方案一方案二方案三方案四2.设计测量方案题例2 (2004·青岛)在一次实验活动中,某课题学习小组用测倾器、•皮尺测量旗杆的高度,他们设计了如下方案(如图1所示):(1)在测点A处安置测倾器,测得旗杆顶部M的仰角∠MCE=α;(2)量出测点A到旗杆底部N的水平距离AN=m;(3)量出测倾器的高度AC=h.根据上述测量数据,即可求出旗杆的高度MN.如果测量工具不变,请仿照上述过程,设计一个测量某小山高度(如图2)•的方案:(1)在图中,画出你测量小山高度MN的示意图(标上适当字母);(2)写出你设计的方案.(1) (2) (3)分析:本题主要考查解决直角三角形的有关知识,学生根据提供的信息容易写出测量方案.解:(1)正确画出示意图(如图3)(2)①在测点A处安置测倾器,测得此时山顶M的仰角∠MCE=α;②在测点A与小山之间的B处安置测倾器(A、B与N在同一条直线上),测得此时山顶M的仰角∠MDE=β;③量出测倾器的高度AC=BD=h,以及测点A、B之间的距离AB=m.•根据上述测量数据,即可求出小山的高度MN.点评:数学与生活紧密相连,将一些数学知识置于生活情景之中,•使学生进一步论证以数学就在身边,会用数学知识解决现实生活中的问题.3.设计最佳方案题例3 (2003·广州)现计划把甲种货物1 240吨和乙种货物880吨用一列货车运往某地,已知这列货车挂有A、B两种不同规格的货车厢共40节,使用A•型车厢每节费用为6 000元,使用B型车厢每节费用为8 000元.(1)设运送这批货物的总费用为y万元,这列货车挂A型车厢x节,试写出y与x之间的函数关系式;(2)如果每节A型车厢最多可装甲种货物35吨和乙种货物15吨,•每节乙型车厢最多可装甲种货物25吨和乙种货物35吨,装货时按时要求安排A、B两种车厢的节数,那么共有哪几种安排车厢的方案?(3)在上述方案中,哪个方案运费最省?最少运费为多少元?分析:解答应用题,先要读懂文字,理解题意,再将其翻译成数学语言,•建立数学模型.从条件和提高的角度看,A、B两种车厢的节数是一个范围内的整数值,•由此需用不等式组来求解.解:(10设用A型车厢x节,则用B型车厢(40-x)节,总运费为y万元.依题意,得y=0.6x+0.8(40-x)=-0.2x+32.(2)依题意,得3525(40)1240, 1535(40)880.x xx x+-≥⎧⎨+-≥⎩化简,得10240,52020;xx≥⎧⎨≥⎩24,26.xx≥⎧⎨≤⎩∴24≤x≤26.∵x取整数,故A型车厢可用24节或25节或26节,相应有三种装车方案:①24节A型车厢和16节B型车厢;②25节A型车厢和15节B型车厢;③26节A型车厢和14节B型车厢.(3)由函数y=-0.2x+32知,x越大,y越小,故当x=26时,运费最省.这时y=-0.•2•×26+32=26.8(万元).答:安排A型车厢26节、B型车厢14节运费最省,最少运费为26.8万元.点评:与当今各行业都密切相关的“最好、最省、最大、•最低”等优化问题常常与函数的解析式及性质有关,因此,加强培养学生用函数知识解决优化问题的意识和能力势在必行.专题训练1.(2004·潍坊)现有树12棵,把它栽成三排,要求每排恰好为5棵,如图所示就是一种符合条件的栽法,请你再给出三种不同的栽法(画出图形即可).2.(2003·河北)探究规律:如图(1),已知:直线m∥n,A、B为直线n•上两点,C、P为直线m上两点.(1)请写出图(1)中,面积相等的各对三角形:_______________________________;(2)如果A、B、C为三个定点,点P在m上移动,那么,无论P点移动到任何位置,•总有________与△ABC的面积相等.理由是:_____________;解决问题:如图(2),五边形ABCDE是张大爷十年前承包的一块土地的示意图.•经过多年开垦荒地,现已变成如图(3)所示的形状.但承包土地与开垦荒地的分界小路(即图(3)中折线CDE)还保留着.张大爷想过E点修一条直路,直路修好后,•要保持直路左边的土地面积与承包时的一样多,•右边的土地面积与开垦的荒地面积一样多.请你用有关的几何知识,按张大爷的要求设计出修路方案.(不计分界小路与直路的占地面积)(1)写出设计方案,并在图(3)中画出相应的图形;(2)说明方案设计理由.(1)nAPmBCO(2)ABDEC(3)ABDNMEC3.(2004·潍坊)图为人民公园中的荷花池,现要测量此荷花池两旁A、B•两棵树间的距离(我们不能直接量得).请你根据所学知识,以卷尺和测量仪为测量工具设计一种测量方案.要求:(1)画出你设计的测量平面图;(2)简述测量方法,并写出测量的数据(长度用a,b,c…表示;角度用α,β,γ,…表示).(3)根据你测量的数据,计算A、B两棵树间的距离.4.(2004·哈尔滨)“利海”通讯器材商场,计划用60 000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求，已知该厂家生产三种不同型号的手机,•出厂价分别为甲种型号手机每部1 800元,乙种型号的手机每部600元,丙种型号手机每部1 200元.(1)若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部,并将60 000元恰好用完.•请你帮助商场计算一下如何购买.(2)若商场同时购进三种不同型号的手机共40部,并将60 000元恰好用完,•并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部,•请你求出商场每种型号手机的购买数量.5.(2004·沈阳)某地有一居民楼,窗户朝南,窗户的高度为hm,此地一年中的冬至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最小为α,夏至这一天的正午时刻太阳光与地面的夹角最大为β(如图1).小明想为自己家的窗户设计一个直角形遮阳篷BCD,•要求它既能最大限度地遮挡夏天火热的阳光,•又能最大限度地使冬天温暖的阳光射入室内,小明查阅了有关资料,获得了所在地区∠α和∠β的相应数据:∠α=24°36′,•∠β=73°30′,小明又量得窗户的高AB=1.65m.若同时满足下面两个条件:(1)•当太阳光与地面的夹角为α时,要想使太阳光刚好全部射入室内;(2)当太阳光与地面的夹角为β时,要想使太阳光刚好不射入室内.请你借助下面的图形(如图2),帮助小明算一算,遮阳篷BCD中,BC和CD的长各是多少?(精确到0.01m)sin24°36′=0.416, cos24°36′=0.909,tan24°36′=0.458, cot24°36′=2.184, sin73°30′=0.959, cos73°30′=0.284,tan73°30′=3.376, cot73°30′=0.296.(1) (2)6.(2003·黑龙江)为了保护环境,某企业决定购买10台污水处理设备.现有A、•B两种型号的设备,经预算,该企业购买设备的资金不高于105万元.(1)请你设计该企业有几种购买方案;(2)若企业每月产生的污水量为2 040吨,为了节约资金,应选择哪种购买方案;(3)在第(2)问的条件下,若每台设备的使用年限为10年,污水厂处理污水费为每吨10元,请你计算,该企业自己处理污水与将污水排到污水厂处理相比较,10•年的费用包括购买设备的资金和消耗费)7.(2004·陕西)李大爷有一个边长为a 的正方形鱼塘如图所示,•鱼塘四个角的顶点A 、B 、C 、D 上各有一棵大树,•现在李大爷想把原来的鱼塘扩建成一个圆形或正方形鱼塘(原鱼塘周围的面积足够大),又不想把树挖掉(四棵大树要在新建鱼塘的边沿上).(1)若按圆形设计,利用图 (1)画出你所设计的圆形鱼塘示意图,并求出圆形鱼塘的面积;(2)若按正方形设计,利用图 (2)画出你所设计的正方形鱼塘示意图; (3)你在图(2)所设计的正方形鱼塘中,有无最大面积?为什么?(4)李大爷想使新建的鱼塘面积最大,你认为新建鱼塘的最大面积是多少?(1)ABDC (2)ABDC8.(2004·黑龙江)某送奶公司计划在三栋楼之间建一个取奶站,三栋楼在同一条直线上,顺次为A楼、B楼、C楼,其中A楼与B楼之间的距离为40m,B楼与C•楼之间的距离为60m.已知A楼每天有20人取奶,B楼每天有70人取奶,C楼每天有60人取奶,送奶公司提出两种建站方案.方案一:让每天所有取奶的人到奶站的距离总和最小;方案二:让每天A楼与C楼所有取奶的人到奶站的距离之和等于B楼所有取奶的人到奶站的距离之和.(1)若按照方案一建站,取奶站应建在什么位置?(2)若按照方案二建站,取奶站应建在什么位置?(3)在(2)的情况下,若A楼每天取奶的人数增加(增加的人数不超过22人),•那么取奶站将离B楼越来越远,还是越来越近?请说明理由.答案： 1.略2.探究规律:(1)△ABC 和△ABP,△AOC 和△BOP,△CPA 和△CPB; (2)△ABP.因为平行线间的距离相等,所以无论点P 在m 上移动到任何位置,总有△ABP•和与△ABC 同底等高,因此,它们的面积总相等. 解决问题:(1)画法如图.连结EC,过点D 作DF ∥EC,交CM 于点F,连结EF,EF 即为所求直路的位置. (2)设EF 交CD 于点H,由上面得到的结论,可知: S △ECF =S △ECD ,S △HCF =S △EDH ,∴S 五边形ABCDE =S 五边形ABCFE ,S 五边形EDCMN =S 四边形EFMN 。
2022年甘肃省定西市中考数学试题及答案解析
2022年甘肃省定西市中考数学试卷一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.−2的相反数是( )A. −12B. 2 C. −2 D. 122.若∠A=40°，则∠A的余角的大小是( )A. 50°B. 60°C. 140°D. 160°3.不等式3x−2>4的解集是( )A. x>−2B. x<−2C. x>2D. x<24.用配方法解方程x2−2x=2时，配方后正确的是( )A. (x+1)2=3B. (x+1)2=6C. (x−1)2=3D. (x−1)2=65.若△ABC∽△DEF，BC=6，EF=4，则ACDF=( )A. 49B. 94C. 23D. 326.2022年4月16日，神州十三号载人飞船返回舱在东风着陆场成功着陆，飞行任务取得圆满成功．“出差”太空半年的神州十三号航天员乘组顺利完成既定全部任务，并解锁了多个“首次”.其中，航天员们在轨驻留期间共完成37项空间科学实验，如图是完成各领域科学实验项数的扇形统计图，下列说法错误的是( )A. 完成航天医学领域实验项数最多B. 完成空间应用领域实验有5项C. 完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多D. 完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%7.大自然中有许多小动物都是“小数学家”，如图1，蜜蜂的蜂巢结构非常精巧、实用而且节省材料，多名学者通过观测研究发现：蜂巢巢房的横截面大都是正六边形．如图2，一个巢房的横截面为正六边形ABCDEF，若对角线AD的长约为8mm，则正六边形ABCDEF的边长为( )A. 2mmB. 2√2mmC. 2√3mmD. 4mm8.《九章算术》是中国古代的一部数学专著，其中记载了一道有趣的题：“今有凫起南海，七日至北海；雁起北海，九日至南海．今凫雁俱起，问何日相逢？”大意是：今有野鸭从南海起飞，7天到北海；大雁从北海起飞，9天到南海．现野鸭从南海、大雁从北海同时起飞，问经过多少天相遇？设经过x天相遇，根据题意可列方程为( )A. (17+19)x=1 B. (17−19)x=1 C. (9−7)x=1 D. (9+7)x=19.如图，一条公路(公路的宽度忽略不计)的转弯处是一段圆弧(AB⏜)，点O是这段弧所在圆的圆心，半径OA=90m，圆心角∠AOB=80°，则这段弯路(AB⏜)的长度为( )A. 20πmB. 30πmC. 40πmD. 50πm10.如图1，在菱形ABCD中，∠A=60°，动点P从点A出发，沿折线AD→DC→CB方向匀速运动，运动到点B停止．设点P的运动路程为x，△APB的面积为y，y与x的函数图象如图2所示，则AB的长为( )A. √3B. 2√3C. 3√3D. 4√3二、填空题（本大题共8小题，共24.0分）11.计算：3a3⋅a2=______．12.因式分解m3−4m=______．13.若一次函数y=kx−2的函数值y随着自变量x值的增大而增大，则k=______(写出一个满足条件的值)．14.如图，菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，若AB=2√5cm，AC=4cm，则BD的长为______cm．15.如图，⊙O是四边形ABCD的外接圆，若∠ABC=110°，则∠ADC=______°.16.如图，在四边形ABCD中，AB//DC，AD//BC，在不添加任何辅助线的前提下，要想四边形ABCD成为一个矩形，只需添加的一个条件是______．17.如图，以一定的速度将小球沿与地面成一定角度的方向击出时，小球的飞行路线是一条抛物线．若不考虑空气阻力，小球的飞行高度ℎ(单位：m)与飞行时间t(单位：s)之间具有函数关系：ℎ=−5t2+20t，则当小球飞行高度达到最高时，飞行时间t=______s.18.如图，在矩形ABCD中，AB=6cm，BC=9cm，点E，F分别在边AB，BC上，AE=2cm，BD，EF交于点G，若G是EF的中点，则BG的长为______cm．三、解答题（本大题共10小题，共66.0分）19.计算：√2×√3−√24．20.化简：(x+3)2x+2÷x2+3xx+2−3x．21.中国清朝末期的几何作图教科书《最新中学教科书用器画》由国人自编(图1)，书中记载了大量几何作图题，所有内容均用浅近的文言文表述，第一编记载了这样一道几何作图题：原文释义甲乙丙为定直角．以乙为圆心，以任何半径作丁戊弧；以丁为圆心，以乙丁为半径画弧得交点己；再以戊为圆心，仍以原半径画弧得交点庚；乙与己及庚相连作线．如图2，∠ABC为直角，以点B为圆心，以任意长为半径画弧，交射线BA，BC分别于点D，E；以点D为圆心，以BD长为半径画弧与DE⏜交于点F；再以点E为圆心，仍以BD长为半径画弧与DE⏜交于点G；作射线BF，BG．(1)根据以上信息，请你用不带刻度的直尺和圆规，在图2中完成这道作图题(保留作图痕迹，不写作法)；(2)根据(1)完成的图，直接写出∠DBG，∠GBF，∠FBE的大小关系．22.灞陵桥位于甘肃省渭源县城南清源河(渭河上游)上，始建于明洪武初年，因“渭水绕长安，绕灞陵，为玉石栏杆灞陵桥”之语，得名灞陵桥(图1)，该桥为全国独一无二的纯木质叠梁拱桥．某综合实践研究小组开展了测量汛期某天“灞陵桥拱梁顶部到水面的距离”的实践活动，过程如下：方案设计：如图2，点C为桥拱梁顶部(最高点)，在地面上选取A，B两处分别测得∠CAF和∠CBF的度数(A,B,D,F在同一条直线上)，河边D处测得地面AD到水面EG的距离DE(C,F,G在同一条直线上，DF//EG，CG⊥AF，FG=DE)．数据收集：实地测量地面上A，B两点的距离为8.8m，地面到水面的距离DE=1.5m，∠CAF=26.6°，∠CBF=35°．问题解决：求灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG(结果保留一位小数)．参考数据：sin26.6°≈0.45，cos26.6°≈0.89，tan26.6°≈0.50，sin35°≈0.57，cos35°≈0.82，tan35°≈0.70．根据上述方案及数据，请你完成求解过程．23.第24届冬季奥林匹克运动会于2022年2月4至20日在我国北京−张家口成功举办，其中张家口赛区设有四个冬奥会竞赛场馆，分别为：A.云顶滑雪公园、B.国家跳台滑雪中心、C.国家越野滑雪中心、D.国家冬季两项中心．小明和小颖都是志愿者，他们被随机分配到这四个竞赛场馆中的任意一个场馆的可能性相同．(1)小明被分配到D.国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是多少？(2)利用画树状图或列表的方法，求小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率．24.受疫情影响，某初中学校进行在线教学的同时，要求学生积极参与“增强免疫力、丰富学习生活”为主题的居家体育锻炼活动，并实施锻炼时间目标管理．为确定一个合理的学生居家锻炼时间的完成目标，学校随机抽取了30名学生周累计居家锻炼时间(单位：ℎ)的数据作为一个样本，并对这些数据进行了收集、整理和分析，过程如下：【数据收集】7865910467511128764636891010136783510【数据整理】将收集的30个数据按A，B，C，D，E五组进行整理统计，并绘制了如图所示的不完整的频数分布直方图(说明：A.3≤t<5，B.5≤t<7，C.7≤t<9，D.9≤t< 11，E.11≤t≤13，其中t表示锻炼时间)；【数据分析】请根据以上信息解答下列问题：(1)填空：m=______；(2)补全频数分布直方图；(3)如果学校将管理目标确定为每周不少于7ℎ，该校有600名学生，那么估计有多少名学生能完成目标？你认为这个目标合理吗？说明理由．(k≠0)在第一象限图象上的点，过点B的直线y= 25.如图，B，C是反比例函数y=kxx−1与x轴交于点A，CD⊥x轴，垂足为D，CD与AB交于点E，OA=AD，CD=3．(1)求此反比例函数的表达式；(2)求△BCE的面积．26.如图，△ABC内接于⊙O，AB，CD是⊙O的直径，E是DB延长线上一点，且∠DEC=∠ABC．(1)求证：CE是⊙O的切线；(2)若DE=4√5，AC=2BC，求线段CE的长．27.已知正方形ABCD，E为对角线AC上一点．【建立模型】(1)如图1，连接BE，DE.求证：BE=DE；【模型应用】(2)如图2，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G．①判断△FBG的形状并说明理由；②若G为AB的中点，且AB=4，求AF的长．【模型迁移】(3)如图3，F是DE延长线上一点，FB⊥BE，EF交AB于点G，BE=BF.求证：GE=(√2−1)DE．(x+3)(x−a)与x轴交于A，B(4,0)两28.如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=14点，点C在y轴上，且OC=OB，D，E分别是线段AC，AB上的动点(点D，E不与点A，B，C重合)．(1)求此抛物线的表达式；(2)连接DE并延长交抛物线于点P，当DE⊥x轴，且AE=1时，求DP的长；(3)连接BD．①如图2，将△BCD沿x轴翻折得到△BFG，当点G在抛物线上时，求点G的坐标；②如图3，连接CE，当CD=AE时，求BD+CE的最小值．答案解析1.【答案】B【解析】【分析】根据相反数的含义，可得求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”，据此解答即可．此题主要考查了相反数的含义以及求法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：相反数是成对出现的，不能单独存在；求一个数的相反数的方法就是在这个数的前边添加“−”．【解答】解：根据相反数的含义，可得−2的相反数是：−(−2)=2．故选：B．2.【答案】A【解析】解：∵∠A=40°，∴∠A的余角为：90°−40°=50°，故选：A．根据互余两角之和为90°计算即可．本题考查的是余角的定义，如果两个角的和等于90°，就说这两个角互为余角．3.【答案】C【解析】解：3x−2>4，移项得：3x>4+2，合并同类项得：3x>6，系数化为1得：x>2．故选：C．按照解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1即可得出答案．本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1是解题的关键．4.【答案】C【解析】解：x2−2x=2，x2−2x+1=2+1，即(x−1)2=3．故选：C．方程左右两边都加上1，左边化为完全平方式，右边合并即可得到结果．本题考查了解一元二次方程−配方法，熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键．5.【答案】D【解析】解：∵△ABC∽△DEF，∴BCEF =ACDF，∵BC=6，EF=4，∴ACDF =64=32，故选：D．根据△ABC∽△DEF，可以得到BCEF =ACDF，然后根据BC=6，EF=4，即可得到ACDF的值．本题考查相似三角形的性质，解答本题的关键是明确题意，利用相似三角形的性质解答．6.【答案】B【解析】解：A.由扇形统计图可得，完成航天医学领域实验项数最多，所以A选项说法正确，故A选项不符合题意；B.由扇形统计图可得，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，不能算出完成空间应用领域的实验次数，所以B选项说法错误，故B选项符合题意；C.完成人因工程技术实验占完成总实验数的24.3%，完成空间应用领域实验占完成总实验数的5.4%，所以完成人因工程技术实验项数比空间应用领域实验项数多说法正确，故C选项不符合题意；D.完成人因工程技术实验项数占空间科学实验总项数的24.3%，所以D选项说法正确，故D选项不符合题意．故选：B．应用扇形统计图用整个圆表示总数用圆内各个扇形的大小表示各部分数量占总数的百分数．通过扇形统计图可以很清楚地表示出各部分数量同总数之间的关系．用整个圆的面积表示总数(单位1)，用圆的扇形面积表示各部分占总数的百分数．进行判定即可得出答案．本题主要考查了扇形统计图，熟练掌握扇形统计图的应用是解决本题的关键．7.【答案】D【解析】解：连接AD ，CF ，AD 、CF 交于点O ，如右图所示，∵六边形ABCDEF 是正六边形，AD 的长约为8mm ，∴∠AOF =60°，OA =OD =OF ，OA 和OD 约为4mm ，∴AF 约为4mm ，故选：D ．根据正六边形的性质和题目中的数据，可以求得正六边形ABCDEF 的边长．本题考查多边形的对角线，解答本题的关键是明确正六边形的特点．8.【答案】A【解析】解：设经过x 天相遇， 根据题意得：17x +19x =1，∴(17+19)x =1，故选：A ．设总路程为1，野鸭每天飞17，大雁每天飞19，当相遇的时候，根据野鸭的路程+大雁的路程=总路程即可得出答案．本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，本题的本质是相遇问题，根据等量关系：野鸭的路程+大雁的路程=总路程列出方程是解题的关键．9.【答案】C【解析】解：∵半径OA =90m ，圆心角∠AOB =80°，∴这段弯路(AB⏜)的长度为：80π×90180=40π(m)， 故选：C ．根据题目中的数据和弧长公式，可以计算出这段弯路(AB⏜)的长度． 本题考查圆心角、弧、弦的关系，解答本题的关键是明确弧长计算公式l =nπr 180．10.【答案】B【解析】解：在菱形ABCD中，∠A=60°，∴△ABD为等边三角形，设AB=a，由图2可知，△ABD的面积为3√3，∴△ABD的面积=√3a2=3√3，4解得：a=2√3，故选：B．根据图1和图2判定三角形ABD为等边三角形，它的面积为3√3解答即可．本题考查了动点问题的函数图象，根据菱形的性质和函数图象，能根据图形得出正确信息是解此题的关键．11.【答案】3a5【解析】解：原式=3a3+2=3a5．故答案为：3a5．根据同底数幂的乘法法则化简即可本题考查了同底数幂的乘法，掌握a m⋅a n=a m+n是解题的关键．12.【答案】m(m+2)(m−2)【解析】解：原式=m(m2−4)=m(m+2)(m−2)，故答案为：m(m+2)(m−2)原式提取m，再利用平方差公式分解即可．此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．13.【答案】2(答案不唯一)【解析】解：∵函数值y随着自变量x值的增大而增大，∴k>0，∴k=2(答案不唯一)．故答案为：2(答案不唯一)．根据函数值y随着自变量x值的增大而增大得到k>0，写出一个正数即可．本题考查了一次函数的性质，掌握一次函数的性质：k>0，y随x的增大而增大；k<0，y随x的增大而减小是解题的关键．14.【答案】8【解析】解：∵四边形ABCD是菱形，AC=4cm，∴AC⊥BD，BO=DO，AO=CO=2cm，∵AB=2√5cm，∵BO=√AB2−AO2=4cm，∴DO=BO=4cm，∴BD=8cm，故答案为：8．由菱形的性质可得AC⊥BD，BO=DO，由勾股定理可求BO，即可求解．本题考查了菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键．15.【答案】70【解析】解：∵四边形ABCD内接于⊙O，∠ABC=110°，∴∠ADC=180°−∠ABC=180°−110°=70°，故答案为：70．根据圆内接四边形的对角互补即可得到结论．本题考查了圆内接四边形的性质，熟练掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．16.【答案】∠A=90°(答案不唯一)【解析】解：需添加的一个条件是∠A=90°，理由如下：∵AB//DC，AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形，又∵∠A=90°，∴平行四边形ABCD是矩形，故答案为：∠A=90°(答案不唯一)．先证四边形ABCD是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论．本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定和平行四边形的判定与性质是解题的关键．17.【答案】2【解析】解：∵ℎ=−5t2+20t=−5(t−2)2+20，且−5<0，∴当t=2时，ℎ取最大值20，故答案为：2．把一般式化为顶点式，即可得到答案．本题考查二次函数的应用，解题的关键是掌握将二次函数一般式化为顶点式．18.【答案】√13【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB//CD，∴∠ABD=∠BDC，∵AE=2cm，∴BE=AB−AE=6−2=4(cm)，∵G是EF的中点，∴EG=BG=12EF，∴∠BEG=∠ABD，∴∠BEG=∠BDC，∴△EBF∽△DCB，∴EBDC =BFCB，∴46=BF9，∴BF=6，∴EF=√BE2+BF2=√42+62=2√13(cm)，∴BG=12EF=√13(cm)，故答案为：√13．根据矩形的性质可得AB=CD=6cm，∠ABC=∠C=90°，AB//CD，从而可得∠ABD=∠BDC，然后利用直角三角形斜边上的中线可得EG=BG，从而可得∠BEG=∠ABD，进而可得∠BEG=∠BDC，再证明△EBF∽△DCB，利用相似三角形的性质可求出BF的长，最后在Rt△BEF中，利用勾股定理求出EF的长，即可解答．本题考查了相似三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，直角三角形斜边上的中线，熟练掌握直角三角形斜边上的中线，以及相似三角形的判定与性质是解题的关键．19.【答案】解：原式=√6−2√6=−√6．【解析】根据二次根式的乘法法则和二次根式的化简计算，再合并同类二次根式即可．本题考查了二次根式的混合运算，掌握√a⋅√b=√ab(a≥0,b≥0)是解题的关键．20.【答案】解：原式=(x+3)2x+2⋅x+2x(x+3)−3x=x+3x −3x=x+3−3x=1．【解析】将除法转化为乘法，因式分解，约分，根据分式的加减法法则化简即可得出答案．本题考查了分式的混合运算，考查学生运算能力，掌握运算的结果要化成最简分式或整式是解题的关键．21.【答案】解：(1)如图，射线BG，BF即为所求．(2)∠DBG=∠GBF=∠FBE．理由：连接DF，EG，则BD=BF=DF，BE=BG=EG，即△BDF和△BEG均为等边三角形，∴∠DBF=∠EBG=60°，∵∠ABC=90°，∴∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°．【解析】(1)按题干直接画图即可．(2)连接DF，EG，可得△BDF和△BEG均为等边三角形，则∠DBF=∠EBG=60°，进而可得∠DBG=∠GBF=∠FBE=30°．本题考查尺规作图，根据题意正确作出图形是解题的关键．22.【答案】解：设BF=x m，由题意得：DE=FG=1.5m，在Rt△CBF中，∠CBF=35°，∴CF=BF⋅tan35°≈0.7x(m)，∵AB=8.8m，∴AF=AB+BF=(8.8+x)m，在Rt△ACF中，∠CAF=26.6°，∴tan26.6°=CFAF =0.7x8.8+x≈0.5，∴x=22，经检验：x=22是原方程的根，∴CG=CF+FG=0.7x+1.5=16.9(m)，∴灞陵桥拱梁顶部C到水面的距离CG约为16.9m．【解析】设BF=x m，根据题意可得：DE=FG=1.5m，然后在Rt△CBF中，利用锐角三角函数的定义求出CF的长，再在Rt△ACF中，利用锐角三角函数的定义列出关于x 的方程，进行计算即可解答．本题考查了解直角三角形的应用，熟练掌握锐角三角函数的定义是解题的关键．23.【答案】解：(1)小明被分配到D.国家冬季两项中心场馆做志愿者的概率是14；(2)画树状图如下：共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，∴小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的概率为416=14．【解析】(1)直接由概率公式求解即可；(2)画树状图，共有16种等可能的结果，其中小明和小颖被分配到同一场馆做志愿者的结果有4种，再由概率公式求解即可．此题考查了用树状图法求概率．树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．24.【答案】6【解析】解：(1)由数据可知，6出现的次数最多，∴m=6．故答案为：6．(2)补全频数分布直方图如下：(3)600×8+6+330=340(名)．答：估计有340名学生能完成目标．目标合理．理由：过半的学生都能完成目标．(1)由众数的定义可得出答案．(2)结合收集的数据，求出C组的人数，即可补全频数分布直方图．(3)用总人数乘以样本中每周不少于7ℎ的人数占比，即可得出答案；过半的学生都能完成目标，即目标合理．本题考查频数分布直方图、用样本估计总体，从收集的数据中获取必要的信息是解决问题的关键．25.【答案】解：(1)当y =0时，即x −1=0，∴x =1，即直线y =x −1与x 轴交于点A 的坐标为(1,0)，∴OA =1=AD ，又∵CD =3，∴点C 的坐标为(2,3)，而点C(2,3)在反比例函数y =k x 的图象上，∴k =2×3=6，∴反比例函数的图象为y =6x ；(2)方程组{y =x −1y =6x 的正数解为{x =3y =2， ∴点B 的坐标为(3,2)，当x =2时，y =2−1=1，∴点E 的坐标为(2,1)，即DE =1，∴EC =3−1=2，∴S △BCE =12×2×(3−2)=1，答：△BCE 的面积为1．【解析】(1)根据直线y =x −1求出点A 坐标，进而确定OA ，AD 的值，再确定点C 的坐标，代入反比例函数的关系式即可；(2)求出点E 坐标，进而求出EC ，再求出一次函数与反比例函数在第一象限的交点B 的坐标，由三角形的面积的计算方法进行计算即可．本题考查反比例函数、一次函数交点坐标以及待定系数法求函数关系式，将一次函数、反比例函数的关系式联立方程组是求出交点坐标的基本方法，将点的坐标转化为线段的长是正确解答的关键．26.【答案】(1)证明：∵AB 是⊙O 的直径，∴∠ACB =90°，∴∠A +∠ABC =90°，∵BC =BC ，∴∠A =∠D ，又∵∠DEC=∠ABC，∴∠D+∠DEC=90°，∴∠DCE=90°，∴CD⊥CE，∵OC是⊙O的半径，∴CE是⊙O的切线；(2)解：由(1)知，CD⊥CE，在Rt△ABC和Rt△DEC中，∵∠A=∠D，AC=2BC，∴tanA=tanD，即BCAC =CECD=12，∴CD=2CE，在Rt△CDE中，CD2+CE2=DE2，DE=4√5，∴(2CE)2+CE2=(4√5)2，解得CE=4，即线段CE的长为4．【解析】(1)根据直径所对的圆周角是90°，得出∠A+∠ABC=90°，根据圆周角定理得出∠A=∠D，推出∠DCE=90°即可得出结论；(2)根据tanA=tanD得出BCAC =CECD=12，再根据勾股定理得出CE即可．本题主要考查圆的综合题，熟练掌握圆周角定理，切线的判定，勾股定理等知识是解题的关键．27.【答案】(1)证明：∵AC是正方形ABCD的对角线，∴AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，∵AE=AE，∴△ABE≌△ADE(SAS)，∴BE=DE；(2)解：①△FBG为等腰三角形，理由：∵四边形ABCD是正方形，∴∠GAD=90°，∴∠AGD+∠ADG=90°，由(1)知，△ABE≌△ADE，∴∠ADG=∠EBG，∴∠AGD+∠EBG=90°，∵PB⊥BE，∴∠FBG+∠EBG=90°，∴∠AGD=∠FBG，∵∠AGD=∠FGB，∴∠FBG=∠FGB，∴FG=FB，∴△FBG是等腰三角形；②如图，过点F作FH⊥AB于H，∵四边形ABCD为正方形，点G为AB的中点，AB=4，∴AG=BG=2，AD=4，由①知，FG=FB，∴GH=BH=1，∴AH=AG+GH=3，在Rt△FHG与Rt△DAG中，∵∠FGH=∠DGA，∴tan∠FGH=tan∠DGA，∴FHGH =ADAG=2，∴FH=2GH=2，在Rt△AHF中，AF=√AH2+FH2=√13；(3)∵FB⊥BE，∴∠FBG=90°，在Rt△EBF中，BE=BF，∴EF=√2BE，由(1)知，BE=DE，由(2)知，FG=BF，∴GE=EF−FG=√2BE−BF=√2DE−DE=(√2−1)DE．【解析】(1)(1)先判断出AB=AD，∠BAE=∠DAE=45°，进而判断出△ABE≌△ADE，即可得出结论；(2)①先判断出∠AGD=∠FBG，进而判断出∠FBG=∠FGB，即可得出结论；②过点F作FH⊥AB于H，先求出AG=BG=2，AD=4，进而求出AH=3，进而求出FH=2，最后用勾股定理即可求出答案；(3)先判断出EF=√2BE，由(1)知，BE=DE，由(2)知，FG=BF，即可判断出结论．此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数，作出辅助线构造出直角三角形是解(2)的关键．28.【答案】解：(1)∵抛物线y=14(x+3)(x−a)与x轴交于A，B(4,0)两点，∴14(4+3)(4−a)=0，解得a=4，∴y=14(x+3)(x−4)=14x2−14x−3，即抛物线的表达式为y=14x2−14x−3；(2)在y=14(x+3)(x−4)中，令y=0，得x=−3或4，∴A(−3,0)，OA=3，∵OC=OB=4，∴C(0,4)，∵AE=1，∴DE=AE⋅tan∠CAO=AE⋅OCOA =1×43=43，OE=OA−AE=3−1=2，∴E(−2,0)，∵DE⊥x轴，∴x P=x D=x E=−2，∴y P=14(−2+3)(−2−4)=−32，∴PE=32，∴DP=DE+PE=43+32=176；(3)①如下图，连接DG交AB于点M，∵△BCD与BFG关于x轴对称，∴DG⊥AB，DM=GM，设OM=a(a>0)，则AM=OA−OM=3−a，MG=MD=AM⋅tan∠CAO=43(3−a)，∴G(−a,43(a−3))，∵点G(−a,43(a−3))在抛物线y=14(x+3)(x−4)上，∴14(−a+3)(−a−4)=43(a−3)，解得a=43或3(舍去)，∴G(−43,−209)；②如下图，在AB的下方作∠EAQ=∠DCB，且AQ=BC，连接EQ，CQ，∵AE=CD，∴△AEQ≌△CDB(SAS)，∴EQ=BD，∴当C、E、Q三点共线时，BD+CE=EQ+CE最小，最小为CQ，过点C作CH⊥AQ，垂足为H，∵OC⊥OB，OC=OB=4，∴∠CBA=45°，BC=4√2，∵∠CAH=180°−∠CAB−∠EAQ=180°−∠CAB−∠DCB=∠CBA=45°，AC =√OA 2+OC 2=√32+42=5，AH =CH =√22AC =5√22， HQ =AH +AQ =AH +BC =5√22+4√2=13√22， ∴CQ =√CH 2+HQ 2=(5√22)(13√22)=√97，即BD +CE 的最小值为√97．【解析】(1)用待定系数法求解析式即可；(2)根据函数解析式求出OA 的长度，根据三角函数求出DE 的长度，根据P 点的坐标得出PE 的长度，根据DP =DE +PE 得出结论即可；(3)①连接DG 交AB 于点M ，设OM =a(a >0)，则AM =OA −OM =3−a ，得出G(−a,43(a −3))，根据G 点在抛物线上得出a 的值，即可得出G 点的坐标； ②在AB 的下方作∠EAQ =∠DCB ，且AQ =BC ，连接EQ ，CQ ，构造△AEQ≌△CDB ，得出当C 、E 、Q 三点共线时，BD +CE =EQ +CE 最小，最小为CQ ，求出CQ 的值即可． 本题主要考查二次函数的综合题，熟练掌握二次函数的图象和性质，全等三角形的判定和性质，三角函数，勾股定理等知识是解题的关键．。
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初中数学中考试题研究《方案设计综合试题》㈠应用方程（组）不等式（组）解决方案设计型例1．（2009·益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．解析：此类试题一般涉及二元一次方程组、不等式组在实际问题中的应用．，以两人的用的总钱数为等量关系，可以列出方程组．第二问注意“不少”的含义可以根据总钱数和钢笔与笔记本的数量关系列出不等式组．解：（1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：⎩⎨⎧=+=+3152183y x y x 解得：⎩⎨⎧==53y x 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元(2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本依题意得：⎩⎨⎧≥-≤-+a a a a 48200)48(53，解得：2420≤≤a ，所以，一共有５种方案 即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24． 点评：解决问题的基本思想是从实际问题中构建数学模型，寻找题目中的等量关系，（或不等关系）列出相应的方程（或不等式组）．同步检测:1 (2009·安顺)在“五一”期间，小明、小亮等同学随家长一同到某公园游玩，下面是购买门票时，小明与他爸爸的对话（如图），试根据图中的信息，解答下列问题：（1）小明他们一共去了几个成人，几个学生？（2）请你帮助小明算一算，用哪种方式购票更省钱？说明理由．2.（2009·益阳）开学初，小芳和小亮去学校商店购买学习用品，小芳用18元钱买了1支钢笔和3本笔记本；小亮用31元买了同样的钢笔2支和笔记本5本．(1)求每支钢笔和每本笔记本的价格；(2)校运会后，班主任拿出200元学校奖励基金交给班长，购买上述价格的钢笔和笔记本共48件作为奖品，奖给校运会中表现突出的同学，要求笔记本数不少于钢笔数，共有多少种购买方案？请你一一写出．练习参考答案：1. 解：（1）设成人人数为x 人，则学生人数为(12-x)人． 则35x + 235（12 –x ）= 350 解得：x = 8 故：学生人数为12 – 8 = 4 人, 成人人数为8人．（2）如果买团体票，按16人计算，共需费用：35×0．6×16 = 336元336﹤350 所以，购团体票更省钱．所以，有成人8人，学生4人；购团体票更省钱．2. 解：（1)设每支钢笔x 元，每本笔记本y 元，依题意得：⎩⎨⎧=+=+3152183y x y x 解得：⎩⎨⎧==53y x 所以，每支钢笔3元，每本笔记本5元(2)设买a 支钢笔，则买笔记本(48－a )本依题意得：⎩⎨⎧≥-≤-+aa a a 48200)48(53，解得：2420≤≤a ，所以，一共有５种方案即购买钢笔、笔记本的数量分别为：20，28； 21，27； 22，26； 23，25； 24，24．二、应用函数设计方案问题：例2．（2009·安徽）（1）请说明图中①、②两段函数图象的实际意义．（2）写出批发该种水果的资金金额w （元）与批发量m （kg ）之间的函数关系式；在下图的坐标系中画出该函数图象；指出金额在什么范围内，以同样的资金可以批发到较多数量的该种水果．（3）经调查，某经销商销售该种水果的日最高销量与零售价之间的函数关系如图（2）所示，该经销商拟每日售出60kg 以上该种水果，且当日零售价不变，请你帮助该经销商设计进货和销售的方案，使得当日获得的利润最大．解析：此类试题结合函数图像所提供的信息，对信息加工应用，可以求出函数解析式，分析题意，根据：销售利润y =日最高销售量x ×每千克的利润（每千克的利润＝零售价－批发价），由此整理可得到y 关于x 的二次函数，解：（１）图①表示批发量不少于20kg 且不多于60kg 的该种水果，可按5元/kg 批发；图②表示批发量高于60kg 的该种水果，可按4元/kg 批发．（2）由题意得： 2060 6054m m w m m ⎧=⎨⎩≤≤（））＞（，函数图象略．由图可知资金金额满足240＜w ≤300时，以同样的资金可批发到较多数量的该种水果．（3）设日最高销售量为x kg （x ＞60）则由图②日零售价p 满足：32040x p =-，于是32040x p -=销售利润23201(4)(80)1604040x y x x -=-=--+,当x ＝80时，160y =最大值，此时p ＝6 即经销商应批发80kg 该种水果，日零售价定为6元/kg ，当日可获得最大利润160元点评：注重数形结合，领会通过图形所传递的信息，以及二次函数顶点的意义的理解与应用．同步检测:3：（2009·四川省南充市）某电信公司给顾客提供了两种手机上网计费方式：方式A 以每分钟0.1元的价格按上网时间计费；方式B 除收月基费20元外，再以每分钟0.06元的价格按上网时间计费．假设顾客甲一个月手机上网的时间共有x 分钟，上网费用为y 元．（1）分别写出顾客甲按A 、B 两种方式计费的上网费y 元与上网时间x 分钟之间的函数关系式，并在图7的坐标系中作出这两个函数的图象；（2）如何选择计费方式能使甲上网费更合算？练习参考答案：练习3。
（1）方式A ：0.1(0)y x x =≥，方式B ：0.0620(0)y x x =+≥，两个函数的图象如图所示．（2）解方程组0.10.0620y x y x =⎧⎨=+⎩ 得50050x y =⎧⎨=⎩所以两图象交于点P （500，50）．由图象可知：当一个月内上网时间少于500分时，选择方式A 省钱；当一个月内上网时间等于500分时，选择方式A 、方式B 一样；当一个月内上网时间多于500分时，选择方式B 省钱．三、 设计图形剪拼方案例3．（2009·浙江省温州市）在所给的9×9方格中，每个小正方形的边长都是1．按要求画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上．(1)在图甲中画一个平行四边形，使它的周长是整数；(2)在图乙中画一个平行四边形，使它的周长不是整数．(注：图甲、图乙在答题纸上)解析：本题为图案设计题，在设计前一定要注意到要求,除了要满足所画平行四边形，使它的四个顶点以及对角线交点都在方格的顶点上外，还要满足平行四边形的周长是否为整数的要求．点评：本题考查的是设计图形题，在读清要求后，然后根据要求，进行方案的尝试设计，一般要经历一个不断修改的过程，使问题在修正中得以解决.同步检测:4。
(2009·河南）为创建绿色校园，学校决定对一块正方形的空地进行种植花草，现向学生征集设计图案．图案要求只能用圆弧在正方形内加以设计，使正方形和所画的图弧构成的图案，既是轴对称图形又是中心对称图形．种植花草部分用阴影表示．请你在图③、图④、图⑤中画出三种不同的的设计图案．提示：在两个图案中，只有半径变化而圆心不变的图案属于同一种，例如：图①、图②只能算一种．练习参考答案：解：下面给出参考方案：四、 设计测量方案（解直角三角形应用）例4．（2009·济宁）坐落在山东省汶上县宝相寺内的太子灵踪塔始建于北宋（公元1112年），为砖彻八角形十三层楼阁式建筑．数学活动小组开展课外实践活动，在一个阳光明媚的上午，他们去测量太子灵踪塔的高度，携带的测量工具有：测角仪．皮尺．小镜子．（1）小华利用测角仪和皮尺测量塔高． 图1为小华测量塔高的示意图．她先在塔前的平地上选择一点A ，用测角仪测出看塔顶()M 的仰角35α=o ，在A 点和塔之间选择一点B ，测出看塔顶()M 的仰角45β=o，然后用皮尺量出A ．B 两点的距离为18.6m,自身的高度为1.6m ．请你利用上述数据帮助小华计算出塔的高度（tan 350.7≈o ，结果保留整数）．① ②③ ④ ⑤A B C D （2）如果你是活动小组的一员，正准备测量塔高，而此时塔影NP 的长为a m （如图2）,你能否利用这一数据设计一个测量方案？如果能，请回答下列问题：①在你设计的测量方案中，选用的测量工具是: ；②要计算出塔的高，你还需要测量哪些数据？ ． 解析：本题以解直角三角形为依托，通过设计实际的测量活动，使学生能够灵活的应用所学知识，解决实际生活的问题，第二问是在解决了第一问的基础上让学生另行设计一种测量方案，但是要注意提供的工具和数据的选择使用．解：（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为xm ，则( 1.6)ME x m =-． ∵045β=,∴ 1.6DE ME x ==-．∴ 1.618.617CE x x =-+=+．∵0tan tan 35ME CE α==,∴ 1.60.717x x -=+,解得45x m =． ∴太子灵踪塔()MN 的高度为45m ．(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P 点看塔顶的仰角．自身的高度． (注：答案不唯一) 点评：本类试题关键在于画出直角三角形，再分析角边关系，选择合适的三角函数求解，另外要注意设计的方案因为工具的选择不同而方法的多样性，还经常与相似三角形结合． 同步检测:5。
（2009·四川省成都市）某中学九年级学生在学习“直角三角形的边角关系”一章时，开展测量物体高度的实践活动，他们要测量学校一幢教学楼的高度．如图，他们先在点C 测得教学楼AB 的顶点A 的仰角为30°，然后向教学楼前进60米到达点D ，又测得点A 的仰 角为45°.请你根据这些数据，求出这幢教学楼的高度．(计算过程和结果均不取近似值)练习参考答案：解：（1）设CD 的延长线交MN 于E 点，MN 长为xm ，则( 1.6)ME x m =-． ∵045β=,∴ 1.6DE ME x ==-．∴ 1.618.617CE x x =-+=+．∵0tan tan 35ME CE α==,∴ 1.60.717x x -=+,解得45x m =． ∴太子灵踪塔()MN 的高度为45m ．(2) ①测角仪．皮尺； ② 站在P 点看塔顶的仰角．自身的高度． (注：答案不唯一)练习6.如图，由已知可得∠ACB=30°，∠ADB=45°∴在Rt △ABD 中，BD=AB.又在Rt △ABC 中，tan30°=BC AB ，∴BC AB =33，即BC=3AB. ∵BC=CD ＋BD ，∴3AB=CD ＋AB ，即（3－1）AB=60.∴AB=1360=30（3＋1）（米）答：教学楼的高度为30（3＋1）米.五、设计游戏方案（概率应用）例5.(2009·重庆）有一个可以自由转动的转盘，被分成了4个相同的扇形，分别标有数1、2、3、4（如图所示），另有一个不透明的口袋装有分别标有数0、1、3的三个小球（除数不同外，其余都相同）．小亮转动一次转盘，停止后指针指向某一扇形，扇形内的数是小亮的幸运数，小红任意摸出一个小球，小球上的数是小红的吉祥数，然后计算这两个数的积．（1）请你用画树状图或列表的方法，求这两个数的积为0的概率；（2）小亮与小红做游戏，规则是：若这两个数的积为奇数，小亮赢；否则，小红赢．你认为该游戏公平吗？为什么？如果不公平，请你修改该游戏规则，使游戏公平．解析：修改游戏规则，首先通过列表或树形图求出游戏中的双方的概率，看是否相等，若不相等通过修改规则使得概率对两方相等了，所以应现将两个人的获胜概率计算出来． 解：列树形图如下：由树形图可见共有12种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小亮和小红的获胜概率分别为，，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等，我们可以修改为：若这两个数的积为奇数，小亮赢；若这两个数的积为偶奇数，小红赢．点评：本题以摸球和转盘游戏为背景，设计试题，游戏公平性方案设计，其关键是保证游戏双方获胜的概率相同．同步检测:(2009·广东省梅州市）“五·一”假期，梅河公司组织部分员工到A 、B 、C 三地旅游，公司购买前往各地的车票种类、数量绘制成条形统计图，如图．根据统计图回答下列问题：（1）前往 A 地的车票有_____张，前往C 地的车票占全部车票的________%；（2）若公司决定采用随机抽取的方式把车票分配给 100 名员工，在看不到车票的条件下，每人抽取一张（所有车票的形状、大小、质地完全相同且充分洗匀），那么员工小王抽到去 B 地车票的概率为______；（3）若最后剩下一张车票时，员工小张、小李都想要，决定采用抛掷一枚各面分别标有数字1，2，3，4的正四面体骰子的方法来确定，具体规则是：“每人各抛掷一次，若小张掷得着地一面的数字比小李掷得着地一面的数字大，车票给小张，否则给小李．”试用“列表法或画树状图”的方法分析，这个规则对双方是否公平？练习参考答案：（1）30；20．（2）12．（3）可能出现的所有结果列表如下：或画树状图如下：共有 16 种可能的结果，且每种的可能性相同，其中小张获得车票的结果有6种：（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），∴P（小张获得车票）＝616＝38；则P（小李获得车票）1－38＝58．∴这个规则对小张、小李双方不公平．随堂检测1．（2009·齐齐哈尔）一宾馆有二人间、三人间、四人间三种客房供游客租住，某旅行团20人准备同时租用这三种客房共7间，如果每个房间都住满，租房方案有（）A．4种B．3种C．2种D．1种2．（2009·襄樊）为实现区域教育均衡发展，我市计划对某县A、B两类薄弱学校全部进行改造．根据预算，共需资金1575万元．改造一所A类学校和两所B类学校共需资金230万元；改造两所A类学校和一所B类学校共需资金205万元．（1）改造一所A类学校和一所B类学校所需的资金分别是多少万元？（2）若该县的A类学校不超过5所，则B类学校至少有多少所？（3）我市计划今年对该县A、B两类学校共6所进行改造，改造资金由国家财政和地方财政共同承担．若今年国家财政拨付的改造资金不超过400万元；地方财政投入的改造资金不少于70万元，其中地方财政投入到A、B两类学校的改造资金分别为每所10万元和15万元．请你通过计算求出有几种改造方案？3．（2009·天津）注意：为了使同学们更好地解答本题，我们提供了一种解题思路，你可以依照这个思路填空，并完成本题解答的全过程．如果你选用其他的解题方案，此时，不必填空，只需按照解答题的一般要求，进行解答即可．如图①，要设计一幅宽20cm，长30cm的矩形图案，其中有两横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为2∶3，如果要使所有彩条所占面积为原矩形图案面积的三分之一，应如何设计每个彩条的宽度？分析：由横、竖彩条的宽度比为2∶3，可设每个横彩条的宽为2x，则每个竖彩条的宽为3x．为更好地寻找题目中的等量关系，将横、竖彩条分别集中，原问题转化为如图②的情况，得到矩形ABCD．结合以上分析完成填空：如图②，用含x的代数式表示：AB=____________________________cm；AD=____________________________cm；矩形ABCD的面积为_____________cm2；列出方程并完成本题解答．4．（2009·烟台）某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台，为了配合国家“家电下乡”政策的实施，商场决定采取适当的降价措施．调查表明：这种冰箱的售价每降低50元，平均每天就能多售出4台．（1）假设每台冰箱降价x元，商场每天销售这种冰箱的利润是y元，请写出y与x之间的函数表达式；（不要求写自变量的取值范围）（2）商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元，同时又要使百姓得到实惠，每台冰箱应降价多少元？（3）每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润是多少？5．(2009·达州)（6分）阳光明媚的一天，数学兴趣小组的同学去操场上测量旗杆的高度，他们带了以下测量工具：皮具、三角尺、标杆、小平面镜等．首先，小明说：“我们用皮尺和三角尺（含30 角）来测量”．于是大家一起动手，测得小明与旗杆的距离AC为15㎝，小明的眼睛与地面的距离为1．6㎝，如图9（甲）所示．然后，小红和小强提出了自己的想法．小红说：“我用皮尺和标杆能测出旗杆的高度．”小强说：“我用皮尺和小平面镜也能测出旗杆的高度！”根据以上情景，解答下列问题：（1）利用图9（甲），请你帮助小明求出旗杆AB 的高度（结果保留整数．参考数据：5.030sin =︒，87.030cos ≈︒，58.030tan ≈︒，73.130cot ≈︒）；（2）你认为小红和小强提出的方案可行吗？如果可行，请选择一中．．方案在图（乙）中画出测量示意图，并简述．．测量步骤． 6．(2009·漳州)小红与小刚姐弟俩做掷硬币游戏，他们两人同时各掷一枚壹元硬币．（1）若游戏规则为：当两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢，否则小刚赢．请用画树状图或列表的方法，求小刚赢的概率；（2）小红认为上面的游戏规则不公平，于是把规则改为：当两枚硬币正面都朝上时，小红得8分，否则小刚得4分．那么，修改后的游戏规则公平吗？请说明理由；若不公平，请你帮他们再修改游戏规则，使游戏规则公平（不必说明理由）．随堂检测参考答案：1．C2．解：（1）设改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为a 万元和b 万元．依题意得：22302205a b a b +=⎧⎨+=⎩解之得6085a b =⎧⎨=⎩答：改造一所A 类学校和一所B 类学校所需的改造资金分别为60万元和85万元．（2）设该县有A 、B 两类学校分别为m 所和n 所．则60851575m n +=173151212m n =-+ ∵A 类学校不超过5所 ∴1731551215n -+≤ ∴15n ≥即：B 类学校至少有15所．（3）设今年改造A 类学校x 所，则改造B 类学校为()6x -所，依题意得：()()507064*********x x x x +-⎧⎪⎨+-⎪⎩≤≥ 解之得14x ≤≤∵x 取整数∴1234x =，，，即：共有4种方案．3．解（Ⅰ）220630424260600x x x x ---+，，； （Ⅱ）根据题意，得2124260600120303x x ⎛⎫-+=-⨯⨯ ⎪⎝⎭．整理，得2665500x x -+=． 解方程，得125106x x ==，（不合题意，舍去）． 则552332x x ==，． 答：每个横、竖彩条的宽度分别为53cm ，52cm ．4． 解：（1）根据题意，得(24002000)8450x y x ⎛⎫=--+⨯ ⎪⎝⎭， 即2224320025y x x =-++． （2）由题意，得22243200480025x x -++=． 整理，得2300200000x x -+=．解这个方程，得12100200x x ==，．要使百姓得到实惠，取200x =．所以，每台冰箱应降价200元．（3）对于2224320025y x x =-++， 当241502225x =-=⎛⎫⨯- ⎪⎝⎭时， 150(24002000150)8425020500050y ⎛⎫=--+⨯=⨯= ⎪⎝⎭最大值． 所以，每台冰箱的售价降价150元时，商场的利润最大，最大利润是5000元．5．（1）过点D 作DE ⊥AB 于点E ，在Rt △BDE 中，DE=AC=15m ，∠BDE=30°∴BE=DE·tan30°≈15×058=870(m) ∴AB=BE+AE=870m+16m=103m≈10m（2）小红和小强提出的方案都是可行的小红的方案：利用皮尺和标杆：（1）测量旗杆的影长AG（2）测量标杆EF 的长度（3）测量同一时刻标杆影长FH小强的方案：把小平面镜放在适当的位置（如图点P 处），使得小强可以在镜中看到旗杆AB 的顶端 步骤：（1）测出AP 的长度（2）测出NP 的长度（3）测出小强眼睛离地面的高度MN6．解：由树形图可见共有4种可能，并且每种可能出现的机会均等，而小红与小刚的获胜概率分别为，由此可见游戏不公平，要使的游戏公平，概率应相等或者得分相同，我们可以修改为：两枚硬币落地后都正面朝上时，小红赢；若两枚硬币落地后都反面朝上时，小刚赢，（或者当两枚硬币正面都朝上时，小红得3分，否则小刚得1分）。