固体物理习题课03
固体物理基础课后1到10题答案
一．本章习题P272习题1.试证理想六方密堆结构中c/a=.一． 说明：C 是上下底面距离，a 是六边形边长。
二． 分析：首先看是怎样密堆的。
如图(书图(a)，P8)，六方密堆结构每个格点有12个近邻。
（同一面上有6个，上下各有3个）上下底面中间各有一个球，共有六个球与之相切，每个球直径为a 。
中间层的三个球相切，又分别与上下底面的各七个球相切。
球心之间距离为a 。
所以球心之间即格点之间距离均为a （不管是同层还是上下层之间）。
三． 证明：如图OA=a ，OO ’=C/2（中间层是上下面层的一半），AB=a O ’是ΔABC 的三垂线交点33'a AB AO ==∴（由余弦定理)330cos 2,30cos 230cos 2222a a x x a ax x a x ===-+=οοο633.1322384132)2()2()3()2(2222222222''≈===∴+=+=+=a c c a ac a ac OA AO OO2．若晶胞基矢c b a ρρρ,,互相垂直，试求晶面族（hkl ）的面间距。
一、分析：我们想到倒格矢与面间距的关系G d ρπ2=。
倒格矢与晶面族 （hkl ）的关系321b l b k b h G ρρρρ++=写出)(321b b b ρρρ与正格子基矢 )(c b a ρρρ的关系。
即可得与晶面族（hkl ） 垂直的倒格矢G ρ。
进而求得此面间距d 。
二、解：c b a ρρρΘ,,互相垂直，可令k c c j b b i a a ρρρρρρ===,,晶胞体积abc c b a v =⨯⋅=)(ρρρ倒格子基矢：kcj b i a abc b a v b j b i a k c abc a c v b ia k c jb abc c b v b ρρρρρρρρρρρρρρρρρρπππππππππ2)(2)(22)(2)(22)(2)(2321=⨯=⨯==⨯=⨯==⨯=⨯=而与 （hkl ）晶面族垂直的倒格矢 222321)()()(2)(2cl b k a h G k cl j b k i a h b l b k b h G ++=∴++=++=ππρρρρρρρρ故（hkl ） 晶面族的面间距222222)()()(1)()()(222cl b k a h cl b k a h G d ++=++==πππρ3．若在体心立方晶胞的每个面中心处加一个同类原子，试说明这种晶体的原胞应如何选择？每个原胞含有几个原子？1．分析：考虑选取原胞的条件：（即布拉菲晶格的最小单元）（1）体积最小的重复结构单元（2）只包含一个格点（3）能反映晶格的周期性应将几个原子组合成一个格点，然后构成原胞。
固体物理习题3PPT课件
x n 1 x n 1 2 x n
(1)
式中，xnn1 ,2 ,3 ,为原子位移； 为恢复力常数。
依题设，原子的振动位移可表示为
xn1xn AAcocosstt nna1qaq
(2)
xn1 Acost n1aq
将(2)式代入(1)式，得
m 2 x n A co t n s 1 a q
N4
2
又因为一维单原子链的色散关系为
ω2 4 β sin2aq 或者 ω2 2β1cosaq
m 2
m
所以 1mω2 β1cosaq
2
得平均总能量 ε 1 mω2A2 2
3.2 证明：在由两种不同质量M、m(M>m)的原子所组成的一维
复式格子中，如果波矢q取边界值 q 2a(a为相邻原子间
距)，则在声学支上，质量为m的轻原子全部保持不动；在光学 支上，质量为M的重原子保持不动。
uAe Ae iqn 2aωt
i1qn ω at
2
n
u B e Be n1
i q n 2 aq b ω t
i 1qn ω a t
2
代入运动方程，得
m ω 2 A β 2 B A β 1 A B iqe a m ω 2 B β 1 A iq B a e β 2 B A
证明：如图所示，设质量为m的轻原子位于2n-1，2n+2，2n+3，... 各点；设质量为M的轻原子位于2n-2，2n，2n+2，…各点。
a
mM
2n-3 2n-2 2n-1 2n 2n+1 2n+2 2n+3
令 表示原子间的恢复力系数，运动方程写为
m x 2 n x 2 n 1 x 2 nx 2 n x 2 n 1
固体物理第三章习题答案
1
4 u n
( ij u )
i j
右边
1
1
4 u n
i(n)
( in u
i(n)
2
2 in
j(n)
nj
u )
2
2 nj
4 u n
( in ( u n u i )
j(n)
nj
nj
(u j u n ) )
T 成正比，说明德拜模型 温的情况下。
3－ 5 设想在一维单原子晶格
中，只激发出一个动量
为
q ( q 0 )的声子，试证明晶体并
不因此而获得物理动量
。
证明：先证下面的式子 1 N
'
： l l l l
' '
e
n
ina ( q l q ' )
l
ll '
1, 0,
略去 项，（因为低温，
1）
d
C
T
m
l
M M
0
a
e
k BT
1
l
M
a
T
0
d
似为无穷大 )
e
k BT
1
(因为低温，频率低的占
主要，所以上限可以近
l
M k T
2 B
a
(e
0
x e
x
2
x 2
1)
2
《固体物理》课后习题答案
1.1 如果将等体积球分别排列成下列结构，设x 表示钢球所占体积与总体积之比，证明结构x简单立方π/ 6 ≈0.52 体心立方3π/ 8 ≈0.68 面心立方2π/ 6 ≈0.74六方密排2π/ 6 ≈0.74 金刚石3π/16 ≈0.34解：设钢球半径为r ，根据不同晶体结构原子球的排列，晶格常数a 与r 的关系不同，分别为：简单立方：a = 2r金刚石：根据金刚石结构的特点，因为体对角线四分之一处的原子与角上的原子紧贴，因此有1.3 证明：体心立方晶格的倒格子是面心立方；面心立方晶格的倒格子是体心立方。
证明：体心立方格子的基矢可以写为面心立方格子的基矢可以写为根据定义，体心立方晶格的倒格子基矢为同理与面心立方晶格基矢对比，正是晶格常数为4π/ a的面心立方的基矢，说明体心立方晶格的倒格子确实是面心立方。
注意，倒格子不是真实空间的几何分布，因此该面心立方只是形式上的，或者说是倒格子空间中的布拉菲格子。
根据定义，面心立方的倒格子基矢为同理而把以上结果与体心立方基矢比较，这正是晶格常数为4πa的体心立方晶格的基矢。
证明：根据定义，密勒指数为的晶面系中距离原点最近的平面ABC 交于基矢的截距分别为即为平面的法线根据定义，倒格子基矢为则倒格子原胞的体积为1.6 对于简单立方晶格，证明密勒指数为(h, k,l)的晶面系，面间距d 满足其中a 为立方边长。
解：根据倒格子的特点，倒格子与晶面族(h, k,l)的面间距有如下关系因此只要先求出倒格，求出其大小即可。
因为倒格子基矢互相正交，因此其大小为则带入前边的关系式，即得晶面族的面间距。
1.7 写出体心立方和面心立方晶格结构的金属中，最近邻和次近邻的原子数。
若立方边长为a ，写出最近邻和次近邻的原子间距。
答：体心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为8，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a ；面心立方晶格的最近邻原子数（配位数）为12，最近邻原子间距等于次近邻原子数为6，次近邻原子间距为a 。
固体物理课后习题答案
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
a1 a2 a3 , , ，第四个指数表示该晶面 h k i
在六重轴c上的截距为
c 。证明： l
i = −(h + k )
并将下列用（hkl）表示的晶面改用（hkil）表示：
2
第一章 晶体的结构
( 001) , (133) , (110 ) , ( 323) , (100 ) , ( 010 ) , ( 213) .
固体物理课后习题答案
(
) )
)
1 3 a 4
a 2
(
(
)
2π ⎧ b a 2 × a3 1 = ⎪ Ω ⎪ 2π ⎪ a 3 × a1 ⎨b 2 = Ω ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = Ω a1 × a 2 ⎩
(
) ) )
(
(
Ω = a1 ⋅ a 2 × a 3 =
i a a 2 × a3 = 2 a 2 j 0 a 2
(
k 0 a =i a 2 2 0
(
)
⎞ 2π k⎟= −i + j + k 同理 ⎠ a
(
)
(
)
(
)
2π ⎧ ⎪b1 = a −i + j + k ⎪ 2π ⎪ i− j+k ⎨b 2 = a ⎪ 2π ⎪ ⎪b3 = a i + j − k ⎩
(
)
(
)
(
)
由此可得出面心立方格子的倒格子为一体心立方格子； 所以体心立方格子和面心立方格子互为正倒格子。 2.2 在六角晶系中，晶面常用四个指数（hkil）来表示，如图 所示，前三个指数表示晶面族中最靠近原点的晶面在互成 1200的 共面轴 a1 , a2 , a3 上的截距为
设两法线之间的夹角满足
K 1 i K 2 = K1 i K 2 cos γ
K 1iK 2 cos γ = = K1 i K 2 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a 2π 2π 2π 2π (h1 i + k1 j + l1 k )i (h1 i + k1 j + l1 k ) i (h2 i + k2 j + l2 k )i (h2 i + k2 j + l2 k ) a a a a
固体物理课后习题解答（黄昆版）第三章
固体物理课后习题解答（黄昆版）第三章黄昆固体物理习题解答第三章晶格振动与晶体的热学性质3.1 已知⼀维单原⼦链，其中第j个格波，在第个格点引起的位移为，µ= anj j sin(ωj_j+ σj) ，σj为任意个相位因⼦，并已知在较⾼温度下每个格波的平均能量为，具体计算每个原⼦的平⽅平均位移。
解：任意⼀个原⼦的位移是所有格波引起的位移的叠加，即µn= ∑ µnj=∑ a j sin(ωj t naq j+σj)j j（1）µ2 n =∑µjnj∑µj*nj=µj2nj+ µ µnj*nj′j j′由于µ µnj?nj数⽬⾮常⼤的数量级，⽽且取正或取负⼏率相等，因此上式得第2 项与第⼀项µ相⽐是⼀⼩量，可以忽略不计。
所以2= ∑ µ 2njn j由于µnj是时间的周期性函数，其长时间平均等于⼀个周期内的时间平均值为µ 2 = 1 T∫0 2 ω+σ 1 2 j aj sin( t naqjj j)dt a=j（2）T0 2已知较⾼温度下的每个格波的能量为KT，µnj的动能时间平均值为1 L T ?1 ?dµ 2 ?ρw a2 T 1= ∫∫dx0?ρnj?= j j∫0 2 ω+ σ= ρ 2 2 T??dt L a sin( t naq)dt w Lanj T0 0 0 ? 2 ?dt??2T0 j j j j 4 j j其中L 是原⼦链的长度，ρ使质量密度，T0为周期。
1221所以Tnj= ρ w La j j=KT（3）4 2µKT因此将此式代⼊（2）式有nj2 = ρωL 2 jµ所以每个原⼦的平均位移为2== ∑ µ 2= ∑KT= KT∑1n njρωL2ρLω2j j j j j3.2 讨论N 个原胞的⼀维双原⼦链（相邻原⼦间距为a），其2N 格波解，当M=m 时与⼀维单原⼦链的结果⼀⼀对应.解答（初稿）作者季正华- 1 -黄昆固体物理习题解答解：如上图所⽰，质量为M 的原⼦位于2n-1，2n+1，2n+3 ……质量为m 的原⼦位于2n，2n+2，2n+4 ……⽜顿运动⽅程：..mµ2n= ?βµ(22n?µ2n+1 ?µ2n?1)..Mµ2n+1 = ?βµ(22n+1 ?µ2n+2 ?µ2n)体系为N 个原胞，则有2N 个独⽴的⽅程i na q⽅程解的形式：iµ2n=Ae[ωt?(2 ) ] µ2n+1=Be[ω?(2n+1)aq]na qµ=将µ2n=Ae[ωt?(2 ) ]2n+1 Be i[ωt?(2n+1) aq]代回到运动⽅程得到若A、B 有⾮零的解，系数⾏列式满⾜：两种不同的格波的⾊散关系：——第⼀布⾥渊区解答（初稿）作者季正华- 2 -第⼀布⾥渊区允许 q 的数⽬黄昆固体物理习题解答对应⼀个 q 有两⽀格波：⼀⽀声学波和⼀⽀光学波。
黄昆版固体物理习题课_03
01/34
设试探解： 将试探解代入方程得到： 由线性齐次方程组有非零解的条件得到：
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
02/34
当：
代入原方程组得到： 光学支：
声学支：
当：
光学支：B=0 声学支：A=0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
03/34
补充题二、设有一纵波：
沿着一维单原子链传播，原子间距为a，最近邻忽作用的恢复 力常数为 试证明：每个原子对时间平均的总能量为：
考虑到晶体中存在有许多不同频率、不同模式的格波，因此总 的均方位移应对所有不同格波进行求和。又由于各振动模式间 是相互独立的，因此有：
当N足够大时，振动频率趋于连续，求和可以用积分代替
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
11/34
将德拜模型的频率分布函数及最大频率代入得：
（2）非零温度下相应于某频率的格波的平均能量应为格波能 量和该温度下该格波的平均声子数之积，即：
红色标记原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
19/34
—— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程
—— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 —— 方程的解
令
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
20/34
—— A、B有非零的解，系数行列式满足
补充题一、证明在由两种不同质量M,m(M>m)的原子所组成的
一维复式格子中，如果波矢q取边界值
（a为相邻原子
间距），则在声学支上质量为m的轻原子全部保持不动；在光
学支上质量为M的重原子保持不动。
解：如图所示
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1 i aq 2 2 2
)( e
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
)0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
21/34
2 (12 2 2 )2 ( e
1 i aq 2 2 1
e
2 0
1 i aq 2 2 2
2 1
)( e
1 i aq 2 2 1
2 1 2 1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
—— 对应一个q有两支格波：一支声学波和一支光学波。总 的格波数目为2N
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M ) 1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
20
—— 色散关系图
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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3.6 计算一维单原子链的频率分布函数()
设单原子链长度 L Na
2 h 波矢取值 q Na Na 状态密度 2
2 每个波矢的宽度 Na
dq间隔内的状态数
Na dq 2
对应q，取值相同， d间隔内的状态数目
( ) A ( e
2 1 2 2 2
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
)B 0
( e
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
2 ) A (12 2 2 )B 0
—— A、B有非零的解，系数行列式满足
( ),
频率分布函数
( )
2N
1
2 0
2
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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3.7 设三维晶格的光学振动在q=0附近的长波极限有：
(q) 0 Aq2
证明：频率分布函数
V 1 1/ 2 2 3 / 2 ( 0 ) f ( ) 4 A 0
3.2 讨论N个原胞的一维双原子链（相邻原子间距为a），其 2N个格波解，当M=m时与一维单原子链的结果一一对应 解：质量为M的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……。 质量为m的原子位于2n， 2n+2， 2n+4 ……。 牛顿运动方程
2n (22n 2 n1 2n1 ) m 2 n1 (22n1 2 n 2 2 n ) M
4 aq cos M m m 2 4 aq sin m 2
—— 两种色散关系如图所示
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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4 aq cos m 2 4 aq sin m 2
长波极限情况下 q 0
qa qa sin( ) 2 2
0 0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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—— 体系N个原胞，有2N个独立的方程 —— 方程的解
2 n Ae
1 i [t (2 n ) aq ] 2 1 i [t (2 n 1) aq ] 2
2 n 1 Be
令
2 12 1 / m, 2 2 / m
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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2 1 2 2 2
( e
1 i aq 2 2 1 2 1
e
2 2
1 i aq 2 2 2 2
)
( e
1 i aq 2 2 1
e
1 i aq 2 2 2
0
), ( )
2 (12 2 2 )2 ( e
1 i aq 2 2 1
e
2 n 1 Be
代回到运动方程
2 (2 m ) A (2 cos aq )B 0 2 (2 cos aq ) A (2 M )B 0
2 cosaq A 、 B 有 2 m 0 2 非零解 2 cosaq 2 M
V q V ds f ( ) 3 (2 ) 2 Aq (2 )3 2 A
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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V 1 f ( ) 2 3/ 2 (0 )1/ 2 4 A
因为对于光学波，在 q 0 处振动频率具有最大值 0
V 1 1/ 2 (0 ) 2 3/ 2 频率分布函数 f ( ) 4 A 0
Na ( )d 2 dq 2
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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d间隔内的状态数目
一维单原子链色散关系 令
Na ( )d 2 dq 2 4 2 2 aq sin ( ) m 2
aq 0 sin( ) 2 a aq d 0 cos( )dq 2 2
(2
mቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
)q
—— 与一维单原子晶格格波的色散关系一致
18/34
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
3.3质量相同两种原子形成一维双原子链，最近邻原子间的 力常数交错等于 1 c 和 2 10c ，并且最近邻的间距 a / 2 1) 求出色散关系和分析计算 q 0, q 处格波的频率值 a 2) 大致画出色散关系图 解： 绿色标记的原子位于2n-1， 2n+1， 2n+3 ……
0 0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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V ds 振动模式密度函数 f ( ) (2 )3 q ( q)
已知三维色散关系
(q) 0 Aq2
q( q) 2 Aq
1 q 0 A
—— 对于q空间的等频率面，波矢q为常数
红色标记原子位于 2n， 2n+2， 2n+4 ……
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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—— 第2n个原子和第2n＋1个原子的运动方程
m2n ( 1 2 ) 2 n 2 2 n1 12 n1 m2n1 ( 1 2 ) 2n1 12n2 2 2 n
—— 两种色散关系
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
22/34
(11 20cosqa 101)
2 2 0
—— 两种色散关系
q 0 (11 121)
2 2 0
22 0 0
2 2 q 0 (11 81) a 200
—— N 个 原 胞 ， 有 2N个独立的方程
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
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2n (22n 2n1 2n1 ) m 方程 2n1 (22n1 2n2 2n ) M
的解
2 n Ae
i [t ( 2 na ) q ] i [t ( 2 n 1) aq ]
2
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
15/34
1 ( m M ) 4 mM 2 2 2 {1 [1 sin aq ] } 2 mM (m M )
两种不同的格波的色散关系
(m M ) 4mM 2 {1 [1 sin aq] } 2 mM (m M )
a d 02 2 dq 2
29/34
0
4 m
两边微分得到
aq 2 cos( ) 1 2 2 0
习题问题讨论三 ——晶格振动与晶体的热力学性质
a d 02 2 dq 2
代入
2 d dq 2 2 a 0
Na N 1 d ( )d 2 dq 2 2 2 0 2
e
1 i aq 2 2 2
)0
c 10c 2 2 , 10 —— 1 c 2 10c 2 0 m m
2 4 4 (110 2 )2 20(1010 )0 cos aq 0
(11 20cosqa 101)
2 2 0